第5讲：圆的极坐标方程
极坐标、参数方程
极坐标、参数方程知识概念见导学单一、重要概念、基础知识回顾（可以适度填空形式回顾知识点）自主填空：1直角坐标方程与极坐标方程的互化利用： x = 2ρ=y = tan θ=2、直线与圆的极坐标方程：1.若直线l 经过点00(,)M ρθ，且极轴到此直线的角为α，则直线l 的极坐标方程为00sin()sin()ρθαρθα-=-2.圆心是A （0ρ，0θ），半径r 的圆的极坐标方程为2220002cos()-0r ρρρθθρ--+＝ 参数方程的定义：3一般地，在取定的坐标中，如果曲线C 上任一点P 的坐标x 和y 都可以表示为某个变量t 的函数：⎩⎨⎧==)()(t g y t f x 反过来，对于t 的每个允许值，由函数式： ⎩⎨⎧==)()(t g y t f x ，所确定的点),(y x P 都在曲线C 上，那么方程⎩⎨⎧==)()(t g y t f x 叫做曲线C 的参数方程，变量t 是参变数，简称参数 4直线圆椭圆的参数方程：1、过定点),(00y x P 倾斜角为α的直线的参数方程⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数） 其中t 表示),,(000y x p 到l 上一点),(y x p 的有向线段p 0的数量。
2、圆22020)()(r y y x x =-+-参数方程为：⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00r y y r x x （θ为参数）3、椭圆12222=+b y a x 参数方程 ⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （θ为参数）二、思想方法归纳（老师给出本周典型例题类型，通过例题体现重要的思想方法）（见导学案讲义）例1: 1、在极坐标系中，求过点M (4,6π)且平行于极轴的直线的极坐标方程。
2、(1) ．化曲线的直角坐标方程x 2=2p (y ＋2p ) (p >0)为极坐标方程。
(2) ．化曲线的极坐标方程ρ2=sin2θ为直角坐标方程。
1.3.1 圆的极坐标方程 课件(人教A选修4-4)(2)
(4)∵ρ2cos 2θ＝4， ∴ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＝4，即 x2－y2＝4. 1 (5)∵ρ＝ ， 2－cos θ ∴2ρ－ρcos θ＝1. ∴2 x2＋y2－x＝1.化简，得 3x2＋4y2－2x－1＝0.
[悟一法]
直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x＝ ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角 坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如 ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同 乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程 进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验．
[悟一法]
(1)圆的极坐标方程是曲线的极坐标方程的一种特殊情况，
其求解过程同曲线的极坐标方程的求法． (2)特别地，当圆心在极轴上即θ0＝0时，方程为r2＝ρ＋ρ2 －2ρρ0cos θ；若再有ρ0＝r，则其方程为ρ＝2ρ0cos θ＝2rcos θ； 若ρ0＝r，θ0≠0，则方程为ρ＝2rcos (θ－θ0)，这几个方程经常用 来判断图形的形状和位置．
OP＝OD· θ， cos ∵OP＝ρ，OD＝2r， ∴ρ＝2rcos θ(ρ≠0，ρ≠2r)． 这就是所求轨迹的方程．
[悟一法] (1)求曲线的极坐标方程的步骤如下：
①建立适当的极坐标系．
②设P(ρ，θ)是曲线上任一点． ③列出ρ，θ的关系式． ④化简整理． (2)极坐标中的坐标是由长度与角度表示的，因此，建立
极坐标方程常常可以在一个三角形中实现，找出这样的三角形
便形成了解题的关键．
[通一类] 1．设 M 是定圆 O 内一定点，任作半径 OA，连结 MA，过 M 作 MP⊥MA 交 OA 于 P，求 P 点的轨迹方程． 解：以 O 为极点，射线 OM 为极轴，建立极坐标系，如图．
选修坐标系与参数方程知识点及经典例题
坐标系与参数方程*选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求：1．坐标系：① 理解坐标系的作用.② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.④ 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.2．参数方程：① 了解参数方程，了解参数的意义. ② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.第一讲一、平面直角坐标系伸缩变换：设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎨⎧>⋅='>⋅=').0(,y y 0),(x,x :μμλλϕ的作用下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。
方法1：求伸缩变换后的图形。
由伸缩变换公式解出x、y,代入已知曲线方程就可求得伸缩变换后的曲线方程。
例:：在一个平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形。
方法2：待定系数法求伸缩变换。
求伸缩变换时，先设出变换，再代入原方程或变换后的方程，求出其中系数即可。
例：在同一平面直角坐标系中,求下列图形变换的伸缩变换:二、极坐标1.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。
2.点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ。
有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM .极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。
圆的极坐标方程
§4.3.1 圆的极坐标方程班别 学号 姓名评价【学习目标】(1) 理解极坐标方程的有关概念；(2) (2) 掌握如何求圆的极坐标方程，并且要求能把直角坐标系与极坐标系的圆的方程的的异同和内在联系找出来。
【重难点】 理解极坐标方程的有关概念。
【教学过程】一、课前预习并完成复习：阅读课本P12-13（学生自主完成）1、在直角坐标系．．．．．中，已知圆心C （a ，b ），半径为r ，则圆的方程为：2、在直角坐标．．．．系中，已知圆心是原点，半径为5，则圆的方程为：3、在直角坐标．．．．系中，已知圆心C （1，0），半径为3，则圆的方程为：4、在直角坐标．．．．系中，已知圆心C （1，2），且圆经过原点O ，则圆的方程为：二、新课讲授1、曲线极坐标方程概念：在极坐标系中，如果平面曲线C 上 的极坐标中 有一个满足方程0),(=θρf ，并且坐标适合方程0),(=θρf 的点 ，那么方程0),(=θρf 叫做曲线C 的极坐标方程。
2、求曲线极坐标方程的方法、步骤和求直角坐标方程类似，(1)建立适当的极坐标系；(2)找出曲线上的动点θρ的极径ρ和极角θ的相互关系；(3)设法用ρ和θ的方程表示这种关系；(4)化简并证明所得的方程是所求的极坐标方程。
求曲线极坐标方程关键是找出曲线上的点满足的几何条件。
常用解三角形的知识来建立ρ和θ的关系。
注意ρ和θ的取值范围与题设条件。
三、典型例题例1、在极坐标平面内，已知圆心)0,(aC，半径为r，求其极坐标方程。
例2、已知圆心O的半径为r，建立怎样的极坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单？四、课堂练习1、在极坐标系．．．．中，求圆心在点C（3,0），且经过极点的圆的极坐标方程．．．．．。
π），半径为2的圆2、在极坐标系．．．．中，求圆心C（2, 2的极坐标方程．．．．．。
3、课本P15 1（1）（3）五、课堂小结常见圆的极坐标方程：(1)圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程；(2)圆心在位于)0,(a C ，半径为r 的圆的极坐标方程 ；(3)圆心在位于)2,(πa C ，半径为r 的圆的极坐标方程 ；六、课后作业在极坐标系中，求适合下列条件的圆的极坐标方程：(1)圆心在)4,1(πA ，半径为1的圆； (2) 圆心在)23,(πa B ，半径为a 的圆。
高考数学二轮复习-专题30 极坐标与参数方程的应用(解析版)
又因为 O是圆 C 上的点，所以 POQ PCQ π 。
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【三】最值、几何意义的综合问题
1.距离最值（点到点、曲线点到线、） 距离的最值： ---用“参数法” （1）曲线上的点到直线距离的最值问题 （2）点与点的最值问题 “参数法”：设点---套公式--三角辅助角 ①设点： 设点的坐标，点的坐标用该点在所在曲线的的参数方程来设 ②套公式：利用点到线的距离公式 ③辅助角：利用三角函数辅助角公式进行化一 2.面积的最值问题 面积最值问题一般转化成弦长问题+点到线的最值问题 3.几何意义及其综合应用：
P(2,
)
在曲线
cos(
)
2
上．
3
3
所以，l的极坐标方程为
cos(
