饿狼追兔问题数学建模

饿狼追兔问题
摘要
本文研究饿狼追兔问题，是在给定狼兔相对位置，以及兔子巢穴位置的情况下求解的，狼的速度是兔子速度两倍，在不考虑其他任何因素的情况下研究狼能否追上兔子的问题。

首先，我们对问题进行了适当的分析，然后根据已知条件建立了狼的运动轨迹微分模型。

其次，根据建好的模型，运用MATLAB编程，然后仿真画出了饿狼和野兔的运动轨迹图。

再次，用解析方法将建立的模型求解，并给出该问题的结论，准确的回答题目。

最后，用数值方法求解，将所求与前面所求进行对比，也给出结论，回答题目。

并将两种方法做相应比较。

结论：野兔可以安全回巢
关键词：算法高阶常微分方程
§1.1问题的提出
在自然界中，各种生物都有它的生活规律，它们钩心斗角，各项神通，在饿狼追野兔的工程中，饿狼的速度是野兔的二倍，但是野兔有自己的洞穴，野兔在跑到自己洞穴之前被狼捉住，野兔就将会成为饿狼的囊中之物；如果野兔在饿狼捉住自己之前跑回到自己的洞穴，那么野兔就保住小命，得以生还。

图1-1-1为饿狼追野兔的两条曲线，其中绿线表示野兔，图中的箭头表示的是野兔的奔跑方向，野兔从远点开始沿y轴正方向运动，其洞穴在坐标为（0，60）的位置；红线为饿狼的运动轨迹，，图中的剪头表示饿狼追逐野兔的方向，饿狼从坐标为（100，0）的方向追逐野兔，饿狼的速度是野兔速度的二倍。

建立数学模型需研究一下几个问题：（1）设野兔的速度我v0，饿狼的速度为v1，野兔的奔跑方向是沿y轴正方向奔跑，而饿狼的方向是一直指向野兔的方向，即饿狼的运动的轨迹某一时候的切线指向同一时刻的野兔的位置。

建立饿狼追野兔的运动轨迹微分模型。

（2）根据建立的饿狼运动轨迹得微分模型，作出饿狼与野兔的运动轨迹图形。

（3）用解析方法求解，即根据第二步作出的饿狼渔业突地运动轨迹图形，分析兔子能否安全回到巢穴，即野兔的运动曲线与饿狼的运动曲线的交点是在点（0，60）-野兔巢穴的上面还是下面。

（4）用数值方法求解。

根据第一步建立的关于二郎追野兔的运动轨迹微分模型，进行数学运算，讨论兔子能否安全回到巢穴，即所求交点的y值大于60还是小于60.
§1.2问题的分析
（1）分析饿狼追野兔的运动模型。

在1.1中已经说了，饿狼追野兔过程中，野兔的目的是要在饿狼捉住自己之前跑到自己的巢穴，假如恶狼知道野兔巢穴的具体位置，根据题目所给，饿狼完全可以先兔子跑到其巢穴，然后在那里守株待兔，野兔则难逃饿狼之口。

那样饿狼的轨迹就是一条直线，只需简单的数学计算就可以完成。

（2）但这是一个理想化的实际问题，在这个问题中由于饿狼不可能知道兔子巢穴的具体位置，因此它的速度的方向永远是朝着兔子的，兔子一直向北跑，相对于饿狼来说兔的角度在时刻的变化，所以最终饿狼的轨迹是一条曲线。

而兔子能否活下来，还是一个需要经过具体较复杂计算的问题。

§1.3数值方法求解
初始时刻(t=0)兔子位于原点(0,0)，饿狼位于(100,0)；兔子以常速度v0沿y轴跑，饿狼在t时刻的位置为(x,y)，其速度为v1=2v0；饿狼在追兔子过程中一直向着兔子的方向，则：
饿狼在t时刻其追赶曲线的切线方程为
Y-y=(dy/dx)*(X-x)=[(dy/dt)/(dx/dt)]*(X-x)
其中(X,Y)为切线上动点。

