第九章_债券久期的基本概念
债券-久期及其应用
以各期现金流占债券价格的比重为权重的加 权平均到期时间。
D
久期的作用
久期不仅仅是一个时间概念，其真正价值 在于它能反映债券价格对利率变动的敏感 性，是度量利率风险的一个重要工具。
特性
二、久期在债券管理中的作用
久期在债券管理中的策略利率的免疫策略 目标：消除组合的利率风险 途径：使组合中资产久期等于负债久期
案例分析
某银行有7年期的负债，年贴现率为7=3*w+(1-w)(1+1/10%) w=50%
什么是久期？
久期的最初定义源于1938年的Frederic Macaulay，他用贴现的方法计算证券投资的平均 回收时间的时候提出的这个概念，这个概念最初 是一个时间概念。例如银行一笔11年期按揭贷款 的久期是8.254年，意味着银行在前面8.254年的 时间是在收回本金，其后才是银行赚取的利润。
麦考利久期与应用
1、久期定义
回顾： 票面利率较高债券的价格变动要大于票面利率较低债券的 价格变动; 较长期限债券的价格变动要大于较短期限债券的价格变动。 久期将债券的票面利率、利率支付次数、到期期限以及到 期收益率综合在一起形成了一个以时间单位命名的概括性 衡量标准,从而大大提高了债券评价的准确性。
债券的久期、凸性
债券的久期、凸性久期和凸性是衡量债券利率风险的重要指标。
很多人把久期简单地视为债券的到期期限,其实是对久期的一种片面的理解,而对凸性的概念更是模糊。
在债券市场投资行为不断规范,利率风险逐渐显现的今天,如何用久期和凸性量化债券的利率风险成为业内日益关心的问题。
久期久期(也称持续期)是1938年由F.R.Macaulay提出的,用来衡量债券的到期时间。
它是以未来收益的现值为权数计算的到期时间。
其公式为其中,P=债券现值,Ct=每年支付的利息,y=到期收益率,n=到期期数,M=到期支付的面值。
可见久期是一个时间概念,是到期收益率的减函数,到期收益率越高,久期越小,债券的利率风险越小。
久期较准确地表达了债券的到期时间,但无法说明当利率发生变动时,债券价格的变动程度,因此引入了修正久期的概念。
修正久期修正久期是用来衡量债券价格对利率变化的敏感程度的指标。
由于债券的现值对P 求导并加以变形,得到:我们将的绝对值称作修正久期,它表示市场利率的变化引起的债券价格变动的幅度。
这样,不同现值的券种就可以用修正久期这个指标进行比较。
由公式1和公式2我们可以得到:在某一特定到期收益率下,P为常数,我们记作P0,即得到:由于P0是理论现值,为常数,因此,债券价格曲线P与P /P 0有相同的形状。
由公式7,在某一特定到期收益率下,P /P 0的斜率为修正久期,而债券价格曲线P的斜率为P0×(修正久期)。
修正久期度量了收益率与债券价格的近似线性关系,即到期收益率变化时债券价格的稳定性。
修正久期越大,斜率的得绝对值越大,P对y的变动越敏感,y上升时引起的债券价格下降幅度越大,y下降时引起的债券价格上升幅度也越大。
可见,同等要素条件下,修正久期小的债券较修正久期大的债券抗利率上升风险能力强,但抗利率下降风险能力较弱。
但修正久期度量的是一种近似线性关系,这种近似线性关系使由修正久期计算得出的债券价格变动幅度存在误差。
如下图,对于债券B′,当收益率分别从y上升到y1或下降到y2,由修正久期计算出来的债券价格变动分别存在P1′P1"和P2′P2"的误差。
债券持有期收益率,久期及在险价值计算和分析
债券持有期收益率，久期及在险价值计算和分析债券是一种借款工具，发行者向投资者出借资金，并在一定期限内支付利息和偿还本金。
债券持有期收益率、久期和在险价值是与债券投资息息相关的重要概念，也是债券投资者们在进行债券投资分析和决策时需要了解和掌握的重要指标。
本文将对这几个概念进行详细介绍，并讨论其在债券投资中的重要性及应用。
一、债券持有期收益率债券持有期收益率是指投资者在持有债券期间所能获得的收益率。
它是根据债券的面值、利息支付期限、利息率和购买价格等因素计算得出的一种收益率。
债券持有期收益率的计算公式为：债券持有期收益率=（债券到期时的收益+债券购入价格-债券面值）/债券购入价格债券持有期收益率是投资者在购买债券后所能实现的收益率，它考虑了债券的购入价格和到期时的收益，是债券投资者评估债券投资收益性的重要指标之一。
二、债券久期债券久期是评估债券价格变动对债券价格的影响的指标。
它是债券现金流的加权平均期限，反映了债券现金流的时间分布情况。
债券久期越长，债券价格对利率变动的敏感性越高；债券久期越短，债券价格对利率变动的敏感性越低。
债券久期与债券价格变动之间的关系可以用如下的公式表示：ΔP/P=-D*Δr/(1+r)ΔP/P表示债券价格变动率，D表示债券久期，Δr表示利率变动率，r表示债券折现率。
债券久期是投资者在进行债券投资分析时必须了解和考虑的重要指标之一。
它可以帮助投资者评估债券价格对利率变动的敏感性，从而为投资决策提供重要的参考依据。
三、债券在险价值债券在险价值是指债券价格对利率变动或市场风险的敏感性。
它衡量了债券价格在不同利率或市场情况下的变化程度。
债券在险价值越高，表示债券价格对利率变动或市场风险的敏感性越高；债券在险价值越低，表示债券价格对利率变动或市场风险的敏感性越低。
