《不等式的基本性质》公开课课件
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第一节---不等式的基本性质市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
第六章 不等式、推理与证明
[知识能否忆起] 1．实数大小顺序与运算性质之间旳关系 a－b＞0⇔ a＞b；a－b＝0⇔a＝b ；a－b＜0⇔ a＜b .
2．不等式旳基本性质
性质
性质内容
注意
对称性 a>b⇔ b<a
⇔
传递性 a>b，b>c⇒a>c
⇒
可加性 a>b⇒ a＋c>b＋c
⇒
可乘性
a>b⇒ ac>bc c>0 a>b⇒ ac<bc c<0
∴ad＜bc，故①错误． ∵a＞0＞b＞－a，∴a＞－b＞0，
∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，
∴a(－c)＞(－b)(－d)，
∴ac＋bd＜0，∴ad＋bc＝ac＋cdbd＜0， 故②正确． ∵c＜d，∴－c＞－d， ∵a＞b，∴a＋(－c)＞b＋(－d)， a－c＞b－d，故③正确． ∵a＞b，d－c＞0，∴a(d－c)＞b(d－c)， 故④正确，故选C. [答案] (1)A (2)C
＞|a|，即|a|＋b＜0，故②错误；③中，因为b＜a＜0，即0
＞a＞b，又因为
1 a
＜ 1b ＜0，所以a－ 1a ＞b－
1 b
，故③正确；
④中，因为b＜a＜0，根据y＝x2在(－∞，0)上为单调减函
数，可得b2＞a2＞0，而y＝ln x在定义域上为增函数，所以
ln b2＞ln a2，故④错误． [答案] C
答案： ②③
1.使用不等式性质时应注意旳问题： 在使用不等式时，一定要搞清它们成立旳前提条件．不 可强化或弱化成立旳条件．如“同向不等式”才可相加，“同 向且两边同正旳不等式”才可相乘；可乘性中“c旳符号”等也 需要注意． 2．作差法是比较两数(式)大小旳常用措施，也是证明 不等式旳基本措施．要注意强化化归意识，同步注意函数 性质在比较大小中旳作用．
[知识能否忆起] 1．实数大小顺序与运算性质之间旳关系 a－b＞0⇔ a＞b；a－b＝0⇔a＝b ；a－b＜0⇔ a＜b .
2．不等式旳基本性质
性质
性质内容
注意
对称性 a>b⇔ b<a
⇔
传递性 a>b，b>c⇒a>c
⇒
可加性 a>b⇒ a＋c>b＋c
⇒
可乘性
a>b⇒ ac>bc c>0 a>b⇒ ac<bc c<0
∴ad＜bc，故①错误． ∵a＞0＞b＞－a，∴a＞－b＞0，
∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，
∴a(－c)＞(－b)(－d)，
∴ac＋bd＜0，∴ad＋bc＝ac＋cdbd＜0， 故②正确． ∵c＜d，∴－c＞－d， ∵a＞b，∴a＋(－c)＞b＋(－d)， a－c＞b－d，故③正确． ∵a＞b，d－c＞0，∴a(d－c)＞b(d－c)， 故④正确，故选C. [答案] (1)A (2)C
＞|a|，即|a|＋b＜0，故②错误；③中，因为b＜a＜0，即0
＞a＞b，又因为
1 a
＜ 1b ＜0，所以a－ 1a ＞b－
1 b
，故③正确；
④中，因为b＜a＜0，根据y＝x2在(－∞，0)上为单调减函
数，可得b2＞a2＞0，而y＝ln x在定义域上为增函数，所以
ln b2＞ln a2，故④错误． [答案] C
答案： ②③
1.使用不等式性质时应注意旳问题： 在使用不等式时，一定要搞清它们成立旳前提条件．不 可强化或弱化成立旳条件．如“同向不等式”才可相加，“同 向且两边同正旳不等式”才可相乘；可乘性中“c旳符号”等也 需要注意． 2．作差法是比较两数(式)大小旳常用措施，也是证明 不等式旳基本措施．要注意强化化归意识，同步注意函数 性质在比较大小中旳作用．
课件 选修4-5不等式的基本性质-经典公开课(优秀公开课件).ppt
用数学式子表示为:
a b a-b0 a b a-b0 a b a-b0
基本理论
a b a - b 0； a b a - b 0； a b a-b 0.
