用基本不等式求最值六种方法
用基本不等式求最值六种方法
用基本不等式求最值六种方法基本不等式是求解数学问题中常用的工具，可以通过基本不等式来求解最值问题。
下面将介绍六种使用基本不等式求解最值问题的方法。
方法一：两边平方法若要求一个式子的最大值或最小值，在不改变问题的本质情况下，可以通过平方的方式将问题转化为一个更容易处理的形式。
例如，我们要求a+b 的最小值，可以通过平方的方式将其转化为一个更易处理的问题，即(a+b)^2=a^2+b^2+2ab，然后应用基本不等式，得到(a+b)^2≥ 2ab。
由此可见，通过两边平方后，可使用基本不等式求得 a+b 的最小值。
方法二：四平方法四平方法指的是对式子的四个项分别平方，将一些复杂的问题转化为四个简单展开的项的和，然后再应用基本不等式进行推导。
例如，我们要求 a^2 + b^2 的最小值，可以采用四平方法将其转化为 a^2/2 + a^2/2 + b^2/2 + b^2/2 的和，即 (a^2/2 + b^2/2) + (a^2/2 + b^2/2)，然后应用基本不等式，得到(a^2/2 + b^2/2) + (a^2/2 + b^2/2) ≥2√[(a^2/2)(b^2/2)] = ab。
方法三：绝对值法绝对值法是将问题中的绝对值项用不等式进行替代，然后使用基本不等式进行求解。
例如，我们要求，x-2，的最小值，可以将其转化为不等式形式，即x-2≥0或x-2≤0。
然后根据这两个不等式分别求解x的取值范围，得到最小值。
方法四：极值法极值法是将要求最值的式子看作一个函数，通过求函数的极值点来确定最值。
例如，我们要求 f(x) = x^2 的最小值，可以求函数的极值点。
对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，其极值点的横坐标是 -b/2a，通过求解方程 -b/2a = 0，可以得到 x = 0。
因此，f(x) = x^2 的最小值是 f(0) = 0。
方法五：辅助不等式法辅助不等式法是引入一个辅助不等式，通过该不等式来推导求解最值问题。
高考数学专题--基本不等式求最值的常用方法(解析版)
高考数学专题--基本不等式求最值的常用方法(解析版)直线ab经过点M可得1+a*log(m)=b，化简得a*log(m)=b-1将a*log(m)代入第一个式子得到11/b+log(m)的最小值令t=log(m)，则有11/b+t的最小值，根据部分“1”代换可得11/b+t=(1+1/b)*b+(t-1)的最小值，当且仅当b=2时取“=”，此时a=log(2)即为最小值。
已知$x>0$，$y>0$，且$x+y=1$，求$\frac{y^4}{x^2y^2}$的最小值。
解析：$\frac{y^4}{x^2y^2}=y^2+\frac{y^4}{x^2}\geq2\sqrt{y^2\cdot\frac{y^4}{x^2}}=2y^2$，所以最小值为$2$，当且仅当$x=y=\frac{1}{2}$时取等号。
已知正数$x$，$y$，且$x+y=4$，求$\frac{4}{x+2y+1}$的最小值。
解析：令$m=x+2$，$n=y+1$，则$x+2+y+1=m+n=5$，$\frac{4}{x+2y+1}=\frac{4}{m+n-2}\geq\frac{4}{4}=1$，所以最小值为$1$，当且仅当$x=2$，$y=1$时取等号。
已知$x>y>0$，且$x+y\leq 3$，求$\frac{3x+y}{2x+by+1}$的最小值。
解析：令$m=2x+y$，$n=y+1$，则$x=\frac{m-2n}{3}$，$y=n-1$，$x>y$可得$\frac{m-2n}{3}>n-1$，即$m>5n-3$。
所以$\frac{3x+y}{2x+by+1}=\frac{3m-6n+n}{2m+bn+1}=\frac{3}{2}\cdot\frac{m}{m+\frac{bn+1}{2}-n}\geq\frac{3}{2}\cdot\frac{5}{3}=2.5$，所以最小值为$2.5$，当且仅当$m=5n-3$时取等号，即$x=2$，$y=1$。
基本不等式求最值的八种思维方法
ʏ尹丹青利用基本不等式求最值是高考的常考点,下面介绍基本不等式求最值的八种思维方法㊂方法一: 定和 与 拼凑定和 求积的最值例1 已知x >0,y >0,且x +y =7,则(1+x )(2+y )的最大值为㊂解:由x +y =7,可拼凑(x +1)+(y +2)=10,利用基本不等式求最值㊂易得(x +1)+(y +2)=10,所以(1+x )(2+y )ɤ(1+x )+(2+y )22=25,当且仅当1+x =2+y ,即x =4,y =3时等号成立㊂故(1+x )㊃(2+y )的最大值为25㊂解后反思:利用基本不等式求最值时,必须同时满足: 一正 二定 三相等㊂方法二: 定积 与 拼凑定积 求和的最值例2 若a >-3,则a 2+6a +13a +3的最小值为㊂解:对a 2+6a +13a +3变形拼凑积为定值,利用基本不等式求最值㊂因为a >-3,所以a +3>0,4a +3>0㊂由基本不等式得a 2+6a +13a +3=(a +3)2+4a +3=(a +3)+4a +3ȡ2(a +3)㊃4a +3=4,当且仅当a +3=4a +3即a =-1时等号成立㊂故a 2+6a +13a +3的最小值为4㊂解后反思:观察积与和哪个是定值,根据 和定积动,积定和动 来求解㊂方法三: 和积化归 构建不等式求最值例3 已知x >0,y >0,且x +y +x y =3,若不等式x +y ȡm 2-m 恒成立,则实数m 的取值范围为㊂解:由基本不等式得(x +y )m i n =2,构建m 2-m ɤ(x +y )m i n ,再解不等式即可㊂由3-(x +y )=x y ɤ(x +y )24,当且仅当x =y =1时等号成立,解得x +y ȡ2或x +y ɤ-6(舍去),则(x +y )m i n =2㊂因为不等式x +y ȡm 2-m 恒成立,所以m 2-m ɤ(x +y )m i n ,即m 2-m ɤ2,解得-1ɤm ɤ2㊂解后反思:根据和与积的关系式,结合基本不等式可以求出积或和的最值,这就是 和积化归法㊂方法四: 化1 与 拼凑化1 求最值例4 已知a ,b 均为正数,且1a +1+2b -2=12,则2a +b 的最小值为㊂解:确定b >2,由题设变换得2a +b =2[2(a +1)+(b -2)]1a +1+2b -2,展开凑积为定值,利用基本不等式求最值㊂当b ɪ(0,2)时,2b -2<-1,而1a +1<1,则1a +1+2b -2<0,不符合题意,故b >2㊂2a +b =2(a +1)+(b -2)=2[2(a +1)+(b -2)]1a +1+2b -2=8㊃a +1b -2+2㊃b -2a +1+8ȡ216㊃a +1b -2㊃b -2a +1+8=16,当且仅当8㊃a +1b -2=2㊃b -2a +1,即a =3,b =10时等号成立㊂故2a +b 的最小值为16㊂解后反思: 化1 或 拼凑化1 求最值的关键是基本不等式的灵活应用㊂方法五:不等式链21a +1bɤa b ɤa +b2ɤa 2+b 22(a ,b ɪR *)的合理应用例5 已知a >0,b >0,若a +b =4,51知识结构与拓展高一数学 2023年7 8月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.