有限元动力学分析方程及解法
有限元 6-动力分析有限元
第6章 结构动力分析有限元法此前述及的问题属于静力分析问题,即作用在结构上的荷载是与时间无关的静力。
由此求得的位移、应力等均与时间无关。
实际工程中的大部分都可简化成静力问题。
但当动载与静载相比不容忽略时,一般应进行动力分析。
如地震作用下的房屋建筑,风荷载作用下的高层建筑等,都应计算动荷载作用下的动力反应。
研究课题中以动力问题为主。
解决动力问题有两大工作要做:一是动荷载的模拟和计算,二是结构反应分析。
本章将讨论如何用有限元来解决动力计算问题。
6.1 结构动力方程一.单元的位移、速度和加速度函数设单元的位移函数为;}{[]}{ef N d = 6—1—1式中:单元位移函数列阵}{f 、结点位移函数列阵}{ed 均是时间t 的函数。
由6-1-1可求得单元的速度、加速度函数:}{[]}{e f N d = 6—1—2 }{[]}{ef N d = 6—1—3二.单元的受力分析设图示三角形单元,当它处于运动状态时,其上的荷载一般应包括:单元上的荷载;单元对结点的作用力,}{[]}{(,eeix iy F F F K d ⋅⋅⋅=结点力)单元内部单位体积的:惯性力:}{}{[]}{em F f N dρρ=-=- 6—1—4阻尼力(设正比于运动速度):}{}{[]}{ecF f N d αραρ=-=- 6—1—5干扰力(已知的条件):}{p F根据达朗贝尔原理,上述四力将构成一瞬时平衡力系,使单元处于动平衡状态。
为此寻求四者之间的关系;三.结点力与结点位移、速度和加速度之间的关系用虚功原理推导:令单元结点发生任意可能的虚位移}{*d,它满足单元所定义的位移场,即虚位移场}{[]}{**f N d =成立。
作用在单元上的外力所作的外力虚功:}{}{}{}{}{}{}{}{****TTTTPcmvvvT dF f F dv f F dv f F dv =+++⎰⎰⎰单元内部应力在由于虚位移所引起的虚应变上所做的内力虚功:}{}{[]}{[][]}{**TTvW dv B d D B d dv εσ==⎰()根据虚功原理(T=W ),若将惯性力}{m F ,阻尼力}{c F 用上面的6—1—4,6—1—5代替,得:}{}{[]}{}{[]}{[]}{[]}{[]}{[]}{[][]}{*****TPvvTvVd F N d F dv N d N d dv N d N d dv B d D B d dvαρρ+--=⎰⎰⎰⎰TTT ()()()()由于虚位移的任意性,可从等式两边各项中消去}{*d T,得:}{[][][]}{[][]}{[][]}{[]}{TTpvvvvF B D B dv d N N dv d N N dv d N F dv αρρ=++-⎰⎰⎰⎰TT简写为:}{[]}{[]}{[]}{}{eF k d c d m d R =++- 6—1—6式中:[][][][]Tv k B D B dv =⎰ 单刚(第一项为弹性恢复力) [][][]v c N N dv αρ=⎰T单元阻尼矩阵(第二项为阻尼力) [][][]v m N N dv ρ=⎰T 质量矩阵(第三项为惯性力)[][][]R e P v N F dv =⎰T 包括由作用在单元上的干扰力转化成的等效结点荷载6—1—6即为单元结点力之间的关系式。
有限元分析-动力学分析PPT课件
目录
• 引言 • 有限元分析基础 • 动力学分析基础 • 有限元分析在动力学中的应用 • 案例分析 • 结论与展望
01 引言
目的和背景
01
介绍有限元分析在动力学分析中 的应用和重要性。
02
阐述本课件的目标和内容,帮助 读者了解有限元分析在动力学分 析中的基本概念、方法和应用。
随着工程复杂性和精确度要求的提高,有限元分析在动力学分析中的 应用将更加重要和必要。
02
未来需要进一步研究有限元分析算法的改进和优化,以提高计算效率 和精度。
03
未来需要加强有限元分析与其他数值计算方法的结合,如有限差分、 有限体积等,以实现更复杂的动力学模拟和分析。
04
未来需要加强有限元分析在多物理场耦合和多尺度模拟中的应用,以 更好地解决工程实际问题。
有限元分析的优点和局限性
• 精确性:对于某些问题,可以得到相当精确的结 果。
有限元分析的优点和局限性
数值误差
由于离散化的近似性,结果存在一定的数值误 差。
计算成本
对于大规模问题,计算成本可能较高。
对模型简化的依赖
结果的准确性很大程度上依赖于模型的简化程度。
03 动力学分析基础
动力学简介
动力学是研究物体运 动过程中力与运动关 系的科学。
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求解等。
02 有限元分析基础
有限元方法概述
01
有限元方法是一种数值分析方法,通过将复杂的物理系统离散化为有 限个简单元(或称为元素)的组合,来模拟和分析系统的行为。
02
它广泛应用于工程领域,如结构分析、流体动力学、热传 导等领域。
有限元静力学及动力学分析课件
03
操作步骤
利用有限元软件建立动力学模型, 进行瞬态模拟,将模拟结果与实
验结果进行对比分析。
02
实验设计
设计动力学实验,如自由落体冲 击实验,选用合适的实验设备和
试样。
04
结果分析
对比实验数据和模拟结果,评估 有限元分析方法在处理动力学问
题时的性能和准确性。
