参数估计点估计共87页文档
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第5章 参数估计及点估计
第5章参数估计及点估计5.1考点归纳一、点估计1．矩估计法（1）定义设X为连续型随机变量，其概率密度为，或X为离散型随机变量，其分布律为，其中为待估参数，，，，是来自X的样本，假设总体X的前k阶矩或（X离散型）存在，其中，＝1，2，…，k．一般来说，它们是的函数，基于样本矩依概率收敛于相应的总体矩（＝1，2，，k），样本矩的连续函数依概率收敛于相应的总体矩的连续函数，我们就用样本矩作为相应的总体矩的估计量，而以样本矩的连续函数作为相应的总体矩的连续函数的估计量，这种估计方法称为矩估计法．（2）矩估计法的具体做法设这是一个包含k个未知参数的联立方程组，一般来说，可以从中解出，得到以分别代替上式中的，i＝1，2，…，k，就以，i＝1，2，…，k，分别作为，＝1，2，…，k的估计量，这种估计量称为矩估计量，矩估计量的观察值称为矩估计值．2．克拉默-拉奥（Cramer-Rao）不等式（1）克拉默一拉奥不等式克拉默一拉奥不等式设ξ1，ξ2，…，ξn为取自具有概率函数f（x；0），θ∈Θ={θ：a<0<b}的母体ξ的一个子样，a，b为已知常数，a可以取－∞，b可以取＋∞。
又η=u（ξ1，ξ2，…，ξn）是g（θ）的一个无偏估计，且满足正则条件：①集合{x：f（x；0）>0}与0无关；②与存在，且对一切θ∈Θ，；③令称为信息量，则等式成立的充要条件为存在一个不依赖于但可能依赖于θ的K，使得等式依概率1成立。
特别当g（θ）=θ时，上式可化为：称它为克拉默—拉奥不等式。
也称为信息不等式。
（2）重要性质及定义①性质：若则②定义a．若θ的一个无偏估计使克拉默一拉奥不等式中等式：成立，则称的有效估计。
b．若的一个无偏估计，且克拉默一拉奥不等式下界存在，则称下界与的比为估计的有效率，这里。
c．若当时，一个估计的有效率则称为参数的渐近有效估计。
3．拉奥-勃拉克维尔（Rao-Blackwell）定理（1）拉奥-勃拉克维尔定理设ξ与η是两个随机变量，且Eη＝μ，Dη＞0．设ξ＝x条件下叼的条件期望，则（2）相关定理设ξ1，ξ2，…，ξn是取自一个母体ξ的子样，ξ有概率函数，且是θ的一个充分统计量，不仅是η的函数，且Eη2＝θ，则是θ的充分统计量的函数，其均值＝0，方差。
第七章 参数估计PPT资料77页
最先出现的事件是发生概率最大的事件。或者说， 小概率事件在一次试验中几乎不可能发生。
10
以总体X为连续型随机变量为例说明参数的 最大似然估计。 定 义 (似 然 函 数 ) 设 总 体 X 的 概 率 密 度 函 数 为 f X (, ) ( 为 未 知 参 数 ), 若 的 取 值 使 样 本 ( X 1 , X 2 ,L , X n )的 联 合 密 度 函 数 在 样 本 观 测 值 ( x1, x2 ,L , xn ) 处 取 得 最 大 ， 记 样 本 的 联 合 密 度 函 数 为 L ( x1 , x 2 ,L , x n , )， 由 样 本 的 特 性 (独 立 同 分 布 — 简 单 随 机 样 本 )， 有
本章引言
统计推断的基本问题可以分为两大类：
一类是估计问题；另一类是假设检验问题。
在实际问题中，往往已知总体X的分布函数的形式，
但其一个或几个参数未知，因此只有在确定这些参数后，
才能通过其分布来计算概率。如何确定这些参数的数值呢？
这就是统计推断中的“参数估计”问题。
借助总体X的一个样本来估计总体未知参数的值的问
2
12
a
EX
3V a r X
b E X 3V a r X
用
X
代
替
EX
，
用
S
2 n
代
替
Var
X
，
再
用
aˆ 代
替
a，
bˆ代
替
b，
aˆ M bˆM
X X
3 S n ,
3
S
。
n
1
其
中
Sn
(
S
2 n
)
10
以总体X为连续型随机变量为例说明参数的 最大似然估计。 定 义 (似 然 函 数 ) 设 总 体 X 的 概 率 密 度 函 数 为 f X (, ) ( 为 未 知 参 数 ), 若 的 取 值 使 样 本 ( X 1 , X 2 ,L , X n )的 联 合 密 度 函 数 在 样 本 观 测 值 ( x1, x2 ,L , xn ) 处 取 得 最 大 ， 记 样 本 的 联 合 密 度 函 数 为 L ( x1 , x 2 ,L , x n , )， 由 样 本 的 特 性 (独 立 同 分 布 — 简 单 随 机 样 本 )， 有