则( )㊂A .a 2+b 2有最小值4B .a b 有最大值2C .1a +1b 有最大值1D .1a +b 有最小值24解:已知a >0,b >0,则21a +1b ɤa b ɤa +b 2ɤa 2+b22,当且仅当a =b 时取等号㊂a 2+b 2ȡ(a +b )22=8,A 错误㊂由4=a +b ȡ2a b ,可得a b ɤ4,B 错误㊂1a +1b ȡ4a +b =1,C 错误㊂1a +b ȡ12a +b 2=122=24,当且仅当a =b =2时取等号,D 正确㊂应选D ㊂解后反思:不等式链21a +1bɤa b ɤa +b 2ɤa 2+b 22(a ,b ɪR *)分别为调和平均数㊁几何平均数㊁代数平均数㊁平方平均数㊂方法六:复杂分式构造法凑定值例6 已知a >b ,不等式a x 2+2x +b ȡ0对于一切实数x 恒成立,且∃x 0ɪR ,使得a x 20+2x 0+b =0成立,则a 2+b2a -b的最小值为㊂解:由不等式恒成立和∃x 0ɪR 使得方程成立可得a b =1,将a 2+b2a -b化成a -b +2a -b 求最值㊂因为不等式a x 2+2x +b ȡ0对于一切实数x 恒成立,所以a >0,4-4a b ɤ0㊂因为∃x 0ɪR ,使得a x 20+2x 0+b =0成立,所以4-4a b ȡ0㊂据上可得,4-4a b =0,所以a >0,b >0,a b =1㊂故a 2+b 2a -b =(a -b )2+2a ba -b=a -b +2a -b ȡ22,当且仅当a -b =2a -b 时取等号㊂故所求的最小值为22㊂解后反思:复杂分式构造法凑定值,其目的是构造和式的积为定值,再利用基本不等式求最值㊂方法七:反解代入消元法凑积为定值例7 设b >0,a b +b =1,则a 2b 的最小值为㊂解:已知等式转化为b =1a +1,再通过常数分离得到a b 2=(a +1)+1a +1-2求最值㊂已知b >0,a b +b =1,所以b =1a +1,a +1>0,所以a 2b =a 2a +1=(a +1-1)2a +1=a +1+1a +1-2ȡ2(a +1)㊃1a +1-2=0,当且仅当a +1=1a +1,即a =0时等号成立㊂故a 2b 的最小值为0㊂解后反思:借助反解代入消元,重新构造积为定值,这是求解最值的通法㊂方法八:两次使用基本不等式求最值例8 已知x ,y 都为正实数,则4(x y +1)x +x 2y的最小值为㊂解:4(x y +1)x +x 2y=4y +4x +x 2y ㊂因为x ,y 都为正实数,所以4y +x 2yȡ24x 2=4x ,当且仅当4y 2=x 2,即2y =x 时等号成立㊂所以4y +4x +x 2yȡ4x +4x ȡ216=8,当且仅当4x =4x,即x =1时等号成立㊂综上所述,当x =1,y =12时,4(x y +1)x +x 2y取得最小值为8㊂解后反思:两次使用不等式求最值,既要注意多次取等号时成立的条件,也要注意两次使用不等式后能 约分凑出定值㊂作者单位:江苏省丹阳高级中学(责任编辑 郭正华)61 知识结构与拓展 高一数学 2023年7 8月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
基本不等式(完整版)
2b＋a≥2，ab>0； ab
a＋b 3ab≤ 2 2，a，b∈R；
当且仅当 a＝b 时 等号成立.
4a2＋b2≥
a＋b 2
2，a，b∈R
2
（5） 2 ab a b a2 b2 (a 0,b 0) .
11
2
2
ab
一、直接法
【例 1】以下结论，正确的是（ ） A．y＝x+ ≥4
B．ex+ ＞2
A. 2
B．2
C．2 2
D．4
解析：由1＋2＝ ab知 a>0，b>0，所以 ab＝1＋2≥2 2 ，即 ab≥2 2，
ab
ab
ab
1＝2，
ab 当且仅当 1＋2＝
即 a＝4 2，b＝2 4 2时取“＝”，所以 ab 的最小值为 2 ab，
2.故选 C
ab
变式 1：若实数 x、y 满足 2x+2y＝1，则 x+y 的取值范围是（ ）
证明： (a b)2 0 a2 2ab b2 0 a2 b2 2ab
推论： ab a2 b2 （ a,b R ）. 2
2、如果 a 0 ， b 0 ,则 a b 2 ab ，（当且仅当 a b 时取等号“=”）.
推论： ab
(a b )2 （ a
a2 0 ，b 0 ）；
C．x（1﹣x）≤（
）2 ＝
D．sinx+
（0＜x＜π）的最小值是 2
解：A：当 x＜0 时，不满足题意；B：
C：由基本不等式可得，x（1﹣x） 等号，故 C 符合题意； D：当 0＜x＜π时，0＜sinx≤1，则 故选：C．
＝2，不符合题意； ＝ ，当且仅当 x＝1﹣x 即 x＝ 时取
利用基本不等式求最值的常见方法
即(x+y) 8, max 当且仅当x y 4时，等号成立.
总结与提升：
类型一：配凑定值法；
特征：函数能化成“积”或“和”为定值的形式
类型二：常数代换法；
特征：已知ax by c,求 d + e（a,b, c, d, e为非零常数）形式 xy
类型三：函数单调性法；拆项法 y ax2 bx c
3x 4 y 1 (3x 4 y)( 3 1 )
5
xy
3x
当且仅当
y
12 y x
即x
x 3y 5xy
1,
y
1 2
时，等号成立.
类型三：函数单调性法 （拆项法求函数的最值）
x 例3.已知xx＞13, 求f (x) 2 2 的最小值.
x 1
2 3+2 解：f (x) (x1)2 2(x 1) 3 (x 1) 3 2
记t xy(t 0)
则（*)式可化为：t 2 2t 8 0,
可解得：t 4或t -2(舍），
即(xy) 16, min
当且仅当x y 4时，等号成立.
类型四：和积转化法
例4（. 1）已知x 0, y 0, xy x y 8,求xy的最小值;
（2）已知x 0, y 0, xy x y 8,求x y的最大值.
类型四：和积转化法
例4（. 1）已知x 0, y 0, xy x y 8,求xy的最小值; （2）已知x 0, y 0, xy x y 8,求x y的最大值.
