广州大学2009-2010 (6)线性代数期末考试卷试题及解答
线性代数期末复习题及参考答案
线性代数期末复习题及参考答案复习题之判断题(√)1. 若行列式的每一行元素之和全为零，则行列式的值等于零. ( )2. 设A ，B 为n 阶矩阵，则22))((B A B A B A −=−+. (√)3. 方阵A 可逆的充要条件是A E ~.( )4. 若n 阶矩阵A 相似于对角矩阵，则A 必有n 个互不相同的特征值. (√)5. 二次型222123123(,,)4f x x x x x x =++是正定二次型. (√ )6. 若B A 、为n 阶方阵，则AB BA =. ( )7. 设A 为任意n 阶矩阵，则A —A T 为对称阵. ( )8. 若n 阶矩阵A 能对角化, 则A 必有n 个不同的特征值. (√)9. 实对称矩阵A 对应不同特征值的特征向量必正交. (√)10. 设AB=0，若A 为列满秩矩阵，则B=0.( )11. 对于任何矩阵Amxn ，不能经过有限次初等列变换把它变为列阶梯形矩阵和列最简形矩阵.( )12. 奇排列变成标准排列的对换次数为偶数.( )13. 在秩是r 的矩阵中，存在等于0的r-1阶子式，但是不存在等于0的r+1阶子式.复习题之填空题1．设向量()1,0,3,Tαλ=−，()4,2,0,1Tβ=−−，若α与β正交，则λ= - 4 ． 2. 当A 为任意的n 阶矩阵时，下列矩阵A A T +;T A A −;T AA ;A A T 中, 对称矩阵是T T T A A AA A A +，，，反对称矩阵是T A A −. 3. 设00B A C⎛⎫=⎪⎝⎭，B ，C 均为可逆矩阵，则1A −=1100C B−−⎛⎫⎪⎝⎭.4．设A 是n 阶矩阵（2n ≥），且A 的行列式det 2A =, 则它的伴随矩阵*A 的行列式*det A =12n −5．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−−=466353331A 的所有特征值之和等于0.6. 设,A B 为n 阶对称矩阵，则AB 是对称矩阵的充分必要条件AB=BA.7．设向量11,,0,132Tα⎛⎫=−− ⎪⎝⎭，()3,2,1,1T β=−−，则α与β的内积为 1 ．8．设方阵A 满足2240A A E −+=，且A E +可逆，则1()A E −+＝37A E−−. 9. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为*A ，若0A =，则*A =0.10．设向量()1,2,0,1T α=−，()3,1,1,2Tβ=−−，则α与β的内积为 -1 ． 11．设方阵A 满足220A A E −−=，且A 可逆，则1A −＝2A E−.12．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−=269643932A 的所有特征值之和等于0 ．13.2103111113423122−−−−的代数余子式之和31323334-2A A A A ++= -33 ___ .14. 设n 阶矩阵A 满足0322=+−E A A ，则()12−−E A=3A −15. 若4阶方阵A 的行列式A =3, *A 是A 的伴随矩阵，则*A = 27 ___ . 16 向量α=()1,1,1,5T−−−与()4,2,1,Tβλ=−−正交，则λ=-1.17. 二次型2221231231223(,,)4324f x x x x x x x x x x =−+−+−对应的对称矩阵是110142023A −⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−−⎝⎭_________________．18.3023111110560122−−−−−的代数余子式之和31323334A A A A +++= 0 .19. 设n 阶矩阵A 满足02A 2=−−E A ，则1)3(A −−E =2A E +−.20. 设A 是4阶方阵，4A =−，则*A =-64.21. 向量(2,2,3),(3,3,)T T t αβ=−=−−与正交，则t = 0 .22. 二次型22123131223(,,)224f x x x x x x x x x =++−对应的对称矩阵是110102022A ⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭．复习题之计算题1a ．设3111131111311113A ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 122212221B ⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭．（1）计算矩阵A 的行列式．（2）求矩阵B 的逆． 1a.(1)解：=D 31111311113111136111631161316113=11111311611311113=11110200600200002==48.(2).解：()122100************A E ⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭122100036210063201⎛⎫⎪→−−− ⎪ ⎪−−−⎝⎭122100036210009221⎛⎫ ⎪→−−− ⎪ ⎪−⎝⎭12211021012033221001999⎛⎫ ⎪⎪→− ⎪⎪ ⎪−⎝⎭122100999212010999221001999⎛⎫⎪ ⎪→− ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭ 从而有112212129221A −⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭。
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线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题 5 分，共 25 分）1 3 1 1.若0 5 x 0，则__________。
1 2 2x1 x2 x3 02．若齐次线性方程组x1 x2 x3 0 只有零解，则应满足。
x1x2x303．已知矩阵A，B，C (c ij )s n，满足 AC CB ，则 A 与 B 分别是阶矩阵。
4．已知矩阵A为 3 3的矩阵，且| A| 3，则| 2A|。
5．n阶方阵A满足A23A E 0 ，则A1。
二、选择题（每小题 5 分，共 25 分）6．已知二次型 f x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1 x3 4x2 x3,当t取何值时，该二次型为正定？（）A. 40 B.4 4C. 0 t4 4 1t5t D. t2 5 5 5 51 42 1 2 37．已知矩阵A 0 3 4 , B 0 x 6 ,且 A ~ B ，求x的值（）0 4 3 0 0 5A.3B.-2C.5D.-58 ．设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（）A. A0B. A 1 0C.r (A) nD.A 的行向量组线性相关9 ．过点（ 0， 2， 4）且与两平面x 2z 1和 y 3z 2 的交线平行的直线方程为（）1xy 2 z 4A.312xy 2 z 4C.31 2x y2 z 4B.32 2x y2 z 4D.322103 1 ．已知矩阵 A, 其特征值为（）51A. 12, 2 4 B. C.12,24D.三、解答题（每小题 10 分，共 50 分）1 12,2, 22441 1 00 2 1 3 40 2 1 30 1 1 011.设B, C 0 2 1 且 矩 阵满足关系式0 0 1 1 00 10 0 0 2T X(C B)E，求。
a1 12212. 问 a 取何值时，下列向量组线性相关？111, 2a ,3。
2 1 21 a22x 1 x 2x 3 313.为何值时，线性方程组x 1 x 2x 3 2有唯一解，无解和有无穷多解？当方x 1 x 2x 32程组有无穷多解时求其通解。
线性代数期末考试试卷+答案
×××大学线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题2分，共10分）1. 若022150131=---x ，则=χ__________。
2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。
3．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。
4．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性 。
5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。
二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。
每小题2分，共10分）1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0〉D 。
（ ）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。
（ ）3. 向量组m a a a ，，，Λ21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，，Λ21线性相关。
（ ）4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010*********0010A ，则A A =-1。
（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。
( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。
每小题2分，共10分)1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。
① n2② 12-n③ 12+n ④ 42. n 维向量组 s ααα，，，Λ21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。
① s ααα，，，Λ21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，，Λ21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，，Λ21中任一个向量都不能用其余向量线性表示④ s ααα，，，Λ21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。
广州大学2009-2010（6）线性代数期末考试卷试题及解答2