)
2
．
3
（2）设 P(, ) ，在 Rt△OAP 中， | OP || OA | cos 4 cos , 即 4 cos ．
因为P在线段OM上，且
AP
OM
，故
的取值范围是 [
,
]
．
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所以P点轨迹的极坐标方程为
4 cos ,
（1）分别写出 M1 ， M 2 ， M 3 的极坐标方程；
（2）曲线 M 由 M1 ， M 2 ， M 3 构成，若点 P 在 M 上，且 | OP | 3 ，求 P 的极坐标．
【解析】（1）由题设可得，弧 AB, BC,CD 所在圆的极坐标方程分别为
2 cos ， 2sin ， 2 cos ．
[ ,
] ．[来源:学*科*网]
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【练习 2】在极坐标系中，已知圆 C 经过点 P (2 2, ) ，圆心为直线ρsin(θ－π)＝－ 3与极轴的交点，求
选修4-4.1.3.极坐标方程 课件
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复习引入
一、复习： 曲线的方程概念：…… 二、讨论回答： 曲线的极坐标方程概念：……
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探究
如图，半径为a的圆的圆心坐标为C(a,0) (a>0)，你能用一个等
式表示圆上任意一点的极坐标(,)满足的条件？
设圆和极轴的另一个交点是A,那么|OA|=2a,
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高三数学 选修4-4
第一章 极坐标
一、复习已学知识
1、以极点O为圆心，r为半径的圆， 极坐标方程为:
r
M (, )
O rA x
2、以点C(a,0)为圆心，a为半径的圆，
M(, )
极坐标方程为:
2acos
O
c(a,0) A
x
3、以点C(a,φ)为圆心，a为半径的圆， M(,)
3
5
6
O
x
(2)过点(2,
3
),并且和极轴垂直的直线:
cos 1
3
二、例题选讲
例3 设点P的极坐标为 (1,1),直线l过点P且与极轴所成的角为 ,
求直线l的极坐标方程 。
分析: 如图,设M (, )为直线l上除点
M(, )
极坐标方程为:
2acos
O
c(a,0) A
x
3、以点C(a,φ)为圆心，a为半径的圆， M(,)
极坐标方程为:
2acos( )
c(a,)
O
Ax
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极坐标简介
极坐标简介在平面内取一个定点O，叫极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向)。
对于平面内任何一点M，用ρ表示线段OM的长度，θ表示从Ox到OM的角度，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对(ρ,θ)就叫点M的极坐标，这样建立的坐标系叫做极坐标系。
第一个用极坐标来确定平面上点的位置的是牛顿。
他的《流数法与无穷级数》，大约于1671年写成，出版于1736年。
此书包括解析几何的许多应用，例如按方程描出曲线。
书中创建之一，是引进新的坐标系。
17甚至18世纪的人，一般只用一根坐标轴(x轴)，其y值是沿着与x轴成直角或斜角的方向画出的。
牛顿所引进的坐标之一，是用一个固定点和通过此点的一条直线作标准，例如我们现在的极坐标系。
牛顿还引进了双极坐标，其中每点的位置决定于它到两个固定点的距离。
由于牛顿的这个工作直到1736年才为人们所发现，而瑞士数学家J.贝努力利于1691年在《教师学报》上发表了一篇基本上是关于极坐标的文章，所以通常认为J.贝努利是极坐标的发现者。
J.贝努利的学生J.赫尔曼在1729年不仅正式宣布了极坐标的普遍可用，而且自由地应用极坐标去研究曲线。
他还给出了从直角坐标到极坐标的变换公式。
确切地讲，J.赫尔曼把,cos ,sin 当作变量来使用，而且用z，n和m来表示,cos 和si n。
欧拉扩充了极坐标的使用范围，而且明确地使用三角函数的记号；欧拉那个时候的极坐标系实际上就是现代的极坐标系。
有些几何轨迹问题如果用极坐标法处理，它的方程比用直角坐标法来得简单，描图也较方便。
1694年，J.贝努利利用极坐标引进了双纽线，这曲线在18世纪起了相当大的作用。
在极坐标中，x被ρcosθ代替，y被ρsinθ代替。
ρ=(x^2+y^2)^0.5极坐标系是一个二维坐标系统。
该坐标系统中的点由一个夹角和一段相对中心点——极点（相当于我们较为熟知的直角坐标系中的原点）的距离来表示。
圆周的参数方程
圆周的参数方程圆周是一种非常基础的几何图形，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
在平面直角坐标系中，圆的方程通常是以 $x$ 和$y$ 为变量的二次方程，但是这种表达方式很难直观地描述圆周的性质和特点。
因此，人们设计了一种新的表达方式——参数方程。
本文将详细介绍圆周的参数方程及其相关知识。
一、什么是参数方程在数学中，参数方程是指用一个或多个参数来表示函数中自变量和因变量之间的关系。
通俗地说，就是将函数中自变量和因变量都表示成另外一些变量（即参数）的函数形式。
例如，一个平面曲线可以用两个参数 $t$ 和 $s$ 表示：$$\begin{cases}x=f(t,s) \\y=g(t,s)\end{cases}$$其中 $f(t,s)$ 和 $g(t,s)$ 分别表示曲线上任意一点 $(x,y)$ 的横纵坐标与 $t$ 和 $s$ 的关系。
二、圆周的标准方程在介绍圆周的参数方程之前，我们先来看看它的标准方程。
在平面直角坐标系中，圆心坐标为 $(a,b)$，半径为 $r$ 的圆的标准方程为：$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$其中 $(x,y)$ 表示圆上任意一点的坐标。
三、圆周的参数方程1. 常规参数方程对于一个圆周来说，我们可以将其表示成如下形式的参数方程：$$\begin{cases}x=a+r\cos t \\y=b+r\sin t\end{cases}$$其中 $t$ 是参数，表示圆周上任意一点与横坐标正半轴之间的夹角。
$a$ 和 $b$ 是圆心坐标，$r$ 是半径。
这个参数方程的意义是：当 $t=0$ 时，$(x,y)$ 的值为 $(a+r,b)$，即圆周上最右侧的点；当 $t=\frac{\pi}{2}$ 时，$(x,y)$ 的值为$(a,b+r)$，即圆周上最上方的点。
随着 $t$ 的不断增大，在平面直角坐标系中就可以得到整个圆周。
2. 极坐标参数方程除了常规参数方程以外，还有一种更加简洁明了的表示方式——极坐标参数方程。
极坐标及参数方程
坐标系与参数方程1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标 系中取一样的长度单位．如图，设M 是平面内的任意一点，它的直 角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，那么⎩⎨⎧ x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，⎩⎨⎧ρ2＝x 2＋y 2tan θ＝yxx ≠0.2．直线的极坐标方程假设直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，那么它的方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点：θ＝α；(2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ； (3)直线过点M (b ，π2)且平行于极轴：ρsin θ＝b .3．圆的极坐标方程假设圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆的方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ； (2)圆心位于M (r,0)，半径为r ：ρ＝2r cos θ；(3)圆心位于M (r ，π2)，半径为r ：ρ＝2r sin θ.4．直线的参数方程过定点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．5．圆的参数方程圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)．6．圆锥曲线的参数方程(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．(2)抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2pt 2y ＝2pt .真题感悟1．(2021·)曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，那么曲线C 的参数方程为________． 2．(2021·)设曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t y ＝t2(t 为参数)，假设以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，那么曲线C 的极坐标方程为________．3．