债券的久期和凸性ppt课件
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债券的价格波动性与久期PPT课件
二、久期
收益率（%） 4.00 5.00 5.50 5.90 5.99 6.00 价格 （元） 168.3887 150.2056 142.1367 136.1193 134.8159 134.6722 收益率（%） 6.01 6.10 6.50 7.00 8.00 价格 （元） 134.5287 133.2472 127.7605 121.3551 109.8964
息票率6% 息票率9%
5
4
3
2
1
0
￥113.00
￥108.00
￥103.00 ￥98.00 ￥93.00 ￥88.00
息票率6% 息票率9% 息票率12%
5
4
3
2
1
0
（一）马奇尔债券定价规律
（3）如果一种债券的收益率在整个有效 期内不变，则其折价或溢价减少的速 度将随着到期日的临近而逐渐加快。
例2*： 5年期，息票率为6%，面值 为100元，预期收益率为9%
收益率 7% 8% 债券A 价格 100.00 -3.993% 96.01 103.99 变化幅度 债券B 价格 108.20 -3.889% 变化幅度
二、久期
• 久期，又称持续期，是衡量债券价值 对利率变动敏感性的近似指标。 • 更准确的说，久期是对于利率变动正久期的定义。
1000 10% D 1 1 1 1 1000 10% 2 1100 3 2 3 1 0.09 1 0.09 1 0.09 1025.33
=2.74年
• 例7：假设有一种6年期的零息债券， 面额100元，收益率为8%，此债券的久 期为？ • 解：
二、久期
（一）久期的计算 • 例5 该债券的修正久期是10.66，即 利率变动100个基点，这只债券的价格 大约变动10.66%。
债券的久期和债券的凸度
一张T年期债券，t时刻的现金支付为Ct （1≤t≤T），与债券的风险程度相适应的收益 率为y。则债券的价格为
P
T t 1
Ct (1 y)t
（4-1）
债券久期为
Ct
D T t[ (1 y)t ]
t 1Biblioteka P（4-2）例、息票利率为8％和零息票两种债券。 表4-2给出了这两种债券久期的计算。结果 表明，零息票债券的久期就等于它的到期期 限，而息票债券的久期比它的到期期限短。
久期法则4：在其他因素都不变，债券的到 期收益率较低时，息票债券的久期较长。
久期法则5：无限期债券的久期为
1 y y
。
久期法则6：稳定年金的久期由下式给出：
1 y y
(1
T y)T
1
这里，T为支付次数，y是每个支付期的年 金收益率。
久期法则7：息票债券的久期等于
1 y
y
1 y c[(1
T y)T
表5-1 美国主要债券指数的资产组合
项目
莱曼兄弟指数
美林指数 所罗门指数
债券种数
6500种以上
5000种以上 5000种以上
上述债券的期限 不包括的债券
≥ 1年
垃圾债券、可转 换债券、鲜花债
券、浮息债券
≥ 1年
≥ 1年
垃圾债券、 垃圾债券、
可转换债券、 可转换债券、
鲜花债券
浮息债券
权重
市值
市值
市值
40 40 40 1040
38.095 36.281 34.553 855.611
4.2.2 利用久期测度利率敏感性
将式（4-1）看作P与1+y之间的函数， 可以有
dP
债券久期免疫方法与凸性
债券久期、免疫方法与凸性一、久期及其计算多年以来，专家们运用资产到期期限作为利率风险衡量指标。
例如，30年期固定利率债券比1年期债券更具有利率敏感性。
但是，人们已意识到期限只是提供的最后一笔现金流量的信息，并没有考虑到前期得到的现金流量（例如利息偿还）。
通过计算持续期（久期）就可以解决这个问题。
它是一个平均的到期期限，考虑了资产寿命早期所获得的现金流量因素。
有效持续期用公式表示则为：P y tC D nt t t ∑=+=1)1( 【例1】票面利率为10%，还有3年到期的债券。
价格为95.2，当前利率为12%。
求其持续期。
持续期=年728.22.9512.1110312.110212.110132=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯ 持续期是按照贴现现金流量的权重来加权的平均年数（1年、2年、3年）。
简单地说，持续期代表的是资产的平均到期期限。
在本例中，2.728年的持续期与3年比较接近，原因是在第3年得到一笔最大的现金流量110。
持续期与偿还期不是同一概念：偿还期是指金融工具的生命周期，即从其签订金融契约到契约终止的这段时间；持续期则反映了现金流量，比如利息的支付、部分本金的提前偿还等因素的时间价值。
对于那些分期付息的金融工具，其持续期对于那些分期付息的金融工具，其持续期总是短于偿还期。
持续期与偿还期呈正相关关系，即偿还期越长、持续期越长；持续期与现金流量呈负相关关系，偿还期内金融工具的现金流量越大，持续期越短。