本章引言
统计推断的基本问题可以分为两大类：
一类是估计问题；另一类是假设检验问题。
在实际问题中，往往已知总体X的分布函数的形式，
但其一个或几个参数未知，因此只有在确定这些参数后，
才能通过其分布来计算概率。如何确定这些参数的数值呢？
这就是统计推断中的“参数估计”问题。
借助总体X的一个样本来估计总体未知参数的值的问
2
12
a
EX
3V a r X
b E X 3V a r X
用
X
代
替
EX
，
用
S
2 n
代
替
Var
X
，
再
用
aˆ 代
替
a，
bˆ代
替
b，
aˆ M bˆM
X X
3 S n ,
3
S
。
n
1
其
中
Sn
(
S
2 n
)
参数估计的点估计
参数的点估计(Point Estimation)，就是 利用样本的信息对总体分布中的未知参数 作定值估计．设总体X的分布函数形式为已 知，但它的一个或多个参数为未知，我们 的目的是构造一个相应的统计量 ˆ ˆ( X1 , X 2 ,, X n ) 去估计该未知参数，即借助于总体X的一个 样本来估计总体的未知参数，这种估计称 为参数的点估计．下面给出两种点估计量 的求法．
应有
(2) 总体分布为连续的情形
设总体X的概率密度是 f x;1 , 2 , k ，其中 θ1，θ2，…，θk为未知参数．考察随机样 本（X1，X2，…，Xn）落在样本值（ x1 , x2 ,, xn）的指定邻域内的概率
Pxi xi X i xi xi
ˆ ˆ X , Sn 矩估计既直观又简便，特别是在估计
2 2
总体的均值、方差等数字特征时，不必知 道总体的分布类型，这是矩估计的优 点．矩估计的不足之处是要求总体存在所 需的矩，在总体分布类型已知的情形下， 矩估计也未充分利用总体分布类型提供的 信息，这时它的精度可能比别的估计法 低．
[ f xi ,1 , 2 ,, k 2xi ] f xi ,1 , 2 ,, k 2 n x1x2 xn i 1 i 1
i 1 n
L1 , 2 , k f xi ,1 , 2 ,, k ，（7-6）
在随机抽样中，对于随机样本 ( X1 , X 2 ,, X n ) 记它的取值为 ( x1 , x2 ,, xn ) ，由于 ( X1 , X 2 ,, X n ) 是随机的，在一次抽样中居然取到( x1 , x2 ,, xn ) 则我们有理由认为该随机样本取到 ( x1 , x2 ,, xn ) 的概率最大．从而可选取适当的参数，使 其取到该样本值的概率达到最大，这就是 最大似然估计的基本思想．先看一个例子， 然后分别讨论离散情形和连续情形．
第四章参数估计
参数的点估计一、概念解析
1、参数估计：通过样本对总体的未知参数进行估计。
2、点估计：又称点值估计，是以一个最适当的样本 统计值来代表总体参数值。
3、区间估计：通过样本计算出一个范围来对总体未 知参数进行估计。
2019/5/26
1
4、简单随机样本：由一组相互独立且服从同一 种分布形态的随机变量所构成的样本，包括两 种情况:
序号 体重 1 51
xi x
-7.6
(xi x )2
57.76
2 52
-6.6
43.56
3 55
-3.6
12.96
4 55
.6
12.96
5 58
-0.6
0.36
6 57
-1.6
2.56
7 64
5.4
19.16
8 63
4.4
19.36
9 63
4.4
19.36
10 68
9.4
88.36
∑ 586
n
样本标准差S
(xi x)2 (n 1:自由度)
n 1
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3
二、均值和方差的点估计
假设x1,x2……xn是样本ξ1,ξ2……ξn的一次观测
值,则:
样本均值 x
1 n
n i 1
xi作为总体均值 的点估计值 .
n
(xi -x)2
样本方差S2 i1
n-1
2、一致性：
3、有效性： D(1) D(2 )[罗克拉美不等式].
