高考中三角函数和解三角形问题
论文编码：
首都师范大学
本科学生毕业论文
解析高考中三角函数和解三角形考点
作者：赵梦然
院系：数学科学学院
专业：数学与应用数学（师范）
学号： 1080500035
指导教师：刘卫红
日期： 2012年5月
中文摘要
三角函数和解三角形问题是每年高考中几乎必考的内容，只要学习复习得当，这一部分内容是有一定规律性的，经过对近年来高考题的分析总结，对于考点做出了归纳。三角函数和解三角形是高中数学的重要内容，也是高考中的热点之一，三角函数对于高中学生来说并不是一个完全陌生的内容，初中阶段学生曾接触过一些相关知识，因此对于知识引入有一定的铺垫，但是高中的三角函数内容丰富，公式繁多，需要从入手学习开始理清头绪，抓住重点，更好的应对高考中的三角函数题目。解三角形在初中时期是接触过的，但是那时是限于直角三角形中的，高中的学习更加一般化，研究了任意三角形中的边角关系，这是高考重要考点。
关键词：三角函数，解三角形，正弦，余弦，诱导公式,正弦定理，余弦定理
ABSTRACT
The triangle trigonometric reconciliation problem is almost compulsory in the annual college entrance examination, as long as proper learning review, this part of the contents of a certain regularity summary, after the analysis in recent years, the college entrance examination questions for the test sites to make the induction. Trigonometric reconciliation triangle is an important part of the high school mathematics, is also one of the hot college entrance examination, the trigonometric functions for high school students is not an entirely unfamiliar content, junior secondary students had contact with some knowledge, so knowledge of the introduction of bedding, high school trigonometric content-rich, numerous formulas, you need to start learning to sort things out, seize the key, the better the deal with college entrance examination in trigonometric topics. Solution triangle in junior high school period is contact, but was limited to a right triangle, the high school to learn more general, any triangle in the corner, this is the college entrance examination important test sites.
Key words:Trigonometric functions Solution of triangles Sine Cosine Induction formula Sine Theorem Law of cosines
目录
摘要 ............................................................................................................................................................... I ABSTRACT.................................................................................................................................................... II
一、引言 ..................................................................................................................... 错误！未定义书签。
二、三角函数 (2)
三、解三角形 (7)
四、总结 (10)
参考文献 (11)
致谢 (12)
一．引言
三角函数和解三角形是高中数学的重要内容，也是高考中的热点之一，三角函数对于高中学生来说并不是一个完全陌生的内容，初中阶段学生曾接触过一些相关知识，因此对于知识引入有一定的铺垫，但是高中的三角函数内容丰富，公式繁多，需要从入手学习开始理清头绪，抓住重点，更好的应对高考中的三角函数题目。解三角形在初中时期是接触过的，但是那时是限于直角三角形中的，高中的学习更加一般化，研究了任意三角形中的边角关系，这是高考重要考点。
二． 三角函数
（一）函数值域问题
三角函数的值域问题是高考中最常考的考点之一，也是三角函数的难点，解决值域问题需要对三角函数有一个比较系统深刻的认识，其中涵盖了三角函数的多个重要知识点。
例1.（2008北京）已知函数
()()()[上的取值范围
，在区间的值，求函数求的最小正周期为，π??
?
??? ?
?
++=32002sin sin 3sin 2πωπωωωωx f x x x x f
分析：首先利用降幂公式、诱导公式、二倍角公式、两角差的正弦公式将函数化简为一个角的正弦，利用周期求出ω。然后根据x 的取值范围求出这个角的取值范围，最后根据正弦函数图像确定函数取值范围。
解：
?????
?≤+-≤≤-≤-≤
-
≤≤≤+
-===+
-=+-=+-=
230)(.23
21)62sin(01
)6
2sin(216
7626-3
202
1)6
2sin()(121220)(2
1
)62sin(2
12cos 21sin 232sin 2
3
22cos 1)(1，的取值范围为即因此所以所以因为）得）由（（，。所以的最小正周期为π，且因为函数）（x f x x x x x x f x f x x x x x x f πππ
π
π
π
π
ωπω
π
ωπωωωωω
例2.（2010江西）已知函数f （x ）=（1+cotx ）sin 2x+msin （x+4π）sin （x-4
π
）．
当m=0时，求f （x ）在区间??
?
???438ππ‘上的取值范围；
分析：把m=0代入到f （x ）中，然后分别利用同角三角函数间的基本关系、二倍角的正弦、余弦函数公式以及特殊角的三角函数值把f （x ）化为一个角的正弦函数，利用x 的范围求出此正弦函数角的范围，根据角的范围，利用正弦函数的图象即可得到f （x ）的值域
解：
[][?
?
?
+∈+-=???-∈-???∈-???