(2021·)在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ(φ为参数，a >b >0)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取一样的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin (θ＋π4)＝22m (m 为非零常数)与ρ＝b .假设直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，那么椭圆C 的离心率为________．4．(2021·)在直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝3＋cos θ，y ＝4＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，那么AB 的最小值为________．5．(2021·)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t(t 为参数)与曲线C 2：⎩⎨⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ(θ为参数，a >0)有一个公共点在x 轴上，那么a ＝________.6.[2021·XX 卷] (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，曲线C 1与C 2的方程分别为2ρcos 2θ＝sin θ与ρcos θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，那么曲线C 1与C 2交点的直角坐标为________．7．[2021·XX 卷] 在平面直角坐标系中，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)的普通方程为________．8． [2021·XX 卷]C.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1的距离是________．题型与方法题型一 极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的互化例1 直线l 的参数方程：⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝1＋2t(t 为参数)和圆C 的极坐标方程：ρ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4 (θ为参数)．(1)将直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)判断直线l 和圆C 的位置关系．变式训练1 直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝2t ，y ＝4t ＋a(t 为参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＝4 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4. (1)将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)假设圆上有且仅有三个点到直线l 的距离为2，XX 数a 的值．题型二 曲线的极坐标方程例2 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设M ，N 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．变式训练2 (2021·)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)； (2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．题型三 曲线的参数方程及应用例3 (2021·)在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2,0)，⎝⎛⎭⎪⎫233，π2，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数)． (1)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； (2)判断直线l 与圆C 的位置关系．变式训练3直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22ty ＝22t ＋42(t 是参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos(θ＋π4)．(1)求圆心C 的直角坐标；(2)由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．典例 (10分)在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)．(1)求直线OM 的直角坐标方程；(2)求点M 到曲线C 上的点的距离的最小值． 规X 解答1．圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝1，那么直线l 与圆C 的交点的直角坐标为________________．2．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取一样的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，曲线C 2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，那么C 1与C 2的交点个数为________．3．点P (x ，y )在曲线⎩⎨⎧x ＝－2＋cos θy ＝sin θ(θ为参数，θ∈R )上，那么yx 的取值X 围是________．4．假设直线l 1：⎩⎨⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋kt(t 为参数)与直线l 2：⎩⎨⎧x ＝s ，y ＝1－2s(s 为参数)垂直，那么k ＝______.6．(2021·)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t(t 为参数)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，那么曲线C 1与C 2的交点坐标为________．专题限时规X 训练一、填空题1．曲线C ：⎩⎨⎧x ＝－2＋2cos αy ＝2sin α(α为参数)，假设以点O (0,0)为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，那么该曲线的极坐标方程是________．2．两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ<π)和⎩⎨⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )，它们的交点坐标为________．3．曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝a cos φy ＝3sin φ(φ为参数，a >0)，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝3＋t y ＝－1－t(t 为参数)，曲线C 与直线l 有一个公共点在x 轴上，那么曲线C 的普通方程为________．4．(2021·)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．假设极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎨⎧x ＝t 2，y ＝t3(t 为参数)相交于A ，B 两点，那么AB＝________.二、解答题5．设直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝1＋3t(t 为参数)，直线l 2的方程为y ＝3x ＋4，求l 1与l 2间的距离．6．在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆⎩⎨⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点，且与直线⎩⎨⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t (t 为参数)平行的直线的普通方程．7．(2021·)在极坐标系中，圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．8．直线的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，圆M 的参数方程⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝－2＋2sin θ(其中θ为参数)，极点在直角坐标原点，极轴与x 轴正半轴重合． (1)将直线的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求圆M 上的点到直线的距离的最小值．9．