又饿狼在追兔子过程中一直向着兔子的方向，则t时刻兔子(0,v0t)在切线上，所以
v0t-y=[(dy/dt)/(dx/dt)]*(0-x)
从而饿狼追赶轨迹由下方程组确定
(dx/dt)*( v0t-y)= (dy/dt)*(-x) (1)
(dx/dt)2+(dy/dt)2=v12 (2)
由(1)有(dy/dx)*(-x)= v0t-y，两边对t求导并化简
(d2y/dx2)* (dx/dt) *(-x)= v0 (3)
由(2)有(dx/dt)2{1+[(dy/dt)/(dx/dt)]2}=v12
即dx/dt=-v1/[1+(dy/dx)2]1/2 (注这里去负号，是由这个追赶曲线——上图，决定的) 代入(3)，并把v1=2v0代入并化简得
(d2y/dx2)*x=[1+(dy/dx)2]1/2/2 (4)
这是一个二阶微分方程，它满足初始条件y(100)=0
令p= dy/dx，这dp/dx= d2y/dx2，这(4)化为
(dp/dx)*x=[1+p2]1/2/2，可分离变量求得
ln{p+[1+p2]1/2/2}=0.5*lnx+c
又p(100)=0，所以c=-ln10，从而
p+[1+p2]1/2/2=x1/2/10
这p=( x1/2/10-10/x1/2)/2
即dy/dx=( x1/2/10-10/x1/2)/2，从而
y=(x-300)*x1/2/30+c，又y(100)=0
则
y=(x-300)*x1/2/30+200/3
令x=0，得
y(0)=200/3>60
故兔子没有有危险
§1.4解析方法求解（matlab创新求解）在本题题目中给出了参考的matlab的方程式
【注】常微分方程高阶初值问题的MATLAB库函数为：ode45。

语法为：[t,Y] =ode45(odefun,tspan,y0)
例如函数：function dy = rigid(t,y)
dy = zeros(3,1); % a column vector
dy(1) = y(2) * y(3);
dy(2) = -y(1) * y(3);
dy(3) = -0.51 * y(1) * y(2);
设置选项：
options = odeset('RelTol',1e-4,'AbsTol',[1e-4 1e-4 1e-5]);
求解得：
[t,Y] = ode45(@rigid,[0 12],[0 1 1],options);
画出解函数曲线图形：
plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'-.',T,Y(:,3),'.')
但是我们决定不用题目中给的函数，而是采用另一个函数：
r = dsolve('eq1,eq2,...', 'cond1,cond2,...', 'v')，这个函数的作用是把常微分方程（无论是一阶还是高阶）转化成不带有求导的一般性方程，但是一般情况下经过这种函数转化之后，得到的方程式比较复杂，但是如果把已知条件也带进dsolve函数中，得到的函数就会比较简单。

另外还要注意的一点就是在matlab中的Dy，D2y都默认为是对t的求导，所以在用desolve函数的时候，要把所有的x换成t，然后还要借助y=subs（y,t,’x’）函数，把求得的函数式的自变量改为x。

下面开始分析问题模型。

由§1.3中的(4)方程(d2y/dx2)*x=[1+(dy/dx)2]1/2/2，并且有已知条件：
y（100）=0；
dy/dx（100）=0。

故编写的matlab程序如下：
>>y=desolve(‘t*D2y=sqrt(1+Dy^2)/2’,’y(100)=0’‘Dy(100)=0’);
y=subs(y,t,‘x’)；
得到y=sqrt(x).*(x-300)/30+200/3
在饿狼的运动曲线上取点x=25，并借助matlab：
>> y=sqrt(x).*(x-300)/30+200/3,x=25,y
得到y=20.833，并且求得切线在（25，20.833）点的斜率为-3/4,故求得饿狼运动曲线在点（25，20.833）处的切线方程：
z=0.75*(25-x)+20.833。

在matlab环境下运行得到函数y=sqrt(x).*(x-300)/30+200/3，然后再编辑elang.m 文件：
x=linspace(0,100,500);
y=sqrt(x).*(x-300)/30+200/3;
z=0.75*(25-x)+20.833;
plot(0,y,'y',x,y,'r',x,z,'c')
在matlab环境下调用elang.m文件
>>elang
得到如下图：
由题意知，野兔的巢穴在点（0，60）处，由图中可以看出，在野兔到达自己的巢穴点(0,60)时，饿狼的运动曲线与y轴还没有交点，即饿狼还没有追上兔子，所以，由此可以回答课题提出的问题：野兔可以安全回到巢穴。

§1.5 模型的优点与改进
优点：本模型适用范围较广，追击问题中可以较多应用，在辅助软件的求解下，结果很容易得出。

改进：由于问题有些理想化，没有考虑实际的具体环境因素和自然因素对野兔和饿狼速度的影响。

所以较问题复杂程度较低。

在真正的实际问题中，本模型可以作为参考，把相关因素考虑进来，同时借助辅助软件同样能很快求解。

参考文献：
[1]方道元(1958.4~) 编著
常微分方程
[2]刘会灯(计算机) 编著
MATLAB编程基础与典型应用
[3]数学建模原理与案例
冯杰(计算机教授) 编著。