二、债券价格对利率变动的敏感程度由金融工具的理论价格公式：∑=+=nt t t y C P 1)1( 两边对利率求导，可得出金融工具现值（理论价格）对利率变动的敏感程度：∑=++-=n t t t y tC dy dP 11)1(∑=++-=n t t t y tC y 1)1(11 两边同时乘以pdy 得∑=+⨯+-=n t t t y tC P dy y P dp 1)1(11=P y tC y dy nt t t ∑=+⨯+-1)1(1 =ydy D +∙-1 =-D *·dy其中D *即为修正久期相应地，修正久期D *=pd d y p1⨯-，即修正久期可以看成等于债券价格对收益率一阶导数的绝对值除以债券价格。
久期与凸性
√ 5年期票面利率为9%的债券； √ 25年期票面利率为9%的债券； √ 5年期票面利率为6%的债券； √ 25年期票面利率为6%的债券； √ 5年期的零息债券； √ 25年期的零息债券；
表1-1 6只假想债券的(价格——收益率)关系
表1-2 6只假想债券价格变动百分比 单位：%
Maklkiel定理
渐下降。
Maklkiel定理
利率的微小波动所导致的债券价格的波动幅度大致相 同；但收益率波动较大时，债券价格在收益率上升时 的变动幅度与在收益率下降时的变动幅度不同；给定 某一基点，在利率大幅度变动条件下，债券价格上升 的百分比大于价格下降的百分比；
Maklkiel定理
长期债券的价格比短期债券的价格对利率变动 更敏感；
T t 1
CFt (1 y)t
我们称之为Macualay久期。从而我们有，
P0 1 1 D y P0 1 y
进一步地，我们令 MD 1 D 表示修正久期，那么有 1 y
P0 1 MD y P0
A、久期公式及其推导
由此，我们可以得到债券价格变动的近似百分
比为： P0 MDy P0
t 1
P0
1 P0
T t 1
t
CFt (1 y)t
t:债券产生现金流的各个时期；
T：债券到期期限；
y:债券的到期收益率，也即利率；
CFt:债券在第t期产生的现金流； P0：债券的理论价格（均衡时等于市场价格），其中
P0
V
T t 1
CFt (1 y)t
A、久期公式及其推导
久期的基本作用在于近似地衡量于1；
B、是什么决定了久期？——久期定理
③统一公债的Macaulay久期等于（1+y/y）；
表1-1 6只假想债券的(价格——收益率)关系
表1-2 6只假想债券价格变动百分比 单位：%
Maklkiel定理
渐下降。
Maklkiel定理
利率的微小波动所导致的债券价格的波动幅度大致相 同；但收益率波动较大时，债券价格在收益率上升时 的变动幅度与在收益率下降时的变动幅度不同；给定 某一基点，在利率大幅度变动条件下，债券价格上升 的百分比大于价格下降的百分比；
Maklkiel定理
长期债券的价格比短期债券的价格对利率变动 更敏感；
T t 1
CFt (1 y)t
我们称之为Macualay久期。从而我们有，
P0 1 1 D y P0 1 y
进一步地，我们令 MD 1 D 表示修正久期，那么有 1 y
P0 1 MD y P0
A、久期公式及其推导
由此，我们可以得到债券价格变动的近似百分
比为： P0 MDy P0
t 1
P0
1 P0
T t 1
t
CFt (1 y)t
t:债券产生现金流的各个时期；
T：债券到期期限；
y:债券的到期收益率，也即利率；
CFt:债券在第t期产生的现金流； P0：债券的理论价格（均衡时等于市场价格），其中
P0
V
T t 1
CFt (1 y)t
A、久期公式及其推导
久期的基本作用在于近似地衡量于1；
B、是什么决定了久期？——久期定理
③统一公债的Macaulay久期等于（1+y/y）；
《金融工程PPT》第九章 债券久期的基本概念
3
久期的定义及其用途
金融工程课程
（１）当利率发生变化时，迅速对债券价格变化或债券资产组合价 值变化作出大致的估计。
（２）风险管理。
4
金融工程课程
二、麦考利久期（Macaulay Duration）的计算
（１）麦考莱久期估算法
将久期表述为债券现金流的时间加权现值之和与现金流的总现值 的比率。
D
时间加权现值
T
t(t 1)Ct (1 i)t
14
五、 凸度
金融工程课程
例9-3： 一种债券的面值为100元。票息额为每年9元。债券的到期期限为6年。 计算在不同市场利率情况下以及市场利率增加0.5%，该债券的久期和凸度以及 债券市场价格的估计变化。
市场 利率％
债券的 价格
PB
修正久期 D*
近考虑久期 的价格变化
免疫的概念： 性； 在投资期末，资产组合的总价值等于投资期初预计的价值；
20
金融工程课程
零息债券显然是具有免疫的。 因为它没有息票收入的再投资。 零息债券的久期等于债券的期限。 因而债券息票收入再投资收益率的变动是问题的关键
21
二、 债券组合的久期与免疫资产的组合
i 解 ： PB ＝125美元
＝5％
DM＝4.6年
i ＝＋0.004
PB DM PBi 4.6 125 0.004 2.3美元
更加精确的计算结果为：
PB
DM PB (1 i)
i
4.6 125 0.004 1.05
2.19美元
11
四、 久期的数学解释
)
di
DM
di
PB
(1 i)PB
固定收益证券3_久期和凸性
20.24308 24.33865, ?