在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C ：ρsin 2θ＝2a cosθ(a >0)，过点P (－2，－4)的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t ，直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点．(1)写出曲线C 和直线l 的普通方程；(2)假设PM ，MN ，PN 成等比数列，求a 的值．10．(2021·)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点A 的极坐标为(2，π4)，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ－π4)＝a ，且点A 在直线l上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．2021、2021年全国高考理科数学试题分类汇编：坐标系与参数方程一、选择题1 ．〔2021年普通高等学校招生统一考试XX 数学〔理〕试题〔纯WORD 版〕〕在极坐标系中,圆=2cos p θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为〔 〕A ．=0()cos=2R θρρ∈和B ．=()cos=22R πθρρ∈和C ．=()cos=12R πθρρ∈和 D ．=0()cos=1R θρρ∈和二、填空题2 ．〔2021年普通高等学校招生统一考试XX 数学〔理〕试题〔含答案〕〕圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫⎪⎝⎭, 那么|CP | = ______.3 ．〔2021年高考XX 卷〔理〕〕在极坐标系中,曲线cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=的公共点到极点的距离为__________4 ．〔2021年高考卷〔理〕〕在极坐标系中,点(2,6π)到直线ρsin θ=2的距离等于_________.5 ．〔2021年普通高等学校招生统一考试XX 数学〔理〕试题〔含答案〕〕在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.假设极坐标方程为cos 4ρθ=的直线与曲线23x ty t ⎧=⎪⎨=⎪⎩(为参数)相交于,A B 两点,那么______AB = 6 ．〔2021年普通高等学校招生统一考试XX 省数学〔理〕卷〔纯WORD 版〕〕(坐标系与参数方程选讲选做题)曲线C的参数方程为x ty t ⎧=⎪⎨=⎪⎩(为参数),C 在点()1,1处的切线为,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,那么的极坐标方程为_____________.7 ．〔2021年高考XX 卷〔理〕〕C. (坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的倾斜角θ为参数, 那么圆220y x x +-=的参数方程为______ .x8 ．〔2021年高考XX 卷〔理〕〕(坐标系与参数方程选做题)设曲线C 的参数方程为2x t y t=⎧⎨=⎩(为参数),假设以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,那么曲线c的极坐标方程为__________9 ．〔2021年高考XX 卷〔理〕〕在平面直角坐标系xoy 中,假设,3cos ,:(t )C :2sin x t x l y t a y ϕϕ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩为参数过椭圆()ϕ为参数的右顶点,那么常数a 的值为________.10．〔2021年高考XX 卷〔理〕〕在直角坐标系xOy 中,椭圆C 的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩()0a b ϕ>>为参数，.在极坐标系(与直角坐标系xOy 取一样的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,直线与圆O 的极坐标方程分别为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()m 为非零常数与b ρ=.假设直线经过椭圆C 的焦点,且与圆O 相切,那么椭圆C 的离心率为___________.三、解答题11．〔2021年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学〔理〕〔纯WORD 版含答案〕〕选修4—4;坐标系与参数方程动点,P Q 都在曲线2cos :2sin x C y ββ=⎧⎨=⎩(β为参数上,对应参数分别为βα=与)20(2πααβ<<=,M 为PQ 的中点.(Ⅰ)求M 的轨迹的参数方程;(Ⅱ)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数,并判断M 的轨迹是否过坐标原点.12．〔2021年普通高等学校招生统一考试XX 数学〔理〕试题〔WORD 版〕〕选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆1C ,直线2C 的极坐标方程分别为4sin ,cos 4πρθρθ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭. (I)求1C 与2C 交点的极坐标;(II)设P 为1C 的圆心,Q 为1C 与2C 交点连线的中点.直线PQ 的参数方程为 ()3312x t a t R b y t ⎧=+⎪∈⎨=+⎪⎩为参数,求,a b 的值.13．〔2021年普通高等学校招生统一考试XX 数学〔理〕试题〔纯WORD 版〕〕坐标系与参数方程:在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系.点A 的极坐标为)4π,直线的极坐标方程为cos()4a πρθ-=,且点A 在直线上. (1)求a 的值及直线的直角坐标方程;(2)圆c 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩,(α为参数),试判断直线与圆的位置关系.14．〔2021年普通高等学校招生全国统一招生考试XX 卷〔数学〕〔已校对纯WORD 版含附加题〕〕C.[选修4-4:坐标系与参数方程]本小题总分值10分.在平面直角坐标系xoy 中,直线的参数方程为⎩⎨⎧=+=t y t x 21 (为参数),曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθtan 2tan 22y x (θ为参数),试求直线与曲线C 的普通方程,并求出它们的公共点的坐标.〔2021年高考新课标1〔理〕〕选修4—4:坐标系与参数方程 曲线C 1的参数方程为45cos 55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩(为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为2sin ρθ=.(Ⅰ)把C 1的参数方程化为极坐标方程;(Ⅱ)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).[2021·XX 卷] 选修44：坐标系与参数方程将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .(1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．[2021·新课标全国卷Ⅱ] 选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2. (1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．23．[2021·全国新课标卷Ⅰ] 选修4－4：坐标系与参数方程曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)． (1)写出曲线C 的参数方程、直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．。
极坐标系及简单的极坐标方程
课前演练 知识要点 典例精讲 方法提炼 走进高考 风向标
4 5 例 1 . 已 知 A 、 B 两 点 的 极 坐 标 分 别 为 ( 3 , ) 、 ( 5 , ) , 3 6 求和 A B △的 A O B 面 积 ( 其 中 点 O 为 极 点 ) .
极坐标系及简单 在 △中 A O B ， 课前演练 知识要点 典例精讲 方法提炼 走进高考 风向标 的极坐标方程 解析
4 5 因 为 A 、 B 两 点 的 坐 标 分 别 为 ( 3 ， ) 、 ( 5 , ) , 3 6 7 则 A 、 B 两 点 的 坐 标 可 化 为 ( 3 ,) , ( 5 , ) , 3 6 7 5 因 而 O A 、 O B 两 边 长 分 别 为 3 、 5 ， 夹 角 A O B , 6 3 6 2 2 2 所 以 A B O A O B 2 O A O B • c o s A O B
极坐标系及简单 的极坐标方程
课前演练 知识要点 典例精讲 方法提炼 课前演练 风向标
5 . 极 坐 标 方 程 分 别 是 c o s 和 s i n 的 2 两 个 圆 的 圆 心 距 是 _ _ _ _ _ . 2 _
解析
1 1 cos是圆心为( ,0)，半径为 的圆； 2 2 1 1 sin是圆心为( , )，半径为 的圆， 2 2 2 2 故两圆的圆心距为 . 2
极坐标系及简单 的极坐标方程
