金融市场 附录3 债券的久期与凸性.ppt
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债券的价格波动性与久期PPT课件
二、久期
收益率（%） 4.00 5.00 5.50 5.90 5.99 6.00 价格 （元） 168.3887 150.2056 142.1367 136.1193 134.8159 134.6722 收益率（%） 6.01 6.10 6.50 7.00 8.00 价格 （元） 134.5287 133.2472 127.7605 121.3551 109.8964
息票率6% 息票率9%
5
4
3
2
1
0
￥113.00
￥108.00
￥103.00 ￥98.00 ￥93.00 ￥88.00
息票率6% 息票率9% 息票率12%
5
4
3
2
1
0
（一）马奇尔债券定价规律
（3）如果一种债券的收益率在整个有效 期内不变，则其折价或溢价减少的速 度将随着到期日的临近而逐渐加快。
例2*： 5年期，息票率为6%，面值 为100元，预期收益率为9%
收益率 7% 8% 债券A 价格 100.00 -3.993% 96.01 103.99 变化幅度 债券B 价格 108.20 -3.889% 变化幅度
二、久期
• 久期，又称持续期，是衡量债券价值 对利率变动敏感性的近似指标。 • 更准确的说，久期是对于利率变动正久期的定义。
1000 10% D 1 1 1 1 1000 10% 2 1100 3 2 3 1 0.09 1 0.09 1 0.09 1025.33
=2.74年
• 例7：假设有一种6年期的零息债券， 面额100元，收益率为8%，此债券的久 期为？ • 解：
二、久期
（一）久期的计算 • 例5 该债券的修正久期是10.66，即 利率变动100个基点，这只债券的价格 大约变动10.66%。
久期与债券价格波动ppt课件
例1:附息票债券内在价值的计算
❖ 01三峡债(120102 )面值为100元,发行时期限为15 年,息票率5.21%,每年付息一次.若投资者要求的 收益率为5%,求该债券的内在价值.
❖ 解:
15 .2 5% 1(1 5.52% 12)(110 5% .2511)5
10.128
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8
例2:零息票债券内在价值的计算
p0
ct (1YTM)t
❖ 上例李四的到期收益率为:
1Y5TM (1Y5T)M 2(11Y0T5)M 3 102
YTM 4.28 %
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16
运用到期收益率时假设
❖ 1.利息本金能准时足额获得 ；
❖ 2.投资者买入债券后一直持 有到期；
❖ 3.所得利息的再投资收益等 于YTM。
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17
课堂练习:到期收益率的计算
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19
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20
❖ 简称″03＇上海轨道债″ ❖ 发行总额：人民币40亿元。 ❖ 发行价格：平价发行,以1000元人民币为一个认购单位 ❖ 债券期限：15年（2003年2月19日～2018年2月19日）。 ❖ 债券利率：固定利率,票面年利率4.51%。 ❖ 还本付息方式：每年付息一次,最后一期利息随本金一并支
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6
内在价值的计算：现金流贴现模型(DCF)
❖ 无论是买入-持有模式（buy-and-hold）还是到期 前卖出模式,债券估价公式相同。
IV1c1r1(1r1c)21(r2)IV (1r1)1(cnr2)p n (1rn) IV c1 c2 cnpn
1r (1r)2 (1r)n
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7
Ch05 债券价值分析
