高中数学：圆的 极坐标方程
高中数学有关圆-椭圆-双曲线-抛物线的详细知识点
<一>圆的方程(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，圆心O（a，b），半径r。
（1）圆的一般式方程：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0此方程可用于解决两圆的位置关系：配方化为标准方程：（x+D/2）^2.+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4其圆心坐标：（-D/2,-E/2）半径为r=√[（D^2+E^2-4F）]/2此方程满足为圆的方程的条件是:D^2+E^2-4F>0若不满足,则不可表示为圆的方程（2）点与圆的位置关系点P（X1,Y1) 与圆(x－a)^2+(y－b) ^2=r^2的位置关系：⑴当(x1－a)^2+(y1－b) ^2>r^2时，则点P在圆外。
⑵当(x1－a)^2+(y1－b) ^2=r^2时，则点P在圆上。
⑶当(x1－a)^2+(y1－b) ^2<r^2时，则点P在圆内。
圆与直线的位置关系判断平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1.由Ax+By+C=0，可得y=(-C-Ax)/B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。
利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。
如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。
如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。
2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x 轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为 (x－a)^2+(y－b) ^2=r^2。
令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么：当x=-C/A<x1或x=-C/A>x2时，直线与圆相离；当x1<x=-C/A<x2时，直线与圆相交；半径r，直径d在直角坐标系中，圆的解析式为：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2;x^2+y^2+Dx+Ey+F=0=> (x+D/2)^2+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4=> 圆心坐标为(-D/2,-E/2)其实只要保证X方Y方前系数都是1就可以直接判断出圆心坐标为(-D/2,-E/2)这可以作为一个结论运用的且r=根号（圆心坐标的平方和-F）<二>椭圆的标准方程椭圆的标准方程分两种情况：当焦点在x轴时,椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)；当焦点在y轴时,椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)；其中a>0，b>0。
1.3.1 圆的极坐标方程 课件(人教A选修4-4)(2)
(4)∵ρ2cos 2θ＝4， ∴ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＝4，即 x2－y2＝4. 1 (5)∵ρ＝ ， 2－cos θ ∴2ρ－ρcos θ＝1. ∴2 x2＋y2－x＝1.化简，得 3x2＋4y2－2x－1＝0.
[悟一法]
直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x＝ ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角 坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如 ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同 乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程 进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验．
[悟一法]
(1)圆的极坐标方程是曲线的极坐标方程的一种特殊情况，
其求解过程同曲线的极坐标方程的求法． (2)特别地，当圆心在极轴上即θ0＝0时，方程为r2＝ρ＋ρ2 －2ρρ0cos θ；若再有ρ0＝r，则其方程为ρ＝2ρ0cos θ＝2rcos θ； 若ρ0＝r，θ0≠0，则方程为ρ＝2rcos (θ－θ0)，这几个方程经常用 来判断图形的形状和位置．
OP＝OD· θ， cos ∵OP＝ρ，OD＝2r， ∴ρ＝2rcos θ(ρ≠0，ρ≠2r)． 这就是所求轨迹的方程．
[悟一法] (1)求曲线的极坐标方程的步骤如下：
①建立适当的极坐标系．
②设P(ρ，θ)是曲线上任一点． ③列出ρ，θ的关系式． ④化简整理． (2)极坐标中的坐标是由长度与角度表示的，因此，建立
极坐标方程常常可以在一个三角形中实现，找出这样的三角形
便形成了解题的关键．
[通一类] 1．设 M 是定圆 O 内一定点，任作半径 OA，连结 MA，过 M 作 MP⊥MA 交 OA 于 P，求 P 点的轨迹方程． 解：以 O 为极点，射线 OM 为极轴，建立极坐标系，如图．
高中数学：《极坐标方程总结》课件
6
即表示以A(2, )为圆心，以2为半径的圆
6
将极坐标A化为直角坐标A( 3,1)
整理得：(x 3)2 ( y 1)2 4，表示圆ຫໍສະໝຸດ 第十一页，编辑于星期一：点 四十三分。
由 3 cos sin 8 0
化直角坐标方程：3x y 8 0, 表示直线 圆心到直线距离：d 3 1 8 2
第七页，编辑于星期一：点 四十三分。
3、求过点(2, ),并且和极轴垂直的直线。
3
解：将(2, )化为平面直角坐标为(1, 3)
3 则和极轴垂直的直线为x 1
第八页，编辑于星期一：点 四十三分。
4、已知直线的极坐标方程为 sin( ) 2
42
求点A(2, 7 )到这条直线的距离。
4
解：将直线 sin( ) 2 化为直角坐标方
2＝5 3 cos－5 sin即化为直角坐标为
x2 y2 5 3x 5y
化为标准方程是(x 5 3 )2 ( y 5)2 25
2
2
所以圆心为(5 3 , 5),半径是5 22
第六页，编辑于星期一：点 四十三分。
3、直线的极坐标方程
( 0)表示极角为的一条射线。 ＝ ( R)表示极角为的一条直线。
极坐标方程
第一页，编辑于星期一：点 四十三分。
1、极坐标方程的定义：
一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意
一点的极坐标中至少有一个满足方程f (, ) 0 并且坐标适合方程f (, ) 0的点都在曲线C上， 那么方程f (, ) 0叫做曲线C的极坐标方程。
第二页，编辑于星期一：点 四十三分。
42
程为x y 1 0,点A(2, 7 )化为直角坐标为
4 （ 2，－ 2）
圆的极坐标方程
圆的极坐标方程在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程$f(\rho,\theta)=0$，并且坐标适合方程$f(\rho,\theta)=0$的点都在曲线C上，那么方程$f(\rho,\theta)=0$叫做曲线C的极坐标方程。
对于圆的极坐标方程，有以下特殊情形：1) 圆心在极点(0,0)时，极坐标方程图形为$\rho=r$，其中$0\leq\theta<2\pi$。
2) 圆心在点$(r,0)$时，极坐标方程图形为$\rho=2r\cos\theta$，其中$-\pi\leq\theta<\pi$。
3) 圆心在点$(r,\frac{\pi}{2})$时，极坐标方程图形为$\rho=2r\sin\theta$，其中$0\leq\theta<\frac{\pi}{2}$。
4) 圆心在点$(r,\pi)$时，极坐标方程图形为$\rho=-2r\cos\theta$，其中$\pi\leq\theta<\frac{3\pi}{2}$。
5) 圆心在点$(r,-\frac{\pi}{2})$时，极坐标方程图形为$\rho=-2r\sin\theta$，其中$-\frac{\pi}{2}<\theta\leq 0$。
