债券的久期和债券的凸度
金融工程学-第六章久期与凸度
三、久期值的计算方法
1.列表法，这便是上文所有计算久期的方法。 2.封闭式久期计算法 3.有效久期计算法 计算公式
四、久期的性质及应用
1.久期的性质 久期的性质或特点有如下几条： （1）久期值与债券期限长度成正比。具体又有： ①债券期限越长，麦考莱久期和修正久期就越长； ②附息债券的麦考莱久期和修正久期均小于其到期时间，三者的关系是： D修＜D麦＜n ③零息债券的麦考莱久期等于债券本身的期限，修正久期小于债券期限。
四、资产组合的凸度
在利用凸度进行风险管理时，首先遇到的是计算资产组合的凸度，资产 组合的凸度定义为：资产组合的凸度等于资产组合中的各个证券凸度的 加权平均，权重是各个证券的价值。有时还用到资产的价值凸度，价值 凸度的定义为： 价值凸度=价格×凸度 资产组合的价值凸度定义为： 资产组合的价值凸度=资产组合的价格×资产组合的凸度
一、久期概述
（3）久期的一般表达式 由上所述，可得久期的一般表达式为：
一、久期概述
（4）久期概念的用途：久期可用来表示不可提前赎回债券面临的利率风 险。它考察债券价格对利率变动的敏感性的衡量指标，具体说，久期是 债券价格变化与债券到期收益率变化的比例系数。
一、久期概述
3.修正（Modified）久期 这是实际应用中经常使用的一种久期形式。它是由麦考莱久期衍生出来 的， 修正久期的定义为：
四、久期的性质及应用
（3）预测利率上涨，买入久期较短息票利率较高的债券，因为债券价格 下跌较少（因为快要到期时，价格向价值回归，没有下跌空间）。 （4）一个债券组合的久期为组合中各个债券久期的加权平均值，具体含 义看下一个内容。
五、资产组合的久期
1.一个资产组合的久期的标准定义是：资产组合的久期等于组成资产组合 的各个资产的久期的加权平均（这里的久期是指修正久期），权重是各 个资产的现值。与资产组合久期的定义相对应的是资产组合的收益率， 资产组合的收益率定义为：资产组合的收益率是资产组合的现金流的到 期收益率。
5.3债券久期和凸性计算
CHAPTER 05R语言与金融数据分析5.3债券久期和凸性计算5.3 债券久期和凸性的计算利率风险是债券投资者必须面对的日常风险。
所谓利率风险是指债券未来利率变动对债券价格的不利影响。
久期和凸性是债券衡量利率的两个重要工具。
•5.3.1债券久期的计算•5.3.2债券凸性的计算•货币久期•修正久期•麦考利久期麦氏久期是一个加权平均期限，其权重为现金流现值占总现值的比重。
可以通过如下步骤计算麦氏久期：步骤一：根据估值日债券的到期收益率，计算债券各期现金流的现值。
步骤二：计算各期现金流现值之和，即债券的现价（全价），记为P。
步骤三：计算权重，即每期现金流现值除以债券的现价，记权重为w1,w2,…, w n.步骤四：求t1,t2,…,t n的加权平均数，即为麦氏久期。
修正久期为债券的价格对到期收益率求一阶导数。
在数值上，修正久期可以通过麦氏久期除以(1+每期的到期收益率)来调整，即(5.1)ModD=MacD1+y/m修正久期衡量一定的利率变化下，债券价格的变化百分比，即∆P≈−ModD×∆y(5.2)P货币久期用来衡量一定的利率变化所带来的债券价格以货币来衡量的大小，即∆P≈MoneyD×∆y(5.3)货币久期等于修正久期乘以债券的现价，即MoneyD=ModD×P(5.4)我们使用三个在2010年5月28日交易的证券来介绍久期的概念，这三个证券分别是2017，半年付息一次；2010年9月到期的以十年年5月15日到期的美国联邦债券，其票面利率是412期美国联邦债券为标的的期货合约，其交易代码是TYU0；执行价为120的、标的资产为TYU0的看涨期权，其交易代码为TYU0C120。
通过表中利率水平之上和之下的价格变化来计算债券的久期，因此利率为2.77%时TYU0的久期为：D=−1119.7061(119.3338−120.078)2.82%−2.72%=6.217(5.5)同理可得TYU0C120的久期。
债券的久期和债券的凸度
一张T年期债券，t时刻的现金支付为Ct （1≤t≤T），与债券的风险程度相适应的收益 率为y。则债券的价格为
P
T t 1
Ct (1 y)t
（4-1）
债券久期为
Ct
D T t[ (1 y)t ]
t 1Biblioteka P（4-2）例、息票利率为8％和零息票两种债券。 表4-2给出了这两种债券久期的计算。结果 表明，零息票债券的久期就等于它的到期期 限，而息票债券的久期比它的到期期限短。
久期法则4：在其他因素都不变，债券的到 期收益率较低时，息票债券的久期较长。
久期法则5：无限期债券的久期为
1 y y
。
久期法则6：稳定年金的久期由下式给出：
1 y y
(1
T y)T
1
这里，T为支付次数，y是每个支付期的年 金收益率。
久期法则7：息票债券的久期等于