久期的局限性
凸性
• 债券的凸性是由收益率的微小变化引起的 价格-收益率曲线斜率的变化，价格-收益率 曲线的二阶导数提供了凸性的计算方法。 • 根据泰勒展开式，价格变化可以写为： P 1 2P 2 P y 2 y (3) y 2 y
P
• 当收益率上升0.005%时，价格为：
P
4 104 101.91832 0.05995 0.05995 2 (1 ) (1 ) 2 2
4 104 101.90862 0.06005 0.06005 2 (1 ) (1 ) 2 2
• 因此如果面值为1百万美元，则其PVBP为：
简介
• 债券的价格风险（或者等价的称为利率风 险）指的是由于市场中利率的变化所引起 的价格的变化。
PVBP or DV01
• DV01 (PVBP)测量的是当收益率变化一个基 点（0.01%）时债券价格的变化。 • 假设P为债券的价格，y为债券的收益率， 一阶导数dP/dy测量了当收益率变化时价格 的变化。
久期的局限性
P • 根据修正久期的公式： MD y P
• 当收益率增加200个基点时：
P 200 12.12 24.24% P 10000
• 因此价格的实际变化为：
P 100.40695 24.24% 24.33865
久期的局限性
• 当然，我们也可以利用价格——收益率曲线 计算新的收益率7.216%+200个基点下的债 券价格为80.16387，因此其价格的实际变化 为： • 100.40695-80.16387=20.24308
久期（Duration）
• 久期是另外一个较常用的测量风险的工具 • 久期克服了需要重复计算价格的缺陷 • 债券价格公式：
固定收益证券—第四章—久期与凸性
• 组合的凸性
与组合的久期相似，这也是一种近似
• 基于久期和凸性的利率风险管理
基于久期的利率风险管理 考虑凸性情况下的利率风险管理
25
基于久期的利率风险管理
• 风险管理目标
组合的久期和美元久期为0
从本质上说，久期套期保值的本质是匹配并 对冲组合中的美元久期，而非久期，通常称 之为“美元久期中性”
V V 1 V t V V V t D 2 V t y V t y 2 V t y
久期
• 投资组合的久期
组合的美元久期：等于单资产美元久期的加总 $ DP $ D j
ti t
V t
不存在麦考林久期和修正久期的差别
久期的真正含义是固定收益证券价格对利率的一阶敏 感性
久期
• 关于不含权债久期的一些结论
零息票债券的麦考利久期等于其剩余到期期限
只剩一期到期的附息票债券等价于零息票债券，其麦 考利久期也等于其剩余期限
对于剩余期限超过一期的（固定利率）附息票债券来 说，其麦考利久期由于是未来付息期的加权平均，因 此一定小于其剩余期限
基于久期的利率风险管理
• 基于久期的利率风险管理：例
假设一个手中管理着价值1000万美元、久期为6.8的国债组合 的基金经理非常担心利率在接下来的一个月内波动剧烈，决 定于2007年10月3日使用12月到期的长期国债期货USZ7进行利 率风险管理。当她进入市场时，USZ7报价为111.27美元。 2007年10月3日，针对USZ7期货而言交割最合算的债券是息票 率为7.125％、将于2023年2月15日到期的长期国债。其转换 因子为1.1103，现货报价为126.40美元。根据债券修正久期 的计算公式，该债券的修正久期为10.18，故此USZ7的久期近 似等于10.18-2/12=10.01。
固定收益证券久期与凸度课件
d(1 d P y)tT 1(1 tC yt)t 11 1yP D
对于P和1+y的微小变化，有
P D(1 y)
P
1y
（4-3）
这表明，债券价格的利率敏感性与久 期成比例。
2021/3/13
令D*=D/(1+y)，Δ(1+y)=Δy，式（4-3）可 以写为
P D*y P
（4-3’）
通常定义D*=D/(1+y)为“修正久期”。式 （4-3’）表明，债券价格变化的百分比恰好 等于修正久期与债券到期收益率变化的乘积 。因此，修正久期可以用来测度债券在利率 变化时的风险暴露程度。
• 思考：在上面的例子中，2年期息票债券的久 期为1.8853年。如果有期限为1.8853年的一张 零息票债券，两者的利率敏感性是否相同？
2021/3/13
– 4.2.3 什么决定久期
影响利率敏感性的因素包括到期期限 、息票利率和到期收益率。以下的8个法则 归纳了久期与这三个因素之间的关系。图42表明了这些法则。
久期法则8：当息票债券以面值出售时
，法则7可简化为
1 y[1 y
1 (1 y)T
]
2021/3/13
• 4.3 债券的凸度
– 4.3.1 久期的局限性
根据式（4-3’），债券价格变化的百分 比作为到期收益率变化的函数，其图形是一 条斜率为-D*的直线。因此，当债券收益变化 时，可以这条直线对新产生的价格进行估计 。
期的价格变化百分比的直线相切于该点。
这说明，对于债券收益的微小变化，久期
可以给出利率敏感性的精确测度。但随着 收益变化程度的增加，对应于债券A和债券 B的两条曲线与久期近似直线之间的“间隔 ”不断扩大，表明久期法则越来越不准确 。
对于P和1+y的微小变化，有
P D(1 y)
P
1y
（4-3）
这表明，债券价格的利率敏感性与久 期成比例。
2021/3/13
令D*=D/(1+y)，Δ(1+y)=Δy，式（4-3）可 以写为
P D*y P
（4-3’）
通常定义D*=D/(1+y)为“修正久期”。式 （4-3’）表明，债券价格变化的百分比恰好 等于修正久期与债券到期收益率变化的乘积 。因此，修正久期可以用来测度债券在利率 变化时的风险暴露程度。
• 思考：在上面的例子中，2年期息票债券的久 期为1.8853年。如果有期限为1.8853年的一张 零息票债券，两者的利率敏感性是否相同？
2021/3/13