对于一般情形，设圆心为C$(\rho,\theta)$，半径为$r$，M$(\rho,\theta)$为圆上任意一点，则$|CM|=r$，$\angleCOM=|\theta-\theta|$，根据余弦定理可得圆C的极坐标方程为$\rho^2-2\rho r\cos(\theta-\theta)+r^2=0$。
例如，极坐标方程$\rho=4$表示以极点为圆心，以4为半径的圆。
又例如，过极点且圆心为$(1,0)$的圆的极坐标方程为$\rho=2\cos\theta$。
极坐标方程$\rho=\cos\frac{\pi}{4}$表示以极点为圆心，以$\frac{1}{\sqrt{2}}$为半径的圆。
高中数学一轮总复习文科基础复习题及解析(二)
高中数学一轮总复习文科基础复习题及解析第二部分 选考部分第十二讲 选考内容第一节 选修4－4 坐标系与参数方程1．在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程． 解析：(1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2， 圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.解⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，ρ＝4cos θ得ρ＝2，θ＝±π3，故圆C 1与圆C 2交点的坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，⎝⎛⎭⎫2，－π3. 注：极坐标系下点的表示不唯一，(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)．故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝t ，－3≤t ≤ 3.2．已知直线l 经过点P (1,1)，倾斜角α＝π6，(1)写出直线l 的参数方程．(2)设l 与圆x 2＋y 2＝4相交于两点A ，B ，求点P 到A ，B 两点的距离之积．解析：(1)直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t cos π6，y ＝1＋t sin π6(t 为参数)，即⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t (t 为参数)．(2)把直线的参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t (t 为参数)代入x 2＋y 2＝4得(1＋32t )2＋(1＋12t )2＝4，t 2＋(3＋1)t －2＝0， ∴t 1t 2＝－2，则点P 到A ，B 两点的距离之积为2.3．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为C 与x 轴、y 轴的交点． (1)写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 解析：(1)由ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1 得ρ⎝⎛⎭⎫12cos θ＋32sin θ＝1.从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2.当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)． 当θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝⎛⎭⎫233，π2.(2)因为M 点的直角坐标为(2,0)， N 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫0，233.所以P 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1，33， 则P 点的极坐标为⎝⎛⎭⎫233，π6，所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．4．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α，y ＝cos 2 α，α∈[0,2π)，曲线D 的极坐标方程为ρsin(θ＋π4)＝－ 2. (1)将曲线C 的参数方程化为普通方程；(2)曲线C 与曲线D 有无公共点？试说明理由．解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α，y ＝cos 2α，α∈[0,2π)得x 2＋y ＝1，x ∈[－1,1]．(2)由ρsin(θ＋π4)＝－2得曲线D 的普通方程为x ＋y ＋2＝0.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2＝0，x 2＋y ＝1得x 2－x －3＝0.解得x ＝1±132∉[－1,1]，故曲线C 与曲线D 无公共点．5．以平面直角坐标系的原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线C的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α是参数)，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝2 3. (1)求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；(2)设点P 为曲线C 上任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值． 解析：(1)∵直线l 的极坐标方程为 ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝23， ∴ρ⎝⎛⎭⎫cos θcos π6－sin θsin π6＝23， ∴32x －12y ＝2 3. 即直线l 的直角坐标方程为3x －y －43＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α 得x 24＋y 23＝1. 即曲线C 的普通方程为x 24＋y 23＝1.(2)设点P (2cos α，3sin α)， 则点P 到直线l 的距离 d ＝|23cos α－3sin α－43|2＝|15cos (α＋φ－43)|2，其中tan φ＝12.当cos(α＋φ)＝－1时，d max ＝15＋432，即点P 到直线l 的距离的最大值为15＋432. 6．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos(θ－π4)＝2.(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 解析：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x 2＋y 2＝4； 因为ρ2－22ρcos(θ－π4)＝2，所以ρ2－22ρ(cos θcos π4＋sin θ·sin π4)＝2.所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0. (2)将两圆的直角坐标方程相减， 得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1， 即ρsin(θ＋π4)＝22.7．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2 2. (1) 求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值． 解析：(1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋(y －2)2＝4，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π2，⎝⎛⎭⎫22，π4， 注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)．故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0，由参数方程可得y ＝b 2x －ab2＋1，所以⎩⎨⎧b2＝1，－ab2＋1＝2，解得a ＝－1，b ＝2.8．