2.7指数与对数

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指数对数概念及运算公式资料

指数对数概念及运算公式指数函数及对数函数重难点根式的概念:①定义：若一个数的 n 次方等于a(n 1,且n N )，则这个数称a 的n 次方根•即,a ，则x 称a 的n 次方根n1且n N )，n. a(a 0).②性质：1)(n a)n a；2 )当n 为奇数时,幕的有关概念:2) (a r )s a rs (a 0,r例求值例.用分数指数幕表示下列分式 (其中各式字母均为正数)(1) Va Va(2) Y a\a\! a (3) V(a b)2 (4) V(a b)3(5) Vab 2 a 2b(6)翠(a 3 b 3)2例.化简求值3)当n 为偶数时,n■-a|a| a(a ( a(a0) 0)1)当n 为奇数时，a 的n 次方根记作：a ；2) 当 n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记①规定: 1)a na (n N ，1(a 0)，3)a p1 —(p aQ, 4)ma n(a0,m 、 N 且 n 1)②性质:s (a0,r 、3) (a b)ra rb r (a 0,b 0,r(注)上述性质对R 均适用.- 1(1)83 (2)25 2(3) 25(4)16 81f(0), f(1), f( 3)的值.0.80.9, c 1.20.8,按大小顺序排列a,b, c .例如图为指数函数(1)y a x ,(2)y b x ,(3)y c x ,(4)y d x ，则a,b, c, d 与1的大小关系为(1) 2 27)3 (0.002)1'10(.. 52)1C.2..3)0(2)1(0.0273)2.532560.125 ( 32卢0.1 1(3)3a 2 a 3：3a 7 3 a 132 11 1 1(4)2a 3b" 6a 2b 3 3a 6b(5)2.3 3156129指数函数的定义:563)当0 a 1时函数为减函数，当 a1时函数为增函数提问 :在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？(1) x 2y 2(2) y x(2) (3) y x2(4) xy(5) y x 2(6) y 4x 2(7) xy x(8) y (a 1)x(a > 1，且 a2)例: 比较下列各题中的个值的大小(1) 1. 72.5 与 1 .73(2 )0.8 0.1 与 0.8 0.2(3 ) 0.31. 7 与3. 10. 9例：已知指数函数 f (x)x /a ( a >0且a 丰1)的图象过点(3， n 函数的值域为(0, ),2) ，求①定义: 函数ya x (a 0,且a 1)称指数函数, 1) 函数的定义域为 R,思考：已知a 0.80.7, b精品资料(A) a b 1 cd (C ) 1 a b c d(B) bald c (D) abide2 1 例若不等式3x 2ax >(^)x+1对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为 ______________33x 12x( 1.f (x )='，贝U f (x )值域为 ______ .31 x 2 x 1,考查分段函数值域•【解析】x € ( —a ,1 ]时,x _ 1 w 0,0<3 w 1,•••— 2<f (x ) w_ 1x € (1,+ a )时，1_x <0,0<31_x <1, •— 2<f (x )< — 1•f (x )值域为(一2, — 1] 【答案】(一2, — 1]例、已知f(e x e x ) e 2x e 2x 2，则函数f (x)的值域是 _____________________________ 例点(2, 1)与(1, 2)在函数f x 2ax b 的图象上，求f x 的解析式例.设函数f(x)2|x 1 |x 1，求使f (x) 2.2的x 取值范围.(I)求a,b 的值;1、函数y 2x 2xA 、奇函数B 、偶函数C 1 2、函数y — 的值域是( )2x 1 A ,1 B 、 ,0 0,、既奇又偶函数 D 、非奇非偶函数3、已知 0 a 1,b A 、第一象限例.求函数yC 、1,D 、( ，1) 0,x1,则函数y ab 的图像必定不经过(B 、第二象限 C、第三象限x 2的值域和单调区间D、第四象限例已知定义域为 R 的函数f (x))21 b是奇函数。

自然对数与常用对数

自然对数与常用对数对数的概念:logarithms 1、常用对数:以10为底的对数称为常用对数，记作2、自然对数:以e=2.7 L为底的对数称为自然对数，记作3、常用对数与自然对数的关系:式中M称为模数，4、常用对数首数求法:若真数大于1，则对数的首数为正数或零，其值比1、常用对数:以10为底的对数称为常用对数，记作2、自然对数:以e=2.7 L为底的对数称为自然对数，记作3、常用对数与自然对数的关系:式中M称为模数，4、常用对数首数求法:若真数大于1，则对数的首数为正数或零，其值比整数位数少1.若真数小于1，则对数的首数为负数，其绝对值等于真数首位有效数字前面0的个数(包括小数点前的那个0).对数的尾数由对数表查出.更多对数相关知识点，请看:对数的性质与运算法则如果b^n=x，则记n=log(b)(x)。

其中，b叫做"底数"，x叫做"真数"，n叫做"以b为底的x的对数"。

log(b)(x)函数中x的定义域是x 0，零和负数没有对数;b的定义域是b 0且b?1对数的历史:对数是中学初等数学中的重要内容，那么当初是谁首创"对数"这种高级运算的呢?在数学史上，一般认为对数的发明者是十六世纪末到十七世纪初的苏格兰数学家--纳皮尔(Napier，1550-1617年)男爵。

在纳皮尔所处的年代，哥白尼的"太阳中心说"刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科。

可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的"天文数字"，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间。

纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数。

当然，纳皮尔所发明的对数，在形式上与现代数学中的对数理论并不完全一样。

在纳皮尔那个时代，"指数"这个概念还尚未形成，因此纳皮尔并不是像现行代数课本中那样，通过指数来引出对数，而是通过研究直线运动得出对数概念的。

数学：2.2.2《对数函数及其性质》教案(新人教版A必修1)

2.2.2对数函数及其性质一、教学内容分析《普通高中课程标准数学教科书·必修（1）》（人民教育出版社）高中一年级第二单元2.2.2《对数函数的图象和性质》第一课时。

函数是高中数学的主体内容——变量数学的主要研究对象之一，是中学数学的重点知识，研究函数的一般理论和基本方法，用函数的思想方法解决实际问题，是函数教学的主要目标。

必修(Ⅰ)2.2.2对数函数及其性质，按课标要求教学时间为3个学时，本节课为第1课时，本节课教学是学生在学过正比例函数、一次函数、二次函数、反比例函数和指数函数的基础上进一步学习的一种新函数，对对数函数概念的理解，图象和性质的掌握和应用有利于学生对初等函数认识的系统性，有利于进一步加深对函数思想方法的理解。

为后面进一步探究对数函数的应用及指数函数、对数函数的综合应用起到承上启下的作用。

二、学情与教材分析对数函数是高中引进的第二个初等函数，是本章的重点内容。

学生在前面的函数性质、指数函数学习的基础上，用研究指数函数的方法，进一步研究和学习对数函数的概念、图象和性质以及初步应用，有利于学生进一步完善初等函数的认识的系统性，加深对函数的思想方法的理解，在教学过程中，虽然学生的认知水平有限，但只要让学生体验对数函数来源于实践，通过教师课件的演示，通过数形结合，让学生感受y=log a x(a>0且a≠1)中，a取不同的值时反映出不同的函数图象，让学生观察、小组讨论、发现、归纳出图象的共同特征、函数图象的规律，进而探究学习对数函数的性质。

最后将对数函数、指数函数的图象和性质进行比较，以便加深对对数函数的概念、图象和性质的理解，同时也为后面教学作准备。

三、设计思想在本节课的教学过程中，通过古遗址上死亡生物体内碳14含量与生物死亡年代关系的探索，引出对数函数的概念。

通过对底数a的分类讨论，探究总结出对数函数的图象与性质，使学生经历从特殊到一般的过程，体验知识的产生、形成过程，通过例题的分析与练习，进一步培养学生自主探索，合作交流的学习方式，通过学生经历直观感知，观察、发现、归纳类比，抽象概括等思维过程，落实培养学生积极探索学习习惯，提高学生的数学思维能力的新课程理念。

指数与对数的基本关系总结

指数与对数的基本关系总结在数学的广袤领域中，指数与对数是两个极为重要的概念，它们之间存在着紧密而又奇妙的关系。

理解和掌握这些关系，对于解决各种数学问题，以及深入理解数学的本质都具有至关重要的意义。

首先，让我们来认识一下指数。

指数是表示一个数自乘若干次的形式。

比如说，2 的 3 次方，写成数学表达式就是 2³，它表示 2 乘以自己3 次，即 2×2×2 ＝ 8。

在指数表达式aⁿ 中，a 被称为底数，n 被称为指数。

接下来，再看看对数。

对数是指数的逆运算。

如果aⁿ ＝ b，那么我们就说 n 是以 a 为底 b 的对数，记作logₐb ＝ n。

例如，因为 2³＝ 8，所以 log₂8 ＝ 3。

指数和对数之间存在着一些基本的关系。

其中最基础也是最重要的一个关系就是：a^（logₐb) ＝ b 以及logₐ(aⁿ) ＝ n 。

这两个关系式表明了指数运算和对数运算的相互转换。

以 10 为底的常用对数是我们在实际应用中经常会遇到的。

比如，log₁₀100 ＝ 2，因为 10²＝ 100。

还有自然对数，是以无理数 e （约等于 271828）为底数的对数，记作 ln。

例如，ln e ＝ 1，因为 e¹＝ e 。

指数函数和对数函数的图像也是理解它们关系的重要途径。

指数函数 y ＝aⁿ（a ＞ 0 且a ≠ 1）的图像，当 a ＞ 1 时，函数单调递增；当 0 ＜ a ＜ 1 时，函数单调递减。

而对数函数 y ＝logₐx（a ＞ 0 且a ≠ 1）的图像，当 a ＞ 1 时，在定义域上单调递增；当 0 ＜ a ＜ 1 时，在定义域上单调递减。

指数和对数的运算性质也有很多相似之处。

比如，对于指数，aⁿ ×aᵐ＝aⁿ⁺ᵐ，（aⁿ)ᵐ＝aⁿᵐ；对于对数，logₐ(MN) ＝logₐM ＋logₐN ，logₐ(Mⁿ) ＝n logₐM 。

在解决实际问题中，指数和对数的关系常常发挥着关键作用。

高考北师大版数学总复习课件：2.7对数与对数函数

2 2 2 2
所以 1<y< x.
4．(文 )已知函数 f(x)＝ log2(x＋ 1)，若 f(a)＝ 1，则 a＝ ( A． 0 C． 1 B． 1 D． 3
)
[答案] B
[解析] 本题考查了指对数的运算．由题意知，f(a)＝ log2(a＋ 1)＝ 1，∴ a＋ 1＝2，∴ a＝ 1.
(理 )若函数 y＝f(x)是函数 y＝ ax(a>0，且 a≠ 1)的反函数，其图像经过点( a ， a)，则 f(x)＝ ( A． log2x 1 C. x 2 ) B． log1 x
2
D． x2
[答案] B
[解析] 考查反函数的概念，指对函数的关系及对数的运算性质．函数 y＝ ax 的反函数是 f(x)＝ logax， 1 ∵其图像经过点 ( a， a)，∴ a＝loga a ，∴ a＝， 2 ∴ f(x)＝ log1 x.
2
5． [(1－ log63)2＋ log62· log 618]÷log64＝ ________.
logaN lgN
lnN
2.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ① alogaN＝ N ；②logaaN＝ N (a>0 且 a≠ 1)． (2)对数的重要公式
logaN logbN＝ logab (a，b 均大于零且不等于 1)； ①换底公式：
1 ②logab＝，推广 logab· logbc· logc d＝ logad . logba
图像
a >1 (1)定义域： (0，＋∞) (2)值域： (－∞，＋∞) 性 (3)过点 (1,0) ，即 x＝ 1 时， y＝ 0 质 (4)当 x >1 时， y>0 当 0<x <1 时， y<0