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债券的久期和债券的凸度
一张T年期债券，t时刻的现金支付为Ct （1≤t≤T），与债券的风险程度相适应的收益 率为y。则债券的价格为
P
T t 1
Ct (1 y)t
（4-1）
债券久期为
Ct
D T t[ (1 y)t ]
t 1Biblioteka P（4-2）例、息票利率为8％和零息票两种债券。 表4-2给出了这两种债券久期的计算。结果 表明，零息票债券的久期就等于它的到期期 限，而息票债券的久期比它的到期期限短。
久期法则4：在其他因素都不变，债券的到 期收益率较低时，息票债券的久期较长。
久期法则5：无限期债券的久期为
1 y y
。
久期法则6：稳定年金的久期由下式给出：
1 y y
(1
T y)T
1
这里，T为支付次数，y是每个支付期的年 金收益率。
久期法则7：息票债券的久期等于
1 y
y
1 y c[(1
T y)T
表5-1 美国主要债券指数的资产组合
项目
莱曼兄弟指数
美林指数 所罗门指数
债券种数
6500种以上
5000种以上 5000种以上
上述债券的期限 不包括的债券
≥ 1年
垃圾债券、可转 换债券、鲜花债
券、浮息债券
≥ 1年
≥ 1年
垃圾债券、 垃圾债券、
可转换债券、 可转换债券、
鲜花债券
浮息债券
权重
市值
市值
市值
40 40 40 1040
38.095 36.281 34.553 855.611
4.2.2 利用久期测度利率敏感性
将式（4-1）看作P与1+y之间的函数， 可以有
dP
久期与凸性
√ 5年期票面利率为9%的债券； √ 25年期票面利率为9%的债券； √ 5年期票面利率为6%的债券； √ 25年期票面利率为6%的债券； √ 5年期的零息债券； √ 25年期的零息债券；
表1-1 6只假想债券的(价格——收益率)关系
表1-2 6只假想债券价格变动百分比 单位：%
Maklkiel定理
渐下降。
Maklkiel定理
利率的微小波动所导致的债券价格的波动幅度大致相 同；但收益率波动较大时，债券价格在收益率上升时 的变动幅度与在收益率下降时的变动幅度不同；给定 某一基点，在利率大幅度变动条件下，债券价格上升 的百分比大于价格下降的百分比；
Maklkiel定理
长期债券的价格比短期债券的价格对利率变动 更敏感；
T t 1
CFt (1 y)t
我们称之为Macualay久期。从而我们有，
P0 1 1 D y P0 1 y
进一步地，我们令 MD 1 D 表示修正久期，那么有 1 y
P0 1 MD y P0
A、久期公式及其推导
由此，我们可以得到债券价格变动的近似百分
比为： P0 MDy P0
t 1
P0
1 P0
T t 1
t
CFt (1 y)t
t:债券产生现金流的各个时期；
T：债券到期期限；
y:债券的到期收益率，也即利率；
CFt:债券在第t期产生的现金流； P0：债券的理论价格（均衡时等于市场价格），其中
P0
V
T t 1
CFt (1 y)t
A、久期公式及其推导
久期的基本作用在于近似地衡量于1；
B、是什么决定了久期？——久期定理
③统一公债的Macaulay久期等于（1+y/y）；
表1-1 6只假想债券的(价格——收益率)关系
表1-2 6只假想债券价格变动百分比 单位：%
Maklkiel定理
渐下降。
Maklkiel定理
利率的微小波动所导致的债券价格的波动幅度大致相 同；但收益率波动较大时，债券价格在收益率上升时 的变动幅度与在收益率下降时的变动幅度不同；给定 某一基点，在利率大幅度变动条件下，债券价格上升 的百分比大于价格下降的百分比；
Maklkiel定理
长期债券的价格比短期债券的价格对利率变动 更敏感；
T t 1
CFt (1 y)t
我们称之为Macualay久期。从而我们有，
P0 1 1 D y P0 1 y
进一步地，我们令 MD 1 D 表示修正久期，那么有 1 y
P0 1 MD y P0
A、久期公式及其推导
由此，我们可以得到债券价格变动的近似百分
比为： P0 MDy P0
t 1
P0
1 P0
T t 1
t
CFt (1 y)t
t:债券产生现金流的各个时期；
T：债券到期期限；
y:债券的到期收益率，也即利率；
CFt:债券在第t期产生的现金流； P0：债券的理论价格（均衡时等于市场价格），其中
P0
V
T t 1
CFt (1 y)t
A、久期公式及其推导