在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2,0)，⎝⎛⎭⎫233，π2，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数)．(1)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； (2)判断直线l 与圆C 的位置关系．解析：(1)由题意知，M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)⎝⎛⎭⎫0，233.又P 为线段MN 的中点，从而点P 的平面直角坐标为⎝⎛⎭⎫1，33，故直线OP 的平面直角坐标方程为y ＝33x .(2)因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)⎝⎛⎭⎫0，233，所以直线l 的平面直角坐标方程为3x ＋3y －23＝0.(2)又圆C 的圆心坐标为(2，－3)，半径r ＝2， 圆心到直线l 的距离d ＝|23－33－23|3＋9＝32＜r ，故直线l 与圆C 相交．第二节 选修4－5 不等式选讲1．已知函数f (x )＝|2x －a |＋a ，a ∈R ，g (x )＝|2x －1|.(1)若当g (x )≤5时，恒有f (x )≤6，求a 的最大值； (2)若当x ∈R 时，恒有f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围． 解析：(1)g (x )≤5⇔|2x －1|≤－5⇔2x －1≤5⇔－2≤x ≤3；f (x )≤6⇔|2x －a |≤6－a ⇔a －6≤2x －a ≤6－a ⇔a －3≤x ≤3. 依题意有，a －3≤－2，a ≤1. 故a 的最大值为1.(2)f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋|2x －1|＋a ≥|2x －a －2x ＋1|＋a ＝|a －1|＋a ， 当且仅当(2x －a )(2x －1)≤0时符号成立．解不等式|a －1|＋a ≥3，得a 的取值范围是[2，＋∞)．2．已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R )，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}． (1)求a 的值；(2)若⎪⎪⎪⎪f (x )－2f ⎝⎛⎭⎫x 2≤k 恒成立，求k 的取值范围． 解析：(1)由|ax ＋1|≤3得－4≤ax ≤2.又f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，所以当a ≤0时，不合题意．当a ＞0时，－4a ≤x ≤2a ，得a ＝2.(2)记h (x )＝f (x )－2f (x2)，则h (x )＝⎩⎨⎧1(x ≤－1)，－4x －3⎝⎛⎭⎫－1＜x ＜－12，－1(x ≥－12)所以|h (x )|≤1，因此k ≥1.3．已知函数f (x )＝|2x ＋2|＋|2x －3|.(1)若∃x 0∈R ，使得不等式f (x 0)＜m 成立，求m 的取值范围； (2)求使得不等式f (x )≤|4x －1|成立的x 的取值范围． 解析：(1)∵f (x )＝|2x ＋2|＋|2x －3|≥|(2x ＋2)－(2x －3)|＝5，∴∃x 0∈R ，使得不等式f (x 0)＜m 成立的m 的取值范围是(5，＋∞)． (2)∵f (x )＝|2x ＋2|＋|2x －3|≥|2x ＋2＋2x －3|＝|4x －1|， ∴|2x ＋2|＋|2x －3|≥|4x －1|，当且仅当(2x ＋2)(2x －3)≥0时取等号， ∴x 的取值范围是(－∞，－1]∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 4．已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若f (x )≤m 的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a ，m 的值； (2)当a ＝2且t ≥0时，解关于x 的不等式f (x )＋t ≥f (x ＋2t )．解析：(1)由|x －a |≤m ，得a －m ≤x ≤a ＋m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －m ＝－1，a ＋m ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，m ＝3.(2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|，f (x )＋t ≥f (x ＋2t )，即 |x －2＋2t |－|x －2|≤t .①当t ＝0时，不等式①恒成立，即x ∈R ；当t ＞0时，不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＜2－2t ，2－2t －x －(2－x )≤t或⎩⎪⎨⎪⎧2－2t ≤x ＜2，x －2＋2t －(2－x )≤t 或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x －2＋2t －(x －2)≤t ，解得x ＜2－2t 或2－2t ≤x ≤2－t 2或x ∈∅，即x ＝2－t 2.综上，当t ＝0时，原不等式的解集为R ； 当t ＞0时，原不等式的解集为{x |x ≤2－t2}．5．已知a ，b ，c 为实数，且a ＋b ＋c ＝2m －2，a 2＋14b 2＋19c 2＝1－m .(1)求证：a 2＋b 24＋19c 2≥(a ＋b ＋c )214； (2)求实数m 的取值范围．解析：(1)由柯西不等式得：⎣⎡⎦⎤a 2＋⎝⎛⎭⎫12b 2＋⎝⎛⎭⎫13c 2·(12＋22＋32)≥(a ＋b ＋c )2， 即⎝⎛⎭⎫a 2＋14b 2＋19c 2·14≥(a ＋b ＋c )2，所以a 2＋14b 2＋19c 2≥(a ＋b ＋c )214，当且仅当|a |＝14|b |＝19|c |时，取等号． (2)由已知得(a ＋b ＋c )2＝(2m －2)2，结合(1)的结论可得：14(1－m )≥(2m －2)2，即2m 2＋3m －5≤0，所以－52≤m≤1，又a2＋14b2＋19c2＝1－m≥0，所以m≤1，故m的取值范围为－52≤m≤1.6．设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：(1)若ab＞cd，则a＋b＞c＋d；(2)a＋b＞c＋d是|a－b|＜|c－d|的充要条件．证明：(1)因为(a＋b)2＝a＋b＋2ab，(c＋d)2＝c＋d＋2cd，由题设a＋b＝c＋d，ab＞cd得(a＋b)2＞(c＋d)2.因为a＋b＞c＋d.(2)①若|a－b|＜|c－d|，则(a－b)2＜(c－d)2，即(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd.由(1)得a＋b＋c＋d，②若a＋b＞c＋d则(a＋b)2＞(c＋d)2，即a＋b＋2ab＞c＋d＋2cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd.于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因此|a－b|＜|c－d|.综上，a＋b＞c＋d是|a－b|＜|c－d|的充要条件．7．设f(x)＝|x－1|－2|x＋1|的最大值为m.(1)求m；(2)若a，b，c∈(0，＋∞)，a2＋2b2＋c2＝m，求ab＋bc的最大值．解析：(1)当x≤－1时，f(x)＝3＋x≤2；当－1＜x＜1时，f(x)＝－1－3x＜2；当x ≥1时，f (x )＝－x －3≤－4. 故当x ＝－1时，f (x )取得最大值m ＝2.(2)a 2＋2b 2＋c 2＝(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)≥2ab ＋2bc ＝2(ab ＋bc )， 当且仅当a ＝b ＝c ＝22时，等号成立． 此时，ab ＋bc 取得最大值1.8．已知函数f (x )＝|x －2|＋|x －4|的最小值为m ，实数a ，b ，c ，n ，p ，q 满足a 2＋b 2＋c 2＝n 2＋p 2＋q 2＝m .(1)求m 的值；(2)求证：n 4a 2＋p 4b 2＋q 4c2≥2.