广州大学2009-2010（6）线性代数期末考试卷试题及解答2第一篇：广州大学2009-2010 (6)线性代数期末考试卷试题及解答2 《线性代数》客观题100题一．填充题1456xx展开后，x2的系数为______.x321．行列式23A⎫⎪，则C=____.⎝BO⎭3．设α,β,γ为3维列向量，已知3阶行列式|4γ-α,β-2γ,2α|=40，则行列式2．设A是m阶方阵，B是n阶方阵，且A=a, B=b, C= ⎛O|α,β,γ|=______.12301bbbb23432-1-1cccc2344126dddd234 4．设|A|=415a，则4A41+3A42+2A43+A44=______.5．行列式aaa234=_______________________________________________.a000⎫⎛1-a⎪-11-aa00 ⎪-11-aa0⎪=____________________________.6．五阶行列式det 0 ⎪00-11-aa ⎪000-11-a⎪⎝⎭⎛a 0 7．n阶行列式det M0 b⎝b0Λ00⎫⎪abΛ00⎪MMMM⎪=____________.⎪00Λab⎪00Λ0a⎪⎭T8．设向量α=(1,2)，β=(2,1)，矩阵A=αβ，则An=____________.⎛1 9．设A=2 2⎝21-22⎫⎪-2，则A2n+1=____________.⎪1⎪⎭10．设A=⎛3⎝22⎫n+1n⎪，则A-5A=____________.3⎭⎛1 111．设矩阵A=0 ⎝0110000220⎫⎪0⎪，则An=____________________.0⎪⎪2⎭*-112．设A，B均为n阶矩阵，A=2,B=-3，则2AB⎛2 413．已知A*=6 ⎝800=______.0⎫⎪200⎪，则A-1=____________________.420⎪⎪641⎭⎛10⎫-1T-1*-114．设矩阵A的逆矩阵A=⎪，则(A)=_________，(A)=_________.⎝11⎭⎛1 15．设A=2 3⎝0240⎫⎪0，则(A*)-1=________________.⎪5⎪⎭1aαα，T16．设n 维向量α=(a,0,Λ,0,a)T,a<0，若A=E-ααT的逆矩阵为B=E+则a=______.17．设矩阵A满足A2+A-4E=O，则(A-E)-1=____________.⎛1 -218．设A=0 ⎝003-40005-60⎫⎪0⎪，且B=(E+A)-1(E-A)，则(E+B)-1=________.0⎪⎪7⎭⎛1 *19．设矩阵A，B满足ABA=2BA-8E，其中A=0 0⎝0-200⎫⎪0，则B=______.⎪1⎪⎭20．设A,B为可逆矩阵，X=⎛1 21．若矩阵 0 -1⎝242⎛O⎝BA⎫-1⎪为分块矩阵，则X=____________.O⎭3⎫⎪4的秩为2，则a=______.⎪a⎪⎭22．设ai≠0, bi≠0(i=1,2,⎛a1b1 abΛ)n，矩阵A=21 Mab⎝n1a1b2a2b2M anb2ΛΛΛa1bn⎫a2bn⎪⎪，则矩阵A的秩M⎪anbn⎪⎭r(A)=______.⎛1 23．已知4⨯3矩阵A的秩R(A)=2，而B=0 4⎝0302⎫⎪0，则R(AB)=______.⎪5⎪⎭24．设A=⎛1⎝1-11⎫T⎪，则行列式AA=______.23⎭25．若α1,α2,α3都是线性方程组Ax=b的解向量，则A(2α1-5α2+3α3)=______.⎧x1+3x2+2x3=0⎪26．当a=______时, 齐次方程组⎨x1-2x2+3x3=0有非零解.⎪2x+x+ax=023⎩1⎛1 27．设A=4 3⎝2t-1-2⎫⎪3，B是3阶非零矩阵，且AB=O，则t=______.⎪1⎪⎭28．线性方程组x1+x2+x3+x4+x5=0的基础解系含有______个解向量.29．设n阶矩阵A的各行元素之和均为零，且A的秩为n-1，则线性方程组Ax=0的通解为____________________.⎧a11x1+a12x2+a13x3+a14x4=0T30．已知⎨的基础解系为(bi1,bi2,bi3,bi4)(i=1,2)，则⎩a21x1+a22x2+a23x3+a24x4=0⎧b11x1+b12x2+b13x3+b14x4=0的基础解系为________________________.⎨⎩b21x1+b22x2+b23x3+b24x4=0⎛1 31．已知矩阵A=2 3⎝2353474595⎫⎪6，则秩R(A)=______，齐次线性方程组Ax=0⎪11⎪⎭的解空间的维数等于______.32．设向量组(1,1,1)，(1,2,3)，(2,3,a)线性相关，则a=______.TTT33．已知三维线性空间的一组基底为α1=(1,1,0)，α2=(1,0,1)，α3=(0,1,1)，向量β=(2,0,0)在上述基底下的坐标是____________.34．从R2的基α1=⎪,α2=⎝0⎭⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫β=,β=到基1⎪⎪2 ⎪的过渡矩阵为__________.-1⎝⎭⎝1⎭⎝2⎭T35．设向量α=(1,2,2)T，A为三阶正交矩阵，则长度||Aα||=______.36．已知向量α=(1,1,1)与β=(1,2,a)正交，则a=______.37．向量α=(1,2,2,3)与β=(3,1,5,1)的夹角θ=______.38．设A=(aij)3⨯3是实正交矩阵，且a11=1，b=(1,0,0)T，则线性方程组Ax=b的解是____________________.39．设A是3阶矩阵，它的3个特征值互不相等，并且矩阵A的行列式A=0，则矩阵A的秩R(A)=______.40．若2阶方阵A满足A2-5A+6E=O，且A的两个特征值不相等, 则|A|=____.41．设2阶方阵A≠O满足A2=3A，则A有一特征值λ=____，且(A-I)-1=____.42．设3阶方阵A的特征值为1，2，3，则|6E-A|=______.43．设3阶矩阵A的特征值为1，2，2，则行列式|4A-1-E|=______.44．设A为n阶矩阵，A≠0，若A有特征值λ，则(A*)2+E必有特征值______.45．设A为2阶矩阵，α1,α2为线性无关的2维列向量，Aα1=0，Aα2=2α1+α2，则A的非零特征值为______.⎛1 46．设矩阵A=2 3⎝210-2⎫⎪2，α=(a,1,1)T。
线性代数期末考试试卷+答案
×××大学线性代数期末考试题、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题 2分，共10分）1 -3 1P X IX 2 X 3 =02 .若齐次线性方程组 J x 1+χx 2+x 3=0只有零解，则 扎应满足X 1亠 X 2亠 X 3= 05. n 阶方阵 A 满足 A 2-3A-E = 0 ,贝U A J = _____________________ 。
、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“X” 。
每小题2分，共10分）1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则D 0。
（）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。
（）3. 向量组a 1, a 2,…,a m中，如果a 1与a m对应的分量成比例，则向量组 a 1, a 2,…，a s线性相关。
■为可逆矩阵A 的特征值，贝U A J 的特征值为’。
（）若三、单项选择题（每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。
每小题1.设A 为n 阶矩阵，且A = 2 ,则I AA T =（ ）。
①2n②2n'③2n1④42. n 维向量组:∙1,:-2, , ：■ S （ 3 < S < n ）线性无关的充要条件是（）。
-0 11 0 0 0 0 04. A =0 0 0 10 1 0①：'1, ：'2 ,'：'S 中任意两个向量都线性无关②＞1,-：：S 中存在一个向量不能用其余向量线性表示③：'1, -'2 ,-■ S中任一个向量都不能用其余向量线性表示1.若0 5 -12x =0,则= —23•已知矩阵A ,B ,C = (C ij )s n ,满足AC =CB ,则A 与B 分别是 _____________ 阶矩阵。
a124 .矩阵 A= a21a 22的行向量组线性31a32丿2分，共10分）11,贝U A A =A 。
线代期末试题及答案
线代期末试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 在三维向量空间中，以下向量中线性无关的是：A) (1, 0, 0)B) (0, 1, 0)C) (0, 0, 1)D) (1, 1, 1)答案：D2. 设矩阵A = [a b; c d]，若行列式det(A) = 0，则以下哪个等式成立？A) ad - bc = 0B) ab - bc = 0C) ac - bd = 0D) ad - bd = 0答案：A3. 给定矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，则A的逆矩阵为：A) [-1/6 -1/3 1/6; -1/6 2/3 -1/6; 1/6 -1/3 1/6]B) [-1 -2 -3; -4 -5 -6; -7 -8 -9]C) [1/6 1/3 -1/6; 1/6 -2/3 1/6; -1/6 1/3 -1/6]D) [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]答案：A4. 给定矩阵A = [2 0; 0 3]，B = [1 2; 3 4]，则A与B的乘积为：A) [2 4; 6 8]B) [2 0; 0 3]C) [1 2; 9 12]D) [4 6; 6 12]答案：B5. 给定向量a = (1, 2, 3)和b = (4, 5, 6)，则a与b的内积为：A) 32B) 22C) 14D) 6答案：C6. 若向量a = (1, 2, 3)，b = (4, -2, 5)，c = (3, 1, -2)，则以下哪个等式成立？A) a × b = cB) b × c = aC) c × a = bD) a × c = b答案：B7. 给定矩阵A = [1 2; 3 4]，则A的特征值为：A) 1, 2B) 2, 3C) 3, 4D) 4, 5答案：A8. 设向量a = (1, 2, 3)，b = (4, 5, 6)，c = (2, 1, 3)，则向量集合{a, b, c}的维数为：A) 1B) 2C) 3D) 4答案：C9. 给定矩阵A = [1 2; 3 4]，A的转置矩阵为：A) [1 3; 2 4]B) [4 3; 2 1]C) [1 2; 3 4]D) [3 4; 1 2]答案：A10. 设矩阵A = [2 1; 3 4]，则A的伴随矩阵为：A) [4 -1; -3 2]B) [2 -1; 3 4]C) [-4 1; 3 -2]D) [-2 1; -3 -4]答案：A二、计算题（共70分）1. 设矩阵A = [1 2; 3 4]，求A的逆矩阵。
线性代数期末考试题库及答案
2、n2, 当 n 为偶数时为偶排列，当 n 为奇数时为奇排列. 4、29.
