2014年高考三角函数做题技巧与方法总结

2014年高考三角函数做题技巧与方法总结

知识点梳理

1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像

1-1y=sinx

-3π2

-5π2

-7π2

7π2

5π

2

3π2

π2

-π2

-4π-3π

-2π4π

3π

2ππ

-π

o

y x

1-1y=cosx

-3π

2

-5π2

-7π

2

7π2

5π2

3π2

π2

-π2

-4π-3π-2π4π

3π

2π

π

-π

o

y

x

y=tanx

3π2

π

π2

-

3π2

-π

-

π2

o

y

x

y=cotx

3π2

π

π2

2π

-π

-

π2

o

y

x

2、三角函数的单调区间：

x y sin =的递增区间是??????

+-2222ππππk k ，)(Z k ∈，递减区间是?????

?

++23222ππππk k ，)(Z k ∈； x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，

-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈，

x y tan =的递增区间是??? ??

+-22ππππk k ，)(Z k ∈，

3、三角函数的诱导公式

sin （2kπ+α）=sinα sin （π+α）=－sinα sin （－α）=－sinα

cos （2kπ+α）=cosα cos （π+α）=－cosα cos （－α）=cosα

tan （2kπ+α）=tan α tan （π+α）=tanα tan （－α）=－tanα

sin （π－α）=sinα sin （π/2+α）=cosα sin （π/2－α）=cosα

cos （π－α）=－cosα cos （π/2+α）=－sinα cos （π/2－α）=sinα

tan （π－α）=－tanα tan （π/2+α）=－cotα tan （π/2－α）=cotα

sin 2(α)+cos 2(α)=1

4、两角和差公式

5、 二倍角的正弦、余弦和正切公式

sin （α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ sin2α=2sinαcosα

sin （α－β）=sinαcosβ－cosαsinβ cos2α=cos 2(α)－sin 2(α)=2cos 2(α)－1=1－2sin 2(α)

cos （α+β）=cosαcosβ－sinαsinβ tan2α=2tanα/(1－tan 2(α)) cos （α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ tan （α+β）=(tanα+tanβ )/(1－tanα ·tanβ) tan （α－β）=(tanα－tanβ)/(1+tanα ·tanβ) 6、半角公式：

2cos 12

sin

αα

-±

=； 2

cos 12cos α

α+±=； α

αααααα

sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12

tan

-=+=+-±

=

7、函数B

x A y ++=)sin(?ω），（其中00>>ωA 最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ω

π

2=

T ；其图象的对称轴是直线

)(

2

Z k k x ∈+

=+π

π?ω，

凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心 8、由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋?)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。

利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现

无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”

起多大变化，而不是“角变化”多少。

途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)

先将y ＝sin x 的图象向左(?＞0)或向右(?＜0）平移｜?｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的

ω

1

倍(ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋?)的图象

途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω

1

倍(ω＞0)，再沿x 轴向左

(?＞0)或向右(?＜0＝平移ω

?|

|个单位，便得y ＝sin(ωx ＋?)的图象。

9、对称轴与对称中心：

sin y x =的对称轴为2x k ππ=+，对称中心为(,0) k k Z π∈；

cos y x =的对称轴为x k π=，对称中心为2(,0)k ππ+；

对于sin()y A x ωφ=+和cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。

10、求三角函数的单调区间：

一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A 、ω的正负利用单

调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间； 11、求三角函数的周期的常用方法：

经过恒等变形化成“sin()y A x ωφ=+、cos()y A x ωφ=+”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。

12、经常使用的公式 ①升（降）幂公式：

21c o s 2s i n 2αα-=

、 21cos 2cos 2αα+=、 1

sin cos sin 22ααα

=；

②辅助角公式：

22

sin cos sin()a b a b ααα?+=++（?由,a b 具体的值确定）；

二、典型例题 弦切互化

例1．已知2tan =θ，求（1）

θ

θθ

θsin cos sin cos -+；

解：（1）2232

121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=-+

=

-+θθθ

θθθ

θθθθ； 练习：θθθθ22cos 2cos .sin sin +-的值.

解：θ

+θθ+θθ-θ=θ+θθ-θ22222

2cos sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin sin

3

24122221cos sin 2cos sin cos sin 2222-=++-=+θ

θ+θθ

-θθ=. 说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。

函数的定义域问题

例2、求函数1sin 2+=x y 的定义域。

解：由题意知需01sin 2≥+x ，也即需21sin -≥x ①在一周期??

?

???-23,2ππ上符合①

的角为??????-67,6ππ,由此可得到函数的定义域为??????