债券在险价值的计算涉及到债券价格、利率变动率、债券久期等因素，通常使用如下的公式进行计算：在实际债券投资分析中，投资者需要综合考虑债券持有期收益率、久期和在险价值等指标，并结合债券的发行主体、债券类型、市场情况等因素进行综合分析和决策。
第九章_债券久期的基本概念案例
第九章_债券久期的基本概念案例债券久期是描述债券价格对利率变化的敏感性指标，它能够帮助投资者理解债券投资的风险和回报。
在这个案例中，我们将介绍久期的基本概念，并通过一个具体的案例来说明如何计算债券久期以及如何使用久期来评估债券的价格变动。
久期的基本概念：债券久期是一个衡量债券价格对利率变化的敏感性的指标。
久期越长，债券价格对利率变化的敏感性越高，反之则越低。
久期可以帮助投资者了解债券价格的波动性，并在投资决策中提供参考。
久期的计算：债券久期的计算需要用到债券的现金流量和到期时间。
具体来说，久期可以通过以下公式计算：久期=Σ(现金流量×时间×期限权重)/债券价格在这个公式中，现金流量是指债券每个支付期的现金流入或流出，时间是指每个支付期的距离，期限权重是指每个支付期的现金流量在所有现金流量中所占的比例。
债券价格是指当前的债券市场价格。
案例介绍：假设有一家公司发行了一种10年期、票面利率为5%的债券。
该债券每年支付一次利息，并在到期时支付一次本金。
现在假设债券的市场价格为1000元。
计算久期：首先，我们需要计算每个支付期的现金流量和时间。
在这个案例中，每年支付一次利息，所以现金流量为50元。
债券到期时间为10年，所以共有10个支付期，即时间为1年至10年。
然后，我们需要计算每个支付期的期限权重。
由于每个支付期的现金流量相同且债券到期时间相等，所以每个支付期的期限权重均为1/10。
现在，我们可以利用上述数据计算久期了。
根据上述公式，久期等于：久期=(50×1×1/10+50×2×1/10+...+50×10×1/10)/1000简化公式后，久期等于：久期=550/1000=0.55根据计算结果，该债券的久期为0.55年。
久期的应用：债券久期可以帮助投资者评估债券价格对利率变化的敏感性。
例如，如果利率上升，债券价格往往会下降；反之，如果利率下降，债券价格会上升。
债券久期计算
债券久期计算例：假设债券A刚发行，其面值为1000元，市场利率（贴现率8%），票面利率为8%，期限为十年。
债券B是5年前发行的，其面值为1000元，票面利率12%，期限为15年，还有10年到期。
计算：1债券A与债券B的价格2 计算债券A和B的久期三种方法（1）运用久期的定义：久期作为现金流支付时间的加权平均（2）将久期看作债券价格对贴现率的弹性（3）运用久期函数3计算债券A，B的修正久期4 如果市场利率上升10%，即从8%上升到8.8%，求债券A与债券B 的价格的变化久期（Duration）一、久期(Duration)的概念久期的概念最早是马考勒(Macaulay)在1938年提出来的，所以又称马考勒久期（简记为D）。
马考勒久期是使用加权平均数的形式计算债券的平均到期时间。
它是债券在未来产生现金流的时间的加权平均,其权重是各期现金值在债券价格中所占的比重。
具体的计算将每次债券现金流的现值除以债券价格得到每一期现金支付的权重，并将每一次现金流的时间同对应的权重相乘,最终合计出整个债券的久期。
保罗·萨缪尔森、约翰·斯克斯和瑞丁敦在随后的若干年独立地发现了久期这一理论范畴，特别是保罗·萨缪尔森和瑞丁敦将久期用于衡量资产/负债的利率敏感性的研究，使得久期具有了第二种含义，即：资产针对利率变化的价格变化率。
久期--的第二个含义是债券投资管理中的一个极其重要的策略----“免疫策略”的理论基础，根据该策略，当交易主体债券组合的久期与债权的持有期相等的时候，该交易主体短期内就实现了“免疫”的目标，即短期内的总财富不受利率波动的影响。
但是运用这一策略的前提则是，现有久期概念能否正确地衡量未来任何利率变动情景下债券价格的变动情况。
二、马考勒久期的计算公式(公式1)其中，D是马考勒久期，B是债券当前的市场价格，PV（Ct）是债券未来第t期可现金流（利息或资本）的现值，T是债券的到期时间。
债券的久期、凸性
债券的久期、凸性久期和凸性是衡量债券利率风险的重要指标。
很多人把久期简单地视为债券的到期期限，其实是对久期的一种片面的理解，而对凸性的概念更是模糊。
在债券市场投资行为不断规范，利率风险逐渐显现的今天，如何用久期和凸性量化债券的利率风险成为业内日益关心的问题。
久期久期（也称持续期）是1938年由F.R.Macaulay提出的,用来衡量债券的到期时间。
它是以未来收益的现值为权数计算的到期时间。
其公式为其中,P=债券现值,Ct=每年支付的利息，y=到期收益率，n=到期期数,M=到期支付的面值。
可见久期是一个时间概念，是到期收益率的减函数，到期收益率越高，久期越小，债券的利率风险越小。
久期较准确地表达了债券的到期时间，但无法说明当利率发生变动时，债券价格的变动程度，因此引入了修正久期的概念。
修正久期修正久期是用来衡量债券价格对利率变化的敏感程度的指标。
由于债券的现值对P 求导并加以变形，得到：我们将的绝对值称作修正久期，它表示市场利率的变化引起的债券价格变动的幅度。