1、12.
2、 x2 y2 .
4
∑ 3、 x = 0 或 − ai . i =1
4、 λ = ±1, 2 .
三、证明题
证明提示: 由于 f(x)是关于 x 的二次多项式，在[0，1]中可导，又可计算出 f (0) = f (1) = 0 ，
3、解方程 D4( x) =
a1 a1
a1 + x
a2 a2 a2 + x a2
a3 a3 + x
a3 a3
a4 + x a4 = 0 . a4 a4
4、已知下列齐次线性方程组有非零解，求参数λ的值。
（5
− λ）x1 −6 x1
−4 x2 +(7 − λ )x2
−7 x3 +11x3
=0 =0
6 x1
（B）若 AX=0有非零解，则 AX=b有无穷多解；
（C）若 AX=b有无穷多个解，则 AX=0仅有零解；
（D）若 AX=b有无穷多个解，则 AX=0有非零解。
（7）非齐次线性方程组 AX=b中未知量个数为 n，方程个数为 m，系数矩阵 A的秩为 r，则
（）
（A）r=m时，方程组 AX=b有解； （B）r=n时，方程组 AX=b有唯一解；
《线性代数》补充练习二
一、选择题：
（1）设 n阶方阵 A的秩 r<n，则在 A的 n个行向量中（ ）
（A）必有 r个行向量线性无关； （B）任意 r个行向量均可构成极大无关组；
（C）任意 r个行向量均线性无关；（D）任一个行向量均可由其他 r个行向量线性表示
（2）若向量组α，β，γ线性无关；α，β，δ线性相关，则（ ）
广州大学2009-2010 (6)线性代数期末考试卷试题及解答2
《线性代数》客观题100题一．填充题1．行列式23142536xx x展开后，2x 的系数为______. 2．设A 是m 阶方阵，B 是n 阶方阵，且, , =a b ⎛⎫==⎪⎝⎭OA ABC B O ，则=C ____.3．设,,αβγ为3维列向量，已知3阶行列式|4,2,2|40--=γαβγα，则行列式|,,|=αβγ______.4．设12344321||10125116=--A ，则41424344432A A A A +++=______.5．行列式222233334444ab c d a b c d a b c d abcd=_______________________________________________.6．五阶行列式10001100det 0110001100011aa a a a a a a a -⎛⎫ ⎪-- ⎪⎪--= ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭____________________________. 7．n 阶行列式000000det 000000a b a b a b b a ⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭____________.8．设向量(1,2)=α，(2,1)=β，矩阵T=A αβ，则n =A ____________. 9．设122212221⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，则21n +=A ____________.10．设3223⎛⎫=⎪⎝⎭A ，则15n n+-=A A ____________. 11．设矩阵110011000020022⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，则n =A ____________________. 12．设A ，B 均为n 阶矩阵，2,3==-A B ，则*12-=A B ______.13．已知200420064208641*⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭A ，则1-=A ____________________.14．设矩阵A 的逆矩阵11011-⎛⎫= ⎪⎝⎭A ，则T 1()-=A _________，1()*-=A _________.15．设100220345⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，则*1()-=A ________________. 16．设n 维向量T (,0,,0,),0a a a =< α，若T =-A E αα的逆矩阵为T1a =+B E αα，则a =______.17．设矩阵A 满足24+-=A A E O ，则1()--=A E ____________. 18．设100023000450067⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭A ，且1()()-=+-B E A E A ，则1()-+=E B ________. 19．设矩阵A ，B 满足*28=-A BA BA E ，其中100020001⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭A ，则=B ______. 20．设,A B 为可逆矩阵，⎛⎫= ⎪⎝⎭O A X B O 为分块矩阵，则1-=X ____________. 21．若矩阵12304412a ⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭的秩为2，则=a ______.22．设0, 0(1,2,)i i a b i n ≠≠= ，矩阵111212122212n n n n n n a b a b a b a ba b a b a b a b a b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A ，则矩阵A 的秩()r =A ______.23．已知34⨯矩阵A 的秩()2R =A ，而102030405⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ，则()R =AB ______. 24．设111123-⎛⎫=⎪⎝⎭A ，则行列式T=A A ______. 25．若123,,ααα都是线性方程组=A x b 的解向量，则123(253)-+=A ααα______. 26．当=a ______时, 齐次方程组12312312332023020x x x x x x x x ax ++=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩有非零解.27．设12243311t -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ，B 是3阶非零矩阵，且=A B O ，则t =______. 28．线性方程组123450x x x x x ++++=的基础解系含有______个解向量.29．设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为零，且A 的秩为1n -，则线性方程组=0A x 的通解为____________________.30．已知11112213314421122223324400a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎨+++=⎩的基础解系为T1234(,,,)(1,2)i i i i b b b b i =，则11112213314421122223324400b x b x b x b x b x b x b x b x +++=⎧⎨+++=⎩的基础解系为________________________. 31．已知矩阵1234523456357911⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，则秩()R =A ______，齐次线性方程组=A x 0的解空间的维数等于______.32．设向量组(1,1,1)，(1,2,3)，(2,3,)a 线性相关，则a =______.33．已知三维线性空间的一组基底为T 1(1,1,0)=α，T 2(1,0,1)=α，T3(0,1,1)=α，向量T(2,0,0)=β在上述基底下的坐标是____________. 34．从2R 的基1211,01⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭αα到基1211,12⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ββ的过渡矩阵为__________.35．设向量T (1,2,2)=α，A 为三阶正交矩阵，则长度||||=A α______. 36．已知向量(1,1,1)=α与(1,2,)a =β正交，则=a ______. 37．向量(1,2,2,3)=α与(3,1,5,1)=β的夹角θ=______.38．设33()ij a ⨯=A 是实正交矩阵，且111=a ，T (1,0,0)=b ，则线性方程组=A x b 的解是____________________.39．设A 是3阶矩阵，它的3个特征值互不相等，并且矩阵A 的行列式0=A ，则矩阵A 的秩()R =A ______.40．若2阶方阵A 满足256-+=A A E O ，且A 的两个特征值不相等, 则||=A ____. 41．设2阶方阵≠A O 满足23=A A ，则A 有一特征值λ=____，且1()--=A I ____. 42．设3阶方阵A 的特征值为1，2，3，则|6|-=E A ______. 43．设3阶矩阵A 的特征值为1，2，2，则行列式1|4|--=A E ______.44．设A 为n 阶矩阵，0≠A ，若A 有特征值λ，则*2()+A E 必有特征值______. 45．设A 为2阶矩阵，12,αα为线性无关的2维列向量，1=0A α，2122=+A ααα，则A 的非零特征值为______. 46．设矩阵122212304-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，T (,1,1)a =α。
线性代数期末考试试卷(doc 6页)
线性代数期末考试试卷(doc 6页)学院：专业：班级：2009-2010-2线性代数期末试卷(本科A)考试方式：闭卷统考考试时间：2010.6.5一、单项选择题（每小题3分，共15分）1．下列行列式的值不一定为零的是（）。
A．n阶行列式中，零的个数多于2n n-个；B．行列式中每行元素之和为a；C．行列式中两行元素完全相同；D．行列式中两行元素成比例。
2．若A是（），则A不一定为方阵。
A．初等矩阵；B．对称矩阵；C．可逆矩阵的转置矩阵；D．线性方程组的系数矩阵。
3．若A、B均为n阶方阵，则有（）。
A．()()(){}maxR A B R A R B+≥；B．()()(){}minR A B R A R B+≤；C．()()()R A B R A R B+>+；D．()()()R A B R A R B+≤+。
4．下列条件不是向量组12.nααα⋅⋅⋅线性无关的必要条件的是（）。
A．12.nααα⋅⋅⋅都不是零向量；B．12.nααα⋅⋅⋅中任意两个都不成比例；C．12.nααα⋅⋅⋅中至少有一个向量可由其它向量线性表示；题号一二三四五总分：总分人：复核人：11 12 13 14 15 16 17 18得分签名得分12．已知111022003A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求()1*A -、()*1A -、1A -。
13．问,a b 各取何值时，线性方程组1231231232021324x x x x x ax x x x b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有唯一解？无解？有无穷多解？有无穷多解时求其通解。
得分 得分14．设向量组()131T a α=，()223T b α=，()3121T α=，()4231T α=的秩为2，求,a b 。
15. 设n 维向量(),0,0,T a a α=⋅⋅⋅，0a <，且T A E αα=-⋅,11T A E a αα-=+⋅,求a 。
得分得分学院：专业：班级：四、解答题（10分）16．设3阶对称矩阵A的特征值为6、3、3，与6对应的特征向量为()1111TP=,,，求矩阵A。