解析：(1)f (x )＝|x －2|＋|x －4|≥|(x －2)－(x －4)|＝2，当且仅当2≤x ≤4时，等号成立，故m ＝2.(2)因为[(n 2a )2＋(p 2b )2＋(q 2c )2]·(a 2＋b 2＋c 2)≥(n 2a ·a ＋p 2b ·b ＋q 2c ·c )2，即(n 4a 2＋p 4b 2＋q 4c 2)×2≥(n 2＋p 2＋q 2)2＝4， 所以n 4a 2＋p 4b 2＋q 4c2≥2.9．已知f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|，不等式f (x )＜4的解集为M . (1)求M ；(2)当a ，b ∈M 时，证明：2|a ＋b |＜|4＋ab |. 解析：(1)f (x )＝|x ＋1|＋|x －1| ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ＜－1，2，－1≤x ≤1.2x ，x ＞1，当x ＜－1时，由－2x ＜4，得－2＜x ＜－1； 当－1≤x ≤1时，f (x )＝2＜4，∴－1≤x ≤1； 当x ＞1时，由2x ＜4，得1＜x ＜2. ∴M ＝(－2,2)．(2)证明：a ，b ∈M 即－2＜a ＜2，－2＜b ＜2.∵4(a ＋b )2－(4＋ab )2＝4(a 2＋2ab ＋b 2)－(16＋8ab ＋a 2b 2)＝(a 2－4)·(4－b 2)＜0， ∴4(a ＋b )2＜(4＋ab )2， ∴2|a ＋b |＜|4＋ab |.10．已知二次函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的定义域为[－1,1]，且|f (x )|的最大值为M . (1)试证明|1＋b |≤M ； (2)试证明M ≥12；(3)当M ＝12时，试求出f (x )的解析式．解析：(1)∵M ≥|f (－1)|＝|1－a ＋b |，M ≥|f (1)|＝|1＋a ＋b |，∴2M ≥|1－a ＋b |＋|1＋a ＋b |≥|(1－a ＋b )＋(1＋a ＋b )|＝2|1＋b |，∴M ≥|1＋b |.(2)依题意，M ≥|f (－1)|，M ≥|f (0)|，M ≥|f (1)|，又|f (－1)|＝|1－a ＋b |，|f (1)|＝|1＋a ＋b |，|f (0)|＝|b |，∴4M ≥|f (－1)|＋2|f (0)|＋|f (1)|＝|1－a ＋b |＋2|b |＋|1＋a ＋b |≥|(1－a ＋b )－2b ＋(1＋a ＋b )|＝2.∴M ≥12.(3)当M ＝12时，|f (0)|＝|b |≤12，－12≤b ≤12.①同理－12≤1＋a ＋b ≤12.②－12≤1－a ＋b ≤12.③ ②＋③得－32≤b ≤－12.④由①④得b ＝－12，当b ＝－12时，分别代入②③得⎩⎨⎧－1≤a ≤0，0≤a ≤1⇒a ＝0，因此f (x )＝x 2－12. 11．已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|.(1)若关于x 的不等式f (x )＜|1－2a |的解集不是空集，求实数a 的取值范围； (2)若关于t 的一元二次方程t 2＋26t ＋f (m )＝0有实根，求实数m 的取值范围． 解析：(1)∵f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|≥|(2x ＋1)－(2x －3)|＝4，∴|1－2a |＞4， ∴a ＜－32或a ＞52，∴实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞. (2)Δ＝24－4(|2m ＋1|＋|2m －3|)≥0.即|2m ＋1|＋|2m －3|≤6，∴不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞32，(2m ＋1)＋(2m －3)≤6或 ⎩⎪⎨⎪⎧ －12≤m ≤32，(2m ＋1)－(2m －3)≤6或 ⎩⎪⎨⎪⎧m ＜－12，－(2m ＋1)－(2m －3)≤6.∴32＜m ≤2或－12≤m ≤32或－1≤m ＜－12， ∴实数m 的取值范围是[－1,2]．12．已知函数f (x )＝|3x ＋2|.(1)解不等式f (x )＜4－|x －1|；(2)已知m ＋n ＝1(m ，n ＞0)，若|x －a |－f (x )≤1m ＋1n(a ＞0)恒成立，求实数a 的取值范围． 解析：(1)不等式f (x )＜4－|x －1|.即|3x ＋2|＋|x －1|＜4.当x ＜－23时，即－3x －2－x ＋1＜4， 解得－54＜x ＜－23： 当－23≤x ≤1时，即3x ＋2－x ＋1＜4， 解得－23≤x ≤12； 当x ＞1时，即3x ＋1＋x －1＜4，无解．综上所述，x ∈⎝⎛⎭⎫－54，12.(2)1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n (m ＋n )＝1＋1＋n m ＋m n≥4， 令g (x )＝|x －a |－f (x )＝|x －a |－|3x ＋2|＝⎩⎨⎧2x ＋2＋a ，x ＜－23，－4x －2＋a ，－23≤x ≤a ，－2x －2－a ，x ＞a .∴x ＝－23时，g (x )max ＝23＋a ，要使不等式恒成立，只需g (x )max ＝23＋a ≤4，即0＜a ≤103.。
高中数学-公式-极坐标
极坐标、参数方程1、经过点),(000y x P 的直线参数方程的一般形式是：⎩⎨⎧+=+=)(00是参数t bt y y at x x 。
2、若直线l 经过点α，倾斜角为),(000y x P ，则直线参数方程的标准形式是：⎩⎨⎧+=+=)(sin cos 00是参数t t y y t x x αα。
其中点P 对应的参数t 的几何意义是：有向线段P P 0的数量.若点P 1、P 2、P 是直线l 上的点,它们在上述参数方程中对应的参数分别是，和、t t t 21则：2121t t P P -=;当点P 分有向线段λ成定比21P P 时，λλ++=121t t t ;当点P 是线段P 1P 2的中点时,221t t t +=。
3、圆心在点)(b a C ，,半径为r 的圆的参数方程是:⎩⎨⎧+=+=)(sin cos 是参数αααr b y r a x 。
4、若以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，点P 的极坐标为，),(θρ直角坐标为),(y x ，则=x θρcos ，=y θρsin ，xy tg y x =+=θρ，22。
5、 经过极点，倾斜角为α的直线的极坐标方程是：απθαθ+==或，经过点)0(，a ，且垂直于极轴的直线的极坐标方程是：a =θρcos ， 经过点)2(π，a 且平行于极轴的直线的极坐标方程是：a =θρsin ， 经过点)(00θρ，且倾斜角为α的直线的极坐标方程是：)sin()sin(00αθραθρ-=-。
6、 圆心在极点,半径为r 的圆的极坐标方程是r =ρ;圆心在点a a ，半径为，)0(的圆的极坐标方程是θρcos 2a =; 圆心在点a a ，半径为，)2(π的圆的极坐标方程是θρsin 2a =； 圆心在点)(00θρ，，半径为r 的圆的极坐标方程是200202)cos(2r =--+θθρρρρ.7、若点M )(11θρ，、N )(22θρ，，则=MN )cos(221212221θθρρρρ--+。
高中数学基础知识大筛查(9)-复数,参数方程和极坐标等七个内容
- 1 -基础知识大筛查-算法初步，参数方程和极坐标等七个内容 一、参数方程和极坐标1．伸缩变换：设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎨⎧>⋅='>⋅=').0(,y y 0),(x,x :μμλλϕ的作用下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。
2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。
3．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ。
有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM .极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。
极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ.4.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。