上式中的左边部分反映的是实数的大小顺序，而 右边部分则是实数的运算性质，合起来就成为实 数的大小顺序与运算性质之间的关系. 这一性质 不仅可以用来比较两个实数的大小，而且是推导 不等式的性质、不等式的证明、解不等式的主要 依据.
4.（1）可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc; a>b，c<0⇒ac<bc. （2）同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd.
5.乘、开方法则：a>b>0⇒an>bn，n a n b (n∈N，n≥2)． 6.倒数性质：a>b，且ab>0⇒
1 1 ． a b
n 特别地，当 n为奇数时， 条件可放宽为： a > b， 也有a n > bn， a n b (n∈N， n ≥2)．
x 3 x - 3 0, x 1 0, x -1 0
A- B 0
故A B
作差比较法常见的变形手段是: 通分、因式分 解或配方等；变形的结果是常数、若干个因式 的积或完全平方式等.
b, 试比较a abb与abba的大小。
注意： 2.以上不等式的基本性质可以得到严格证明；
3.要会用自然语言描述上述基本性质；
1.注意公式成立的条件，要特别注意“符号问题”；
4.上述基本事实和基本性质是我们处理不等式问题 的理论基础.
不等式的基本性质
【例2】 判断下列命题是否正确，并说明理由。
(1)若a > b， 则ac > bc ； a b ( 2)若 2 2 ，则 a b; c c 1 1 (3)若a b，ab 0, 则 ; a b (4)若a b，c d , 则ac bd； 1 1 (5)若a b 0， ,则 ; a b (6)若 | a | b， , 则a 2 b2 ;
基本不等式公开课课件完整版
4
基本不等式的形式与特点
基本不等式的形式
包括一元一次不等式、一 元二次不等式、分式不等 式等。
2024/1/25
基本不等式的特点
具有普遍性、客观性、可 解性等。
基本不等式的应用
在解决数学问题时，经常 需要运用基本不等式进行 求解或证明。
5
基本不等式的几何意义
1 2
一元一次不等式的几何意义
表示平面直角坐标系中的一条直线将平面分成两 部分，其中一部分为满足不等式的区域。
应用
在证明不等式、求最值等问题中有广泛应用，如利用柯西-施瓦茨不 等式证明均值不等式。
2024/1/25
22
赫尔德不等式
2024/1/25
定义
对于非负实数序列 {a_i} 和正实数 p, q 满足 1/p + 1/q = 1，有 (∑a_i^p)^(1/p) * (∑a_i^q)^(1/q) ≥ ∑a_i，其中“∑”表示求和符号。
感谢观看
2024/1/25
31
26
常见误区与注意事项
2024/1/25
不等式性质理解的误区
学生常常对不等式的基本性质理解不透彻，如反向不等式的错误 使用等。
忽视定义域的问题
在解不等式时，学生有时会忽视定义域的限制，导致解集错误。
解法选择不当
针对不同类型的不等式，应选择适当的解法。学生有时会选择复杂 的解法，导致解题效率低下。
27
例题3
已知函数$f(x) = x^2 - 2ax + 3$在区间$(-infty, 2]$上是减函 数，求$a$的取值范围。
例题4
已知不等式$|x - a| < b$的解集 为${ x | -1 < x < 3 }$，求$a +
基本不等式的形式与特点
基本不等式的形式
包括一元一次不等式、一 元二次不等式、分式不等 式等。
2024/1/25
基本不等式的特点
具有普遍性、客观性、可 解性等。
基本不等式的应用
在解决数学问题时，经常 需要运用基本不等式进行 求解或证明。
5
基本不等式的几何意义
1 2
一元一次不等式的几何意义
表示平面直角坐标系中的一条直线将平面分成两 部分，其中一部分为满足不等式的区域。