– 4.2.3 什么决定久期
影响利率敏感性的因素包括到期期限 、息票利率和到期收益率。以下的8个法则 归纳了久期与这三个因素之间的关系。图42表明了这些法则。
久期法则8：当息票债券以面值出售时
，法则7可简化为
1 y[1 y
1 (1 y)T
]
2021/3/13
• 4.3 债券的凸度
– 4.3.1 久期的局限性
根据式（4-3’），债券价格变化的百分 比作为到期收益率变化的函数，其图形是一 条斜率为-D*的直线。因此，当债券收益变化 时，可以这条直线对新产生的价格进行估计 。
期的价格变化百分比的直线相切于该点。
这说明，对于债券收益的微小变化，久期
可以给出利率敏感性的精确测度。但随着 收益变化程度的增加，对应于债券A和债券 B的两条曲线与久期近似直线之间的“间隔 ”不断扩大，表明久期法则越来越不准确 。
最新基点价值、久期与凸性—影响债券价格波动的衡量指标ppt课件
凸性
• 久期本身也会随着利率的变化而变化。所 以它不能完全描述债券价格对利率变动的 敏感性，1984年Stanley Diller引进凸性 的概念。
• 久期描述了价格-收益率曲线的斜率，凸性 描述了曲线的弯曲程度。凸性是债券价格 对收益率的二阶导数。
• 久期的计算，是假设债券价格与收益率的关系是线 性的，（如图中的斜直线），然而，实际上债券价 格与收益率的关系并不是线性的，而是凸向原点的 弧线。因此，当原来债券价格为平价之P*,而收益率 等于R*，当收益率上升为R1，根据久期的估计，债 券价格将下跌为P1，然而事实上债券价格只下跌为 P1’；反之，若收益率下跌为R2，则久期估计债券价 格只上涨到P2，而事实上债券价格却会涨到P2’。
提纲
• 4.1 需要与动机 • 4.2 性格与气质 • 4.3 情绪与情感
一、谈判人员的情绪管理和调控
情绪调控能力是指人有能力通过情绪调节和控 制，使积极的个人情绪压倒消极的个人情绪。特别 地，谈判人员不仅对自己的情绪要加以调整，对谈 判对手的情绪也应该做好相应的防范和引导。
一般地，在国际商务谈判过程中，经常采用的 情绪策略主要有： • 攻心术 • 软硬兼施策略
实例
• 债券价格为100元；久期为4.393年；修正久 期为4.265年；凸性系数为10.883
• 假设收益率上升100bps，则债券价格变动： • 债券价格变动比例= • 即债券价格会下跌4.16%； 4 .2 6 5 0 .0 1 1 0 .8 8 3 0 .0 1 2 4 .1 6 % • 假设收益率下降100bps，则债券价格变动： • 债券价格变动比例= • 即债券价格会上涨4.37%
4 .2 6 5 0 .0 1 1 0 .8 8 3 0 .0 1 2 4 .3 7 %
债券的久性.ppt
债券的久期——债券利率风险的衡量
债券投资者关心债券价格的利率敏感性，即利 率的一定幅度变化会导致债券价格发生多大的 变化。
债券价格的利率敏感性一般用久期来衡量。
一、久期的计算公式
久期（Duration）又称为马考勒久性 (MD、D) 或持续期，使用加权平均数的形式计算债券的平 均到期时间。
第一步：计算负债的久期
支付时间 [t]
1 2 3 … 15 合计
未来现金流 未来现金流的现值 现 值 乘 以 支 付 时 间
[ct ]
[ PV (ct ) ]
100
90.909
[ PV (ct ) t ] 90.909
100
82.645
165.29
100
75.131
…
…
225.393 …
100
66.12 美元 132.23 美元
3
1080 美元 0.7513 811.40 美元 2434.21 美元
加总
950.25 美元 2639.17 美元
D 72.731 66.12 2 811.40 3 2639.17 2.78 （年）
950.25
950.25
二、马考勒久性定理
第三，该方法是基于这样的一个基本假设：收益率曲线 平行移动，即当市场利率发生变化时，不同期限债券的 收益率都以相同的幅度上涨或下调。但事实并非如此。
练习题：
1、一个附息率为6%，每年支付一次利 息的债券，距到期有3年，到期收益率为 6%，计算它的久期。如果到期收益率为 10%，久期又是多少？
对于一年计 m 次复利的收益率而言，修
正的持续期为：
，D t1 (1 r m)t m
债券投资者关心债券价格的利率敏感性，即利 率的一定幅度变化会导致债券价格发生多大的 变化。
债券价格的利率敏感性一般用久期来衡量。
一、久期的计算公式
久期（Duration）又称为马考勒久性 (MD、D) 或持续期，使用加权平均数的形式计算债券的平 均到期时间。
第一步：计算负债的久期
支付时间 [t]
1 2 3 … 15 合计
未来现金流 未来现金流的现值 现 值 乘 以 支 付 时 间
[ct ]
[ PV (ct ) ]
100
90.909
[ PV (ct ) t ] 90.909
100
82.645
165.29
100
75.131
…
…
225.393 …
100
66.12 美元 132.23 美元
3
1080 美元 0.7513 811.40 美元 2434.21 美元
加总
950.25 美元 2639.17 美元
D 72.731 66.12 2 811.40 3 2639.17 2.78 （年）
950.25
950.25
二、马考勒久性定理
第三，该方法是基于这样的一个基本假设：收益率曲线 平行移动，即当市场利率发生变化时，不同期限债券的 收益率都以相同的幅度上涨或下调。但事实并非如此。
练习题：
1、一个附息率为6%，每年支付一次利 息的债券，距到期有3年，到期收益率为 6%，计算它的久期。如果到期收益率为 10%，久期又是多少？
对于一年计 m 次复利的收益率而言，修
正的持续期为：
，D t1 (1 r m)t m