《2.7第七节对数与对数函数》教案

教学过程一、课堂导入问题1：某种细胞分裂时，由一个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个，依此类推，当细胞个数为x时，细胞分裂次数y与x之间的关系式是什么？y是关于x的函数吗？问题2：《庄子-天下篇》中有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，试问当木棰剩余部分长度为x时，被截取的次数y 与x之间的关系式是什么？二、复习预习1.指数幂的运算法则2.指数函数的概念、指数函数的图象与性质3.与指数函数有关的复合函数问题的处理方法三、知识讲解考点1 对数的定义如果a x＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．考点2 对数的性质与运算(1)对数的性质(a>0且a≠1)：①log a1＝0；②log a a＝1；③a log a N＝N.(2)对数的换底公式：log a b＝log c blog c a(a，c均大于零且不等于1)．(3)对数的运算法则：如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①log a(M·N)＝log a M＋log a N，②log a MN＝log a M－log a N，③log a M n＝n log a M(n∈R)．考点3 对数函数的图象与性质考点4 反函数指数函数y＝a x(a>0且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．四、例题精析【例题1】【题干】求解下列各题：(1)12lg3249－43lg 8＋lg 245＝________；(2)若3a＝2，则2log36－log316＝________；(3)已知x，y，z都是大于1的正数，m>0，且log x m＝24，log y m＝40，log xyz m＝12，则log z m的值为________．【答案】(1)12(2)2－2a (3)60【解析】 (1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245＝12×(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(lg 5＋2lg 7) ＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋12lg 5＋lg 7＝12lg 2＋12lg 5＝12lg(2×5)＝12. (2)因为3a ＝2，所以a ＝log 32.故2log 36－log 316＝2(log 33＋log 32)－log 324＝2(1＋a )－4log 32＝2＋2a －4a ＝2－2a . (3)由已知可得log m x ＝124，log m y ＝140，log m (xyz )＝112，于是log m z ＝log m (xyz )－log m x －log m y ＝112－124－140＝160，故log z m ＝60.【例题2】【题干】（1）已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x －log 3x ，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0<x 1<x 0，则f (x 1)的值( )A ．不小于0B ．恒为正数C ．恒为负数D ．不大于0（2）设a ，b ，c 均为正数，且2a ＝log 12a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＝log 12b ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ＝log 2c ，则( )A ．a log 3x 1，所以f (x 1)的值恒为正数．（2）如图，在同一坐标系中，作出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，y ＝2x ，y ＝log 2x 和log 12x 的图象．由图象可知a 0，x ＋1>0，得－1<x <1. 由0<lg(2－2x )－lg(x ＋1)＝lg 2－2x x ＋1<1 得1<2－2x x ＋1<10. 因为x ＋1>0，所以x ＋1<2－2x <10x ＋10，解得－23<x <13.由⎩⎪⎨⎪⎧ －1<x <1，－23<x <13，得－23<x <13.(2)当x ∈[1,2]时，2－x ∈[0,1]，因此y ＝g (x )＝g (x －2)＝g (2－x )＝f (2－x )＝lg(3－x )．即函数y ＝g (x )(x ∈[1,2])的解析式为g (x )＝lg(3－x )，x ∈[1,2]．【例题4】【题干】(2012·新课标全国卷)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 C ．(1，2)D ．(2，2)【答案】B【解析】 ∵0<x ≤12，∴4x >1又4x <log a x ，∴a ∈(0,1)则函数y ＝4x 与y ＝log a x 的大致图象如图所示．∴只需满足log a 12>2即可，解之得a >22，∴22<a <1.四、课堂运用【基础】1．已知函数f(x)＝lg 1－x1＋x，若f(a)＝b，则f(－a)等于()A.1b B．－1bC．－b D．b解析：选C易知f(x)的定义域为(－1,1)，则f(－x)＝lg 1＋x1－x＝－lg1－x1＋x＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．∴f(－a)＝－f(a)＝－b.2．已知函数f(x)＝log a|x|在(0，＋∞)上单调递增，则() A．f(3)<f(－2)<f(1)B．f(1)<f(－2)<f(3)C．f(－2)<f(1)<f(3)D．f(3)<f(1)<f(－2)解析：选B因为f(x)＝log a|x|在(0，＋∞)上单调递增，所以a>1，f(1)<f(2)<f(3)．又函数f(x)＝log a|x|为偶函数，所以f(2)＝f(－2)，所以f(1)<f(－2)<f(3)．3．(2013·丹东模拟)函数y＝log2(x2＋1)－log2x的值域是() A．[0，＋∞) B．(－∞，＋∞)C．[1，＋∞) D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析：选C y ＝log 2(x 2＋1)－log 2x ＝log 2x 2＋1x＝ log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ≥log 22＝1(x >0)．【巩固】4．(2012·北京高考)已知函数f(x)＝lg x．若f(ab)＝1，则f(a2)＋f(b2)＝________.解析：∵f(x)＝lg x，f(ab)＝1.∴lg(ab)＝1.∴f(a2)＋f(b2)＝lg a2＋lg b2＝2lg a＋2lg b＝2lg(ab)＝2. 答案：25．若不等式x 2－log a x <0在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内恒成立，则a 的取值范围是________．解析：∵不等式x 2－log a x <0在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内恒成立，∴0<a <1，且14<log a 12.∴⎩⎨⎧ 0<a <1，a 14>12，解得116<a <1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫116，1【拔高】6．已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋2kx(k∈R)是偶函数．(1)求k的值；(2)若方程f(x)＝m有解，求m的取值范围．解：(1)由函数f (x )是偶函数，可知f (x )＝f (－x )，∴log 4(4x ＋1)＋2kx ＝log 4(4－x ＋1)－2kx ，即log 4 4x ＋14－x ＋1＝－4kx . ∴log 4 4x ＝－4kx ，即x ＝－4kx ，即(1＋4k )x ＝0，对一切x ∈R 恒成立．∴k ＝－14.(2)由m ＝f (x )＝log 4(4x ＋1)－12x ＝log 4 4x ＋12x ＝log 4⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋12x ， ∵2x ＋12x ≥2，∴m ≥log 42＝12. 故要使方程f (x )＝m 有解，m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.7．设函数y＝f(x)且lg(lg y)＝lg(3x)＋lg(3－x)．(1)求f(x)的解析式及定义域；(2)求f(x)的值域；(3)讨论f(x)的单调性．解：(1)lg(lg y )＝lg[3x ·(3－x )]，∴lg y ＝3x ·(3－x )．∴f (x )＝103x (3－x )且⎩⎨⎧3x >0，3－x >0，⇒0<x <3. (2)∵f (x )＝103x (3－x )，设u ＝3x (3－x )＝－3x 2＋9x ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋274，则f (x )＝10u ，当x ＝32∈(0,3)时，u max ＝274， ∴u ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，274.∴f (x )∈(1,10274]． (3)当0<x ≤32时，u ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋274是增函数，而y ＝10u 为增函数，∴在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32上，f (x )是增函数，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，3上，f (x )是减函数．课程小结1.在运用性质log a M n＝n log a M时，要特别注意条件，在无M>0的条件下应为log a M n＝n log a|M|(n∈N*，且n为偶数)．2．对数值取正、负值的规律：当a>1且b>1，或0<a<1且0<b<1时，log a b>0；当a>1且0<b<1，或0<a<1且b>1时，log a b<0.3．对数函数的定义域及单调性：在对数式中，真数必须大于0，所以对数函数y＝log a x的定义域应为{x|x>0}．对数函数的单调性和a的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0<a<1和a>1进行分类讨论．。