如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。
5．极坐标与直角坐标的互化：6.圆的极坐标方程：在极坐标系中，以极点为圆心，r 为半径的圆的极坐标方程是 r =ρ；在极坐标系中，以 )0,(a C )0(>a 为圆心， a 为半径的圆的极坐标方程是 θρcos 2a =； 在极坐标系中，以 )2,(πa C )0(>a 为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是θρsin 2a =；7.在极坐标系中，)0(≥=ραθ表示以极点为起点的一条射线；)R (∈=ραθ表示过极点的一条直线. 在极坐标系中，过点)0)(0,(>a a A ，且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程是a =θρcos .8．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧==),(),(t g y t f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点),(y x M 都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数y x ,的变数t 叫做参变数，简称参数。
人教A版高中数学高三一轮第十一章选修内容111坐标系【素材】
坐标系与曲线的极坐标方程1．在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin θ＝3，求点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线l 的距离．解 ∵直线l 的极坐标方程可化为y ＝3，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6化为直角坐标为(3，1)∴点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线l 的距离为2. 2．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，求实数a 的值．解化为平面直角坐标系：圆：x 2－2x ＋y 2＝0，即：(x －1)2＋y 2＝1. 直线：3x ＋4y ＋a ＝0. ∵直线和圆相切，∴|3＋a |32＋42＝1， ∴a ＝2或a ＝－8.3．在极坐标系中，已知点O (0,0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，π4，求以OP 为直径的圆的极坐标方程．解 设点Q (ρ，θ)为以OP 为直径的圆上任意一点(不包括端点)，在Rt △OQP 中，ρ＝32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4，故所求圆的极坐标方程为ρ＝32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4.4．从极点O 作直线与另一直线ρcos θ＝4相交于点M ，在OM 上取一点P ，使|OM |·|OP |＝12，求点P 的轨迹方程． 解 设动点P 的坐标为(ρ，θ)，则M (ρ0，θ)． ∵|OM |·|OP |＝12.∵ρ0ρ＝12.ρ0＝12ρ. 又M 在直线ρcos θ＝4上，∴12ρcos θ＝4， ∴ρ＝3cos θ.这就是点P 的轨迹方程．5．在极坐标系中，P 是曲线ρ＝12sin θ上的动点，Q 是曲线ρ＝12cos (θ－π6)上的动点，试求PQ 的最大值． 解∵ρ＝12sin θ.∴ρ2＝12ρsin θ化为直角坐标方程为x 2＋y 2－12y ＝0， 即x 2＋(y －6)2＝36. 又∵ρ＝12cos (θ－π6)，∴ρ2＝12ρ(cos θcos π6＋sin θsin π6)，∴有x 2＋y 2－63x －6y ＝0， 即(x －33)2＋(y －3)2＝36，∴PQ max ＝6＋6＋（33）2＋（－3）2＝18.6．设过原点O 的直线与圆(x －1)2＋y 2＝1的一个交点为P ，点M 为线段OP 的中点，当点P 在圆上移动一周时，求点M 轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线．解 圆(x －1)2＋y 2＝1的极坐标方程为 ρ＝2cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤θ≤π2，设点P 的极坐标为(ρ1，θ1)，点M 的极坐标为(ρ，θ)，∵点M 为线段OP 的中点，∴ρ1＝2ρ，θ1＝θ，将ρ1＝2ρ，θ1＝θ代入圆的极坐标方程，得ρ＝cos θ.∴点M 轨迹的极坐标方程为ρ＝cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤θ≤π2，它表示原心在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，半径为12的圆．7．⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－4sin θ. (1)把⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过⊙O 1，⊙O 2交点的直线的直角坐标方程． 解 (1)ρ＝4cos θ，两边同乘以ρ，得ρ2＝4ρcos θ； ρ＝－4sin θ，两边同乘以ρ，得ρ2＝－4ρsin θ. 由ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2， 得⊙O 1，⊙O 2的直角坐标方程分别为 x 2＋y 2－4x ＝0和x 2＋y 2＋4y ＝0.(2)由⎩⎨⎧ x 2＋y 2－4x ＝0，x 2＋y 2＋4y ＝0，①②①－②得－4x －4y ＝0，即x ＋y ＝0为所求直线方程． 8．求圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，半径为3的圆的极坐标方程．解 如图，设圆上任一点为P (ρ，θ)， 则OP ＝ρ，∠POA ＝θ－π6， OA ＝2×3＝6，在Rt △OAP 中，OP ＝OA ×cos ∠POA ，∴ρ＝6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6.∴圆的极坐标方程为ρ＝6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6. 9．已知A 是曲线ρ＝12sin θ上的动点，B 是曲线ρ＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6上的动点，试求线段AB 长的最大值．解 曲线ρ＝12sin θ的直角坐标方程为x 2＋(y －6)2＝36， 其圆心为(0,6)，半径为6；曲线ρ＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6的直角坐标方程为(x －33)2＋(y －3)2＝36，其圆心为(33，3)，半径为6. 所以AB 长的最大值＝(33－0)2＋(3－6)2＋6＋6＝18.10．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2.(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 解 (1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x 2＋y 2＝4； 因为ρ2－22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，所以ρ2－22ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2，所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0. (2)将两圆的直角坐标方程相减， 得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1.化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22. 11．