2013年辽宁高考理科数学试题

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2013年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)

数 学(供理科考生使用)

第I 卷

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)复数的1

1

Z i =

-模为

(A )

1

2

(B (C (D )2

(2)已知集合{}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤= ,则

A .()01,

B .(]02,

C .()1,2

D .(]12, (3)已知点()()1,3,4,1,A B AB -

则与向量同方向的单位向量为

(A )3455⎛⎫ ⎪⎝⎭,- (B )4355⎛⎫ ⎪⎝⎭

,-

(C )3455⎛⎫- ⎪⎝⎭, (D )4355⎛⎫- ⎪⎝⎭

, (4)下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题:

{}1:n p a 数列是递增数列; {}2:n p na 数列是递增数列;

3:n a p n ⎧⎫

⎨⎬⎩⎭

数列是递增数列; {}4:3n p a nd +数列是递增数列;

其中的真命题为

(A )12,p p (B )34,p p (C )23,p p (D )14,p p (5)某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图, 数据的分组一次为[)[)[)[)20,40,40,60,60,80,820,100.

若低于60分的人数是15人,则该班的学生人数是

(A )45 (B )50 (C )55 (D )60

(6)在ABC ∆,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1

sin cos sin cos ,2

a B C c B A

b +=

,a b B >∠=且则

A .

6π B .3

π C .23π D .56π

(7)使得()3n

x n N n

+⎛

+∈ ⎝

的展开式中含有常数项的最小的为

A .4

B .5

C .6

D .7

(8)执行如图所示的程序框图,若输入10,n S ==则输出的

A .

511 B .1011 C .3655 D .7255

(9)已知点()()()

3

0,0,0,,,.ABC ,O A b B a a ∆若为直角三角形则必有

A .3b a =

B .31

b a a

=+

C .()3310b a b a a ⎛

⎫---= ⎪⎝

⎭ D .3310b a b a a -+--=

(10)已知三棱柱1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若,,

,AB AC ⊥112AA O =,则球的半径为

A B . C .13

2

D . (11)已知函数()()()()2

2

2

2

22,228.f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设

()()(){}()()(){}{}()12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q 中的较

大值,{}min ,p q 表示,p q 中的较小值,记()1H x 得最小值为,A ()2H x 得最小值为B ,则

A B -=

(A )2

216a a -- (B )2

216a a +- (C )16- (D )16

(11)设函数()()()()()2

2

2,2,0,8

x e e f x x f x xf x f x f x x '+==>满足则时,

(A )有极大值,无极小值 (B )有极小值,无极大值 (C )既有极大值又有极小值 (D )既无极大值也无极小值

第II 卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题-第22题为必考题,每个试题考

生都必须作答。第22题-第24题为选考题,考生根据要求作答。

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.

(13)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 .

(14)已知等比数列{}{}13n n n a S a n a a 是递增数列,是的前项和.若,是方程

26540x x S -+==的两个根,则 .

(15)已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的左焦点为,F C 与过原点的直线相交于

,A B 两点,4

,.10,6,cos ABF ,5

AF BF AB AF C e ==∠=连接若则的离心率= .

(16)为了考察某校各班参加课外书法小组的人数,在全校随机抽取5个班级,把每个班级参加该小组的认为作为样本数据.已知样本平均数为7,样本方差为4,且样本数据互相不相同,则样本数据中的最大值为 .

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

设向量)

(),sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤

=

=∈⎢⎥⎣⎦

(I )若.a b x =求的值;

(II )设函数()(),.f x a b f x =

求的最大值 18.(本小题满分12分)

如图,.AB PA C 是圆的直径,垂直圆所在的平面,是圆上的点

(I )求证:PAC PBC ⊥平面平面;

(II )2.AB AC PA C PB A ===--若,1,1,求证:二面角的余弦值

19.(本小题满分12分)

现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答. (I )求张同学至少取到1道乙类题的概率;

(II )已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是

35,答对每道乙类题的概率都是4

5,且各题答对与否相互独立.用X 表示张同学答对题的个数,求X 的分布列和数学期望.

20.(本小题满分12分)

如图,抛物线()()2

2

12002:4,:20.,C x y C x py p M x y C ==->点在抛物线上,

1M C 过作()0,,.1A B M O A B O x =-的切线,切点为为原点时,重合于当1

-.2

MA 切线的斜率为

(I )P 求的值;

(II )2M C AB N 当在上运动时,求线段中点的轨迹方程

(),,.A B O O 重合于时中点为

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