电子科大固体与半导体物理刘爽版模板

0 k
/
H
/ kk
L 0
(0 k
)
H
/
(0) k/
dx
1 L
L 0
n
/Vn
exp[i(k /
k
2 n)x]dx
a
Vn
,
k
k
/
2 n
a
0,
k
/
0, k
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
k/
2 n
0
k
2 n
a
a
h2k 2
Ek 2m
n
/
2m Vn 2
h2k 2 h2 (k 2 n)2
a
k
(
x)
0 k
(
x)
k/
/
H/ k/k
Ek0
E0 k/
0 k/
(
x)
1 L
exp(ikx)
1
n0
2mVn* h2k 2
exp(i h2(k
2 n
a
2
x) )
a
1 u(x) exp(ikx) L
布洛赫电子 (r R) 2 (r) 2 各原胞相应位置出现几率相同
四、布洛赫波函数的图像与物理意义
1、一维图像
2、物理意义
eikx 电子在晶体中共有化运动
u(x) 电子在原胞中的运动
第三节 近自由电子近似
一、理论模型 电子基本是自由的，周期势场作为微扰 二、非简并微扰法
[
h2 2m
d2 dx2
2 B
T
2
F0 )2
]
E
3 5
EF0[1
52K 2BT2 12(EF0 )2
]
HEˆKF(r2)Em2F
0u[1K2 (r )Ve2(xKrp)2B(iTk2 12(EF0 )2
]r)
第二节 布洛赫定理
一、周期势场
一维： V (x a) V (x) 三维：uk (r) uk (r R)
二、布洛赫波函数
ny L
Kz
nz L
能量：
2 2 E
2m L2
n
2 x
n
2 y
n
2 z
能量被量子化
(x,y2, z) 2
E 2m L2
n2x1
(x
)n2y2
(yn)2z 3
(z)
行波解
边界条件：
(0、y、z） （L、y、z) (x0、z） （x、L、z) (x、y、0） （x、y、L)
波函数：
A
exp[i(K
V (x)](x)
E(x)
将V（x）展开
V(x) V0
n
/
Vn
exp( i
2n a
x)
n
/
Vn
exp(
i
2n a
x)
V(x) V0
n
/
Vn
exp(
i
2n a
x)
n
/ Vn
exp(
i
2n a
x)
H
h2 2m
d2 dx2
n
/ Vn
exp(i
2 n
a
x)
H0
H
哈密顿量H＝无微扰项H0＋微扰项H′ 无微扰时电子的波函数和能量
第三章 晶体中的电子状态
固体中的电子问题是复杂的多体问题。近似物理模型：
德鲁特－洛伦兹模型（1900）
特点：原子为球形、构成点阵 遵守经典力学 运用气体分子运动论
解释：魏德曼－弗兰兹定律 困难：不能解释自由电子的比热
索末菲自由电子模型（1928）
特点：用量子力学来处理 解释：电子比热小 困难：不能解释材料间电导差别
KBT
EF
EF ：费米能级
四、费米能级
T 0
f (E)
1
exp( E E F ) 1
KBT
f (E) 1..................E EF f (E) 0..................E EF
费米能级以下满 以上空
T0
E EF
E EF
f (E) 1 2
f (E) 1 2
EF被占据的 几率是1/2 低于EF被占据的 几率大于1/2
E EF
f (E) 1 2
高于EF被占据的 几率小于1/2
f
(E)
exp(
E
1
EF
)
1
K BT
E EF KBT f (E) 1
E EF K BT
玻尔兹曼分布？
f (E) Aexp( E ) K BT
原因：两个电子占据同一个能级的几率非常小 ， 可以用经典的统计来代替它。 用途：近似计算 意义？
k (0)
1 exp(ikx) L
E h2k2 2m
微扰时电子的波函数与能量 能量：
E E0 E (1) E (2) …
一级修正
E(1) k
H
/ kk
L 0
0* k
(
x)(
n
/ Vn
exp(i
2 n
a
x))
0 k
(
x)dx
0
二级修正
E ( 2) k
k/
H/ 2
/
kk /
E
0 k
E
L
能级数目：
dZ
( 2
)3
4
vv K 2dK
L
dZ
V
4 2
(
2m h2
)3
/
2
E1/
2dE
考虑自旋
dG
V
( 2m )
3 2
E
1
2 dE
CE
1
2 dE
22 2
Z(E)
dG
1
CE 2
dE
其中
C V ( 2m) 32 22 2
三、电子分布函数
费米－狄拉克分布：
1
f (E)
exp( E E F ) 1
h2 2m
2
V
(r)
k
(r)
Ek
k
(r)
(r) u(r) exp(ik r)
u(r R) u(r)
布洛赫定理
三、布洛赫电子与自由电子
1、波函数
自由电子 k (r) Aeikr
行进的平面波
布洛赫电子 k (r) u(r)eikr
被周期函数调幅的平面波 2、晶体中各处电子出现的几率
自由电子 2 A2 与位置无关
洛赫能带论 （1928）
特点：变多体问题为单电子问题 解释：材料间存在电导差别，
预言半导体存在 困难：对某些过渡金属化合物不适合
第一节 索末菲自由电子模型
思想：金属中的电子不受外力作用， 没有相互作用，不能逸出金属。
电子在边长为Ｌ的立方体中运动，方势阱为
0.............当 . 0x, y, zL.......... V .............当x, y, z 0或x, y, z L
x
x
K
y
y
K
z
z)]
A
exp[i(k
r)]
Kx
2n x L
Ky
2n y L
Kz
2n z L
v
能量：
E
h2K 2 2m
h2 2m
(
2
L
)2
(nx2
ny2
nz2 )
能量也是量子化的
二、能态密度
定义：D(E) lim G dG
E0 E dE
每一个能量状态在
v K
空间占的体积是
( 2)3 L
状态密度： (2)3
五、费米能级确定
电子总数为： N
1
CE 2 f (E)dE
0
绝对零度时，不可
T 于能0最所低N有的的C能电0E量F子E状12都d态E处。
电子EF的也0 动具2m2能有(3。相n2当)23大
1
E0 N EdN
1
N
EF 0 0
3
CE 2dE
3 5
EF 0
室T温下0
EF
EEFF0≈[1EF0122(KE
一、波函数与能量
2 2(x, y, z) E(x, y, z) 2m
驻波解
边界条件：在x=0和x=L处：
1(x) 0 2 (y) 0 3 (z) 0
分离变量：(x, y, z) 1(x)2 (y)3 (z)
电子波函数： ASinK x xSinK y ySinK Zz
Kx
nx L
Ky