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3.直线与圆的极坐标方程 曲线 位置
成 的 角 为
极坐标方程 直角坐标方程
过 极 点 ， 并 且 与 极 轴 所
y=x ta n ④ _________
极坐标讲义
第8讲极坐标讲义联系生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置：如台风预测、地震预报、测量、航空、航海等。
让学生体会极坐标的基本思想。
引入新知识：极坐标系，极坐标，直角坐标与极坐标的转化。
给定几个直角坐标下的点坐标，转化为极坐标，注意极坐标不唯一等一些细节（1)过极点的直线)R (∈=ραθ与曲线12,C C 交于()()12,,,A B ρθρθ，则12=.AB ρρ-(2)在极坐标系中，()()1122,,,A B ρθρθ，则AOB ∆的面积()12121sin 2S ρρθθ=-（其中O 为极点）.二、知识讲解知识点1 常见曲线的极坐标方程 知识点2 极坐标的简单运用三、例题精析【题干】（1）在同一坐标系中，将曲线y ＝3sin 2x 变为曲线y′＝sin x′的伸缩变换是( ) A .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x′y ＝13y′ B .⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2x y′＝13y C .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x′y ＝3y′ D .⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2xy′＝3y 【答案】B【解析】将曲线y ＝3sin 2x 变为曲线y′＝sin x′，横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的13倍，将曲线y ＝3sin 2x 变为曲线y′＝sin x′的伸缩变换是：⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2x ，y′＝13y.【题干】（2）求双曲线C ：x 2－y 264＝1经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，变换后所得曲线C ′的焦点坐标． 【答案】F 1(－5,0)，F 2(5,0)【解析】设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)， 由上述可知，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入x 2－y 264＝1 得x ′29－4y ′264＝1，化简得x ′29－y ′216＝1， 即x 29－y 216＝1为曲线C ′的方程， 可见仍是双曲线，则焦点F 1(－5,0)，F 2(5,0)为所求．【题干】（1）若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( ) A ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4C ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2D ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4【答案】A【解析】 ∵y ＝1－x (0≤x ≤1)， ∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)； ∴ρ＝1sin θ＋cos θ⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π2. 例题1例题2【题干】（2）在极坐标系中，点⎪⎭⎫⎝⎛3,2π到圆ρ＝2cosθ的圆心的距离为( ) A ．2 B . 4＋π29C .1＋π29D . 3【答案】D【解析】由⎩⎨⎧x ＝ρcos θ＝2cos π3＝1，y ＝ρsin θ＝2sin π3＝3可知，点⎪⎭⎫⎝⎛3,2π的直角坐标为(1，3)， 圆ρ＝2cosθ的方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，则圆心到点(1，3)的距离为 3. 【题干】（3）已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρ·cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2． (1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 【解析】(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x 2＋y 2＝4； 因为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2， 所以ρ2－22ρ⎝⎛⎭⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2， 所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0． (2)将两圆的直角坐标方程相减， 得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1． 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1， 即ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22． 【题干】（4）在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ： ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22(ρ≥0,0≤θ＜2π)． (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 的公共点的极坐标． 【解析】(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 故圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2－x －y ＝0， 直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1， 则直线l 的直角坐标方程为：x －y ＋1＝0．(2)由(1)知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为(0,1)，将(0,1)转化为极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2，即为所求．【题干】（1）若ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，则点M 1(ρ1，θ1)与点M 2(ρ2，θ2)的位置关系是( ) A ．关于极轴所在直线对称 B ．关于极点对称C ．关于过极点垂直于极轴的直线对称D ．两点重合 【答案】A【解析】 因为点(ρ，θ)关于极轴所在直线对称的点为(－ρ，π－θ)．由此可知点(ρ1，θ1)和(ρ2，θ2)满足 ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，是关于极轴所在直线对称．【题干】（2）在直角坐标系 中，直线，圆，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （I ）求的极坐标方程.（II ）若直线的极坐标方程为，设的交点为，求 的面积 【答案】（1）,（2）【解析】(1) 因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=.（2）将=4πθ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=，解得1ρ=，2ρ，|MN |=1ρ－2ρ2C 的半径为1，则2C MN ∆的面积o 11sin 452⨯=12.xOy 1:2C x =-()()222:121C x y -+-=12,C C 3C ()πR 4θρ=∈23,C C ,M N 2C MN ∆cos 2ρθ=-22cos 4sin 40ρρθρθ--+=12例题3【题干】（3）在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交于A ，B 两点．当△AOB 是等边三角形时，求a 的值． 【答案】3【解析】 由ρ＝4sin θ可得圆的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4. 由ρsin θ＝a 可得直线的直角坐标方程为y ＝a (a >0)．设圆的圆心为O ′，y ＝a 与x 2＋(y －2)2＝4的两交点A ，B 与O 构成等边三角形，如图所示．由对称性知∠O ′OB ＝30°，OD ＝a .在Rt △DOB 中，易求DB ＝33a ，∴B 点的坐标为⎝⎛⎭⎫33a ，a .又∵B 在x 2＋y 2－4y ＝0上，∴⎝⎛⎭⎫33a 2＋a 2－4a ＝0，即43a 2－4a ＝0，解得a ＝0(舍去)或a ＝3.所以a ＝3.