债券的久期和债券的凸度
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第4章 久期与凸度
4.1 债券价格的利率敏感性 4.2 债券的久期 4.3 债券的凸度
4.1 债券价格的利率敏感性
思考：如何从经济学意义上解释债券价格与 收益之间存在反向变动关系？
4.1.1 债券定价法则
关于债券价格的利率敏感性，以下6条 法则已经得到证明：
1）债券价格与收益呈反向变动关系：当 收益上升时，债券价格下降；当收益下降时， 债券价格上升。
91.86 100.00
89.68 100.00
103.96 108.11
108.14 117.29
110.32 122.62
7.00 70.89 35.63 12.69 104.16 109.20 112.47 112.47 127.57 137.42
4.2 债券的久期
4.2.1 久期的含义
久期也称为麦考利期限，或有效期限， 它是债券的每次息票利息或本金支付时间的 加权平均，权重则是每一时点的现金流的现 值在总现值（即债券价格）中所占的比例。
30
8.00
5
8.00
15
8.00
30
10.00
5
10.00
15
10.00
30
10.00 61.39 23.14 5.35 92.28 84.63 81.07 100.00 100.00 100.00
到期收益率（％）
9.00
8.00
64.39 67.56
26.70 30.83
7.13
9.51
96.04 100.00
2）债券收益变化引起的价格变化具有不 对称性，即由收益上升引起的价格下降幅度 低于由收益的等规模（相同的基本点）下降 引起的价格上升的幅度。
3）长期债券比短期债券具有更强的利率 敏感性，即对于等规模的收益变动，长期债券 价格的变动幅度大于短期债券。
4）当到期期限增加时，价格对收益变化 的敏感性以一下降的比率增加，即债券价格的 利率敏感性的增加低于相应的债券期限的增加。
然而，从图4-1以及关于债券价格的利 率敏感性的6条法则可以看到，债券价格变 化的百分比与收益变化之间的关系并不是
(c 1]
y) y
这里，c为每个支付期的息票利率，T 为支付次数，y是每个支付期的年金收益率。
久期法则8：当息票债券以面值出售时， 法则7可简化为
1 y
y
[1
1 (1 y)T
]
4.3 债券的凸度
4.3.1 久期的局限性
根据式（4-3’），债券价格变化的百分 比作为到期收益率变化的函数，其图形是一 条斜率为-D*的直线。因此，当债券收益变化 时，可以这条直线对新产生的价格进行估计。
5）债券的息票利率越高/低，由收益变动 引起的价格变动的百分比越小/大。也就是说， 息票利率较高的债券，其价格的利率敏感性低 于息票利率较低的债券。
6）当债券的初始到期收益率较低时，价 格的利率敏感性较高。
图4-1中四种债券的收益-价格关系曲线可 以说明上述6条法则。
4.1.2 影响利率敏感性的因素
令D*=D/(1+y)，Δ(1+y)=Δy，式（4-3）可 以写为
P D * y P
（4-3’）
通常定义D*=D/(1+y)为“修正久期”。式 （4-3’）表明，债券价格变化的百分比恰好 等于修正久期与债券到期收益率变化的乘积。 因此，修正久期可以用来测度债券在利率变 化时的风险暴露程度。
思考：在上面的例子中，2年期息票债券的久 期为1.8853年。如果有期限为1.8853年的一张 零息票债券，两者的利率敏感性是否相同？
思考：结合上例，如何来理解久期与到期期 限的区别？
表4-2 两种债券的久期计算
名称
(1)
(2)
(3)
至支付 支付/元 半年5%
的时间/
折现支付/
年
元
(4) 权重
(5) (1)×(
4)
债券A 8％债券 0.0395
0.0376
0.0358
0.5 0.0198
1.0 0.0376
1.5 0.0537
2.0
上述6条法则中的后面4条指出了影响 利率敏感性的三个主要因素，即到期期限、 息票利率和到期收益率。从表4-1中的数 据可以看出这三个因素是如何影响利率敏 感性的。同时，第1条和第2条法则也能够 由表中的数据得到体现。
表4-1 9种债券的价格
息票利率 到期期限 （％） （年）
0.00
5
0.00
15
0.00
例如，图4-3中的债券A为30年期、8％息 票利率、初始到期收益率8％的债券，可知其 初始修正久期为11.26年。所以，当收益上升 1个基点时，债券价格将下跌11.26×0.0001＝ 0.001126，即0.1126％。也就是说，根据修正 久期，可以估计债券价格将跌至998.874元。 而根据式（2-1）可以计算出此时的价格为 998.875元。