线性代数期末考试试题及答案
线性代数期末考试试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 向量空间的基是该空间的一组向量，满足以下哪两个条件？A. 线性无关B. 可以表示空间中的任何向量C. 可以线性组合出空间中的任何向量D. 以上都是2. 矩阵的秩是指：A. 矩阵中非零行的最大数目B. 矩阵中非零列的最大数目C. 矩阵的行向量组的秩D. 矩阵的列向量组的秩3. 线性变换的核是指：A. 变换后为零的向量集合B. 变换后为单位向量的向量集合C. 变换后保持不变的向量集合D. 变换后向量长度为1的向量集合4. 特征值和特征向量是线性变换中的基本概念，特征向量满足以下条件：A. 变换后保持不变B. 变换后与原向量成比例C. 变换后与原向量垂直D. 变换后与原向量正交5. 对于矩阵A，下列哪个矩阵是A的逆矩阵？B. A的伴随矩阵C. A的行列式D. 与A相乘结果为单位矩阵的矩阵6. 行列式的性质不包括：A. 行列式与矩阵的转置相等B. 行列式与矩阵的伴随矩阵无关C. 行列式与矩阵的行（列）交换有关D. 行列式与矩阵的行（列）乘以常数有关7. 线性方程组有唯一解的条件是：A. 方程组的系数矩阵是可逆的B. 方程组的系数矩阵是方阵C. 方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩D. 方程组的系数矩阵的秩等于未知数的个数8. 矩阵的迹是指：A. 矩阵的对角线元素之和B. 矩阵的行向量长度之和C. 矩阵的列向量长度之和D. 矩阵的行列式9. 线性无关的向量组可以作为向量空间的基，其必要条件是：A. 向量组中的向量数量等于向量空间的维数B. 向量组中的向量数量大于向量空间的维数C. 向量组中的向量数量小于向量空间的维数D. 向量组中的向量数量可以任意10. 对于矩阵A，下列哪个矩阵是A的共轭转置？A. A的转置矩阵C. A的伴随矩阵D. A的复共轭矩阵的转置答案：1. D 2. D 3. A 4. B 5. D 6. B 7. D 8. A 9. A 10. D二、填空题（每空2分，共20分）1. 设向量空间V的基为{v1, v2, ..., vn}，则向量v可以表示为______ 。
线代期末试题及答案
T AB =______________.2．若三元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为2，123,,βββ是它的 三个解向量，且12(2,6,3),T ββ+=-23(6,8,5),T ββ+=-则该线性方 程组的通解是__________.3. 设123625t A t t ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭的行向量线性相关，则实数t 满足的条件是 _________.4．令ii A 是三阶矩阵A 的元素ii a 的代数余子式（i =1，2，3），若A 的特征值为3，4，5，则112233A A A ++=__________.5．若101020105A c c ⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪-⎝⎭是正定矩阵，则c 的取值范围为 ___________.二． 选择题（每小题3分，共15分）1. 设A 、B 均为n 阶正交矩阵，则____________. （1）A+B 为正交矩阵 （2）A-B 为正交矩阵（3） B AB 为正交矩阵（4）k AB 为正交矩阵(k >0为实数)2．设A 为m 阶可逆矩阵，B 为n 阶可逆矩阵，则可逆分块矩阵O A D B O ⎛⎫= ⎪⎝⎭的逆矩阵是____________.（1）11A O O B --⎛⎫⎪⎝⎭ （2）11O B A O --⎛⎫⎪⎝⎭ （3） 11B O OA --⎛⎫⎪⎝⎭ （4）11O A BO --⎛⎫ ⎪⎝⎭3． 设α与β是线性无关的单位向量，则α与β的内积必 ____________.（1） >0 （2）<0 （3）>1 （4）<14.设A 为n 阶可逆矩阵，1*,,T A A A -分别是A 的转置矩阵，逆矩阵和伴随矩阵，若ξ是A 的特征向量，则下列命题中的不正确的是________.（1）ξ是T A 的特征向量 （2）2ξ是1A -的特征向量 （3）3ξ是*A 的特征向量（4） 4ξ是kA 的特征向量（k 为常数）5.设222623222,000222000A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则____ ____. （1）A 与B 是相似的且是合同的 （2）A 与B 是相似的但不是合同的 （3）A 与B 不是相似的但是合同的 （4）A 与B 不是相似的也不是合同的三．（15分）试求五元齐次线性方程组123451234512345330,30,0x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪-++-+=⎨⎪+++-=⎩的解空间V(作为5R 的子空间)的一组规范（标准）正交基。
大学线性代数期末试卷及答案
大学线性代数期末试题一、填空题（每小题2分，共10分）1. 若022150131=---x ，则=χ__________。
2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。
3、n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A。
4．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性 。
5．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。
二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。
每小题2分，共10分）1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0〉D 。
（ ）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。
（ ）3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。
（ ）4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010*********0010A ，则A A =-1。
（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。
( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案。
每小题2分，共10分)1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=TA A （ ）。
① n2② 12-n③ 12+n ④ 42. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。
① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示④ s ααα，，， 21中不含零向量3. 下列命题中正确的是( )。
① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。
线性代数期末试题及答案
8.设A 为三阶方阵, 且3=A , 则 12-=A .一、填空题（每小题2分，共20分）1.行列式=-203297302233241.2.设014111112--=D ，则=++333231A A A .3.设 , 231102 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A , 102324171⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=B 则= )( TAB . 4.设052=-+I A A ，则=+-1)2(I A .5.已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100120121A ，*A 是A 的伴随矩阵，则=-1*)(A .6.A 、A 分别为线性方程组b AX =的系数矩阵与增广矩阵，则线性方程组b AX =有解的充分必要条件是 .7.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=30511132a A ，且秩(A )=2，则=a .9.向量组1(1,2,1,1),T α=-,)0,3,0,2(2T=αT )1,4,2,1(3--=α的秩等于 . 10.设21,αα是)3(≥n n 元齐次线性方程组OAX =的基础解系，则=)(A r .二、选择题（每小题2分，共20分）1.已知101yxy x aA =，则A 中元素a 的代数余子式11A 等于（ ）.A.1- B .1 C .a - D .a2.已知4阶矩阵A 的第三列的元素依次为2,2,3,1-，它们的余子式的值分别为1,1,2,3-，则=A （ ）.A .3B .3-C .5D .5-3.B A ,均为n 阶矩阵，且2222)(BAB AB A ++=+，则必有（ ）.A.B A = B .I A = C .I B = D .BA AB =4.设A 、B 均为n 阶矩阵，满足O AB =，则必有（ ）.A.0=+B A B .））B r A r ((= C .O A =或O B = D .0=A 或0=B5.设33⨯阶矩阵),,(1γβα=A ，),,(2γβα=B ，其中γβαα,,,21均为3维列向量，若2=A ，1-=B ，则=+B A （ ）.A.4 B .4- C .2 D .16.设B AX =为n 个未知数m 个方程的线性方程组，,)(r A r =下列命题中正确的是（ ）.A .当n m =时，B AX =有唯一解 B .当n r =时，B AX =有唯一解C .当m r =时，B AX =有解D .当n r <时，B AX =有无穷多解7.若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=λ++=+λ+=++λ000321321321x x x x x x x x x 有非零解,则=λ（ ）.A .1或2B .1或－2C .－1或2D .－1或－28.n 阶矩阵A 的秩r n =的充分必要条件是A 中（ ）.A.所有的r 阶子式都不等于零 B .所有的1r +阶子式都不等于零 C.有一个r 阶子式不等于零 D .有一个r 阶子式不等于零, 且所有1r +阶子式都等于零9.设向量组,),,1(21T a a =α,),,1(22T b b =αT c c ),,1(23=α，则321,,ααα线性无关的充分必要条件是 （ ）.A.c b a ,,全不为0 B .c b a ,,不全为0 C .c b a ,,互不相等 D .c b a ,,不全相等10.已知21,ββ为b AX =的两个不同的解，21,αα为其齐次方程组0A X =基础解系，21,k k 为任意常数，则方程组b AX =的通解可表成（ ）.A.2)(2121211ββααα-+++k kB .2)(2121211ββααα++-+k k线性代数期末试题答案一、填空题（每小题2分，共20分）1.52.03. ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1031314170 4. )(31I A - 5.1/211/2011/2001/2-⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭6.)()(A r A r =7.6=a8. 