2017年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷参考答案及评分细则详解

2017年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷参考答案及评分细则详解2017年全国初中数学联赛（初三组）初赛试卷试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。

选择题和填空题只设7分和分两档；解答题，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次。

如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数。

一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、设实数a、b满足a-b=-1，则a³-b³+3ab的值为（B）A、-3B、-1C、1D、3解析：a³-b³+3ab=(a-b)(a²+ab+b²)+3ab=-(a-b)=-12、若实数a为常数，关于x的不等式组{x+a²≤2a x≤-7}的整数解只有8个，则a的值为（C）A、-1B、0C、1D、2解析：{x+a²≤2a x≤-7}⇒-7≤x≤-a²+2a⇒1≤-a²+2a⇒(a-1)≤0⇒a≤1因为a是常数，所以a=13、在菱形ABCD中，AB=4，E为AB的中点，若在线段BD上取一点P，则PA+PE∠A=60°，的最小值是（D）A、23B、4C、25D、27解析：如图，连结AC，EC交BD于点P，则点P是所求的菱形ABCD中，AB=4，∠A=60°，E为AB的中点DE=√3×AB/2=2√3CE=DE+DC=2√3+4AE=√(CE²+AC²)=√(28²+16)=4√10PA+PE∠A=AE×sin(∠APE)=4√10×sin(60°+∠BPD)令∠BPD=θ，则∠APE=60°+θPA+PE∠A=4√10×(cosθ+√3sinθ)=4√10×(sinθ+√3cosθ+2)/24√10×(sin(θ-60°)+2)/2=2√10×(√3cosθ+sinθ+1)≥2√10所以最小值为2√10，即274、对于任意实数a，b，c，用M{a,b,c}表示三个数的平均数，用min{a,b,c}表示这三个数中最小的数，若M{2x+y+2,x+2y,2x-y}=min{2x+y+2,x+2y,2x-y}，则x+y=（A）A、-4B、-2C、2D、4解析：不妨设a最小，则M{a,b,c}=aa+b+c=3ab-a)+(c-a)=ab-a≥0，c-a≥0b=a，c=a2x+y+2=x+2y=2x-yx=-3，y=-1x+y=-45、如图，RtΔABC的斜边AB与⊙O相切于点P，直角顶点C在⊙O上，若AC=22，BC=4，则⊙O的半径是（B）A、3B、23C、4D、26解析：如图，由射影定理得：BC²=AC×DCCD=4²/22BD²=CD²+BC²=48BO=BD/2=√48/2=2√3OP=OB-√AB²-AP²=2√3-√22²-4²=2√3-2r=OP=2√3-2=2(√3-1)=2∙236、不超过1142无明显问题的段落，不需修改）即有：x2kx5x 2x25x k x 2将两式相减，得：10x52x化XXX：2x210x50由于方程只有一个公共实根，所以判别式为0，即：24250解得：2或 5又因为x2kx k的实根为0或k，所以：当2时，实根为0，k，所以实根之和为k；当5时，实根为0，k，所以实根之和为k；综上所述，关于x的方程x2kx k所有的实根之和为k k0.题目一：已知方程组 $\begin{cases}\alpha^2-k\alpha+5=0 \\\alpha^2+5\alpha-k=0\end{cases}$，求所有实数根的和。

解：将两个方程相减，得 $(k+5)\alpha-(k+5)=0$。

因为当$k=-5$ 时两个方程相同，有两个公共的实根，不符合题意，所以 $k\neq-5$。

因此 $\alpha=1$，代入第一个方程解得 $k=6$。

所以方程 $x^2+kx=k$ 即为 $x^2+6x=6$ 或 $x^2+6x=-6$。

显然两个方程都有实根，因此所有实数根的和为 $-12$。

题目二：如图，已知圆 $O$ 的直径 $AB$ 与 $CD$ 互相垂直，$E$ 为 $OB$ 的中点，$CE$ 的延长线交圆 $O$ 于 $G$，$AG$ 交 $CD$ 于 $F$，求 $DF$ 的值。

解：设 $OE=a$，则 $OA=OB=OC=OD=2a$，$CE=5a$。

因为 $\triangle COE\sim\triangle CGD$，所以$\dfrac{CO}{CE}=\dfrac{CG}{CD}$，即 $\dfrac{2a\times4a}{5a\times 3a}=\dfrac{CG}{CD}$，解得$CG=\dfrac{12a^2}{5}$。

过 $G$ 作 $GH\perp AB$ 于点 $H$，则 $\triangle COE\sim\triangle GHE$，所以$\dfrac{CO}{OE}=\dfrac{GH}{HE}$，即$\dfrac{2a}{a}=\dfrac{GH}{a}$，解得 $GH=a$，$HE=a$，于是 $AH=a$。

