糖果配比销售优化

糖果配比销售优化

编者按：本文根据每种糖果需要的果仁原料的质量作为约束条件，通过应用运筹学中线性规划，求最优化的理论，进而用销售额减去成本得到利润，表达有条不紊，简洁而清晰。文章不足之处是没有将除了果仁的原料价之外其他的成本价考虑进去，忽略了运输，糖果制作及包装等等，可以在此基础上进一步改进。

[摘要]由目标函数：周利润=糖果销售额—果仁的成本，进而有了线性方程。

问题1：我们在研究糖果周利润最大的时候，通过各个果仁最大供应量的限制（杏仁，核桃仁，腰果仁，胡桃仁分别不超过2000,4000,5000,3000kg），和每种果仁在各类糖果中含量的比例，从而得到了约束条件。然后通过lingo软件求得线性规划的最优化值。求得在约束条件下周利润最大值为smax=10069.70元（见表格1）

问题2：通过题意分析就其可操作性，分为9种情况,分别在9种情况下求出其最优值，得出最佳配比方案（见以下9种表格）。[关键词]约束条件线性规划最优化利润销售额

一、问题重述

某糖果店出售三种不同品牌的果仁糖，每个品牌含有不同比例的杏仁、核桃仁、腰果仁、胡桃仁。为了维护商店的质量信誉，每个品牌中所含有的果仁的最大、最小比例是必须满足的，如下表所示：

每周商店从供应商处能够得到的每类果仁的最大数量和售价如

下表：

1.商店希望确定每周购进杏仁、核桃仁、腰果仁、胡桃仁的数量，使周利润最大，建立数学模型，帮助该商店管理人员解决果仁混合的问题。

2.若在圣诞周，豪华和蓝带品牌的销售量会增加，这时商店会让果仁供应量增加10%,试问在这种情况下混合配比是否改变，圣诞周利润会改变多少？请分情况说明。

二、模型假设

·假设糖果和果仁的售价是与其各自购买的数量、时间和和获利无关的常数。

·假设四类果仁之间的购买量相互之间没有影响，三种品牌的销售量相互无影响。

·假设各种品牌的糖果所需要的各种果仁的质量是任意实数。·假设糖果的销售量等于果仁的购买量，即购买的果仁制成糖果全部售出。

三、问题分析

为了维护商店的质量信誉，每个品牌中所含有的果仁的最大、最小比例是必须满足的。在此条件下，优化问题的目标函数是使每周的获利最大，要做的决策是四种果仁以多少的配比制成普通、豪华、蓝带。决策受到2个条件的限制：各种果仁每周最大的供应量，每

种品牌的糖果对四种果仁的含量的需求。根据题目所给，将决策变量、目标函数、和约束条件用数学符号及式子表示出来，就得到下面的模型。

四、符号说明

i：i=1,2,3,4分别代表原材料杏仁，核桃仁，腰果仁，胡桃仁j：j=1,2,3分别代表三种糖果品牌普通，豪华，蓝带

xij：表示为第j种糖果需要第i种果仁原材料的质量

smax：表示为最大周利润

五、模型建立及求解

问题1

1.建立下列模型(lp规划模型理论见附录1)

决策变量：设每周第j种糖果需要第i种果仁原材料的质量为xij。（单位为kg）

目标函数：smax为最大周利润，由周利润=售价-成本得，

smax=(x11+x21+x31+x41)*0.89+(x12+x22+x32+x42)*1.10+(x13+x 23+x33+x43)*1.80-0.45*(x11+x12+x13)-0.55*(x21+x2

2+x23)-0.70*(x31+x32+x33)-0.50*(x41+x42+x43);

约束条件：

原料供应：

每种果仁购买量都有各自的限制：

杏仁不超过2000kg， x11+x12+x13=0.40*(x11+x21+x31+x41);

核桃仁不超过25%： x21=0.40*(x12+x22+x32+x42);

蓝带品牌：

腰果仁含量位于30%～50%之间：

x23>=0.30*(x13+x23+x33+x43);x23=0.30*(x13+x23+x33+x43); 非负约束：xij不能为负值，即xij>=0;

综上所得：

smax=(x11+x21+x31+x41)*0.89+(x12+x22+x32+x42)*1.10+(x13 +x23+x33+x43)*1.80-0.45*(x11+x12+x13)-0.55*(x21+x22+x23)-0.70*(x31+x32+x33)-0.50*(x41+x42+x43);

xij>=0;

x11+x12+x13=0.40*(x11+x21+x31+x41);

x21=0.40*(x12+x22+x32+x42);

x23>=0.30*(x13+x23+x33+x43);

x23=0.30*(x13+x23+x33+x43);)

2.求解用lingo将以上各个约束条件及变量都带入计算得（相关程序见附录2），

结合以上优化结果，再通过计算，绘出如下最佳配比表格：

表格1

结论：

因而当配比取图上表格时有周利润最大的最佳配比，周利润smax=10069.70

问题2：在第一问的分析及结果的基础上，尽管豪华和蓝带类糖果的数量在圣诞周增若在圣诞周，豪华和蓝带品牌的销售量会增加，这时商店会让果仁供应量增加10%。混合配比是否改变，圣诞周利润会改变多少就其可操作性可分为两大类：一，假设果仁增加的10%仅指单个种类果仁的增加量分五种情况。二；假设果仁增加的10%指所有果仁的总量增加的10%，则也分四种情况讨论。

考虑到最大利润，那么分上述所说的九种情况如下：

（1）如果只有杏仁的最大供应量增加了10%，则其他果仁不变，果仁进价和糖果的销售价则最优化配比变为如下，仅把约束条件

x11+x12+x13=0;

x11+x12+x13=0.40*(x11+x21+x31+x41);

x21=0.40*(x12+x22+x32+x42);

x23>=0.30*(x13+x23+x33+x43);

x23=0.30*(x13+x23+x33+x43);)