2023年高考数学一轮复习(新高考1) 第2章 §2.7 对数与对数函数

§2.7 对数与对数函数考试要求 1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数．知识梳理 1．对数的概念一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．以10为底的对数叫做常用对数，记作lg N . 以e 为底的对数叫做自然对数，记作ln N . 2．对数的性质与运算性质(1)对数的性质：log a 1＝0，log a a ＝1，log a Na ＝N (a >0，且a ≠1，N >0)．(2)对数的运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R )．(3)换底公式：log a b ＝log c blog c a (a >0，且a ≠1，b >0，c >0，且c ≠1)．3．对数函数的图象与性质y ＝log a xa >10<a <1图象定义域 (0，＋∞)值域R性质过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0当x >1时，y >0；当0<x <1时，当x >1时，y <0；当0<x <1时，y <0y >0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．常用结论1．log a b ·log b a ＝1，log nm b a ＝n m log a b .2．如图给出4个对数函数的图象则b >a >1>d >c >0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大． 3．对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象恒过点(1,0)，(a,1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1. 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( × )(2)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × ) (3)函数y ＝log a 1＋x1－x 与函数y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )是同一个函数．( × )(4)函数y ＝log 2x 与y ＝121log x的图象重合．( √ ) 教材改编题1．函数y ＝log a (x －2)＋2(a >0且a ≠1)的图象恒过定点．答案 (3,2) 解析 ∵log a 1＝0，令x －2＝1，∴x ＝3， ∴y ＝log a 1＋2＝2，∴原函数的图象恒过定点(3,2)． 2．计算：(log 29)·(log 34)＝ .答案 4解析 (log 29)·(log 34)＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2lg 3＝4.3．若函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a ＝ . 答案 12或2解析当a >1时，log a 4－log a 2＝log a 2＝1， ∴a ＝2；当0<a <1时，log a 2－log a 4＝－log a 2＝1， ∴a ＝12，综上有a ＝12或2.题型一对数式的运算例1 (1)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m 等于( )A.10 B ．10 C ．20 D ．100 答案 A解析 2a ＝5b ＝m ， ∴log 2m ＝a ，log 5m ＝b ，∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5 ＝log m 10＝2， ∴m 2＝10，∴m ＝10(舍m ＝－10)． (2)计算：log 535＋122log 2log 5150－log 514＝ .答案 2解析原式＝log 535－log 5150－log 514＋212log 2＝log 535150×14＋12log 2 ＝log 5125－1＝log 553－1＝3－1＝2.教师备选计算：(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64＝ .答案 1 解析原式＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 663·log 6(6×3)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.思维升华解决对数运算问题的常用方法 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简． (2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．跟踪训练1 (1)已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＋b ＝ .答案 6解析设log b a ＝t ，则t >1，因为t ＋1t ＝52，所以t ＝2，则a ＝b 2.又a b ＝b a ，所以b 2b ＝2b b ，即2b ＝b 2，又a >b >1，解得b ＝2，a ＝4. 所以a ＋b ＝6.(2)计算：lg 25＋lg 50＋lg 2·lg 500＋(lg 2)2＝ . 答案 4解析原式＝2lg 5＋lg(5×10)＋lg 2·lg(5×102)＋(lg 2)2 ＝2lg 5＋lg 5＋1＋lg 2·(lg 5＋2)＋(lg 2)2 ＝3lg 5＋1＋lg 2·lg 5＋2lg 2＋(lg 2)2＝3lg 5＋2lg 2＋1＋lg 2(lg 5＋lg 2) ＝3lg 5＋2lg 2＋1＋lg 2 ＝3(lg 5＋lg 2)＋1 ＝4.题型二对数函数的图象及应用例2 (1)已知函数f (x )＝log a (2x ＋b －1)(a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是( )A ．0<a －11.函数图象与y 轴的交点坐标为(0，log a b )，由函数图象可知－1<log a b <0，解得1a <b <1.综上有0<1a<b <1.(2)若方程4x ＝log a x 在⎝⎛⎦⎤0，12上有解，则实数a 的取值范围为．答案 ⎝⎛⎦⎤0，22解析若方程4x ＝log a x 在⎝⎛⎦⎤0，12上有解，则函数y ＝4x 和函数y ＝log a x 在⎝⎛⎦⎤0，12上有交点，由图象知⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，log a 12≤2，解得0<a ≤22. 教师备选已知x 1，x 2分别是函数f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x －2的零点，则1e x ＋ln x 2的值为( ) A ．e 2＋ln 2 B ．e ＋ln 2 C ．2D ．4答案 C解析根据题意，已知x1，x2分别是函数f(x)＝e x＋x－2，g(x)＝ln x＋x－2的零点，函数f(x)＝e x＋x－2的零点为函数y＝e x的图象与y＝2－x的图象的交点的横坐标，则两个函数图象的交点为(x1，1e x)，函数g(x)＝ln x＋x－2的零点为函数y＝ln x的图象与y＝2－x的图象的交点的横坐标，则两个函数图象的交点为(x2，ln x2)，又由函数y＝e x与函数y＝ln x互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，而直线y＝2－x也关于直线y＝x对称，则点(x1，1e x)和(x2，ln x2)也关于直线y＝x对称，则有x1＝ln x2，则有1e x＋ln x2＝1e x＋x1＝2.思维升华对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．跟踪训练2(1)已知函数f(x)＝log a x＋b的图象如图所示，那么函数g(x)＝a x＋b的图象可能为()答案 D解析结合已知函数的图象可知， f (1)＝b <－1，a >1，则g (x )单调递增，且g (0)＝b ＋1<0，故D 符合题意．(2)(2022·广州调研)设x 1，x 2，x 3均为实数，且1e x -＝ln x 1，2e x -＝ln(x 2＋1)，3e x -＝lg x 3，则( ) A ．x 1<x 2<x 3 B ．x 1<x 3<x 2 C ．x 2<x 3<x 1 D ．x 2<x 1<x 3答案 D解析画出函数y ＝⎝⎛⎭⎫1e x ，y ＝ln x ，y ＝ln(x ＋1)，y ＝lg x 的图象，如图所示．数形结合，知x 2<x 1<x 3.题型三对数函数的性质及应用命题点1 比较指数式、对数式大小例3 (1)设a ＝log 3e ，b ＝e 1.5，c ＝131log 4，则( ) A ．b <a <c B ．c <a log 3e ＝a . 又c ＝log 34<log 39＝2，b ＝e 1.5>2， ∴a <c <b .(2)(2022·昆明一中月考)设a ＝log 63，b ＝log 126，c ＝log 2412，则( )A ．b <c <aB ．a <c <bC ．a log 62>log 122，即1a >1b >1c ，所以a 0，a ≠1)，则实数a 的取值范围是．答案 ⎝⎛⎭⎫14，1解析依题意log a (a ＋1)<log a (2a )<log a 1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，a ＋1<2a <1或⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a ＋1>2a >1，解得14<a <1.命题点3 对数性质的应用例5 (2020·全国Ⅱ)设函数f (x )＝ln|2x ＋1|－ln|2x －1|，则f (x )( ) A ．是偶函数，且在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递增 B ．是奇函数，且在⎝⎛⎭⎫－12，12上单调递减C ．是偶函数，且在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上单调递增 D ．是奇函数，且在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上单调递减答案 D解析 f (x )＝ln|2x ＋1|－ln|2x －1|的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠±12. 又f (－x )＝ln|－2x ＋1|－ln|－2x －1| ＝ln|2x －1|－ln|2x ＋1|＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数，故排除A ，C. 当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－12时， f (x )＝ln(－2x －1)－ln(1－2x )＝ln －2x －11－2x＝ln 2x ＋12x －1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22x －1，∵y ＝1＋22x －1在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上单调递减， ∴由复合函数的单调性可得f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上单调递减．教师备选1．(2022·安徽十校联盟联考)已知a ＝log 23，b ＝2log 53，c ＝13log 2，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a >c >b B ．a >b >c C ．b >a >c D ．c >b >a答案 B解析 ∵a ＝log 23>1，b ＝2log 53＝log 59>1， c ＝13log 2<0，∴a b ＝log 23log 59＝lg 3lg 2×lg 5lg 9＝lg 3lg 2×lg 52lg 3 ＝lg 52lg 2＝lg 5lg 4＝log 45>1， ∴a >b ，∴a >b >c .2．若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上单调递减，则a 的取值范围为( ) A ．[1,2) B ．[1,2] C ．[1，＋∞) D ．[2，＋∞)答案 A解析令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数f (x )在(－∞，1]上单调递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1,2)．思维升华求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．跟踪训练3 (1)若实数a ，b ，c 满足log a 2<log b 2<log c 2<0，则下列关系中正确的是( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．c 1时，函数f (x )＝log a x 在[2，＋∞)上单调递增，无最值，不满足题意，故0<a <1.当x ≥2时，函数f (x )＝log a x 在[2，＋∞)上单调递减，f (x )≤f (2)＝log a 2；当0<x <2时，f (x )＝－log a x －4在(0,2)上单调递增，f (x )<f (2)＝－log a 2－4，则log a 2≥－log a 2－4，即log a 2≥－2＝log a a －2，即1a 2≥2,0<a ≤22，故实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，22. (3)(2022·潍坊模拟)已知f (x )＝1＋log 3x (1≤x ≤9)，设函数g (x )＝f 2(x )＋f (x 2)，则g (x )max －g (x )min＝ .答案 5解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤x ≤9，1≤x 2≤9，∴1≤x ≤3，∴g (x )的定义域为[1,3]，g (x )＝f 2(x )＋f (x 2)＝(1＋log 3x )2＋1＋log 3x 2＝(log 3x )2＋4log 3x ＋2，设t ＝log 3x ，则0≤t ≤1，则y ＝t 2＋4t ＋2＝(t ＋2)2－2，在[0,1]上单调递增，∴当t ＝0即x ＝1时，g (x )min ＝2，当t ＝1即x ＝3时，g (x )max ＝7，∴g (x )max －g (x )min ＝5.课时精练1．(2022·重庆巴蜀中学月考)设a ＝12，b ＝log 75，c ＝log 87，则( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >b >aD ．c >a >b答案 D解析 a ＝12＝log 77>b ＝log 75，c ＝log 87>log 88＝12＝a ，所以c >a >b .2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数且f (2)＝1，则f (x )等于() A ．log 2x B.12x C ．12log x D ．2x －2答案 A解析函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数是f (x )＝log a x ，又f (2)＝1，即log a 2＝1，所以a ＝2.故f (x )＝log 2x .3．(2022·昆明模拟)我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系．一般地，声音的强度用(W/m 2)表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L 1＝10 lg I I 0(单位：分贝，L 1≥0，其中I 0＝1×10－12是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端)．某新建的小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，则声音强度I 的取值范围是( )A ．(－∞，10－7)B ．[10－12，10－5)C ．[10－12，10－7)D ．(－∞，10－5)答案 C解析由题意可得，0≤10·lg I I 0<50，即0≤lg I －lg(1×10－12)<5，所以－12≤lg I <－7，解得10－12≤I <10－7，所以声音强度I 的取值范围是[10－12,10－7)．4．设函数f (x )＝()212log ,0,log ,0.x x x x >⎧⎪⎨-<⎪⎩若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)答案 C解析由题意得2120,log log a a a >⎧⎪⎨>⎪⎩ 或()()1220,log log a a a <⎧⎪⎨->-⎪⎩ 解得a >1或－1<a <0.5. (多选)函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >1B ．0<c <1C ．0<a <1D ．c >1答案 BC解析由图象可知函数为减函数，∴0<a <1，令y ＝0得log a (x ＋c )＝0，x ＋c ＝1，x ＝1－c ，由图象知0<1－c <1，∴0<c <1.6．(多选)已知函数f (x )＝ln(e 2x ＋1)－x ，则( )A ．f (ln 2)＝ln 52B ．f (x )是奇函数C ．f (x )在(0，＋∞)上单调递增D ．f (x )的最小值为ln 2答案 ACD解析 f (ln 2)＝ln(e 2ln 2＋1)－ln 2＝ln 52，故A 项正确；f (x )＝ln(e 2x ＋1)－x ＝ln(e 2x ＋1)－ln e x＝ln e 2x ＋1e x ＝ln(e x ＋e －x )，所以f (－x )＝ln(e x ＋e －x )，所以f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数，故B 项错误；当x >0时，y ＝e x ＋e －x 在(0，＋∞)上单调递增，因此y ＝ln(e x ＋e －x )在(0，＋∞)上单调递增，故C 项正确；由于f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (x )为偶函数，所以f (x )在(－∞，0]上单调递减，所以f (x )的最小值为f (0)＝ln 2，故D 项正确．7．(2022·海口模拟)log 327＋lg 25＋lg 4＋27log 7＋138的值等于．答案 152 解析原式＝323log 3＋lg 52＋lg 22＋2＋1332⨯ ＝32＋2lg 5＋2lg 2＋2＋2 ＝32＋2(lg 5＋lg 2)＋2＋2 ＝32＋2＋2＋2 ＝152. 8．函数f (x )＝log 2x ·()2x 的最小值为．答案－14 解析依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝⎛⎭⎫log 2x ＋122－14≥－14，当log 2x ＝－12，即x ＝22时等号成立，所以函数f (x )的最小值为－14. 9．设f (x )＝log 2(a x －b x )，且f (1)＝1，f (2)＝log 212.(1)求a ，b 的值；(2)当x ∈[1,2]时，求f (x )的最大值．解 (1)因为f (x )＝log 2(a x －b x )，且f (1)＝1，f (2)＝log 212，所以⎩⎪⎨⎪⎧ log 2(a －b )＝1，log 2(a 2－b 2)＝log 212，即⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝2，a 2－b 2＝12，解得a ＝4，b ＝2.(2)由(1)得f (x )＝log 2(4x －2x )，令t ＝4x －2x ，则t ＝4x －2x ＝⎝⎛⎭⎫2x －122－14，因为1≤x ≤2，所以2≤2x ≤4，所以94≤⎝⎛⎭⎫2x －122≤494，即2≤t ≤12，因为y ＝log 2t 在[2,12]上单调递增，所以y max ＝log 212＝2＋log 23，即函数f (x )的最大值为2＋log 23.10．(2022·枣庄模拟)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1.(1)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(2)当a >1时，求使f (x )>0的x 的解集．解 (1)f (x )是奇函数，证明如下：因为f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1，f (x )的定义域为(－1,1)．f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (1＋x )－log a (－x ＋1)]＝－f (x )，故f (x )是奇函数．(2)因为当a >1时，y ＝log a (x ＋1)是增函数，y ＝log a (1－x )是减函数，所以当a >1时，f (x )在定义域(－1,1)内是增函数，f (x )>0即log a (x ＋1)－log a (1－x )>0，log a x ＋11－x >0，x ＋11－x >1，2x 1－x >0，2x (1－x )>0，解得0<x <1，故使f (x )>0的x 的解集为(0,1)．11．设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( )A ．a ＋b <ab <0B ．ab <a ＋b <0C ．a ＋b <0<abD ．ab <0<a ＋b答案 B解析 ∵a ＝log 0.20.3>log 0.21＝0，b ＝log 20.3<log 21＝0，∴ab <0. ∵a ＋b ab ＝1a ＋1b＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4， ∴1＝log 0.30.3>log 0.30.4>log 0.31＝0，∴0<a ＋b ab<1，∴ab <a ＋b <0. 12．若实数x ，y ，z 互不相等，且满足2x ＝3y ＝log 4z ，则( )A ．z >x >yB ．z >y >xC ．x >y ，x >zD ．z >x ，z >y 答案 D解析设2x ＝3y ＝log 4z ＝k >0，则x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝4k ，根据指数、对数函数图象易得4k >log 2k ，4k >log 3k ，即z >x ，z >y .13．(2022·沈阳模拟)函数f (x )＝|log 3x |，若正实数m ，n (m <n )满足f (m )＝f (n )，且f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，则n －m 等于( ) A.83 B.809 C.154 D.25516答案 A解析 ∵f (x )＝|log 3x |，正实数m ，n (m <n )满足f (m )＝f (n )，∴0<m <1<n ，且|log 3m |＝|log 3n |，∴log 3m ＝－log 3n ，∴log 3m ＋log 3n ＝0，解得mn ＝1，又∵f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，易知f (m 2)＝－log 3m 2＝2，此时⎩⎪⎨⎪⎧m ＝13，n ＝3，∴n －m ＝83. 14．(2022·惠州模拟)若函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫x 2－ax ＋12有最小值，则实数a 的取值范围是．答案 (1，2)解析令u ＝x 2－ax ＋12＝⎝⎛⎭⎫x －a 22＋12－a 24，则u 有最小值12－a 24，欲使函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫x 2－ax ＋12有最小值，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >1，12－a 24>0，解得1<a <2，即实数a 的取值范围为(1，2)．15．(2022·丽水模拟)已知log a (a ＋1)<log (a ＋1)a (a >0且a ≠1)，则a 的取值范围是．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋52，1 解析 ∵log a (a ＋1)－log (a ＋1)a＝lg (a ＋1)lg a －lg a lg (a ＋1)＝lg 2(a ＋1)－lg 2a lg a lg (a ＋1)＝[lg (a ＋1)－lg a ][lg (a ＋1)＋lg a ]lg a lg (a ＋1)当a >1时，lg(a ＋1)>lg a >0，∴log a (a ＋1)>log (a ＋1)a ，不符合题意；当0<a <1时，lg a <0，lg(a ＋1)>0， lg(a ＋1)－lg a ＝lg a ＋1a>lg 1＝0， lg(a ＋1)＋lg a ＝lg [a (a ＋1)]＝lg ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a ＋122－14， ∴log a (a ＋1)<log (a ＋1)a (0<a <1)即为lg ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a ＋122－14>0，由于y ＝lg x (x >0)单调递增，∴⎝⎛⎭⎫a ＋122－14>1. 又0<a <1，解得－1＋52<a <1，综上有a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋52，1. 16．已知函数f (x )＝log 2(2x ＋k )(k ∈R )．(1)当k ＝－4时，解不等式f (x )>2；(2)若函数f (x )的图象过点P (0,1)，且关于x 的方程f (x )＝x －2m 有实根，求实数m 的取值范围．解 (1)当k ＝－4时，f (x )＝log 2(2x －4)．由f (x )>2，得log 2(2x －4)>2，得2x －4>4，得2x >8，解得x >3.故不等式f (x )>2的解集是(3，＋∞)．(2)因为函数f (x )＝log 2(2x ＋k )(k ∈R )的图象过点P (0,1)，所以f (0)＝1，即log 2(1＋k )＝1，解得k ＝1.所以f (x )＝log 2(2x ＋1)．因为关于x 的方程f (x )＝x －2m 有实根，即log 2(2x ＋1)＝x －2m 有实根．所以方程－2m ＝log 2(2x ＋1)－x 有实根．令g (x )＝log 2(2x ＋1)－x ，则g (x )＝log 2(2x ＋1)－x＝log 2(2x ＋1)－log 22x＝log 22x ＋12x ＝log 2⎝⎛⎭⎫1＋12x . 因为1＋12x >1，log 2⎝⎛⎭⎫1＋12x >0，所以g (x )的值域为(0，＋∞)．所以－2m >0，解得m <0.所以实数m 的取值范围是(－∞，0)．。