因为 $\triangle AOF\sim\triangle AHG$，所以$\dfrac{OF}{AO}=\dfrac{HG}{AH}$，即$\dfrac{a}{2a+2a}=\dfrac{HG}{a}$，解得$HG=\dfrac{a}{3}$，$OF=\dfrac{2a}{3}$。

由于 $\triangle ADF\sim\triangle ACF$，所以 $\dfrac{DF}{FC}=\dfrac{AD}{AC}$，即$\dfrac{DF}{a}=\dfrac{a}{2a}$，解得 $DF=\dfrac{a}{2}$。

已知$a$、$b$、$c$、$d$、$x$、$y$、$z$、$w$是互不相等的非零实数，且frac{a^2}{y^2+b^2x^2+b^2z^2+c^2y^2}=\frac{abcd}{c^2d^ 2a^2b^2c^2d^2}$$求$\frac{y^2c^2w^2+d^2z^2x^2ywz}{abcdxw}$的值。

解：将等式两边通分，化简得a^2c^2d^2x^2y^2z^2w^2=b^4c^2d^2x^2y^4z^2+b^4c^2d^2 x^2y^2z^4+a^2c^4d^2y^2z^2+b^2c^2d^4x^2w^2$$将等式两边分别除以$a^2c^2d^2x^2y^2z^2w^2$，得frac{b^4}{a^2}(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{z^2})+\frac{c^4}{a ^2}(\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2})+\frac{d^4}{c^2}(\frac{1}{x^2 }+\frac{1}{w^2})=1$$注意到等式左边是对称的，于是不妨设$\frac{b^2}{a}=p,\frac{c^2}{a}=q,\frac{d^2}{c}=r$，则原等式化为p^2(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{z^2})+q^2(\frac{1}{y^2}+\frac {1}{z^2})+r^2(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{w^2})=1$$再设$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{z^2}=m,\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}= n,\frac{1}{x^2}+\frac{1}{w^2}=k$，则有pm+qn+rk=1$$要求的值为frac{y^2c^2w^2+d^2z^2x^2ywz}{abcdxw}=\frac{d^2}{ac}\ cdot\frac{y^2}{xw}\cdot\frac{z^2}{xy}+\frac{c^2}{ad}\cdot\frac {z^2}{xy}\cdot\frac{w^2}{yz}+\frac{b^2}{cd}\cdot\frac{x^2}{y w}\cdot\frac{z^2}{xy}+\frac{b^2}{ac}\cdot\frac{x^2}{yw}\cdot\ frac{w^2}{yz}$$将$p,q,r$代入得frac{y^2c^2w^2+d^2z^2x^2ywz}{abcdxw}=\frac{d^2}{ac}\ cdot\frac{m}{k}+\frac{c^2}{ad}\cdot\frac{n}{k}+\frac{pb^2}{cd }\cdot\frac{m}{n}+\frac{qb^2}{ac}\cdot\frac{k}{n}$$ 将XXX代入得frac{y^2c^2w^2+d^2z^2x^2ywz}{abcdxw}=\frac{d^2m}{ac m+adn+cdk}+\frac{c^2n}{acm+adn+cdk}+\frac{pb^2m}{acm+ad n+cdk}+\frac{qb^2k}{acm+adn+cdk}$$frac{(d^2m+c^2n+pb^2m+qb^2k)x^2wy^2z^2wz}{abcdxw(a cm+adn+cdk)}$$由于$pm+qn+rk=1$，所以$mnk\neq 0$，故$\frac{y^2c^2w^2+d^2z^2x^2ywz}{abcdxw}=\frac{d^2m+c^2n+ pb^2m+qb^2k}{abcd(acm+adn+cdk)}$。

将$p,q,r$代回去，得frac{y^2c^2w^2+d^2z^2x^2ywz}{abcdxw}=\frac{d^2(\frac{ 1}{x^2}+\frac{1}{w^2})+c^2(\frac{1}{y^2}+\frac{1}{w^2})+b^ 2(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{z^2})+b^2(\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2 })}{abcd(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{w^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{ z^2})}$$frac{(b^2+c^2)\frac{1}{w^2}+(c^2+d^2)\frac{1}{z^2}+(b^2 +d^2)\frac{1}{y^2}+(b^2+d^2)\frac{1}{x^2}}{abcd(\frac{1}{x^2 }+\frac{1}{w^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2})}$$frac{(b^2+c^2)\frac{1}{w^2}+(c^2+d^2)\frac{1}{z^2}+(b^2 +d^2)\frac{1}{y^2}+(b^2+d^2)\frac{1}{x^2}}{(b+c)(c+d)(d+a)(a +b)}$$故所求的值为$\frac{(b^2+c^2)\frac{1}{w^2}+(c^2+d^2)\frac{1}{z^2}+(b^2+d ^2)\frac{1}{y^2}+(b^2+d^2)\frac{1}{x^2}}{(b+c)(c+d)(d+a)(a+b )}$。