第五章 久期和凸度 《金融工程学》PPT课件
D麦 1 r
=
1 r
（5—14）
r
5.1久期
➢ 5.1.3久期值的计算方法
1）列表法，这便是上文所有计算久期的方法。
2）封闭式久期计算法
D麦=
C
(1
r)n 1 (1 r) r2(1 r)n
rn
F n (1 r)n
P
（5—15）
C表示息票额，F表示面值，r表示到期收益率，n表示债券剩余期限
付息次数，P表示债券价格
5.1久期
➢ 3）有效久期计算法
（1）有效久期是1996年弗兰克法波齐（Frank Fabovi）提出的。
（2）有效久期≈D修（条件：收益率发生很小变动，收益率曲线平
滑）。 （3）计算公式D有效=
P _ P P0(R R _)
（5—17）
其中，P指收益率下降x个基点债券价格，P+ 指收益率上升x个基点时
5.1久期
➢ 5.1.6风险免疫（risk immunization） ➢ 3）风险免疫策略
（1）有特定目标期限的风险免疫。 （2）资产负债管理的风险免疫。
➢ 4）风险免疫的本质
使资产组合的久期与负债组合的久期期限相等，从而使净资产值不 受利率变化的影响。
5.1久期
➢ 5.1.7基于久期的套期保值策略
D2
（5—21）
其中，W1表示第一份债券价值所占总价值的比例，W2表示第二份债券价值
所占总价值的比例
【例5—7】一个资产组合由B1和B2组成，它们的价格、收益率、久期分别 是：
P1=90，D1=0.58；P2=110，D2=1.76 DM=W1 D1＋W2 D2= ×0.58＋ ×1.76=0.261＋0.968=1.229
《久期与凸度》PPT课件
编辑ppt
11
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12
4.4 久期的衍生课题
• 4.4.1 修正的久期与美元久期
P
Dm od
Dmac 1 y
P y
m
DdolP yDmod P
编辑ppt
13
例 4.5 有1张3年期的零息债券，一年记一次利息，到期收益率为 6％，面额100万元。现今市场由于银根宽松，所以到期收益率下 降10个基本点，则此债券的价格波动性比例为何？波动的金额又 是多少？
编辑ppt
10
• 久期法则2：当息票利率相同时，债券的久期通常 随着债券到期期限的增加而增加，但久期的增加
速度慢于到期期限的增加速度。
• 久期法则3：在其他因素都不变，债券的到期收益 率较低时，息票债券的久期较长。
• 久期法则4：由于息票债券以面值出售，法则可简
化为
Dmacn t 11(1t yy)t (1ny)n
即利率下降0.1％，债券价格会上涨
2376280*0.编1辑％ppt＝2376.280元
14
4.4.2 投资组合的久期的计算
• 例4.6 假设现在为1997年6月30日有3种债
券，均为半年付息一次，小程按1：1：1的
比例持有这三种债券，求此投资组合的久
期。债券类别 票面利率％ 到期日
面额
价格
A
7
B
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17
• 4.5 债券的凸度
– 4.5.1 久期的局限性
4
4.2.4 永续债券的久期
永续债券的久期：
Dmac
1
1 y
小结：永续债券的久期有限，而它的到期期 限却是无穷大。
• 思考：
到期期限较长的债券，其久期是否一定 比到ห้องสมุดไป่ตู้期间短的债券长，为什么？
债券的久期和凸性
凸性的意义：在久期给定的情况下，凸性反映 了债券带来的现金流的集中程度，现金流越集中凸 性越小，现金流越分散则凸性越大。 注意：久期是平均意义上的到期时间。
凸性是指在某一到期收益率下,到期收益率发 生变动而引起的价格变动幅度的变动程度。
精选ppt
29
债券的凸性
凸性的性质
1. 现金流越集中凸性越小，现金流越分散则凸性 越大。
D
1 p
T t 1
tct (1 y)t
T t 1
t
[
(1
Ct y)t
/
T t 1
(1
Ct y
)t
]
[ 1 0 2 0 ... TCT ] / CT
(1 y) (1 y)2
(1 y)T (1 y)t
T
精选ppt
10
债券的久期
定理2：息票债券的Macaulay久期小于它们的到期
凸性是根据债券价格p对收益率y的二阶导数给出的，其 金融学意义比较难以理解，其中一种解释把凸性看成久期 对利率的敏感度，这是错误的。
dD dy
d(dp/ dy
dy
p)
[p(ddy2p2 p)2 (ddpy)2]
D2－c
精选ppt
25
债券的凸性
凸性的金融学含义
由定理6可知
dD
1
T
{
t2ct(1y)t D2}
F (1 i)n2
F (1 i)n1
PVn,n2 PVn,n1 1 1 PVn,n1 PVn 1 i
精选ppt
18
债券的久期
久期以递减的速度随到期时间的增加而增加。其原因是： 本金是最大数量的现金流，它受市场利率的影响最大。
当期限增加时，本金不断后移，其现值占总现值的比重 变小，重要性程度下降。所以，债券价格受利率影响虽然加 大，但增速递减。
凸性是指在某一到期收益率下,到期收益率发 生变动而引起的价格变动幅度的变动程度。
精选ppt
29
债券的凸性
凸性的性质
1. 现金流越集中凸性越小，现金流越分散则凸性 越大。
D
1 p
T t 1
tct (1 y)t
T t 1
t
[
(1
Ct y)t
/
T t 1
(1
Ct y
)t
]
[ 1 0 2 0 ... TCT ] / CT
(1 y) (1 y)2
(1 y)T (1 y)t
T
精选ppt
10
债券的久期
定理2：息票债券的Macaulay久期小于它们的到期
凸性是根据债券价格p对收益率y的二阶导数给出的，其 金融学意义比较难以理解，其中一种解释把凸性看成久期 对利率的敏感度，这是错误的。