这样,不同现值的券种就可以用修正久期这个指标进行比较。
由公式1和公式2我们可以得到：在某一特定到期收益率下,P为常数,我们记作P0,即得到：由于P0是理论现值，为常数，因此，债券价格曲线 P与P /P 0有相同的形状。
由公式7, 在某一特定到期收益率下,P /P 0的斜率为修正久期，而债券价格曲线 P的斜率为P0 X（修正久期）。
稳定性。
修正久期越大，斜率的得绝对值越大,P对y的变动越敏感,y上升时引起的债券价格下降幅度越大，y下降时引起的债券价格上升幅度也越大。
可见，同等要素条件下，修正久期小的债券较修正久期大的债券抗利率上升风险能力强，但抗利率下降风险能力较弱。
但修正久期度量的是一种近似线性关系，这种近似线性关系使由修正久期计算得出的债券价格变动幅度存在误差。
如下图，对于债券B '，当收益率分别从y上升到y1或下降到y2, 由修正久期计算出来的债券价格变动分别存在P1 'P1"和P2 'P2"的误差。
久期的概念
久期的概念久期的概念最早是Macaulay在1938年提出来的，所以又称Macaulay久期（简记为D）。
Macaulay久期是使用加权平均数的形式计算债券的平均到期时间。
它是债券在未来产生现金流的时间的加权平均,其权重是各期现金值在债券价格中所占的比重。
在理解久期概念时,我认为有这么几点需要把握：1.久期是一个时间概念,也就是说我们说久期久期是指一段时间,比如某债券的久期是多少天（一般是年吧？待求证）；2.久期是一个债券的特征,和债券的息票率、付息周期、期限是一样的，都是债券的一项属性；3.那么久期这项债券的属性是用来描述什么的呢？在A的学习中，相信大家都记得债券的价值与市场利率是成反比的（因为折现率在分母。
），但是这个反向的关系是怎么体现的？比如市场利率提高1%，债券的价值会下跌多少？久期就是用来描述这个债券价值与市场利率变化的敏感性的，如果这个债券的久期是5，那么当市场利率提高1%的时候，债券的价值就会近似下跌5%。
4.引用如下希望对大家理解概念有所帮助：久期是指债券或者一笔贷款的实际期限。
比如说一笔10亿的贷款，名义期限为5年。
但是借方会在这5年期间按期偿还利息等，因此这10亿并没有完完整整地占用5年，而是少于5年。
久期衡量的就是这笔贷款的实际期限。
它是各期还款现值以时间为权重的加权平均。
举个形象的说法：一个跷跷板，一端按照离中点的远近放着各期还款的现值，我们在另一端找一点使跷跷板平衡，这个点就是久期。
Macaulay久期与债券价格的关系对于给定的收益率变动幅度，Macaulay久期越大，债券价格的波动幅度越大：...............................我是无敌的（1）式在这个公式里我认为要注意这么几点：1.这里的约等号就为什么上面要用“近似”的原因，随着后面的学习我们会知道这个式子为什么要用等号而不是约等；2.这里就提到修正久期，这个概念就是定义了一个D*（2）式，代到上面的（1）式里去，得到式（3），样子是线性的关系（把D*看成是个常数，恩恩）。
新手必读的债券入门功课
新手必读的债券入门功课什么是债券的久期?债券久期是用债券未来每一期现金流的折现值除以债券现价作为权重，分别乘以每一期现金流距现在的时间，然后相加得到的收回债券现金流的加权平均剩余期限。
久期的经济学意义是用来衡量债券价格对收益率微小变动的敏感程度。
久期越长，收益率微小变动导致债券价格变动幅度越大。
什么是利率债和信用债?利率债主要是指国债、地方政府债券、政策性金融债和央行票据等以政府信用为依托的主体发行的债券，利率债价格主要受实际利率的影响。
信用债是指政府之外的主体发行的债券，具体包括企业债、公司债、短期融资券、中期票据、可转债等品种，信用债价格债券有哪些基本要素?债券有以下基本要素：债券面值：债券的票面价格，并应注明币种。
债务人与债权人：债券的发行人是债务人，为筹集所需资金，发行人按照法定程序发行债券，从而取得一定时期内资金的使用权，但同时又承担着偿付债券的义务，需要按时还本付息。
债券的购买者(或称持有者)是债权人，在约定期限内转让资金的使用权，依法或按债券募集说明书规定取得利息和到期收回本金。
债券的价格：债券是一种可以买卖的有价证券，是债券市场上的一种商品，债券的价格由面值、收益和供求关系共同决定。
还本付息期限：债券发行人必须在规定的期限内偿还债券本金和利息，因此债券需约定还本付息期限。
债券利率：债券利率是计算利息的依据。
它一般是根据政府的相关法规确定，或根据资金市场供求状况确定。
除受到实际利率影响外，还受发行主体信用状况的影响。
什么是信用评级?信用评级分为主体信用评级和债券信用评级两种。
主体信用评级是以企业或经济主体为对象进行的信用评级。
债券信用评级是以企业或经济主体发行的有价债券为对象进行的信用评级。
信用评级是对债券发行主体及其所发行债券按期还本付息的可靠程度进行评估，并标示其信用程度的等级。
根据央行制定的《信贷市场和银行间债券市场信用评级规范》，分长期债券评级和短期债券评级。
长期债券评级分为三等九级，从高到低分别为AAA、AA、A、BBB、BB、B、CCC、CC、C。
久期