工程案例分析
案例背景
介绍汽车碰撞事故的背景,阐述有限元分析在汽车碰撞研 究中的重要性。
实验设计
设计简单的静力学实验,如悬 臂梁弯曲实验,准备相应的实
验设备和试样。
操作步骤
结果分析
利用有限元软件建立实验模型, 进行数值模拟,并将模拟结果
与实验结果进行对比分析。
通过对比实验数据和模拟结果, 评估有限元分析方法的精度和
适用性。
动力学实验验证
01
验证目的
通过动力学实验验证有限元分析 方法在处理动态问题时的准确性
模型建立
详细描述汽车碰撞有限元模型的建立过程,包括几何清理、 网格划分、材料属性赋值等步骤。
边界条件与求解设置
说明碰撞模拟中的边界条件,如初始速度、角度等,以及 求解器的选择和参数设置。
结果分析
展示碰撞过程中的变形、应力、应变等关键参数的变化情 况,并结合实验结果进行验证和讨论。最后,基于分析结 果提出汽车结构改进的建议。
自适应网格技术:结合并行计 算,实现自适应网格细化,以 在关键区域获得更精确的计算 结果,同时减少计算资源消耗。
通过这些高级有限元分析技术, 可以更准确、高效地模拟和分 析复杂工程问题,为设计和优 化提供有力支持。
PART 06
实验验证与案例分析
静力学实验验证
有限元 第9讲 动力学问题有限单元法
有限元第9讲动力学问题有限单元法动力学问题是指研究物体在运动中的受力和受力作用下的运动状态,常见的应用是结构工程学中的振动分析。
有限单元法是解决结构工程学中动力学问题的常用方法之一。
本文将介绍动力学问题和有限单元法的基本概念,并介绍其应用。
动力学问题的定义动力学是研究质点或刚体运动情况的分支学科,在结构工程学中是指结构在做振动时所受的力和运动状态。
动力学问题可以分为两种类型:稳态动力学问题和非稳态动力学问题。
稳态动力学问题是指结构在振动状态下所受的恒定力,而非稳态动力学问题则是指结构所受的变化的力,例如冲击力或地震力。
动力学问题的求解包括两个方面:一是确定受力情况;二是求解结构的运动状态。
确定受力情况通常需要通过实验或计算确定,求解结构运动状态则可以通过有限单元法来解决。
在结构工程学中,动力学问题的应用非常广泛。
例如,建筑物抗震设计需要对建筑物在地震作用下的反应进行分析,桥梁工程需要对桥梁在行车作用或风力作用下的振动响应进行分析。
有限单元法的基本概念有限单元法是一种将结构离散成若干小单元的数值分析方法,将结构分割成细小的单元,每个单元内部假设为均匀且连续的,通过对单元本身的运动状态进行求解,进而推知整个结构的运动状态。
有限元法用于解决的问题包括静力学问题、动力学问题、热力学问题和流体问题等。
有限单元法求解动力学问题的步骤主要包括如下几个步骤:1.离散化:将连续结构离散化成有限的小单元,每个单元内部运动状态通过定义一定数量的节点来确定。
2.建立单元的动力学方程:根据单元的形状和材料性质,建立单元的动力学方程,并计算单元的振动特性,例如频率和模态。
3.组装单元的方程:将单个单元的方程组装成整个结构的方程。
4.边界条件的处理:利用结构的边界条件(例如支撑、铰支等),将结构自由度减少到实际问题所需要的自由度。
5.求解结构的运动状态:通过求解整个结构的方程,得到结构的运动状态。
6.后处理:根据求解结果,进行结果的可视化和分析。
有限元静力学及动力学分析(第六章)
机械振动分析
对机械系统进行动力学分析,研 究其振动特性和稳定性,优化其 动态性能。
建筑结构地震响应
分析
采用有限元动力学分析方法,研 究建筑结构在地震作用下的响应, 评估其抗震性能和安全性。
05
有限元的优化设计
优化设计的基本概念
设计变量
01
在优化设计中需要改变的参数,如梁的截面尺寸、材料的弹性
模量等。
将连续的物理系统离散 化为有限个小的单元, 形成网格。划分网格是 有限元法的关键步骤, 直接影响计算结果的精 度和计算效率。
根据变分原理和加权余 量法,建立每个单元的 有限元方程,并将这些 方程组合成整体方程。
利用数值方法求解有限 元方程,得到每个节点 的位移和应力等结果。
对计算结果进行可视化 处理、分析和评估,为 工程设计和优化提供依 据。
结果后处理
对求解结果进行后处理,如绘制应力云图、生成 位移曲线等,以便进行结构分析和优化。
静力学分析的实例
桥梁结构静力学分析
通过建立桥梁的有限元模型,施加车 辆载荷等静力载荷,求解平衡方程, 得到桥梁的位移和应力分布,评估其 承载能力和安全性。
建筑结构静力学分析
通过建立建筑的有限元模型,施加风 载、雪载等静力载荷,求解平衡方程 ,得到建筑的位移和应力分布,评估 其稳定性和安全性。
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建立数学模型
根据物理问题和约束条件,建立有限元分 析的数学模型。
目标函数评估
根据有限元分析结果,评估目标函数的值 。
有限元分析
对建立的数学模型进行有限元分析,得到 各设计变量的响应。
优化设计的实例
飞机机翼的优化设计
通过改变机翼的截面尺寸和材料属性,使机翼的重量最小化 。
结构动力学问题的有限元法
K Q
K Q
对于结构动力学问题,节点载荷阵还包括惯性力和阻尼力。
e e e K Q (M C ) e e 1 m
或改写为:
C K M Q
代入:
dV Q N u
T T T
M N N dV
dV N N
e T
e
e dV Q N u