解：（1）因为x 0, y 0, 所以xy x y 8 2 xy （8 *）
利用基本不等式求最值的常见方法
利用基本不等式求最值的常见方法基本不等式是数学中常用的一种推断和求解最值的方法之一、基本不等式包括均值不等式、柯西-施瓦茨不等式和几何平均与算术平均不等式等。
这些不等式的推导和使用方法可以帮助我们解决各种数学和实际问题。
下面将介绍一些利用基本不等式求最值的常见方法。
1.均值不等式法：均值不等式是最常用的基本不等式之一、它包括算术平均数与几何平均数的关系、算术平均数与谐波平均数的关系等。
通过运用均值不等式，我们可以将一个问题中的复杂表达式或不等式进行简化，从而方便进行求解或判断最值。
例如，当我们需要求解一组数据的算术平均数时，可以通过均值不等式推导出一个简化的不等式，从而确定平均数的范围。
2.柯西-施瓦茨不等式法：柯西-施瓦茨不等式是一种用于求解内积和范数的不等式。
通过柯西-施瓦茨不等式，我们可以推导出两个向量内积的最值以及两个向量范数的关系等。
在实际问题中，柯西-施瓦茨不等式可以用于求解线性规划问题、最小二乘法问题等。
例如，当我们需要求解两个向量的内积最大值时，可以通过柯西-施瓦茨不等式推导出一个简化的不等式来确定最大值。
3.几何平均与算术平均不等式法：几何平均与算术平均不等式是一种常用的不等式关系。
通过几何平均与算术平均不等式，我们可以推导出一组数的平方和与它们的几何平均的关系，或者一组数的立方和与它们的算术平均的关系等。
在实际问题中，几何平均与算术平均不等式可以用于求解数据的平均值、方差、标准差等。
例如，当我们需要求解一组数据的方差时，可以通过几何平均与算术平均不等式推导出一个简化的不等式，从而确定方差的范围。
4.归纳法：归纳法是一种常用的数学推导方法。
利用归纳法，我们可以通过已知条件和不等式的性质来推导出一组数的最值。
在实际问题中，归纳法可以用于求解复杂的不等式，例如任意n个数的幂和与它们的算术平均的关系等。
例如，当我们需要求解一组数据的幂和与它们的算术平均的关系时，可以通过归纳法证明一个定理，从而确定幂和与平均值的关系。
例谈用基本不等式求函数最值的常用方法
—2
,
当且仅当3x2=丄，即x =更时等号成立，故函数的最
2x
6
小值为痙。
2
二、配凑法
由以上不难看出，为了使所给函数满足三个条件，根据所
给函数的形式，可进行一些项的配凑，以期达到运用不等式的
目的。
例2：已知x>5,求y=-2--- x的最大值。 5-x
分析：各项并不为正，F 5-x 与-X的积不是定值，这时，需
对项进行一些配凑，
=
2 — 5-x +
(5-x)-5
2
=
4x—-25
+(x_5)]_5,
当 由 x且>仅5当,知二2-x^---5=+"x-55>,即2>x/2
, =
5
+
<-2\/2—5o
V2,等号成立，则函
数的最大值为-2V2-5o
类似这样的问题，当两个正数的积不为定值时，可通过项 的配凑，使之达到运用基本不等式的条件。
教学研究
科学咨询/科技管理
2019年第38期(总第657期)
例谈用基本不等式求函数最值的常用方法
朱 八未、、 (甘肃省临夏县中学 甘肃临夏 731800)
摘 要：例谈用基本不等式求函数最值的常用方法：拆 项法、配凑法、常值代换法、基本不等式的连续使用法、换元
法、配系数法等。 关键词：基本不等式；求函数最值；常用方法
： 例1 已知x>0,求函数y = 3x2 +丄的最小值。 x 分析：已有了 “正”这一条件，要使函数有最小值，还必 须有积“定”和“相等”两个条件，为了使积为定值，则可把
y 原函数式化为 = 3x2+ —+ —,根据推广式有 2x 2x
用基本不等式求最值六种方法
用基本不等式求最值六种方法基本不等式是指形如a≤b不等式。
在数学中，有许多方法可以使用基本不等式来求解最值的问题。
以下是六种常见的方法：方法一：直接使用基本不等式最常见的方法就是直接使用基本不等式求解最值。
这种方法适用于求解一个函数或表达式的最小值或最大值。
首先，找到要求解的函数或表达式，并用a表示自变量，用b表示函数的值或表达式。
然后，使用基本不等式将a和b进行比较，确定a和b之间的关系，从而得出最小值或最大值。
方法二：将问题转化为最值问题有时候，我们可以将原始问题转化为一个最值问题，然后再使用基本不等式求解。
例如，如果要求解一个多项式函数在一些区间上的最小值或最大值，我们可以求解多项式函数的导函数，并使用基本不等式得出导函数的最小值或最大值，从而得到原始问题的最小值或最大值。
方法三：分解求值当需要求解一个复杂的问题时，可以尝试将问题分解为若干个简单的问题，并求解这些简单问题的最值。
然后，使用基本不等式求出这些最值的函数值，再将它们组合起来求解原始问题的最值。
方法四：结合其他数学工具在一些特殊情况下，可以将基本不等式与其他数学工具结合使用，来求解最值问题。
例如，可以将基本不等式与数列极限定理、曲线图像分析等方法结合使用，来求解最值问题。
方法五：利用结论和定理有时候，基本不等式的求解可以直接应用一些已知的结论和定理。
例如，利用切线和切点的性质可以简化问题的求解过程，从而得到最值。
方法六：假设法和反证法假设法和反证法在不少情况下也是求解最值问题的有效方法。
假设法是假设一些变量的取值，然后通过推导和比较得出最值的范围。
反证法是通过假设不存在一些取值，并推导出矛盾，从而得出最值的范围。
以上是使用基本不等式求解最值问题的六种常见方法。
根据具体问题的特点和要求，可以选择合适的方法进行求解。
掌握这些方法将有助于我们更好地理解和应用基本不等式，解决实际问题。
高中基本不等式求最值解题技巧
高中基本不等式求最值解题技巧高中基本不等式求最值解题技巧一、基本不等式的概念和特点高中数学中，不等式是一个重要的概念，它与等式一样，是数学中的一种关系。
而基本不等式是不等式中的一种基础类型，它具有许多特点和求解技巧。
基本不等式一般为形如a/x + b/y ≥ c的形式，其中a、b、c为常数，x、y为变量，且x、y均大于0。
在基本不等式中，我们常常需要求解其最值，即找到使得不等式成立的最大或最小值。
这就需要掌握一些技巧和方法来解决这类问题，从而提高我们的数学解题能力。
二、基本不等式求最值的一般步骤1. 分析问题：我们需要对题目给出的基本不等式进行分析，明确要求的最值是最大值还是最小值。
要注意不等式中的常数和变量的具体取值范围。
2. 辅助变量法：辅助变量法是解决基本不等式求最值问题的常用方法。
通过引入一个新的变量，可以将原不等式转化为关于辅助变量的方程组，从而更容易地确定最值的取值范围。
3. 推广性分析：分析不等式中各项参数的推广性，确定不等式成立的条件，从而辅助我们找到最值的解法。
4. 求导分析：对于涉及函数的基本不等式问题，可以利用导数的性质进行求解。
通过求导分析函数的单调性和极值情况，可以确定不等式的最值区间。
5. 综合利用不等式性质：利用不等式的性质，结合数学推理和逻辑推导，可以更灵活地解决不等式求最值的问题。
三、高中基本不等式求最值的解题技巧与举例分析以基本不等式a/x + b/y ≥ c为例，我们可以通过具体的数学题目来演示基本不等式求最值的解题技巧。
给定不等式2/x + 3/y ≥ 5，求x和y的最小值。
我们可以引入辅助变量法，令t=1/x，s=1/y，那么不等式可以转化为2t + 3s ≥ 5。
通过求解辅助不等式2t + 3s = 5的解集，确定最值的取值范围。
进一步分析可知，不等式成立的条件为t>0，s>0，因此我们可以确定最值的解。
我们可以利用推广性分析的方法，分析a、b、c的取值范围，从而求解最值问题。
基本不等式的八种变形技巧
基本不等式的八种变形技巧基本不等式是用来求两个正变量和与积的最值的，但有些题目需要用到基本不等式的变形形式才能求最值，或者需要对待求式作适当变形后才能求最值。
下面介绍几种常见的变形技巧。
1.加上一个数或减去一个数使和或积为定值例如，对于函数$f(x)=\frac{x}{3-x}$，当$x<3$时，求$f(x)$的最大值。
因为$x0$，所以$f(x)=\frac{-3+x}{3-x}+3\leq \frac{4}{3-x}\leq -2+\frac{4}{3-x}=2+\frac{2}{3-x}$。
当且仅当$3-x=2$时等号成立，即$x=1$时，$f(x)$的最大值为$-1$。
2.平方后再使用基本不等式一般地，含有根式的最值问题，首先考虑平方后求最值。
例如，若$x>0$，$y>0$，且$2x^2+y^2=8$，求$x^6+2y^2$的最大值。
由于已知条件式中有关$x$，$y$的式子均为平方式，而所求式中$x$是一次的，且$\sqrt{y}$是二次的，因此考虑平方后求其最值。
设$a=x^2$，则$2a+y^2=8$，所以$y^2=8-2a$，代入$x^6+2y^2=x^6+16-4a$，即要求$a$的最小值。
由于$x>0$，所以$a>0$，所以$2a+y^2>0$，即$8-2a>0$，所以$a<4$。
由基本不等式，$(1+1+1+1+1+1)(a+a+a+y^2+y^2+y^2)\geq (x^6+2y^2)^2$，即$6(6a+3y^2)\geq (x^6+2y^2)^2$。
代入$y^2=8-2a$，整理得$x^6+2y^2\leq 29$，当且仅当$x^2=2$，$y^2=2$时等号成立，所以$x^6+2y^2$的最大值为$29$。
3.展开后求最值对于求多项式积的形式的最值，可以考虑展开后求其最值。
例如，已知$a>0$，$b>0$且$a+b=2$，求$(a+1)(b+1)$的最小值。