【题干】（4）以直角坐标系中的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐标方程为ρ＝21－sin θ.(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)过极点O 作直线l 交曲线于点P ，Q ，若|OP |＝3|OQ |，求直线l 的极坐标方程. 【解析】(1)∵ρ＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y ， ∴ρ＝21－sin θ化为ρ－ρsin θ＝2，∴曲线的直角坐标方程为x 2＝4y ＋4. (2)设直线l 的极坐标方程为θ＝θ0(ρ∈R )，根据题意21－sin θ0＝3·21－sin （θ0＋π），解得θ0＝π6或θ0＝5π6，直线l 的极坐标方程θ＝π6(ρ∈R )或θ＝5π6(ρ∈R ).【题干】（5）极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，曲线C 2的极坐标方程为ρsin θ＝a (a >0)，射线θ＝φ，θ＝φ＋π4，θ＝φ－π4，θ＝φ＋π2与曲线C 1分别交异于极点O 的四点A ，B ，C ，D . (1)若曲线C 1关于曲线C 2对称，求a 的值，并把曲线C 1和C 2化成直角坐标方程；(2)求|OA |·|OC |＋|OB |·|OD |的值．【解析】 (1)C 1：ρ2＝22ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ＋22cos θ＝2ρsin θ＋2ρcos θ， 化为直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.把C 2的方程化为直角坐标方程为y ＝a ，因为曲线C 1关于曲线C 2对称，故直线y ＝a 经过圆心(1,1)， 解得a ＝1，故C 2的直角坐标方程为y ＝1.(2)由题意可得，|OA |＝22sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π4，|OB |＝22sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π2＝22cos φ，|OC |＝22sin φ， |OD |＝22cos ⎝⎛⎭⎫φ＋π4，所以|OA |·|OC |＋|OB |·|OD | ＝8sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π4sin φ＋8cos ⎝⎛⎭⎫φ＋π4cos φ＝8cos π4＝8×22＝4 2.。
数学公式知识：圆的参数方程及其性质
数学公式知识：圆的参数方程及其性质圆是数学中重要的几何图形之一，圆的参数方程及其性质是圆的基本知识点之一，对于学习圆的相关知识具有重要的意义。
本文将对圆的参数方程及其性质进行详细的讲解。
一、圆的参数方程圆的参数方程可以用参数方程表示，参数方程是由一些变量表示的函数方程。
对于圆而言，其参数方程一般表示为：x=r*cos(t) y=r*sin(t)其中，x和y分别表示圆上一点的坐标，r表示圆的半径，t为参数，可以取遍(0,2π)的任意值。
利用这个参数方程我们可以方便地计算圆上任意一点的坐标。
由于t可以取遍(0,2π)的任意值，所以我们可以通过调节参数t的取值，来得出圆上不同位置的点的坐标。
同时，圆的参数方程还可以表示为：x=a+r*cos(t)y=b+r*sin(t)其中，a和b分别是圆心的坐标。
二、圆的参数方程的性质1.圆的对称性对于任意一个圆，其参数方程的基本形式是x = rcos(t)，y = rsin(t)，这个参数方程描述了圆上所有的点，通过任意传统的平移和几何反演操作都能够得到。
因此，我们可以发现，圆的参数方程具有对称性。
2.圆的直径和半径的表示由于圆上任意两点之间的距离都相等，因此圆的直径和半径的长度可以用参数方程来表示。
圆的直径的长度为2r，因此，圆的直径的参数方程为：x=r*cos(t) y=r*sin(t)x=-r*cos(t) y=-r*sin(t)圆的半径的长度为r，因此，圆的半径的参数方程为：x=r*cos(t) y=r*sin(t)圆的切线和法线在圆上的位置是固定的，在某个点切线垂直于半径，并且在该点的切线与法线相交。
圆的参数方程可以很方便地表示切线和法线的位置。
圆的切线的参数方程为：x=r*cos(t) y=r*sin(t)x=-r*sin(t) y=r*cos(t)圆的法线的参数方程为：x=-r*sin(t) y=r*cos(t)x=-r*cos(t) y=-r*sin(t)4.圆的极坐标方程圆还可以用极坐标方程来表示，圆可以被描述为一组方程，如r = a(cos(t) + i sin(t))，其中a为半径，t为参数。
圆心在x轴的圆的极坐标方程
圆心在x轴的圆的极坐标方程在极坐标系中，圆心在x 轴上的圆的极坐标方程是一种非常重要的数学概念。
这种圆的方程形式简单而直观，通过它我们可以更好地理解极坐标系下的几何形状和数学关系。
让我们来看看一个圆心在x 轴上的圆的极坐标方程。
在极坐标系中，一个点的坐标通常用(r, θ) 来表示，其中r 表示点到原点的距离，θ 表示点与x 轴正方向的夹角。
而圆心在x 轴上的圆的极坐标方程可以表示为 r = a，其中 a 为正实数，代表圆的半径。
这个简单的方程实际上描述了一个以原点为圆心、半径为 a 的圆。
当我们固定r 的值为a 时，所有与 x 轴的夹角θ 的点构成了一个圆形轨迹。
这样，我们就可以通过极坐标方程 r = a 来描述这个圆在极坐标系中的几何特征。
圆心在x 轴上的圆是极坐标系中常见的一种图形，它具有许多重要的性质和应用。
首先，通过极坐标方程我们可以轻松地确定圆的半径和圆心的位置，从而更好地理解圆的几何形状。
此外，圆心在x 轴上的圆在物理学、工程学和计算机图形学等领域都有广泛的应用，例如在天文学中描述行星的轨道、在工程学中描述机械零件的运动轨迹等。
除了描述圆形轨迹外，圆心在x 轴上的圆的极坐标方程还可以用来求解与圆相关的问题。
例如，我们可以通过方程 r = a 来求解圆与直线、圆与圆之间的交点坐标，从而解决一些几何问题。
这种方法在数学建模和实际问题求解中有着重要的应用，可以帮助我们更好地理解和分析复杂的几何关系。
圆心在x 轴上的圆的极坐标方程是极坐标系中的重要概念，它可以帮助我们更好地理解圆的几何特征和数学关系。
通过这个简单的方程，我们可以描述圆的形状、求解与圆相关的问题，并在实际应用中发挥重要作用。
希望通过本文的介绍，读者能够对圆心在x 轴上的圆的极坐标方程有更深入的理解，并在学习和工作中加以应用。
圆的极坐标方程
f(,)=0有如下关系 (１)曲线Ｃ上任一点的坐标(所有坐标 中至少有一个)符合方程f(,)=0 ； (２)方程f(,)=0的所有解为坐标的点 都在曲线Ｃ上。 则曲线Ｃ的方程是f(,)=0 。
探 究
如图，半径为a的圆的圆心坐标 为(a,0)(a>0)，你能用一个等 式表示圆上任意一点的极坐标 (,)满足的条件？
练习2 极坐标方程分别是ρ＝cosθ和 ρ＝sinθ的两个圆的圆心距是多少
2 2
பைடு நூலகம் 练习3
以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为 半径的圆的方程是
C
A. 2cos 4 C. 2cos 1
B. 2sin 4 D. 2sin 1
１.小结： （１）曲线的极坐标方程概念 （２）怎样求曲线的极坐标方程 （3）圆的极坐标方程
练习4
曲线 5 3 cos 5 sin 关于极轴对
称的曲线是： C
A. 10 cos 6 C . 10 cos 6 B . 10 cos 6 D . 10 cos 6
O
C(a,0)
x
例1、已知圆O的半径为r，建立怎 样的坐标系，可以使圆的极坐标 方程更简单？
题组练习1 求下列圆的极坐标方程 (１)中心在极点，半径为2；
＝2
(２)中心在Ｃ(a,0)，半径为a；
＝2acos (３)中心在(a,/2)，半径为a； ＝2asin
(４)中心在Ｃ(0,０)，半径为r。 2+ 0 2 -2 0 cos( - ０)= r2
极坐标与参数方程知识点及题型归纳总结
极坐标与参数方程知识点及题型归纳总结知识点精讲一、极坐标系在平面上取一个定点O ，由点O 出发的一条射线Ox 、一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系.点O 称为极点，Ox 称为极轴.平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ (弧度制)来刻画(如图16-31和图16-32所示). 这两个实数组成的有序实数对(,)ρθ称为点M 的极坐标. ρ称为极径，θ称为极角.二、极坐标与直角坐标的互化设M 为平面上的一点，其直角坐标为(,)x y ，极坐标为(,)ρθ，由图16-31和图16-32可知，下面的关系式成立:cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩或222tan (0)x y yx x ρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩（对0ρ<也成立）. 三、极坐标的几何意义r ρ=——表示以O 为圆心，r 为半径的圆；0θθ=——表示过原点(极点)倾斜角为0θ的直线，0(0)θθρ=≥为射线；2cos a ρθ=表示以(,0)a 为圆心过O 点的圆.(可化直角坐标: 22cos a ρρθ=222x y ax ⇒+=222()x a y a ⇒-+=.)四、直线的参数方程直线的参数方程可以从其普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为00()y y k x x -=-，其中tan (k αα=为直线的倾斜角)，代人点斜式方程:00sin ()()cos 2y y x x απαα-=-≠,即00cos sin x x y y αα--=. 