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8
人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
参数估计——点估计
n
1 n 2 A2 X i n i 1 1 n 2 2 2 Xi n i 1
2
所以 X
பைடு நூலகம்
1 n 1 2 ( X i X )2 Xi X n i 1 n i 1
2
结论：不管总体X服从何种分布，总体期望和方差
的矩估计量分别为样本均值、样本二阶中心距，即
设总体的分布函数为F(x,)（未知），X1，X2，…，Xn
为样本，构造一个统计量 ( X1 , X 2 ,, X n ) 来估计 参数，则称 ( X1 , X 2 ,, X n ) 为参数的估计量。
点估计（point estimation) ：如果构造一个统计量
1 n k 样本的 k 阶原点矩，记作 Ak X i n i 1 1 n 样本的 k 阶中心矩，记作 Bk ( X i X )k n i 1
参数的矩法估计
矩法估计：用样本的矩作为总体矩的估计量，即
1 n k Ak (1 , 2 ,, m ) X i n i 1
2
1 2
区间长度的矩估计量为 2 12A 12X 2 2 1 2
例3 对容量为n的子样，求下列密度函数中参数 a的
2 2 (a x), (0 x a) f ( x) a 0, 其它 a 2 a 解 由于 EX x (a x)dx 0 a 2 3 a 所以由矩法估计，得 X 3 3 n 解得 a 3 X X i n i 1 3 n 所以，参数 a 的矩估计量为 a X i n i 1
i 1
n
②若总体X为连续型随机变量
L( ) f ( x1 , x2 ,, xn , ) f ( xi , )
1 n 2 A2 X i n i 1 1 n 2 2 2 Xi n i 1
2
所以 X
பைடு நூலகம்
1 n 1 2 ( X i X )2 Xi X n i 1 n i 1
2
结论：不管总体X服从何种分布，总体期望和方差
的矩估计量分别为样本均值、样本二阶中心距，即
设总体的分布函数为F(x,)（未知），X1，X2，…，Xn
为样本，构造一个统计量 ( X1 , X 2 ,, X n ) 来估计 参数，则称 ( X1 , X 2 ,, X n ) 为参数的估计量。
点估计（point estimation) ：如果构造一个统计量
1 n k 样本的 k 阶原点矩，记作 Ak X i n i 1 1 n 样本的 k 阶中心矩，记作 Bk ( X i X )k n i 1
参数的矩法估计
矩法估计：用样本的矩作为总体矩的估计量，即
1 n k Ak (1 , 2 ,, m ) X i n i 1
2
1 2
区间长度的矩估计量为 2 12A 12X 2 2 1 2
例3 对容量为n的子样，求下列密度函数中参数 a的
2 2 (a x), (0 x a) f ( x) a 0, 其它 a 2 a 解 由于 EX x (a x)dx 0 a 2 3 a 所以由矩法估计，得 X 3 3 n 解得 a 3 X X i n i 1 3 n 所以，参数 a 的矩估计量为 a X i n i 1
i 1
n
②若总体X为连续型随机变量
L( ) f ( x1 , x2 ,, xn , ) f ( xi , )
二章节参数估计-精选
n1
E[C (Xi1Xi)2]
i1 n 1
C{D (X i 1X i) [E (X i 1X i)]2}
i 1
n1
C 2D(X) C 2 (n 1 )D (X )
i 1
n1
依题意，要求： E[C (Xi1Xi)2]D(X)
i1
D ( X i 1 即 X i C ) 2 D ( n ( X i 1 ) 1 D ) ( X D ) ( X D i ) ( X 2 ) D ( X )
点估计问题就一 是个 要适 构当 造的统计
ˆ(X1,X2,,Xn),用它的观ˆ(察 x1,x值 2,,xn) 来估计未知 . 参数
ˆ(X 1,X 2,,X n)称的 为估 .通计 称估量 计, ˆ(x1,x2,,xn)称为 的估 . 计 简记值 为ˆ.
例2 在某纺织厂细纱断机头上次的 X数 是一个
无偏估计的实际意义: 无系统误差.
若 l i m E ) , 则 称 ) 是 的 渐 近 无 偏 估 计 . n
例3 设总体X的X1, X2,L , Xn是X的一个样本，试证明不论
总体服从什么分布, k阶样本矩Ak
1 n ni1
Xik
是
k阶总体矩k的无偏估计.
E D ( (X X i )1 0X i ) E C( X 2i (1 n1) 1E ).( (X ii ) 1 ,2 0 , ,n )
注 一般地，一个参数 的无偏估计量不唯一.