1 y
y
1 y c[(1
T y)T
表5-1 美国主要债券指数的资产组合
项目
莱曼兄弟指数
美林指数 所罗门指数
债券种数
6500种以上
5000种以上 5000种以上
上述债券的期限 不包括的债券
≥ 1年
垃圾债券、可转 换债券、鲜花债
券、浮息债券
≥ 1年
≥ 1年
垃圾债券、 垃圾债券、
可转换债券、 可转换债券、
鲜花债券
浮息债券
权重
市值
市值
市值
40 40 40 1040
38.095 36.281 34.553 855.611
4.2.2 利用久期测度利率敏感性
将式（4-1）看作P与1+y之间的函数， 可以有
dP
债券久期免疫方法与凸性
债券久期、免疫方法与凸性一、久期及其计算多年以来，专家们运用资产到期期限作为利率风险衡量指标。
例如，30年期固定利率债券比1年期债券更具有利率敏感性。
但是，人们已意识到期限只是提供的最后一笔现金流量的信息，并没有考虑到前期得到的现金流量（例如利息偿还）。
通过计算持续期（久期）就可以解决这个问题。
它是一个平均的到期期限，考虑了资产寿命早期所获得的现金流量因素。
有效持续期用公式表示则为：P y tC D nt t t ∑=+=1)1( 【例1】票面利率为10%，还有3年到期的债券。
价格为95.2，当前利率为12%。
求其持续期。
持续期=年728.22.9512.1110312.110212.110132=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯ 持续期是按照贴现现金流量的权重来加权的平均年数（1年、2年、3年）。
简单地说，持续期代表的是资产的平均到期期限。
在本例中，2.728年的持续期与3年比较接近，原因是在第3年得到一笔最大的现金流量110。
持续期与偿还期不是同一概念：偿还期是指金融工具的生命周期，即从其签订金融契约到契约终止的这段时间；持续期则反映了现金流量，比如利息的支付、部分本金的提前偿还等因素的时间价值。
对于那些分期付息的金融工具，其持续期对于那些分期付息的金融工具，其持续期总是短于偿还期。
持续期与偿还期呈正相关关系，即偿还期越长、持续期越长；持续期与现金流量呈负相关关系，偿还期内金融工具的现金流量越大，持续期越短。
二、债券价格对利率变动的敏感程度由金融工具的理论价格公式：∑=+=nt t t y C P 1)1( 两边对利率求导，可得出金融工具现值（理论价格）对利率变动的敏感程度：∑=++-=n t t t y tC dy dP 11)1(∑=++-=n t t t y tC y 1)1(11 两边同时乘以pdy 得∑=+⨯+-=n t t t y tC P dy y P dp 1)1(11=P y tC y dy nt t t ∑=+⨯+-1)1(1 =ydy D +∙-1 =-D *·dy其中D *即为修正久期相应地，修正久期D *=pd d y p1⨯-，即修正久期可以看成等于债券价格对收益率一阶导数的绝对值除以债券价格。
债券的久期、凸性
债券的久期、凸性久期和凸性是衡量债券利率风险的重要指标。
很多人把久期简单地视为债券的到期期限，其实是对久期的一种片面的理解，而对凸性的概念更是模糊。
在债券市场投资行为不断规范，利率风险逐渐显现的今天，如何用久期和凸性量化债券的利率风险成为业内日益关心的问题。
久期久期（也称持续期）是1938年由F.R.Macaulay提出的,用来衡量债券的到期时间。
它是以未来收益的现值为权数计算的到期时间。
其公式为其中,P=债券现值,Ct=每年支付的利息，y=到期收益率，n=到期期数,M=到期支付的面值。
可见久期是一个时间概念，是到期收益率的减函数，到期收益率越高，久期越小，债券的利率风险越小。
久期较准确地表达了债券的到期时间，但无法说明当利率发生变动时，债券价格的变动程度，因此引入了修正久期的概念。
修正久期修正久期是用来衡量债券价格对利率变化的敏感程度的指标。
由于债券的现值对P 求导并加以变形，得到：我们将的绝对值称作修正久期，它表示市场利率的变化引起的债券价格变动的幅度。
这样,不同现值的券种就可以用修正久期这个指标进行比较。
由公式1和公式2我们可以得到：在某一特定到期收益率下,P为常数,我们记作P0,即得到：由于P0是理论现值，为常数，因此，债券价格曲线 P与P /P 0有相同的形状。
由公式7, 在某一特定到期收益率下,P /P 0的斜率为修正久期，而债券价格曲线 P的斜率为P0 X（修正久期）。
稳定性。
修正久期越大，斜率的得绝对值越大,P对y的变动越敏感,y上升时引起的债券价格下降幅度越大，y下降时引起的债券价格上升幅度也越大。
可见，同等要素条件下，修正久期小的债券较修正久期大的债券抗利率上升风险能力强，但抗利率下降风险能力较弱。
但修正久期度量的是一种近似线性关系，这种近似线性关系使由修正久期计算得出的债券价格变动幅度存在误差。