???∈+-=+-=
+==221,021)42sin(22)(,
1,22)42sin(,45,04243,82
1
)42sin(2221)2cos 2(sin 21cos sin sin )(02πππππππx x f x x x x x x x x x x f m 从而所以得又由时，当 例3. （2010重庆）设函数f （x ）=cos （x+32π）+2cos 22
x
， x ∈R ．
求f （x ）的值域；
分析：利用两角和的余弦公式、降幂公式等将f （x ）=cos （x+32π）+2 cos 22
x
化简，变形后可以用三角函数的有界性求得值域．
解：
[]
201
)5
6sin(1sin 2
3cos 211
cos sin 23
cos 211cos 3
2sin sin 32cos
cos )(，因此函数值域为++=+-=++--=++-=π
π
πx x x x x x x x x x f
总结：求值域问题可以分为以下两步骤：
1.化简函数，这一步是解题的关键，重点考察三角恒等变换。
2.根据化简后的函数求值域
求三角函数值域，一般分为两种情况，一种是化简后的函数为一个角的三角函数形式， 如sin()y A x ω?=+c +的形式，这时只要利用x 的取值范围求出这个角x ω?+的取
值范围，再根据正弦函数图像性质确定该函数在此范围内的取值范围就可以了。另一种是化简后的函数为含有一个三角函数的复合函数形式。
其中化简函数是考试的重点与难点，其中经常用到以下几种方法：运用诱导公式、两角和差的正弦余弦公式、倍角公式、常值替换、升幂降幂公式。 如在例1中函数为)2
sin(sin 3sin )(2π
ωωω++=x x x x f 化简该函数分为以下几步：
首先运用降幂公式将平方项降幂化为
)2sin(sin 322cos 1)(π
ωωω++-=
x x x x f ， 下一步运用诱导公式将函数化为
x x x
x f ωωωcos sin 32
2cos 1)(+-=
， 然后运用正弦二倍角公式函数化为
x x x f ωω2sin 2
32cos 2121)(+-=
， 最后运用正弦两角和差公式将函数化为如下形式最简形式)2
2sin(21)(π
ω-+=x x f 再进行下一步求值域过程。
再如2010北京卷函数为x x x x f 4cos 4sin 2cos 2)(2-+=，函数中有二倍角余弦，考虑到要先把角统一以利于化简，主要步骤为： 先运用余弦二倍角公式将函数化为
x x x x f cos 4sin )1cos 2(2)(22-+-=，
在考虑到运用常值替换x x 22cos sin 1+=将函数化为
1cos 4cos 3cos 4)cos 1()1cos 2(2)(222--=--+-=x x x x x x f
最后将x cos 看作函数自变量，那么函数就是一个二次函数，在进行化简就可以了，函数
化为3
7
)32(cos 3)(2--=x x f ，然后进行求值域。
再如2011北京卷中函数为1)6
sin(cos 4)(-+=π
x x x f ，化简函数分为以下几步：
先运用两角和差的正弦公式将函数化为
1cos 2sin cos 321)cos 2
1
sin 23(
cos 4)(2-+=-+=x x x x x x x f 然后运用正弦二倍角公式将函数化为
1cos 22sin 3)(2-+=x x x f 再运用降幂公式将函数化为
x x x f 2cos 2sin 3)(+=
通过对系数的观察发现，只要提出公因数2将函数化为
)2cos 6
sin
2sin 6
(cos
2)(x x x f π
π
+=可运用正弦两角和差公式的形式，在进行化简将函数
化为)6
2sin(2)(π
+
=x x f ，然后就可以进行下一步求值域的计算。
（二）三角函数周期问题
求三角函数周期要先把函数化简为sin()y A x ω?=+的形式，再根据最小正周期公式
2π
ω
求解，有时题目中会给出最小正周期要求求函数中的一个未知值，也是同样方法。2008北京卷中给定函数最小正周期为1，求函数()2sin 3sin sin()2
f x x x x π
ωωω=++中
ω的值，将函数化简为()1sin(2)26f x x πω=+-，再根据公式
2112π
ωω
=?=。 例1：（2011陕西）函数x x x f cos sin 2)(=是（ C ） A. 最小正周期为2π的奇函数 B. 最小正周期为2π的偶函数 C. 最小正周期为π的奇函数 D. 最小正周期为π的偶函数
分析：明显从题目得知可以利用倍角公式将函数化简，再根据化简后函数求出周期及奇偶性。
解：x x x x f 2sin cos sin 2)(== 所以周期为π，正弦函数为奇函数，所以该函数为奇函数。
例2：（2008安徽）已知函数
最小正周期
求函数)().4
sin()4
sin(2)3
2cos()(x f x x x x f π
π
π
+
-
+-
=
分析：本小题考查三角函数中两角和差公式、倍角公式、和三角函数基本性质等，考察综合运用三角函数知识解决问题。
解：
π
π
π
π
π
π
==∴-
=-+=++=+-++=+
-
+-=2
2)
62sin(2cos 2sin 23
2cos 21
cos -sin 2sin 23
2cos 21
)cos )(sin cos (sin 2sin 23
2cos 21
)
4
sin()4
sin(2)3
2cos()(22T x x x x x x x x x x x x x x x x x x f 周期 例3：（2009江西）
2
..23.2.cos tan 31)(ππππD C B A x x x f 的最小正周期为
）（函数+=
分析：先利用三角函数公式将函数化简，再求周期。 解：)6
sin(2sin 3cos cos )tan 31()(π
+=+=+=x x x x x x f 所以周期为
2π。
综上分析高考中三角函数周期问题，教学中对于三角函数周期问题在让学生记忆最小正周期的公式之外，还要强调周期的几何意义，让学生深入了解三角函数性质，用数形结合的思想理解问题解决问题。
三．解三角形
高考中解三角形的问题一般是在任意三角形中求边、角、正弦值、三角型面积等。解答这样的问题涉及到三角形中的边角关系，而阐述任意三角形中边角关系的正弦定理和余弦定理，就是解这类题目的关键。
例1.（2009北京）在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,B=3π,cosA=5
4
,b=3.
(Ⅰ)求sinC 的值 （Ⅱ）求△ABC 的面积
分析：题目是在三角形中给出了一个角和其对边，以及一个角的余弦值，要求另一角正弦和三角形面积，要求角C 的正弦看到条件中出现了角B 和其对边b 的值，就考虑到给出了三角形内角和其对应边比例关系的正弦定理，但是题目中没有给出角C 对边，也没有可以求出其对边的方法，这是考虑到题目中给出了角A 的余弦值由此可以求出其正弦值，而根据三角形内角关系有C=π-B-A ，sinC=sin(
3
2
π-A)，再根据两角差的正弦公式进行求解。下面求三角形面积，高中求三角形面积常用的公式是
C ab S sin 21=
A bc
B ac sin 2
1
sin 21==，次题目中现在b 和sinC 都是已知的，只要求a 就可以了，那就考虑到上一问中考虑过的正弦定理，恰好在此可以运用。
解：
503
936sin 215
6sin sin 3
,3
103
43sin ,53sin )(10
3
43sin 21cos 23)32sin(sin 5
3sin ,325
4
cos ,3
,,)(+=
==
===
+=
=I ∏+=
+=-==-=
=
=I C ab S ABC B A b a ABC b B C A A A A C A A C A B ABC C B A 的面积于是△中，由正弦定理得
所以在△又因为）知由（于是所以的内角，且为△因为角π
πππ
例2.（2010浙江）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos2C=
．
当a=2，2sinA=sinC 时，求b 及c 的长．