记上式的比值为t ,整理后得00cos t sin x x t y y αα=+⎧⎨=+⎩,2πα=也成立，故直线的参数方程为00cos t sin x x t y y αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数，α为倾斜角，直线上定点000(,)M x y ，动点(,)M x y ，t 为0M M 的数量，向上向右为正(如图16-33所示).五、圆的参数方程若圆心为点00(,)M x y ，半径为r ，则圆的参数方程为00cos (02)sin x x r y y r θθπθ=+⎧≤≤⎨=+⎩.六、椭圆的参数方程椭圆2222C :1x y a b +=的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，(02)θπ≤≤）.七、双曲线的参数方程双曲线2222C :1x y a b -=的参数方程为sec tan x a y b θθ=⎧⎨=⎩(,)2k k πθπ≠+∈Z .八、抛物线的参数方程抛物线22y px =的参数方程为222x pt y pt⎧=⎨=⎩（t 为参数，参数t 的几何意义是抛物线上的点与顶点连线的斜率的倒数）.题型归纳即思路提示题型1 极坐标方程化直角坐标方程 思路提示对于极坐标方程给出的问题解答一般都是通过化为直角坐标方程，利用直角坐标方程求解.这里需注意的是极坐标系与直角坐标系建立的对应关系及其坐标间的关系cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩. 例16.7 在极坐标系中，圆4sin ρθ=的圆心到直线6πθ=(ρ∈R )的距离是 .分析 将极坐标方程转化为平面直角坐标系中的一般方程求解.解析 极坐标系中的圆4sin ρθ=转化为平面直角坐标系中的一般方程为224x y y +=，即22(2)4x y +-=，其圆心为(0,2)，直线6πθ=转化为平面直角坐标系中的方程为：y x =，即0x =.圆心(0,2)到直线0x ==. 变式1 已知曲线12,C C 的极坐标方程分别为cos 3ρθ=，4cos ρθ=，(0,0)2πρθ≥≤<，则曲线1C 与2C 交点的极坐标为 .变式2 ⊙1O 和⊙2O 的极坐标方程分别为4cos ρθ=,4sin ρθ=-.(1)把⊙1O 和⊙2O 的极坐标方程分别化为直角坐方程; (2)求经过⊙1O 和⊙2O 交点的直线的直角坐标方程.变式3已知一个圆的极坐标方程是5sin ρθθ=-，求此圆的圆心和半径. 例16.8 极坐标方程(1)()0(0)ρθπρ--=≥表示的图形是（ ）A. 两个圆B.两条直线C.一个圆和一条射线D.一条直线和一条射线分析 将极坐标方程化为直角坐标方程.解析 因为(1)()0(0)ρθπρ--=≥，所以1ρ=或θπ=(0)ρ≥.11ρ=⇒=，得221x y +=，表示圆心在原点的单位圆；(0)θπρ=≥表示x 轴的负半轴，是一条射线.故选C.变式1 极坐标方程cos ρθ=和参数方程123x ty t =--⎧⎨=+⎩（t 参数)所表示的图形分别是( )A.圆、直线B.直线、圆C.圆、圆D.直线、直线 变式2 在极坐标系中，点(2,)6P π-到直线:sin()16l πρθ-=的距离是 .变式3 直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为 .题型2 直角坐标方程化为极坐标方程思路提示如果题目中已知的曲线为直角坐标方程，而解答的问题是极坐标系下的有关问题，这里要利用直角坐标与极坐标关系式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，将直角坐标方程化为极坐标方程.例16.9 在直角坐标系xOy 中，圆1C ：224x y +=，圆2C ：22(2)4x y -+=.（1）在以O 为极点，x 轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆1C , 2C 的极坐标方程，并求出圆1C , 2C 的交点坐标（用极坐标表示）;（2）求出1C 与2C 的公共弦的参数方程.解析 （1）圆1C 的极坐标方程为2ρ=，圆2C 的极坐标方程为4cos ρθ=.24cos ρρθ=⎧⎨=⎩解得2ρ=，3πθ=±，故圆1C 与圆2C 的交点的坐标为(2,),(2,)33ππ-. 注：极坐标系下点的表示不唯一.（2）解法一：由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，得圆1C 与圆2C 的交点的坐标分别为.故圆1C 与2C 的公共弦的参数方程为1(x t y t=⎧≤≤⎨=⎩.解法二： 将1x =代入cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得cos 1ρθ=，从而1cos ρθ=.于是圆1C 与2C 的公共弦的参数方程为1()tan 33x y ππθθ=⎧-≤≤⎨=⎩.变式1 曲线C 的直角坐标方程为2220x y x +-=，以原点为极点，x 轴的正半轴为极抽建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 _.题型3 参数方程化普通方程 思路提示已知直线或曲线的参数方程讨论其位置关系、性质问题一般要通过消参（代入法、加减法，三角法)转化为普通方程解答.例16.10 若直线340x y m ++=与圆1cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩( θ为参数)没有公共点，则实数m 的取值范围是 . 解析 将圆的参数方程1cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩( θ为参数)化为普通方程22(1)(2)1x y -++=，圆心(1,2)-，半径1r =.直线与圆无公共点，则圆心到直线的距离大于半径，|38|15m -+>|5|5m ⇒->，得10m >或0m <，即m 的范围是(,0)(10,)-∞+∞.变式 1 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程33x t y t=+⎧⎨=-⎩（参数t ∈R ），圆C 的参数方程为2cos 2sin 2x y θθ=⎧⎨=+⎩（参数[0,2]θ∈π），则圆C 圆心坐标为 _，圆心到直线l 的距离为 . 变式2 (2013湖北理16)在庄角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数，0a b >>），在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l与圆O 的极坐标方程分别为sin()4πρθ+=（m 为非零数）与b ρ=.若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为 . 变式3 参数方程sin cos sin cos x y θθθθ=+⎧⎨=⎩（θ是参数）的普通方程是 .例16.11 已知动圆22:2cos 2sin 0C x y ax by θθ+--=（,a b 是正常数，a b ≠，θ是参数），则圆心的轨迹是 .解析 由动圆22:2cos 2sin 0C x y ax by θθ+--=得222222(cos )(sin )cos sin x a y b a b θθθθ-+-=+.圆心坐标为(cos ,sin )a b θθ（θ为参数），设cos x a θ=，sin y b θ=，则221x y a b ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22221x y a b +=为所求轨迹方程，所以圆心的轨迹是椭圆.变式1 方程2232(05)1x t t y t ⎧=+⎪≤≤⎨=-⎪⎩表示的曲线是（ ） A. 线段 B. 双曲线的一支 C. 圆弧 D. 射线变式2 已知直线11cos :sin x t C y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），2cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.(1)当3πα=时，求1C 与2C 的交点坐标；(2)过坐标原点O 作1C 的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点.当α变化时，求点P 轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.题型4 普通方程化参数方程 思路提示对于直线与圆锥曲线方程化为参数方程问题实质是引入第三个变量的换元法，这里有代数换元（如抛物线22y px =的参数方程222x pt y pt =⎧⎨=⎩）或三角换元（如椭圆22221x y a b +=的参数方程cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩）.例16.12 在平面直角坐标系xOy 中，设(,)P x y 是椭圆2213x y +=上的一个动点，求S x y =+的最大值.分析 利用椭圆的参数方程，建立,x y 与参数θ的关系，运用三角函数最值的求法，求解x y +的最大值.解析 点(,)P x y 是椭圆2213x y +=上的一个动点，则sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），[0,2]θ∈π，则sin x y θθ+=+2sin()3πθ=+，[0,2]θ∈π，故max ()2x y +=.