40 40 40 1040
38.095 36.281 34.553 855.611
4.2.2 利用久期测度利率敏感性
将式（4-1）看作P与1+y之间的函数， 可以有
dP
d (1 y)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
T
t 1
tCt (1 y)t1
1 1 y
PD
对于P和1+y的微小变化，有
P D (1 y)
P
1 y
（4-3）
这表明，债券价格的利率敏感性与久 期成比例。
4.2.3 什么决定久期
影响利率敏感性的因素包括到期期限、 息票利率和到期收益率。以下的8个法则归 纳了久期与这三个因素之间的关系。图4-2 表明了这些法则。
久期法则1：零息票债券的久期等于它 的到期时间。
久期法则2：到期日相同时，债券的久 期随着息票利率的降低而延长。
久期法则3：当息票利率相同时，债券 的久期通常随着债券到期期限的增加而增 加，但久期的增加速度慢于到期期限的增 加速度。
一张T年期债券，t时刻的现金支付为Ct （1≤t≤T），与债券的风险程度相适应的收益 率为y。则债券的价格为
P
T t 1
Ct (1 y)t
（4-1）
债券久期为
Ct
D T t[ (1 y)t ]
t 1
P
（4-2）
例、息票利率为8％和零息票两种债券。 表4-2给出了这两种债券久期的计算。结果 表明，零息票债券的久期就等于它的到期期 限，而息票债券的久期比它的到期期限短。
久期法则4：在其他因素都不变，债券的到 期收益率较低时，息票债券的久期较长。
久期法则5：无限期债券的久期为
1 y y
。
久期法则6：稳定年金的久期由下式给出：
1 y y
(1
T y)T
1
这里，T为支付次数，y是每个支付期的年 金收益率。
久期法则7：息票债券的久期等于
1 y
y
1 y c[(1
T y)T
4.1 债券价格的利率敏感性 4.2 债券的久期 4.3 债券的凸度
4.1 债券价格的利率敏感性
思考：如何从经济学意义上解释债券价格与 收益之间存在反向变动关系？
4.1.1 债券定价法则
关于债券价格的利率敏感性，以下6条 法则已经得到证明：
1）债券价格与收益呈反向变动关系：当 收益上升时，债券价格下降；当收益下降时， 债券价格上升。
91.86 100.00
89.68 100.00
103.96 108.11
108.14 117.29
110.32 122.62
7.00 70.89 35.63 12.69 104.16 109.20 112.47 112.47 127.57 137.42
4.2 债券的久期
4.2.1 久期的含义
久期也称为麦考利期限，或有效期限， 它是债券的每次息票利息或本金支付时间的 加权平均，权重则是每一时点的现金流的现 值在总现值（即债券价格）中所占的比例。
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8.00
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8.00
15
8.00
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10.00
5
10.00
15
10.00
30
10.00 61.39 23.14 5.35 92.28 84.63 81.07 100.00 100.00 100.00
到期收益率（％）
9.00
8.00
64.39 67.56
26.70 30.83
7.13
9.51
96.04 100.00
2）债券收益变化引起的价格变化具有不 对称性，即由收益上升引起的价格下降幅度 低于由收益的等规模（相同的基本点）下降 引起的价格上升的幅度。
3）长期债券比短期债券具有更强的利率 敏感性，即对于等规模的收益变动，长期债券 价格的变动幅度大于短期债券。
4）当到期期限增加时，价格对收益变化 的敏感性以一下降的比率增加，即债券价格的 利率敏感性的增加低于相应的债券期限的增加。
然而，从图4-1以及关于债券价格的利 率敏感性的6条法则可以看到，债券价格变 化的百分比与收益变化之间的关系并不是
(c 1]
y) y
这里，c为每个支付期的息票利率，T 为支付次数，y是每个支付期的年金收益率。