用基本不等式求最值六种方法
用基本不等式求最值六种方法用基本不等式求最值的六种方法一、配项法求解函数 $y=\frac{9}{x-2}$ 的最小值。
解析：$y=\frac{9}{x-2}+2-2\geq8$，当 $x-2=2$ 时，即$x=5$ 时等号成立。
二、配系数法求解函数 $y=x^4-3x^2$ 的最大值，其中 $0<x<1$。
解析：$y=\frac{2}{3}x^4-\frac{2}{3}x^4-3x^2+2\leq2$，当 $x=\frac{1}{\sqrt{3}}$ 时等号成立。
三、重复使用不等式法求解 $a>b>0$ 时，$a^2+b^2$ 的最小值。
解析：$a^2+b^2\geq\frac{(a+b)^2}{2}$，$a^2+b^2\geq\frac{(a+b)^2}{2}\geq\frac{(2\sqrt{ab})^2}{2}=2ab $，所以 $a^2+b^2\geq2ab$，当 $a=b\sqrt{2}$ 时等号成立。
四、平方升次法求解函数 $y=x+4-x^2$ 的最大值，其中 $x>0$。
解析：$y^2=4+2x^4-x^2\leq4+(x^2+(4-x^2)^2)=8$，当$x=2$ 时，$y$ 取得最大值 $2\sqrt{2}$。
五、待定系数法求解函数 $y=2\sin x(\sin x+\cos x)$ 的最大值。
解析：$y=2\sin^2x+2\sin x\cos x=2\sin^2x+\sin2x\leq2+\frac{1}{2}=2\frac{1}{2}$，当 $\sinx=\frac{1}{\sqrt{2}},\cos x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ 时等号成立。
六、常值代换法已知 $x>0,y>0$，且 $x+2y=3$，求 $\sqrt{x}+\sqrt{y}$ 的最小值。
解析：$\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{x}+\sqrt{\frac{x+2y}{2}}\geq\sqrt{3x+ 2\sqrt{2xy}}$，$3x+2\sqrt{2xy}=(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2(\sqrt{x}+2\sqrt{y})\geq(\s qrt{x}+\sqrt{y})^3$，所以$\sqrt{x}+\sqrt{y}\geq\sqrt[3]{\frac{27}{2}}$，当 $x=2,y=1$ 时等号成立。
利用基本不等式求最值的方法
利用基本不等式求最值的方法有多种，以下列举了其中六种方法：
1.配凑法：通过观察式子中的各项，尝试将其配成基本不等式的形式，从而求出最值。
2.均值不等式：对于一组正数a1, a2, ..., an，其算术平均值大于等于几何平均值，即
(a1+a2+...+an)/n >= sqrt(a1a2...*an)。
利用此不等式，可以将式子变形，从而求出最值。
3.等号成立条件：在使用基本不等式时，需要注意等号成立的条件。
例如，在使用均值不
等式时，只有在a1=a2=...=an时，等号才会成立。
4.换元法：在求解一些复杂的不等式时，可以通过换元法将问题简化。
例如，设a=a1/b1,
b=a2/b2, ...，将原式化简后再使用基本不等式求解。
5.对勾函数性质：对勾函数是一种特殊的函数形式，其性质可以用来求解一些复杂的不等
式。
例如，当x>0时，x+1/x >= 2 (当且仅当x=1时取等号)。
6.三角不等式：对于一些涉及到三角函数的式子，可以使用三角不等式来求解。
例如，
|sin(a)-sin(b)| <= |a-b|。
利用基本不等式求最值(学生版)-高中数学
利用基本不等式求最值题型梳理【题型1直接法求最值】【题型2配凑法求最值】【题型3常数代换法求最值】【题型4消元法求最值】【题型5构造不等式法求最值】【题型6多次使用基本不等式求最值】【题型7实际应用中的最值问题】【题型8与其他知识交汇的最值问题】命题规律基本不等式是高考热点问题，是常考常新的内容，是高中数学中一个重要的知识点.题型通常为选择题或填空题，但它的应用范围很广，涉及到函数、三角函数、平面向量、立体几何、解析几何、导数等内容，它在高考中常用于大小判断、求最值、求最值范围等.在高考中经常考察运用基本不等式求函数或代数式的最值，具有灵活多变、应用广泛、技巧性强等特点.在复习中切忌生搬硬套，在应用时一定要紧扣“一正二定三相等”这三个条件灵活运用.知识梳理【知识点1利用基本不等式求最值的方法】1.利用基本不等式求最值的几种方法(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值．(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.(3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值.(4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.(5)构造不等式法：构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利用基本不等式，构造目标式的不等式求解.【知识点2基本不等式的实际应用】1.基本不等式的实际应用的解题策略(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值.(2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围.(3)在应用基本不等式求函数的最值时，若等号取不到，则可利用函数的单调性求解.举一反三【题型1直接法求最值】1(2023上·北京·高一校考阶段练习)已知a>0，则a+1a+1的最小值为()A.2B.3C.4D.5【变式训练】1(2023·北京东城·统考一模)已知x>0，则x-4+4x的最小值为()A.-2B.0C.1D.222(2023上·山东·高一统考期中)函数y=x2-x+9x(x>0)的最小值为()A.1B.3C.5D.93(2023下·江西·高三校联考阶段练习)3+1 x21+4x2的最小值为()A.93B.7+42C.83D.7+43【题型2配凑法求最值】1(2023·浙江·校联考模拟预测)已知a>1，则a+16a-1的最小值为()A.8B.9C.10D.11【变式训练】1(2023上·吉林·高一校考阶段练习)已知x>3，则y=2x-3+2x的最小值是()A.6B.8C.10D.122(2023上·海南省直辖县级单位·高三校联考阶段练习)设x>2，则函数y=4x-1+4x-2，的最小值为()A.7B.8C.14D.153(2023上·辽宁·高一校联考期中)若x>0，y>0且满足x+y=xy，则2xx-1+4yy-1的最小值为()A.6+26B.4+62C.2+46D.6+42【题型3常数代换法求最值】1(2023上·内蒙古通辽·高三校考阶段练习)已知a>0，b>0，若2a+3b=1，则2a+b3的最小值是()A.8B.9C.10D.11【变式训练】1(2023·河南·校联考模拟预测)已知正实数a，b，点M1,4在直线xa+yb=1上，则a+b的最小值为()A.4B.6C.9D.122(2023上·重庆·高一统考期末)若正实数x，y满足2x+8y-xy=0，则2x+y的最大值为()A.25B.16C.37D.193(2023·重庆·统考一模)已知a，b为非负实数，且2a+b=1，则2a2a+1+b2+1b的最小值为()A.1B.2C.3D.4【题型4消元法求最值】1(2023上·江苏·高一校联考阶段练习)已知正数x，y满足3x-4=9y，则x+8y的最小值为.【变式训练】1(2023上·安徽池州·高一统考期中)已知x,y∈R+，若2x+y+xy=7，则x+2y的最小值为.2(2023上·山东淄博·高一校考阶段练习)已知正实数a,b，且2a+b+6=ab，则a+2b的最小值为.3(2023·上海崇明·统考一模)已知正实数a, b, c, d满足a2-ab+1=0，c2+d2=1，则当(a-c)2+(b-d)2取得最小值时，ab=．【题型5构造不等式法求最值】1(2023下·河南·高三校联考阶段练习)已知2a+b=ab(a>0,b>0)，下列说法正确的是()A.ab的最大值为8B.1a-1+2b-2的最小值为2C.a+b有最小值3+2D.a2-2a+b2-4b有最大值4【变式训练】1(2022上·山东青岛·高一青岛二中校考期中)已知x>0，y>0，且x+y+xy-3=0；则下列结论正确的是()A.xy的最小值是1B.x+y的最小值是2C.x+4y的最小值是8D.x+2y的最大值是42-32(2023上·江苏·高一专题练习)下列说法正确的是()A.若x>2，则函数y=x+1x-1的最小值为3B.若x>0，y>0，3x +1y=5，则5x+4y的最小值为5C.若x>0，y>0，x+y+xy=3，则xy的最小值为1D.