二次插值算法.pdf

、 的一般化处理后，计算其函数值，并令
，
，
，
返回步骤(2)。
图 2（a）
4
图 2（b）
图 2（c）
5
(4)判断迭代终止条件
图 2（d）
在一般情况下，因 是前一次插值函数的极小值点， 是本次插值函数的极小值点，若
和 的距离足够小时，即满足
，或 和 两者原函数值已很接
近，即满足
，则停止迭代，这时，若
二次插值法亦是用于一元函数 线拟合方法的范畴。
一、基本原理
在确定的初始区间内搜索极小点的一种方法。它属于曲
在求解一元函数 的极小点时，常常利用一个低次插值多项式 来逼近原目标函数，
然后求该多项式的极小点(低次多项式的极小点比较容易计算)，并以此作为目标函数 的近似极小点。如果其近似的程度尚未达到所要求的精度时，可以反复使用此法，逐次拟合， 直到满足给定的精度时为止。
（1）
式中 、 、 为待定系数。
1
图1 根据插值条件，插值函数 与原函数 在插值结点 、 、 处函数值相等，得
（2）
为求插值多项式
的极小点 ，可令其一阶导数为零，即
（3）
解式(3)即求得插值函数的极小点
（4）
式(4)中要确定的系数
可在方程组(2)中利用相邻两个方程消去 而得:
（5）
2
（6） 将式(5)、(6)代入式(4)便得插值函数极小值点 的计算公式：
7
2.判别框
?若不成立，说明 落在区间之外。
上述两种情况只是在区间已缩得很小，由于三个插值结点已十分接近，计算机的舍入误差才 可能使其发生。此时取 和 作为最优解应是合理的。
3.在初始搜索区间第一次插值或 仍为初始给定点时， 和 并不代表前后二次插值
函数极小点，因而判别式
并不能确切地反映该不该终止迭代，这时应进行
常用的插值多项式 为二次或三次多项式，分别称为二次插值法和三次插值法。这里我 们主要介绍二次插值法的计算公式。
假定目标函数在初始搜索区间 中有三点 、 和
，
其函数值分别为 、 和 (图 1}，且满足
，
，即满足函数值为两头大
中间小的性质。利用这三点及相应的函数值作一条二次曲线，其函数 式
为一个二次多项
，输出极小值点
，
极小值
;否则，即
时，输出极小值点
，极小值
。
如不满足上述迭代终止条件，则返回步骤(3)，再次缩短搜索区间，直至最后满足终止条件。
按上述步骤设计的二次插值法算法框图见图 3。
6
图3 算法框图中有几点需作些说明。
1.判别框
?若成立，按式(9)和式(10)则有
说明三个插值结点
、
、
在一条直线上;
式中：
（8） （9）
二、迭代过程及算法框图 (1)确定初始插值结点
通常取初始搜索区间
的两端点及中点为
计算函数值
，
，
。
3
（10）
，
，
。
，构成三个初始插值结点 、 、
(2)计算二次插值函数极小点
按式(8)计算 ，并将 记作点 ，计算
。若本步骤为对初始搜索区间的
第一次插值或 点仍为初始给定点时，则进行下一步(3);否则转步骤(4)
（7）
பைடு நூலகம்
把 取作区间
内的另一个计算点，比较 与 两点函数值的大小，在保持
两头大中间小的前提下缩短搜索区间，从而构成新的三点搜索区间，再继续按上述方
法进行三点二次插值运算，直到满足规定的精度要求为止，把得到的最后的 作为 的 近似极小值点。上述求极值点的方法称为三点二次插值法。
为便于计算，可将式(7)改写为
(3)缩短搜索区间
缩短搜索区间的原则是：比较函数值 、 ，取其小者所对应的点作为新的 点，并以
此点左右两邻点分别取作新的 和 ，构成缩短后的新搜索区间
。其具体方
法则如图 2 所示，根据原区间中 和 的相对位置以及函数值 和 之比较有 a、b、 c、d 四种情况，图中阴影线部分表示丢去的区间。在对新区间三个新点的代号作依次 、
步骤(3)缩短搜索区间，直至初始点 第一次由 代替，使用判别式
?
进行终止判别才具意义。为此，算法框图中设置开关 K=0 和 K=1 分别表示初始点 第一次
由 代替前和后的状态。
8