已知圆锥曲线C 的极坐标方程为ρ＝8sin θ1＋cos 2θ，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，求曲线C 的直角坐标方程，并求焦点到准线的距离． 解 由ρ＝8sin θ1＋cos 2θ，得ρcos 2θ＝4sin θ，ρ2cos 2θ＝4ρsin θ.又ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，故所求曲线的直角坐标方程是x 2＝4y ，故焦点到准线的距离为2. 12．已知直线l 的参数方程：⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝1＋2t (t 为参数)和圆C 的极坐标方程：ρ＝22·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.(1)将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)判断直线l 和圆C 的位置关系．解 (1)消去参数，得直线l 的普通方程为y ＝2x ＋1. ρ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，即ρ＝2(sin θ＋cos θ)，两边同乘以ρ，得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)．得⊙C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(x －1)2＝2. (2)圆心C 到直线l 的距离d ＝|2－1＋1|22＋12＝255＜2， 所以直线l 和⊙C 相交．13．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)． (1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2，判断点P 与直线l的位置关系；(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值． 解(1)把极坐标系下的点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，π2化为直角坐标，得P (0，4)．因为点P 的直角坐标(0，4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上． (2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 坐标为(3cos α，sin α)，从而点Q 到直线l 的距离为d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋42＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋22，由此得，当cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2.14．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合．若直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝3 2.(1)把直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)已知P 为椭圆C ：x 216＋y 29＝1上一点，求P 到直线l 的距离的最大值． 解 (1)直线l 的极坐标方程ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝32，则22ρsin θ－22ρcos θ＝32，即ρsin θ－ρcos θ＝6，所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋6＝0.(2)P 为椭圆C ：x 216＋y 29＝1上一点，设P (4cos α，3sin α)，其中α∈[0,2π)，则P 到直线l 的距离 d ＝|4cos α－3sin α＋6|2＝|5cos (α＋φ)＋6|2，其中cos φ＝45，所以当cos(α＋φ)＝1时，d 的最大值为112 2.。
圆的极坐标方程
三者的形状和性质不同。圆的形状是固定的，而椭圆和双曲线的形状随离心率 e 的变化而变化。此外 ，三者在直角坐标系下的方程也不同。
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THANKS
圆心与半径在极坐标中表示
圆心表示
在极坐标系中，如果一个圆的圆心不 在极点，而是位于一个已知的点(r0, θ0)，那么这个圆的位置可以由r0和 θ0来确定。
半径表示
半径a是圆心到圆上任意一点的距离， 在极坐标中可以通过比较r和r0来得出 。具体来说，对于圆上的任意一点P(r, θ)，有|r - r0| = a。
实例演示推导过程
以$(0,0)$为圆心、半径为2的圆为例
其直角坐标方程为$x^2 + y^2 = 4$。
转换到极坐标系
将$x = rhocostheta$和$y = rhosintheta$代入直角坐标方程，得到$rho^2 = 4$，即 $rho = 2$（$rho geq 0$）。
结论
以$(0,0)$为圆心、半径为2的圆的极坐标方程为$rho = 2$。
05
求解圆的极坐标方程方法 总结
代数法求解
方程形式：在极坐标系下，圆的方程通 常表示为 $r = acos(theta) + bsin(theta) + c$，其中 $a, b, c$ 为常 数。
利用二次方程的求解公式或配方法，求 解该方程得到圆心的坐标和半径。
求解步骤
将转换后的直角坐标方程代入圆的方程 ，得到一个关于 $x$ 和 $y$ 的二次方程 。
02
双曲线极坐标方程推导
通过双曲线的直角坐标方程和极坐标与直角坐标的转换关系，可以推导
出双曲线的极坐标方程。
03
双曲线极坐标方程特点
高考数学二轮复习-专题30 极坐标与参数方程的应用(解析版)
又因为 O是圆 C 上的点，所以 POQ PCQ π 。
26
【三】最值、几何意义的综合问题
1.距离最值（点到点、曲线点到线、） 距离的最值： ---用“参数法” （1）曲线上的点到直线距离的最值问题 （2）点与点的最值问题 “参数法”：设点---套公式--三角辅助角 ①设点： 设点的坐标，点的坐标用该点在所在曲线的的参数方程来设 ②套公式：利用点到线的距离公式 ③辅助角：利用三角函数辅助角公式进行化一 2.面积的最值问题 面积最值问题一般转化成弦长问题+点到线的最值问题 3.几何意义及其综合应用：
P(2,
)
在曲线
cos(
)
2
上．
3
3
所以，l的极坐标方程为
cos(
)
2
．
3
（2）设 P(, ) ，在 Rt△OAP 中， | OP || OA | cos 4 cos , 即 4 cos ．
因为P在线段OM上，且
AP
OM
，故
的取值范围是 [
,
]
．
42
所以P点轨迹的极坐标方程为
4 cos ,
（1）分别写出 M1 ， M 2 ， M 3 的极坐标方程；
（2）曲线 M 由 M1 ， M 2 ， M 3 构成，若点 P 在 M 上，且 | OP | 3 ，求 P 的极坐标．
【解析】（1）由题设可得，弧 AB, BC,CD 所在圆的极坐标方程分别为
2 cos ， 2sin ， 2 cos ．
[ ,
] ．[来源:学*科*网]
42
【练习 2】在极坐标系中，已知圆 C 经过点 P (2 2, ) ，圆心为直线ρsin(θ－π)＝－ 3与极轴的交点，求
圆极坐标方程形式
圆极坐标方程形式
圆的极坐标方程有三种形式，具体如下：
1.圆心在原点：r=a。
2.圆心在x轴上：r=a⋅cosθ。
3.圆心在y轴上：r=a⋅sinθ。
其中，a为圆的半径，θ为圆心与圆上的点的连线的极角。
圆极坐标方程的形式是ρ=a，其中a是圆的半径。
例如，以原点为圆心，半径为3的圆的极坐标方程为ρ=3。
另外，圆心在x轴上的圆极坐标方程形式是ρ=a cosθ，其中a 是圆的半径，θ是圆心与圆上的点的连线的极角。
例如，圆心在(3,0)，半径为2的圆的极坐标方程为ρ=2cosθ。
圆心在y轴上的圆极坐标方程形式是ρ=a sinθ，其中a是圆的半径，θ是圆心与圆上的点的连线的极角。
例如，圆心在(0,3)，半径为2的圆的极坐标方程为ρ=2sinθ。
高中数学第1讲坐标系第2节极坐标系第4课时圆的极坐标
故ρ＝－2rsin θ.
3π 经验证，点O(0,0)，A2r， 2 的坐标皆满足上式，
所以满足条件的圆的极坐标方程为ρ＝－2rsin θ.