2023版高考数学一轮总复习第二章函数2.7函数的应用第2课时函数模型及其应用课件

70 ≈100r.
若 r＝3%，f(x)≥2a，则 x 的最小整数值为
()
A. 22
B. 25
C. 23
D. 24
解：依题意可得
a(1＋3%)x≥2a，即
ln2
0.693
x≥ln（1＋3%）≈ 3%
15≈1007×03%＝730≈23.
2. 三种函数模型性质比较
性质
在(0，＋∞) 上的单调性
增长速度
图象的变化
y＝ax(a＞1)
增函数
越来越快随 x 值增大，
图象与 y 轴接近平行
函数 y＝logax(a＞1)
增函数
越来越慢随 x 值增大，
图象与 x 轴接近平行
y＝xn(n＞0) 增函数
相对平稳随 n 值变化而不同
3. 用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程 (1)分析和理解实际问题的增长情况(是“对数增长”“直线上升”还是“指数爆炸”或其他)； (2)根据增长情况选择函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题； (3)通过运算、推理求解函数模型； (4)用得到的函数模型描述实际问题的变化规律、解决有关问题.
利息与本金加在一起作为本金，再计算下一期利息. 假设最开始本金f(x).
若
f(x)≥2a，则
a(1＋r)x≥2a，解得
ln2 x≥ln（1＋r）.
银行业中经常
使用“70 原则”，因为 ln2≈0. 693 15，而且当 r 比较小时，ln(1＋r)≈r，所以ln（l1n＋2 r）≈0.69r3 15
≈3α3，则 r 的近似值为
()
A.
MM21R
B.
2MM21R
C. 3 3MM12R

对数与指数的关系

对数与指数是数学中两个非常重要且密切相关的概念。

在数学中，我们常常会遇到非常大或非常小的数字，而使用对数和指数的概念可以方便地表示和计算这些数字。

首先，让我们来了解一下指数的概念。

指数是数学运算中的一种表示方式，用于表示一个数字被乘以自身多少次。

例如，2的平方就是2乘以2，结果为4，这里2就是底数，2是指数。

我们可以将指数看作是重复自身的次数。

接下来，让我们来看一下对数的概念。

对数是指一个数在某个底数下的指数。

换句话说，对数是指数字多少次方等于一个数。

我们可以用对数来表示一个指数。

对数与指数之间有着密切的关系，它们可以互相转化。

具体地说，如果使用底数为a的对数将b表示为x，那么我们可以将这条等式表示为a的x次方等于b。

换句话说，x就是将底数a进行几次乘法运算得到数字b。

我们可以通过一个简单的例子来理解对数与指数之间的关系。

假设我们要求解8的对数。

根据对数的定义，我们可以得到一个等式2的x次方等于8。

很明显，x的值是3，因为2的3次方等于8。

因此，我们可以说log2(8)=3，其中log2表示底数为2的对数。

对数和指数的关系还体现在它们的运算中。

当我们对指数进行加、减、乘、除等操作时，对应的对数也会有相应的操作。

例如，(a的x次方)乘以(a的y次方)等于a的(x+y)次方，而对应的对数表示为loga(b)+loga(c)=loga(b*c)。

除了加、减、乘、除，对数和指数之间还有其他一些运算规则。

例如，如果a的x次方等于b，那么a的y次方等于b的多少次方？根据对数和指数之间的关系，我们可以得到一个等式，即y=loga(b)/loga(a)。

这就是对数和指数之间的换底公式。

在科学和工程领域中，对数和指数也有着广泛的应用。

例如，在计算机科学中，我们经常用对数来衡量算法的复杂性，以及数据结构的性能。

在物理学中，对数和指数经常用来表示非常大或非常小的物理量，例如宇宙中的星球质量、原子的能量等。

总之，对数与指数在数学中是非常重要且密切相关的概念。

对数的概念与运算(Ⅰ)-

注：指数式和对数式表示的是同样的三者之间的关系，只是表示形式不同而指数式和对数式表示的是同样的三者之间的关系，已。
口答：把下列指数式改写成对数式
（1）5
4
= 625
⇔ ⇔ ⇔
log 5 625 = 4
1 log 2 = −6 64
log 3 27 = a
（2） 2 （3）
−6
1 = 64
3a = 27
)
1 1 2 4 = 2 ⇔ log 4 2 = 2
2 2、10 = 100 ， 100 = ____ _____ lg
2
(10
(10
2
= 100 ⇔ lg100 = 2
)
)
−2 10 = ____ ， 0.01 = ____ 0.01 lg
−2
−2
= 0.01 ⇔ lg 0.01 = −2
未来的文盲不再是不识字的人，字的人，而是没有学会怎样学习的人。
§2.7 对数的概念与运算（Ⅰ）邵阳市第二中学
2.7.1
对数
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（Napier，1550年~1617年）。他发明了供天，年年文计算作参考的对数，并于1614年在爱丁堡文计算作参考的对数，并于年在爱丁堡出版了《奇妙的对数定律说明书》出版了《奇妙的对数定律说明书》，公布了他的发明。他的发明。恩格斯把对数的发明与解析几何的创始，微积分的建立并称为17世纪数学的的创始，微积分的建立并称为世纪数学的三大成就。三大成就。
解：
(
)
x
2
的值
0和-2 回顾定义……
)
1
log 2 x 2 −1 3 x + 2 x − 1 = 1 ⇒ 2 x − 1 = 3 x 2 + 2 x − 1