分析：当a=2，2sinA=sinC 时，给定了正弦值的比例关系，又已知其中一个角的对边，那么就考虑到正弦定理讲述的正是三角形内角和其对应边的比例关系。所以由正弦定理，得：c=4
下面就要考虑求b ，现在已知三角形两边，以及这两边夹角的二倍的余弦值，那么通过这个余弦的关系又可以求出夹角的余弦，有了这些条件就想到余弦定理，三角形的一边和另外两边以及这两边的夹角的关系。所以由cos2C=2cos 2C-1=，及0＜C ＜π
得cosC=±
4
6
，最后由余弦定理 c 2=a 2+b 2-2abcosC 可以求出b. 解：
4
,624,66
26126,cos 24
6
cos 0,4
1
1cos 22cos 4
sin sin sin sin 2,222222======-±-+=±
=-=-=====c b c b b o b b C ab b a c C C C C c C
c
A a C A a 或所以或解得得由余弦定理得，
及得
时，由正弦定理当π
例3：（2011湖北）
的
）求（的周长求△已知所对应的边分别为的内角设△)cos(2)1(41
cos ,2,1,,,,,C A ABC C b a c b a C B A ABC -===
分析:要求三角形周长，一直两边的长，只要求出第三边，由已知发现要求c ，恰好可以运用余弦定理。第二问无法求出A-C 的值，但是可以利用两角差余弦的公式将cos(A-C)化为cosAcosC+sinAsinC,接下来利用正弦定理求得各值。
解：16
11
sin sin cos cos )cos(87
cos ,8
15sin sin ,415sin ,41cos )2(52
4cos 21222=
+=-∴=
∴<∴<==∴=∴=
=++=∴=-+=C A C A C A C A C A c a c C a A C C c b a ABC c C ab b a c 为锐角，故的周长为故△）（
四．总结
综上例题分析与考点总结，在教学中应强化学生对三角函数诱导公式、两角和差的正弦余弦公式、倍角公式、常值替换、升幂降幂公式的记忆与熟练运用。诱导公式初学时会给人一种混乱没有章法的感觉，很不容易记忆，教学过程中通过对平面直角坐标系中角的研究总结出了三角函数的诱导公式，如诱导公式这样的数学公式想让学生理解性记忆是很难的，但是随着学习的深入，对于诱导公式我们可以总结出更加便捷的记忆方法，“奇变偶不变，符号看象限”这是记忆诱导公式的口诀。口诀中的奇偶指的是
2
π
的个数是奇数个还是偶数个，“变”角函数的名称，正弦变成余弦，正切变成余切，最后定符号就是看角所在象限该三角函数的正负。这是一般的记忆方法，另外在学习过三角函数图象之后，可以根据图像记忆诱导公式，三角函数是周期函数，熟记其图像对于三角函数学习有重大意义，对于强化学生数形结合思想也是极其重要。两角和差的正弦余弦公式需要学生熟背下来，从中还可以轻易推导出二倍角公式，因此可以让学生不必特殊记忆二倍角公式。另外，余弦二倍角公式可以起到升幂降幂作用，降幂公式是根据二倍角公式演化而来，因此只要熟练使用二倍角公式就可以了。常值替换最常用“1”的替换，1=cos 2θ+sin 2θ=
x
x
cot tan =tan45°，另外特殊角的三角函数值也经常用作替换，如6π，4
π
等的三角函数值，教学中需让学生熟练掌握其相互转化。 根据对多年高考题的总结分析不难发现，解三角形是高考中几乎必考的题目，但是归纳其解法多是用到正弦定理或余弦定理，因此对这两个定理的理解和应用就是学习和复习的重点，这两个定理都是阐述的任意三角形中边与角的关系，学习中数形结合的去记忆理解这两个定理会起到更好的效果。教学中为了让学生加强记忆可以让学生练习推导定理，加强基础题型的练习，让学生熟记定理，并且熟练运用。
参考文献
[1] 张奠宙，李士，《数学教育学导论》，高等教育出版社，2003年。
[2] 中华人民共和国教育部制订，《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》，北京师范大出版社，2001年。
[3] 新课程实施过程中培训问题研究课题组编，《新课程与学生发展》，北京师范大出版社，2001年。
致谢
时光荏苒，岁月如梭，大学本科的学习生活即将结束。经历这几个月的磨砺，毕业论文终于完稿，这几个月从收集、整理、修改直至最终完成，我得到了很多人的帮助，现在我想向他们表达我最真挚的谢意。
首先，我要感谢我的论文指导教师刘卫红老师。刘老师为人随和，平易近人。在我的毕业设计中，给予我极大的帮助，使我对整个毕业设计的思路有了总体的把握，并耐心的帮我解决了许多实际问题，在论文选题、搜集材料和写作阶段给了我很多建议，使我得以顺利完成这篇论文。其次，感谢我的舍友们一直以来的陪伴，在论文写作过程中给我很多的帮助与鼓励。最后，感谢多年来传授我知识的老师们，感谢那些对我学习上给予支持和鼓励的人。同时感谢所有关心帮助过我的同学、老师以及数学科学学院这个大家庭。
我将在今后的工作学习中倍加努力，不辜负所有关心我的人对我寄予的期望。
三角函数与解三角形中的高考热点问题
热点探究课(二) 三角函数与解三角 形中的高考热点问题 [命题解读] 从近五年卷高考试题来看，解答题第1题(全国卷T 17)交替考查三角函数、解三角形与数列，本专题的热点题型有：一是三角函数的图象与性质；二是解三角形；三是三角恒等变换与解三角形的综合问题，中档难度，在解题过程中应挖掘题目的隐含条件，注意公式的在联系，灵活地正用、逆用、变形应用公式，并注重转化思想与数形结合思想的应用． 热点1 三角函数的图象与性质(答题模板) 要进行五点法作图、图象变换，研究三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，求三角函数的单调区间、最值等，都应先进行三角恒等变换，将其化为一个角的一种三角函数，求解这类问题，要灵活利用两角和(差)公式、倍角公式、辅助角公式以及同角关系进行三角恒等变换． (本小题满分14分)已知函数f (x )＝23sin ? ????x 2＋π4·cos ? ?? ?? x 2＋π4－ sin(x ＋π)． (1)求f (x )的最小正周期； (2)若将f (x )的图象向右平移 π 6 个单位长度，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值. 【导学号：51062131】 [思路点拨] (1)先逆用倍角公式，再利用诱导公式、辅助角公式将f (x )化为正弦型函数，然后求其周期． (2)先利用平移变换求出g (x )的解析式，再求其在给定区间上的最值． [规解答] (1)f (x )＝23sin ? ????x 2＋π4·cos ? ????x 2＋π4－sin(x ＋π)3分 ＝3cos x ＋sin x ＝2sin ? ????x ＋π3，5分 于是T ＝ 2π 1 ＝2π.6分 (2)由已知得g (x )＝f ? ????x －π6＝2sin ? ?? ??x ＋π6.8分
三角函数解三角形综合
1.已知函数f（x）=sin（ωx）﹣2sin2+m（ω＞0）的最小正周期为3π，当x∈[0，π]时，函数f（x）的最小值为0． （1）求函数f（x）的表达式； （2）在△ABC中，若f（C）=1，且2sin2B=cosB+cos（A﹣C），求sinA的值． 解：（Ⅰ）． 依题意：函数． 所以． ， 所以f（x）的最小值为m．依题意，m=0． ． （Ⅱ）∵，∴ ．． 在Rt△ABC中，∵， ∴． ∵0＜sinA＜1，∴． 2.已知函数（其中ω＞0），若f（x）的一条对称轴离最近的对称中心的距离为． （I）求y=f（x）的单调递增区间； （Ⅱ）在△ABC中角A、B、C的对边分别是a，b，c满足（2b﹣a）cosC=c?cosA，则f（B）恰是f（x）的最大值，试判断△ABC的形状． 【解答】解：（Ⅰ）∵ ， =， ∵f（x）的对称轴离最近的对称中心的距离为，