7.72 7.14 6.62 6.13 5.67 63.02 104.62
15.43 21.43 26.46 30.63 34.03 378.10 514.42
5
加总
DN =(514.42/104.62)=4.92（年）
久期与债券到期期限、票息率、及市场利率之间的关系 一、 久期与债券到期期限的关系 零息票债券的久期等于到它的到期时间 如果给定市场利率和票息率，久期与债券到期期限的关系： 债券的到期期限越长，久期也越长。 如图，当市场利率为8％，而票息率为7%的债券的久期随着 到期期限的变化5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 债券到期期限
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三、 久期与债券票息率之间的关系 如果给定市场利率，久期与债券票息率之间的关系是： 票息率越低，久期越长。
如图，市场利率为7%的债券的久期随着债券票息率的变化 关系。
12 10 8 票息率5% 票息率7% 票息率9%
因而债券息票收入再投资收益率的变动是问题的关键。
11
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久期免疫原理
利率变化引起债券资本利得与票息再投资收益呈反方向变化
市场利率 ，债券价格 ，而票息再投资收益 。 市场利率 ，债券价格 ，而票息再投资收益 。
免疫策略即无论利率怎样变化，皆不影响原有债券投资产生价值变动， 即： 债券的价格波动风险与再投资风险的替代关系，使投资人在特定 投资时间内获得固定报酬。 McEnaIIy(1980)发现复收益率是到期收益率（YTM）和再投资收益率 （RY）的加权平均： 复收益率= (D/H)YTM + [1-(D/H)]RY
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第二种债券在第1年年末的利息再投资价值 ＝9×38712.79×(1+i％)2 第二种债券在第2年年末的利息再投资价值 ＝9×38712.79×(1+i％) 第二种债券在第3年年末的利息 ＝9×38712.79 第二种债券在第3年年末的出售价格 ＝109×38712.79/(1+i％)3+9×38712.79/(1+i ％)2+9×38712.79/(1+i％) 在3年时点的债券组合价值
久期
8.3DURATION久期久期是一个被广泛使用的衡量投资组合在收益率曲线上的敞口的指标。
假设y 是债券的收益率，B是它的市场价格。
债券的久期定义为:或者同样的:（8.1）∆y是债券收益率的一个小变化，而∆B是其价格的相应变化。
久期衡量债券价格变化百分比对其收益率变化的敏感度。
使用微积分符号，我们可以写:（8.2）考虑一个提供现金流的债券（现金流由债券的票面利率和本金支付组成）。
债券收益率y，被定义为将债券的现金流折现值之和与市场价格等同的折现率。
如果债券的收益率是用连续复利计算的（见附录A），那么债券的价格B和它的收益率y之间的关系是:由此可见:（8.3）等式中的括号内表达式是时间ti的现金流的现值与债券价格的比率。
债券价格是所有现金流的现值。
因此，久期是指支付时的加权平均值，时间ti的权重等于在时间ti的现金流所提供的债券的总现值的比例。
（权重的总和是1）这就解释了术语“久期”的由来。
久期是指债券持有人必须等待现金流的时间。
零息债券的期限为n年，久期为n年。
然而，持续n年的债券持有人债券的期限为不到n年，因为持有者在n年之前收到一些现金支付。
考虑一个3年期10%的票面利率债券，票面价值为100美元。
假设债券的收益率是每年12%的连续复利。
这意味着y=0.12。
每六个月支付5美元的息票。
表8.3显示了确定债券久期所必需的计算。
债券现金流的现值，使用收益率作为折现率，在第3栏中显示。
（例如，第一个现金流的现值是5e{-0.12⨯0.5}=4.709）。
那利率的微小变化通常以基点来衡量。
一个基点是每年0.01%.下面的例子研究了方程中久期公式的准确性（8.1）。
当债券的收益率增加10个基点（=0.1%），∆y=+0.001。
久期∆B=-249.95⨯0.001=-0.250，因此债券价格下降到94.213。
250=93.963。
这是多么准确?当债券收益率上升10个基点至12.1%时，债券价格是也就是（到小数点后三位）与持续时间关系所预测的相同。
债券投资分析久期计算公式
债券投资分析久期计算公式在债券投资领域，久期是一个重要的概念，它用来衡量债券价格对利率变动的敏感性。
久期计算公式是用来计算债券久期的数学公式，它可以帮助投资者更好地理解债券投资的风险和回报。
本文将介绍久期的概念，以及久期计算公式的推导和应用。
一、久期的概念。
久期是指债券的平均期限，它是一个加权平均值，反映了债券现金流的时间分布。
久期越长，债券价格对利率变动的敏感性就越低；久期越短，债券价格对利率变动的敏感性就越高。
因此，久期是衡量债券价格风险的重要指标。