应用
在证明不等式、求最值等问题中有广泛应用，如利用柯西-施瓦茨不 等式证明均值不等式。
2024/1/25
22
赫尔德不等式
2024/1/25
定义
对于非负实数序列 {a_i} 和正实数 p, q 满足 1/p + 1/q = 1，有 (∑a_i^p)^(1/p) * (∑a_i^q)^(1/q) ≥ ∑a_i，其中“∑”表示求和符号。
感谢观看
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26
常见误区与注意事项
2024/1/25
不等式性质理解的误区
学生常常对不等式的基本性质理解不透彻，如反向不等式的错误 使用等。
忽视定义域的问题
在解不等式时，学生有时会忽视定义域的限制，导致解集错误。
解法选择不当
针对不同类型的不等式，应选择适当的解法。学生有时会选择复杂 的解法，导致解题效率低下。
27
例题3
已知函数$f(x) = x^2 - 2ax + 3$在区间$(-infty, 2]$上是减函 数，求$a$的取值范围。
例题4
已知不等式$|x - a| < b$的解集 为${ x | -1 < x < 3 }$，求$a +
公开课：《不等式的基本性质》-省优质课获奖课件
(2)5年前呢?
a+40 < b+40 a-5 < b-5
结论：
加法法则
不等式两边都加(或减去) 同一个数,不等式仍成立.
符号表示：如果a＜b,那么a+c a-c b<-c; 如果a＞b,那么a+c b+>c, a-c
b+c, < b-c. >
不等式两边都加(或减去)同一个数,不等式仍成立.
(1)若x+1>0,两边都减去1,得 ; x>-1 x+1-1>0-1，则 x>-1.
不等式两边同时乘(或除以)同一个正数, 不等号的方向不改变; 不等式两边同时乘(或除以)同一个负数, 不等号的方向改变.
加法法则 乘法法则
知识应用 例题见证
例3 用符号“>”或“<”填空，并说出应用了不等式的哪条性质。 (1) 设a>b,a-3____b-3; (2) 设a>b,6a____6b; (3) 设a<b,-4a____-4b; (4) 设a<b,5-2a____5-2b.
(2)x-2<0,两边都加上2,得 ; x<2
(3)若a-4>0,则a 4; > (4)∵0<1, ∴a a+1<; (5)若a＞-b,则a+b 0. >
不等式两边同时加(或减去)同一个数, 不等号方向不改变. 不等式两边都乘(或除以)同一 个数(不为零),不等号方向会不会改变呢？
情景三
已知12<18,则
1Ⅰ2组×:2 18×2 12×(-2) 18Ⅱ×组(:-2)
<
>
12×3 18×3 12×(-3) 18×(-3)
不等式的基本性质课件--公开课
小组交流你 的发现并用 自己的语言 描述。
(4) 2 （- 5）> 3 （- 5） ;
1 > 1 (5) 2 （- ） 3 （- ） ; 2 2
探究二
不等式的基本性质2：
不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不 等号的方向不变； a b 用字母表示：若 a b, c 0 ,则 ac bc 或
不等式的基本性质1： 不等式的两边都加(或减)同一个整式， 不等号的方向不变； 用字母表示： 若
a b ，则 a c b c
探究二
Ⅱ、完成下列填空 2<3 (1) 2 5 < 3 5;
1 < 1 (2) 2 3 ; 2 2 (3) 2 （-1 ）> 3 （-1 ） ;
拓展提升
2.比较a与2a的大小
<法一>利用不等式基本性质2: <法二>利用不等式基本性质1: <法三>作差法:
课堂小结
等式的
基本性质
区别 联系
不等式的
基本性质
布置作业
必做题 习题2.2—1，2
选做题 习题2.2—3，4
(3) a ＞ b; (4) a b ＜ 0.