如：设样本(X1, X2 , ···, Xn ) 来自总体X，E(X)=,
则X是 的无偏 . 此 估外 计，
随机变,假 量设它服从以 0为参数的泊松 , 分 参数 为未,知 现检查1了 5只 0 纱锭在某一时间 内断头的,次 数数 据如,试 下估计参 .数
第7章参数估计—第1节点估计精品文档
理论依据: 大数定律 矩估计法的具体做法如下
设总体的分布函数中含有k个未知参数 θ1,θ2, ,θk, 那么它的前k阶矩 μ1,μ2, ,μk, 一般
都是这 k 个参数的函数,记为：
数理统计
μ i μ i(θ 1 ,θ 2 , ,θ k ) i=1,2, … ,k
从这 k 个方程中解出
θjθj(μ 1,μ 2, ,μ k) j=1,2,…,k
求解方程：
dlnL() 0 d
可以得到 的MLE .
若是向量，上述方程必须用方程组代替 .
2、用上述求导方法求参数的MLE有时行不
通，这时要用最大似然原则来求 .
数理统计
下面举例说明如何求最大似然估计
例5 设X1,X2,…Xn是取自总体 X~B(1, p) 的一个 样本，求参数p的最大似然估计量.
令
1n
LnL (
μ
σ2 i1
xi nμ)0
σ 2L n L 2 n σ 2 2 (σ 1 2)2i n 1(x i μ )2 0
解得
1 n
μ n i1 xi x
σ2
1n n i1 (xi
x)2
μ , σ 2 的最大似然估计量为
μ X ,
x
2
似然函数为
n
L(μ,σ2)
1 e(x2 i σμ 2)2
i1 2πσ
n
L(μ,σ2)
1 e(x2 i σμ 2)2
i1 2πσ
数理统计
于是
(2 π ) n2 (σ 2) n2e x p [ 2 σ 1 2i n 1(x i μ )2 ]
L n L n 2 ln (2 π ) n 2 ln σ 2 2 σ 1 2i n 1(x i μ )2
设总体的分布函数中含有k个未知参数 θ1,θ2, ,θk, 那么它的前k阶矩 μ1,μ2, ,μk, 一般
都是这 k 个参数的函数,记为：
数理统计
μ i μ i(θ 1 ,θ 2 , ,θ k ) i=1,2, … ,k
从这 k 个方程中解出
θjθj(μ 1,μ 2, ,μ k) j=1,2,…,k
求解方程：
dlnL() 0 d
可以得到 的MLE .
若是向量，上述方程必须用方程组代替 .
2、用上述求导方法求参数的MLE有时行不
通，这时要用最大似然原则来求 .
数理统计
下面举例说明如何求最大似然估计
例5 设X1,X2,…Xn是取自总体 X~B(1, p) 的一个 样本，求参数p的最大似然估计量.
令
1n
LnL (
μ
σ2 i1
xi nμ)0
σ 2L n L 2 n σ 2 2 (σ 1 2)2i n 1(x i μ )2 0
解得
1 n
μ n i1 xi x
σ2
1n n i1 (xi
x)2
μ , σ 2 的最大似然估计量为
μ X ,
x
2
似然函数为
n
L(μ,σ2)
1 e(x2 i σμ 2)2
i1 2πσ
n
L(μ,σ2)
1 e(x2 i σμ 2)2
i1 2πσ
数理统计
于是
(2 π ) n2 (σ 2) n2e x p [ 2 σ 1 2i n 1(x i μ )2 ]
L n L n 2 ln (2 π ) n 2 ln σ 2 2 σ 1 2i n 1(x i μ )2
6-1 参数的点估计
a
i 1
n
i
1
所以除样本均值外，总体均值有许多无偏估计量。那么， 当一个参数的无偏估计量不只一个时，怎样判定哪一个更好 呢？
若估计量的方差较大，即各估计值的差异较大，于是，用 一个具体的估计值去代表总体参数时易产生较大的误差。所以 我们从估计量的方差的角度给出另一评选标准。
估计量的评选标准
二. 有效性（优效性）
成立，则称
如：设 X 是一随机变量， X1 , X 2 ,...... X n 是它的一个样本。
n n 1 1 因为 E X E n Xi n E Xi E X i 1 i 1
所以样本均值是总体均值的无偏估计量。
达到最小值的 称为 的有效估计量。
^
估计量的评选标准
二. 优效性（有效性）
设 X 是一随机变量， X1 , X 2 ,...... X n 是它的一个样本, 因为 D X D
a
i 1
n
i
1
1 1 1 Xi 2 D X D X n n i 1 n i 1 2 n n n 1 1 2 D ai X i D X ai D X ai D X n i 1 n i 1 i 1
ˆ A ...... 3 V 3 3 ˆ A ...... 4 V 4 4
4
5
5
2
a
ˆ A ...... 5 V 5 5
点估计之方法 3 ——极大似然法
例3 设盒子里装有许多白球和红球，不知道哪种球多，只知道 两种球的比例是 3:1 ，我们希望通过实验去判别白球占的 比例是 1/4 还是 3/4。 解：采用有放回抽样方式从盒子里抽取 3 个球，记白球数为 X。 3 k k k 则 P X k C3 p 1 p , k 0,1, 2,3.