久期的基本作用在于近似地衡量于1；
B、是什么决定了久期？——久期定理
③统一公债的Macaulay久期等于（1+y/y）；
久期和凸性
精品资料
二、久期、息票(xī piào)率和到期收益率
下表给出了三种(sān zhǒnɡ)不同的到期收益率和 四种不同息票率条件下，五种不同到期期限的债券 的久期变化。
精品资料
到期期限
1 5 10 15 20
1 5 10 15 20
1 5 10 15 20
6％
0.93 4.05 6.61 7.96 8.53
精品资料
债券(zhàiquàn)久期的计算公式为：
d
1
C1 (1 k
)
2
C2 (1 k)2
3
C3 (1 k)3
... t
(Cn F (1 k)t
)
/
P
上式是用现金流现值对现金流所发生的时间加权。
现金流入包括利息(lìxī)C和赎回本金F，并且时间加权 数是从1到t。最后，现金流对时间加权后求和，再除以 债券价格P（债券估值公式中的P）。
650 508
600
550
463
500 450
400
422 386
350
322
300
295
7 8 9 10 11 12 13 利率%
图5 利率变化对债券价值影响关系图示
精品资料
如前所述，零息票债券(zhàiquàn)的久期与其期限相 同。因此图中债券(zhàiquàn)的久期与期限一样也是 10年，而且其变化关系是一条直线，这条直线是当前 到期收益率为10％时价格变化曲线的切线。
T t(t 1)CT
cv ( 1 ) t1 (1 k )T
(
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
)
10(11)(1000) (1.10)10
55
2
二、久期、息票(xī piào)率和到期收益率
下表给出了三种(sān zhǒnɡ)不同的到期收益率和 四种不同息票率条件下，五种不同到期期限的债券 的久期变化。
精品资料
到期期限
1 5 10 15 20
1 5 10 15 20
1 5 10 15 20
6％
0.93 4.05 6.61 7.96 8.53
精品资料
债券(zhàiquàn)久期的计算公式为：
d
1
C1 (1 k
)
2
C2 (1 k)2
3
C3 (1 k)3
... t
(Cn F (1 k)t
)
/
P
上式是用现金流现值对现金流所发生的时间加权。
现金流入包括利息(lìxī)C和赎回本金F，并且时间加权 数是从1到t。最后，现金流对时间加权后求和，再除以 债券价格P（债券估值公式中的P）。
650 508
600
550
463
500 450
400
422 386
350
322
300
295
7 8 9 10 11 12 13 利率%
图5 利率变化对债券价值影响关系图示
精品资料
如前所述，零息票债券(zhàiquàn)的久期与其期限相 同。因此图中债券(zhàiquàn)的久期与期限一样也是 10年，而且其变化关系是一条直线，这条直线是当前 到期收益率为10％时价格变化曲线的切线。
T t(t 1)CT
cv ( 1 ) t1 (1 k )T
(
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
)
10(11)(1000) (1.10)10
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2
附录3 债券的久期与凸性
1 y ln p ln{c[1 ] } ln y N N (1 y) (1 y)
债券的久期
ln p 1 p y p y 1 cN (1 y ) N 1 (1 y ) N N y (1 y ) N 1 y c[1 (1 y ) N ] y (1 y ) N 1 p D [(1 y )] p y 1 N ( y c) (1 y ) 1 y c[(1 y ) N 1] y
由此可见， 同理可证，
当y k时，pn1 pn
当y k时，pn 1 pn
pn 1 / Pn 1 pn / Pn dpn 1 / Pn 1 dpn / Pn 即 y y dy dy
以上的证明表明，在息票率不变的条件下，长期债券总是变化得更加剧烈， 即长期债券的久期大于短期债券。
2
债券的凸性
凸性的金融学含义
由定理6可知