e T T
N N dV C
其中:
M M C C
e
e
质量阵和阻尼阵的叠加方法与刚度阵的叠加方法相同,也 是对称稀疏阵。
三、动力方程的简化
M e N T N dV
称为一致质量矩阵,是稀疏带状阵。
如果将单元质量阵近似作为对角阵,则方程变成彼此独立,避免 联立,称为集中质量阵或团聚质量阵。 解耦 例如长度为L,截面积为A,密度为ρ的梁单元。 i
A,ρ
L
j
x
1 A L 0 集中质量阵: m 2 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
156 22L 22L 2 一致质量阵: 4 L AL m 13L 420 54 2 13 L 3 L
54 13L 13L 3L2 156 22L 2 22L 4 L
ˆ P K P K
T
在变换[K]和[M]的过程中,有时使用一次雅克比变换将一个 非对角线元素化为零以后,它在另一次变换中会重新变为非零 元素,但在素质上有所减小。这说明需要反复使用雅克比变换, 最终非对角线元素将趋于零。 在实际求解过程中,不必严格地把矩阵[K]和[M]所有的非对 角线元素变换为零,通常在完成一次变换后进行判断是否达到预 l 1 (l ) 设的精度:
有限元-第9讲-动力学问题有限单元法ppt课件
求解方法
求解运动方程
直接积分法
隐式积分
显式积分
模态叠加法
完整矩阵法 缩减矩阵法
完整矩阵法 缩减矩阵法
逐步积分法按是否需要联立求解耦联方程组,可分为两 大类:
隐式方法:逐步积分计算公式是偶联的方程组,需联立 求解,计算工作量大,通常增加的工作量与自由度的 平方成正比,例如Newmark—β法、Wilson —θ法。
动力学研究的另一重要领域是波在介质中的传播问题。
3
三维弹性动力学的基本方程是:
平衡方程 几何方程 物理方程 边界条件
初始条件
i,jjfiui,ttui,t0
ij 12(ui,j uj,i)
ij Dijkl kl
ui ui ij n j T i ui(x,y,z,0)ui(x,y,z) ui,t(x,y,z,0)ui,t(x,y,z)
16
第2节 质量矩阵和阻尼矩阵
按第二种方法计算,得到集中质量矩阵与第一种方法结果一样。
注:对于8结点矩形单元,两种方法得到的集中质量矩阵不同。
在实际分析中,更多的是推荐用第二种方法来计算集中质量矩阵。 2.结构单元
2结点经典梁单元、协调质量矩阵和集中质量矩阵如下所示: (1)协调质量矩阵
位移插值函数是 N N 1 N 2 N 3N 4(2.7)
Se
Me,Ce,Ke和Qe分别是单元的质量、阻尼、刚度和载荷矩阵。14
第2节 质量矩阵和阻尼矩阵
算得单元的协调质量矩阵
1
2
0
0 1
1 4 0
0 1
1 4 0
0
1
2
4
4
1
M
eW 3
4 0
0 1
有限元三大方程公式
有限元三大方程公式有限元方法是一种重要的数值分析技术,用于求解结构力学、流体力学和热传导等工程学问题。
有限元方法基于有限元法,将连续的问题离散化成为微小的单元,并利用数值技术求解单元边界上的方程,最终通过组合这些边界方程得到整个问题的解。
在有限元方法中,三个常见的方程是:平衡方程、力学方程和能量方程。
下面将详细介绍这三个方程的公式及其意义。
一、平衡方程平衡方程是指物体在受到外力作用时,各部分之间保持力的平衡。
在力学中,平衡方程可表示为:∑F=0其中,∑F代表物体的所有外力的矢量和。
这个方程表明,在平衡状态下,物体上各个部分所受的外力的合力为零。
通过将平衡方程应用于每个有限元单元,可以得到离散问题的平衡方程。
二、力学方程力学方程是用于描述物体内部受力情况的方程,一般由胡克定律得到。
对于线性弹性材料,力学方程可表示为:σ=(E/ν)[ε-α(T-T0)]其中,σ代表应力,E代表弹性模量,ν代表泊松比,ε代表应变,α代表线膨胀系数,T代表温度,T0代表参考温度。
这个方程表明,应力取决于应变、温度和材料性质。
在有限元分析中,常将力学方程表示为单元应变和单元应力之间的关系,即:σ=Dε其中,D代表弹性模量矩阵,包含了材料性质的信息。
通过将力学方程应用于每个有限元单元,可以得到离散问题的力学方程。
三、能量方程能量方程是用于描述物体内部能量传递和转化的方程。
∂T/∂t=α∇²T其中,T代表温度,t代表时间,α代表热扩散率。
这个方程表明,温度随时间和空间的变化率取决于热传导率。
在有限元分析中,常将能量方程离散化为每个有限元单元的能量方程,即:∂T_i/∂t=∑(N_i∇T)其中,T_i代表单元i的温度,N_i代表形函数,∇T代表温度梯度。
通过将能量方程应用于每个有限元单元,可以得到离散问题的能量方程。
综上所述,有限元分析中的三大方程包括平衡方程、力学方程和能量方程。
这些方程为结构力学、流体力学和热传导等工程学问题的求解提供了重要的数学模型,通过将这些方程应用于每个有限元单元,可以得到离散问题的方程组,从而得到问题的数值解。
有限元动力学分析方程及解法
动力分析中平衡方程组的解法1前言描述结构动力学特征的基本力学变量和方程与静力问题类似,但所有的变量都是时间的函数。
基本变量三大类变量(,)i u t ξ、(,)ij t εξ和(,)ij t σξ是坐标位置(,,)x y z ξ和时间t 的函数,一般将其记为()()()i ij ij u t t t εσ。