38 9.2 10.2-n二、选择题（每小题2分，共20分）1.B2.C3.D4.D5.A6.C7.B8.D9.C 10.B 三、（8分)解：3211324-824823592373(1)373125212412411131D -===-----18361836(1)1313241=-=-=-四、（10分）解：（1）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=14191269629303212114321011324TAA （2）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=--461351341)2(1E A (3) 由XA AX2+=，得A XE A =-)2(A E A X 1)2(--=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=9122692683321011324461351341五、（12分）解：将方程组的增广矩阵A 用初等行变换化为阶梯矩阵：22112411411242110228018211240134(1)(4)00(4)2k k k k k k k k k k k ⎡⎤⎢⎥----⎡⎤⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-→-→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎣⎦⎣⎦+-⎢⎥-⎣⎦A所以，⑴ 当1k≠-且4k ≠时，()()3r r ==A A ，此时线性方程组有唯一解．⑵ 当1k =-时，()2=A r ，()3=A r ，此时线性方程组无解．⑶ 当4k=时，()()2==A A r r ，此时线性方程组有无穷多组解．此时，原线性方程组化为132334x x x x =-⎧⎨=-⎩ 因此，原线性方程组的通解为13233334x x x x x x=-⎧⎪=-⎨⎪=⎩或者写为123034101x x C x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦x (C R)∈六、（10分）解：记向量组4321,,,αααα对应矩阵为A 并化为行阶梯形矩阵为12341223122324130212(,,,)12030013062300002634000A αααα--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-----⎪ ⎪ ⎪ ⎪==→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭所以向量组4321,,,αααα的秩为3且它的一个最大无关组为：123,,ααα或124,,ααα1004101020013000000A -⎛⎫⎪ ⎪- ⎪→⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭41231432αααα=--+ 七、（12分）解：（1）.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------=61826239131039131024511810957245113322311312A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→0000000039131015801为自由未知量。
线性代数期末考试试卷合集(共十一套)
线性代数期末考试试卷合集（共十一套）目录线性代数期末试卷及参考答案（第一套） .............................................................................. 1 线性代数期末试卷及参考答案（第二套） .............................................................................. 9 南京工程学院期末试卷（第一套） ........................................................................................ 17 南京工程学院期末试卷（第二套） ........................................................................................ 24 南京工程学院期末试卷（第三套） ........................................................................................ 30 线性代数 期末试卷（A 卷） .................................................................................................. 36 线性代数 期末试卷（B 卷） .................................................................................................. 41 线性代数 期末试卷（C 卷） .................................................................................................. 46 线性代数 期末试卷（D 卷） .................................................................................................. 51 线性代数 期末试卷（E 卷） .................................................................................................. 57 线性代数 期末试卷（F 卷） (62)线性代数期末试卷及参考答案（第一套）一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1、设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3223A 满足B AB =，则矩阵=B ( )(A ) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛21k k ； (B )⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11； (C ) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2121k k k k ； (D ) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2111k k .（21k k ,为任意常数） 2、设n 阶方阵A ，B 满足E AB =，则下列一定成立的是 ( ) (A )E B A == ； (B )E B A =+ ； (C )1=A 或1=B ； (D )1=⋅B A .3、设矩阵,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001010100A 则 =-++)()(E A R E A R ( )(A ) 2； (B ) 3； (C ) 4； (D ) 5 .4、设向量组A :r a a a,,,21可由向量组B :s b b b ,,,21线性表示，则正确的是 ( )(A )当s r >时，向量组A 必线性相关； (B ) 当s r <时，向量组A 必线性相关； (C )当s r >时，向量组B 必线性相关； (D ) 当s r <时，向量组B 必线性相关.5、设A 为n m ⨯的矩阵，0=x A 是非齐次线性方程组b x A =所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是( )(A ) 若0=x A 仅有零解，则b x A =有唯一解；(B ) 若b x A =有无穷多解，则0=x A 有非零解；(C ) 若n m =，则b x A=有唯一解；(D ) 若A 的秩m A R <)(，则b x A=有无穷多解.二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1、设方阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010002cb a A ，当c b a ,,满足 时，A 为可逆方阵.2、若可逆方阵A 的有一个特征值3，则13-)(A 必有一个特征值为 .3、设A 为54⨯的矩阵，且秩2=)(A R ，则齐次方程组0=x A 的基础解系所含向量个数是 .4、若三阶行列式222023z y x =1，则行列式1117110111------z y x = ． 5、设向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛13232121,,x 线性相关，则常数x＝ .三、计算题（本题共6小题，共50分）1、(6分)设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=b a a A 140132121的秩2=)(A R , 求常数b a ,及一个最高阶非零子式.2、（8分）求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=314020112A 的特征值和特征向量. 3、（8分）设3阶方阵A 与B 满足BA A BA A 22+=*, 其中,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=400030001A 求B .4、（10分）设向量组A ：.,,,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=77103 1301 3192 01414321αααα 求: (1) 向量组A 的秩; (2) 向量组A 的一个最大线性无关组; (3) 将此最大无关组之外的其它向量用最大无关组线性表示.5、（8分）计算行列式aa a a D ++++=4321432143214321,其中0≠a .6、（10分）设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=--=--532403321321321x x x b ax x x x x x ， 问:当参数b a ,取何值时，(1)此方程组有唯一解? (2)此方程组无解? (3)此方程组有无穷多解? 并求出通解.四、判断题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 1、设矩阵B A ,为3阶方阵，且42==B A ,，则121=-AB.( )2、由3维向量构成的向量组4321a a a a,,,中必有一个可由其余向量线性表示. ( ) 3、对任意n 阶方阵C B A ,,，若AC AB =，且O A ≠，则一定有C B =.( )4、设向量21ηη ,是线性方程组b x A =的解，则212ηη -也是此方程组的一个解.( ) 5、正交向量组321a a a ,,线性无关.( )五、证明题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 1、设n 阶对称矩阵A 满足关系式O E A A =++862，证明：(1)E A 3+是可逆矩阵，并写出逆矩阵; (2) E A 3+是正交矩阵．2、若3210a a a a,,,是n 元非齐次线性方程组b x A =的线性无关解，且,)(3-=n A R证明：030201a a a a a a---,,是其对应的齐次线性方程组0 =x A 的基础解系．参考答案一、选择题(本题5小题, 每小题3分, 共15分)1. C ;2. D ;3. B ;4. A ;5. B .二、填空题(本题5小题, 每小题3分, 共15分)1. c ab 2≠；2.91； 3. 3； 4. 23- ； 5. 5. 三、计算题(本题6小题, 共50分)1. 