如下图，对于债券B '，当收益率分别从y上升到y1或下降到y2, 由修正久期计算出来的债券价格变动分别存在P1 'P1"和P2 'P2"的误差。
债券久期与凸度的Matlab实现
案例分析：债券久期与凸度的Matlab实现一、计算公式（一）债券久期麦考利久期（Macaulay duration）是利用加权平均数的形式计算债券的平均到期时间。
它是债券在未来产生现金流的时间的jia全平均，其权重是各期现金值在债券价格中所占的比重。
普通债券的久期如下式所示：D=∑PV(c t)×t Tt=1P式中，D是麦考利久期；P是债券的当前市场价格；PV(c t)是债券未来第t期现金流（利息或面值）的现值；T是债券的到期时间。
（二）债券凸度由于债券价格与收益率之间的关系曲线存在凸向原点的非线性特征，当收益率大幅波动时，久期不能准确地描述债券价格对利率变动的敏感性。
为纠正久期的这种不足，引入凸度或凸性的概念。
与久期一样，凸度也是度量债券价格波动性的方法。
凸度越大，债券价格曲线弯曲程度越大，用修正久期度量债券的利率风险所产生的误差越大。
凸度的计算公式如下：d2p dy2=∑t(t+1)c t(1+y)t+2凸度的性质如下：第一，凸度随久期的增加而增加。
若收益率、久期不变，则票面利率越大，凸度越大。
利率下降时，凸度增加。
第二，对于没有隐含期权的债券来说，凸度总大于0，即利率下降，债券价格将以加速度上升；当利率上升时，债券价格以减速度下降。
第三，含有隐含期权的债券的凸度一般为负，即价格随着利率的下降以减速度上升，或债券的有效持续期随利率的下降而缩短，随利率的上升而延长。
二、Matlab实现（一）债券久期1、根据价格计算久期Matlab的Financial Toolbox提供了给定债券期限与价格计算久期的函数为bnddurp。
常用调用格式如下：[ModDuration, YearDuration] = bnddurp(Price, CouponRate, Settle, Maturity, Period, Basis)主要输入参数：➢Price：债券净价➢CouponRate：票面利率➢Settle：结算日➢Maturity：到期日➢Period：年付息次数，默认值为2，可选0、1、2、3、4、6、12。
久期及凸度
A、久期公式及其推导
P0 1 2CF3 TCFT 1 1 1CF1 (1 y) (1 y)2 (1 y)T P y P0 1 y 0
1CF1 2CF3 TCFT 1 1 T CFt 令 D 2 T (1 y) (1 y) (1 y) P0 P0 t 1 (1 y)t 我们称之为Macualay久期。从而我们有， P0 1 1 D y P0 1 y
显然，对贴现债券而言，其持续期就等于其到期 期限。因为贴现债券只有到期时才会发生现金流。 即，
CF1 CF2 CFT 1 0
B、是什么决定了久期？——久期定理
T CFt CFT P0 PV t (1 y) (1 y)T t 1 t 1 T
CFT 1 T 1 0 D t (1 y )t T (1 y)T T P t 1 0
步骤一：计算各期现金流的现值
步骤二：计算债券的内在价值或价值
步骤三：计算各期现金流现值占内在价值的比重；
步骤四：以比重为权重，以时间为乘数，计算全部 付款作为现值收回的加权平均时间。
例2-8
银行有一期限为两年的贷款，每年产生100元的 现金流量，贴现率为10%，求该贷款的持续期。
先求贷款的内在价值或现值：
如下例：假定收益率上升了200个基点，譬如 从9%上升到11%，那么利用公式我们得到债 券价格变动百分比近似值为：
P0 MDy 10.62*2% 21.24% P0
这显然与表1-2所列出的的结果-18.03相差甚 远。这样，我们就不得不寻找更为精确的刻画 债券价格波动的方法——凸度了。
P c c c .... 2 3 1 y (1 y ) (1 y )
债券价格波动和利率风险衡量方法——“久期”与“凸性”运用
$396,389.88
1,189,169.64
$527,594.93 0.683013455
$360,354.44
1,441,417.74
$527,594.93 0.620921323
$327,594.94
1,637,974.71
$2,637,974.65
-------
$2,000,000.00
5,620,251.57
(4) = (2)×(3)
现金流 的现值
(5)
现金流的现值 对债券市价的
比率(权重)
(6) = (5)×(1) 现金流的现值对 债券市价的比率 与现金流动所需
时间的乘积
1年
$80
0.9091
$72.73
0.076535648
0.076535648
2年
$80
0.8264
$66.12
0.069581689
....