久期的计算公式如下：\[D = \frac{1}{P} \sum_{t=1}^{n} \frac{t \cdot CF_t}{(1+y)^t}\]其中，D表示债券的久期，P表示债券的价格，n表示债券的期限，CFt表示第t期的现金流，y表示债券的收益率。
二、久期计算公式的推导。
久期计算公式的推导涉及到债券的现金流和利率的复利计算。
假设债券的面值为F，期限为n年，票面利率为c，债券的价格为P，债券的现金流为CFt，债券的收益率为y。
根据债券的现金流和利率的复利计算，可以得到债券的现值公式：\[P = \sum_{t=1}^{n} \frac{CF_t}{(1+y)^t}\]对上式两边关于y求导，可以得到债券价格对收益率的敏感性：\[\frac{dP}{dy} = \sum_{t=1}^{n} \frac{t \cdot CF_t}{(1+y)^{t+1}}\]将上式乘以y，可以得到债券价格对收益率的一阶导数和收益率的乘积：\[y \cdot \frac{dP}{dy} = \sum_{t=1}^{n} \frac{t \cdot y \cdot CF_t}{(1+y)^{t+1}}\]将上式两边关于y再次求导，可以得到债券价格对收益率的二阶导数：\[\frac{d^2P}{dy^2} = \sum_{t=1}^{n} \frac{t \cdot (t+1) \cdotCF_t}{(1+y)^{t+2}}\]将上式乘以y，可以得到债券价格对收益率的二阶导数和收益率的乘积：\[y \cdot \frac{d^2P}{dy^2} = \sum_{t=1}^{n} \frac{t \cdot (t+1) \cdot y \cdotCF_t}{(1+y)^{t+2}}\]将上式乘以-1，可以得到债券价格对收益率的二阶导数和收益率的乘积的相反数：\[-y \cdot \frac{d^2P}{dy^2} = \sum_{t=1}^{n} \frac{t \cdot (t+1) \cdot y \cdotCF_t}{(1+y)^{t+2}}\]将上式与债券价格对收益率的一阶导数和收益率的乘积相加，可以得到债券价格对收益率的一阶导数和收益率的乘积与债券价格对收益率的二阶导数和收益率的乘积的和：\[y \cdot \frac{dP}{dy} \frac{d^2P}{dy^2} = \sum_{t=1}^{n} \frac{t \cdot (t+1)\cdot y \cdot CF_t}{(1+y)^{t+2}} \sum_{t=1}^{n} \frac{t \cdot y \cdotCF_t}{(1+y)^{t+1}}\]化简上式，可以得到债券价格对收益率的一阶导数和收益率的乘积与债券价格对收益率的二阶导数和收益率的乘积的和：\[y \cdot \frac{dP}{dy} \frac{d^2P}{dy^2} = \sum_{t=1}^{n} \frac{t \cdot y \cdot CF_t}{(1+y)^{t+1}}\]将上式除以债券价格P，可以得到债券价格对收益率的一阶导数和收益率的乘积与债券价格对收益率的二阶导数和收益率的乘积的和与债券价格的比值：\[\frac{y \cdot \frac{dP}{dy} \frac{d^2P}{dy^2}}{P} = \frac{1}{P} \sum_{t=1}^{n} \frac{t \cdot y \cdot CF_t}{(1+y)^{t+1}}\]将上式记为D，可以得到债券的久期计算公式：\[D = \frac{1}{P} \sum_{t=1}^{n} \frac{t \cdot CF_t}{(1+y)^t}\]三、久期计算公式的应用。
债券久期计算
债券久期计算例：假设债券A刚发行，其面值为1000元，市场利率（贴现率8%），票面利率为8%，期限为十年。
债券B是5年前发行的，其面值为1000元，票面利率12%，期限为15年，还有10年到期。
计算：1债券A与债券B的价格2 计算债券A和B的久期三种方法（1）运用久期的定义：久期作为现金流支付时间的加权平均（2）将久期看作债券价格对贴现率的弹性（3）运用久期函数3计算债券A，B的修正久期4 如果市场利率上升10%，即从8%上升到8.8%，求债券A与债券B 的价格的变化久期（Duration）一、久期(Duration)的概念久期的概念最早是马考勒(Macaulay)在1938年提出来的，所以又称马考勒久期（简记为D）。
马考勒久期是使用加权平均数的形式计算债券的平均到期时间。
它是债券在未来产生现金流的时间的加权平均,其权重是各期现金值在债券价格中所占的比重。
具体的计算将每次债券现金流的现值除以债券价格得到每一期现金支付的权重，并将每一次现金流的时间同对应的权重相乘,最终合计出整个债券的久期。
保罗·萨缪尔森、约翰·斯克斯和瑞丁敦在随后的若干年独立地发现了久期这一理论畴，特别是保罗·萨缪尔森和瑞丁敦将久期用于衡量资产/负债的利率敏感性的研究，使得久期具有了第二种含义，即：资产针对利率变化的价格变化率。
久期--的第二个含义是债券投资管理中的一个极其重要的策略----“免疫策略”的理论基础，根据该策略，当交易主体债券组合的久期与债权的持有期相等的时候，该交易主体短期就实现了“免疫”的目标，即短期的总财富不受利率波动的影响。