基本方程(1) 平衡方程利用达朗贝尔原理将惯性力和阻尼力等效到静力平衡方程中,有,()()()()0ij j i i i t b t u t u t σρν+--= (1)其中ρ为密度,ν为阻尼系数。
(2) 几何方程,,1()(()())2ij i j j i t u t u t ε=+ (2)(3) 物理方程 ()()ij ijkl kl t D t σε= (3)其中ijkl D 为弹性系数矩阵。
(4) 边界条件位移边界条件()BC u 为,()()i i u t u t = 在u S 上 (4)力的边界条件()BC p 为,()()ij j i t n p t σ= 在p S 上 (5)初始条件0(,0)()i i u t u ξξ== (6) 0(,0)()i i u t u ξξ== (7)虚功原理基于上述基本方程,可以写出平衡方程及力边界条件下的等效积分形式,,()()0pij j i i i ij j i S u u b u d n p dA δσρνδσΩ∏=---+Ω+-=⎰⎰ (8)对该方程右端第一项进行分部积分,并应用高斯-格林公式,整理得,()()0pijkl ij kl i i i i i i i i S D u u u u d b u d p u dA εδερδνδδδΩΩ-++Ω-Ω+=⎰⎰⎰ (9) 有限元分析列式单元的节点位移列阵为,111222()[(),(),(),(),(),()(),(),()]e t k k k U t u t v t w t u t v t w t u t v t w t = (10)单元内的插值函数为, (,)()()e t u t N U t ξξ= (11)其中()N ξ为单元的形状函数矩阵,与相应的静力问题单元的形状函数矩阵完全相同,ξ为单元中的几何位置坐标。
有限元静力学及动力学分析课件
网格类型
一维、二维、三维网格, 以及六面体、四面体、四 边形等形状的网格。
网格质量
对计算结果的精度和稳定 性有重要影响,需要保证 网格质量良好。
材料属性定义
材料属性
弹性模量、泊松比、密度、热膨胀系数等。
材料属性赋值
根据实际材料属性赋予有限元模型相应的值。
材料非线性
考虑材料在不同应力应变状态下的非线性行为。
03
有限元动力学分析基础
动力学基本概念
01
02
03
04
动力学
研究物体运动和力之间关系的 科学。
牛顿第二定律
物体运动加速度与作用力成正 比,与物体质量成反比。
动能
物体由于运动而具有的能量。
势能
物体由于位置或形变而具有的 能量。
有限元动力学方程
拉格朗日方程
描述系统运动状态的微分方程。
哈密顿原理
最小作用量原理的一种形式,用于确定系统的运动轨迹。
有限元分析的历史与发展
有限元分析的思想起源于20世纪40年代,但直到20世纪60年代 才由Clough提出并命名为“有限元法”。
随着计算机技术的发展,有限元分析得到了广泛的应用和推广, 逐渐成为工程领域的重要工具。
近年来,随着计算能力的提高和数值算法的发展,有限元分析在 精度、稳定性和适用范围等方面得到了显著提升,能够处理更加 复杂和大规模的问题。
01
刚度矩阵的定义和 性质
描述刚度矩阵的物理意义、计算 方法和特性,以及它在建立有限 元方程中的作用。
02
载荷向量的定义和 计算
介绍载荷向量的概念、计算方法 和作用,以及它在建立有限元方 程中的作用。
03
边界条件的处理
描述如何将边界条件引入有限元 方程中,以及常见的边界条件类 型。
有限元第六讲 动力学分析
5.1.2谐响应分析
谐响应分析是用于确定线性结构在承受随时间按正弦(简谐) 规律变化的载荷时的稳态响应的一种技术。分析的目的是计 算结构在几种频率下的响应并得到一些响应值(通常是位移) 对频率的曲线,从这些曲线上可找到“峰值”响应并进一步 查看峰值频率对应的应力。
这种分析技术只计算结构的稳态受追振动,发生在激励开 始时的瞬态振动不在谐响应分析中考虑。作为一种线性分析, 该分析忽略任何即使己定义的非线性特性,如塑性和接触 (间隙)单元。但可以包含非对称矩阵,如分析在流体一结构 相互作用问题。谐响应分析也可用于分析有预应力的结构, 如小提琴的弦(假定简谐应力比预加的拉伸应力小得多)
MassMatrix Formulation[LLIMPMIL]:使用该选项可以选 定采用默认的质量矩阵形成方式(和单元类型有关)或集中质 量阵近似方式,建议在大多数情况下应采用默认形成方式。
PrestressEffectsca/culation[PSTRES]:选用该选项可以计 算有预应力结构的模态。默认的分析过程不包括预应力,即 结构是处于无应力状态的。
求解结构的前几阶模态,以了解结构如何响应的情形。该方法采用集中 质量阵(LUMPM,ON); Reduced(Householder)method:使用减缩的系统矩阵求解,速度快。但 由于减缩质量矩阵识近似矩阵,所以相应精度较低; Unsymmetric method:用于系统矩阵为非对称矩阵的问题,例如流体一 结构相同作用; Damped method:用于阻尼不可忽略的问题; QR Damped method:采用减缩的阻尼阵计算复杂阻尼问题,所以比 Damped method方法有更快的计算速度和更好的计算效率。
有限元分析-动力学分析
瞬态分析(Transient)