∴T=π，∴，∴ω=1，∴． ∵得：， ∴函数f（x）单调增区间为； （Ⅱ）∵（2b﹣a）cosC=c?cosA，由正弦定理， 得（2sinB﹣sinA）cosC=sinC?cosA2sinBcosC=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）， ∵sin（A+C）=sin（π﹣B）=sinB＞0，2sinBcosC=sinB， ∴sinB（2cosC﹣1）=0，∴，∵0＜C＜π，∴，∴， ∴．∴， 根据正弦函数的图象可以看出，f（B）无最小值，有最大值y max=1， 此时，即，∴，∴△ABC为等边三角形． 3.已知函数f（x）=sinωx+cos（ωx+）+cos（ωx﹣）﹣1（ω＞0），x∈R，且函数的最小正周期为π： （1）求函数f（x）的解析式； （2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若f（B）=0，?=，且a+c=4，试求b的值． 【解答】解：（1）f（x）=sinωx+cos（ωx+）+cos（ωx﹣）﹣1 ==． ∵T=，∴ω=2． 则f（x）=2sin（2x）﹣1； （2）由f（B）==0，得． ∴或，k∈Z． ∵B是三角形内角，∴B=． 而=ac?cosB=，∴ac=3．
高中数学三角函数、解三角形知识点
三角函数、解三角形 1.弧长公式：r l α= 扇形面积公式：22 121r lr S α== 2.同角三角函数的基本关系式： 平方关系：1cos sin 2 2 =+αα 商数关系：sin tan cos α αα = 3.三角函数的诱导公式: 诱导公式（把角写成απ ±2 k 形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限） 公式一()()()?????=?+=?+=?+απααπααπαtan 2tan cos 2cos sin 2sin k k k 公式二()()()?????=+=+=+ααπααπααπtan tan cos -cos -sin sin 公式三()()()?? ? ??=-=-=-ααααααtan -tan cos cos -sin sin 公式四()()()?????=-=-=-ααπααπααπtan -tan cos -cos sin sin 公式五???????=??? ??-=??? ??-ααπααπsin 2cos cos 2sin 公式六???????=??? ??+=?? ? ??+ααπααπsin -2 cos cos 2sin 4.两角和与差的正弦、余弦、正切公式： βαβαβαcos sin cos sin )sin(+=+ βαβαβαcos sin cos sin )sin(-=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+= + β αβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- 5.二倍角公式: a a a cos sin 22sin = 1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=a a a a a a a a 2tan 1tan 22tan -= 6.辅助角公式: sin cos a b αα+ )α?+( 其中sin tan b a ???= = = ). 比如： x x y cos 3sin += ) cos ) 3(13sin ) 3(11( )3(12 2 2 2 22x x ++ ++= )cos 23sin 21(2x x += )3 sin cos 3cos (sin 2ππx x +=)3sin(2π+=x 7.正弦定理： 2sin sin sin a b c R C ===A B (R 为△ABC 外接圆的半径） 8.余弦定理：2 2 2 2cos a b c bc =+-A ，2 2 2 2cos b a c ac =+-B ，2 2 2 2cos c a b ab C =+- 推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222 cos 2a b c C ab +-=．
高中数学专题练习-三角函数及解三角形
高中数学专题练习-三角函数及解三角形 1．【高考全国Ⅰ卷理数】函数f(x)=在的图像大致为 A．B． C．D． 【答案】D 【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称，排除A．又，排除B，C，故选D． 【名师点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．解答本题时，先判断函数的奇偶性，得是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案． 2．【高考全国Ⅰ卷理数】关于函数有下述四个结论: ①f(x)是偶函数②f(x)在区间（，）单调递增 ③f(x)在有4个零点④f(x)的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A．①②④B．②④ C．①④D．①③ 【答案】C 【解析】为偶函数，故①正确．当时，，它在区间单调递减，故②错误． 当时，，它有两个零点:；当时，
，它有一个零点:，故在有个零点:，故③错误．当时，；当时， ，又为偶函数，的最大值为，故④正确．综上所述，①④正确，故选C． 【名师点睛】本题也可画出函数的图象（如下图），由图象可得①④正确． 3．【高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是A．f(x)=|cos2x| B．f(x)=|sin2x| C．f(x)=cos|x| D．f(x)=sin|x| 【答案】A 【解析】作出因为的图象如下图1，知其不是周期函数，排除D； 因为，周期为，排除C； 作出图象如图2，由图象知，其周期为，在区间(，)单调递增，A正确； 作出的图象如图3，由图象知，其周期为，在区间(，)单调递减，排除B，故选A． 图1
图2 图3 【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养，画出各函数图象，即可作出选择．本题也可利用二级结论:①函数的周期是函数周期的一半； ②不是周期函数. 4．【高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0，)，2sin2α=cos2α+1，则sinα= A． B． C．D． 【答案】B 【解析】，， ，又，，又，，故选B． 【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案． 5．【高考全国Ⅲ卷理数】设函数=sin（）(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论: ①在（）有且仅有3个极大值点 ②在（）有且仅有2个极小值点
2020年高考数学三角函数专题解题技巧
三角函数专题复习 在三角函数复习过程中，认真研究考纲是必须做的重要工作。三角函数可以当成函数内容中的重要一支，要注意与其它知识的联系。 一、研究考题，探求规律 1. 从表中可以看出:三角函数题在试卷中所处的位置基本上是第一或第二题,本章高考重点考查基础知识,仍将以容易题及中档为主,题目的难度保持稳定,估计这种情况会继续保持下去 2. 特点:由于三角函数中，和差化积与积化和差公式的淡出,考查主体亦发生了变化。偏重化简求值,三角函数的图象和性质。考查运算和图形变换也成为了一个趋势。三角函数试题更加注重立足于课本,注重考查基本知识、基本公式及学生的运算能力和合理变形能力,对三角变换的要求有所降低。三角化简、求值、恒等式证明。图象。最值。 3、对三角函数的考查主要来自于：①课本是试题的基本来源，是高考命题的主要依据，大多数试题的产生是在课本题的基础上组合、加工和发展的结果。②历年高考题成为新高考题的借鉴，有先例可循。 二、典例剖析 例1：函数22()cos 2cos 2x f x x =-的一个单调增区间是 A ．2(,)33ππ B ．(,)62ππ C ．(0,)3π D ．(,)66 ππ- 【解析】函数22()cos 2cos 2 x f x x =-=2cos cos 1x x --，从复合函数的角度看，原函数看作2()1g t t t =--，cos t x =，对于2()1g t t t =--，当1[1,]2t ∈-时，()g t 为减函数，当1[,1]2 t ∈时，()g t 为增函数，当2(,)33x ππ∈时，cos t x =减函数，且11(,)22 t ∈-， ∴ 原函数此时是单调增，选A 【温馨提示】求复合函数的单调区间时，需掌握复合函数的性质，以及注意定义域、自变量系数的正负.求复合函数的单调区间一般思路是：①求定义域；②确定复合过程；③根据外层函数f(μ)的单调性，确定φ(x)的单调性；④写出满足φ(x)的单调性的含有x 的式子，并解出x 的范围；⑤得到原函数的单调区间（与定义域求交）.求解时切勿盲目判断. 例2、已知tan 2θ=． （Ⅰ）求tan 4πθ??+ ??? 的值； （Ⅱ）求cos2θ的值． 【解析】 （Ⅰ）∵tan 2θ=， tan tan 4tan 41tan tan 4π θπθπθ+??∴+= ???-