T t 2 ct (1 y ) t dD 1 { D2} dy 1 y t 1 p T ct (1 y ) t 1 S 2 { (t D ) } 1 y t 1 p 1 y
又由于
dp 1 y D dy p
tc (1 y)
t
T
t
p
)}
债券的久期
T t 2 ct (1 y ) t ct (1 y ) t 2 D (t D) 2 0 p p t 1 t 1 T
T t 2 ct (1 y ) t D 1 { D2} 0 y 1 y t 1 p
债券的久期
定理2：息票债券的Macaulay久期小于它们的到期 时间。
T Ct Ct D t [ / ] t t (1 y ) t 1 (1 y ) t 1 T Ct 1 C1 2C2 TCT [ ,..., ]/ 2 T t (1 y ) (1 y ) (1 y ) t 1 (1 y ) T Ct T C1 TC2 TCT [ ... ]/ T 2 T t (1 y ) (1 y ) (1 y ) t 1 (1 y ) T
债券估值,利率期限结构,久期和凸性
债券价值评估模型
零息债券定价模型
零息债券(zero-coupon bonds)
-持有期间不支付利息，只在到期时偿付本金； -债券的发行价格和面值之间的价值，代表持有人在持有期间的收益；
PV买价
Fபைடு நூலகம்面值
零息债券估值的基本模型
PV(1F rV)n
债券价值评估模型
零息债券的价值计算
【例】假设面值为1000元、期限为2年的零息债券，如果投 资者的预期年收益率是8%，那么该债券的内在价值是多少？
( 1 y 2 ) 2 ( 1 y 1 ) ( 1 E ( r 2 ) )
第1年投资（已知）
第2年投资（预期）
根据远期利率公式有
(1y2)2 (1y1)(1f2)，则 E(r2)f2
利率的期限结构
(1 y3)3 (1 y2 )2 (1 f3) (1 y2)2(1 E(r3))
f3 E(r3)
利率的期限结构
3. 流动性溢酬理论（the liquidity preference theory） ◆ 理论内容：
通过对债券的考察，可以看到由于通货膨胀和将来利率的不确定性，即使是无违约风险 的债券也存在风险。这些风险是理解债券收益率曲线的关键。债券持有者面临着通货膨胀和 利率的风险。债券的期限越长，这两种风险就越大。既然一些债券的持有者想要在债券到期 之前出售债券，那么就存在利率风险。这些投资者要求对于他们购买的长期债券所承担的风 险进行补偿。正如在通货膨胀的情形下，到期时间越长，风险越大，因此补偿也必须随之上 升。流动性溢价理论是预期理论与分割市场理论结合的产物。
1 r n n1 0 f1 1 1 f21 2 f3 1 n 1 fn 流动性
利率的期限结构
久期及凸度
A、久期公式及其推导
P0 1 2CF3 TCFT 1 1 1CF1 (1 y) (1 y)2 (1 y)T P y P0 1 y 0
1CF1 2CF3 TCFT 1 1 T CFt 令 D 2 T (1 y) (1 y) (1 y) P0 P0 t 1 (1 y)t 我们称之为Macualay久期。从而我们有， P0 1 1 D y P0 1 y
显然，对贴现债券而言，其持续期就等于其到期 期限。因为贴现债券只有到期时才会发生现金流。 即，
CF1 CF2 CFT 1 0
B、是什么决定了久期？——久期定理
T CFt CFT P0 PV t (1 y) (1 y)T t 1 t 1 T
CFT 1 T 1 0 D t (1 y )t T (1 y)T T P t 1 0
步骤一：计算各期现金流的现值
步骤二：计算债券的内在价值或价值
步骤三：计算各期现金流现值占内在价值的比重；
步骤四：以比重为权重，以时间为乘数，计算全部 付款作为现值收回的加权平均时间。
例2-8
银行有一期限为两年的贷款，每年产生100元的 现金流量，贴现率为10%，求该贷款的持续期。
先求贷款的内在价值或现值：
如下例：假定收益率上升了200个基点，譬如 从9%上升到11%，那么利用公式我们得到债 券价格变动百分比近似值为：
P0 MDy 10.62*2% 21.24% P0
这显然与表1-2所列出的的结果-18.03相差甚 远。这样，我们就不得不寻找更为精确的刻画 债券价格波动的方法——凸度了。
P c c c .... 2 3 1 y (1 y ) (1 y )
固定收益证券3_久期和凸性
20.24308 24.33865, ?