久期法则8：当息票债券以面值出售时， 法则7可简化为
1 y
y
[1
1 (1 y)T
]
4.3 债券的凸度
4.3.1 久期的局限性
根据式（4-3’），债券价格变化的百分 比作为到期收益率变化的函数，其图形是一 条斜率为-D*的直线。因此，当债券收益变化 时，可以这条直线对新产生的价格进行估计。
5）债券的息票利率越高/低，由收益变动 引起的价格变动的百分比越小/大。也就是说， 息票利率较高的债券，其价格的利率敏感性低 于息票利率较低的债券。
6）当债券的初始到期收益率较低时，价 格的利率敏感性较高。
图4-1中四种债券的收益-价格关系曲线可 以说明上述6条法则。
4.1.2 影响利率敏感性的因素
令D*=D/(1+y)，Δ(1+y)=Δy，式（4-3）可 以写为
P D * y P
（4-3’）
通常定义D*=D/(1+y)为“修正久期”。式 （4-3’）表明，债券价格变化的百分比恰好 等于修正久期与债券到期收益率变化的乘积。 因此，修正久期可以用来测度债券在利率变 化时的风险暴露程度。
思考：在上面的例子中，2年期息票债券的久 期为1.8853年。如果有期限为1.8853年的一张 零息票债券，两者的利率敏感性是否相同？
思考：结合上例，如何来理解久期与到期期 限的区别？
表4-2 两种债券的久期计算
名称
(1)
(2)
(3)
至支付 支付/元 半年5%
的时间/
折现支付/
年
元
(4) 权重
(5) (1)×(
4)
债券A 8％债券 0.0395
0.0376
0.0358
0.5 0.0198
1.0 0.0376
1.5 0.0537
2.0
上述6条法则中的后面4条指出了影响 利率敏感性的三个主要因素，即到期期限、 息票利率和到期收益率。从表4-1中的数 据可以看出这三个因素是如何影响利率敏 感性的。同时，第1条和第2条法则也能够 由表中的数据得到体现。
表4-1 9种债券的价格
息票利率 到期期限 （％） （年）
0.00
5
0.00
15
0.00
例如，图4-3中的债券A为30年期、8％息 票利率、初始到期收益率8％的债券，可知其 初始修正久期为11.26年。所以，当收益上升 1个基点时，债券价格将下跌11.26×0.0001＝ 0.001126，即0.1126％。也就是说，根据修正 久期，可以估计债券价格将跌至998.874元。 而根据式（2-1）可以计算出此时的价格为 998.875元。
40 40 40 1040
38.095 36.281 34.553 855.611
4.2.2 利用久期测度利率敏感性
将式（4-1）看作P与1+y之间的函数， 可以有
dP
d (1 y)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
T
t 1
tCt (1 y)t1
1 1 y
PD
对于P和1+y的微小变化，有
P D (1 y)
P
1 y
（4-3）
这表明，债券价格的利率敏感性与久 期成比例。
4.2.3 什么决定久期
影响利率敏感性的因素包括到期期限、 息票利率和到期收益率。以下的8个法则归 纳了久期与这三个因素之间的关系。图4-2 表明了这些法则。
久期法则1：零息票债券的久期等于它 的到期时间。
久期法则2：到期日相同时，债券的久 期随着息票利率的降低而延长。
久期法则3：当息票利率相同时，债券 的久期通常随着债券到期期限的增加而增 加，但久期的增加速度慢于到期期限的增 加速度。
一张T年期债券，t时刻的现金支付为Ct （1≤t≤T），与债券的风险程度相适应的收益 率为y。则债券的价格为
P
T t 1
Ct (1 y)t
（4-1）
债券久期为
Ct
D T t[ (1 y)t ]
t 1
P
（4-2）
例、息票利率为8％和零息票两种债券。 表4-2给出了这两种债券久期的计算。结果 表明，零息票债券的久期就等于它的到期期 限，而息票债券的久期比它的到期期限短。
久期法则4：在其他因素都不变，债券的到 期收益率较低时，息票债券的久期较长。
久期法则5：无限期债券的久期为
1 y y
。
久期法则6：稳定年金的久期由下式给出：
1 y y
(1
T y)T
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这里，T为支付次数，y是每个支付期的年 金收益率。
久期法则7：息票债券的久期等于
1 y
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T y)T