高等数学大一期末试卷(B)及答案
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中国传媒大学
2009-2010学年第 一 学期期末考试试卷（B 卷）
及参考解答与评分标准
考试科目： 高等数学A （上） 考试班级： 2009级工科各班 考试方式： 闭卷
命题教师：
本大题共3小题，每小题3分，总计9分 ） 1、0)(0='x f 是可导函数)(x f 在0x 点处取得极值的 必要 条件。 2、设
)20()
1tan(cos ln π
<<⎩⎨⎧+==t e y t x t
，确定函数
)
(x y y =，则
=dx
dy
)1(sec cot 2t t e t e +-。 3、=++⎰5
22x x dx C x ++21
arctan 21。
填在题末的括
号中。本大题共3小题，每小题3分，总计 9分）
1、，则，若设0)(lim 1
3
4)(2=++-+=∞→x f b ax x x x f x )
44()()44()()44()()44).((，．； ，．； ，．； ，）可表示为，的值，用数组（，----D C B A b a b a
答( B )
2、下列结论正确的是（ ）
)(A 初等函数必存在原函数；
)(B 每个不定积分都可以表示为初等函数； )(C 初等函数的原函数必定是初等函数； )(D C B A ,,都不对。
答( D )
3、若⎰-=x e x
e dt t
f dx
d 0)(，则=)(x f
x
x e D e C x B x A 2222)( )()( )(-----
答( A )
2小题，每小题5分，总计10分 ）
1、求极限0lim →x x
x
x 3sin arcsin -。 解：0lim →x =-x x x 3sin arcsin 0lim →x 3
arcsin x x
x - （3分）
lim
→=x 31112
2=--
x x 0lim →x ()
()x
x x
621212
3
2---61-=。 （5分）
2、2tan
ln x y =,求dx dy 。 解: 2sec 212
tan 12x
x y ⋅⋅=
' （3分）
x x x x csc sin 1
2
cos
2sin 21==⋅=。 （5
分）
四. 解答下列各题 （本大题共3小题，每小题8分，总计24分 ）
1、设 .0,1,01
)(⎪⎩⎪
⎨⎧=≠-=x x x
e x
f x
， 求)0(f '。 解：0
)
0()(lim )0(0--='→x f x f f x （3
分）
=--=--→→lim lim []x x x x e x
x e x x 0021
1
10
0 （5分）
2
121lim 0=-=→x e x x 。 （8
分）
2、证明方程b x a x +=sin 至少有一个不超过b a +的正根（其中0,0>>b a ）。 证：设x b x a x f -+=sin )(，则)(x f 在],0[b a +上连续。 （2分）
又0)0(>=b f ，0]1)[sin()(≤-+=+b a a b a f 。 （4分）
若0)(=+b a f ，则结论成立。 （6分）
若0)(<+b a f ，则由零点定理0)(),0(=+∈∃ξξf b a 使得。 总之，方程b x a x +=sin 至少有一个不超过b a +的正根。 （8分）
3、证明不等式：当2
0π
<
证：令x x x x f 2tan sin )(-+=， （2分）
2sec cos )(2
-+='x x x f ，
)1sec 2(sin sec tan 2sin )(3
2-=+-=''x x x x x x f 。
显然，当2
0π
<
分）
)(x f '∴在)2,0(π内单调增加。又0)0(='f ，
)(x f '∴在)2
,0(π
内大于零。
)(x f ∴在)2,0(π内单调增加。而)0(f =0，
)(x f ∴在)2,0(π
内恒大于零。 （7分） 即当2
0π
<
即.2tan sin x x x >+。 （8分）
3小题，每小题8分，总计24分 ）
1、试问a 为何值时，函数x x a x f 2sin 31sin )(+=在3
π
=x 处取得极值？它是
极大值还是极小值？并求出此极值。
解：x x a x f 2cos 32
cos )(+='，令0)(='x f ，则02cos 3
2cos =+x x a ，
即
x x a cos /2cos 32-=。 3π=x 时)(x f 取得极值。
3
2
3cos /32cos 32=-=∴ππa ， （4
分）
x x x x a x f 2sin 3
4
sin 322sin 34sin )(--=--=''， 033
2sin 343sin 32)3(<-=--=''πππf ， （6分） )(x f ∴在3
π
=x 处取得极大值，其值为23
。 （8
分）