[规律方法]
求曲线的极坐标方程与直角坐标系里的情况
一样，就是找出动点M的坐标ρ与θ之间的关系，然后列出方程
圆x2＋y2＝r2还有他的表示形式吗？
1．曲线与方程的关系 在平面直角坐标系中，平面曲线C可以用方程f(x，y)＝0表 示．曲线与方程满足如下关系： 点的坐标 都是方程f(x，y)＝0的解； (1)曲线C上__________ 坐标的点 都在曲线C上． (2)以方程f(x，y)＝0的解为__________
曲线 圆心在极点，半径 为r的圆 圆心为C(r,0)，半径 为r的圆
π 圆心为Cr，2，半
圆形
极坐标方程
ρ＝r __________
(0≤θ<2π) ρ＝2rcos θ
π π － ≤θ< 2 2
ρ ＝2rsinθ __________
(0≤θ<π)
径为r的圆
1．将曲线ρ2(1＋sin2θ)＝2化为直角坐标方程是( 2 2 y x A．x2＋ 2 ＝1 B． 2 ＋y2＝1 C．2x2＋y2＝1 D．x2＋2y2＝1
2．曲线的极坐标方程 一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极 f(ρ，θ)＝0 坐标中至少有一个满足方程 __________________ ，并且坐标 f(ρ，θ)＝0 适 合 方 程 ________________ 的点都在曲线C上，那么方程 f(ρ，θ)＝0 __________________ 叫做曲线C的极坐标方程．
f(ρ，θ)＝0，再化简并检验特殊点．
高中数学：圆的极坐标方程
4、圆＝10 cos( )的圆心坐标是 （ C ） 3 2 C、 , ) (5 (5 A、 ,0) B、 , ) (5 D、 , ) (5 3 3 3 5、写出圆心在点A(2, )处且过极点的圆的 2 极坐标方程，并把它化成直角坐标方程。 解：＝4 cos( ) 4sin
解：此题可以变成求直 x 2关于y x 线 的对称直线的问题 即y 2化为极坐标方程为 sin 2
5、在极坐标系中，已知 一个圆的方程为 6 直线的极坐标方程是( C
＝12 sin( )，则过圆心与极轴垂直 的
)
A、 sin 3 3B、 sin 3 3 C、 cos 3D、 cos 3
所以，等式(1)就是圆上任意一点的极 坐标( , ) 满足的条件，另一方面 ，可以验证，坐标适合 等式(1)的点都在这个圆上。
极坐标方程：
一般地，在极坐标系中 ，如果平面曲线 上任意 C 一点的极坐标中至少有 一个满足方程 ( , ) 0 f 并且坐标适合方程 ( , ) 0的点都在曲线 上， f C 那么方程f ( , ) 0叫做曲线C的极坐标方程。
所以， 2a cos就是圆心在C (a,0)(a 0),半径 为a的圆的极坐标方程。
例1、已知圆O的半径为r，建立怎样的极坐 标系，可以使圆的极坐标方程简单？
M
O
r x
解：如果以圆心 为极点，从O出发的一条射线 O 为极轴建立坐标系（如 图），那么圆上各点的 几 何特征就是它们的极径 都等于半径r. 设M ( , )为圆上任意一点，则 OM r ,即
7、从极点O作圆C：＝8cos 的弦ON， 求ON的中点的轨迹方程。
高中数学极坐标常见题型解法分析
高中数学极坐标常见题型解法分析ʏ谭 潇极坐标系是建立在以前学习数轴㊁平面直角坐标系,以及空间直角坐标系的基础上进一步学习的内容㊂极坐标是高中数学的选修内容,整体难度不大,是学生可以拿满分的考点㊂本文首先介绍常见题型极坐标的基本公式,而后分别举例介绍其常见题型的解法㊂希望能对同学们梳理有关极坐标的知识和常见题型解法有所帮助㊂一㊁极坐标基本公式要想求解极坐标的相关题型,我们就要熟记其基本公式,主要有三种:极坐标与直角坐标系的互化公式㊁常见圆的极坐标方程㊁常见直线的极坐标方程㊂(一)极坐标与直角坐标系的互化公式设点P 的直角坐标为(x ,y ),极坐标为(ρ,θ),则有(ρ,θ)ң(x ,y )时,x =ρc o s θ,y =ρs i n θ;(x ,y )ң(ρ,θ)时,ρ2=x 2+y 2,t a n θ=y x(x ʂ0)㊂(二)常见圆的极坐标方程圆心在极点,半径为r 的圆,ρ=r ;圆心为M (a ,0),半径为ɑ的圆,ρ=2ɑc o s θ;圆心为M a ,π2(),半径为ɑ的圆,ρ=2ɑs i n θ㊂(三)常见直线的极坐标方程直线过极点,直线的倾斜角为α,θ=α(ρɪR );直线过点M (a ,0),且垂直于极轴,ρc o s θ=a ;直线过点M a ,π2(),且平行于极轴,ρs i n θ=a ㊂二㊁常见题型解法分析(一)极坐标系的求解1.在点与点的位置关系中,(ρ,θ)关于极点的对称点为(ρ,θ+π),关于直线ɑ=π2的对称点为(ρ,π-θ),关于极轴的对称点为(ρ,-θ)㊂例1 已知Q 2,1915π(),求满足下列条件的点的极坐标㊂(1)P 1是点Q 关于极点O 的对称点㊂(2)P 3是点Q 关于极轴的对称点㊂参考答案:(1)P 12,1915π()㊂(2)P 32,æèç-1415π)㊂(解题过程略)2.求解极坐标下两点A (ρ1,θ1),B (ρ2,θ2)的距离时可以利用公式:|A B |=ρ21+ρ22-2ρ1ρ2θ1-θ2()㊂例2 在极坐标系中,若A 3,π3(),B 4,76π(),求әA B O 的面积㊂解析:由题意可知,在әA O B 中,O A =3,O B =4,øA O B =76π-π3=56π,所以әA B O 的面积为S әA O B =12|O A |ˑ|O B |ˑs i n øA O B =12ˑ3ˑ4ˑs i n 56π=3㊂故әA O B 的面积为3㊂(二)曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化例3 在极坐标系中,圆ρ=8s i n θ上的点到直线θ=π3(ρɪR )距离的最大值是㊂解析:将圆ρ=8s i n θ化为直角坐标方程,为x 2+y 2-8y =0,即x 2+(y -4)2=16㊂将直线θ=π3(ρɪR )化为直角坐标方程,为y =3x ㊂结合图形可知圆上的点到直线的最大距离可转化为圆心到直线的距离再加上半径㊂圆心(0,4)到直线y =3x 的距离为4(3)2+12=2,又圆的半径r =4,所以圆上的点到直线的最大距离为6㊂作者单位:广西南宁市第三十四中学83 基础数学 障碍分析 自主招生 2020年7 8月。
江西省吉安县第三中学高中数学北师大版选修4-4：1.2.3.2圆的极坐标方程 学案
《选修
4-4》2.3. 2圆的极坐标方程导学提纲
设计人：汪洁 审核人：邓吉泰 【学习目标】
1.掌握各种圆的极坐标方程。
2、能根据圆的极坐标方程画出其对应的图形 【导读流程】 一、知识回顾：
一．默写几种常见的直线的方程。
1、过极点：
2、过某个定点垂直于极轴：
3、过某个定点平行于极轴：
4、过某个定点，且与极轴成一定的角度：
二、自主思考探究
已知圆O 的半径为r ，建立怎样的极坐标系，可以使圆的极坐标方程简单？
三、合作应用探究
探究 一：求圆心在
)0(0,>a a ）（、半径为a 的圆的极坐标方程
探究二：求圆心在A （2,0），半径为1的圆的极坐标方程
x
1、求圆心在
四、课堂检测
2、以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是 （ ） 小结
(.2cos .2cos A C ρθ
ρθ
⎛
= ⎝=求下列圆的极(１)中心在极点
(２)中心在Ｃ(a
(３)中心在(a,。
圆的解析几何方程