+-672,62ππππk k ()Z k ∈ 说明：确定三角函数的定义域的依据：（1）正、余弦函数、正切函数的定义域。（2）若函数是分式函数，则分母不能为零。（3）若函数是偶函数，则被开方式不能为负。（4）若函数是形如()()1,0log ≠>=a a x f y a

的函数，则其定义域由

()x f 确定。（5）当函数是有实际问题确定时，其定义域不仅要使解析式有意义

同时还要使实际问题有意义。 函数值域及最大值，最小值 （1）求函数的值域

一般函数的值域求法有：观察法，配方法判别式法等，而三角函数是函数的

特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质罢了。 例3、求下列函数的值域

（1）x y 2sin 23-= （2）2sin 2cos 2

-+=x y x 分析：利用1cos ≤x 与1sin ≤x 进行求解。 解：（1） 12sin 1≤≤-x ∴[]5,151∈∴≤≤y y （

2

）

()[].

0,4,1sin 11sin 1sin 2sin 2sin 22

22

cos -∈∴≤≤---=-+-=-+=y x x x x x x y 说明：

练习：求函数21sin cos (sin cos )y x x x x =++++的值域。

解：设sin cos 2sin()[22]4

π

t x x x =+=+∈-，，

则原函数可化为2213

1()24

y t t t =++=++，

因为[22]t ∈-，，所以当2t =时，max 32y =+，当12t =-时，min 3

4

y =，

所以，函数的值域为3

[32]4

y ∈+，。 （2）函数的最大值与最小值。

求值域或最大值，最小值的问题，一般的依据是： （1）sinx,cosx 的有界性； （2）tanx 的值可取一切实数；

（3）连续函数在闭区间上存在最大值和最小值。 例4、求下列函数的最大值与最小值

（1）x y sin 2

1

1-= （2）4sin 5cos 22-+=x x y （3）

??

?

???∈+-=32,31cos 4cos 32ππx x x y

分析：（1）可利用sinx,cosx 的值域求解求解过程要注意自变量的去值范围（2）（3）可利用二次函数c bx ax x f ++=2)(在闭区间[]n m ,上求最值得方法。 解：(1)

221sin ;261sin 1sin 11

sin 10

sin 21

1min max =

==-=∴≤≤-∴?????≤≤-≥-y x y x x x x 时当时，当 (2)

[]2

2

2

592cos 5sin 42sin 5sin 22sin ,sin 1,1,48y x x x x x x ?

?=+-=-+-=--+∈- ??

?

∴当sin 1x =-，即2(2

x k k Z π

π=-+∈）

时，y 有最小值9-； 当sin 1x =，即2(2

x k k Z π

π=+∈）

，y 有最大值1。 （

3

）

4

13,21cos 415y 32,21cos ,21,21cos ,32,3,31)32(cos 31cos 4cos 3min max 22-

=====-=??

?

???-∈??????∈--=+-=y x x x x x x x x x y 时，即当时，、即

从而ππππ

函数的周期性

例5、求下列函数的周期

()x x f 2

c o s )(1= ())6

2s i n (2)(2π

-=x x f 分析：该例的两个函数都是复合函数，我们可以通过变量的替换，将它们归结为基本三角函数去处理。

（1）把x 2看成是一个新的变量u ，那么u cos 的最小正周期是π2，就是说，当π2+u u 增加到且必须增加到π2+u 时，函数u cos 的值重复出现，而

),(2222πππ+=+=+x x u 所以当自变量x 增加到π+x 且必须增加到π+x 时，

函数值重复出现，因此，x y 2sin =的周期是π。

（2）??? ??-=+-62sin 2)262sin(2πππx x 即())62sin(2642

1

sin 2πππ-=??????-+x x

)6

2s i n (2)(π

-=∴x x f 的周期是π4。

说明：由上面的例题我们看到函数周期的变化仅与自变量x 的系数有关。

一般地，函数)sin(?ω+=x A y 或)cos(?ω+=x A y （其中?ω,,A 为常数，),0,0R x A ∈>≠ω的周期ω

π

2=

T 。

例6、已知函数2()4sin 2sin 22f x x x x R =+-∈，。

求()f x 的最小正周期、()f x 的最大值及此时x 的集合； 解：22()4sin 2sin 222sin 2(12sin )f x x x x x =+-=-- 2s i n 22c o s 2

22s i n (2

)

4

π

x x x =-

=- 所以()f x 的最小正周期T π=，因为x R ∈， 所以，当2242ππx k π-=+，即38

π

x k π=+时，()f x 最大值为22； 函数的奇偶性

例7、判断下列函数的奇偶性

)s i n ()()1(x x x f +=π x

x

x x f s i n 1c o s s i n 1)()2(2+-+=

分析：可利用函数奇偶性定义予以判断。 解：（1）函数的定义域R 关于原点对称

是偶函数

。)()(s i n )s i n ()()(,s i n )s i n ()(x f x f x x x x x f x x x x x f ∴=-=--=--=+=ππ （2）函数应满足.,2320sin 1?

?????∈+≠∈∴≠+Z k k x R x x x π

π，且函数的定义于为 ∴ 函数的定义域不关于原点对称。∴ 函数既不是奇函数又不是偶函数。

评注：判断函数奇偶性时，必须先检查定义域是否关于原点对称的区间，如果是，再验证

)(x f -是否等于)(x f -

或)(x f ，进而判断函数的奇偶性，如果不是，则该函数必为非奇非偶函数。

练习：已知函数)(,2cos sin 8cos 23)(42x f x

x

x x f 求--=

的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域.

