2014年四川高考理科数学试题及答案(Word版)
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由 ，所以
又
因为点 ， 在该抛物线上且位于 轴的两侧，所以 ，故
于是
当且仅当 时取“ ”
所以 与 面积之和的最小值是
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11．复数 。
【答案】
【解析】
12．设 是定义在R上的周期为2的函数，当 时， ，则的河流的两岸B，C的俯角分别为 ， ，此时气球的高是 ，则河流的宽度BC约等于 。（用四舍五入法将结果精确到个位。参考数据： ， ， ， ， ）
所以
于是 ，
所以 。因为
所以 ， ， 三点共线
即OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）
（ii） ，
所以 ，令 （ ）
则 （当且仅当 时取“ ”）
所以当 最小时， 即 或 ，此时点T的坐标为 或
21．已知函数 ，其中 ， 为自然对数的底数。
（1）设 是函数 的导函数，求函数 在区间 上的最小值；
（2）若 ，函数 在区间 内有零点，求 的取值范围
【答案】C
【解析】 故①正确
但左边的 ，右边的 ，故②不正确
当 时，
令 （ ）
因为 ，所以 在 单增，
即 ，又 与 为奇函数，所以 成立故③正确
10．已知 是抛物线 的焦点，点 ， 在该抛物线上且位于 轴的两侧， （其中 为
坐标原点），则 与 面积之和的最小值是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设直线AB的方程为： ，点 ， ，又 ，直线AB与 轴的交点 （不妨假设 ）
8．如图，在正方体 中，点 为线段 的中点。设点 在线段
上，直线 与平面 所成的角为 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】直线 与平面 所成的角为 的取值范围是
，
由于 ， ，
所以 的取值范围是
9．已知 ， 。现有下列命题：
① ；② ；③ 。其中的所有正确命题的序号是
A．①②③B．②③C．①③D．①②
①设函数 的定义域为 ，则“ ”的充要条件是“ ， ， ”；
②函数 的充要条件是 有最大值和最小值；
③若函数 ， 的定义域相同，且 ， ，则 ；
④若函数 （ ， ）有最大值，则 。
其中的真命题有。（写出所有真命题的序号）
【答案】①③④
三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤。
所以 为线段 的中点
（2）以 为坐标原点， 、 、 分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ，
于是 ， ，
设平面 和平面 的法向量分别为 和
由 ，设 ，则
由 ，设 ，则
所以二面角 的余弦值
19．设等差数列 的公差为 ，点 在函数 的图象上（ ）。
（1）若 ，点 在函数 的图象上，求数列 的前 项和 ；
解：（1）因为 所以 又
因为 ， 所以：
①若 ，则 ， ，
所以函数 在区间 上单增，
②若 ，则 ，
于是当 时 ，当 时 ，
所以函数 在区间 上单减，在区间 上单增，
③若 ，则 ，
所以函数 在区间 上单减，
综上： 在区间 上的最小值为
（2）由 ，又
若函数 在区间 内有零点，则函数 在区间 内至少有三个单调区间
2014年普通高等学校招生全国统一考试理科参考答案（四川卷）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．已知集合 ，集合 为整数集，则
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ， ，故
2．在 的展开式中，含 项的系数为
A． B． C． D．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线 上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q。
（i）证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；
（ii）当 最小时，求点T的坐标。
解：（1）依条件
所以椭圆C的标准方程为
（2）设 ， ， ，又设 中点为
（i）因为 ，所以直线 的方程为：
【答案】C
【解析】含 项为
3．为了得到函数 的图象，只需把函数 的图象上
所有的点
A．向左平行移动 个单位长度B．向右平行移动 个单位长度
C．向左平行移动 个单位长度D．向右平行移动 个单位长度
【答案】A
【解析】因为 ，故可由函数 的图象上所有的点向左平行移动 个单位长度得到
4．若 ， ，则一定有
A． B． C． D．
100
P
（2）由（1）知：每盘游戏出现音乐的概率是
则玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是
（3）由（1）知，每盘游戏获得的分数为 的数学期望是
分
这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而会减少。
18．三棱锥 及其侧视图、俯视图如图所示。设 ， 分别为线段 ， 的中点， 为线段 上的点，且 。
【答案】
【解析】 ，
14．设 ，过定点A的动直线 和过定点B的动直线 交于点 ，则 的最大值是。
【答案】
【解析】 ， ，因为 ，所以
故 （当且仅当 时取“ ”）
15．以 表示值域为R的函数组成的集合， 表示具有如下性质的函数 组成的集合：对于函数 ，存在一个正数 ，使得函数 的值域包含于区间 。例如，当 ， 时， ， 。现有如下命题：