解: A →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------210022170121b a a a (2分)， 由R (A ) = 2知，⎩⎨⎧=-=--0201b a ， ⎩⎨⎧=-=∴21b a ，一个最高阶非零子式3221-． 2．解: 由λλλλ-----=-314020112E A (),)(0212=-+-=λλ 得A 的特征值为.,21321==-=λλλ当11-=λ时, 解 ().0=+x E A,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+000010101414030111r E A得基础解系：,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1011p 对应11-=λ的全部特征向量为)(0111≠k p k当232==λλ时, 解().02=-x E A,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−→−⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-000000414111140001142r E A 得基础解系：,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=401 2p ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=041 3p对应232==λλ的特征向量为)0,(323322不全为k k p k p k+ 3. 解: B= 2(|A |E －2A ) -1 A |A |=12(|A |E －2A ) -1 =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4100061000101， B=2⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛410061000101⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛400030001 =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛20001000514. 解: ),,,(4321αααα=A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------71307311100943121→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0000110024103121 → ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0000110020102001 所以,秩3=A R , (1分)一个最大线性无关组为,,,321ααα(2分)且321422αααα++-=5. 解：aa a a D ++++=43214321432143214321c c c c +++aa a a a a a +++++++432104321043210432101r r i -aa a a 00000000043210+＝)(103+a a 6. 解: 增广矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----==5312410131b ab A B ),( →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+---120011100131b a(1) 当12-≠=b a ,时, 32=<=)()(B R A R ，此时方程组无解. (2) 当b a ,2≠取任意数时, 3==)()(B R A R ，此时方程组有唯一解. (3) 当12-==b a ,时, 32<==)()(B R A R ，此时方程组有无穷多解.B →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000011100131 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000011103201即⎩⎨⎧+-=+-=1323231x x x x 原方程组的通解为)(R c c ∈⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--013112.四、判断题(本题5小题, 每小题2分, 共10分)1. ×;2. √;3. ×;4. √;5. √.五、证明题(本题2小题, 每小题5分, 共10分)1．证明: (1)由O E A A =++862得E E A A =++962，即E E A E A =++))((33 所以E A 3+可逆，且E A E A 331+=+-)(.(2)由A 为n 阶对称矩阵知，E A E A E A TT T 333+=+=+)()(，故()()()E E A E A E A E A T=++=++333)3(，所以E A 3+是正交矩阵．2． 证明: 3210a a a a,,,是n 元非齐次线性方程组b x A =的解，030201a a a a a a---∴,,是对应齐次方程组0 =x A 的解；又,)(3-=n A R 所以0 =x A 的基础解系中含向量个数为3)(=-A R n 个； 下证 030201a a a a a a---,,线性无关即可.设0033022011 =-+-+-)()()(a a k a a k a a k 即00321332211=++-++a k k k a k a k a k )(又 3210a a a a ,,,线性无关， 故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-===0000321321)(k k k k k k 有唯一解0321===k k k所以030201a a a a a a---,, 线性无关,从而030201a a a a a a---,,是其对应的齐次方程组0 =x A 的基础解系线性代数期末试卷及参考答案（第二套）一、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）1、设向量⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=123,321βα ，则当k ＝ 时，.正交与βαα +k2、设方阵A 满足关系式O A A =+322，则1)(-+E A = .3、若三阶行列式930021-=x xxx ，则 =x ． 4、设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0211A ，多项式x x x f 2)(2+=，则=)(A f . 5、设向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-13,032,101λ线性相关，则常数λ= .6、n 元非齐次线性方程组b x A=有无穷多解的充要条件是 .7、设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2135212b a A 的对应特征值λ的一个特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111,则 ._______________,______,===b a λ二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1、设A ，B 是任意n 阶方阵(2≥n )，则下列各式正确的是 ( )(A ) B A B A +=+； (B ) 22B A B A B A -=-⋅+； (C ) B A B A ⋅=； (D ) A B AB T⋅= .2、下列4个条件中，①A 可逆 ； ②A 为列满秩（即A 的秩等于A 的列数）； ③A 的列向量组线性无关； ④ O A ≠ ；可使推理“ 若O AB =， 则O B = ”成立的条件个数是 ( )(A ) 1个 ； (B ) 2个； (C ) 3个； (D ) 4个.3、向量组s ααα，，，21)2(≥s 线性无关，且可由向量组s βββ ，，，21线性表示， 则下列结论中不成立的是( )(A ) 向量组s βββ，，，21线性无关；(B ) 对任一个j α )1(s j ≤≤，向量组s j βββα，，，，21线性相关；(C ) 存在一个j α )1(s j ≤≤，向量组s j βββα，，，，21线性无关；(D ) 向量组s ααα，，，21与向量组s βββ ，，，21等价. 4、设A ，B 均为3阶方阵, 3)(=A R ，2)(=B R , 则=)(AB R( )(A ) 1； (B ) 2； (C ) 3； (D ) 6 .5、设A 为n m ⨯的矩阵，r A R =)(，则非齐次线性方程组b x A=( )(A ) 当n r = 时有唯一解； (B ) 当n m r == 时有唯一解；(C ) 当n m = 时有唯一解； (D ) 当n r < 时有无穷多解. 三、计算题（本题共6小题，共54分）1、(7分)设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=61011152121λλA 的秩2)(=A R , 求常数λ及一个最高阶非零子式.2、（9分）求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=320230001A 的全部特征值和特征向量.3、（8分）设3阶方阵C B A ，，满足方程 A B A C =-)2(，试求矩阵A ，其中 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010301B ， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=300020001C .4、（10分）设向量组A ：.6721 ,11313 ,5652 ,21214321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=αααα 求: (1) 向量组A 的秩; (2) 向量组A 的一个最大线性无关组; (3) 将此最大无关组之外的其它向量用最大无关组线性表示.5、（8分）计算行列式cc b b a a x x x x D ---=000000, 其中x c b a ,,,全不为0.6、（12分）设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++bx x x x a x x x x x 3213213214231202， 问:当参数b a ,取何值时，(1)此方程组有唯一解? (2)此方程组无解? (3)此方程组有无穷多解? 并求出通解.四、证明题（本题共2小题，每小题5分，共10分）1、若向量321,,ααα线性无关， 求证 2132αα +，324αα +，135αα + 也线性无关.2、设矩阵T E A ηη -=, 其中E 是3阶单位矩阵，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=321x x x η 是单位向量，证明：(1) A A =2； (2) A 不可逆.参考答案一、填空题(本题7小题, 每小题3分, 共21分)1. 75-； 2. E A +2； 3. 3±； 4. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2631 ； 5. 6 ； 6. n b A R A R <=),()(； 7. -1 ，-3 ，0 .二、选择题(本题5小题, 每小题3分, 共15分)1. D ;2. C ;3. C ;4. B ;5. B .三、计算题(本题6小题, 共54分)1. 解: A →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+---3390022110121λλλλλ(3分)， 由R (A ) = 2知，⎩⎨⎧=-=-03039λλ，3=∴λ (2分)， 一个最高阶非零子式5221 ．