瞬态动力学分析(亦称时间历程分析)是用于确定承受任 意的随时间变化载荷结构的动力学响应的一种方法。可以用 瞬态动力学分析确定结构在稳态载荷、瞬态载荷和简谐载荷 的随意组合作用下的随时间变化的位移、应变、应力及力。 载荷和时间的相关性使得惯性力和阻尼作用比较重要。如果 惯性力和阻尼作用不重要,就可以用静力学分析代替瞬态分 析。
Harmonic response analysis is a technique used to determine the steady-state response of a linear structure to loads that vary sinusoidally (harmonically) with time. The idea is to calculate the structure's response at several frequencies and obtain a graph of some response quantity (usually displacements) versus frequency. "Peak" responses are then identified on the graph and stresses reviewed at those peak frequencies
加载和求解
ANSYS可以求解7种不同类型的分析,分别是: 1) 静态分析:(Static) 2) 瞬态分析:(Transient) 3) 谐振态分析: (Harmonic) 4) 模态分析: (Modal) 5) 频谱分析: (Spectrum) 6) 屈曲分析: (Eigen Buckling, Eigen(固有的), Buckling(弯曲)) 7) 子结构分析(Substructuring) 并非所有类型的计算都可以分为这几种状态,比如热分析就没 有就没有模态分析。
有限元第六章 动力问题的有限元法
第六章 动力问题的有限元法6.1 概述前面几章所研究的问题都属于静力问题,其特点是施加到结构上的外载荷不会使结构产生加速度,且外载荷的大小和方向不随时间变化,因而结构所产生的位移和应力也不随时间变化。
本章将要研究结构分析中另一类重要问题的有限元解法,即动力问题的有限元解法。
动力学问题的特点是,载荷是随时间变化的,因而结构所产生的位移和应力是时间的函数,结构会产生速度和加速度。
由于结构本身的弹性和惯性,结构在动力载荷的作用下,往往呈现出振动的运动形态。
结构振动是工程中一个很普遍很重要的问题。
有些振动对我们有利,例如,振动打桩,振动选料,有些振动对我们有害,例如,机床的振动,仪器与仪表的振动,桥梁、水坝及高层建筑在地震作用下的振动等。
因此,我们必须对振动体本身的振动特性以及它对外部激振力的响应有一个明确的认识,才能更好地利用它有利的一面,而避免它有害的一面,设计出更好的机械和结构。
振动问题主要解决两方面的问题。
1. 寻求结构的固有频率和主振型,从而了解结构的固有振动特性,以便更好地利用或减少振动。
2. 分析结构的动力响应特性,以计算结构振动时动应力和动位移的大小及其变化规律。
6.2 结构的振动方程结构的振动方程可用多种方法建立,这里我们使用达朗伯原理(动静法),仿照前几章建立静力有限元方程的方法,来建立动力问题的有限元方程。
在静力问题中用有限元法建立的平衡方程是}{}]{[F K =δ在振动问题中,对结构的各节点应用达郎伯原理所建立的振动方程仍然具有与上式相同的形式,只不过节点位移是动位移,节点载荷是动载荷,它们都是时间的函数。
上面的方程成为)}({)}(]{[t Q t K =δ (6.1)上式中{})(t δ为节点的动位移,它是时间的函数,)}(]{[t K δ是t 时刻的节点位移产生的弹性恢复力,它与该时刻的节点外力{})(t Q 构成动态平衡。
在动态情况下,结构承受的载荷(集中载荷 ,分布载荷 )可随时间而变化,是时间的函数。
有限元分析的力学基础
应用场景:流体 动力学分析广泛 应用于航空航天、 汽车、船舶、能 源等领域如飞机 机翼的气动性能 分析、汽车发动 机的流体动力学 分析等。
优势:有限元分 析能够处理复杂 的几何形状和边 界条件提供高精 度和可靠的分析 结果有助于优化 设计和改进产品 性能。
未来发展:随着 计算技术和数值 方法的不断进步 有限元分析在流 体动力学分析中 的应用将更加广 泛和深入有望在 解决复杂流体动 力学问题方面发 挥更大的作用。
特点:适用于大规模复杂问题的求解但需要设置合适的初值和解的精度要求。
有限元分析的精度与收敛性
精度:有限元分析的精度取决于网格划分的大小和形状以及所选择的近似函数。 收斂性:有限元分析的收敛性是指随着网格的细化解的近似值将逐渐接近真实解。 收敛速度:收敛速度取决于所选择的有限元类型和边界条件。 误差估计:通过误差估计可以确定所需的网格细化程度以确保解的精度。
弹性力学的 应用实例
塑性力学基础
定义:塑性力学是研究材料在达到屈服点后发生不可逆变形时行为规律的学科。 特点:塑性变形过程中外力的大小和方向可以发生变化而材料的内部结构保持不变。 塑性力学的基本方程:包括应力-应变关系、屈服准则、流动法则等。 应用:塑性力学在工程领域中广泛应用于金属成型、压力容器设计等领域。
局限性:塑性力 学模型忽略了材 料在塑性变形过 程中的微观结构 和相变行为因此 对于某些特定材 料或极端条件下 的应用可能存在 局限性。