例题精析 例题精析
例1、将下列不等式化成“x>a”或“x<a”的形式： (2) 2 x 3. (1) x 5 1;
巩固提高
1.将下列不等式化成“x>a”或“x<a”的形式： 5 (2) x ; (1) x 1 2; 6
不等式的基本性质3：
不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不 等号的方向改变；
c
c
a b 用字母表示：若 a b, c 0 ,则 ac bc 或 c c
(4) 2 （- 5）> 3 （- 5） ;
1 > 1 (5) 2 （- ） 3 （- ） ; 2 2
探究二
不等式的基本性质2：
不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不 等号的方向不变； a b 用字母表示：若 a b, c 0 ,则 ac bc 或
不等式的基本性质1： 不等式的两边都加(或减)同一个整式， 不等号的方向不变； 用字母表示： 若
a b ，则 a c b c
探究二
Ⅱ、完成下列填空 2<3 (1) 2 5 < 3 5;
1 < 1 (2) 2 3 ; 2 2 (3) 2 （-1 ）> 3 （-1 ） ;
拓展提升
2.比较a与2a的大小
<法一>利用不等式基本性质2: <法二>利用不等式基本性质1: <法三>作差法:
课堂小结
等式的
基本性质
区别 联系
不等式的
基本性质
布置作业
必做题 习题2.2—1，2
选做题 习题2.2—3，4
(3) a ＞ b; (4) a b ＜ 0.
例题精析 例题精析
例1、将下列不等式化成“x>a”或“x<a”的形式： (2) 2 x 3. (1) x 5 1;
巩固提高
1.将下列不等式化成“x>a”或“x<a”的形式： 5 (2) x ; (1) x 1 2; 6
不等式的基本性质3：
不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不 等号的方向改变；
c
c
a b 用字母表示：若 a b, c 0 ,则 ac bc 或 c c
不等式的基本性质 课件
1)·(a2-a+1).
题型三
利用不等式的基本性质求范围
【例 3】 已知 60<x<84,28<y<33,则 x-y 的取值范围为
, 的取值范围为
.
解析：∵x-y=x+(-y),∴需先求出-y 的范围.
1
1
∵ = · , ∴ 需先求出 的范围.
1
1
60
∵60<x<84,∴27<x-y<56,
4
2
4
4
2
4
π
-
π
< .
∴− ≤
2
2
2
-
π
-
< 0.
< 0. ∴ − ≤
又 α<β,∴
222Fra bibliotekππ π -
+
的取值范围为 - ,0 .
,
的取值范围为 - ,
故
2
2 2 2
2
(4)如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,那么ac<bc.
(5)如果a>b>0,那么an>bn(n∈N,n≥2).
n
(6)如果 a>b>0,那么 >
(∈N,n≥2).
3.作差比较法
(1)理论依据:a-b>0⇔a>b;a-b=0⇔a=b;a-b<0⇔a<b.
(2)方法步骤:①作差;②变形;③判断符号;④下结论.
由a>b 就可知
答案：C
2 +1
>
, 故正确;选项
题型三
利用不等式的基本性质求范围
【例 3】 已知 60<x<84,28<y<33,则 x-y 的取值范围为
, 的取值范围为
.
解析：∵x-y=x+(-y),∴需先求出-y 的范围.
1
1
∵ = · , ∴ 需先求出 的范围.
1
1
60
∵60<x<84,∴27<x-y<56,
4
2
4
4
2
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π
-
π
< .
∴− ≤
2
2
2
-
π
-
< 0.
< 0. ∴ − ≤
又 α<β,∴
222Fra bibliotekππ π -
+
的取值范围为 - ,0 .
,
的取值范围为 - ,
故
2
2 2 2
2
(4)如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,那么ac<bc.
(5)如果a>b>0,那么an>bn(n∈N,n≥2).
n
(6)如果 a>b>0,那么 >
(∈N,n≥2).
3.作差比较法
(1)理论依据:a-b>0⇔a>b;a-b=0⇔a=b;a-b<0⇔a<b.
(2)方法步骤:①作差;②变形;③判断符号;④下结论.