变式1 已知点(,)P x y 是圆2220x y y +-=上的动点.(1)求2x y +的取值范围；(2)若0x y a ++≥恒成立，求实数a 的取值范围. 变式2 直线l 过(1,1)P ，倾斜角6πα=.（1） 写出l 的参数方程；（2）l 与圆224x y +=相交于,A B 两点，求P 到,A B 两点的距离之积.变式3 已知抛物线2:4C y x =，点(,0)M m 在x 轴的正半轴上，过M 的直线l 与C 相交于,A B 两点，O 为坐标原点.(1)若1m =时，l 的斜率为1，求以AB 为直径的圆的方程；(2)若存在直线l 使得||,||,||AM OM MB 成等比数列，求实数m 的取值范围.题型5 参数方程与极坐标方程的互化 思路提示参数方程与极坐标方程的互化问题，需要通过普通方程这一中间桥梁来实现，先将参数方程（极坐标方程）化为普通方程，再将普通方程化为极坐标方程（参数方程）.例16.13 已知曲线C的参数方程为x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），C 在点(1,1)处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为 .分析 把曲线C 的参数方程化为普通方程，求出切线l 的普通方程，然后把求出的直线l 的普通方程化为极坐标方程.解析 由22sin cos 1t t +=得曲线C 的普通方程为222x y +=，过原点O 及切点(1,1)的直线的斜率为1，故切线l 的斜率为1-，所以切线l 的方程为1(1)y x -=--，即20x y +-=.把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入直线l 的方程可得cos sin 20ρθρθ+-=sin()204πθ+-=，化简得sin()4πθ+=变式1 设曲线C 的参数方程为2x ty t=⎧⎨=⎩（t 为参数），若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 .有效训练题 1.极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（ ）A. 一条射线和一个圆B. 两条直线C. 一条直线和一个圆D. 一个圆 2.圆cos )ρθθ=-的圆心的一个极坐标是（ ）A. (B. (2,)4πC. 3(2,)4π D. 7(2,)4π3.在极坐标系中，若等边△ABC 的两个顶点是(2,)4A π，5(2,)4B π.那么顶点C 的坐标可能是（ ）A. 3(4,)4πB. 3)4πC. )πD. (3,)π4.直线的参数方程为sin 501cos50x t y t ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），则直线的倾斜角为（ ）A. 40B. 50C. 140D.1305.过点(2,3)A 的直线的参数方程为232x ty t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），若此直线与直线30x y -+=相交于点B ，则||AB =（ ）6.设曲线C 的参数方程23cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩( θ为参数)，直线l 的方程为320x y -+=，则曲线C 上到直线l的点的个数为（ ） A. 1 B. 2 C.3 D.4 7.已知直线l的极坐标方程为sin()42πρθ-=，圆M 的参数方程为22cos 12sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩( θ为参数)，则圆M 上的点到直线l 的最短距离为 .8.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C的参数方程分别为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数，02πθ≤≤）和1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），则曲线1C 与2C 的交点坐标为 . 9.已知抛物线的参数方程为222x pt y pt=⎧⎨=⎩（t 为参数），其中0p >，焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点M 作准线l 的垂线，垂足为E ，若||||EF MF =，点M 的横坐标是3，则p = .10.在极坐标系中，O 为极点，已知两点,M N 的极坐标分别为2(4,)3π，)4π,求△OMN 的面积. 11.已知椭圆221164x y +=，O 为坐标原点，,P Q 为椭圆上的两动点，若OP OQ ⊥，求22||||OP OQ +的最大值.12. 已知曲线12cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），曲线2247:cos 016C ρθ-+=.（1）若,P Q 分别是曲线1C 和曲线2C 上的两个动点，求线段PQ 长度的最小值；（2）若曲线1C 上与x 轴、y 轴的正半轴分别交于,A B 点，P 是曲线1C 上第一象限内的动点，O 是坐标原点，试求四边形OAPB 面积的最大值.。
用极坐标表示圆
用极坐标表示圆
极坐标是一种描述平面上点的坐标系统，它使用极径和极角来表示点的位置。
而圆，作为几何图形中最基本的形状之一，也可以用极坐标来表示。
在极坐标系中，圆心为原点，极径表示点到圆心的距离，而极角表示点与正极轴的夹角。
在极坐标系中，圆的方程可以表示为r = a，其中a为圆的半径。
这个方程可以解释为，圆上的每个点到圆心的距离都等于圆的半径。
通过对极径和极角的变化，我们可以描述圆上的任意一个点。
极坐标系中的极径可以是正数、零或负数。
当极径为正数时，表示点在圆上；当极径为零时，表示点在圆心；当极径为负数时，表示点在圆的内部。
而极角的取值范围通常为[0, 2π)，表示点与正极轴的夹角。
使用极坐标来表示圆，可以使我们更加直观地理解圆的性质和特点。
例如，在极坐标系中，圆的方程r = a可以表示为一个简单的数学形式，而不需要使用复杂的代数表达式。
此外，极坐标系还可以方便地描述圆的对称性和变换。
除了圆，极坐标还可以用来表示其他几何图形，如椭圆、双曲线等。
在极坐标系中，这些图形的方程可以表示为不同的形式，从而展示它们的特点和性质。
通过学习极坐标系，我们可以更深入地理解几何图形的本质和变化。
极坐标可以用来表示圆和其他几何图形，通过极径和极角的变化来描述点的位置。
使用极坐标系，我们可以更加直观地理解圆的性质和特点，同时也可以方便地描述其他几何图形。
通过学习极坐标系，我们能够加深对几何学的理解，并应用于实际问题的解决中。
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第5讲：圆的极坐标方程
学习目标
1、认识曲线的极坐标方程的条件，比较与曲线与直角坐标方程的异同。
2、掌握各种圆的极坐标方程。
3、能根据圆的极坐标方程画出其对应的图形
重点： 总结怎样求极坐标方程的方法与步骤
难点： 极坐标方程是涉及长度与角度的问题，列方程实质是解直角或斜三角形问题，要使用旧的三角知识。
要点精讲
1、圆的极坐标方程是：
2、几种特殊位置下的圆的极坐标方程：
范例分析
例1．求以点)0)(0,(>a a C 为圆心，a 为半径的圆C 的极坐标方程.
变式练习：
1、求圆心在点（3，0），且过极点的圆的极坐标方程。
2、求以)2,4(π
为圆心，4为半径的圆的极坐标方程.
例2、已知圆心的极坐标为),(00θρM ，圆的半径为r ，求圆的极坐标方程.
例3、已知一个圆的极坐标方程是θθρsin 5cos 35-=，求圆心的极坐标与半径.
练习
1、在极坐标系中，求适合下列条件的圆的极坐标方程：
（1）圆心在)4,1(π
A ，半径为1的圆； （2）圆心在)2
3,(πa ，半径为a 的圆.
2(1)A(3,0)(2)B(8)2(3)O C(-4,0)(4))6
ππ练习、按下列条件写出圆的极坐标方程：
以为圆心，且过极点的圆；
以，为圆心，且过极点的圆；以极点与点连接的线段为直径的圆；圆心在极轴上，且过极点与点，的圆。
3、把下列极坐标方程化为直角坐标方程：
（1）2=ρ；（2）θρcos 5=.
4、求下列圆的圆心的极坐标：
（1）θρsin 4=；（2）)4cos(2θπ
ρ-=.
5、求圆05)sin 3(cos 22=-+-θθρρ的圆心的极坐标与半径.
规律小结
课时训练
1、设有半径为4的圆，它在极坐标系内的圆心坐标是),4(π，则这个圆的极坐标方程是 .
2、两圆θρcos 2=和θρsin 4=的圆心距是 .
3、在圆心的极坐标为)0)(0,(>a a ，半径为a 的圆中，求过极点的弦的中点的轨迹.
4、极坐标方程)4cos(θπ
ρ-=所表示的曲线是 . 5、极坐标方程分别是θρcos =和θρsin =的两个圆的圆心距是 .
6、以极坐标系中的点（1，1）为圆心，1为半径的圆的方程是（ ） A.)4cos(2πθρ-= B.)4
sin(2πθρ-= C.)1cos(2-=θρ D.)1sin(2-=θρ
7、已知圆2=ρ，直线4cos =θρ，过极点作射线交圆于点A ，交直线于点B ，当射线以极点为中心转动时，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。
8、在极坐标系中，已知圆C 的圆心)6,3(π
C ，半径1=r ，Q 点在圆C 上运动. （1）求圆C 的极坐标方程；
（2）若P 在直线OQ 上运动，且3:2:=QP OQ ，求动点P 的轨迹方程.
课后作业
教学备忘录。