三角函数-解三角形的综合应用
学思堂教育个性化教程教案 数学科教学设计 学生姓名教师姓名刘梦凯班主任日期时间段年级课时教学内容 教学目标 重点 难点 教学过程 命题点二解三角形 难度：高、中、低命题指数：☆☆☆☆☆ 1.(2015·安徽高考)在△ABC中，AB＝6，∠A＝75°，∠B＝45°，则 AC＝________. 2．(2015·广东高考改编)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b， c.若a＝2，c＝2 3，c os A＝ 3 2 且b＜c，则b＝________. 3．(2015·北京高考)在△ABC中，a＝3，b＝6，∠A＝ 2π 3 ，则∠B＝ ________. 4．(2015·福建高考)若△ABC中，A C＝3，A＝45°，C＝75°，则 BC＝________. 5．(2015·全国卷Ⅰ)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边， sin2B＝2sin A sin C. (1)若a＝b，求cos B；[来源:学科网ZXXK] (2)设B＝90°，且a＝2，求△ABC的面积． 教 学 效 果 分 析
教学过程 6．(2015·山东高考)△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 已知cos B＝ 3 3 ，sin(A＋B)＝ 6 9 ，ac＝23，求sin A和c的值． 7．(2015·全国卷Ⅱ)△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD＝ 2DC. (1)求 sin B sin C ； (2)若∠BAC＝60°，求∠B. 8．(2015·浙江高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b， c，已知tan ? ? ?? ? π 4 ＋A＝2. (1)求 sin 2A sin 2A＋cos2A 的值； (2)若B＝ π 4 ，a＝3，求△ABC的面积．[来源:学科 教 学 效 果 分 析
三角函数与解三角形
课程标题三角函数与解三角形 求三角函数得定义域实质就就就是解三角不等式(组)、一般可用三角函数得图象或三角函数线确定三角不等式得解、列三角不等式,既要考虑分式得分母不能为零；偶次方根被开方数大于等于零;对数得真数大于零及底数大于零且不等于1，又要考虑三角函数本身得定义域; 求三角函数得值域得常用方法:１、化为求得值域; ，引入辅助角,化为求解方法同类型。 ２、化为关于(或)得二次函数式; ,设，化为二次函数在上得最值求之; 周期问题一般将函数式化为(其中为三角函数，)、 ) ②y=taｎx图象得对称中心(，0) （二)主要方法: 1、函数得单调增区间可由 解出,单调减区间可由解出; 周期 2、函数得单调减区间可由 解出,单调增区间呢。(自己导出）周期 ３、函数得单调增区间可由 解出。(无增区间，重点掌握) 周期 课堂练习: 1.已知函数得定义域为，值域为，求常数得值 (化为求得值域)、 2、函数得单调递减区间就就是 ３、函数得单调增区间为 2、函数,、 (Ⅰ）求函数得最小正周期;(Ⅱ)求函数在区间上得最小值与最大值、(化为求得值域)、 3、函数得一个单调增区间就就是 ???? 4、若函数,则就就是 最小正周期为得奇函数最小正周期为得奇函数 最小正周期为得偶函数最小正周期为得偶函数 5、函数得最大值 6、当函数得最大值为时,求得值、
7、函数得最大值就就是 8、已知函数,、 (1)求得最大值与最小值;(2)f(x）得最小正周期。 (3)若不等式在上恒成立,求实数得取值范围、 解三角形 正弦定理:, 余弦定理: 推论:正余弦定理得边角互换功能 ① ,， ②，， ③== ④ (4)面积公式:S=ab*siｎC=bc＊siｎA＝cａ＊sinB 课堂练习: １、在中，角得对边分别为,已知,则（ ) Ａ、1 ?Ｂ.2 Ｃ、???D、 2、在△ABＣ中，AB=3，BＣ=，AC=4,则边AＣ上得高为( ) Ａ、Ｂ、 C、Ｄ、 ３、在ΔＡＢC中,已知a=,b=,Ｂ=45°,求角A,角C得大小及边ｃ得长度。 4、得内角A、B、C得对边分别为a、ｂ、c,若a、b、c成等比数列，且,则（) A、 B、 C、D、 【填空题】 5、在中,分别就就是、、所对得边。若,，,则___＿＿___＿_ 6、在锐角△ABＣ中,边长a=1,b=2,则边长c得取值范围就就是_＿____＿、 7、已知锐角得面积为,,则角得大小为( ) ?Ａ、75°?Ｂ、60° ?C、４5°Ｄ、30° 8、在△中，若，则等于、 9、在中,已知，则得大小为 ( ) ??? 【解答题】 １0、在中,分别就就是三个内角得对边、若,,求得面积、 11、如图,就就是等边三角形，就就是等腰直角三角形,∠=，交于,、 ?（1)求∠得得值; （2)求、 12、在中,角A、B、Ｃ所对得边分别为ａ,ｂ,ｃ,且满足
高考专题突破 高考中的三角函数与解三角形问题
高考专题突破 高考中的三角函数与解三角形问题 题型一 三角函数的图像和性质 例1 (2016·山东)设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2. (1)求f (x )的递增区间； (2)把y ＝f (x )的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图像向左平移π 3个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图像，求g ????π6的值. 解 (1)由f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2 ＝23sin 2x －(1－2sin x cos x ) ＝3(1－cos 2x )＋sin 2x －1 ＝sin 2x －3cos 2x ＋3－1 ＝2sin ? ???2x －π 3＋3－1. 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π 2(k ∈Z )， 得k π－π12≤x ≤k π＋5π 12 (k ∈Z ). 所以f (x )的递增区间是????k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )????或????k π－π12，k π＋5π 12(k ∈Z ). (2)由(1)知f (x )＝2sin ? ???2x －π 3＋3－1， 把y ＝f (x )的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)， 得到y ＝2sin ????x －π 3＋3－1的图像， 再把得到的图像向左平移π 3个单位长度， 得到y ＝2sin x ＋3－1的图像， 即g (x )＝2sin x ＋3－1. 所以g ????π6＝2sin π 6 ＋3－1＝ 3. 思维升华 三角函数的图像与性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，然后将t ＝ωx ＋φ视为一个整体，结合y ＝sin t 的图像求解. 跟踪训练1 已知函数f (x )＝5sin x cos x －53cos 2x ＋532(其中x ∈R )，求： (1)函数f (x )的最小正周期； (2)函数f (x )的单调区间；