久期的局限性
凸性
• 债券的凸性是由收益率的微小变化引起的 价格-收益率曲线斜率的变化，价格-收益率 曲线的二阶导数提供了凸性的计算方法。 • 根据泰勒展开式，价格变化可以写为： P 1 2P 2 P y 2 y (3) y 2 y
P
• 当收益率上升0.005%时，价格为：
P
4 104 101.91832 0.05995 0.05995 2 (1 ) (1 ) 2 2
4 104 101.90862 0.06005 0.06005 2 (1 ) (1 ) 2 2
• 因此如果面值为1百万美元，则其PVBP为：
简介
• 债券的价格风险（或者等价的称为利率风 险）指的是由于市场中利率的变化所引起 的价格的变化。
PVBP or DV01
• DV01 (PVBP)测量的是当收益率变化一个基 点（0.01%）时债券价格的变化。 • 假设P为债券的价格，y为债券的收益率， 一阶导数dP/dy测量了当收益率变化时价格 的变化。
久期的局限性
P • 根据修正久期的公式： MD y P
• 当收益率增加200个基点时：
P 200 12.12 24.24% P 10000
• 因此价格的实际变化为：
P 100.40695 24.24% 24.33865
久期的局限性
• 当然，我们也可以利用价格——收益率曲线 计算新的收益率7.216%+200个基点下的债 券价格为80.16387，因此其价格的实际变化 为： • 100.40695-80.16387=20.24308
久期（Duration）
• 久期是另外一个较常用的测量风险的工具 • 久期克服了需要重复计算价格的缺陷 • 债券价格公式：
最新基点价值、久期与凸性—影响债券价格波动的衡量指标ppt课件
凸性
• 久期本身也会随着利率的变化而变化。所 以它不能完全描述债券价格对利率变动的 敏感性，1984年Stanley Diller引进凸性 的概念。
• 久期描述了价格-收益率曲线的斜率，凸性 描述了曲线的弯曲程度。凸性是债券价格 对收益率的二阶导数。
• 久期的计算，是假设债券价格与收益率的关系是线 性的，（如图中的斜直线），然而，实际上债券价 格与收益率的关系并不是线性的，而是凸向原点的 弧线。因此，当原来债券价格为平价之P*,而收益率 等于R*，当收益率上升为R1，根据久期的估计，债 券价格将下跌为P1，然而事实上债券价格只下跌为 P1’；反之，若收益率下跌为R2，则久期估计债券价 格只上涨到P2，而事实上债券价格却会涨到P2’。
提纲
• 4.1 需要与动机 • 4.2 性格与气质 • 4.3 情绪与情感
一、谈判人员的情绪管理和调控
情绪调控能力是指人有能力通过情绪调节和控 制，使积极的个人情绪压倒消极的个人情绪。特别 地，谈判人员不仅对自己的情绪要加以调整，对谈 判对手的情绪也应该做好相应的防范和引导。
一般地，在国际商务谈判过程中，经常采用的 情绪策略主要有： • 攻心术 • 软硬兼施策略
实例
• 债券价格为100元；久期为4.393年；修正久 期为4.265年；凸性系数为10.883
• 假设收益率上升100bps，则债券价格变动： • 债券价格变动比例= • 即债券价格会下跌4.16%； 4 .2 6 5 0 .0 1 1 0 .8 8 3 0 .0 1 2 4 .1 6 % • 假设收益率下降100bps，则债券价格变动： • 债券价格变动比例= • 即债券价格会上涨4.37%
4 .2 6 5 0 .0 1 1 0 .8 8 3 0 .0 1 2 4 .3 7 %
债券的久性.ppt
债券的久期——债券利率风险的衡量
债券投资者关心债券价格的利率敏感性，即利 率的一定幅度变化会导致债券价格发生多大的 变化。
债券价格的利率敏感性一般用久期来衡量。
一、久期的计算公式
久期（Duration）又称为马考勒久性 (MD、D) 或持续期，使用加权平均数的形式计算债券的平 均到期时间。
第一步：计算负债的久期
支付时间 [t]
1 2 3 … 15 合计
未来现金流 未来现金流的现值 现 值 乘 以 支 付 时 间
[ct ]
[ PV (ct ) ]
100
90.909
[ PV (ct ) t ] 90.909
100
82.645
165.29
100
75.131
…
…