2．解: 由λλλλ---=-32230001E A (),01)5(2=--=λλ得A 的特征值为.1,5321===λλλ当51=λ时, 解 ().05=-x E A,0001100012202200045⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-r E A得基础解系：,1101⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=p 对应51=λ的全部特征向量为)(0111≠k p k当132==λλ时, 解().0=-x E A,000000110220220000⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-r E A 得基础解系：,001 2⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=p ,110 3⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=p对应132==λλ的特征向量为)0,(323322不全为k k p k p k+.3. 解: CB A E C =-)2( ；⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-5000300012E C ； ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--51000310001)2(1E C ; ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅-=-5300032030110001030130002000151000310001)2(1CB E C A . 4. 解: ),,,(4321αααα =A →⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00210045101321 → ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000021********001 （初等变换步骤不一，请酌情给分）所以,秩3=A R , (1分) 一个最大线性无关组为,,,321ααα(2分)且32142617αααα--=5. 解：)1,2,3(1=++i c c i i Dcb a xx x x---0000000234＝xabc 4- .6. 解: 增广矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==b a b A B 4231120211),( →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----120014100211b a a ， (1) 当b a ,2≠取任意数时, 3)()(==B R A R ， 此时方程组有唯一解； (2). 当1,2≠=b a 时, 3)(2)(=<=B R A R ，此时方程组无解；(3) 当1,2==b a 时, 32)()(<==B R A R ，此时方程组有无穷多解.B →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000012100211 →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000012101001 即⎩⎨⎧--==121321x x x原方程组的通解为)(011120R c c ∈⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-.四、证明题(本题2小题, 每小题5分, 共10分)1．证明: 由题意 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+++540013102),,()5,4,32(321133221ααααααααα , 记 AK B = .K K ∴≠=，022 可逆， 又321,,ααα线性无关，所以)5,4,32(133221αααααα +++R 3),,(321==αααR ， 即 2132αα +，324αα +，135αα+ 也线性无关．2． 证明: (1) η为单位向量，1=∴ηηT ，A E E E E A T T T T T T T =-=+--=--=∴ηηηηηηηηηηηηηη)())((2.(2) 由(1)知，A A =2， 即 O E A A =-)(，3)()(≤-+∴E A R A R ，η为单位向量，O E A T ≠-=-∴ηη ， 1)(≥-E A R ，从而32)(<≤A R ， 所以0=A ， 故A 不可逆.另一证法： 0)(=-=-=-=ηηηηηηηηηηT T E A ，的非零解，为线性方程组0=∴ηηA所以0=A ， 故A 不可逆.南京工程学院期末试卷（第一套）共6 页第1页课程所属部门：基础部课程名称：线性代数A 考试方式：闭卷（A卷）使用班级：工科本科南京工程学院试卷共 6 页第 4 页南京工程学院期末试卷（第二套）共6 页第1页课程所属部门：基础部课程名称：线性代数A 考试方式：闭卷（A卷）使用班级：工科本科南京工程学院期末试卷（第三套）共6 页第1页课程所属部门：数理部课程名称：线性代数A 考试方式：闭卷（A卷）使用班级：工科本科线性代数 期末试卷（A 卷）一、（本大题共8小题，每题3分，共24分）1. 设B A ,均为n 阶方阵，则下面各式正确的是----------------------------------（ C ） (A)TTTB A AB =)( (B) 222)(B A AB = (C) || ||AB BA = (D)AB BA = 2. 下列命题正确的是--------------------------------------------------------------------（ C ） (A) 若02=A ，则0=A (B) 若A A =2，则0=A 或E A = (C) 若E A =，则E A n = (D) 若E A =2，则E A ±=3. 若行列式的所有元素都变号，则--------------------------------------------------（ D ） (A) 行列式一定变号 (B) 行列式一定不变号 (C) 偶阶行列式变号 (D) 奇阶行列式变号4. 设k c c c b b b a a a =321321321，则112311231123232323a a a a b b b b c c c c ++=+-------------------------------（ B ） (A) k 6 (B) k 3 (C) k 2 (D) k5. 若某线性方程组的系数行列式为零，则该方程组------------------------------（ D ） (A) 有唯一解 (B) 有非零解 (C) 无解 (D) 有非零解或无解6．已知TT T t ),3,1(,)3,2,1(,)1,1,1(321===ααα线性相关的，则t =-----（ B ）(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 77. 设方阵A 相似于(1,1,1)diag -,则10A =---------------------------------------- ( A )(A) E (B) 10E (C) E - (D) 10E - 8. 设A 为n 阶方阵，则下列说法中正确的是--------------------------------------（ B ） (A) 若A 可对角化，则A 为实对称阵 (B) 若A 为实对称阵，则A 可对角化 (C) 若A 可对角化，则A 必可逆 (D) 若A 可逆，则A 可对角化二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分）1.设2110A ⎛⎫=⎪-⎝⎭，则*A =0112-⎛⎫ ⎪⎝⎭，1A-=0112-⎛⎫ ⎪⎝⎭。
线性代数期末考试试卷及答案
一、 填空题(每空3分，共15分)1、设A 为n 阶方阵，且3A =，则|3A |= 。
2、设矩阵5678A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则A *= 。
（其中A *是A 的伴随矩阵） 3、已知n 阶矩阵A 满足2A A =，则A 的特征值为 。
4、n 阶方阵A 与对角矩阵相似的充要条件是 。
5、二次型22212312133428f x x x x x x x =-+-+的实对称矩阵为 。
二、选择题(每小题3分，共15分)1、12021k k +≠+的充要条件是（ ）（A ）1k ≠ （B ）3k ≠-（C ）1k ≠且3k ≠- （D ）1k ≠或3k ≠-2、若111221226a a a a =，则121122212020021a a a a --的值为（ ） ()A 12 ()B -12 ()C 18 ()D 03、设,A B 都是n 阶方阵，且0AB =，则下列一定成立的是（ ）()A 0A =或0B = (),B A B 都不可逆 (),C A B 中至少有一个不可逆 ()0D A B += 4、向量组()12,,,2s s ααα≥ 线性相关的充分必要条件是（ ）()A 12,,,s ααα 中含有零向量。
()B 12,,,s ααα 中有两个向量的对应分量成比例。
()C 12,,,s ααα 中每一个向量都可由其余1s -个向量线性表示。
()D 12,,,s ααα 中至少有一个向量可由其余1s -个向量线性表示。
5、当ad ≠bc 时，1a b c d -⎡⎤⎢⎥⎣⎦=（ ） （A ）d c b a -⎡⎤⎢⎥-⎣⎦（B ）1d b c a ad bc -⎡⎤⎢⎥--⎣⎦（C ）1d b c a bc ad ⎡⎤⎢⎥--⎣⎦（D ）1d c b a ad bc -⎡⎤⎢⎥--⎣⎦三、（8分）计算行列式411102*********23D -=-四、（11分）求向量组()()()()12342,1,1,1,1,1,7,10,3,1,1,2,8,5,9,11αααα==-=--=的一个最大无关组，并将其余向量用此最大无关组线性表示。
线性代数期末试卷及详细答案
（A ）A=E
（B ） A 相似于 E （ C） A2 E
（ D） A 合同于 E
8、若 1, 2, 3 , 4 是线性方程组 AX O 的基础解系，则 1 + 2 + 3 + 4 是 AX O 的
（A ）解向量
（ B）基础解系
（ C ）通解；
（ D） A 的行向量；
9、 1 , 2 都是 n 阶矩阵 A 的特征值， 1 2 ，且 X 1 和 X 2 分别是对应于 1 和 2 的特征
准型，并求出正交变换。 四、证明题（ 7 分）
设 A 为 m× n 矩阵， B 为 n 阶矩阵，已知 R(A) n
证明：若 AB=O ，则 B=O
《线性代数》期末考试题 A 题参考答案与评分标准
填空题
1、 -10；
2、 81；
3、
4，
6，
12；
1
4、
A
3E ；
2
5、 5；
二、单项选择题 ( 每小题 2 分，共 20 分)
填空题 （将正确答案填在题中横线上。每小题 2 分，共 10 分）
345
1、设 D1 = 3 1
5 ， D2= 5
2
2
1 0
0 ，则 D = D1 O
0
O
= _____________。
D2
2、四阶方阵
A、B ，已知
1 A=
，且 B= 2A -1
16
1
2A ，则 B =_____________ 。
1b1
002
求 a,b 6、齐次线性方程组
2 x1 x2 3x3 0 x1 3x2 4 x3 0
x1 2 x2 ax 0
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广州大学2010-2011学年第一学期考试卷
线性代数Ⅱ(B 卷)参考解答与评分标准
一.填空题(每小题3分,本大题满分18分)
1.已知1231
231
2
3
1a a a b b b c c c =,则111122223
33
3
253253253a c b b a c b b a c b b --=-6-.