必修四三角函数与解三角形综合测试题(基础含答案)
必修四三角函数与解三角形综合测试题 （本试卷满分150分，考试时间120分） 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.若点P 在3 2π的终边上，且OP=2，则点P 的坐标（ ） A ．)3,1( B ．)1,3(- C ．)3,1(-- D ．)3,1(- 2.已知=-=-ααααcos sin ,4 5cos sin 则（ ） A ．47 B ．169- C ．329- D ．32 9 3.下列函数中，最小正周期为 2 π的是（ ） A ．)32sin(π-=x y B ．)32tan(π-=x y C ．)62cos(π+=x y D ．)6 4tan(π+=x y 4.等于则)2cos(),,0(,31cos θππθθ+∈=（ ） A ．924- B ．924 C ．9 7- D ．97 5．函数y ＝sin （π4 －2x )的单调增区间是 （ ） A.［kπ－3π8 ，kπ＋π8 ］(k ∈Z ) B.［kπ＋π8 ，kπ＋5π8 ］(k ∈Z ) C.［kπ－π8 ，kπ＋3π8 ］(k ∈Z ) D.［kπ＋3π8 ，kπ＋7π8 ］(k ∈Z ) 6.将函数x y 4sin =的图象向左平移12 π个单位，得到)4sin(?+=x y 的图象，则?等于( ) A ．12π- B ．3π- C ．3 π D ．12π 7.οοοο50tan 70tan 350tan 70tan -+的值等于( ) A ．3 B ．33 C ．33- D ．3- 8．在△ABC 中，sinA ＞sinB 是A ＞B 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 9.ABC ?中，π= A ，BC ＝3，则ABC ?的周长为（ ）
最新解三角形知识点归纳(附三角函数公式)
高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b
三角函数及解三角形知识点总结
1. 任意角的三角函数的定义： 设〉是任意一个角，p （x, y ）是〉的终 边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是「“x 2r 2.o , 位置无关。 2. 三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦） + L i + —— L + _ - + ------ ■ —— + - ■ sin ： cos ： tan ： 3. 同角三角函数的基本关系式: 4. 三角函数的诱导公式 k 二.一 诱导公式（把角写成2 …形式，利用口诀：奇变偶不变，符 （2）商数关 系： tan-E 屮一、 cos 。（用于切化弦） （1）平方关 系: 2 2 2 sin 工 cos ■■ -1,1 tan : 1 cos 2: ※平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“ 1”的代换 si …y,cos 」 那么 r 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点
5. 特殊角的三角函数值 度 0s 30c A 45“ A 60“ 90 120c A 135“ 150s 180c 270° 360 弧 31 JI JI 2n 3兀 5兀 JI 3兀 2兀 度 6 4 3 2 3 4 6 2 si n 。 0 1 竝 迈 1 旦 1 0 1 2 2 2 2 2 2 cosa 亦 1 1 念 力 1 2 _1 1 2 2 2 2 2 号看象限） sin （2k .亠 x ） = sin x cos （2k ■亠 x ） = cosx ［）tan （2k ，亠 x ）二 tanx sin （ -x ） - - sin x cos （-x ） =cosx H ）tan （-x ） - - tanx m ） |sin （，亠 x ） = -sin x cos （m ） = - cosx tan （二 x ） IV ） Sin （兀 _x ） =sin x cos （兀—x ） = —cosx tan （兀一 sin （— -〉）= cos ..z sin （二：）=cos ： V ） -?） = sin :
高考中有关三角函数问题的研究
一、引言 三角学﹝Trigonometry﹞创始于公元前约150年，早在公元前300年，古代埃及人已有了一定的三角学知识，主要用于测量。例如建筑金字塔、整理尼罗河泛滥后的耕地、通商航海和观测天象等。公元前600年左右古希腊学者泰勒斯(p13)利用相似三角形的原理测出金字塔的高，成为西方三角测量的肇始。我国古代没有出现角的函数概念，只用勾股定理解决了一些三角学范围内的实际问题。据《周髀算经》记载，约与泰勒斯同时代的陈子已利用勾股定理测量太阳的高度，其方法后来称为「重差术」。 现代高考中三角学主要研究角的三角函数的基本性质及实际应用问题，如几何计算、最值、建模等实际问题。 二、高考中三角函数的现状及简单分析 近几年高考对三角变换的考查要求有所降低，而对本章的内容的考查有逐步加强的趋势，主要表现在对三角函数的图象与性质的考查上有所加强. 大致可分为四类问题： （1）与三角函数单调性有关的问题； （2）与三角函数图象有关的问题； （3）应用同角变换和诱导公式，求三角函数值及化简和等式证明的问题； （4）与周期有关的问题. 基本的解题规律为：观察差异（或角，或函数，或运算），寻找联系（借助于熟知的公式、方法或技巧），分析综合（由因导果或执果索因），实现转化。在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解；在最值问题和周期问题中，解题思路是合理运用基本公式将表达式转化为由一个三角函数表达的形式求解. （一）三角函数的现状 1．课改后的三角函数 尽管三角函数这部分内容是高中数学的传统内容，但在新教材中，教学内容、教材设计特别是教学要求上都发生了较大的变化。认识这一变化，对于我们领悟课标的理念，控制教学的深度、难度和广度有着至关重要的作用，只有准确地把握考纲要求，才能避免复习中做一些无用功。 （1）进一步加强了几何直观。三角函数的概念、公式的推导及其性质研究都紧密结合单位圆、三角函数线、三角函数的图象；
高考真题：三角函数及解三角形综合
三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换 6.（2019浙江18）设函数()sin ,f x x x =∈R . （1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值； （2）求函数22[()][()]124 y f x f x ππ =+ ++ 的值域. 解析（1）因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数，所以，对任意实数x 都有 sin()sin()x x θθ+=-+， 即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+， 故2sin cos 0x θ=， 所以cos 0θ=． 又[0,2π)θ∈，因此π2θ= 或3π2 ． （2）2 2 22ππππsin sin 124124y f x f x x x ? ???????????=+++=+++ ? ? ? ???????????? ????? ππ1cos 21cos 213621cos 2sin 222222x x x x ??? ?-+-+ ? ? ??????=+=-- ? ??? π123x ? ?=+ ?? ?． 因此，函数的值域是[1- +． 27．（2018江苏）已知,αβ为锐角，4 tan 3 α= ，cos()5αβ+=-． (1)求cos2α的值； (2)求tan()αβ-的值． 【解析】(1)因为4tan 3α= ，sin tan cos ααα=，所以4 sin cos 3 αα=． 因为22sin cos 1αα+=，所以29 cos 25 α= ，