(n)CFn (1r)n
n
PV(CFt )t
t1
P0
n
PV(CFt )
t1
对公式的解释
• 公式中的分母是利息和本金支付流的现值，即 债券的市场价格；而分子则是指：全部利息和 本金的现金流用相同的到期收益率(而不是使用 预期将来每一次支付发生时的即期利率)来进行 折现，然后，将所有经过折现后的现金流的现 值用作权重(weights)对各次支付所需要的时间 进行加权，最后再作加总
d P 2 .554 61 % 5 9 2 .585144% 6； 59814 P
$ 2 ,0,0 00 0 10 0 .0255 4 4 $ 1 ,6 9.5 4 99 8 .0 8。 8 6 01
“麦考莱久期”
债券到期收益率久期凸性公式
债券到期收益率久期凸性公式债券到期收益率（YTM）是指债券投资者持有一定期限的债券并将其持有至到期时所能获得的年化收益率。
久期（Duration）是衡量债券价格对利率变动的敏感程度的度量。
凸性（Convexity）是久期的补充度量，它衡量了债券价格的曲率，即在利率变动下债券价格与久期的相对变化。
本文将介绍债券到期收益率、久期和凸性之间的关系以及久期凸性公式的推导。
债券到期收益率是影响债券价格的重要因素之一，通常情况下，债券价格与到期收益率呈反向关系，即债券价格上升时到期收益率下降，反之亦然。
这是因为当到期收益率上升时，新发债券的利率更高，对于已发行的低息债券而言，其收益率相对较低，导致其价格下降，以提高其收益率与新债券相匹配。
久期是评估债券价格对利率变动敏感性的重要衡量指标。
久期越长，债券价格对利率变动的敏感性越高。
久期的计算公式如下：久期=Σ（PVt×t）/（P×ΔY）其中，PVt为债券每期现金流的现值，t为期数，P为债券的价格，ΔY为利率变动的大小。
然而，久期只能提供一阶段的价格变化信息，忽视了价格曲线的曲率问题。
凸性的引入填补了这一缺陷。
凸性是久期的补充度量，它衡量了债券价格的曲率，即在利率变动下债券价格与久期的相对变化。
凸性的计算公式如下：凸性=Σ（PVt×t×t）/（P×ΔY^2）债券价格的二阶泰勒展开式可以表示为：P(Y)≈P(0)+ΔY×P'(0)+0.5×ΔY^2×P''(0)其中，P(Y)是在到期收益率Y下的债券价格，P(0)是在当前到期收益率下的债券价格，P'(0)和P''(0)分别是在当前到期收益率下的债券价格对收益率的一阶导数和二阶导数。
通过以上公式，我们可以推导出久期和凸性之间的关系。
将债券价格的二阶泰勒展开式中的一阶导数代入久期的计算公式中，可以得到以下公式：久期≈-（1/P）×P'(0)≈-（1/P）×ΔP其中，ΔP是债券价格的变化。
债券久期与凸度的Matlab实现
案例分析：债券久期与凸度的Matlab实现一、计算公式（一）债券久期麦考利久期（Macaulay duration）是利用加权平均数的形式计算债券的平均到期时间。
它是债券在未来产生现金流的时间的jia全平均，其权重是各期现金值在债券价格中所占的比重。
普通债券的久期如下式所示：D=∑PV(c t)×t Tt=1P式中，D是麦考利久期；P是债券的当前市场价格；PV(c t)是债券未来第t期现金流（利息或面值）的现值；T是债券的到期时间。
（二）债券凸度由于债券价格与收益率之间的关系曲线存在凸向原点的非线性特征，当收益率大幅波动时，久期不能准确地描述债券价格对利率变动的敏感性。
为纠正久期的这种不足，引入凸度或凸性的概念。
与久期一样，凸度也是度量债券价格波动性的方法。
凸度越大，债券价格曲线弯曲程度越大，用修正久期度量债券的利率风险所产生的误差越大。
凸度的计算公式如下：d2p dy2=∑t(t+1)c t(1+y)t+2凸度的性质如下：第一，凸度随久期的增加而增加。
若收益率、久期不变，则票面利率越大，凸度越大。
利率下降时，凸度增加。
第二，对于没有隐含期权的债券来说，凸度总大于0，即利率下降，债券价格将以加速度上升；当利率上升时，债券价格以减速度下降。
第三，含有隐含期权的债券的凸度一般为负，即价格随着利率的下降以减速度上升，或债券的有效持续期随利率的下降而缩短，随利率的上升而延长。
二、Matlab实现（一）债券久期1、根据价格计算久期Matlab的Financial Toolbox提供了给定债券期限与价格计算久期的函数为bnddurp。
常用调用格式如下：[ModDuration, YearDuration] = bnddurp(Price, CouponRate, Settle, Maturity, Period, Basis)主要输入参数：➢Price：债券净价➢CouponRate：票面利率➢Settle：结算日➢Maturity：到期日➢Period：年付息次数，默认值为2，可选0、1、2、3、4、6、12。
第6章 (补充) 久期及凸度
3、久期的内涵
久期也可以解释为债券价格对利率变化的弹性， 这也是久期的本质（功能）所在。在数学上这种 本质借助于一阶偏导数关系体现。 根据债券定价模型：