解：x

x

x x x x x f 2cos sin 8sin 212cos sin 8)sin 1(23)(4242-+=---=

)

9.()(),()(,)()

7}.(,4

2,|{,4

2,22,02cos )

4(.1sin 42cos )sin 21)(sin 41(222分是偶函数且的定义域关于原点对称因为分且所以函数的定义域为解得得由分x f x f x f x f z k k x R x x z

k k x k x x x x

x x ∴=-∈+≠∈∈+≠+≠≠+=-+=π

ππ

πππ )

12(}.3,51|{)(,4

2,1sin 4)(2分且的值域为且又≠≤≤∴∈+≠

+=y y y x f z k k x x x f π

π

函数的单调性

例8、下列函数，在??

?

???ππ,2上是增函数的是（ ）

x y A sin .= x y B c o s = x y C 2s i n = x y D 2c o s =

分析：判断。

在各象限的单调性作出与可根据x x x x cos sin .22,2

ππππ

≤≤∴≤≤

解：sin y x = 与cos y x =在2ππ??

????，上都是减函数，∴排除,A B ，2x ππ≤≤ ，

22,x ππ∴≤≤知sin 2y x =在[]2,2x ππ∈内不具有单调性，∴又可排除C ，∴应选D 。 例9、已知函数2

3

5cos 35cos sin 5)(2+

-=x x x x f （Ⅰ）求f(x)的最小正周期； （Ⅱ）求f(x)的递增区间. 解：（Ⅰ）2

3

5cos 35cos sin 5)(2+

-=x x x x f )3

sin 2cos 3cos

2(sin 52cos 352sin 25

23522cos 1352sin 25π

π

x x x x x x -=-=++-=

)3

2sin(5π

-=x

∴最小正周期T=

ππ

=2

2 （Ⅱ）由题意，解不等式ππ

π

ππ

k x k 22

3

222

+≤

-

≤+-

得 )(12

512

Z k k x k ∈+≤

≤+-

ππ

ππ

)(x f ∴的递增区间是)](12

5,

12[Z k k k ∈++-

ππ

ππ

小结：求形如)0,0)(cos()sin(>≠+=+=ω?ω?ωA x A y x A y 其中或的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：

式的方向相同（反）。

的单调区间对应的不等与时，所列不等式的方向）视为一个整体；（把“)(cos ),(sin )0(02)"0()1(R x x y R x x y A A x ∈=∈=

<>>+ω?ω

三、练习 1. 函数x

y sin 1

=

的定义域为（ ） {}

[)(]

{}0.

1,00,1.

,.

.≠-∈≠∈x x D C Z k k x R x B R A π

2. 函数)6cos(π

+

=x y ，???

???∈2,0πx 的值域是( ) ??

??????

?

?

????

????-??

? ??-

1,211,2323,2121,23.D

C

B

A 3. 函数)0)(4

sin(>+

=ωπ

ωx y 的周期为

3

2π

，则ω=------------. 4. 下列函数中是偶函数的是（ ）

1sin sin sin 2sin .+==-==x y D x y C x y B x y A

5. 下列函数中，奇函数的个数为（ ）

（1）x x y sin 2=（2）[]π2,0,sin ∈=x x y （3）[]ππ,,sin -∈=x x y （4）x x y cos =

432.1.D C B A

6. 在区间??

?

??2,0π上，下列函数为增函数的是（ ）

x y D x y C x

y B x

y A cos sin cos 1sin 1.-=-=-

==

7. 函数x y 2sin =的单调减区间是（ ）

[]

()

Z k k k D

k k C

k k B k k A ∈??

????+-++??

????

+

+??????++4,423,243,4223,22ππππππππππππππππ

8. 如果4

π

≤

x ，则函数x x y sin cos 2+=的最小值是——————

9. 函数)2

434

(

tan π

ππ

≠≤=x x

x y 且的值域为（ ） []

(][)

(]

[)+∞-∞-+∞-∞--,11,,11,1,1D

C

B

A

10、求函数)6

cos(sin sin 2x x x y -+=π

的周期和单调增区间．

解 )s i n 6

s i n c o s 6(c o s s i n s i n 2

x x x x y π

π++=

x x x cos sin 23sin 232+=x x 2sin 4

3)2cos 1(43+-= )2cos 4

3

2sin 43(43x x -+=)32sin(2343π++

=x ． ∴ 函数的周期 ππ

==2

2T ．

当 22ππ-k ≤32π+x ≤22ππ+k ，即 125ππ-k ≤x ≤12

π

π+k (k ∈Z ) 时函数

单调增加，即函数的增区间是 [125ππ-k ，12

π

π+k ] (k ∈Z )．

答案：B B 3 C C D B

2

2

1- B