因此，27cos22cos 125 αα=-=- ． (2)因为,αβ为锐角，所以(0,π)αβ+∈． 又因为cos()αβ+=，所以sin()αβ+=， 因此tan()2αβ+=-． 因为4tan 3α=，所以22tan 24 tan 21tan 7 ααα==--， 因此，tan 2tan()2 tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+． 28．（2018浙江）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过 点3 4(,)55 P --． (1)求sin()απ+的值； (2)若角β满足5 sin()13 αβ+= ，求cos β的值． 【解析】(1)由角α的终边过点34(,)55P --得4 sin 5α=-， 所以4 sin()sin 5απα+=-=． (2)由角α的终边过点34(,)55P --得3 cos 5 α=-， 由5sin()13αβ+=得12 cos()13 αβ+=±． 由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++， 所以56cos 65β=-或16 cos 65 β=-． 29．（2017浙江）已知函数22 ()sin cos cos f x x x x x =--()x ∈R ． （Ⅰ）求2( )3 f π 的值； （Ⅱ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间． 【解析】（Ⅰ）由2sin 32π=，21 cos 32 π=-，
2014年高考三角函数做题技巧与方法总结
2014年高考三角函数做题技巧与方法总结 知识点梳理 1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 1-1y=sinx -3π2 -5π2 -7π2 7π2 5π 2 3π2 π2 -π2 -4π-3π -2π4π 3π 2ππ -π o y x 1-1y=cosx -3π 2 -5π2 -7π 2 7π2 5π2 3π2 π2 -π2 -4π-3π-2π4π 3π 2π π -π o y x y=tanx 3π2 π π2 - 3π2 -π - π2 o y x y=cotx 3π2 π π2 2π -π - π2 o y x 2、三角函数的单调区间： x y sin =的递增区间是?????? +-2222ππππk k ，)(Z k ∈，递减区间是????? ? ++23222ππππk k ，)(Z k ∈； x y cos =的递增区间是[]πππk k 22， -)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈， x y tan =的递增区间是??? ?? +-22ππππk k ，)(Z k ∈， 3、三角函数的诱导公式 sin （2kπ+α）=sinα sin （π+α）=－sinα sin （－α）=－sinα cos （2kπ+α）=cosα cos （π+α）=－cosα cos （－α）=cosα
tan （2kπ+α）=tan α tan （π+α）=tanα tan （－α）=－tanα sin （π－α）=sinα sin （π/2+α）=cosα sin （π/2－α）=cosα cos （π－α）=－cosα cos （π/2+α）=－sinα cos （π/2－α）=sinα tan （π－α）=－tanα tan （π/2+α）=－cotα tan （π/2－α）=cotα sin 2(α)+cos 2(α)=1 4、两角和差公式 5、 二倍角的正弦、余弦和正切公式 sin （α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ sin2α=2sinαcosα sin （α－β）=sinαcosβ－cosαsinβ cos2α=cos 2(α)－sin 2(α)=2cos 2(α)－1=1－2sin 2(α) cos （α+β）=cosαcosβ－sinαsinβ tan2α=2tanα/(1－tan 2(α)) cos （α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ tan （α+β）=(tanα+tanβ )/(1－tanα ·tanβ) tan （α－β）=(tanα－tanβ)/(1+tanα ·tanβ) 6、半角公式： 2cos 12 sin αα -± =； 2 cos 12cos α α+±=； α αααααα sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12 tan -=+=+-± = 7、函数B x A y ++=)sin(?ω），（其中00>>ωA 最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ω π 2= T ；其图象的对称轴是直线 )( 2 Z k k x ∈+ =+π π?ω， 凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心 8、由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋?)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。
三角函数与解三角形知识点总结
1. 任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异 于原点），它与原点的距离是 0r =>，那么 sin ,cos y x r r αα= =， () tan ,0y x x α=≠ 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 2.三角函数在各象限的符号： （一全二正弦，三切四余弦） ＋ ＋ － ＋ － ＋ － － － ＋ ＋ － sin α cos α tan α 3. 同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系： 22221sin cos 1,1tan cos αααα+=+= （2）商数关系： sin tan cos α αα= （用于切化弦） ※平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“1”的代换 4.三角函数的诱导公式 诱导公式（把角写成α π±2k 形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限） Ⅰ）?????=+=+=+x x k x x k x x k tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(πππ Ⅱ）?????-=-=--=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin( Ⅲ） ?????=+-=+-=+x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅳ）?????-=--=-=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅴ）???????=-=-ααπααπsin )2cos(cos )2sin( Ⅵ）???????-=+=+ααπααπsin )2cos(cos )2sin(
高考中的三角函数问题及复习策略1