第7章-参数估计—第1节-点估计
解得
b μ 3 ( μ μ ) 1 2
2 1
总体矩
于是 a , b 的矩估计量为
n 3 3n 2 2 b X ( X X ) aX (X X ) , i i n ni i 1 1
样本矩
例3
2 设总体 X 的均值 μ 和方差 σ ( 0 ) 都存
在 , μ , σ 2 未知 . X 是来自 X 的样本 , 试 , ,X 1 n 求 μ , σ 2 的矩估计量 .
估计 为1.68， 这是点估计. 估计 在区间 [1.57, 1.84] 内，这是区间估计.
一、点估计概念
~ Nμ , σ, 例1 已知某地区新生婴儿的体重 X
2
(μσ , 未知 )
…
随机抽查100个婴儿 ,得100个体重数据
10,7,6,6.5,5,5.2, …
而全部信息就由这100个数组成 . 据此,我们应如何估计 和 呢 ?
第一节 参数的点估计
点估计概念
求估计量的方法
课堂练习
小结 布置作业
引言 上一讲，我们介绍了总体、样本、简 单随机样本、统计量和抽样分布的概念， 介绍了统计中常用的三大分布，给出了 几个重要的抽样分布定理 . 它们是进一 步学习统计推断的基础 .
总体 随机抽样 样 本 描述 统计量 研究统计量的性质和评价一个统计推断的 优良性，完全取决于其抽样分布的性质. 作出推断
即可得诸 θ j 的矩估计量 ：
ˆ θ ( A , A , , A ) j=1,2,…,k j θ j 1 2 k
i
,
矩估计量的观察值称为矩估计值 .
例2
设总体 X 在 [ a , b ] 上服从均匀分布 ,
第抽样分布与参数估计演示文稿
第二十七页，共87页。
（二）点估计
点估计，主要有矩估计法和最大似然估计法。
矩估计法是用样本矩去估计总体矩（或是用样本矩的 函数去估计总体矩的相应函数）的一种估计方法，由此 获得的估计量称作矩估计量；
最大似然估计法是把待估计的总体参数看作一个可 以取不同数值的变量，计算当总体参数取上述不同数 值的时候，发生我们当前所得到的样本观测值的不同 概率，总体参数取哪一个数值的时候这种概率最大， 便把这个数值作为对总体参数的估计结果。
解： P 320 80% 400
p
( 1
n
) N n N 1
P( 1 N
P
)1
n N
80% 20% 400
1
400 6000
1.932
第二十五页，共87页。
第三节 参数估计
一、参数估计概述 二、总体均值的估计 三、总体比例的估计 四、总体方差的估计
第二十六页，共87页。
放回抽样分布--样本平均数的分布
某班组5个工人的日工资 为34、38、42、46、50 元。
= 42
2 = 32
现用放回抽样的方法从5 人中随机抽2个构成样本。 共有52=25个样本。如右 图。
样本
34,34 34,38 34,42 34,46 34,50 38,34 38,38 38,42 38,46 38,50 42,34 42,38 42,42 42,46 42,50
极限误差来反映。 显然，Δ越小，估计的精 度要求越高，Δ越大，估计的精度要求越低。
极限误差的大小要根据研究对象的变异程度 和分析任务的性质来确定。
第三十三页，共87页。
所谓可靠性是指估计结果正确的概率保证，可用 置信度来反映。在区间估计中，置信度十分重要。只 有精度而没有置信度的估计是毫无意义的。能够给出 置信度的前提条件是，能够证实估计量ˆ 服从（精确 地或是近似地）某种已知的常见分布。
（二）点估计
点估计，主要有矩估计法和最大似然估计法。
矩估计法是用样本矩去估计总体矩（或是用样本矩的 函数去估计总体矩的相应函数）的一种估计方法，由此 获得的估计量称作矩估计量；
最大似然估计法是把待估计的总体参数看作一个可 以取不同数值的变量，计算当总体参数取上述不同数 值的时候，发生我们当前所得到的样本观测值的不同 概率，总体参数取哪一个数值的时候这种概率最大， 便把这个数值作为对总体参数的估计结果。