2.设1111⎛⎫= ⎪⎝⎭A ,则2010=A 200911211⎛⎫ ⎪⎝⎭
.
3.设A 为3阶矩阵,且||2=A ,则1
|2|-=A 4.
4.已知A 为2阶可逆矩阵,123045⎛⎫
= ⎪⎝⎭
B ,则秩()R =A B 2.
5.若向量组(1,1,1),(2,3,4),(1,2,)a 线性相关,则a =3.
6.已知3阶方阵A 的特征值为1,2,3,则*
||=A 36.
二.选择题(每小题3分,本大题满分18分)
1.有矩阵322333,,⨯⨯⨯A B C ,下列矩阵运算不可行的是( D ). (A)ABC ; (B)BCA ; (C)+AB C ; (D)+BA C .
2.设3阶矩阵A 的第二列乘以2为矩阵B ,则T A 的( A )为T
B . (A)第二行乘以2; (B)第二列乘以2; (C)第二行乘以12
; (D)第二列乘以
12
.
3.设A 为n 阶矩阵,E 为n 阶单位矩阵,则1
-⎛⎫=
⎪⎝⎭
E
A O
E ( D ).
(A)⎛⎫ ⎪⎝⎭E O A E ; (B)⎛⎫ ⎪⎝⎭E A O E ; (C)⎛⎫ ⎪-⎝⎭E O A E ; (D)-⎛⎫
⎪⎝⎭E A O
E .
4.设A 是m n ⨯矩阵,则线性方程组=Ax 0( B ). (A)当n m >时仅有零解; (B)当n m >时必有非零解; (C)当n m <时仅有零解; (D)当n m <时必有非零解.
5.设向量组0A 为有限向量组A 的部分组,下列命题正确的是( C ).
(A)若向量组A 线性相关,则向量组0A 必线性相关; (B)若向量组0A 线性无关,则向量组A 必线性无关; (C)若向量组A 线性无关,则向量组0A 必线性无关; (D)秩0R A R A <()().
6.设2=λ是非奇异矩阵A 的一个特征值,则矩阵21
13
-A ()有一个特征值为( B ).
(A)
43
; (B)
34
; (C)
23
; (D)
32
.
三.(本题满分10分)
计算行列式2
112401412104
21
2
D ---=---.
解:2
112401430340
1
2
D ---=
--4143340
1
2
-=--4123320
1
-=422
3
2
=-=- ...10分
设矩阵1100
1100
1-⎛⎫
⎪=- ⎪ ⎪⎝
⎭B ,21302100
2⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
C ,求矩阵1T T
()-=-A E C ΒC 的逆矩阵. 解:1T T 1T ()[()]--=-=-A E C ΒC C E C Β
T
()=-C Β1
002
1032
1⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝
⎭
......5分 按方法1
(,)(,)r
-−−→A E E
A 求1
-A : ......7分
1
00100(,)2
100103210
01⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A E 1001000
10210021301r
⎛⎫ ⎪−−→- ⎪ ⎪-⎝⎭ 1001000
102100011
2
1r
⎛⎫ ⎪−−→- ⎪ ⎪-⎝
⎭
所以1
-A 100210121⎛⎫ ⎪
=- ⎪ ⎪-⎝⎭
. ......12分
设12341131(,,,)1
35325
9
4⎛⎫
⎪
==- ⎪ ⎪-⎝
⎭
A a a a a ,1234=+++b a a a a . (1)求矩阵A 的行最简形和秩;
(2)求向量组1234,,,a a a a 的一个最大无关组,再把其余向量用该最大无关组线性表示; (3)求齐次线性方程组0=Ax 的通解; (4)求非齐次线性方程组=Ax b 的通解.
解: (1) 113113532594⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪
-⎝⎭
A 11
310224033
6r
⎛⎫ ⎪−−
→-
⎪ ⎪-⎝⎭1
023011200
0r ⎛⎫
⎪−−→- ⎪ ⎪⎝
⎭
()2R =A . ......5分
(2) 向量组1234,,,a a a a 的一个最大无关组为12,a a ,
且有3122=+a a a ,41232=-a a a . ......9分
(3) 由(1)知0=Ax 的同解方程组为134234230
20
x x x x x x ++=⎧⎨+-=⎩,
令3142,x k x k ==得通解为
12
23121001k k --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
x , 12,k k 为任意数. ......14分 (4) 由1234=+++b a a a a 知1111η⎛⎫
⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
为=Ax b 的一个解(特解), 而=Ax b 的通解为0=Ax 的通解加上特解η,于是=Ax b 的通解为
12
231121
101011k k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
x , 12
,k k 为任意数. ......18分
设矩阵3223⎛⎫
= ⎪⎝⎭
A .
(1)求矩阵A 的特征值和特征向量;
(2)求可逆矩阵P ,使1-P A P 为对角矩阵; (3)计算10A .
解: (1)A 的特征多项式为
32||2
3--=
-A E λλλ
(1)(5)=--λλ
A 的特征值为11=λ,25=λ. (4)
分
当11=λ时,解()-=A E x 0,得基础解系111-⎛⎫
= ⎪⎝⎭
p ,
对应于特征值11=λ的全部特征向量为11k p (10k ≠). ......6分 当25=λ时,解(5)-=A E x 0,得基础解系211⎛⎫
= ⎪⎝⎭
p ,
对应于特征值25=λ的全部特征向量为22k p (20k ≠) ......8分 (2) 取1211(,)11-⎛⎫== ⎪⎝⎭P p p ,则1
1005-⎛⎫
=
⎪⎝⎭
P AP . ......10分 (3) ||2,=-P *
1
11
1-⎛⎫=
⎪--⎝⎭P ,1*
111111||2--⎛⎫== ⎪⎝⎭
P P P ......12分
1
1
005-⎛⎫=
⎪⎝⎭A P P , 10
10
1
100
5-⎛⎫=
⎪⎝⎭
A
P P
1011101111105112--⎛⎫⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
10
1010
10
51511251
5
1⎛⎫
+-= ⎪-+⎝⎭
......16分
七.(本题满分8分)
设η是非齐次线性方程组=Ax b 的一个解,1,,n r -ξξ 是=Ax 0的一个基础解系. 证明1,,,n r -++ηηξηξ 线性无关. 证明: 设存在一组数1,,,n r x x x - ,使
11()()n r n r x x x --+++++=ηηξηξ 0 (1)
即 111()n r n r n r x x x x x ---++++++=ηξξ 0 (2) ......2分 由题设=A ηb ,(1,,)i i n r ==-A ξ 0.用矩阵A 左乘(2)的两边,得
1()n r x x x -+++=b 0
因≠b 0,得
10n r x x x -+++= (3) ......5分
代入(2)得
11n r n r x x --++=ξξ 0
因基础解系1,,n r -ξξ 线性无关,所以10n r x x -=== ,代入(3)得0x =.
因此(1)只有零解,从而1,,,n r -++ηηξηξ
线性无关. ......8分。