225.393 …
100
66.12 美元 132.23 美元
3
1080 美元 0.7513 811.40 美元 2434.21 美元
加总
950.25 美元 2639.17 美元
D 72.731 66.12 2 811.40 3 2639.17 2.78 （年）
950.25
950.25
二、马考勒久性定理
第三，该方法是基于这样的一个基本假设：收益率曲线 平行移动，即当市场利率发生变化时，不同期限债券的 收益率都以相同的幅度上涨或下调。但事实并非如此。
练习题：
1、一个附息率为6%，每年支付一次利 息的债券，距到期有3年，到期收益率为 6%，计算它的久期。如果到期收益率为 10%，久期又是多少？
对于一年计 m 次复利的收益率而言，修
正的持续期为：
，D t1 (1 r m)t m
债券投资者关心债券价格的利率敏感性，即利 率的一定幅度变化会导致债券价格发生多大的 变化。
债券价格的利率敏感性一般用久期来衡量。
一、久期的计算公式
久期（Duration）又称为马考勒久性 (MD、D) 或持续期，使用加权平均数的形式计算债券的平 均到期时间。
第一步：计算负债的久期
支付时间 [t]
1 2 3 … 15 合计
未来现金流 未来现金流的现值 现 值 乘 以 支 付 时 间
[ct ]
[ PV (ct ) ]
100
90.909
[ PV (ct ) t ] 90.909
100
82.645
165.29
100
75.131
…
…
225.393 …
100
66.12 美元 132.23 美元
3
1080 美元 0.7513 811.40 美元 2434.21 美元
加总
950.25 美元 2639.17 美元
D 72.731 66.12 2 811.40 3 2639.17 2.78 （年）
950.25
950.25
二、马考勒久性定理
第三，该方法是基于这样的一个基本假设：收益率曲线 平行移动，即当市场利率发生变化时，不同期限债券的 收益率都以相同的幅度上涨或下调。但事实并非如此。
练习题：
1、一个附息率为6%，每年支付一次利 息的债券，距到期有3年，到期收益率为 6%，计算它的久期。如果到期收益率为 10%，久期又是多少？
对于一年计 m 次复利的收益率而言，修
正的持续期为：
，D t1 (1 r m)t m
第五章 久期和凸度 《金融工程学》PPT课件
D麦 1 r
=
1 r
（5—14）
r
5.1久期
➢ 5.1.3久期值的计算方法
1）列表法，这便是上文所有计算久期的方法。
2）封闭式久期计算法
D麦=
C
(1
r)n 1 (1 r) r2(1 r)n
rn
F n (1 r)n
P
（5—15）
C表示息票额，F表示面值，r表示到期收益率，n表示债券剩余期限
付息次数，P表示债券价格
5.1久期
➢ 3）有效久期计算法
（1）有效久期是1996年弗兰克法波齐（Frank Fabovi）提出的。
（2）有效久期≈D修（条件：收益率发生很小变动，收益率曲线平
滑）。 （3）计算公式D有效=
P _ P P0(R R _)
（5—17）
其中，P指收益率下降x个基点债券价格，P+ 指收益率上升x个基点时
5.1久期
➢ 5.1.6风险免疫（risk immunization） ➢ 3）风险免疫策略
（1）有特定目标期限的风险免疫。 （2）资产负债管理的风险免疫。
➢ 4）风险免疫的本质
使资产组合的久期与负债组合的久期期限相等，从而使净资产值不 受利率变化的影响。
5.1久期
➢ 5.1.7基于久期的套期保值策略
D2
（5—21）
其中，W1表示第一份债券价值所占总价值的比例，W2表示第二份债券价值
所占总价值的比例
【例5—7】一个资产组合由B1和B2组成，它们的价格、收益率、久期分别 是：
P1=90，D1=0.58；P2=110，D2=1.76 DM=W1 D1＋W2 D2= ×0.58＋ ×1.76=0.261＋0.968=1.229
《久期与凸度》PPT课件
编辑ppt
11
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12
4.4 久期的衍生课题
• 4.4.1 修正的久期与美元久期
P
Dm od
Dmac 1 y
P y
m