但是运用这一策略的前提则是，现有久期概念能否正确地衡量未来任何利率变动情景下债券价格的变动情况。
二、马考勒久期的计算公式(公式1)其中，D是马考勒久期，B是债券当前的市场价格，PV（Ct）是债券未来第t期可现金流（利息或资本）的现值，T是债券的到期时间。
需要指出的是在债券发行时以及发行后，都可以计算马考勒久期。
债券的久期是指是什么
债券的久期是指是什么 最近，债券市场出现了⼀些波动，投资者对于债券市场也有了更多的关注，在很多关于债券的分析⽂章或者投资建议中，常常出现“久期”这个词。
那么久期是什么意思呢?下⾯就让店铺带着⼤家⼀起去了解⼀下什么是债券久期的规则吧。
债券久期的数学解释 久期(Duration) 『久期，全称麦考雷久期-Macaulayduration，数学定义 如果市场利率是Y，现⾦流(X1,X2,...,Xn)的麦考雷久期定义为：D(Y)=[1*X1/(1+Y)^1+2*X2/(1+Y)^2+...+n*Xn/(1+Y)^n]/[X0+x1/(1+Y)^1+X2/(1+Y)^2+...+Xn/(1+Y)^n] 即D=(1*PVx1+...n*PVxn)/PVx 其中，PVXi表⽰第i期现⾦流的现值，D表⽰久期。
通过下⾯例⼦可以更好理解久期的定义。
例⼦：假设有⼀债券，在未来n年的现⾦流为(X1,X2,...Xn)，其中Xi表⽰第i期的现⾦流。
假设利率为Y0，投资者持有现⾦流不久，利率⽴即发⽣变化，变为Y，问：应该持有多长时间，才能使得其到期的价值不低于的价值? 通过下⾯定理可以快速解答上⾯问题。
定理：PV(Y0)*(1+Y0)^q<=PV(Y)(1+Y)^q的必要条件是q=D(Y0)。
这⾥D(Y0)=(X1/(1+Y0)+2*X2/(1+Y0)^2+...+n*Xn/(1+Y0)^n)/PV(Y0) q即为所求时间，即为久期。
上述定理的证明可通过对Y导数求倒数，使其在Y=Y0取局部最⼩值得到。
(容易) 浅显易懂的解释：久期就是债券价格相对于利率⽔平正常变动的敏感度。
如果⼀只短期债券基⾦的投资组合久期是2.0，那么利率每变化1个百分点，该基⾦价格将上升或下降2%;⼀只长期债券型基⾦的投资组合久期是12.0，那么利率每变化1个百分点，其价格将上升或下降12%。
债券久期的发展 修正久期 从上⾯的讨论中可知：对于给定的到期收益率的微⼩变动，债券价格的相对变动与其Macaulay久期成⽐例。
债券久期计算分析模型
债券久期计算分析模型债券久期（Duration）是衡量债券价格对于利率变动的敏感性指标，是债券市场上重要的风险指标之一、它可以帮助投资者评估债券的风险和回报，是进行债券组合管理和风险控制的重要工具。
本文将介绍债券久期的定义、计算方法以及在债券投资分析中的应用。
债券久期是指标衡量债券的平均期限，即债券的现金流收益的加权平均期限。
债券久期计算方法有多种，但基本的思想是以债券的每个现金流（包括利息和本金）作为一个期限，乘以该现金流对于当前债券价格的比重，然后将所有现金流的乘积相加，得到加权平均期限。
债券久期衡量了债券现金流的时间分布情况，反映了债券价格对利率变动的敏感性。
根据债券久期的定义，可以得出如下的计算公式：债券久期=(现金流1*期限1+现金流2*期限2+...+现金流n*期限n)/债券价格其中，现金流1、现金流2、..、现金流n为债券的每个现金流的金额，期限1、期限2、..、期限n为债券每个现金流对应的期限。
债券久期的应用非常广泛，它可以帮助投资者评估债券的风险和回报。
首先，债券久期可以衡量债券价格对利率变动的敏感性，当债券久期较长时，债券价格对利率变动的敏感性较大，风险也相对较高。
其次，债券久期可以用于债券组合管理，投资者可以根据债券久期来优化债券组合的风险和回报，实现风险分散和收益最大化。
此外，债券久期还可以用于债券定价，投资者可以根据债券久期计算出合理的债券价格，判断是否具有投资价值。
需要注意的是，债券久期是一个理论上的指标，它假设利率变动对债券的影响是线性的，即利率上升和下降对债券价格的影响相等，但实际情况可能并非如此。
此外，债券久期还有一些局限性，它只考虑了债券的现金流收益和期限，没有考虑其他因素对债券价格的影响，如信用风险、偿付能力等。
综上所述，债券久期是计算分析债券价格对利率变动敏感性的重要工具，它可以帮助投资者评估债券的风险和回报，进行债券组合管理和风险控制，并且可以用于债券定价。
第九章_债券久期的基本概念
市场 利率％
债券的 价格
修正久期 D*
近考虑久期 的价格变化
凸度
PB
△PB
CB
近考虑久期 与凸度的价 格变化 △PB
两种债券价格变 化估计的差距
3.00 132.50
4.67-3.10Fra bibliotek28.43
-3.05
-0.05
5.00 120.30
8.00 104.62 10.00 95.64
4.63
4.55 4.50
*
PB D* PB i
债券的价格的变化等于债券的修正久期乘以债券的价格再乘以市场利 率的变化
12
五、 凸度
久期实际描述的是债券价格对市场利率的一阶导数关系； 债券价格对市场利率的二阶导数关系即为凸度
PB
金融工程课程
a
b D E c
B G A F a’ C b’
i0
c’ i
-△i
解：
PB
＝125美元