若x>1，y>0，x+y=2，则1x-1+2y的最小值为3+223(2023上·广东中山·高三校考阶段练习)设正实数x,y满足x+2y=3，则下列说法错误的是()A.yx+3y的最小值为4 B.xy的最大值为98C.x+2y的最大值为2D.x2+4y2的最小值为92【题型6多次使用基本不等式求最值】1(2023·河南·校联考模拟预测)已知正实数a，b，满足a+b≥92a+2b，则a+b的最小值为()A.5B.52C.52 D.522【变式训练】1(2023·山东菏泽·统考一模)设实数x,y满足x+y=1，y>0，x≠0，则1x+2xy的最小值为()A.22-1B.22+1C.2-1D.2+12(2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测)已知实数x,y,z>0，满足xy+zx=2，则当4y+1z取得最小值时，y+z的值为()A.1B.32C.2 D.523(2023上·辽宁大连·高一期末)若a>0,b>0,a+b=1，则a2+3aba+2b+2b+1-1b的最大值为()A.2B.2-2C.3-2D.3-22【题型7实际应用中的最值问题】1(2023上·四川眉山·高一校联考期中)如图，高新区某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为400m2的十字形地域.计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为8400元/m2；在四个相同的矩形(图中阴影部分)上铺花岗岩地坪，造价为420元/m2；再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪，造价为160元/m2.设总造价为y(单位：元)，AD长为x(单位：m).(1)用x表示AM的长度，并求x的取值范围；(2)当x为何值时，y最小？并求出这个最小值.【变式训练】1(2023上·山东·高一校联考期中)某校地势较低，一遇到雨水天气校园内会有大量积水，不但不方便师生出行，还存在严重安全问题.为此学校决定利用原水池改建一个深3米，底面面积16平方米的长方体蓄水池.不但能解决积水问题，同时还可以利用蓄水灌溉学校植被.改建及蓄水池盖儿固定费用800元，由招标公司承担.现对水池内部地面及四周墙面铺设公开招标.甲工程队给出的报价如下：四周墙面每平方米150元，地面每平方米400元.设泳池宽为x米.2≤x≤6(1)当宽为多少时，甲工程队报价最低，并求出最低报价.(2)现有乙工程队也要参与竞标，其给出的整体报价为900a x+2x元(a>0)(整体报价中含固定费用).若无论宽为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围.2(2023上·江苏苏州·高一校考阶段练习)因新冠疫情零星散发，某实验中学为了保障师生安全，同时考虑到节省费用，拟借助校门口一侧原有墙体建造一间高为4米、底面积为24平方米、背面靠墙体的长方体形状的隔离室．隔离室的正面需开一扇安全门，此门高为2米，且此门高为此门底的1 3．因此室的后背面靠墙，故无需建墙费用，但需粉饰．现学校面向社会公开招标，甲工程队给出的报价：正面为每平方米360元，左右两侧面为每平方米300元，已有墙体粉饰为每平方米100元，屋顶和地面以及安全门报价共计12000元．设隔离室的左右两侧面的底边长度均为x米(1≤x≤5)．(1)记y为甲工程队整体报价，求y关于x的关系式；(2)现有乙工程队也要参与此隔离室建造的竞标，其给出的整体报价为4800t(x+1)x元，问是否存在实数t，使得无论左右两侧底边长为多少，乙工程队都能竞标成功(注：整体报价小者竞标成功)，若存在，求出t满足的条件；若不存在，请说明理由．3(2023上·重庆·高一校考阶段练习)为宜传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张面积为36000cm2的矩形海报纸(记为矩形ABCD，如图)上设计四个等高的宣传栏(栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形)，为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm，设DC=xcm．(1)将四个宣传栏的总面积y表示为x的表达式，并写出x的范围；(2)为充分利用海报纸空间，应如何选择海报纸的尺寸(AD和CD分别为多少时)，可使用宣传栏总面积最大？并求出此时宣传栏的最大面积．【题型8与其他知识交汇的最值问题】1(2023上·安徽·高三校联考阶段练习)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足c+b cos2A=2a cos A cos B A≤B.(1)求A；(2)若角A的平分线交BC于D点，且AD=1，求△ABC面积的最小值.【变式训练】1(2023上·安徽铜陵·高二校联考期中)已知圆C的圆心在坐标原点，面积为9π．(1)求圆C的方程；(2)若直线l，l 都经过点(0,2)，且l⊥l ，直线l交圆C于M，N两点，直线l 交圆C于P，Q两点，求四边形PMQN面积的最大值．2(2023上·江苏盐城·高一校考阶段练习)已知在定义域内单调的函数f x 满足f f x +12x+1-ln x=23恒成立．(1)设f x +12x+1-ln x=k，求实数k的值；(2)解不等式f7+2x>-2x2x+1+ln-ex；(3)设g x =f x -ln x，若g x ≥mg2x对于任意的x∈1,2恒成立，求实数m的取值范围．3(2023下·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是长方形A1B1C1D1内一点，∠APC是二面角A-PD1-C的平面角.(1)证明：点P在A1C1上；(2)若AB=BC，求直线PA与平面PCD所成角的正弦的最大值.直击真题1(2022·全国·统考高考真题)若x，y满足x2+y2-xy=1，则()A.x+y≤1B.x+y≥-2C.x2+y2≤2D.x2+y2≥12(2020·山东·统考高考真题)已知a>0，b>0，且a+b=1，则()A.a2+b2≥12B.2a-b>12C.log2a+log2b≥-2D.a+b≤23(2020·全国·统考高考真题)设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点，若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为() A.4 B.8 C.16 D.324(2021·天津·统考高考真题)若a>0,b>0，则1a+ab2+b的最小值为．5(2020·天津·统考高考真题)已知a>0, b>0，且ab=1，则12a+12b+8a+b的最小值为6(2020·江苏·统考高考真题)已知5x2y2+y4=1(x,y∈R)，则x2+y2的最小值是．7(2019·天津·高考真题)设x>0, y>0, x+2y=5，则(x+1)(2y+1)xy的最小值为8(2017·江苏·高考真题)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是．。
基本不等式求最值六法
灵 活 运 用 基 本 不 等 式(,0)2a b a b +>求最值，必须注意三要素：一正、二定、三相等。
所谓“一正”是指“正数”，“二定”是指和或积要为定值，“三相等”是指要满足等号成立的条件。
在满足条件的情况下，和是定值积有最大值（22)4S S a b =+≤=a+b 定值，ab (2），积是定值和有最小值(T ab =≥=是定值，a+b 。
有些题目从表明看不能直接使用基本不等式，但是经过一定的变形就可以使用，变形的方法一般有以下几种。
一：化负为正例1若0x <，求49y x x=+的最大值 分析：0x <，必须变负号为正，用x x =-转化 解：4449(9)12y x x x x x x=+=-+≤-=- 当且仅当49x x=，即23x =-时，49y x x =+取最大值－12 二：拆项后使用 例2已知3x >，求43y x x =+-的值域。
分析:将43x x +-变形为4(3)33x x +-+-使用基本不等式 解：因为3x >，所以30x ->。
∴ 4(3)3373y x x =+-+≥=- 当且仅当 433x x =-- ，即5x =时取等号。
所以43y x x =+-的值域是[7,+∞) 三：调整系数法 例3已知302x <<,求函数 (32)y x x =-的最大值 分析：求x 与（32x -）积的最大值，它们的和(32)x x +-不是常数，但2(32)3x x +-=是常数，所以将函数变形为12(32)2x x ⋅⋅-使用基本不等式。
解：∵302x <<，∴320x ->，∴21123292(32)()2228x x y x x +-=⋅⋅-≤= 当且仅当 232x x =- ，即34x =时 y 取最大值98 四：分离常数法例4当1x >-时，求231()1x x f x x -+=+的值域。
高考数学专题--基本不等式求最值的常用方法(解析版)
