初二数学--勾股定理讲义(经典)

第一章 勾股定理

【知识点归纳】

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⎪⎩⎩1、已知直角三角形的两边，求第三边勾股定理2、求直角三角形周长、面积等问题3、验证勾股定理成立1、勾股数的应用勾股定理勾股定理的逆定理2、判断三角形的形状

3、求最大、最小角的问题、面积问题、求长度问题、最短距离问题

勾股定理的应用、航海问题、网格问题、图形问题 考点一:勾股定理

(1）对于任意的直角三角形,如果它的两条直角边分别为a 、b,斜边为c,那么一定有222c b a =+ 勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 (2）结论：

①有一个角是30°的直角三角形,30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ②有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形。 ③直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。 （3）勾股定理的验证

a

b

c

a

b c

a

b c

a

b

c

a

b

a

b

a b

b

a

例题:

例1：已知直角三角形的两边，利用勾股定理求第三边。 （1）在R ｔ△ＡBC 中，∠C=90°

①若ａ=5,b=１2,则c=_________＿_; ②若a=15，c ＝2５,则b ＝____＿______; ③若c=６1,ｂ＝60，则a=_＿_＿____＿＿；

④若a ∶b=3∶4，c ＝1０则Ｒt △A ＢＣ的面积是=____＿___。

(2）如果直角三角形的两直角边长分别为1n 2-,２n(n>1)，那么它的斜边长是（ ) A 、2n ﻩ

B 、n ＋1

ﻩＣ、ｎ2-1 ﻩ

Ｄ、1n 2+

(3)在Rt △AB Ｃ中,ａ,b ，ｃ为三边长,则下列关系中正确的是( ）

A.222a b c +=

B. 222a c b +=

C. 222c b a +=

D.以上都有可能

(4）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是( )

A 、２5

ﻩB 、14 ﻩﻩC 、7ﻩﻩﻩD 、7或２5

例2:已知直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。 (1）直角三角形两直角边长分别为５和12，则它斜边上的高为__＿___＿＿＿_。 (2）已知Rt △ＡBC 中，∠Ｃ=9０°,若a+ｂ=14cm,c=1０cm ，则Rt △ABC 的面积是（ ) A 、242c m ﻩ

B 、3６ 2c m

Ｃ、482c m ﻩﻩＤ、602c m

（3）已知x 、y 为正数,且│x 2－4│+（y 2－3)2=０,如果以x 、y 的长为直角边作一个直角三角形,那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为( )ﻩﻩ

A 、5ﻩﻩ

B 、25ﻩ Ｃ、7 ﻩ D 、１5

例3:探索勾股定理的证明

有四个斜边为c 、两直角边长为ａ,b 的全等三角形,拼成如图所示的五边形,利用这个图形证明勾股定理。

A

B

C

M

D

G

H

F E

考点二:勾股定理的逆定理

（１）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c 有关系，222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。

（2)常见的勾股数:（3n,4n,５n ）,(5n ，１2n,13n),(8n,15n,１7n ）,(７n ，24n,2５n)，（９ｎ,40n,41ｎ)….．(n 为正整数) (3）直角三角形的判定方法:

①如果三角形的三边长ａ,ｂ，c 有关系，222c b a =+,那么这个三角形是直角三角形。 ②有一个角是直角的三角形是直角三角形。 ③两内角互余的三角形是直角三角形。

④如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 例题:

例1：勾股数的应用

(1）下列各组数据中的三个数,可作为三边长构成直角三角形的是( ）

A. ４,5,6

B. 2,３，４

C. 11,1２,13

D. ８，15，17 （2)若线段ａ,b,c 组成直角三角形，则它们的比为( ）

Ａ、2∶3∶４ ﻩ B 、３∶4∶6ﻩ C 、5∶12∶1３ D 、４∶６∶７ 例２：利用勾股定理逆定理判断三角形的形状 （1)下面的三角形中:

①△ABC 中，∠C=∠A-∠B;

②△ＡBC 中，∠A:∠Ｂ：∠C=１:２：3；

③△AＢC中,a：b:c=3:４:5;

④△ABC中,三边长分别为8，15,１７．

其中是直角三角形的个数有( ）．

A．1个Ｂ.２个 C.3个 D．４个

（2）

若三角形的三边之比为:1

2

,则这个三角形一定是（）

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰直角三角形

D.不等边三角形

（3）已知a,b，c为△ABC三边，且满足(a2－b2)(a2＋ｂ2-c2)＝0，则它的形状为（）

A.直角三角形ﻩﻩﻩ

B.等腰三角形

C.等腰直角三角形ﻩﻩﻩﻩ

D.等腰三角形或直角三角形

(4）将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )

A. 钝角三角形

B. 锐角三角形Ｃ. 直角三角形 D. 等腰三角形

（5）若△ABＣ的三边长a,b,ｃ满足222

a b c20012a16b20c

+++=++，试判断△ABＣ的形状。(６）△ABC的两边分别为５,１2,另一边为奇数,且a＋b＋ｃ是３的倍数,则ｃ应为 ,此三角形为。

例３：求最大、最小角的问题

(１）若三角形三条边的长分别是7，24,25，则这个三角形的最大内角是度。

(2）已知三角形三边的比为1

：：２，则其最小角为。

考点三：勾股定理的应用例题：

例1：面积问题

(１)下图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、３，则最大正方形E的面积是( )

A. 13

B. 26 C． 47 Ｄ. ９4

A B

C

D

E

S2

S3

S1

A

B

C

S3

S2

S1