指数对数公式

指数对数公式指数对数公式是数学中的重要公式之一，广泛应用于科学、工程和经济等领域。

它们为我们解决各种问题提供了有效的工具和方法。

在本文中，我们将深入探讨指数对数公式的原理、应用和意义。

让我们来了解指数和对数的基本概念。

指数是一个数学运算符，表示对一个数进行连乘的运算。

例如，2的3次方表示将2连乘3次，即 2 × 2 × 2 = 8。

对数则是指数运算的逆运算，表示求解指数运算的过程中使用的指数是多少。

例如，以10为底的对数函数中，log10 100 = 2，表示10的2次方等于100。

指数对数公式是指数和对数之间的等式关系。

其中最常见的是指数函数和对数函数的互为反函数关系。

即指数函数y = a^x和对数函数y = loga x互为反函数，其中a为底数，x和y分别为指数和对数的运算数。

指数对数公式的应用非常广泛。

在科学领域，它们常用于描述物质的增长、衰减和变化规律。

例如，放射性衰变和细胞分裂等过程都可以用指数函数来描述。

在工程领域，指数对数公式被广泛应用于电路分析、信号处理和控制系统等方面。

在经济学中，指数对数公式可以用于计算复利和利率等问题。

指数对数公式的意义在于它们提供了一种简洁、直观的数学表示方法，能够有效地描述各种复杂的现象和问题。

通过指数对数公式，我们可以更好地理解和分析自然界和人类活动中的各种现象和规律。

然而，需要注意的是，指数对数公式并不是万能的，它们只能适用于特定的问题和情境。

在实际应用中，我们还需要结合具体问题的特点和要求，选择合适的数学工具和方法。

总结起来，指数对数公式是数学中重要的公式之一，具有广泛的应用领域和重要的意义。

通过深入理解和应用指数对数公式，我们可以更好地解决各种实际问题，推动科学技术的发展和社会的进步。

希望本文能够对读者在学习和应用指数对数公式方面有所帮助。

2019年高考数学一轮复习专题2.7对数与对数函数测

第07节对数与对数函数班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）1.【2017浙江温州中学模拟】已知0m >且1m ≠，则l og 0mn >是(1)(1)0m n -->的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A.【解析】log 0m n >⇔若1m >：1n >，(1)(1)0m n -->；若1m <：1n <，(1)(1)0m n -->，而反之则无法推出，故是充分不必要条件，故选A.2.【2017湖北稳派教育检测】已知，当时，的大小关系为（） A. B.C.D.【答案】B【解析】取，则.所以 .故选B.3.函数y ＝()21log 2x -的定义域是()A.(－∞，2)B.(2，＋∞)C. (2,3)∪(3，＋∞)D.(2,4)∪(4，＋∞) 【答案】C【解析】∵()220log 20x x ->⎧⎪⎨-≠⎪⎩，∴x ＞2且x ≠3，选C ．4.【2017陕西西安模拟】已知函数f (x )＝log a 2x＋b －1(a >0，a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是( ) A ．0<a －1.函数图象与y 轴的交点坐标为(0)a log b ，，由函数图象可知10a log b <<－，解得11a b <<.综上有011b a<<<. 5.若正数,a b 满足2362log 3log log ()a b a b +=+=+，则11a b+的值为（） A ．36 B ．72 C ．108 D ．172【答案】C【解析】由2362log 3log log ()a b a b +=+=+得()()236log 4log 27log ()a b a b k ==+=，所以有42,273,6k k k a b a b ==+=，所以108236k k k ab a b =⨯==+，即11108ab+=,故选C.6.【2017天津模拟】已知a ＝log 25，b ＝log 5(log 25)，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.52，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＝，()()5250,1b log log ∈＝，()0.5211,22c ∈－＝()，可得b c a <<.故选B.7.【2017山西太原模拟】设函数f (x )＝e x＋x －2，g (x )＝ln x ＋x 2－3，若实数a ，b 满足f (a )＝g (b )＝0，则( ) A ．f (b )＜0＜g (a ) B ．g (a )＜0＜f (b ) C ．0＜g (a )＜f (b ) D ．f (b )＜g (a )＜0【答案】B【解析】易知)(f x 是增函数，)(g x 在(0，＋∞)上也是增函数，由于()()010110f f e ＝－＜，＝－＞，所以01a ＜＜.又()()1202 210g g ln ＝－＜，＝＋＞，所以12b ＜＜.所以()()00f b g a ＞，＜，故()()0g a f b ＜＜．8．【2017河北石家庄模拟】已知23a log log ＝＋29b log log ＝－32c log ＝，则。

高一数学教案：2.7.1 对数的概念

课题：2.7.1 对数的概念教学目的：1．理解对数的概念，能够进行对数式与指数式的互化；2．渗透应用意识，培养归纳思维能力和逻辑推理能力，提高数学发现能力教学重点：对数的概念教学难点：对数概念的理解.授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教材分析：对数产生于17世纪初叶，为了适应航海事业的发展，需要确定航程和船舶的位置，为了适应天文事业的发展，需要处理观测行星运动的数据，就是为了解决很多位数的数字繁杂的计算而产生了对数并称为17世纪数学的三大成就，给予很高的评价今天随着计算器的普及和电子计算机的广泛使用以及航天航海技术的不断进步，利用对数进行大数的计算功能的历史使命已基本完成，已被新的运算工具所取代，因此中学对于传统的对数内容进行了大量的删减但对数函数应用还是广泛的，后续的教学内容也经常用到本节讲对数的定义和运算性质的目的主要是为了学习对数函数对数概念与指数概念有关，是在指数概念的基础上定义的，在一般对数定义logaN(a>0,a≠1)之后，给出两个特殊的对数：一个是当底数a=10时，称为常用对数，简记作lgN=b ；另一个是底数a=e(一个无理数)时，称为自然对数，简记作lnN =b这样既为学生以后学习或读有关的科技书给出了初步知识，也使教材大大简化，只保留到学习对数函数知识够用即可教学过程：一、复习引入：1庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭（1）取4次，还有多长？（2）取多少次，还有0.125尺？2假设2002年我国国民生产总值为a亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍？抽象出：1.421⎪⎭⎫⎝⎛＝？，x⎪⎭⎫⎝⎛21＝0.125⇒x=? 2. ()x%81+=2⇒x=?也是已知底数和幂的值，求指数你能看得出来吗？怎样求呢？二、新授内容：定义：一般地，如果 ()1,0≠>a a a 的b 次幂等于N, 就是 N a b=，那么数 b 叫做以a 为底 N 的对数，记作b N a =log ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数例如：1642= ⇔ 216log 4= ; 100102=⇔2100log 10=2421= ⇔212log 4=; 01.0102=-⇔201.0log 10-= 探究：⑴负数与零没有对数（∵在指数式中 N > 0 ）⑵01log =a ，1log =a a∵对任意 0>a 且 1≠a , 都有 10=a ∴01log =a 同样易知： 1log =a a ⑶对数恒等式如果把 N a b= 中的 b 写成 N a log , 则有 N aNa =log⑷常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做为了简便,N 的常用对数N 10log 简记作lgN例如：5log 10简记作lg5 ; 5.3log 10简记作lg3.5.⑸自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数，为了简便，N 的自然对数N e log 简记作lnN例如：3log e 简记作ln3 ; 10log e 简记作ln10（6）底数的取值范围),1()1,0(+∞ ；真数的取值范围,0(+∞三、讲解范例：咯log例1将下列指数式写成对数式：（课本第87页）（1）45=625 （2）62-=641 （3）a3=27 (4) m ）（31=5.73解：（1）5log 625=4；（2）2log 641=-6；（3）3log 27=a ；（4）m =73.5log 31例2 将下列对数式写成指数式：（1）416log 21-=；（2）2log 128=7；（3）lg0.01=-2；（4）ln10=2.303 解：（1）16)21(4=- （2）72=128；（3）210-=0.01；（4）303.2e=10例3计算： ⑴27log 9，⑵81log 43，⑶()()32log 32-+，⑷625log 345解法一：⑴设 =x 27log 9 则 ,279=x3233=x , ∴23=x ⑵设 =x 81log 43 则()8134=x, 4433=x , ∴16=x ⑶令 =x ()()32log 32-+=()()13232log -++,∴()()13232-+=+x, ∴1-=x⑷令 =x 625log 345, ∴()625534=x , 43455=x , ∴3=x解法二：⑴239log 3log 27log 239399===； ⑵16)3(log 81log 1643344==⑶()()32log 32-+=()()132log 132-=+-+⑷3)5(log 625log 334553434==四、练习：1.把下列指数式写成对数式(1) 32＝８（２）52＝32 （３）12-＝21（４）312731=-解：(1)2log ８＝３ (2) 2log 32＝５ (3) 2log 21＝－１ (4) 27log 31＝－312.把下列对数式写成指数式(1) 3log ９＝２（２）5log １２５＝３（３）2log 41＝－２（４）3log 811＝－４解：(1)23＝９ (2)35＝１２５ (3)22-＝41 (4) 43-＝811 3.求下列各式的值(1) 5log 25 （２）2log 161（３）lg 100 （４）lg 0.01 （５）lg 10000 （６）lg 0.0001 解：(1) 5log 25＝5log 25＝２ (2) 2log 161＝－４ (3) lg 100＝２ (4) lg 0.01＝－２ (5) lg 10000＝４ (6) lg 0.0001＝－４ 4.求下列各式的值(1) 15log 15 （２）4.0log 1 （３）9log 81 （４）5.2log 625 （５）7log 343 （６）3log 243 解：(1) 15log 15＝１ (2) 4.0log 1＝０ (3) 9log 81＝２ (4) 5.2log 625＝２ (5) 7log 343＝３ (6) 3log 243＝５五、小结本节课学习了以下内容：⑴对数的定义， ⑵指数式与对数式互换 ⑶求对数式的值六、课后作业：1.把下列各题的指数式写成对数式(1)24＝16 （２）03＝１（３）x 4＝２（４）x2＝０.５（５）x3＝81 （６）x10＝25 （７）x 5＝６（８）x4＝61 解：(1)2＝4log 16 (2)0＝3log 1 (3)ｘ＝4log ２ (4)ｘ＝2log 0.5 (5)ｘ＝3log 81 (6)ｘ＝lg 25 (7)ｘ＝5log 6 (8)ｘ＝4log 61 2.把下列各题的对数式写成指数式(1)ｘ＝5log 27 (2)ｘ＝8log 7 (3)ｘ＝4log 3 (4)ｘ＝7log 31(5)ｘ＝lg 5 (6)ｘ＝lg 0.3 解：(1) x5＝27 (2) x8＝７ (3) x4＝3(4) x7＝31 (5) x 10＝5 (6) x10＝０.３七、板书设计（略）八、课后记：。