基本不等式求最值的常用方法一、常数代换法1、直接“1”代换例1. 已知正数x 、y 满足12=+y x ，求yx 11+的最小值. 解析：223221)11)(2(+≥+++=++yxx y y x y x当且仅当yxx y =2 即12-=x ，222-=y 时取“=” 变式. 已知正数x 、y 满足32=+y x ，求yx 11+的最小值. 解析：3221)223(31)221(31)11)(2(31+=+≥+++=++y x x y y x y x当且仅当y x x y =2 即)12(3-=x ，2)22(3-=y 时取“=”2、间接“1”代换例1. 若x 、y 为正实数且082=-+xy y x ，求y x +的最小值.解析：082=-+xy xy y x 即182=+x y ，188********)82)((=⨯+≥+++=++xyy x x y y x当且仅当xyy x 82= 即12=x ，6=y 时取“=”例2.若正数x 、y 满足xy y x 53=+，求y x 43+的最小值.解析：553==+xy xy xy y x 即531=+xy5)123213(51)12349(51)31)(43(51=⨯+≥+++=++x y y x x y y x当且仅当x y y x 123=即1=x ，21=y 时取“=” 例3.已知x 、y 均为正数，且111=+y x ，求1914-+-y yx x 的最小值. 解析：25362139413)11)(94(1914119114=+≥++=++=+=-+-y x x y y x x y xy yx当且仅当y x x y 94= 即35=x ，25=y 时取“=”例4. 已知函数x a y -=1的图像恒过定点A ,若点A 在直线1=+ny mx （0,0>>n m ）上，求nm 11+的最小值. 解析：由题意可得A 的坐标为（1,1） 则有1=+n m41222))(11(11=+≥++=++=+nmm n n m n m n m当且仅当n m m n = 即21==n m 时取“=”例5. 已知函数xm y log 1+= （0>m 且1≠m ）的图像恒过点M ，若直线1=+bya x （0,0>>b a ）经过点M ，则b a +的最小值是多少？解析：由题意得M （1,1） 则111=+ba 41222))(11(=+≥++=++=+b aa b b a b a b a当且仅当baa b = 即2==b a 时取“=”3.部分“1”代换例. 若正数x 、y 满足1=+y x ，求yx y 4+的最小值.解析：844244)(44=+≥++=++=+yx x y y x y x y y x y 当且仅当y x x y 4= 即31=x ，32=y 时取“=”二、双换元法1.有两项分母较长例1. 已知正数x 、y 满足1=+y x ，求1124+++y x 的最小值. 解析：令2+=x m ，1+=y n 则412=+=+++n m y x49)425(41)414(41)14)((411124=+≥+++=++=+++n m m n n m n m y x 当且仅当n m m n =4 即31=y ，32=x 时取“=”变式1. 若0,0>>b a ，且11121=+++b b a ，则b a 2+的最小值为多少？ 解析：令b a m +=2， 1+=b n 可得21+-=n m a ，1-=n b ，111=+nm23)232)(11(2323222212-++=-+=-++-=+n m n m n m n n m b a321232122123221+=⨯+≥++=m n n m 当且仅当nmm n 223=即n m 3=，213+-=b b a 时取“=”变式2. 已知0>>y x ，且2≤+y x ，求yx y x -++132的最小值. 解析：令⎩⎨⎧=-=+n y x m y x 3 可得 ⎪⎩⎪⎨⎧-=+=443n m y m n x 由0>>y x 得443n m m n ->+ 即0>>n m ∴22422443≤+=+=-++=+n m n m n m n m y x得4≤+n m )0(>>n m ∴nm y x y x 12132+=-++ ∴223212))(12(+≥+++=++nmm n n m n m ∴n m n m ++≥+223124≤+n m ∴422322312+≥++≥+n m n m 当且仅当nmm n =2 即n m 2= 即248-=m ，424-=n 时取“=”2.有一项分母较长例. 已知y x 、为正实数，求yx xx y ++216的最小值. 解析：令⎩⎨⎧=+=n y x m x 2 可得⎩⎨⎧-==m n y mx 2∴62162216162216=-≥-+=+-=++nm m n n m m m n y x x x y 当且仅当nmm n 16=即m n 4= 即x y 2=时取“=”三、主元思想法：当要求的元素在条件里出现的时候例1. 已知0>x ，0>y ，y x xy 2+=，若2-≥m xy 恒成立，求实数m 的最大值.解析：xy y x y x xy 22222=⋅≥+= 两边平方得xy xy 8)(2≥，8≥xy2-≥m xy 恒成立 即82≤-m ∴10≤m （本题将xy 作为主元） 当且仅当y x 2=即4=x ，2=y 时取“=”例2. 若正实数y x 、满足xy y x =++62，则xy 的最小值是多少？解析： 62262262+⋅=+⋅≥++=xy y x y x xy 令0>=xy t可得6222+≥t t 解得2-≤t （舍去） 23≥t 18≥∴xy 得xy 的最小值是18 当且仅当x y 2=即3=x ，6=y 时取“=”例3. 已知0>x ，0>y ，822=++xy y x ，求y x 2+的最小值.解析：822=++xy y x 4)2(222y x y x xy +≤⋅=由上面两式得4)2()2(822y x y x xy +≤+-= 令02>=+t y x得482t t ≤- 解得4≥t 即y x 2+的最小值为4当且仅当x y 2=即3=x ，6=y 时取“=”例4.已知y x 、均为正数，且1)(=+-y x xy ，求y x +的范围解析：4)(1)(2y x y x xy +≤++=，令0>=+t y x ，可得412t t ≤+解得222222+≤≤-t 0>t ∴2220+≤+<y x 当且仅当x y =即21+==y x ，时取“=”例5.已知0>x ，0>y ，且12)1)(3(=++y x ，求y x 3+的最小值.解析：1233)1)(3(=+++=++x y xy y x ，即93=++y x xy4)3(31)3(93312y x y x y x xy +⋅≤+-=⋅⋅= ，令03>=+t y x得1292t t ≤- 解得6≥t 即y x 3+的最小值为6当且仅当x y =3即3=x ，1=y 时取“=”四、拼凑法1.项数拼凑例1.求函数222163x x y ++=的最小值. 解析：63816326216)2(322-=⨯≥-+++=x x y当且仅当216)2(322+=+x x 即3634-=x ，时取“=”变式1. 求函数2162++=x x y 在),2(+∞-∈x 上的最小值. 解析：428416224216)2(2-=-⨯≥-+++=x x y当且仅当216)2(2+=+x x 即222-=x ，时取“=”变式2. 已知关于x 的不等式722≥-+ax x 在),(+∞∈a x 上恒成立，求a 的最小值.解析：a a a a x a x 2424222)(2+=+≥+-+-，∴只需724≥+a 即可，23≥a例2. 求函数1216++=x x y （),21(+∞-∈x ）的最小值.解析：21242182211216212-=-≥-+++=x x y当且仅当1216212+=+x x 即2124-=x ，时取“=”变式. 已知0>x ，a 为大于x 2的常数，求x xa y --=21的最小值.解析：22221222221aa a x a x a y -=-≥--+-=当且仅当xa x a 2122-=-即22-=a x ，时取“=”2.系数拼凑例1. 当210<<x 时，求)21(21x x y -=的最大值. 解析：1614)212(41)21(241)21(212=-+⋅≤-⋅⋅=-=x x x x x x y当且仅当x x 212-=即41=x ，时取“=”例2. 已知0>a ，0>b ，且3222=+b a ，求212b a +的最大值.解析：224)12(2)1(22)1(41222222222=++⋅≤+⋅=+=+b a b a b a b a 当且仅当2212b a +=即1=a ，1=b 时取“=”五、分子分母不齐次1.低次换元法例1. 求313)(2-+-=x x x x f )3(>x 的最小值.解析：令3-=x t ，则3+=t x则 531231131)3(3)3()(22=+≥++=++=++-+=t t t t t t t t t f当且仅当tt 1=即1=t ，4=x 时取“=”例2.求2122+++=x x x y )2(->x 的值域.解析：令2+=x t ，则2-=t x 0211)2(2)2(2≥-+=+-+-=∴tt t t t y当且仅当tt 1=即1=t ，1-=x 时取“=”2.分子常数法例1. 求函数4342+=x x y 的最大值.解析：4342343432242=≤+=+=x x x x y （将分子化成常数）当且仅当224xx =即22=x 时取“=”例2.若对任意0>x ，a x x x≤++132恒成立，则a 的取值范围是多少？解析：513121311132=+≤++=++x x x x x 51≥∴a当且仅当xx 1=即1=x 时取“=”六、两元消参法例1. 若x ，),0(+∞∈y ，302=++xy y x ，求y x +的最小值. 解析：30)2(2=++=++y x x xy y x 2321232)2(230++-=+-+-=+-=∴x x x x x y 则328323221232-≥-+++=-++=+x x x x y x 当且仅当2322+=+x x 即224-=x 时取“=”例2. 