〖圆的解析几何方程〗圆的标准方程：在平面直角坐标系中,以点O（a,b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是（x-a)^2+（y-b)^2=r^2。
圆的一般方程:把圆的标准方程展开，移项，合并同类项后,可得圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0.和标准方程对比,其实D=—2a，E=-2b,F=a^2+b^2。
圆的离心率e=0,在圆上任意一点的曲率半径都是r。
〖圆与直线的位置关系判断〗平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1。
由Ax+By+C=0,可得y=(—C—Ax）／B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x)=0。
利用判别式b^2—4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：如果b^2-4ac〉0，则圆与直线有2交点,即圆与直线相交.如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。
如果b^2-4ac〈0，则圆与直线有0交点,即圆与直线相离.2。
如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C／A，它平行于y轴（或垂直于x轴）,将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为（x-a）^2+（y—b）^2=r^2。
令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么：当x=-C／A〈x1或x=—C／A〉x2时，直线与圆相离;当x1<x=-C／A<x2时，直线与圆相交;半径r，直径d在直角坐标系中，圆的解析式为：（x—a）^2+(y-b)^2=r^2x^2+y^2+Dx+Ey+F=0=> (x+D/2）^2+（y+E/2)^2=D^2/4+E^2/4-F=〉圆心坐标为(-D/2,-E/2）1．点与圆的位置关系设圆C∶(x—a)2+(y-b)2=r2,点M(x0，y0）到圆心的距离为d，则有：（1）d＞r 点M在圆外；(2）d=r 点M在圆上；（3)d＜r 点M在圆内．2．直线与圆的位置关系设圆C∶(x-a)2+(y-b)=r2，直线l的方程为Ax+By+C=0,圆心(a,b)判别式为△，则有: (1)d＜r 直线与圆相交; (2）d=r 直线与圆相切；(3）d＜r 直线与圆相离，即几何特征；或（1）△＞0 直线与圆相交；(2)△=0 直线与圆相切；（3)△＜0 直线与圆相离，即代数特征,3．圆与圆的位置关系设圆C1：(x-a)2+（y-b)2=r2和圆C2：（x-m)2+（y—n）2=k2（k≥r)，且设两圆圆心距为d，则有：(1)d=k+r 两圆外切；(2）d=k-r 两圆内切；（3)d＞k+r 两圆外离；（4）d＜k+r 两圆内含；（5)k-r＜d＜k+r 两圆相交．4．其他(1）过圆上一点的切线方程：①圆x2+y2=r2,圆上一点为（x0,y0），则此点的切线方程为x0x+y0y=r2（课本命题）．②圆（x-a)2+（y—b）2=r2，圆上一点为（x0,y0)，则过此点的切线方程为(x0—a）（x—a）+(y0—b)（y-b)=r2（课本命题的推广)．（2）相交两圆的公共弦所在直线方程：设圆C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若两圆相交，则过两圆交点的直线方程为(D1-D2)x+(E1—E2)y+(F1-F2）=0．(3）圆系方程:①设圆C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0．若两圆相交，则过交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0（λ为参数，圆系中不包括圆C2，λ=-1为两圆的公共弦所在直线方程）．②设圆C∶x2+y2+Dx+Ey+F=0与直线l：Ax+By+C=0，若直线与圆相交，则过交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ（Ax+By+C）=0(λ为参数)．1.求经过M(1，2）N（3，4），并且在Y轴上截得的弦长为1的圆的方程.解：设圆的方程为:x^2+y^2 +Dx+Ey+F=0 ,∴ 圆心为(- ，— )，半径r=由题意：圆心到y轴的距离为｜- | , y轴上截得的弦长为1∴ r =( ) +（）∴ (D +E −4F)= + D∴ E −4F=1 。
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C(a,0)
x
教学目标
1、认识几种圆的极坐标方程，比较 它与直角坐标方程的异同。 2、掌握求圆的极坐标方程的方法。 3、能应用极坐标方程解决圆与直线 的关系。
教学重点： 求圆的极坐标方程的方法与步骤 教学难点： 极坐标方程是涉及长度与角度的问题， 列方程实质是解直角或斜三角形问题， 要使用旧的三角知识。
练习2
பைடு நூலகம்
极坐标方程分别是ρ＝cosθ和
ρ＝sinθ的两个圆的圆心距是多少
2 2
练习3
以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为 半径的圆的方程是
A. 2 cos B . 2 sin 4 4 C . 2 cos 1 D . 2 sin 1
１.小结： （１）曲线的极坐标方程概念 （２）怎样求曲线的极坐标方程 （3）圆的极坐标方程
作业布置 课本Ｐ15: １(1)(3)、２、(３)(4)
复习引入
一、复习： 1、求曲线的极坐标方程步骤：……
2、直线的几种极坐标方程……
求曲线的极坐标方程的步骤： 答：与直角坐标系里的情况一样，求 曲线的极坐标方程就是建系－设点（点
与坐标的对应）－列式（方程与坐标的对 应）－化简得方程f(,)=0 －说明
新课引入： 热身训练：在平面直角坐标系中 1、圆心坐标为(3,0)且半径为3的圆方 程为 （x-3）2+y2=9 2、圆心坐标为（0,3）且半径为3的圆 X2+(y-3)2=9 线方程为_______ 3、圆心在原点半径为3的圆方程为 X2+y2=9 _______ 变式：将以上三个方程化为极坐标方程 并画出对应的图形。
直角坐标系
极坐标系
极坐标图形
1、圆心（3，0） 圆心（3，0） 半径为3 半径为3
（x-3）2+y2=9
＝6cos ＝6sin
O
C(3,0)
x
2、圆心（0，3） 圆心（3,／2) 半径为3
C(3, ／2 )
X2+(y-3)2=9
O
x
3、圆心（0，0） 圆心在极点， 半径为3 半径为3
X2+y2=9
＝3
O
3
x
C(a,0)
r
O
x
O
x
O
C(a,0)
x
题组练习1
求下列圆的极坐标方程 （１）中心在极点，半径为２；
＝2
（２）中心在Ｃ（ａ，０），半径为ａ；
＝2acos （３）中心在（ａ，／2），半径为ａ； ＝2asin （４）中心在Ｃ（0，０），半径为ｒ。 2+ 2 -2 cos( - )= r2 0 0 ０
C
练习4
曲线 5 3 cos 5 sin 关于极轴对 称的曲线是：
C
A. 10 cos 6 C . 10 cos 6
B . 10 cos 6 D . 10 cos 6