高一数学-§2.7对数(2) 精品

课题：对数（2）——对数的运算性质目标：1．掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程，从而能较熟练地运用这些法则解决问题。

2．培养培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力、化归转化能力；3．培养坚忍不拔的意志，培养发现问题和提出问题的意识、善于独立思考的习惯，体会事物之间普遍联系的辩证观点。

重点：对数运算性质难点：证明对数运算性质，证明方法与对数定义的联系过程：一、复习引入：1．对数的定义 b N a =l o g 其中 a 与 N 的取值范围。

2．指数式与对数式的互化，及几个重要公式。

3．指数运算法则（积、商、幂、方根）今天探究对数的运算性质二、新课1．积、商、幂、方根的对数 ⑴探究对给定的M ，N 用计算器或计算机计算出对数值，寻找规律⑵发现、猜想：如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 有：)3(R)M (n nlog M log )2(N log M log NM log )1(N log M log (M N)log a n a a a a a a a ∈=-=+=⑶证明证明：①设a log M=p, a log N=q 由对数的定义可以得：M=a p ，N=a q∴MN= a p ·a q =a p +a q ∴a log MN=p+q ，即证得a log MN=a log M + a log N ②设a log M=p ，a log N=q由对数的定义可以得 M=a p ，N=a q ，∴q p q pa aa N M -== ∴q p N M a -=log 即证得N M NMa a alog log log -= ③设a log M=P 由对数定义可以得M=a P ,∴ M n ＝a np ∴a log m n =np ，即证得a log m n =n a log M关键：上述证明先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂的运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成对数式。

指数函数和对数函数复习(有详细知识点和习题详解)

指数函数和对数函数复习(有详细知识点和习题详解)一、指数的性质一）整数指数幂整数指数幂的概念是指：a的n次方等于a乘以a的n-1次方，其中a不等于0，n为正整数。

另外，a的-n次方等于1除以a的n次方，其中a不等于0，n为正整数。

整数指数幂的运算性质包括：（1）a的m次方乘以a的n次方等于a的m+n次方；（2）a的n次方的m次方等于a的mn次方；（3）a乘以b的n次方等于a的n次方乘以b的n次方。

其中，a除以a的n次方等于a的n-1次方，a的m-n次方等于a的m除以a的n次方，an次方根的概念是指，如果一个数的n次方等于a，那么这个数叫做a的n次方根，记作x=√a。

例如，27的3次方根等于3，-27的3次方根等于-3，32的5次方根等于2，-32的5次方根等于-2.a的n次方根的性质包括：如果n是奇数，则a的n次方根等于a；如果n是偶数且a大于等于0，则a的正的n次方根等于a，a的负的n次方根等于负的a；如果n是偶数且a小于0，则a的n次方根没有意义，即负数没有偶次方根。

二）例题分析例1：求下列各式的值：（1）3的-8次方；（2）（-10）的2次方；（3）4的（3-π）次方；（4）（a-b）的2次方，其中a大于b。

例2：已知a小于b且n大于1，n为正整数，化简n[（a-b)/(a+b)]。

例3：计算：7+40+7-40.例4：求值：（59/24）+（59-45）/24 + 25×（5-2）/24.解：略。

二）分数指数幂1.分数指数幂当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式，例如：$5\sqrt[10]{a^5}=a^{\frac{1}{2}}$，$3\sqrt[12]{a^3}=a^{\frac{1}{4}}$。

当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式，例如：$\sqrt[4]{a^5}=a^{\frac{5}{4}}$。

规定：1）正数的正分数指数幂的意义是$a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p}$。

高考调研版文科专用2.7第7讲幂函数及幂、指数、对数函数的综合应用

6．(2022·江苏海安中学调研)已知 a＝2ln π，b＝ln π2 －1，c＝2－l2n π，
则( A )
A．b>c>a
B．c>b>a
C．a>b>c
D．b>a>c
解析
b－c＝2(ln
π1 －1－2－l1n
π)＝（ln
2（3－2ln π） π－1）（2－ln
π），
∵e3>π2，π＞e，e2＞π，∴3－2ln π＞0，ln π－1＞0，2－ln π＞0，
第6页
【夯实双基】 1．判断下列说法是否正确(打“√”或“×”)． (1)幂函数的图象都经过点(0，0)，(1，1)．答案 × 解析中 y＝x－1 不过(0，0)点．
第7页
(2)幂函数的图象不可能出现在第四象限．答案 √
第8页
(3)当 n>0 时，幂函数 y＝xn 在(0，＋∞)上是增函数．答案 √
【解析】因为 f(x)＝|log1x|，m<n，且 f(m)＝f(n)，所以 log1m＝－log1n，所
2
2
2
以 mn＝1，所以 0<m<1，n>1，所以 m＋3n＝m＋m3 .令 h(m)＝m＋m3 ，易知 h(m)
在(0，1)上单调递减．所以 m＋3n>4.
第31页
(4)(2022·唐山一中模拟)已知函数 y＝f(x)的周期为 2，当 x∈[－1，1]时 f(x)
(3)如果α<0，那么幂函数在区间(0，＋∞)上是_减__函_数___．在第一象限内，当
x 从右边趋向于原点时，图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴，当 x 趋向于正无穷时，图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴．

高三数学第二章函数+导数高考一轮复习教案2.7 指数式与对数式

2.7指数式与对数式教学目标：1.理解分数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的运算性质；2.理解对数的概念，掌握对数的运算性质．教学重点：运用指数、对数的运算性质进行求值、化简、证明，指数及对数方程的解法（一）主要知识：1.n 次方根的定义及性质：n 为奇数时，a a n n =，n 为偶数时，a a n n =.2.分数指数幂与根式的互化：nm nma a=m na-=(0a >,,*m n N ∈，且1n >)零的正分数指数幂为0，0.3.指数的运算性质：r s r s a a a +=g ，()rr r ab a b =g（其中,0a b >，,r s R ∈） 4.指数式与对数式的互化：log b a a N N b =⇔=．N a N a =log ，log N a a N =.5.对数的运算法则：如果0,1,0,0a a N M >≠>>有log ()log log a a a MN M N =+； log log log a a a MM N N=-；log log n a a M n M =；1log log a a M n=6.换底公式及换底性质：()1 log log log m a m NN a = (0a >,1a ≠，0m > , 1m ≠,0N >)()2a b ba log 1log =，()3c cb a b a log log log =⋅， ()4b n mb a m a n log log =7.指数方程和对数方程主要有以下几种类型：()1()()log f x a a b f x b =⇔=；log ()()b a f x b f x a =⇔=（定义法）()2()()()()f x g x a a f x g x =⇔=；log ()log ()a a f x g x =⇔ ()()0f x g x =>（同底法） ()3()()f x g x a b =⇔()log ()log m m f x a g x b =g g (两边取对数法) ()4log ()log ()ab f x g x =⇔1log ()log ()log a a a f x g x b=g (换底法) ()52log log 0a a A x B x C ++=（()20xx A aBa C ++=）（设log a t x =或xt a =）（换元法）（二）主要方法：1.重视指数式与对数式的互化；2.根式运算时，常转化为分数指数幂，再按幂的运算法则运算；3.不同底的对数运算问题，应化为同底对数式进行运算；4.运用指数、对数的运算公式解题时，要注意公式成立的前提．5.指数方程和对数方程按照不同类型的对应方法解决.（三）典例分析：问题1．计算：()1 )0,0(3224>>⋅-b a ab b a ；()2()()31212332140.1a b ---⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭()3121316324(12427162(8)--+-+-()43948(log 2log 2)(log 3log 3)+⋅+；()52(lg 2)lg 2lg 50lg 25+⋅+；问题2．()1已知11223xx-+=，求22332223x x x x--+-+-的值；()227= .A 3 .B 4 .C 6 .D 9()3已知n y m x a a ==log ,log，求log a ⎝；问题3．已知35a b c ==，且112ab+=，求c 的值．问题4．()1（00上海春）方程()()()333log 31log 1log 3x x x -=-++ 的解是()2（02上海）方程()3log 12321x x -⋅=+的解x =问题5．设1x >，1y >，且2log 2log 30x y y x -+=，求224T x y =-的最小值．（四）巩固练习：1.已知234x-=，则x =2.求551log 272log 2325+的值.3.设,518,9log 18==b a ，求45log 36.4. 若3128x y ==，则11x y-=5.（06成都市诊断）lg83lg5+的值为 .A 3- .B 1- .C 1 .D 3（五）课后作业：1.方程()3lg lg 2lg 2+=+x x 的解是2.方程()()51log 1log 422=+++x x 的解是3.设151121)31(log )31(log --+=x ，则x 属于区间.A ()2,1-- .B ()1,2 .C ()3,2-- .D ()2,34.若239103x x +=⋅，那么21x +的值为.A 1 .B 2 .C 5 .D 1或55.已知()2lg 2lg lg x y x y -=+，则yx 的值为.A 1.B 4 .C 1或4 .D 41或46.如果方程()2lg lg7lg5lg lg7lg50x x ++⋅+⋅=的两根为α、β，则αβ的值是 .A lg7lg5⋅.B lg35.C 35 .D 3517.64log 32= ；5361log log 6log 23x ⋅⋅=，则x =若2a =，12log 3=8.523log 2+的值为.A 2 .B .C 9 .D 39.21(5)2x f x -=-，则(125)f =10.已知：1a b >>，10log log 3a b b a +=log log a b b a -的值为11.求值或化简：(1)142log 2112log 487log 222--+=)2(11lg9lg 240212361lg 27lg 35+-+-+=11.若3log 41x =，求332222x xxx--++的值12.已知log 2a x =，log 1b x =，log 4c x =，则log abc x =.A 47 .B 27 .C 72 .D 7413.设12x <-=.A.B.C .D14.已知：234x-=，则x = 112333812849-⎛⎫⎛⎫⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭15.设0a >=.A.B.C.D16.函数3()og f x l x =，则()19log 2f --的值是.A 2 .B 2 .C 22.D 3og l17.552log 10log 0.25+=18.2b =，则有.A a b > .B a b < .C a b = .D a b ≤（六）走向高考：1.（04全国Ⅲ文）解方程012242=--+x x2.（07上海文）方程9131=-x 的解是3. （07上海）方程 96370x x -•-=的解是4.（07上海春）若1x 、2x 为方程11122xx -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的两个实数解，则12x x +=5.（07湖南文）若0a >，2349a =，则23log a =6.（05广东）函数xex f -=11)(的定义域是7. (05全国Ⅱ) 设函数11()2x x f x +--=，求使()f x ≥x 取值范围．8.（04湖北文）若111a b<<，则下列结论中不正确的是 .A log log 1a b b a ⋅= .B log log 2a b b a +>.C 2(log )1b a < .D log log log log a b a b b a b a +>+9.（04北京）方程()lg 42lg 2lg3x x +=+的解是10.（06辽宁文）方程22log (1)2log (1)x x -=-+的解为11.（06上海文）方程233log (10)1log x x -=+的解是。