CFt P0 V (1 y )t t 1
该式两边对利率y求偏导数得到：
T P0 CFt DP0 t t 1 y 1 y t 1 (1 y )
Maklkiel定理
长期债券的价格比短期债券的价格对利率变动 更敏感；
Maklkiel定理
随着期限的增加，债券价格对收益率或利率的 变动的敏感程度以一个下降的速率增加。换言 之，利率风险和债券的期限不成比例，而是滞 后于这个比例的变化（如，尽管债券“9%/25” 是”9%/5”到期时间的5倍，但是前者的利率敏 感性与后者的比值小于5）。
2CF3 TCFT 1 1CF1 (1 y) (1 y)2 (1 y)T 1 y
P0 V
t
A、久期公式及其推导
上式右边方括号内的部分表示了截止到期日时 债券现金流量的加权平均时间，权重是各期现 金流的现值占债券价格的比重。 该式也同样给了债券到期收益率变动所引起的 债券价格变化的近似值。将该式两边除以债券 价格，我们能够得到因到期收益率所引起的债 券价格变化的百分比的近似值。
且无限存续，故有，
1 D P0
CFt y tc 1 y t (1 y)t c (1 y)t y t 1 c
T
tc 1 y 2 c 注意其中， t y t 1 (1 y )
统一公债的市场价值
统一公债的现金流：C，C，C，„ „ 则统一公债的市场价值为：
100 100 P 173.55 2 (1 10%) (1 10%)
第五章 久期和凸度 《金融工程学》PPT课件
D麦 1 r
=
1 r
（5—14）
r
5.1久期
➢ 5.1.3久期值的计算方法
1）列表法，这便是上文所有计算久期的方法。
2）封闭式久期计算法
D麦=
C
(1
r)n 1 (1 r) r2(1 r)n
rn
F n (1 r)n
P
（5—15）
C表示息票额，F表示面值，r表示到期收益率，n表示债券剩余期限
付息次数，P表示债券价格
5.1久期
➢ 3）有效久期计算法
（1）有效久期是1996年弗兰克法波齐（Frank Fabovi）提出的。
（2）有效久期≈D修（条件：收益率发生很小变动，收益率曲线平
滑）。 （3）计算公式D有效=
P _ P P0(R R _)
（5—17）
其中，P指收益率下降x个基点债券价格，P+ 指收益率上升x个基点时
5.1久期
➢ 5.1.6风险免疫（risk immunization） ➢ 3）风险免疫策略
（1）有特定目标期限的风险免疫。 （2）资产负债管理的风险免疫。
➢ 4）风险免疫的本质
使资产组合的久期与负债组合的久期期限相等，从而使净资产值不 受利率变化的影响。
5.1久期
➢ 5.1.7基于久期的套期保值策略
D2
（5—21）
其中，W1表示第一份债券价值所占总价值的比例，W2表示第二份债券价值
所占总价值的比例
【例5—7】一个资产组合由B1和B2组成，它们的价格、收益率、久期分别 是：
P1=90，D1=0.58；P2=110，D2=1.76 DM=W1 D1＋W2 D2= ×0.58＋ ×1.76=0.261＋0.968=1.229
第6讲第4章 久期与凸度(2)
然而，从图4-1以及关于债券价格的利 率敏感性的6条法则可以看到，债券价格变 化的百分比与收益变化之间的关系并不是 线性的，这使得对于债券收益的较大变化， 利用久期对利率敏感性的测度将产生明显 的误差。图4-3表明了这一点。债券A和债 券B在初始处有相同的久期，相应的两条曲 线在这一点相切，同时也与久期法则预期 的价格变化百分比的直线相切于该点。这 说明，对于债券收益的微小变化，久期可 以给出利率敏感性的精确测度。但随着收 益变化程度的增加，对应于债券A和债券B 的两条曲线与久期近似直线之间的“间隔” 不断扩大，表明久期法则越来越不准确。
4.4 久期的衍生课题
• 4.4.1 修正的久期与美元久期
D ∂P D mac = = − P y ∂y 1+ m
mod
Ddol
∂P = = − Dmod × P ∂y
例 4.5 有1张3年期的零息债券，一年记一次利息，到期收益率为6 ％，面额100万元。现今市场由于银根宽松，所以到期收益率下降 10个基本点，则此债券的价格波动性比例为何？波动的金额又是 多少？
债券类别 票面利率％ 票面利率％ 到期日 面额 价格
A B C
7 7.5 6
1998.12.31 1999.12.31 1998.6.30
100000 100000 100000
99.561 100.562 98.815
4.4.3 浮动利率债券的久期
C1 + P 1 P= + = y y y 1+ 1+ 1+ 2 2 2 C1 P 1
4.5.5 凸度的近似计算
P+ − P0 P0 − P− − P+ − P0 − 2 P0 ∆y ∆y = ∆y (∆y ) 2
久期及凸度讲解
A、久期公式及其推导
P0 1 2CF3 TCFT 1 1 1CF1 2 y P0 1 y (1 y) (1 y) (1 y)T P0