流体动力学模型
简介:流体动力 学模型是有限元 分析中用于描述 流体运动的数学 模型包括流体压 力、速度、密度
等参数。
方程形式:流体 动力学模型通常 由一组偏微分方 程表示如NvierSkes方程描述了 流体的运动规律。
单元分析: 对每个单元 进行力学分 析包括内力、 外力、位移 等
有限元第五章 有限元动力学基本原理
第五章 有限元动力学分析基本原理
在前面的介绍中,我们均假设作用在弹性体(或结 构)上的载荷与时间无关,与此相应的,位移、应力 及应变等也都和时间无关,即前面介绍的全部内容皆 称结构静力学有限元方法。但工程实际中还存在着另 外一类载荷与时间有关的动载荷作用于结构或弹性体, 此时,相应的位移、应力、应变等都与时间有关,而 且必须考虑惯性力和加速度等因素,这类分析或问题, 成为动力学分析。 对于质点—弹簧系统的振动,大家比较熟悉,例如 一个自由度为n的质点—弹簧振系,其动平衡方程为
停止迭代 此时为低阶特性
2
1
( i 1)
(i 1)
三、机械结构固有频率与振型
2.矩阵迭代法
例题:已知一振动系统的质量矩阵、刚度矩阵用迭 代法计算其最高阶固有频率和振型。
1 0 0 3 2 0 M 0 2 0 K 2 5 3 0 0 3 0 3 3 1 1 1 解: 1 1 1.5 1.5 K 1 1.5 11 / 6
& & & M C K P
第五章 有限元动力学分析基本原理
上式中每一项的含义不同
& & M C 为阻尼力
K 为弹性力
对于单元体而言,可以得到类似的上述方程
e T N N dV V
于是,令e T V来自m N N dV
一、单元质量矩阵的计算
1.一致质量矩阵
e
m 的计算式是通式,并因为计算质量矩阵和刚度矩
阵使用的形状函数一致,因此被称为一致质量阵。
动力学有限元问题的龙格库塔法 知乎
动力学有限元问题的龙格库塔法知乎动力学有限元问题的龙格库塔法1. 介绍动力学有限元问题是一类涉及结构物或系统在时间变化下的运动和响应的问题。
为了解决这类问题,我们可以使用数值方法,其中最常用的之一是龙格库塔法(Runge-Kutta method)。
本文将探讨龙格库塔法在解决动力学有限元问题中的应用,并对其进行深入思考和全面分析。
2. 龙格库塔法的基本原理和应用龙格库塔法是一种数值求解常微分方程的方法,通过迭代逼近来计算方程的数值解。
它的优点在于能够准确地模拟系统的动态行为,并且对于非线性问题也有较好的适用性。
在动力学有限元问题中,我们通常需要求解结构物或系统在时间上的响应,而龙格库塔法可以提供相对精确的数值计算结果。
3. 动力学有限元问题在动力学有限元问题中,我们需要考虑结构物或系统在外部作用下的运动和响应。
这通常涉及到求解质点、刚体或弹性体的运动方程。
通过建立合适的模型和边界条件,我们可以得到动力学方程。
通过数值方法求解这些方程,我们可以得到系统在一段时间内的响应。
4. 龙格库塔法的步骤和计算过程龙格库塔法的基本步骤包括选择适当的时间步长和计算时间步数,以及计算中间步骤的函数值。
具体来说,龙格库塔法将时间区间划分为若干个小时间步,并通过迭代逼近的方式计算每个时间步的系统响应。
这个过程可以通过多种不同的方法进行,其中最常用的是四阶龙格库塔法。
5. 龙格库塔法的优点和缺点龙格库塔法作为数值求解常微分方程的方法,具有一定的优点和缺点。
其优点在于能够准确地模拟系统的动态行为,对于非线性问题也有较好的适用性。
而缺点在于需要选择合适的时间步长和计算步数,以及计算量较大。
在处理某些特殊问题时,龙格库塔法可能会出现数值不稳定或数值误差较大的情况。
6. 对龙格库塔法的个人观点和理解在我个人看来,龙格库塔法是一种非常有效的数值求解方法。
它可以帮助我们更好地理解和分析动力学有限元问题,提供精确的数值计算结果。
通过选择适当的参数和方法,我们可以获得准确的结果,并在实际工程和科学研究中得到有效的应用。
有限元静力学及动力学分析
1. 基本方程和术语
通用运动方程: 假定为自由振动并忽略阻尼:
M u Cu Ku F(t
M u Ku 0
假定为谐运动u = u0cos( t) :
(K 2M u0 0
1. 这个方程的根是 i, 即特征值, i 的范围从1到自由度的数目,特征
值的平方根是i , 它是结构的自然圆周频率(弧度/秒),并可得出
i j
(t) (t)
Fi (t)e [K ]e{ (t)}e
(3)整体分析
(4)通用运动方程
1.结构离散 与静力分析相同,选用适当的单元类型将连
续的弹性体离散成有限多个单元和节点。 2.单元分析
从离散的弹性体中任 意取出一个单元。利用给 定的位移插值方式表示单 元 内 任 一 点 的 位 移 {δ(t)}e, 进而确定节点的速度和加 速度。 3.整体分析 利用各节点处的变形协调条件和动力平衡条件即达朗贝尔原理,建立整体刚 度方程;
1.建模 2.加载求解 3.检查分析结果
2.1动力学有限元分析原理
1) 动力学分析的原因 2) 动力学有限元分析引例 3) 动力学分析的定义和目的 4) 动力学分析类型
1) 动力学分析的原因
静力分析也许能确保一个结
构可以承受稳定载荷的条件,但 这些还远远不够,尤其在载荷随 时间变化时更是如此。
无需 添加
选模态 设阶次 算结果
不添约束时,前6阶振型为刚体位移,固有频率均为0.