指数对数概念及运算公式

指数函数及对付数函数沉易面之阳早格格创做根式的观念：①定义：若一个数的n 次圆等于),1(*∈>N n n a 且，则那个数称a 的n 次圆根.即，若a x n =，则x 称a 的n 次圆根)1*∈>N n n 且，1）当n 为奇数时，n a 的次圆根记做n a ；2）当n 为奇数时，背数a 不n 次圆根，而正数a 有二个n 次圆根且互为差异数，记做)0(>±a a n .②本量：1）a a n n =)(； 2）当n 为奇数时，a a n n =；3）当n 为奇数时，⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a n幂的有闭观念：①确定：1）∈⋅⋅⋅=n a a a a n ( N *， 2）)0(10≠=a a ， n 个 3）∈=-p aap p(1Q ，4）m a a a n m n m,0(>=、∈n N * 且)1>n ②本量：1）r a a a a s r s r ,0(>=⋅+、∈s Q ），2）r a a a s r sr ,0()(>=⋅、∈s Q ），3）∈>>⋅=⋅r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ）（注）上述本量对付r 、∈s R 均适用.例供值（1）328 （2）2125- （3）()521- （4）()438116- 例.用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数)(1)43a a ⋅ （２）aa a （３）32)(b a -（４）43)(b a + （５）322b a ab + （6）4233)(b a +例.化简供值（1）012132322510002.0827）（）（）（）（-+--+---- （2）211511336622263a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=指数函数的定义：①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数，1）函数的定义域为R ， 2）函数的值域为),0(+∞，3）当10<<a 时函数为减函数，当1>a 时函数为删函数. 提问：正在下列的闭系式中，哪些不是指数函数，为什么？（1）22x y += （2）(2)x y =- （3）2x y =- （4）x y π= （5）2y x = （6）24y x = （7）x y x = （8）(1)x y a =- （a ＞1，且2a ≠）例：比较下列各题中的个值的大小（1）1.72.5 与 1.73( 2 )0.10.8-与0.20.8-( 3 ) 1.70.3 与 0.93.1例：已知指数函数()xf x a =（a ＞0且a ≠1）的图象过面（3，π），供思索：已知0.70.90.80.8,0.8, 1.2,a b c ===按大小程序排列,,a b c . 例如图为指数函数x x x x d y c y b y a y ====)4(,)3(,)2(,)1(，则d c b a ,,,与1的大小闭系为（A ）d c b a <<<<1 （B ）c d a b <<<<1（C ）d c b a <<<<1 （D ）c d b a <<<<11、函数2121x x y -=+是（）A 、奇函数B 、奇函数C 、既奇又奇函数D 、非奇非奇函数 2、函数121xy =-的值域是（） A 、(),1-∞ B 、()(),00,-∞+∞ C 、()1,-+∞ D 、()(,1)0,-∞-+∞3、已知01,1a b <<<-,则函数x y a b=+的图像肯定不通过（）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限例．供函数xx y +⎪⎭⎫⎝⎛=221的值域战单调区间例若不等式3axx 22->(31)x +1对付一确真数x 恒创造，则真数a的与值范畴为______..f (x )=]()⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈--∞∈---,1 231,( 2311x x x x ，则f (x )值域为______.考查分段函数值域.【剖析】 x ∈(－∞,1］时,x －1≤0,0<3x －1≤1, ∴－2<f (x )≤－1x ∈(1,+∞)时，1－x <0,0<31－x <1,∴－2<f (x )<－1 ∴f (x )值域为(－2,－1］【问案】 (－2,－1］例、已知2)(22-+=+--x x x x e e e e f ，则函数)(x f 的值域是_____________例面（2，1）与（1，2）正在函数()2ax b f x +=的图象上，供()f x 的剖析式例.设函数11()2x x f x +--=，供使()f x ≥x 与值范畴．例已知定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数.（Ⅰ）供,a b 的值；（Ⅱ）若对付任性的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒创造，供k 的与值范畴；对付数的观念：①定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，便是N a b=，那么数b 称以a 为底N 的对付数，记做,log b N a =其中a 称对付数的底，N 称真数.1）以10为底的对付数称时常使用对付数，N 10log 记做Nlg ，2）以无理数)71828.2( =e e 为底的对付数称自然对付数，N e log 记做N ln②基赋本量：1）真数N 为正数（背数战整无对付数）， 2）01log =a ， 3）1log =a a ，4）对付数恒等式：N a Na=log例将下列指数式化为对付数式，对付数式化为指数式.（1）54=645 （2）61264-=（3）1() 5.733m =（4）12log 164=- （5）10log 0.012=- （6）log 10 2.303e =例：供下列各式中x 的值（1）642log 3x =- （2）log 86x = （3）lg100x = （4）2ln e x -=分解：将对付数式化为指数式，再利用指数幂的运算本量供出x .训练：将下列指数式与对付数式互化，有x 的供出x 的值 .（1）125-=（2）x = （3）1327x =（4）1()644x = （5）lg 0.0001x = （6）5ln e x =例利用对付数恒等式N a N log a=，供下列各式的值：(1)5log 4log 3log 354)31()51()41(-+(2)2log 2log 4log 7101.0317103-+(3)6lg3log 2log 100492575-+(4)31log 27log 12log 2594532+-③运算本量：如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则1）N M MN a a a log log )(log +=； 2）NM NMa a a log log log -=；3）∈=n M n M a n a (log log R ）.④换底公式：),0,1,0,0,0(log log log >≠>≠>=N m m a a aN N m m a1）1log log =⋅a b b a ， 2）.log log b mnb a na m =对付数函数的运算程序例．用log a x ，log a y ，log a z 表示下列各式：（1）log a xyz ；（2）23log a x y z．解：（1）log a xy zlog log log a a a x y z =+-；例．供下列各式的值：（1）()752log 42⨯；（2）5lg 100 ．解：（1）本式=7522log 4log 2+=227log 45log 2725119+=⨯+⨯=；（2）本式=2122lg10lg10555==例．估计：（1）lg14-21g 18lg 7lg 37-+；（2）9lg 243lg ；(3)(4)lg2·lg50+(lg5)2（2）23log ax yz3log ()log a a x y z =-23log log log a a a x y z =+112log log log 23a a a x y z =+-．(5)lg25+lg2·lg50+(lg2)2解：（1）18lg 7lg 37lg 214lg -+-2lg(27)2(lg7lg3)lg7lg(32)=⨯--+-⨯lg 2lg72lg72lg3lg72lg3lg 20=+-++--=；（2）253lg 23lg 53lg 3lg 9lg 243lg 25===；例．估计：（1） 0.21log 35-；（2）4492log 3log 2log 32⋅+．解：（1）本式 =0.251log 3log 3555151553===；（2）本式 = 2345412log 452log 213log 21232=+=+⋅．例．供值：(1)；(2)； (3)(3). 例．供值(1)log 89·log 2732(2)(3)(4)(log 2125+log 425+log 85)(log 1258+log 254+log 52) 对付数函数本量典型例题例．比较下列各组数中二个值的大小：（1）2log 3.4，2log 8.5；（2）0.3log 1.8，0.3log 2.7；解：（1）对付数函数2log y x =正在(0,)+∞上是删函数，于是2log 3.4<2log 8.5；（2）对付数函数0.3log y x =正在(0,)+∞上是减函数，于是0.3log 1.8>0.3log 2.7；2、比较大小（1）212log _________)1(log 22++a a(2)πa log ________)1(,log >a e a3若02log )1(log 2<<+a a a a ，则a 的与值范畴是（）（A ）)1,0( （B ）)21,0( （C ）)1,21( （D ）),1(+∞4 已知7.01.17.01.1,8.0log ,8.0log ===c b a ，则c b a ,,的大小闭系是（）（A ）c b a << （B ）c a b << （C ）b a c << （D ）a c b <<例比较下列各组数中的二个值大小：(1)log 23.4，log 28.5 (2)log1.8，log2.7 (3)log a 5.1，log a 5.9(a ＞0且a ≠1) 例怎么样决定图中各函数的底数a ，b ，c ，d 与1的大小闭系？提示：做向去线y ＝1，该曲线与四个函数图象接面的横坐标即为它们相映的底数.∴0＜c ＜d ＜1＜a ＜b例供下列函数的定义域. (1) y= (2) y=ln(a x -k ·2x )(a ＞0且a ≠1，k ∈R).例．供函数)32(log 221--=x x y 的单调区间解：设u y 21log =，322--=x x u ，由0>u 得0322>--x x ，知定义域为),3()1,(+∞⋃--∞又4)1(2--=x u ，则当)1,(--∞∈x 时，u 是减函数；当),3(+∞∈x 时，u 是删函数，而u y 21log =正在+R 上是减函数)33(212log --=∴x x y 的单调删区间为)1,(--∞，单调减区间为),3(+∞例函数20.50.5log log 2y x x =-+的单调减区间是________. 例已知y =log 4(2x +3－x 2).（1）供定义域；（2）供f (x )的单调区间；（3）供y 的最大值，并供与最大值时x 值. 考面考核查于数函数、二次函数的单调性、最值. 【解】（1）由2x +3－x 2>0,解得－1<x <3∴f (x )定义域为{x |－1<x <3}(2)令u =2x +3－x 2，则u >0,y =log 4u 由于u =2x +3－x 2=－(x －1)2+4再思量定义域可知，其删区间是（－1，1），减区间是［1,)3又y =log 4u 为(0,+∞)删函数，故该函数单调递加区间为（－1，1］，减区间为［1，3）（3）∵u =2x +3－x 2=－(x －1)2+4≤4 ∴y =log 4u ≤log 44=1故当x =1时，u 与最大值4时，y 与最大值1.例供函数)106(log 23++=x x y 的最小值．变式．供函数)78lg()(2-+-=x x x f 的定义域及值域．例已知函数y =f (2x )定义域为［1，2］,则y =f (log 2x )的定义域为（）A.［1，2］B.［4，16］C.［０，1］D.（－∞,0］考查函数定义域的明白.【剖析】由1≤x ≤2⇒2≤2x ≤4, ∴y =f (x )定义域为［2，4］由2≤log 2x ≤4,得4≤x ≤16 【问案】 B例做出下列函数的图像，并指出其单调区间．(1)y=lg(－x)， (2)y=log 2|x ＋1|例已知函数f (t ) =log 2t ，]8,2[∈t .（1）供f (t )的值域G ；（2）若对付于G 内的所有真数x ，不等式－x 2+2mx －m 2+2m ≤1恒创造，供真数m 的与值范畴.例已知函数f (x )=1421lg 2+-⋅++a a ax x , 其中a 为常数，若当x ∈(－∞,1］时, f (x )蓄意思，供真数a 的与值范畴.分解：参数深含正在一个搀纯的复合函数的表白式中，欲间接修坐闭于a 的不等式（组）非常艰易，故应变换思维角度，设法从本式中把a 分散出去，沉新认识a 与其余变元(x )的依存闭系，利用新的函数闭系，常可使本问题“柳暗花明”.解：14212+-⋅++a a a x x >0, 且a 2－a +1=(a －21)2+43>0,∴ 1+2x +4x ·a >0, a >)2141(xx+-,当x ∈(－∞, 1]时, y =x 41与y =x 21皆是减函数，∴y =)2141(x x +-正在(－∞, 1]上是删函数，)2141(x x +-max =－43, ∴a >－43, 故a 的与值范畴是(－43, +∞).例已知a>0 且a ≠1 ,f (log a x ) = 12-a a(x －x 1 ) (1)供f(x)；(2)推断f(x)的奇奇性与单调性；(3)对付于f(x) ,当x ∈(－1 , 1)时 , 有f( 1－m ) +f (1－ m 2 ) < 0 ,供m 的集中M .解：(1)令t=log a x(t ∈R)，则 f(x)正在R 上皆是删函数. 例已知函数xxx x f -+-=11log 1)(2，供函数)(x f 的定义域，并计划它的奇奇性战单调性．例、已知函数)0(,11lg )(>∈--=k R k x kx x f 且.（Ⅰ）供函数)(x f 的定义域；（Ⅱ）若函数)(x f 正在[10，+∞)上单调递加，供k 的与值范畴. 1．函数)13lg(13)(2++-=x xx x f 的定义域是（）A ．),31(+∞-B ． )1,31(-C ． ]1(,13-D ． )31,(--∞ 2．．已知函数f （x ）=lg （2x －b ）（b 为常数），若x ∈［1，+∞］时，f （x ）≥0恒创造，则（）A ．b ≤1B ．b ＜1C ．b ≥1D ．b =1 3．函数 y =322-+x x 的单调递减区间为（）A ．（－∞，－3）B ．（－∞，－1）C ．［1，+∞］D ．［－3，－1］4．设f （x ）是定义正在A 上的减函数，且f （x ）＞0，则下列函数：y =3－2f （x ）,y =1+)(2x f ,y =f 2（x ）,y =1－)(x f ，其中删函数的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4 5、.若集中M={y|y=2—x}, P={y|y=1x -}, M ∩P=（）A ．{y|y>1}B ．{y|y ≥1}C ．{y|y>0 }D ．{y|y ≥0} 6、设 1.50.90.4812314,8,2y y y -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（）A 、312y y y >>B 、213y y y >>C 、132y y y >>D 、123y y y >>7、正在(2)log (5)a b a -=-中，真数a的与值范畴是（）A 、52a a ><或B 、2335a a <<<<或C 、25a <<D 、34a <<8、已知函数⎩⎨⎧<+≥-=10)]5([103)(n n f f n n n f ，其中*∈N n ，则)8(f 的值为（）)(A 2 )(B 4 )(C 6 )(D 79、函数xxa y x =(01)a <<的图象的大概形状是（）10．当a ＞0且a ≠1，x ＞0，y ＞0，n ∈N*，下列各式不恒．．等．的是（） A ．log a n x ＝n1log a x B ．log a x ＝nlog anxC ．x ax log ＝x D ．log a x n ＋log a y n ＝n （log a x ＋log a y ） 11 3log 9log 28的值是( )A ．32B ．1C ．23 D ．2 12 函数f(x )=ln x －2x整面地圆的大概区间是A （1，2）B （2，3）C （e ，+∞）D ()11,3,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭和13．若闭于x 的不等式m x x ≥-42对付任性]1,0[∈x 恒创造，则真数m 的与值范畴是A ．03≥-≤m m 或B ．03≤≤-mC ．3-≥mD ．3-≤m14．函数212log (231)y x x =-+的递减区间为A.（1，+∞）B.（－∞，43］ C.（21，+∞） D.（－∞，21］15．如果()f x 是定义正在R 上的奇函数，它正在),0[+∞上是减函数，那么下述式子中精确的是 A ．)1()43(2+-≤-a a f f B ．)1()43(2+-≥-a a f fC ．)1()43(2+-=-a a f f D ．以上闭系均不决定16．函数()f x 、(2)f x +均为奇函数，且当x ∈[0，2]时，()f x 是减函数，设),21(log 8f a =(7.5)b f =，(5)c f =-,则a 、b 、c 的大小是A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c a b >>17、如果圆程2lg (lg5lg7)lg lg5lg70x x +++=的二根是,αβ，则αβ的值是（）A 、lg5lg 7B 、lg 35C 、35D 、351 18、已知732log [log (log )]0x =，那么12x -等于（） A 、13B D19．三个数0.760.76,0.7,log 6的大小程序是（）（A ）60.70.70.7log 66<<（B ）60.70.70.76log 6<< （C ）0.760.7log 660.7<<（D ）60.70.7log 60.76<< 20、函数121x y =-的值域是（） A 、(),1-∞ B 、()(),00,-∞+∞ C 、()1,-+∞ D 、()(,1)0,-∞-+∞。