DdolP yDmod P
编辑ppt
13
例 4.5 有1张3年期的零息债券，一年记一次利息，到期收益率为 6％，面额100万元。现今市场由于银根宽松，所以到期收益率下 降10个基本点，则此债券的价格波动性比例为何？波动的金额又 是多少？
编辑ppt
10
• 久期法则2：当息票利率相同时，债券的久期通常 随着债券到期期限的增加而增加，但久期的增加
速度慢于到期期限的增加速度。
• 久期法则3：在其他因素都不变，债券的到期收益 率较低时，息票债券的久期较长。
• 久期法则4：由于息票债券以面值出售，法则可简
化为
Dmacn t 11(1t yy)t (1ny)n
即利率下降0.1％，债券价格会上涨
2376280*0.编1辑％ppt＝2376.280元
14
4.4.2 投资组合的久期的计算
• 例4.6 假设现在为1997年6月30日有3种债
券，均为半年付息一次，小程按1：1：1的
比例持有这三种债券，求此投资组合的久
期。债券类别 票面利率％ 到期日
面额
价格
A
7
B
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17
• 4.5 债券的凸度
– 4.5.1 久期的局限性
4
4.2.4 永续债券的久期
永续债券的久期：
Dmac
1
1 y
小结：永续债券的久期有限，而它的到期期 限却是无穷大。
• 思考：
到期期限较长的债券，其久期是否一定 比到ห้องสมุดไป่ตู้期间短的债券长，为什么？
金融风险管理--久期、凸性及久期缺口模型 ppt课件
T
P ( y ) '
t 1 2
T
tCt y (1 ) 2t 1 2
金融风险管理
Ct P y 2t 1 t (1 ) 2 2
33
T
赵建群
tCt y 2t t 0.5 (1 ) 2 D T Ct y 2t t 0.5 (1 ) 2
T
金融风险管理
34
金融风险管理
29
赵建群
5、久期的推导Ⅱ：付息方式为半年一次
金融风险管理
30
赵建群
T C0.5 C1.5 CT 0.5 Ct C1 C2 CT P y y y y y y y 2t 1 (1 ) 2 (1 ) 3 (1 ) 4 (1 ) 2T 1 (1 ) 2T t 1 ( 1 ) 2 2 2 2 2 2 2 2
B 100 100 100 100 100
C 100 40 100 180 120 90
D 200 50 30 150 70
2
3 4 5 6
200
100
时间跨度不同 各期流量不同 金融风险管理
6
赵建群
思路： 设置一个指标，综合衡量时间跨度和流量大小？ 同时体现出对风险因子的敏感性程度？ ——久期
赵建群
D
dP dy P 1 y 2
D*
1 dP P dy
y D D (1 ) 2
*
dP D * dy P
金融风险管理
35
赵建群
6、久期的推导Ⅲ：利息一年支付a次
1 at Ct T a y at 1 (1 ) t a a D T Ct y at 1 ) t (1 a a
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债券的久期
对于每个支付期的票面利率为c、每个支付期到期收益率为y，还有N个支付期 的债券，其久期计算公式为
D 1 1 N ( y c) (1 y) y c[(1 y)N 1] y
若该债券以面值出售
1 y
1
D y [1 (1 y)N ]
例：考虑息票率为10%，30年期的债券，每年支付利息2次，假设该债券按面 值发行，求该债券的久期
cN
(1
y)N 1 (1 y)N c[1 (1 y)N ]
y
N (1
y (1 y)N
y)N
1
D 1 p [(1 y)] p y
1
1 y
N ( y c) (1 y) c[(1 y)N 1] y
所以，息票率c越大，则Macaulay久期D越小。另外当 N→∞，久期为1+1/y
C (1 y)n
F (1 y)n
n1
F k
F k
F
t1 (1 y)t (1 y)n (1 y)n
持有n+1期的债券，有
pn1
n1 t 1
F k (1 y)t
F k (1 y)n
F k (1 y)n1
F (1 y)n1
债券的久期
当0 y k时，有1 k 1，则 1 y
...
