2013年辽宁高考理科数学试题
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2013年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)
数 学(供理科考生使用)
第I 卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)复数的1
1
Z i =
-模为
(A )
1
2
(B (C (D )2
(2)已知集合{}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤= ,则
A .()01,
B .(]02,
C .()1,2
D .(]12, (3)已知点()()1,3,4,1,A B AB -
则与向量同方向的单位向量为
(A )3455⎛⎫ ⎪⎝⎭,- (B )4355⎛⎫ ⎪⎝⎭
,-
(C )3455⎛⎫- ⎪⎝⎭, (D )4355⎛⎫- ⎪⎝⎭
, (4)下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题:
{}1:n p a 数列是递增数列; {}2:n p na 数列是递增数列;
3:n a p n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
数列是递增数列; {}4:3n p a nd +数列是递增数列;
其中的真命题为
(A )12,p p (B )34,p p (C )23,p p (D )14,p p (5)某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图, 数据的分组一次为[)[)[)[)20,40,40,60,60,80,820,100.
若低于60分的人数是15人,则该班的学生人数是
(A )45 (B )50 (C )55 (D )60
(6)在ABC ∆,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1
sin cos sin cos ,2
a B C c B A
b +=
,a b B >∠=且则
A .
6π B .3
π C .23π D .56π
(7)使得()3n
x n N n
+⎛
+∈ ⎝
的展开式中含有常数项的最小的为
A .4
B .5
C .6
D .7
(8)执行如图所示的程序框图,若输入10,n S ==则输出的
A .
511 B .1011 C .3655 D .7255
(9)已知点()()()
3
0,0,0,,,.ABC ,O A b B a a ∆若为直角三角形则必有
A .3b a =
B .31
b a a
=+
C .()3310b a b a a ⎛
⎫---= ⎪⎝
⎭ D .3310b a b a a -+--=
(10)已知三棱柱1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若,,
,AB AC ⊥112AA O =,则球的半径为
A B . C .13
2
D . (11)已知函数()()()()2
2
2
2
22,228.f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设
()()(){}()()(){}{}()12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q 中的较
大值,{}min ,p q 表示,p q 中的较小值,记()1H x 得最小值为,A ()2H x 得最小值为B ,则
A B -=
(A )2
216a a -- (B )2
216a a +- (C )16- (D )16
(11)设函数()()()()()2
2
2,2,0,8
x e e f x x f x xf x f x f x x '+==>满足则时,
(A )有极大值,无极小值 (B )有极小值,无极大值 (C )既有极大值又有极小值 (D )既无极大值也无极小值
第II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题-第22题为必考题,每个试题考
生都必须作答。第22题-第24题为选考题,考生根据要求作答。
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.
(13)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 .
(14)已知等比数列{}{}13n n n a S a n a a 是递增数列,是的前项和.若,是方程
26540x x S -+==的两个根,则 .
(15)已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左焦点为,F C 与过原点的直线相交于
,A B 两点,4
,.10,6,cos ABF ,5
AF BF AB AF C e ==∠=连接若则的离心率= .
(16)为了考察某校各班参加课外书法小组的人数,在全校随机抽取5个班级,把每个班级参加该小组的认为作为样本数据.已知样本平均数为7,样本方差为4,且样本数据互相不相同,则样本数据中的最大值为 .
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
设向量)
(),sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤
=
=∈⎢⎥⎣⎦
(I )若.a b x =求的值;
(II )设函数()(),.f x a b f x =
求的最大值 18.(本小题满分12分)
如图,.AB PA C 是圆的直径,垂直圆所在的平面,是圆上的点
(I )求证:PAC PBC ⊥平面平面;
(II )2.AB AC PA C PB A ===--若,1,1,求证:二面角的余弦值
19.(本小题满分12分)
现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答. (I )求张同学至少取到1道乙类题的概率;
(II )已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是
35,答对每道乙类题的概率都是4
5,且各题答对与否相互独立.用X 表示张同学答对题的个数,求X 的分布列和数学期望.
20.(本小题满分12分)
如图,抛物线()()2
2
12002:4,:20.,C x y C x py p M x y C ==->点在抛物线上,
1M C 过作()0,,.1A B M O A B O x =-的切线,切点为为原点时,重合于当1
-.2
MA 切线的斜率为
(I )P 求的值;
(II )2M C AB N 当在上运动时,求线段中点的轨迹方程
(),,.A B O O 重合于时中点为