i ＝5％
DM＝4.6年
i ＝＋0.004
PB DM PB i 4.6 125 0.004 2.3美元
更加精确的计算结果为：
DM PB 4.6 125 0.004 PB i 2.19美元 (1 i ) 1.05
第二种债券在第2年年末的利息再投资价值 ＝9×38712.79×(1+i％) 第二种债券在第3年年末的利息 ＝9×38712.79 第二种债券在第3年年末的出售价格 ＝109×38712.79/(1+i％)3+9×38712.79/(1+i％ )2+9×38712.79/(1+i％) 在3年时点的债券组合价值
久期与债券价格波动
久期在债券投资组合管理中的应用
免疫策略
通过调整债券投资组合的久期，使得投资组合对利率的变化具有一定的“免疫 ”能力，即无论利率如何变化，都能保持一定的，以减少利率变化对投资组合的影响。例如，持 有不同到期日的债券，当短期利率上升时，长期债券价格下跌幅度相对较小， 可以对冲短期债券的损失。
流动性风险与市场分割
总结词
流动性风险是指债券在交易过程中可能难以 买卖或买卖价格不公允的风险。市场分割则 是指不同市场之间的相互独立性，导致债券 价格在不同市场之间存在差异。
详细描述
久期主要关注债券的到期时间和利率敏感性 ，但忽略了流动性风险和市场的分割性。在 某些市场环境下，债券可能难以买卖，或者 买卖价格出现大幅波动，这会对投资者的收 益产生影响。此外，不同市场之间的相互独 立性可能导致同一债券在不同市场上的价格
零息债券
零息债券的久期等于其剩余到期时间与债券面值的乘积。
02
久期与债券价格波动的关系
利率变动对债券价格的影响
债券价格与利率负相关
当利率下降时，债券价格上涨；当利率上升时，债券价格下 跌。这是因为债券的未来现金流（利息和本金）是按照当前 市场利率进行折现的。
久期长度影响敏感性
久期是衡量债券价格对利率变化敏感性的指标。久期较长的 债券对利率的变化较为敏感，即利率的小幅变动可能会引起 债券价格的较大变动。
总结词
长期国债的久期分析通常关注利率风险和债券的到期期限。
详细描述
对于长期国债，久期分析主要评估其在利率变动下的价格波动。由于国债的信用风险较低，投资者更关注利率风 险，即利率变动对债券价格的影响。在分析中，通常会计算债券的到期时间、债券的年化收益率、债券的票面利 率等因素，以评估债券对利率变动的敏感性。
债券久期计算
债券久期计算例：假设债券A刚发行，其面值为1000元，市场利率（贴现率8%）,票面利率为8%,期限为十年。
债券B是5年前发行的，其面值为1000元，票面利率12%，期限为15年，还有10年到期。
计算：1债券A与债券B的价格2计算债券A和B的久期三种方法（1）运用久期的定义：久期作为现金流支付时间的加权平均（2）将久期看作债券价格对贴现率的弹性（3）运用久期函数3计算债券A，B的修正久期4如果市场利率上升10%，即从8%上升到8.8%，求债券A与债券B的价格的变化久期（Duration）一、久期（Duration）的概念久期的概念最早是马考勒（Macaulay）在1938年提出来的，所以又称马考勒久期（简记为D）。
马考勒久期是使用加权平均数的形式计算债券的平均到期时间。
它是债券在未来产生现金流的时间的加权平均，其权重是各期现金值在债券价格中所占的比重。
具体的计算将每次债券现金流的现值除以债券价格得到每一期现金支付的权重，并将每一次现金流的时间同对应的权重相乘，最终合计出整个债券的久期。
保罗•萨缪尔森、约翰•斯克斯和瑞丁敦在随后的若干年独立地发现了久期这一理论范畴，特别是保罗•萨缪尔森和瑞丁敦将久期用于衡量资产/负债的利率敏感性的研究，使得久期具有了第二种含义，即：资产针对利率变化的价格变化率。
久期--的第二个含义是债券投资管理中的一个极其重要的策略----“免疫策略” 的理论基础，根据该策略，当交易主体债券组合的久期与债权的持有期相等的时候，该交易主体短期内就实现了“免疫”的目标，即短期内的总财富不受利率波动的影响。
但是运用这一策略的前提则是，现有久期概念能否正确地衡量未来任何利率变动情景下债券价格的变动情况。
二、马考勒久期的计算公式J~y^^£=1 PV同x t春PV（q）“一工〒"（公式1）其中，D是马考勒久期，B是债券当前的市场价格，PV（Ct）是债券未来第t 期可现金流（利息或资本）的现值，T是债券的到期时间。
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PB
dPB di
i
1 2
d 2 PB di2
(i) 2
PB PB
dPB di PB
i
1 2
d 2 PB di2 PB
(i ) 2
d 2 PB
CB
di2 PB
PB PB
D
i
1 2
CB
(i)
2
令CB表示凸度
CB
1 PB
d 2 PB di 2
1 PB (1 i)2
率的变化
12
五、 凸度
久期实际描述的是债券价格对市场利率的一阶导数关系； 债券价格对市场利率的二阶导数关系即为凸度
PB b
c
a
D E
B G
A
F a’
C b’
i0 c’
-△i
△i
金融工程课程
i
13
五、 凸度
金融工程课程
久期实际描述的是债券价格对市场利率的一阶导数关系；