【答案】B
【解析】当最左端为甲时，不同的排法共有 种；当最左端为乙时，不同的排法共有 种。
共有 + 种
7．平面向量 ， ， （ ），且 与 的夹角等于 与 的夹角，则
A． B． C． D．
【答案】D
【解析1】
因为 ， ，所以 ，又
所以 即
【解析2】由几何意义知 为以 ， 为邻边的菱形的对角线向量，又 故
（2）若 ，函数 的图象在点 处的切线在 轴上的截距为 ，求数列 的前 项和 。
解：（1）点 在函数 的图象上，所以 ，又等差数列 的公差为
所以
因为点 在函数 的图象上，所以 ，所以
又 ，所以
（2）由
函数 的图象在点 处的切线方程为
所以切线在 轴上的截距为 ，从而 ，故
从而 ， ，
所以
故
20．已知椭圆C： （ ）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形。
（1）证明： 为线段 的中点；
（2）求二面角 的余弦值。
解：（1）由三棱锥 及其侧视图、俯视图可知，在三棱锥 中：
平面 平面 ，
设 为 的中点，连接 ，
于是 ， 所以 平面
因为 ， 分别为线段 ， 的中点，所以 ，又 ，故
假设 不是线段 的中点，则直线 与直线 是平面 内相交直线
从而 平面 ，这与 矛盾
（1）设每盘游戏获得的分数为 ，求 的分布列；
（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了。请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因。
解：（1） 可能取值有 ，10，20，100
， ，
，
故分布列为
10
20
【答案】D
【解析】由 ，又 ，由不等式性质知： ，所以
5．执行如图1所示的程序框图，如果输入的 ，则输出的 的最大值为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当 时，函数 的最大值为2，否则， 的值为1.
6．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能拍甲，则不同的排法共有
A． 种B． 种C． 种D． 种
16．已知函数 。
（1）求 的单调递增区间；
（2）若 是第二象限角， ，求 的值。
解：（1）由
所以 的单调递增区间为 （ ）
（2）由
因为
所以
又 是第二象限角，所以 或
①由 （ ）
所以
②由
所以
综上， 或
17．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得 分）。设每次击鼓出现音乐的概率为 ，且各次击鼓出现音乐相互独立。
由（1）知当 或 时，函数 即 在区间 上单调，不可能满足“函数 在区间 内至少有三个单调区间”这一要求。
若 ，则
令 （ ）
则 。由
所以 在区间 上单增，在区间 上单减
即 恒成立
于是，函数 在区间 内至少有三个单调区间
又 所以
综上， 的取值范围为
又
因为点 ， 在该抛物线上且位于 轴的两侧，所以 ，故
于是
当且仅当 时取“ ”
所以 与 面积之和的最小值是
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11．复数 。
【答案】
【解析】
12．设 是定义在R上的周期为2的函数，当 时， ，则的河流的两岸B，C的俯角分别为 ， ，此时气球的高是 ，则河流的宽度BC约等于 。（用四舍五入法将结果精确到个位。参考数据： ， ， ， ， ）
所以
于是 ，
所以 。因为
所以 ， ， 三点共线
即OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）
（ii） ，
所以 ，令 （ ）
则 （当且仅当 时取“ ”）
所以当 最小时， 即 或 ，此时点T的坐标为 或
21．已知函数 ，其中 ， 为自然对数的底数。
（1）设 是函数 的导函数，求函数 在区间 上的最小值；
（2）若 ，函数 在区间 内有零点，求 的取值范围
【答案】C
【解析】 故①正确
但左边的 ，右边的 ，故②不正确
当 时，
令 （ ）
因为 ，所以 在 单增，
即 ，又 与 为奇函数，所以 成立故③正确
10．已知 是抛物线 的焦点，点 ， 在该抛物线上且位于 轴的两侧， （其中 为
坐标原点），则 与 面积之和的最小值是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设直线AB的方程为： ，点 ， ，又 ，直线AB与 轴的交点 （不妨假设 ）
8．如图，在正方体 中，点 为线段 的中点。设点 在线段
上，直线 与平面 所成的角为 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】直线 与平面 所成的角为 的取值范围是
，
由于 ， ，
所以 的取值范围是
9．已知 ， 。现有下列命题：
① ；② ；③ 。其中的所有正确命题的序号是
A．①②③B．②③C．①③D．①②
①设函数 的定义域为 ，则“ ”的充要条件是“ ， ， ”；
②函数 的充要条件是 有最大值和最小值；
③若函数 ， 的定义域相同，且 ， ，则 ；
④若函数 （ ， ）有最大值，则 。
其中的真命题有。（写出所有真命题的序号）
【答案】①③④
三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤。
所以 为线段 的中点
（2）以 为坐标原点， 、 、 分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ，
于是 ， ，
设平面 和平面 的法向量分别为 和
由 ，设 ，则
由 ，设 ，则
所以二面角 的余弦值