内容摘要：三角函数是高考的热点，也是高考中学生比较容易拿分的知识点。重点考察三角函数的基本关系、三角函数求值、恒等变形及图象性质。三角函数的命题已趋于稳定，尽管命题的背景有变化，但总的来说仍属基础题、中档题和常规题。本文列举近三年的考查角度，提出了相应的复习策略。 关键词：三角函数基本关系求值图象 三角函数是中学数学的主体内容,是高考的重点,也是高考的热点,其考点主要包括:同角三角关系式及诱导公式,三角函数的图象和性质,三角函数的化简求值,三角形中的三角函数,三角函数的最值及综合应用。 一、灵活运用同角三角函数的基本关系式求值 通过近三年的高考试题分析，主要考查用同角三角函数关系及诱导公式进行化简、求值，多数以选择题和填空题形式命题，难度不大，属容易题． 真题探究：(2012·辽宁)已知sin α－cos α＝eq \r(2)，α∈(0，π)，则tan α＝( )． A．－1 B．－eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(2),2) D．1 做此类型的题目，一般有如下思路： 思路1 结合平方关系求sin α、cos α. 思路2 平方求sin 2α. 思路3 化成形如y＝Asin(ωx＋φ)的形式． [应对策略] (1)熟记同角三角函数关系式及诱导公式，特别是要注意公式中的符号问题； (2)注意公式的变形应用，如sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，1＝sin2α＋cos2α及sin α＝tan α·cos α等．这是解题中常用到的变形，也是解决问题时简化解题过程的关键所在． 二、三角函数的值域(或最值)问题 通过近三年的高考试题分析，对三角函数的值域(或最值)的考查特别青睐，主要考查 y＝Asin(ωx＋φ)形式的三角函数在R上或给定的闭区间[a，b]上的值域(或最值)，往往作为某一种答题的其中一问，题目难度不大． 真题探究：(2012·湖北)设函数f(x)＝sin2ωx＋2eq \r(3)sin ωx·cos ωx －cos2ωx＋λ(x∈R)的图象关于直线x＝π对称，其中ω、λ为常数，且ω∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)). (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)若y＝f(x)的图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，0))，求函数f(x)的值域． 解此类题型的步骤 第一步：三角函数式的化简，一般化成形如y＝Asin(ωx＋φ)＋h的形式或y＝Acos(ωx＋φ)＋k的形式． 第二步：根据题设条件求出y＝Asin(ωx＋φ)＋h中有关的参数． 第三步：由x的取值范围确定ωx＋φ的取值范围，再确定sin(ωx＋φ)的取值范围． 第四步：求出所求函数的值域(或最值)． 三、求三角函数图象的解析式 真题探究：(2012·湖南)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0,0<φ 题型练3大题专项(一) 三角函数、解三角形综合问题 1.(优质试题浙江,18)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P. (1)求sin(α+π)的值; (2)若角β满足sin(α+β)=,求cos β的值. 2.(优质试题北京,理15)在△ABC中,a=7,b=8,cos B=-. (1)求A; (2)求AC边上的高. 3.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为. (1)求sin B sin C; (2)若6cos B cos C=1,a=3,求△ABC的周长. 4.已知函数f(x)=4tan x sin cos. (1)求f(x)的定义域与最小正周期; (2)讨论f(x)在区间上的单调性. 5.已知函数f(x)=a cos2a sin ωx-a(ω>0,a>0)在一个周期内的图象如图所示,其中点A为图象上的最高点,点B,C为图象与x轴的两个相邻交点,且△ABC是边长为4的正三角形. (1)求ω与a的值; (2)若f(x0)=,且x0∈,求f(x0+1)的值. 6.在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=,n=(sin x,cos x),x∈. (1)若m⊥n,求tan x的值; (2)若m与n的夹角为,求x的值. 题型练3大题专项(一) 三角函数、解三角形综合问题 1.解(1)由角α的终边过点P, 得sin α=-,所以sin(α+π)=-sin α= (2)由角α的终边过点P,得cos α=-, 由sin(α+β)=,得cos(α+β)=± 由β=(α+β)-α,得cos β=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α,所以cos β=-或cos β= 2.解(1)在△ABC中,∵cos B=-,∴B, ∴sin B= 由正弦定理,得, ∴sin A= ∵B,∴A,∴A= (2)在△ABC中,sin C=sin(A+B)=sin A cos B+sin B cos A= 如图所示,在△ABC中,过点B作BD⊥AC于点D. ∵sin C=,∴h=BC·sin C=7, ∴AC边上的高为 3.解(1)由题设得ac sin B=,即c sin B= 由正弦定理得sin C sin B= 故sin B sin C= (2)由题设及(1)得cos B cos C-sin B sin C=-, 即cos(B+C)=- 所以B+C=,故A= 由题设得bc sin A=,即bc=8. 由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c= 故△ABC的周长为3+ 三角函数及解三角形知识点 总结 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 1. 任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意 一点（异于原点），它与原点的距离是0r =>，那么 sin ,cos y x r r αα= =，()tan ,0y x x α=≠ 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 2.三角函数在各象限的符号： （一全二正弦，三切四余弦） ＋ ＋ － ＋ － ＋ － － － ＋ ＋ － sin α cos α tan α 3. 同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系：22221 sin cos 1,1tan cos αααα +=+= （2）商数关系：sin tan cos α αα = （用于切化弦） ※平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“1”的代换 4.三角函数的诱导公式 诱导公式（把角写成 απ ±2 k 形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限） Ⅰ）??? ??=+=+=+x x k x x k x x k tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(πππ Ⅱ）?????-=-=--=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin( Ⅲ） ?? ???=+-=+-=+x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅳ）?????-=--=-=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅴ）???????=-=-ααπααπsin )2cos(cos )2sin( Ⅵ）??? ????-=+=+α απααπsin )2cos(cos )2sin(高考专题; 三角函数、解三角形综合问题
三角函数及解三角形知识点总结