凸性描述的债券价格对市场利率的二阶导数关系；
2
第一节 麦考利久期
金融工程课程
一、债券价格与市场利率的关系
（１）较长期限的债券价格变动幅度大于较短期限的债券价格变动幅度。 （２）息票额较大的债券的变动幅度小于息票额较低的债券的变动幅度。
对于各种不同期限、不同票息额的债券，能否找到一种共同具备的特征量 ，由该特征量就可以简单比较出不同债券的价格变化呢？ 答案是存在的，即每一种债券都存在一个叫做“久期”的特征量。“久期”是资 产组合利率敏感性的一个测度，久期相等的资产对于利率波动的敏感性是一致的 。
金融工程课程
市场利率的波动是债券价格变动的主要原因。如果将债券的价格看成是市场利率 的函数，记为，
PB PB (i)
PB
dPB di
i
PB dPB PB di
PB
i
D* dPB di
PB
PB D* PB i
债券的价格的变化等于债券的修正久期乘以债券的价格再乘以市场利
t 1
t 1
6
金融工程课程
例题9-1： 一种债券的面值为100元。票息额为每年9元。市场利率为8％。债 券的到期期限为6年。计算该债券的久期。
解： i＝8%
Ct ＝9元 M ＝6
时间 t
1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 6.00
票息额 Ct
折现因子 1/(1+i)t
折现值 Ct/(1+i)t
i 解 ： PB ＝125美元
＝5％
DM＝4.6年
i ＝＋0.004
PB DM PBi 4.6 125 0.004 2.3美元
更加精确的计算结果为：
PB
DM PB (1 i)
i
4.6 125 0.004 1.05
2.19美元
11
四、 久期的数学解释
时间的加权值 t×Ct/(1+i)t
9.00 9.00 9.00 9.00 9.00 9.00 100.00
0.93
8.33
0.86
7.72
0.79
7.14
0.74
6.62
0.68
6.13
0.63
5.67
0.63
63.02
8.33 15.43 21.43 26.46 30.63 34.03 378.10
(2)
PB D*PBi D**i (3) 8
金融工程课程
PB D*PBi 的推导
因为，
PB
t
Ct (1 i)t
dPB t
di
tCt (1 i)t1
1 (1 i)
t
tCt (1 i)t
t
( dPB
tCt (1 i)t
总现值
M
tPt
＝ t 1 M Pt t 1
5
金融工程课程
M
M
tCt /(1 i)t
tCt /(1 i)t M
DM
t 1 M
t1
Ct /(1 i)t
PB
tWt t 1
t 1
Wt
Ct /(1 i)t
M
Ct /(1 i)t
Pt
M
Pt
Pt PB
1
金融工程课程
第一节 麦考利久期 一、债券价格与市场利率的关系 二、麦考利久期（Macaulay Duration）的计算 三、修正久期、美元久期及债券价格变化估计 四、久期的数学解释 五、凸度 第二节 久期与债券到期期限、票息率、及市场利率之间的关系 一、 久期与债券到期期限的关系 二、 久期与市场利率之间的关系 三、 久期与债券票息率之间的关系 第三节 债券的风险免疫 一、 久期与债券的风险免疫 二、 债券组合的久期与免疫资产的组合 三、 免疫债券组合的免疫分析 四、 实践中存在的问题
加总
104.62
514.42
DM =(514.42/104.62)=4.92（年）
表 9－1 例题9-1久期的计算
7
金融工程课程
两个常用术语：
PB－－－债券的现行价格，Δ PB－－－债券的价格变动
D－－－债券的久期； Δ i－－－－预期利率的变动
D* DM
(1)
1 i
D*称为修正久期
D**(美元久期)＝ D*(修正久期)×PB
金融工程课程
第九章 债券久章
涉及的其他重要概念有： 麦考利久期、修正久期、美元久期、凸度及风 险免疫等。要求掌握和理解久期的计算及其数学解释、久期与债券到期 期限、票息率、及市场利率之间的关系等；对将久期概念应用到债券组 合资产的风险免疫有一定的理解和认识。
T
t(t 1)Ct (1 i)t
14
五、 凸度
金融工程课程
例9-3： 一种债券的面值为100元。票息额为每年9元。债券的到期期限为6年。 计算在不同市场利率情况下以及市场利率增加0.5%，该债券的久期和凸度以及 债券市场价格的估计变化。
3
久期的定义及其用途
金融工程课程
（１）当利率发生变化时，迅速对债券价格变化或债券资产组合价 值变化作出大致的估计。
（２）风险管理。
4
金融工程课程
二、麦考利久期（Macaulay Duration）的计算
（１）麦考莱久期估算法
将久期表述为债券现金流的时间加权现值之和与现金流的总现值 的比率。
D
时间加权现值
)
di
DM
di
PB
(1 i)PB
(1 i)
9
金融工程课程
因为，
dPB DM di
PB
(1 i)
dPB D*PB di
PB D*PB i D**i
10
金融工程课程
例题9-2：已知某种债券当前的市场价格为125美元，当前的市场年利率为5％， 债券的久期为4.6年， 求：如果市场利率上升40个基点，债券的市场价格将发生 怎样的市场变化？