dD dy
d(dp/ dy
dy
p)
[p(ddy2p2 p)2 (ddpy)2]
D2－c
精选ppt
25
债券的凸性
凸性的金融学含义
由定理6可知
dD
1
T
{
t2ct(1y)t D2}
F (1 i)n2
F (1 i)n1
PVn,n2 PVn,n1 1 1 PVn,n1 PVn 1 i
精选ppt
18
债券的久期
久期以递减的速度随到期时间的增加而增加。其原因是： 本金是最大数量的现金流，它受市场利率的影响最大。
当期限增加时，本金不断后移，其现值占总现值的比重 变小，重要性程度下降。所以，债券价格受利率影响虽然加 大，但增速递减。
金融风险管理--久期、凸性及久期缺口模型 ppt课件
T
P ( y ) '
t 1 2
T
tCt y (1 ) 2t 1 2
金融风险管理
Ct P y 2t 1 t (1 ) 2 2
33
T
赵建群
tCt y 2t t 0.5 (1 ) 2 D T Ct y 2t t 0.5 (1 ) 2
T
金融风险管理
34
金融风险管理
29
赵建群
5、久期的推导Ⅱ：付息方式为半年一次
金融风险管理
30
赵建群
T C0.5 C1.5 CT 0.5 Ct C1 C2 CT P y y y y y y y 2t 1 (1 ) 2 (1 ) 3 (1 ) 4 (1 ) 2T 1 (1 ) 2T t 1 ( 1 ) 2 2 2 2 2 2 2 2
B 100 100 100 100 100
C 100 40 100 180 120 90
D 200 50 30 150 70
2
3 4 5 6
200
100
时间跨度不同 各期流量不同 金融风险管理
6
赵建群
思路： 设置一个指标，综合衡量时间跨度和流量大小？ 同时体现出对风险因子的敏感性程度？ ——久期
赵建群
D
dP dy P 1 y 2
D*
1 dP P dy
y D D (1 ) 2
*
dP D * dy P
金融风险管理
35
赵建群
6、久期的推导Ⅲ：利息一年支付a次
1 at Ct T a y at 1 (1 ) t a a D T Ct y at 1 ) t (1 a a
第二讲 久期与凸度
（2）修正久期（D*） ）修正久期（ ）
修正久期是用来衡量债券价格对利率变化的敏感程度的 指标。 指标。 公式： 公式： D * (修正久期) = DM 1 +（公式 ） i 公式2-5） 这里i指利率 指利率。 这里 指利率。
（3）美元久期（D**） ）美元久期（ ）
D**=D* × PB 公式2-6） （公式 ） 其中： 指债券现行价格 指债券现行价格。 其中：PB指债券现行价格。 △PB=-D*PB△i △PB≈DMPB△i 这里： 指债券的价格变动， 指预期利率的变动 指预期利率的变动。 这里：△PB指债券的价格变动，△i指预期利率的变动。 这个公式告诉我们， 这个公式告诉我们，债券价格的变动与预期利率的变动方 向是反向的，而修正久期正好相当于一个放大因子。 向是反向的，而修正久期正好相当于一个放大因子。
第二讲 久期和凸度
吴义能
第一节 久期
1. 久期的概念
久期(也称持续期) 用来衡量债券的到期时间。它 久期(也称持续期) 用来衡量债券的到期时间。
是以未来收益的现值为权数计算的到期时间。 是以未来收益的现值为权数计算的到期时间。 久期是指收益率变化1％所引起的债券全价变化的 久期是指收益率变化1 百分比。即久期用来衡量债券价格对利率/ 百分比。即久期用来衡量债券价格对利率/收益率 变化的敏感性。 变化的敏感性。其实就是价格相对于收益率的一阶 导数。 导数。
王鑫 07级王鑫说： 07级王鑫说：利率 级王鑫说 上升风险是债券价 格下降的风险， 格下降的风险，这 时,修正久期小的 债券下降就小所以 修正久期小的债券 较修正久期大的债 券抗利率上升风险 能力强。 能力强。
例2：已知某种债券当前的市场价格为 已知某种债券当前的市场价格为125美元， 美元， 已知某种债券当前的市场价格为 美元 当前的市场年利率为5%，债券的久期为4.6年 当前的市场年利率为 ，债券的久期为 年， 如果市场利率上升40个基点 个基点， 求：如果市场利率上升 个基点，债券的市场价 格将发生怎样的市场变化？ 格将发生怎样的市场变化？ 解：PB=125, i=5%, DM=4.6年， △i=+0.004 年 所以△ 所以△PB≈DMPB△i=-4.6 × 125 × 0.004 = △ 2.19美元。 美元。 美元 即债券的价格将要下降2.19美元。 美元。 即债券的价格将要下降 美元
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在收益率微小变动下，债券回报率的标准差（风险）为 收益率的D*倍。D *越大债券风险越大。
.
债券的久期
债券的久期与息票率、收益率和到期时间有关， 故久期性质就是讨论上述的变量关系，并以此探讨 债券风险的特征。
.
债券的久期
定理1：零息债券的Macaulay久期等于它们的到期时间。 短期国债的Macaulay久期就是其投资期限。
PVn
Fk (1i)n
F (1i)n
PVn,n1 (1Fik)n (1Fi)kn1 (1Fi)n1
.
债券的久期
PVn,n2
F k (1 i)n
F k (1 i)n1
F k (1 i)n2
F (1 i)n2
PVn,n1
PVn
F k (1 i)n1
F (1 i)n1
F (1 i)n
PVn,n2
PVn,n1
/
T t1
Ct (1 y)t
]
[ 1C1
(1 y)
2C2 (1 y)2
,...,
TCT (1 y)T
]/
T t1
Ct (1 y)t
[ T C1 TC2
... TCT
T
]/
Ct
T
(1 y) (1 y)2
(1 y)T t1 (1 y)t
所以，D＜T
.