已知41=ab ，a ，)1,0(∈b ，则b a -+-1211的最小值是多少？ 解析：41=ab )1,0(∈a )1,0(41∈=∴a b ，),1(4+∞∈a ，则 ),41(+∞∈a)1,41(∈∴a 142281114811411211-+-+-=-+-=-+-a a a a a a a a 214211142)14(211+-+-=-+-+-=a a a a a令)43,0(1∈-=a m )3,0(14∈-=a n 则34=+n m 原式可化为：2)824(312)4)(21(31221++++=+++=++nmm n n m n m n m324482314)8(314+=⨯+≥++=n m m n 当且仅当nmm n 8=即m n 22=，4)22(3-=m ，323-=n 时取“=”例3. 已知正实数b a 、满足042≤+-b a ，则ba ba u ++=32的最小值为多少？解析：由042≤+-b a 得42+≥a b141343333322++-=++-≥+-=+-+=++=aa a a ab a a b a a b a b a b a u 51414213=+-≥ 当且仅当2=a 即时取“=”例4. 若正数x ，y 满足0162=-+xy x ，则y x 2+的最小值是多少？解析：由0162=-+xy x 得 661612xx x x y -=-=32292231323312=≥+=-+=+x x x x x y x 当且仅当xx 3132=即22=x ，122=y 时取“=”例5. 已知0>>b a ，求)(12b a b a -+的最小值.解析：44)()(22a b a b b a b =-+≤- 442441)(122222=≥+=+≥-+∴aa a ab a b a 当且仅当224a a = 即2=a 时取“=”七、三元消参法（“相等”、“不相等”）1.“相等”关系例1. 正数a ，b ，c 满足)(4b a abc +=，求c b a ++的最值.解析：由)(4b a abc +=⇒ab ab b ac 44)(4+=+=842424444=+≥+++=+++=++b b a a a b b a c b a当且仅当a a 4= ，bb 4=即2=a ，2=b ，4=c 时取“=”例2. 设正实数x ，y ，z 满足04322=-+-z y xy x ，求zxy的最大值.解析：由04322=-+-z y xy x ⇒ 2243y xy x z +-=134213414322=-≤-+=+-=xy y x y xy x xy z xy 当且仅当xy y x 4=，即y x 2=时取“=”例3.设正实数x ，y ，z 满足 032=+-z y x ，求xzy 2的最小值.解析：由032=+-z y x ⇒ 23223zx z x y +=+=3234941223494)232(22=+⨯≥++=+=x z z x xz z x xz y 当且仅当 xzz x 494=，即z x 3=时取“=”例4.设正实数x ，y ，z 满足12=++z y x ，求zy y x y x ++++)(91的最小值. 解析：由 12=++z y x ⇒ y x z 21--=1191)(1)(91)(91-+++=+-+++=++++∴yx y x y x y x y x z y y x y x1119)11(+-++-+=yx yx 令t yx =-+11上式可写成 719219=+≥++t t 当且仅当 t t 1=，即21=+y x 时取“=”2.“不相等”关系例1.正数a 、b 、c 满足a c b ≥+，求ba cc b ++的最小值. 解析：由a c b ≥+ ⇒ c b a +≤ cb cc b b a c c b ++≥++∴2 令⎩⎨⎧=+=y c b x c 2 ⇒ ⎪⎩⎪⎨⎧-==2x y b x c 2122121221222-=-≥-+=+-≥++≥++∴y x x y y x x x y c b c c b b a c c b 当且仅当 y x x y =2，即c b 2)12(-=时取“=”例2.正数x ，y ，z 满足1222=++z y x ，求xyzz S 21+=的最小值. 解析：由题意，xy z y x 21222≥-=+ 即212z xy -≤ 44)1(1)1(1)1(12122=+-≥⋅-=⋅-+≥⋅+=z z z z z z z z xy z S 当且仅当 z z =-1，即21=z 时取“=” 例3.二次函数0)(2≥++=c bx ax x f （b a <）对任意x 恒成立，求ab c b a -++4的最小值. 解析：由题意得：0>a ，042≤-=∆ac b ⇒ a b c 42≥ 11444222-++=-⋅++≥-++ab a b a b a b a b b a a bc b a 令1-=a b t 则1+=t a b 上式33233331)1()1(22+≥++=++=++++=tt t t t t t t 当且仅当 t t 3=，即13+=ab 时取“=”八、不能直接用均值不等式（一负二定三不等）1.为负值时（负）例1.已知10<<x ，求xx y lg 4lg +=的最大值. 解析：10<<x ，0lg <∴x 4)42()lg (4)lg (-=-≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=∴x x y 当且仅当 x x lg 4lg -=-，即1001=x 时取“=”例2.当23<x 时，求函数328-+=x x y 的最大值.解析：23<x ⇒ 032<-x 2523821223))32(8(2)32(328-=+⨯-≤+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+---=-+=x x x x y 当且仅当328232-=-x x ，即21-=x 时取“=”例3.已知45<x ，求函数54124-+-=x x y 的最大值. 解析：45<x ⇒054<-x 354154+-+-=x x y 3)54(1)54(+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+---=x x 1312=+-≤ 当且仅当 54154-=-x x ，即1=x 时取“=”2.取不到等号（不等）例. 求函数4522++=x x y （R x ∈）的最小值.解析：令242≥=+t x ⇒ 422-=t x则tt t t t t y 115422+=+=+-=，2≥t 取不到1 2=∴t 时y 最小 即25212=+≥y九、调几算平2211222b a b a ab b a +≤+≤≤+例1.设a ，0>b ，5=+b a ，求31+++b a 的最大值.解析：223292)31(231==+++≤+++b a b a 即2331≤+++b a 当且仅当 31+=+b a ，即27=a ，23=b 时取“=”例2.已知x 、y 均为正数，且y x a y x +≤+恒成立，求a 的最小值.解析：由y x a y x +≤+ ⇒ y x yx a ++≥ y x y x y x +=+≤+2222 ⇒ y x y x +⋅≤+2可得2≤++y x yx 2≥∴a例3.设实数a ，x ，y 满足⎩⎨⎧-+=+-=+3212222a a y x a y x ，求a 的取值范围. 解析：2222y x y x +≤+ 当且仅当y x =时“=”成立 2322122-+≤-∴a a a 即232414422-+≤+-a a a a 得07822≤+-a a ⇒ 222222+≤≤-a 例4.设实数a ，b ，c 满足122≤≤+c b a ，求c b a ++的最大值.解析：2222b a b a +≤+ 2122222=⋅≤+≤+∴b a b a 1≤c 12+≤++∴c b a 当且仅当b a =时“=”成立十、柯西不等式：①222122212211y y x x y x y x +⋅+≤+②232221232221332211y y y x x x y x y x y x ++⋅++≤++ 例1.设a ，b ，m ，R n ∈，且522=+b a ，5=+nb ma ，求22n m +的最小值. 解析：22225b a n m nb ma +⋅+≤+= 522≥+∴n m例2.设a ，b ，),0(+∞∈c ，且1=++c b a ，求c b a ++的最大值.解析：3111111222=++⋅++≤⋅+⋅+⋅=++c b a c b a c b a例3.已知a ，b ，c 均为正数，若632=++c b a ，求222c b a ++的最小值. 解析：222222321326c b a c b a ++⋅++≤++= 718222≥++∴c b a十一、拆分法求最值例1.已知x ，y ，+∈R z ,求222z y x yz xy U +++=的最大值. 解析：22)(2212212212122222222=++=++≤++++=yz xy yz xy z y y x yz xy z y y x yz xy U 当且仅当y z x 22==时“=”成立变式 .