解： P 320 80% 400
p
( 1
n
) N n N 1
P( 1 N
P
)1
n N
80% 20% 400
1
400 6000
1.932
第二十五页，共87页。
第三节 参数估计
一、参数估计概述 二、总体均值的估计 三、总体比例的估计 四、总体方差的估计
第二十六页，共87页。
放回抽样分布--样本平均数的分布
某班组5个工人的日工资 为34、38、42、46、50 元。
= 42
2 = 32
现用放回抽样的方法从5 人中随机抽2个构成样本。 共有52=25个样本。如右 图。
样本
34,34 34,38 34,42 34,46 34,50 38,34 38,38 38,42 38,46 38,50 42,34 42,38 42,42 42,46 42,50
极限误差来反映。 显然，Δ越小，估计的精 度要求越高，Δ越大，估计的精度要求越低。
极限误差的大小要根据研究对象的变异程度 和分析任务的性质来确定。
第三十三页，共87页。
所谓可靠性是指估计结果正确的概率保证，可用 置信度来反映。在区间估计中，置信度十分重要。只 有精度而没有置信度的估计是毫无意义的。能够给出 置信度的前提条件是，能够证实估计量ˆ 服从（精确 地或是近似地）某种已知的常见分布。
参 数 估 计
8
1.总体平均数的区间估计
用区间估计的方法来估计总体平均数 x ，必须具备三要
素：点估计量即样本平均数、平均数的抽样极限误差Δx 和置信度F(t)。公式如下：
P(x x X x x) F (t) 1
其中
x tx t x
9
1.总体平均数的区间估计
例6.7：从某校全部学生中，随机抽取 100名学生，x 平均体重 =58kg，x 抽样
（2）允许误差（极限误差）Δ，即Δ的数值。 （3）概率度t 。 （4）抽样方法。 （5）抽样的组织方式。
14
（二）必要抽样数目的计算
1．重复抽样条件下平均数的必要抽样数目的确定
因为
x tx
t x
t
n
所以
t 2 2
n x2
15
（二）必要抽样数目的计算
例6.10：某城市组织职工家庭生活抽样 调查，根据历史资料知，职工家庭平均每 户每月收入的标准差为11.50元 ,要求把 握程度为95.45% ,允许误差为1元,问需 抽选多少户?
20
（二）必要抽样数目的计算
例6.12，设某工地有土方工人2000名，拟用不重复抽 样推断，来测定其平均工作量，要求抽样误差不超过0.1 立方米，把握程度为99.73%，已知上次抽样调查所得 的方差为2.25，试求必要抽样数目。
3
一、点估计
(1) 无偏性。如果估计量 的ˆ数学期望值等于总体参数θ， 即E( )=θ，则是θ的ˆ 无偏估计量。
ˆ
(2) 即
有效,性。则如是果2 θ对 的比2*有任ˆ效何估一计个量估。计量
, 有最小方差，
ˆ (3)一致性。如果估计nl量im P[，ˆ 随着样 ]本 1容量n的增大而趋
近于θ，即ˆ 则 是θ的一致估计量。
1.总体平均数的区间估计
用区间估计的方法来估计总体平均数 x ，必须具备三要
素：点估计量即样本平均数、平均数的抽样极限误差Δx 和置信度F(t)。公式如下：
P(x x X x x) F (t) 1
其中
x tx t x
9
1.总体平均数的区间估计
例6.7：从某校全部学生中，随机抽取 100名学生，x 平均体重 =58kg，x 抽样
（2）允许误差（极限误差）Δ，即Δ的数值。 （3）概率度t 。 （4）抽样方法。 （5）抽样的组织方式。
14
（二）必要抽样数目的计算
1．重复抽样条件下平均数的必要抽样数目的确定
因为
x tx
t x
t
n
所以
t 2 2
n x2
15
（二）必要抽样数目的计算
例6.10：某城市组织职工家庭生活抽样 调查，根据历史资料知，职工家庭平均每 户每月收入的标准差为11.50元 ,要求把 握程度为95.45% ,允许误差为1元,问需 抽选多少户?