TCT (1 y)T
]/
CT (1 y)t
T
债券的久期
定理2：息票债券的Macaulay久期小于它们的到期 时间。
D
T t 1
t
[
(1
Ct y)t
/
T t 1
Ct (1 y)t
]
[ 1C1 (1 y)
2C2 (1 y)2
,...,
TCT (1 y)T
债券的久期与凸性
主要内容
债券的久期 债券的凸性 债券组合的久期与凸性
债券的久期
市场利率的升降对债券投资的总报酬具有影响： 债券本身的资本利得，利息收入及其再投资收益。 债券投资管理的重要策略之一就是，如何消除利率变动 带来的风险，即利率风险免疫（Interest rate immunization），即使得债券组合对利率变化不敏感。
一、久期的性质
久期是债券风险的计量指标，债券的久期与债券投 资回报的标准差（即债券的风险）的关系如下
由修正久期的定义 dP / P D*得到 dy
r dP D* dy P
债券的久期
则债券回报率的方差为
Var(r) Var( dP) D*2 Var(dy) P
则债券回报率的风险（标准差）为
D
1
0.05 0.05
[1
(1
1 0.05)60
]
19.8758(半年) 9.9379年
债券的久期
定理4：在息票率不变的条件下，到期时期越长，久期越大。
证明要点：若息票率相同，长期债券的波动大于短期债券
证明：对于任意的息票率k，持有期为n的债券价格为
pn
n1 t 1
C (1 y)t
债券的久期
设债券的价格p满足P
T t 1
Ct (1 y)t
, 则有
dP
dy
T t 1Biblioteka tCt (1 y)t1
1 1 y
T t 1
tCt (1 y)t
dP / P
dy
T
(
t 1
(1
tCt y)t
1
)
/
P
1 1 y
T
(
t 1
tCt (1 y)t
]/
T t 1
Ct (1 y)t
[
T (1
C1 y)
TC2 (1 y)2
...
TCT (1 y)T
]/
T t 1
Ct (1 y)t
T
所以，D＜T
债券的久期
定理3：在到期时间相同的条件下，息票率越大，久期越短。
证明：不妨将面值单位化为1，息票率为c，则
N c
1c
1
债券的久期
定理1：零息债券的Macaulay久期等于它们的到期时间。 短期国债的Macaulay久期就是其投资期限。
D
1 p
T t 1
tct (1 y)t
T
t [
Ct
T
/
Ct ]
t1 (1 y)t t1 (1 y)t
[ 10 (1 y)
20 (1 y)2
y
y
dy
dy
以上的证明表明，在息票率不变的条件下，长期债券总是变化得更加剧烈， 即长期债券的久期大于短期债券。
债券的久期
定理5：久期以递减的速度随到期时间的增加而增加。
/
T t 1
Ct (1 y)t
)
D D* 1 y
D为Macaulay久期，D*为修正久期，当y很小时，二者近似相等。
债券的久期
dP / P D D* dy 1 y
D
T t 1
t
[
(1
Ct y
)t
/
T t 1
Ct (1 y)t
]
其中，wt为t时期的权重
F (1
k y)n1
F (1 y)n1
F (1 y)n
1 1
k y
F (1 y)n
由此可见， 当y k时，pn1 pn
同理可证， 当y k时，pn1 pn
即 - pn1 / Pn1 pn / Pn dpn1 / Pn1 dpn / Pn
1
p
[1
]
k1 (1 y)k (1 y)N y (1 y)N (1 y)N
两边取对数得到
1 y
[c
(1
c y
)
N
(1
y y
)
N
]
ln
p
ln{c[1
1 (1 y)N
]
y (1 y)N
}
ln
y
债券的久期
ln p 1 p y p y
1 y
r
Var(r)
Var( dP ) P
D*2 Var(dy) D* Var(dy)
在收益率微小变动下，债券回报率的标准差（风险）为 收益率的D*倍。D *越大债券风险越大。
债券的久期
债券的久期与息票率、收益率和到期时间有关， 故久期性质就是讨论上述的变量关系，并以此探讨 债券风险的特征。
T
t wt
t 1
久期是对债券价格对利率敏感性的度量，久期越大同样利率 变化引起的债券价格变化越大
久期是到期时间的加权平均，权重是t时刻现金流的现值占 总现值的比例
债券的久期
久期：现金流现值翘翘板的支点
现 金 流
时间
久期：以现金流占总现值的比例为权重，对每次现金流 发生时间加权平均的结果！
债券的久期