已知x ，y ，+∈R z ,（1）求222zy x zx yz xy U ++++=的最大值 （2）求2222z y x yz xy U +++=的最大值解析：（1）)(21)222(21222222222z z y y x x zx yz xy z y x zxyz xy U +++++++=++++= 1)222(21=++++≤xz yz xy zxyz xy 当且仅当z y x ==时“=”成立（2）2554522545122222=++≤++++=yz xy yz xy z y y x yz xy U 当且仅当z y x ==5522时“=”成立例2.已知0>x ，求221xx +的最小值. 解析：23212232122213222=⋅⋅⋅≥++=+xx x x x x x x ，当且仅当1=x 时“=”成立十二、元素整体代换法：一般先分解因式，研究条件与问题关系，整体代换例1.若a ，b ，0>c ，且324)(-=+++bc c b a a ，求c b a ++2的最小值.解析:324))(()()()(-=++=+++=+++c a b a c b a b a a bc c b a a令⎩⎨⎧+=+=c a y b a x ⇒ 324-=xy 232324222-=-=≥+=++xy y x c b a当且仅当c b =时“=”成立例2.若a ，b ，0>c ，且124222=+++bc ac ab a ，求c b a ++的最小值.解析：12)2)(2()2(2)2(4222=++=+++=+++c a b a b a c b a a bc ac ab a令⎩⎨⎧+=+=c a y b a x 22 ⇒ 12=xy ， 3212222==≥+=++xy y x c b a 当且仅当c b =时“=”成立例3.已知c b a >>，N n ∈，且ca n cb b a -≥-+-11恒成立，求n 的最大值. 解析：令⎩⎨⎧-=-=c b y b a x ⇒y x c a +=-，由c a n c b b a -≥-+-11 得y x n y x +≥+11，即42))(11(≥++=++≤yx x y y x y x n 当且仅当b c a 2=+时“=”成立十三、不等式证明例1.已知c b a >>，求证ca cb b a ->-+-111. 证明：令m b a =-，nc b =- ⇒c a n m -=+ 12))(11(>++=++n m m n n m n m ，1))(11(>--+-∴c a cb b a ca cb b a ->-+-∴111得证例2.设a ，b ，+∈R c ，求证4)11)((≥++++cb ac b a . 证明：令m a =，n c b =+，)11)(()11)((nm n m c b a c b a ++=++++ 42≥++=n m m n 4)11)((≥++++∴cb ac b a 当且仅当c b a +=时“=”成立例3.已知a ，b ，+∈R c ，求证c b a ac c b b a ++≥++222. 证明：c b a c b a a ac c c b b b a 222222222222++=++≥+++++ 当且仅当c b a ==时“=”成立c b a ac c b b a ++≥++∴222 得证。
浅谈用基本不等式求最值的几种方法
理论研究2013-04基本不等式在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用。
现将基本不等式的最值的求解方法归纳整理如下：解题技巧一：直接利用均值定理例1.求y =3x 2+12x2的值域。
解：（1）y =3x 2+12x 2≥23x 2·12x2√=6√∴值域为［6√，+∞）解题技巧二：凑项例2.当x >-1时，求f （x ）=x +1x +1的最小值。
解：∵x >-1，∴x +1>0.∴f （x ）=x +1x +1=x +1+1x +1-1≥2（x +1）·1x +1√-1=1.当且仅当x +1=1x +1，即x =0时，取得等号.∴f （x ）min =1.解题技巧三：凑系数例3.当0<x <4时，求y=x （8-2x ）的最大值。
思路分析：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。
解：由0<x <4知，8-2x >0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。
注意到2x +（8-2x ）=8为定值，故只需将y=x （8-2x ）凑上一个系数即可。
y=x （8-2x ）=122x ·（8-2x ）[]≤12（2x +8-2x 2）2=8当2x =8-2x ，即x =2时取等号，当x =2时，y=x （8-2x ）的最大值为8。
解题技巧四：分离例4.求y =x 2+7x +10x +1（x >-1）的值域。
解法一：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x +1）的项，再将其分离。
y =x 2+7x +10x +1=（x +1）2+5（x +1）+4x +1=（x +1）+4x +1+5当x >-1，即x +1>0时,y ≥2（x +1）×4x +1√+5=9（当且仅当x =1时取“=”号）。
不等式专题：基本不等式求最值的6种常用方法(解析版)
基本不等式求最值的6种常用方法知识梳理：一、基本不等式常用的结论1、如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab （当且仅当a b =时取等号“=”）推论：ab ≤a 2＋b 22（a ，b ∈R ） 2、如果a ＞0，b ＞0，则a ＋b ≥2ab ，（当且仅当a ＝b 时取等号“＝”）.推论：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22（a ＞0，b ＞0）；a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 223、a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b（a ＞0，b ＞0）二、利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 三、利用基本不等式求最值的方法1、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系2、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。
3、代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法； 类型2：分母为多项式时方法1：观察法 适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系； 方法2：待定系数法，适用于所有的形式，如分母为3a ＋4b 与a ＋3b ，分子为a ＋2b ，设a ＋2b ＝λ(3a ＋4b )＋μ(a ＋3b )＝(3λ＋μ)a ＋(4λ＋3μ)b∴ ⎩⎪⎨⎪⎧3λ＋μ＝1，4λ＋3μ＝2.解得：⎩⎨⎧λ＝15，μ＝25.4、消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题。
5、构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。
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g
n
111用基本不等式求最值六种方法
一．配项
例1：设x>2,求函数
y=x+的最小值
9
2
x-
解析：y=x-2+
+2≥8 当x-2=时，即x=5时等号成立
9
2
x-
9
2
x-
例2：已知
a,b是正数，满足ab=a+b+3,求ab的最小值
法1：
ab=a+b++3当a=b
即ab≥9当a=b=3时等号成立。
法2:已知可化为（a-1）(b-1)=4.又ab=(a-1)+（b-1）+5≥9当a-1=b-1=2时等号成立，即a=b=3
二．配系数
例3:设0<x<1,求的最大值
解析：y=当
三．重复使用不等式
例4：已知a>b>0，求+的最小值
2
a
16
()
a b b
-
解析：+=+≥4(a-b)b+≥2
2
a
16
()
a b b
-
2
a b b
-+
（）
16
()
a b b
-
16
()
a b b
-
当时，等号成立。
四．平方升次
例5：当x>0时，求函数y=x+的最大值。
解析：y=x+4-x=4+≤4+［x+)］22222 =8 当，即时，y取得最大值.
五．待定系数法
例6：求y=2sinx(sinx+cosx)的最大值。
h
e
i
b
e
解析：y=2sin x+2sinxcosx
2
=2 sin x+(a>0)
2
2sin(cos)
x a x
a
≤2 sin x+
2
222
sin cos
x a x
a
+
=a+若为定值，则
22
(21)sin
a a x
a
+-
=0，+1,
2
21
a a
+-
所以时成立。
六．常值代换
例7：已知x>0,y>0,且x+2y=3,求+的最小值
1
x
1
y
解析：+=(x+2y)( +)=1+(+)≥1+
1
x
1
y
1
3
1
x
1
y
1
3
2y
x
x
y
2
3
当且仅当=，且x+2y=3，即-1),y=)时，取2y
x
x
y
3
2
得最小值为1+2
3。