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（二）必要抽样数目的计算
例6.12，设某工地有土方工人2000名，拟用不重复抽 样推断，来测定其平均工作量，要求抽样误差不超过0.1 立方米，把握程度为99.73%，已知上次抽样调查所得 的方差为2.25，试求必要抽样数目。
3
一、点估计
(1) 无偏性。如果估计量 的ˆ数学期望值等于总体参数θ， 即E( )=θ，则是θ的ˆ 无偏估计量。
ˆ
(2) 即
有效,性。则如是果2 θ对 的比2*有任ˆ效何估一计个量估。计量
, 有最小方差，
ˆ (3)一致性。如果估计nl量im P[，ˆ 随着样 ]本 1容量n的增大而趋
近于θ，即ˆ 则 是θ的一致估计量。
参数估计
结论：不管总体X服从何种分布， 结论：不管总体X服从何种分布，总体期望和方差 的矩估计量分别为样本均值、样本方差， 的矩估计量分别为样本均值、样本方差，即
1 n µ = X = ∑ Xi n i =1 1 n σ 2 = ∑ ( X i − X ) 2 = Sn2 n i =1
估计值为
1 n µ = x = ∑ xi n i =1
ˆ L( x1 , x2 ,L , xn , θ ) = max L( x1 , x2 ,L , xn , θ )
ˆ 为参数θ的极大似然估计值。 则称 θ 为参数θ的极大似然估计值。
参数的极大似然估计法
求解方法： 求解方法： （1）构造似然函数 L(θ ) = f ( x1 , x2 ,L , xn , θ ) = Π f ( xi , θ ) ） （2）取自然对数 ） （3）令 ）
$ 将样本观测值 x1 , x2 ,L , xn 代入 θ ( X 1 , X 2 ,L , X n ) ， $ 参数θ 称为参数 的估计值。 得到的值 θ ( x1 , x2 ,L , xn ) 称为参数θ的估计值。
点估计（ 如果构造一个统计量 点估计（point estimation) ：如果构造一个统计量
试估计该批钢件的平均屈服点及其方差。 试估计该批钢件的平均屈服点及其方差。 解 由数字特征法，得屈服点及方差的估计值为 由数字特征法，
1 20 µ = x = ∑ xi = 5.21 20 i =1 1 20 2 2 2 σ =S = ∑ ( xi − 5.21) = 0.049 20 − 1 i =1
n
ln L( x1 , x2 ,L , xn ,θ ) = ∑ ln f ( xi , θ )
i =1
n
2.1第二章参数估计共36页文档
对于不同的 p , L (p)不同, 见下图
Lp
0.01 0.008 0.006 0.004 0.002
p
pˆ 0.2 0.4 0.6 0.8 1
现经过一次试验，事件
( X 1 x 1 ,X 2 x 2 , ,X n x n )
发生了， 则 p 的取值应使这个事件发生 的概率最大.
在容许范围内选择 p ，使L(p)最大 注意到，ln L(p)是 L 的单调增函数,故若
若 X 为离散型随机变量, 其分布律为
数值
ˆk ( x1 , x 2 , , x n )
称数 ˆ1 L , ˆk 为未知参数 1,L ,k 的估计值 对应统计量 为未知参数 1,L ,k 的估计量
问 如何构造统计量？
题 如何评价估计量的好坏？
常用的点估计方法 频率替换法
利用事件A 在 n 次试验中发生的频率
n A / n 作为事件A 发生的概率 p 的估计量
设 X1, X2,…, Xn为总体的一个样本 构造 k 个统计量：
1( X 1, X 2 , , X n ) 2 ( X 1, X 2 , , X n )
随机变量
k ( X 1, X 2 , , X n )
当测得样本值(x1, x2,…, xn)时,代入上述 统计量，即可得到 k 个数：
ˆ1 ( x1 , x 2 , , x n ) ˆ2 ( x1 , x 2 , , x n )
与方差 2 存在, 则它们的矩估计量分别为
ˆ
1 n
n i1
Xi
X,
ˆ2 1nin1(Xi X)2 Sn2
注意：不是S 2 !