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指数式与对数式
一.指数的基础知识: n个 1.指数幂的有关概念 n (1)正整数指数幂:a a a a a ( n N ) 0 (2)零指数幂: a 1 (a 0)
(3)负整数指数幂: a
n
1 n a 0, n N a
1 4 2 3

1 3
y )( 4 x y )
例2.计算下列各式:
①
[(1 log6 3) log6 2 log6 18] log6 4
2
②
③
(lg5) lg50 lg 2
2
(log3 2 log9 2)(log4 3 log8 3)
(1).1
(2).1
5 (3). 4
2 3 2 3
4 3
1 3
b (1 2 3 ) 3 a (a 0, b 0) a
3.2 3 3 1.5 6 12 4 10 0 4.( ) ( 5.6) (2 ) 9 27 5.( 2 x y )(3 x
1 4 1 3 1 2 2 3 1 2 2 3
0.125
a 当n是偶数，则 a a a
n n
(a 0) (a 0)
二.对数的基础知识
1.对数的概念 b a 如果 N (a 0, a 1) ,那么b叫做以a为底N的对数, 记作: b loga N (a 0, a 1) 2.对数的基本性质：①零与负数没有对数 log a N log 1 0 ② ③ loga a 1 ④ a N a 3.对数的运算性质 (其中a>0,a≠1,M>0,N>0)
1 a a a a 0, r, s Q r s rs 2 a a a 0, r , s Q
r s r s
3.根式的相关知识 n (1) 根式的定义 :一般地 ,如果 x a, 那么 x 叫做 a 的 n 次方根 ; 其中 n 1, n N ， n a 叫做根式， n 叫做根指数,a叫被开方数。 (2)根式的性质: 当n是奇数，则 n a n a ;
(1).loga ( MN ) loga M loga N
M (2).log a log a M log a N N n n n (3).log a M n log a M log a M log a M m log c N (c 0且c 1) (4)对数换底公式: log a N log c a
例3.已知（1） a

a a
1
1 2
1 2
4
,求下列各式的值:
a
（2）
a a
3 2

3 2
(1).14
(2). 30 3
例4.(1).已知 log5 35 m, 用m的代数式表示 log 7 1.4; 4(3 a) (2). 已知log12 27 a, 求证 : log 6 16 3 a
m
5. 6.
log a b.log b a 1 log a blog b clog c d log a d
例1.计算或化简下列各式:
1 2 1 1 3 2 6 3 0 3 ) (1.03) ( ) ① ( ) ( 4 2 6 6 3 2
②
a 8a b 4b 2 3 ab a
2
练习 : (1). 2(lg 2) lg 2 lg 5 (lg 2) lg 2 1
2
(2).log 2 ( 6 4 2 6 4 2 )
练习: 已知log18 9 a,18b 5, 用a, b表示 log36 45.
练习: 已知a, b, c均为不为1的正数,且a x b y c z , 1 1 1 0, 求abc的值. x y z
3 3 4 4 6 6 1, 则 log k 3 3 log k 4 4 log k 6 6 0
3x 4 y 6 z
1 1 练习 : 化简或求值:(1). ( ) 2 4
(2). (0.027)
1 3
( 4ab1 )3
1 3 3 2
(0.1)2 (a b ) 1 2 7 1 ( ) (2 ) 2 ( 2 1)0 7 9
(4).3x=3log3 k (log k 3 3) 1 , 4y=4log 4 k (log k 4 4) 1 , 6z=6log6 k (log k 6) , 故只需比较 3, 4, 6的大小.
6 3 4 6 1
( 3 3)12 81, ( 4 4)12 64, ( 6 6)12 36
n m a a a 0, m , n N , n 1 (4)正分数指数幂:
m n
(5)负分数指数幂: a
m n

1 a
m n

1
n
am
a 0, m, n N , n 1

(6)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
2.有理指数幂的运算性质
r r 3 ab a b a 0, b 0, r Q r
m2 (1). log 7 1.4 m 1
例5.已知x,y,z均为正数,且3 4 6 , 2 x py;
x y z
(1)求p的值; (2)求与p最接近的整数; 1 1 1 (3)求证: ; (4)比较3x,4y,6z的大小. 2 y z x x y z
略解:令3 4 6 k , 则k 1且x=log3 k , y=log4 k , z=log6 k , (1). p 2 log 3 4. 16 27 (2). p (2,3), p 2 2 log 3 4 2 log 3 ,3 p log 3 9 16 16 27 log 3 log 3 , 与p最接近的整数是3. 9 16 1 1 1 1 (3). log k 6-log k 3 log k 2, z x log6 k log3 k 1 1 1 log k 4 log k 2. 2y 2log 4 k 2