第三节 谐响应分析
1.定义和目的 2.术语和概念 3.谐响应分析求解方法 4.谐响应分析步骤 5. 实例-弹簧质量系统谐响应分析
1、定义与目的
1、定义与目的
1、引例-货车有阻尼受迫振动
在o< η <1之间, η大,即运行速度高,则受迫振动 振幅大;在η >1时, η 大,即运行速度高,则受迫振 动振幅小。
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动力分析中平衡方程组的解法1前言 描述结构动力学特征的基本力学变量和方程与静力问题类似,但所有的变量都是时间的函数。
基本变量三大类变量(,)i u t ξ、(,)ij t εξ和(,)ij t σξ是坐标位置(,,)x y z ξ和时间t 的函数,一般将其记为()()()i ij ij u t t t εσ。
基本方程(1) 平衡方程利用达朗贝尔原理将惯性力和阻尼力等效到静力平衡方程中,有,()()()()0ij j i i i t b t u t u t σρν+--= (1)其中ρ为密度,ν为阻尼系数。
(2) 几何方程),,1()(()())2ij i j j i t u t u t ε=+ (2)(3) 物理方程 ()()ij ijkl kl t D t σε= (3)其中ijkl D 为弹性系数矩阵。
(4) 边界条件位移边界条件()BC u 为,()()i i u t u t = 在u S 上 (4)力的边界条件()BC p 为,()()ij j i t n p t σ= 在p S 上 (5)初始条件0(,0)()i i u t u ξξ== (6){ 0(,0)()i i u t u ξξ== (7)虚功原理基于上述基本方程,可以写出平衡方程及力边界条件下的等效积分形式,,()()0pij j i i i ij j i S u u b u d n p dA δσρνδσΩ∏=---+Ω+-=⎰⎰ (8)对该方程右端第一项进行分部积分,并应用高斯-格林公式,整理得,()()0pijkl ij kl i i i i i i i i S D u u u u d b u d p u dA εδερδνδδδΩΩ-++Ω-Ω+=⎰⎰⎰ (9) 有限元分析列式单元的节点位移列阵为,111222()[(),(),(),(),(),()(),(),()]e t k k k U t u t v t w t u t v t w t u t v t w t = (10)单元内的插值函数为,(,)()()e t u t N U t ξξ= (11)%其中()N ξ为单元的形状函数矩阵,与相应的静力问题单元的形状函数矩阵完全相同,ξ为单元中的几何位置坐标。
基于上面的几何方程和物理方程及(11)式,将相关的物理量表达为节点位移的关系,有,(,)[](,)[]()()()()e e t t t u t N U t B U t εξξξξ=∂=∂= (12)(,)()()()()e e t t t D DB U t S U t σξεξξ=== (13)(,)()()e t u t N U t ξξ= (14)(,)()()e t u t N U t ξξ= (15)将(12)-(15)供稿到虚功方程(9)中,有,[()()()()]()0e e e e e e eT e t t t t t M U t C U t K U t R t U t δδ∏=++-= (16)由于()e t U t δ具有任意性,消去该项并简写有,e e e e et t t t U C U KU R ++= (17)其中,】e e T M NNd ρΩ=Ω⎰ (18) ee T C N Nd νΩ=Ω⎰ (19) ee T K B DBd Ω=Ω⎰ (20)e M 为单元质量矩阵,e C 为单元阻尼矩阵,e K 为单元刚度矩阵。
同样,将单元的各个矩阵进行组装,可形成系统的整体有限元方程,即,MU CU KU R ++= (21)其中M ,C 和K 分别是系统的质量、阻尼和刚度矩阵,R 是外荷载向量,U ,U和U 分别是有限元分割体的加速度、速度和位移向量。
方程(21)是通过考虑在时刻t 的静力平衡而推导出来的。
对静力或动力分析的选择(即在分析中是考虑或忽略与速度及加速度有关的力),一般取决于工程上的判断,其目的在于减少所需要的分析工作量。
但是,应该认识到,一个静力分析的假定,应该有理由说明它是正确的,否则,分析的结果就是无意义的。
确实,在非线性分析中,采用忽略惯性力和阻尼力的假定,可能严重到难以求得甚至无法求得解答。
在数学上,方程(21)是一个二阶线性微分方程组,原则上可用求解常系数微分方程组的标准过程来求得方程组的解。
但是,如果矩阵的阶数很高,则采用求解一般微分方程组的过程可能要付出很高的费用,除非特别利用系数矩阵K ,C 和M 的特殊性质。
因此,在实用的有限元分析中,主要对几种有效的方法感兴趣,下面将集中介绍这几种方法。
我们所考虑的基本过程,可分为两种求解方法:直接积分法和振型叠加法。
初看起来,这两种方法似乎完全不同,但事实上它们有着密切的关系,至于选择这种或那种方法,只取决于它们的数值效果。
2直接积分法在直接积分中对方程(21)是逐步地进行数值积分的,“直接”的意思是,进行数值积分前没有进行把方程变为另一种形式的变换。
实质上,直接积分是基于下面的两个想法,第一个想法是只在相隔t ∆的一些离散的时间区间上而不是试图在任一时刻t 上满足方程(21)即包含有惯性力和阻尼力作用的(静力)平衡是在求解区间上的一些离散时刻点上获得的。
因此,似乎在静力分析中使用过的所有求解方法,在直接积分法中或许也能有效地使用;第二个想法是假定位移、速度和加速度在每一时间区间t ∆内变化。