事实上，按矩法原理，令
X1 n
ni1
Xi
参数估计
§4 均值的置信区间的分析(2)：一对矛盾
区间估计中的一对矛盾
精度
区间长度越长，精度越低 区间长度越短，精度越高 n越大，精度越高
置信度越高，区间长度越长 置信度越低，区间长度越短
置信度
样本容量n固定时，精度与置信度不能同时提高！
先保证置信度，再提高精度
§4 均值的置信区间的分析(3)：一个特殊应用
§3 参数的区间估计：引例
抛一枚均匀的硬币10000次， ？问题1：出现正面的次数可能达到5500次吗？
可能。但可能性非常小，与摸彩票（36选7）中特等奖的 概率类似的小。 有68.3%的可能在（4950，5050）之间； 有95.4%的可能在（4900，5100）之间； 有99.7%的可能在（4850，5150）之间；
§3 参数的区间估计
在估计参数 时，构造一个置信区间，其置信系 数为95%，下面哪一种说法最正确（ ） A.落在该置信区间的概率为95% B.不落在该区间的风险为5% C. 有95%的随机置信区间会包括 D. 这一估计的误差不超过5%
§4 均值的区间估计——大样本结果
x z / 2 n
在参数估计中利用t分布构造置信区间的条件是 （ ） A. 总体分布需服从正态分布且方差已知 B. 总体分布为正态分布，方差未知 C. 总体不一定是正态分布但须大样本 D. 总体不一定是正态分布，但需要方差已知
§4 正态总体均值的区间估计
为管理的需要，银行要测定在业务柜台上每笔业 务平均所需的时间。假设每笔业务所需时间服从 正态分布，现随机抽取样本量为16，测得平均时 间为13分钟，标准差为5.6分钟，要求以99%的 置信系数确定置信界限。若置信系数改为90%， 其置信界限有何区别？
3第三章 参数估计点估计PPT课件
Answer：构造一个适当的统计量 ( X1, X 2 , , X n ) 用它的观察值 (x1, x2 , , xn ) 作为θ的
近似值。
( X1, X 2 , , X n ) 称为θ的估计量， (x1, x2 , , xn ) 称为θ的估计值。
1.矩估计法
由英国统计学家K.皮尔逊提出.
ˆ 2X 1 .
1 X
例2 设总体 X ~ N ( , 2 ) , X1, X 2 , X n为X 的
一个样本，求 , 2的矩估计量。
Answer:
ˆ
1 n
n i1
Xi
ˆ 2 n 1 S 2
n
⑵若X为离散型随机变量，设其分布律为
pi P{X xi} p(x,1,
,s ) , 1,
其中参数 0 未知，现有一组样本值
3
1 2
1, 1, 1, 3, 2, 1, 3, 2, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 1, 2
试求θ的矩估计值。
解
n 16,
A1
x
1 16
1 1
2 7
4
1 E( X ) 1 2 3 (1 2 ) 3 3
令 A1 1,
3 3 7
1
1/4 27/64 27/64 9/64 1/64
2
2/4
3
3/4
袋中白 球数m p
1
1/4
2
2/4
3
3/4
抽到白球数x x=0 x=1 x=2 x=3 27/64 27/64 9/64 1/64 8/64 24/64 24/64 8/64
袋中白 球数m p
1
1/4
2
2/4
3
3/4
近似值。
( X1, X 2 , , X n ) 称为θ的估计量， (x1, x2 , , xn ) 称为θ的估计值。
1.矩估计法
由英国统计学家K.皮尔逊提出.
ˆ 2X 1 .
1 X
例2 设总体 X ~ N ( , 2 ) , X1, X 2 , X n为X 的
一个样本，求 , 2的矩估计量。
Answer:
ˆ
1 n
n i1
Xi
ˆ 2 n 1 S 2
n
⑵若X为离散型随机变量，设其分布律为
pi P{X xi} p(x,1,
,s ) , 1,
其中参数 0 未知，现有一组样本值
3
1 2
1, 1, 1, 3, 2, 1, 3, 2, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 1, 2
试求θ的矩估计值。
解
n 16,
A1
x
1 16
1 1
2 7
4
1 E( X ) 1 2 3 (1 2 ) 3 3
令 A1 1,
3 3 7
1
1/4 27/64 27/64 9/64 1/64
2
2/4
3
3/4
袋中白 球数m p
1
1/4
2
2/4
3
3/4
抽到白球数x x=0 x=1 x=2 x=3 27/64 27/64 9/64 1/64 8/64 24/64 24/64 8/64
袋中白 球数m p
1
1/4
2
2/4
3
3/4