1CF1 2CF3 TCFT 1 1 T CFt 令 D 2 T t (1 y ) (1 y ) (1 y ) P P (1 y ) 0 0 t 1 我们称之为Macualay久期。从而我们有， P0 1 1 D y P0 1 y
A、久期公式及其推导
CFt t T 1 (1 y )t D P P t 1 0 0 CFt t t (1 y ) t 1
T
t:债券产生现金流的各个时期； T：债券到期期限； y:债券的到期收益率，也即利率； CFt:债券在第t期产生的现金流； P0：债券的理论价格（均衡时等于市场价格），其中
Maklkiel定理
长期债券的价格比短期债券的价格对利率变动 更敏感；
Maklkiel定理
随着期限的增加，债券价格对收益率或利率的 变动的敏感程度以一个下降的速率增加。换言 之，利率风险和债券的期限不成比例，而是滞 后于这个比例的变化（如，尽管债券“9%/25” 是”9%/5”到期时间的5倍，但是前者的利率敏 感性与后者的比值小于5）。
P0 V
t
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2CF3 TCFT 1 1CF1 2 T 1 y (1 y) (1 y) (1 y)
A、久期公式及其推导
上式右边方括号内的部分表示了截止到期日时 债券现金流量的加权平均时间，权重是各期现 金流的现值占债券价格的比重。 该式也同样给了债券到期收益率变动所引起的 债券价格变化的近似值。将该式两边除以债券 价格，我们能够得到因到期收益率所引起的债 券价格变化的百分比的近似值。
金融学笔记久期与凸性衡量债券价格风险的常用指标
金融学笔记久期与凸性衡量债券价格风险的常用指标关于久期，一篇科普性质的文章可见：本文将稍显晦涩。
关于债券价格，首先明确，债券的价格是其产生的未来现金流按到期收益率贴现的现值。
我们认为市场中有利率期限结构（Term Structure of Interest Rates），它实际上是即期利率（Spot Rate）曲线，精确地说，是各种期限的无风险零息债券到期收益率所构成的曲线。
用C表示现金额，y表示利率期限结构中的到期收益率，则：到期收益率曲线非水平时：P=\sum_{t=1}^{n} \frac{C_{t}}{\left(1+y_{t}\right)^{t}}特殊地，到期收益率曲线水平时：P=\sum_{t=1}^{n} \frac{C_{t}}{(1+y)^{t}}久期在讨论久期和凸性时，我们始终关心的是利率变动和价格之间的关系。
如果到期收益率有一个微小的变化，债券价格的变化应该是债券价格的全导数：\operatorname d P=\sum_{t=1}^{n} \frac{-t \cdotC_{t}}{\left(1+y_{t}\right)^{t+1}}\; \operatorname d y_{t}旨在建立实用的久期概念，我们不做严格的数学推导，而因此做一系列近似。
我们假设到期收益率曲线在变化时平行移动，并且提出一个近似的共同因子，便有：\begin{aligned} \operatorname d P&=\sum_{t=1}^{n} \frac{-t \cdot C_{t}}{\left(1+y_{t}\right)^{t+1}}\; \operatorname dy_{t}\\&\appro-\frac{1}{1+y} \sum_{t=1}^{n} \frac{t \cdotC_{t}}{\left(1+y_{t}\right)^{t}} \; \operatorname d y\end{aligned}有时我们用V(C_t)表示一笔现金的现值，用d_t表示折现因子，上式也可以写成：\begin{aligned} \operatorname d P&=-\frac{1}{1+y}\sum_{t=1}^{n} t \cdot V(C_t) \; \operatorname d y\\ &=-\frac{1}{1+y} \sum_{t=1}^{n} t \cdot d_tC_t \; \operatorname d y \end{aligned}出于我们的目的，自然是要考察 {\operatorname dP/P\over\operatorname dy} ，这刻画了市场利率变化时债券价格的变化程度。
债券的久期和凸性
凸性是指在某一到期收益率下,到期收益率发 生变动而引起的价格变动幅度的变动程度。
精选ppt
29
债券的凸性
凸性的性质
1. 现金流越集中凸性越小，现金流越分散则凸性 越大。
D
1 p
T t 1
tct (1 y)t
T t 1
t
[
(1
Ct y)t
/
T t 1
(1
Ct y
)t
]
[ 1 0 2 0 ... TCT ] / CT
(1 y) (1 y)2
(1 y)T (1 y)t
T
精选ppt
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债券的久期
