高中数学：第三章概率 小结 (110)

模块综合测评(满分：150分，时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．某产品共有三个等级，分别为一等品、二等品和不合格品．从一箱产品中随机抽取1件进行检测，设“抽到一等品”的概率为0.65，“抽到二等品”的概率为0.3，则“抽到不合格品”的概率为()A．0.95B．0.7C．0.35D．0.05D[“抽到一等品”与“抽到二等品”是互斥事件，所以“抽到一等品或二等品”的概率为0.65＋0.3＝0.95，“抽到不合格品”与“抽到一等品或二等品”是对立事件，故其概率为1－0.95＝0.05.]2．如图所示是具有相关关系的两个变量的一组数据的散点图，去掉哪个点后，两个变量的相关关系更明显()A．D B．EC．F D．AC[A，B，C，D，E五点分布在一条直线附近且贴近该直线，而F点离得远，故去掉点F.]3．某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号、29号、42号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号是()A．10 B．11C．15 D．16D[由题可得，系统抽样的间距为13，则3＋13＝16在样本中．故选D.]4．输入x＝－2 017，按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是()A．－1 B．0C．1 D．2C[若输入x＝－2 017，则x>0不成立，执行“否”，再判断x<0成立，执行“是”，输出y＝1.]5．把389化为四进制数，则该数的末位是()A．1 B．2C．3 D．4A[由389＝4×97＋1,97＝4×24＋1,24＝4×6＋0,6＝4×1＋2,1＝4×0＋1，可知389化为四进制数为12 011(4)，故该数的末位是1.]6．在线段[0,3]上任取一点，则此点坐标大于1的概率是()A.34 B.23 C.12 D.13B[由几何概型知，在线段[0,3]上任取一点，则此点坐标大于1的坐标在1<x≤3上，故所求概率为3－13－0＝23.]7．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为() A．0.5 B．0.6C．0.7 D．0.8C[由题意，阅读过《西游记》的学生人数为90－80＋60＝70，则其与该校学生人数之比为70÷100＝0.7.故选C.]8．某校对高三年级的学生进行体检，现将高三男生的体重(单位：kg)数据进行整理后分为五组，并绘制频率分布直方图(如图所示)．根据一般标准，高三男生的体重超过65 kg属于偏胖，低于55 kg属于偏瘦．已知图中从左到右第一、第三、第四、第五小组的纵坐标分别为0.05,0.04,0.02,0.01，第二小组的频数为400，则该校高三年级的男生总数和体重正常的频率分别为()A．1 000,0.50 B．800,0.50C．800,0.60 D．1 000,0.60D[第二小组的频率为0.40，所以该校高三年级的男生总数为4000.40＝1 000人，体重正常的频率为0.40＋0.20＝0.60.]9．现有甲、乙两颗骰子，从1点到6点出现的概率都是16，掷甲、乙两颗骰子，设分别出现的点数为a，b，则满足a<|b2－2a|<10a的概率为()A.118 B.112 C.19 D.16B[因为试验发生包含的总的基本事件有36种，满足条件的事件要讨论，若a＝1时，b＝2或3；若a＝2时，b＝1.所以共有3种情况满足条件，故概率为3 36＝112.]10.甲、乙两名选手参加歌手大赛时，5名评委打的分数用茎叶图表示(如图)．s1，s2分别表示甲、乙选手分数的标准差，则s1与s2的关系是()A．s1>s2B．s1＝s2C．s1<s2D．不确定C[由茎叶图知，甲得分为78,81,84,85,92；乙得分为76,77,80,94,93，则x －甲＝84，x －乙＝84，s 1＝22，s 2＝62，所以s 1<s 2.]11．如图是把二进制的数11 111(2)化成十进制的数的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是( )A ．i >5?B ．i ≤5?C ．i >4?D ．i ≤4?D [由程序框图，使输出的结果是1＋1×2＋1×22＋1×23＋1×24，那么判断框内条件应为“i ≤4？”．]12．某公司共有职工8 000名，从中随机抽取了100名，调查上、下班乘车所用时间，得下表： 所用 时间(分钟) [0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100)人数25501555时间t (分钟)的关系是y ＝200＋40⎣⎢⎡⎦⎥⎤t 20，其中⎣⎢⎡⎦⎥⎤t 20表示不超过t 20的最大整数．以样本频率为概率，则公司一名职工每月用于路途补贴不超过300元的概率为( )A ．0.5B ．0.7C ．0.8D ．0.9D [由题意知y ≤300，即200＋40⎣⎢⎡⎦⎥⎤t 20≤300，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤t 20≤2.5，解得0≤t ＜60，由表知t ∈[0,60)的人数为90人，故所求概率为90100＝0.9.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把★★答案★★填在答题纸的横线上)13．下面的程序输出的结果是________．11 [该程序运行过程是x ＝6，y ＝3，x ＝6÷3＝2，y ＝4×2＋1＝9，x ＋y ＝2＋9＝11.所以输出11.]14．从3男3女共6名同学中任取2名，这两名同学都是女同学的概率为________．15 [基本事件共为(男1男2)，(男1男3)，(男1女1)，(男1女2)，(男1女3)，(男2男3)，(男2女1)，(男2女2)，(男2女3)，(男3女1)，(男3女2)，(男3女3)，(女1女2)，(女1女3)，(女2女3)，共15种，两名同学都是女同学的基本事件有3种，故所求概率为315＝15.]15．记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D .在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________．59 [由6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3，则D ＝[－2,3]，则所求概率为3－(－2)5－(－4)＝59.]16．某班运动队由足球运动员18人、篮球运动员12人、乒乓球运动员6人组成(每人只参加一项)．现从这些运动员中抽取一个容量为n 的样本．如果分别采用系统抽样法和分层抽样法，都不用剔除个体，那么样本容量n 的最小值为________．6 [总体容量为6＋12＋18＝36.当样本容量为n 时，由题意可知，系统抽样的分段间隔为36n ，则n 是36的因数，分层抽样的抽样比是n36.