债券的久期
定理3：在到期时间相同的条件下，息票率越大，久期越短。
D为Macaulay久期，D*为修正久期，当y很小时，二者近似相等。
.
债券的久期
dP/ P D D* dy 1 y
T
D t [
Ct
T
/
Ct ]
t1 (1 y)t t1 (1 y)t
其中，wt为t时期的权重
T
t wt
t1
久期是对债券价格对利率敏感性的度量，久期越大同样利率 变化引起的债券价格变化越大
证明：不妨将面值单位化为1，息票率为c，则
pkN 1(1cy)k
1 (1y)N
cy[1(11y)N](11y)N
ห้องสมุดไป่ตู้
两边取对数得到
1
c
y
y[c(1y)N(1y)N]
lnpln{c[1(1 1 y)N](1 yy)N}lny
.
债券的久期
ln p 1 p y p y
1 y
cN(1
y)N1 (1 y)N c[1 (1 y)N ]
.
债券的久期
设债券的价格p满足P
T t 1
Ct (1 y)t
,则有
dP
dy
T t 1
tCt (1 y)t1
1 1 y
T t 1
tCt (1 y)t
dP / P ( T
tCt
)/ P
1
T
(
tCt
T
/
Ct )
dy
t1 (1 y)t1
1 y t1 (1 y)t t1 (1 y)t
D D* 1 y
久期是到期时间的加权平均，权重是t时刻现金流的现值占 总现值的比例
.
债券的久期
久期：现金流现值翘翘板的支点
现 金 流
时间
久期：以现金流占总现值的比例为权重，对每次现金流 发生时间加权平均的结果！
.
债券的久期
一、久期的性质
久期是债券风险的计量指标，债券的久期与债券投 资回报的标准差（即债券的风险）的关系如下
由 修 正 久 期 的 定 义 dP/PD *得 到 dy
r dPD*dy P
.
债券的久期
则债券回报率的方差为
Var(r)Var(dP)D *2Var(dy) P
则债券回报率的风险（标准差）为
rV a r (r )V a r (d P P )D * 2 V a r (d y ) D *V a r (d y )
.
债券的久期
定理4：在息票率不变的条件下，到期时期越长，久期越大。
证明要点：若息票率相同，长期债券的波动大于短期债券
证明：对于任意的息票率k，持有期为n的债券价格为
pn
n1
t1
C (1y)t
C (1y)n
F (1y)n
n1
t1
Fk (1y)t
(1Fyk)n
(1Fy)n
持有n+1期的债券，有
p n 1 n t 1 1(1 F y k )t (1 F y k )n (1 F y k )n 1 (1 F y )n 1
债券的久期与凸性
.
主要内容
债券的久期 债券的凸性 债券组合的久期与凸性
.
债券的久期
市场利率的升降对债券投资的总报酬具有影响： 债券本身的资本利得，利息收入及其再投资收益。 债券投资管理的重要策略之一就是，如何消除利率变动 带来的风险，即利率风险免疫（Interest rate immunization），即使得债券组合对利率变化不敏感。
D11ycN [((1yyc))N(1 1]yy)
若该债券以面值出售
D1y[1 1 ] y (1y)N
例：考虑息票率为10%，30年期的债券，每年支付利息2次，假设该债券按面 值发行，求该债券的久期
D 1 0 .0 0 .5 0 5 [ 1 ( 1 0 1 .0 5 ) 6 0 ]1 9 .8 7 5 8 ( 半 年 ) 9 .9 3 7 9 年
y
N y (1 (1 y)N
y) N 1
D 1 p [(1 y)] p y
1 N(y c) (1 y) 1 y c[(1 y)N 1] y
所以，息票率c越大，则Macaulay久期D越小。另外当 N→∞，久期为1+1/y
.
债券的久期
对于每个支付期的票面利率为c、每个支付期到期收益率为y，还有N个支付期 的债券，其久期计算公式为
y
y
d y
d y
以上的证明表明，在息票率不变的条件下，长期债券总是变化得更加剧烈， 即长期债券的久期大于短期债券。
.
债券的久期
定理5：久期以递减的速度随到期时间的增加而增加。 即债券价格的波动幅度随着期限的增加而增加，但增
加的速度递减：n＋2年与n+1年的差异小于n＋1年与n年之 间的差异
证明：分别观察n期、n+1期和n＋2期的债券最后1、2期和3期现金流的现值， 其中
D
1 p
T t 1
tct (1 y)t
T t 1
t
[
(1
Ct y
)t
/
T t 1
(1
Ct y
)t
]
[ 10 (1 y)
20 (1 y)2
...
TCT (1 y)T
]/
CT (1 y)t
T
.
债券的久期
定理2：息票债券的Macaulay久期小于它们的到期
时间。
D
T t1
t
[(1Cty)t
.
债券的久期
当0yk时，有1k1，则 1y
(1Fyk)n1(1Fy)n1(1Fy)n11ky(1Fy)n
由此可见， 当 yk时 ， pn1pn
同理可证， 当 yk时 ， pn1pn
即 - p n 1 /P n 1 p n /P n d p n 1 /P n 1 d p n /P n
.
债券的久期
债券的久期与息票率、收益率和到期时间有关， 故久期性质就是讨论上述的变量关系，并以此探讨 债券风险的特征。
.
债券的久期
定理1：零息债券的Macaulay久期等于它们的到期时间。 短期国债的Macaulay久期就是其投资期限。
PVn
Fk (1i)n
F (1i)n
PVn,n1 (1Fik)n (1Fi)kn1 (1Fi)n1
.