定理2：息票债券的Macaulay久期小于它们的到期
凸性是根据债券价格p对收益率y的二阶导数给出的，其 金融学意义比较难以理解，其中一种解释把凸性看成久期 对利率的敏感度，这是错误的。
dD dy
d(dp/ dy
dy
p)
[p(ddy2p2 p)2 (ddpy)2]
D2－c
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债券的凸性
凸性的金融学含义
由定理6可知
dD
1
T
{
t2ct(1y)t D2}
F (1 i)n2
F (1 i)n1
PVn,n2 PVn,n1 1 1 PVn,n1 PVn 1 i
精选ppt
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债券的久期
久期以递减的速度随到期时间的增加而增加。其原因是： 本金是最大数量的现金流，它受市场利率的影响最大。
当期限增加时，本金不断后移，其现值占总现值的比重 变小，重要性程度下降。所以，债券价格受利率影响虽然加 大，但增速递减。
第二讲 久期与凸度
（2）修正久期（D*） ）修正久期（ ）
修正久期是用来衡量债券价格对利率变化的敏感程度的 指标。 指标。 公式： 公式： D * (修正久期) = DM 1 +（公式 ） i 公式2-5） 这里i指利率 指利率。 这里 指利率。
（3）美元久期（D**） ）美元久期（ ）
D**=D* × PB 公式2-6） （公式 ） 其中： 指债券现行价格 指债券现行价格。 其中：PB指债券现行价格。 △PB=-D*PB△i △PB≈DMPB△i 这里： 指债券的价格变动， 指预期利率的变动 指预期利率的变动。 这里：△PB指债券的价格变动，△i指预期利率的变动。 这个公式告诉我们， 这个公式告诉我们，债券价格的变动与预期利率的变动方 向是反向的，而修正久期正好相当于一个放大因子。 向是反向的，而修正久期正好相当于一个放大因子。
第二讲 久期和凸度
吴义能
第一节 久期
1. 久期的概念
久期(也称持续期) 用来衡量债券的到期时间。它 久期(也称持续期) 用来衡量债券的到期时间。
是以未来收益的现值为权数计算的到期时间。 是以未来收益的现值为权数计算的到期时间。 久期是指收益率变化1％所引起的债券全价变化的 久期是指收益率变化1 百分比。即久期用来衡量债券价格对利率/ 百分比。即久期用来衡量债券价格对利率/收益率 变化的敏感性。 变化的敏感性。其实就是价格相对于收益率的一阶 导数。 导数。
王鑫 07级王鑫说： 07级王鑫说：利率 级王鑫说 上升风险是债券价 格下降的风险， 格下降的风险，这 时,修正久期小的 债券下降就小所以 修正久期小的债券 较修正久期大的债 券抗利率上升风险 能力强。 能力强。
例2：已知某种债券当前的市场价格为 已知某种债券当前的市场价格为125美元， 美元， 已知某种债券当前的市场价格为 美元 当前的市场年利率为5%，债券的久期为4.6年 当前的市场年利率为 ，债券的久期为 年， 如果市场利率上升40个基点 个基点， 求：如果市场利率上升 个基点，债券的市场价 格将发生怎样的市场变化？ 格将发生怎样的市场变化？ 解：PB=125, i=5%, DM=4.6年， △i=+0.004 年 所以△ 所以△PB≈DMPB△i=-4.6 × 125 × 0.004 = △ 2.19美元。 美元。 美元 即债券的价格将要下降2.19美元。 美元。 即债券的价格将要下降 美元
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8.00
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10.00 61.39 23.14 5.35 92.28 84.63 81.07 100.00 100.00 100.00
到期收益率（％）
9.00
8.00
64.39 67.56
26.70 30.83
7.13
9.51
96.04 100.00
上述6条法则中的后面4条指出了影响 利率敏感性的三个主要因素，即到期期限、 息票利率和到期收益率。从表4-1中的数 据可以看出这三个因素是如何影响利率敏 感性的。同时，第1条和第2条法则也能够 由表中的数据得到体现。
表4-1 9种债券的价格
息票利率 到期期限 （％） （年）
0.00
5
0.00
15
0.00
5）债券的息票利率越高/低，由收益变动 引起的价格变动的百分比越小/大。也就是说， 息票利率较高的债券，其价格的利率敏感性低 于息票利率较低的债券。
6）当债券的初始到期收益率较低时，价 格的利率敏感性较高。
图4-1中四种债券的收益-价格关系曲线可 以说明上述6条法则。
4.1.2 影响利率敏感性的因素
第4章 久期与凸度
4.1 债券价格的利率敏感性 4.2 债券的久期 4.3 债券的凸度
4.1 债券价格的利率敏感性
