三角函数解题技巧和公式(已整理)技巧归纳以及练习题.docx

浅论关于三角函数的几种解题技巧

本人在十多年的职中数学教学实践中，面对三角函数内容的相关教学时，积累了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。下面尝试进行探讨一下：

一、关于sin a ± cos sin a cos a(或sin2a)的关系的推广应用：

1、由丁•(sin G 土cos a) 2 = sin2 o + cos? a±2sinacosa = 1 ±2smacosa故知道(sina±cosa), 必可推出sin a cos a(或sin 2a), 例如：

h

例1 已知sin& — cos& 二——，求sin'&-cos‘&。

分析：由于sin' &-COS? & = (sin& - cos&Xsin? & + sin&cos^ + cos2 &)

=(sin 0 - cos ^)[(sin 6 - cos 0)2 +3sin&cos&]

其中，sin0-cos G已知，只要求出sincos0即可,此题是典型的知sin&-cos&,求sin&cos&的题型。

解：•/ (sin&-cos&)2 = l-2sin&cos&

故：l-2sin&cos& = = — => sin^cos^ =—

3 3 3

sin3&一cos3 & = (sin& — cos&)[(sin& — cos^)2 +3sin&cos&]

=^2+3X1 73X1=4^

3 3 3 3 3 9

2、关于tg&+ctg& 与sin& 土cos& , sin & cos & 的关系应用:

由于 tg&+ctg"泌 + 致 jiL + COS & 二

cosO sm& sin & cos 0 sm& cos&

故：tg&+ctg&, sin&土cos&, sin&cos&三者中矢II 其一可推出其余式子的值。 例 2 若 sin0+cos0二叫，且 tg0+ctg0二n,则 n 的关系为( )。

A. m 二n

B. m ―— l C •加=— D. n =—— n n m

分析：观察sin&+cos0与sincos 的关系：

sin&cos&=(sin& + cos&)2-1=也

2 2

而：t20 + ct^O - ------ ---- = n

sin & cos & 故：^-^ = -=>m 2

=- + 1,选 B 。

2 n n

sin 2a = 2sinQcosa => sin 2a =— 2 例 4 己知：tga+ctga 二2,求sin 4 6Z + cos 4 a

分析：由上面例子已知，只要sin 4 6Z + cos 4 a 能化出含sina±cosa 或sinacosa 的式子，则即可根据已知tga^ctga 进行计算。由于 分析: 已知：tga+ctga 二4,则sin2a 的值为 A. - B.-- 2 2 1

tga+ctga 二 --------- sinacosa

4 => si 1 smacosQ = —

4

D. )o

~4

故: 答案选A 。

sincrcoscr =—,此题只要将sin" cr + cos 4 a 化成含sin a cos a 的式子即可: 2

解：sin°a + cos 4a 二sin"a + cos°a+2 sin'acos 2a-2 sir?acos 2a

=(sin a+cos a ) - 2 sin a cos a

= 1~2 (sinacosa)"

1 7 =l-2x(-)

2 2

4

2

二丄

~2

通过以上例了，可以得出以下结论：由于sina 土cosa, sinacosa 及tga+ctga 三者之间可以互化，知其一则必可知其余二。这种性 质适合于隐含此三项式了的三角式的计算。但有一点要注意的；如果通过已知sinacosa,求含sina 土cosa 的式了，必须讨论其象限才能 得出其结果的正、负号。这是由于(sina 土cosa) ?二1 ±2sinacos”，要进行开方运算才能求出sina 士cosa

二、关于“托底”方法的应用：

在三角函数的化简计算或证明题屮，往往需要把式子添加分母，这常用在需把含tga (或ctga)与含sina (或cos6^)的式子的互化 屮，本文把这种添配分母的方法叫做“托底”法。方法如下：

例5已知:tg^=3,求昱g 叱的值。 2sina + cosa ■

分析：由于tga = Sma ,带有分母cosa,因此，可把原式分子、分母各项除以cosa,"造出” tga,即托出底：cosa ； cos a

解：由于 t ga 二3=>QH A7T + —=> COSGH 0 2tga+ctga 二 --------- sinacosd

cosa

故，原式二 cw ‘ =

2 smo | cosa 2fgo + l 2x

3 + 1 cos a cos a

例 6 己知：ctga 二-3,求 sinacosa-cos%二?

用公式：sin 1 2(7 +cos 2 a-\及托底法托出其分母，然后再分子、分母分别除以sina,造出etga ： 解：sin 2 cif + cos 2 a- . 2 sintrcoscr-cos 2 a

=1 => sin (7cos a-cos a- ---------- --------- ----

sirr a + cos a cos a cosa 2 ------- ( ------ ) 2

1 +(COSG )

2 l + ctg^a sin er

_-3 + (-3)2_ 6

~ l + (-3)2 "_5

例7 (95年全国成人高考理、工科数学试卷)

iS 0 < x < — ,0 < y < — , K sin x sin y = sin(— - x) sin(— - y)

2 2

3 6

求：(etgx - —)(ctgy - V3)的值 J

分析：此题是典型已知含正弦函数的等式求含正切、余切的式子，故要用“托底法”，由于0 V 兀v|；0vyv 彳，故sinxH0,sinyH0,

分析:

由于eg 二沁 sin er ,故必将式子化成含有沁 sincr

的形式，而此题与例4有所不同，式子本身没有分母，为了使原式先出现分母，利