19．设等差数列 的公差为 ，点 在函数 的图象上（ ）。
（1）若 ，点 在函数 的图象上，求数列 的前 项和 ；
解：（1）因为 所以 又
因为 ， 所以：
①若 ，则 ， ，
所以函数 在区间 上单增，
②若 ，则 ，
于是当 时 ，当 时 ，
所以函数 在区间 上单减，在区间 上单增，
③若 ，则 ，
所以函数 在区间 上单减，
综上： 在区间 上的最小值为
（2）由 ，又
若函数 在区间 内有零点，则函数 在区间 内至少有三个单调区间
2014年普通高等学校招生全国统一考试理科参考答案（四川卷）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．已知集合 ，集合 为整数集，则
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ， ，故
2．在 的展开式中，含 项的系数为
A． B． C． D．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线 上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q。
（i）证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；
（ii）当 最小时，求点T的坐标。
解：（1）依条件
所以椭圆C的标准方程为
（2）设 ， ， ，又设 中点为
（i）因为 ，所以直线 的方程为：
【答案】C
【解析】含 项为
3．为了得到函数 的图象，只需把函数 的图象上
所有的点
A．向左平行移动 个单位长度B．向右平行移动 个单位长度
C．向左平行移动 个单位长度D．向右平行移动 个单位长度
【答案】A
【解析】因为 ，故可由函数 的图象上所有的点向左平行移动 个单位长度得到
4．若 ， ，则一定有
A． B． C． D．
100
P
（2）由（1）知：每盘游戏出现音乐的概率是
则玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是
（3）由（1）知，每盘游戏获得的分数为 的数学期望是
分
这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而会减少。
18．三棱锥 及其侧视图、俯视图如图所示。设 ， 分别为线段 ， 的中点， 为线段 上的点，且 。
【答案】
【解析】 ，
14．设 ，过定点A的动直线 和过定点B的动直线 交于点 ，则 的最大值是。
【答案】
【解析】 ， ，因为 ，所以
故 （当且仅当 时取“ ”）
15．以 表示值域为R的函数组成的集合， 表示具有如下性质的函数 组成的集合：对于函数 ，存在一个正数 ，使得函数 的值域包含于区间 。例如，当 ， 时， ， 。现有如下命题：
【答案】B
【解析】当最左端为甲时，不同的排法共有 种；当最左端为乙时，不同的排法共有 种。
共有 + 种
7．平面向量 ， ， （ ），且 与 的夹角等于 与 的夹角，则
A． B． C． D．
【答案】D
【解析1】
因为 ， ，所以 ，又
所以 即
【解析2】由几何意义知 为以 ， 为邻边的菱形的对角线向量，又 故
（2）若 ，函数 的图象在点 处的切线在 轴上的截距为 ，求数列 的前 项和 。
解：（1）点 在函数 的图象上，所以 ，又等差数列 的公差为
所以
因为点 在函数 的图象上，所以 ，所以
又 ，所以
（2）由
函数 的图象在点 处的切线方程为
所以切线在 轴上的截距为 ，从而 ，故
从而 ， ，
所以
故
20．已知椭圆C： （ ）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形。
（1）证明： 为线段 的中点；
（2）求二面角 的余弦值。
解：（1）由三棱锥 及其侧视图、俯视图可知，在三棱锥 中：
平面 平面 ，
设 为 的中点，连接 ，
于是 ， 所以 平面
因为 ， 分别为线段 ， 的中点，所以 ，又 ，故
假设 不是线段 的中点，则直线 与直线 是平面 内相交直线
从而 平面 ，这与 矛盾
（1）设每盘游戏获得的分数为 ，求 的分布列；
（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了。请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因。
解：（1） 可能取值有 ，10，20，100
， ，
，
故分布列为
10
20
【答案】D
【解析】由 ，又 ，由不等式性质知： ，所以
5．执行如图1所示的程序框图，如果输入的 ，则输出的 的最大值为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当 时，函数 的最大值为2，否则， 的值为1.
6．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能拍甲，则不同的排法共有
A． 种B． 种C． 种D． 种
16．已知函数 。
（1）求 的单调递增区间；
（2）若 是第二象限角， ，求 的值。
解：（1）由
所以 的单调递增区间为 （ ）
（2）由
因为
所以
又 是第二象限角，所以 或
①由 （ ）
所以
②由
所以
综上， 或
17．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得 分）。设每次击鼓出现音乐的概率为 ，且各次击鼓出现音乐相互独立。
由（1）知当 或 时，函数 即 在区间 上单调，不可能满足“函数 在区间 内至少有三个单调区间”这一要求。
若 ，则
令 （ ）
则 。由
所以 在区间 上单增，在区间 上单减
即 恒成立
于是，函数 在区间 内至少有三个单调区间
又 所以
综上， 的取值范围为