思考：如何从经济学意义上解释债券价格与 收益之间存在反向变动关系？
4.1.1 债券定价法则
关于债券价格的利率敏感性，以下6条 法则已经得到证明：
1）债券价格与收益呈反向变动关系：当 收益上升时，债券价格下降；当收益下降时， 债券价格上升。
一张T年期债券，t时刻的现金支付为Ct （1≤t≤T），与债券的风险程度相适应的收益 率为y。则债券的价格为
P
T t 1
Ct (1 y)t
（4-1）
债券久期为
Ct
D T t[ (1 y)t ]
t 1
P
（4-2）
例、息票利率为8％和零息票两种债券。 表4-2给出了这两种债券久期的计算。结果 表明，零息票债券的久期就等于它的到期期 限，而息票债券的久期比它的到期期限短。
思考：结合上例，如何来理解久期与到期期 限的区别？
表4-2 两种债券的久期计算
名称
(1)
(2)
(3)
至支付 支付/元 半年5%
的时间/
折现支付/
年
元
(4) 权重
(5) (1)×(
4)
债券A 8％债券 0.0395
0.0376
0.0358
0.5 0.0198
1.0 0.0376
1.5 0.0537
2.0
例如，图4-3中的债券A为30年期、8％息 票利率、初始到期收益率8％的债券，可知其 初始修正久期为11.26年。所以，当收益上升 1个基点时，债券价格将下跌11.26×0.0001＝ 0.001126，即0.1126％。也就是说，根据修正 久期，可以估计债券价格将跌至998.874元。 而根据式（2-1）可以计算出此时的价格为 998.875元。
91.86 100.00
89.68 100.00
103.96 108.11
108.14 117.29
110.32 122.62
7.00 70.89 35.63 12.69 104.16 109.20 112.47 112.47 127.57 137.42
4.2 债券的久期
4.2.1 久期的含义
久期也称为麦考利期限，或有效期限， 它是债券的每次息票利息或本金支付时间的 加权平均，权重则是每一时点的现金流的现 值在总现值（即债券价格）中所占的比例。
久期法则4：在其他因素都不变，债券的到 期收益率较低时，息票债券的久期较长。
久期法则5：无限期债券的久期为
1 y y
。
久期法则6：稳定年金的久期由下式给出：
1 y y
(1
பைடு நூலகம்
T y)T
1
这里，T为支付次数，y是每个支付期的年 金收益率。
久期法则7：息票债券的久期等于
1 y
y
1 y c[(1
T y)T
令D*=D/(1+y)，Δ(1+y)=Δy，式（4-3）可 以写为
P D * y P
（4-3’）
通常定义D*=D/(1+y)为“修正久期”。式 （4-3’）表明，债券价格变化的百分比恰好 等于修正久期与债券到期收益率变化的乘积。 因此，修正久期可以用来测度债券在利率变 化时的风险暴露程度。
思考：在上面的例子中，2年期息票债券的久 期为1.8853年。如果有期限为1.8853年的一张 零息票债券，两者的利率敏感性是否相同？
40 40 40 1040
38.095 36.281 34.553 855.611
4.2.2 利用久期测度利率敏感性
将式（4-1）看作P与1+y之间的函数， 可以有
dP
d (1 y)
T
t 1
tCt (1 y)t1
1 1 y
PD
对于P和1+y的微小变化，有
P D (1 y)
P
1 y
（4-3）
这表明，债券价格的利率敏感性与久 期成比例。
2）债券收益变化引起的价格变化具有不 对称性，即由收益上升引起的价格下降幅度 低于由收益的等规模（相同的基本点）下降 引起的价格上升的幅度。
3）长期债券比短期债券具有更强的利率 敏感性，即对于等规模的收益变动，长期债券 价格的变动幅度大于短期债券。
4）当到期期限增加时，价格对收益变化 的敏感性以一下降的比率增加，即债券价格的 利率敏感性的增加低于相应的债券期限的增加。
然而，从图4-1以及关于债券价格的利 率敏感性的6条法则可以看到，债券价格变 化的百分比与收益变化之间的关系并不是
4.2.3 什么决定久期
影响利率敏感性的因素包括到期期限、 息票利率和到期收益率。以下的8个法则归 纳了久期与这三个因素之间的关系。图4-2 表明了这些法则。
久期法则1：零息票债券的久期等于它 的到期时间。
久期法则2：到期日相同时，债券的久 期随着息票利率的降低而延长。
久期法则3：当息票利率相同时，债券 的久期通常随着债券到期期限的增加而增 加，但久期的增加速度慢于到期期限的增 加速度。
(c 1]
y) y
这里，c为每个支付期的息票利率，T 为支付次数，y是每个支付期的年金收益率。
久期法则8：当息票债券以面值出售时， 法则7可简化为
1 y
y
[1
1 (1 y)T
]
4.3 债券的凸度
4.3.1 久期的局限性
根据式（4-3’），债券价格变化的百分 比作为到期收益率变化的函数，其图形是一 条斜率为-D*的直线。因此，当债券收益变化 时，可以这条直线对新产生的价格进行估计。