则采用分层抽样法抽取的乒乓球运动员人数为6×n 36＝n 6，篮球运动员人数为12×n 36＝n3，足球运动员人数为18×n36＝n2，可知n应是6的倍数，故n＝6,12,18，则样本容量n的最小值为6.]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)下面程序的功能是输出1～100之间(含1和100)的所有偶数．(1)试将上面的程序补充完整；(2)将该程序改写为含有WHILE型循环语句的程序．[解](1)m＝0i＝i＋1(2)用WHILE语句编写程序如下：18．(本小题满分12分)某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：文艺节目新闻节目总计20至40岁401858大于40岁152742 总计5545100(2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，则大于40岁的观众应该抽取几名？(3)在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄在20至40岁的概率．[解] (1)由于大于40岁的42人中有27人收看新闻节目，而20至40岁的58人中，只有18人收看新闻节目，故收看新闻节目的观众与年龄有关．(2)27×545＝3(名)，∴大于40岁的观众应抽取3名．(3)由题意设抽取的5名观众中，年龄在20至40岁的为a 1，a 2，大于40岁的为b 1，b 2，b 3，从中随机取2名，基本事件有(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，b 3)，共10个，设恰有1名观众年龄在20至40岁为事件A ，则A 中含有基本事件6个：(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，∴P (A )＝610＝35.19．(本小题满分12分)在某次测验中，有6位同学的平均成绩为76分，用x n (分)表示编号为n (n ＝1,2,3，…，6)的同学的成绩，且前5位同学的成绩如下：6(2)从6位同学中随机地选2位同学，求恰有1位同学的成绩在区间(70,75)内的概率．[解] (1)∵x －＝16∑n ＝16x n ＝76，∴x 6＝6x －－∑n ＝15x n ＝6×76－71－77－73－71－73＝91(分)．∴s 2＝16∑n ＝16(x n －x －)2＝49，∴s ＝7.(2)从6位同学中随机选取2位同学，包含的基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，(1,6)，(2,6)，(3,6)，(4,6)，(5,6)，共15个．记“选出的2位同学中，恰有1位同学的成绩在(70,75)内”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为(1,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(1,6)，(3,6)，(4,6)，(5,6)，共8个，则P (A )＝815，故从6位同学中随机地选2位同学，恰有1位同学成绩在区间(70,75)内的概率为815.20．(本小题满分12分)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于 5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．[解](1)由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，故a＝0.35.b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05.乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.21．(本小题满分12分)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，c .(1)求“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率； (2)求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率． [解] (1)由题意知，(a ，b ，c )所有的可能结果为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种．设“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”为事件A ，则事件A 包含的基本事件有(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种． 所以P (A )＝327＝19， 即“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率为19.(2)设“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”为事件B ，则事件B 的对立事件B －包含的基本事件有(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种．所以P (B )＝1－P (B －)＝1－327＝89，即“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率为89.22．(本小题满分12分)一台机器由于使用时间较长，生产的零件有一些缺损，按不同转速生产出来的零件有缺损的统计数据如下表：(2)如果y 与x 线性相关，求出回归直线方程；(3)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺损的零件最多为10个，那么，机器的运转速度应控制在什么范围？(参考公式：回归方程y ^＝b^x ＋a ^中斜率和截距最小二乘估计公式分别为b^＝∑i ＝1n(x i －x －)(y i －y －)∑i ＝1n(x i －x －)2＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x 2，a ^＝y ^－b ^ x －)[解] (1)根据题表中的数据画出散点图如下图．(2)设回归直线方程为y ^＝b^x ＋a ^，列表如下：i 1 2 3 4 x i 16 14 12 8 y i 11 9 8 5 x 2i 256 196 144 64 x i y i1761269640x －＝12.5，y －＝8.25，∑i ＝14x 2i ＝660，∑i ＝14x i y i ＝438，∴b^＝438－4×12.5×8.25660－4×12.52≈0.73，a^＝8.25－0.73×12.5＝－0.875， ∴y ^＝0.73x －0.875.(3)令0.73x －0.875≤10，显然x <14.9≈15. 故机器的运转速度应控制在15转/秒内．。