下面假设分别用000U ,U ,U 来表示初始时刻)t (0=的位移、速度和加速度向量为已知,要求出方程(21)从0=t 到T t =的解。
在求解时,把时间全程T 划分为几个相等的时间区间t ∆(即n /T t =∆),所用的积分格式是在时刻t ,∆0,T ,,t t ,t ,,t ∆+∆2上确定方程的近似解。
由于计算下一个时刻的解的算法要考虑到前面各个时刻的解,因此假定在时刻t ,,t , ∆0的解为已知,来推导出求时刻t t ∆+的解的算法。
计算时刻t t ∆+的解对于计算自此以后t ∆的时刻上的解是有代表意义的,这样就可建立用来计算在所有离散时间点上解的一般算法。
(a ) %(b ) 中心差分法若把式(21)的平衡关系看作是一个常系数常微分方程组,便可以用任一有限差分表达式通过位移来近似表示加速度和速度。
因此,在理论上,许多不同的有限差分表达式均可使用。
但是,我们要求求解格式必须是有效的,这样便只需考虑少数几种计算格式。
对某些问题求解是非常有效的一个过程是中心差分法,这个方法假定{}{}t t t t t t t t t t t U U t U U U U t U ∆+∆-∆+∆-+-∆=+-∆=21212 (22)将式(22)代入t 时刻的式(21),可得t t t t t t U C t M tU M t K R U C t M t ∆-∆+⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-∆-⎪⎭⎫ ⎝⎛∆--=⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+∆2112211222 (23)从式(23)我们可以求出t t U ∆+。
应该注意,t t U ∆+的解是基于利用在时刻t 的平衡条件。
因此,该积分过程称为显式积分方法,且这样的积分格式在逐步解法中不需要对(有效)刚度矩阵进行分解。
另一方面,以后所考虑的Houbolt ,Wilson θ及Newmark 方法,要利用在t t ∆+上的平衡条件,因而称为隐式积分方法。
另外还应注意到,应用中心差分法时,t t U ∆+的计算包含有t U 和t t U ∆-,因此,计算在时刻t ∆的解,必需用一个具体的起始过程。
由于000U ,U ,U 都是已知的,由关系式(22)可求02002U t U t U U t ∆+∆-=∆- (24) 具体计算步骤为A . 初始计算1.·2. 形成刚度矩阵K 、质量矩阵M 和阻尼矩阵C 。
3.计算初始值000U ,U ,U 。
4.选取时间步长t ∆,要求cr t t ∆≤∆(临界值)。
5.计算系数201ta ∆=,t a ∆=211,022a a =,231a a =。
6.计算0300U a U t U U t +∆-=∆-。
7.形成有效质量矩阵C a M a M ˆ10+=。
8.对M ˆ作三角分解:T LDL M ˆ=B . 每一时间步长内的计算1.计算在时刻t 的有效荷载:()()tt t t t U C a M a U M a K R R ˆ∆-----=102。
2.计算时刻t t ∆+的位移:tt t T R ˆU LDL =∆+。
3..4. 必要时,按照式()计算时刻t 速度和加速度。
假设所考虑的系统没有物理阻尼,即C 是零矩阵,在这种情形下式(23)可简化为t t t R ˆMU t=∆∆+21 (25) 其中()()tt t t t U C a M a U M a K R R ˆ∆-----=102 因此,如果质量矩阵是对角形的,则解方程组()时就不需要进行矩阵的分解,即只需进行矩阵相乘便可求得右端项的有效荷载向量tR ˆ,从而利用 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆=∆+ii )i (t )i (t t m t R ˆU2 (26)可得出位移向量的各个分量,其中)i (t t U ∆+和)i (t R ˆ分别表示向量t t U ∆+和tR ˆ的第i 个分量,而ii m 是质量矩阵的第i 个对角线元素,并且假定0>ii m 。
如果对总刚度矩阵和质量矩阵都不需进行三角分解,也就不必形成总体的K 和M 。
此时,求解式(23)可以在单元一级来解决,然后将每个单元的结果累加即可,即)U U (M t U K R R ˆt it t i t i i t t 212-∆--=∑∑∆- (27) 使用式(26)和(27)形式的中心差分法的优点是很明显的,因为它不需要计算总刚度矩阵和总质量矩阵,求解过程基本上是在单元一级上进行,所需要的内存比较少。
如果所有相继的单元刚度矩阵和质量矩阵均相同,则该方法就显得更有效,因为这时只需计算或从后备存贮器上连续读出对应于系统中第一个单元的矩阵。
|至于中心差分法的缺点,必需承认,该过程的效果与对角形质量矩阵中采用和忽略通常依赖于速度的阻尼力有关,若只包合一个对角形阻尼矩阵,则仍然可保持在单元一级上进行求解的优点。
从实用上看,只能用于对角形质量矩阵的这个缺点通常是不很严重的,因为可以采用足够精细的有限元离散化来使解有良好的精度。
使用中心差分格式的另一个十分重要的考虑是,该积分方法要求时间步长t ∆小于一个临界值cr t ∆,可由整个单元分割体的刚度和质量的性质来算出cr t ∆。
更准确地说,要得到一个有效的解必须πncr T t t =∆≤∆ (28)其中n T 是分析物体的最小周期,n 是单元系统的阶。
要求使用的时间步长t ∆小于临界时间步长cr t ∆的差分格式,例如中心差分法,称为条件稳定的。