高中数学专题讲义：高考中三角函数问题的热点题型

高中数学专题讲义:高考中三角函数问题的热点题型

高考导航 从近几年的高考试题看,全国卷交替考查三角函数、解三角形.该部分解答题是高考得分的基本组成部分,不能掉以轻心.该部分的解答题考查的热点题型有:一考查三角函数的图象变换以及单调性、最值等；二考查解三角形问题；三是考查三角函数、解三角形与平面向量的交汇性问题,在解题过程中抓住平面向量作为解决问题的工具,要注意三角恒等变换公式的多样性和灵活性,注意题目中隐含的各种限制条件,选择合理的解决方法,灵活地实现问题的转化.

热点一 三角函数的图象和性质(规范解答)

注意对基本三角函数y ＝sin x ,y ＝cos x 的图象与性质的理解与记忆,有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解,通常先将给出的函数转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式,然后利用整体代换的方法求解.

【例1】 (满分13分)(2015·北京卷)已知函数f (x )＝sin x －23sin 2x

2. (1)求f (x )的最小正周期；

(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦

⎥⎤0，2π3上的最小值. 满分解答 (1)解 因为f (x )＝sin x ＋3cos x － 3.2分 ＝2sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

x ＋π3－ 3.4分

所以f (x )的最小正周期为2π.6分

(2)解 因为0≤x ≤2π3,所以π3≤x ＋π

3≤π.8分 当x ＋π3＝π,即x ＝2π

3时,f (x )取得最小值.11分

所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值为f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

2π3＝－ 3.13分

❶将f (x )化为a sin x ＋b cos x ＋c 形式得2分； ❷将f (x )化为A sin(ωx ＋φ)＋h 形式得2分； ❸求出最小正周期得2分.

❹写出ωx ＋φ的取值范围得2分. ❺利用单调性分析最值得3分. ❻求出最值得2分.

求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 周期与最值的模板

第一步:三角函数式的化简,一般化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋h 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋h 的形式；

第二步:由T ＝2π

|ω|求最小正周期； 第三步:确定f (x )的单调性；

第四步:确定各单调区间端点处的函数值； 第五步:明确规范地表达结论.

【训练1】 设函数f (x )＝3

2－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω＞0),且y ＝f (x )的图象的

一个对称中心到最近的对称轴的距离为π

4. (1)求ω的值；

(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡

⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值.

解 (1)f (x )＝3

2－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx

＝3

2－3·1－cos 2ωx 2

－12sin 2ωx

＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫2ωx －π3. 因为y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π

4,故该函数的周期T ＝4×π4＝π.又ω＞0,所以2π

2ω＝π,因此ω＝1.

(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫2x －π3.设t ＝2x －π3,则函数f (x )可转化为y ＝－sin t .

当π≤x ≤3π2时,5π3≤t ＝2x －π3≤ 8π

3,

如图所示,作出函数y ＝sin t 在⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

5π3，8π3 上的图象,

由图象可知,当t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤

5π3，8π3时,sin t ∈⎣⎢⎡⎦

⎥⎤－32，1,

故－1≤－sin t ≤32,因此－1≤f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤32

. 故f (x )在区间⎣⎢⎡

⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32,－1.

热点二 解三角形

高考对解三角形的考查,以正弦定理、余弦定理的综合运用为主.其命题规律可以从以下两方面看:(1)从内容上看,主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式,一般是以三角形或其他平面图形为背景,结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力；(2)从命题角度看,主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理,在知识的交汇处命题.

【例2】 (2017·成都诊断)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,f (x )＝2sin(x －A )cos x ＋sin(B ＋C )(x ∈R ),函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭

⎪⎫

π6，0对称.

(1)当x ∈⎝ ⎛

⎭

⎪⎫0，π2时,求函数f (x )的值域；

(2)若a ＝7,且sin B ＋sin C ＝133

14,求△ABC 的面积. 解 (1)∵f (x )＝2sin(x －A )cos x ＋sin(B ＋C ) ＝2(sin x cos A －cos x sin A )cos x ＋sin A ＝2sin x cos A cos x －2cos 2x sin A ＋sin A ＝sin 2x cos A －cos 2x sin A ＝sin(2x －A ), 又函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭

⎪⎫

π6，0对称,

则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0,即sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

π3－A ＝0,

又A ∈(0,π),则A ＝π

3,

则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 由于x ∈⎝ ⎛

⎭

⎪⎫0，π2,

则2x －π3∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－π3，2π3,

即－32

⎭

⎪⎫2x －π3≤1,

则函数f (x )的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤

－32，1.

(2)由正弦定理,得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝14

3

,