债券的久期
PVn,n2
F k (1 i)n
F k (1 i)n1
F k (1 i)n2
F (1 i)n2
PVn,n1
PVn
F k (1 i)n1
F (1 i)n1
F (1 i)n
PVn,n2
PVn,n1
/
T t1
Ct (1 y)t
]
[ 1C1
(1 y)
2C2 (1 y)2
,...,
TCT (1 y)T
]/
T t1
Ct (1 y)t
[ T C1 TC2
... TCT
T
]/
Ct
T
(1 y) (1 y)2
(1 y)T t1 (1 y)t
所以，D＜T
.
债券的久期
定理3：在到期时间相同的条件下，息票率越大，久期越短。
D为Macaulay久期，D*为修正久期，当y很小时，二者近似相等。
.
债券的久期
dP/ P D D* dy 1 y
T
D t [
Ct
T
/
Ct ]
t1 (1 y)t t1 (1 y)t
其中，wt为t时期的权重
T
t wt
t1
久期是对债券价格对利率敏感性的度量，久期越大同样利率 变化引起的债券价格变化越大
证明：不妨将面值单位化为1，息票率为c，则
pkN 1(1cy)k
1 (1y)N
cy[1(11y)N](11y)N
ห้องสมุดไป่ตู้
两边取对数得到
1
c
y
y[c(1y)N(1y)N]
lnpln{c[1(1 1 y)N](1 yy)N}lny
.
债券的久期
ln p 1 p y p y
1 y
cN(1
y)N1 (1 y)N c[1 (1 y)N ]
.
债券的久期
设债券的价格p满足P
T t 1
Ct (1 y)t
,则有
dP
dy
T t 1
tCt (1 y)t1
1 1 y
T t 1
tCt (1 y)t
dP / P ( T
tCt
)/ P
1
T
(
tCt
T
/
Ct )
dy
t1 (1 y)t1
1 y t1 (1 y)t t1 (1 y)t
D D* 1 y
久期是到期时间的加权平均，权重是t时刻现金流的现值占 总现值的比例
.
债券的久期
久期：现金流现值翘翘板的支点
现 金 流
时间
久期：以现金流占总现值的比例为权重，对每次现金流 发生时间加权平均的结果！
.
债券的久期
一、久期的性质
久期是债券风险的计量指标，债券的久期与债券投 资回报的标准差（即债券的风险）的关系如下
由 修 正 久 期 的 定 义 dP/PD *得 到 dy
r dPD*dy P
.
债券的久期
则债券回报率的方差为
Var(r)Var(dP)D *2Var(dy) P
则债券回报率的风险（标准差）为
rV a r (r )V a r (d P P )D * 2 V a r (d y ) D *V a r (d y )
.
债券的久期
定理4：在息票率不变的条件下，到期时期越长，久期越大。
证明要点：若息票率相同，长期债券的波动大于短期债券
证明：对于任意的息票率k，持有期为n的债券价格为
pn
n1
t1
C (1y)t
C (1y)n
F (1y)n
n1
t1
Fk (1y)t
(1Fyk)n
(1Fy)n
持有n+1期的债券，有
p n 1 n t 1 1(1 F y k )t (1 F y k )n (1 F y k )n 1 (1 F y )n 1
债券的久期与凸性
.
主要内容
债券的久期 债券的凸性 债券组合的久期与凸性
.
债券的久期
市场利率的升降对债券投资的总报酬具有影响： 债券本身的资本利得，利息收入及其再投资收益。 债券投资管理的重要策略之一就是，如何消除利率变动 带来的风险，即利率风险免疫（Interest rate immunization），即使得债券组合对利率变化不敏感。
D11ycN [((1yyc))N(1 1]yy)
若该债券以面值出售
D1y[1 1 ] y (1y)N
例：考虑息票率为10%，30年期的债券，每年支付利息2次，假设该债券按面 值发行，求该债券的久期
D 1 0 .0 0 .5 0 5 [ 1 ( 1 0 1 .0 5 ) 6 0 ]1 9 .8 7 5 8 ( 半 年 ) 9 .9 3 7 9 年
y
N y (1 (1 y)N
y) N 1
D 1 p [(1 y)] p y
1 N(y c) (1 y) 1 y c[(1 y)N 1] y
所以，息票率c越大，则Macaulay久期D越小。另外当 N→∞，久期为1+1/y
.
债券的久期
对于每个支付期的票面利率为c、每个支付期到期收益率为y，还有N个支付期 的债券，其久期计算公式为
y
y
d y
d y
以上的证明表明，在息票率不变的条件下，长期债券总是变化得更加剧烈， 即长期债券的久期大于短期债券。
.
债券的久期
定理5：久期以递减的速度随到期时间的增加而增加。 即债券价格的波动幅度随着期限的增加而增加，但增
加的速度递减：n＋2年与n+1年的差异小于n＋1年与n年之 间的差异
证明：分别观察n期、n+1期和n＋2期的债券最后1、2期和3期现金流的现值， 其中
D
1 p
T t 1
tct (1 y)t
T t 1
t
[
(1
Ct y
)t
/
T t 1
(1
Ct y
)t
]
[ 10 (1 y)
20 (1 y)2
...
TCT (1 y)T
]/
CT (1 y)t
T
.
债券的久期
定理2：息票债券的Macaulay久期小于它们的到期
时间。
D
T t1
t
[(1Cty)t
.
债券的久期
当0yk时，有1k1，则 1y
(1Fyk)n1(1Fy)n1(1Fy)n11ky(1Fy)n
由此可见， 当 yk时 ， pn1pn
同理可证， 当 yk时 ， pn1pn
即 - p n 1 /P n 1 p n /P n d p n 1 /P n 1 d p n /P n