由a>b 就可知
答案：C
2 +1
>
, 故正确;选项
不等式的基本性质PPT课件
事实上，如果a>b， c>0，因为ac-bc=c(ab)>0，所以ac>bc.
(7)将不等式6>-3和-4<-2的两边都乘-3，不等号的 方向是否改变？两边都除以-2呢？
6×3 < (-3)×3; (-4)×3 > (-2)×3; 6÷2 < (-3)÷2; (-4)÷2 > (-2)÷2.
(8)由(7)你发现了什么结论？能用不等式表示 出来吗？
a>b；甲的年龄大，a+c>b+c
（2）在数轴上，点A与点B分别对应实数a，b， 并且点A在点B的右边，请你用不等式表示a， b之间的大小关系.如果同时将点A，B向右（或 向左）沿x轴移动c个单位长度，得到点A′，B ′ （如图）.你能用不等式表示点A′，B ′所对应 的数的大小关系吗？
a>b；a+c>b+c；a-c>b-c
判断下列式子是不是不等式：
（1）-3<0
是
（2）4x+3y>0 是
（3）x=3
不是
（4） x2+xy+y2 不是
（5）x+2>y+5 是
2 不等式的性质
等式具有那些性质？ 不等式是否具有这些类似性质？
等式基本性质1：
等式的两边都加上（或减去）同一个整 式，等式仍旧成立
如果a=b,那么a±c=b±c
（3）由（1）（2），你发现了有关不等式的什 么结论呢？你能用不等式表示表示出来吗？
如果a>b,那么a±c>b±c.
也就是说，不等式的两边都加上（或减 去）同一数或同一个整式，不等号的方 向不变。
我们把这一性质作为不等式基本性质1.
(7)将不等式6>-3和-4<-2的两边都乘-3，不等号的 方向是否改变？两边都除以-2呢？
6×3 < (-3)×3; (-4)×3 > (-2)×3; 6÷2 < (-3)÷2; (-4)÷2 > (-2)÷2.
(8)由(7)你发现了什么结论？能用不等式表示 出来吗？
a>b；甲的年龄大，a+c>b+c
（2）在数轴上，点A与点B分别对应实数a，b， 并且点A在点B的右边，请你用不等式表示a， b之间的大小关系.如果同时将点A，B向右（或 向左）沿x轴移动c个单位长度，得到点A′，B ′ （如图）.你能用不等式表示点A′，B ′所对应 的数的大小关系吗？
a>b；a+c>b+c；a-c>b-c
判断下列式子是不是不等式：
（1）-3<0
是
（2）4x+3y>0 是
（3）x=3
不是
（4） x2+xy+y2 不是
（5）x+2>y+5 是
2 不等式的性质
等式具有那些性质？ 不等式是否具有这些类似性质？
等式基本性质1：
等式的两边都加上（或减去）同一个整 式，等式仍旧成立
如果a=b,那么a±c=b±c
（3）由（1）（2），你发现了有关不等式的什 么结论呢？你能用不等式表示表示出来吗？
如果a>b,那么a±c>b±c.
也就是说，不等式的两边都加上（或减 去）同一数或同一个整式，不等号的方 向不变。
我们把这一性质作为不等式基本性质1.
《不等式的基本性质》公开课课件
版权所有©贡为民
• 1. 某单位有青年职工若干人, 住若干间宿 舍. 如果每间住4人, 那么还有20人的住宿 无法安排; 如果每间住8人, 那么有一间宿 练习 舍不空也不满. 求该单位的职工人数和宿 舍间数.
版权所有©贡为民
• 2.某展览会入场票价为: 成人票每张5元, 小孩票每张3元。 某天上午入场人数为 109人, 其中一部分还购买了定价为5角的 说明书. 已知售出的入场券和说明书总收 入为539.5元, 且没有买说明书的人数在15 人和20 人之间 , 问成人有多少人 ? 问小孩 有多少人? 没有买说明书的有多少人?
③④ 同学回答
（1）掌握不等式的三条性质，尤其是性质3； 不等式的三条性质是： ① 、不等式的两边都加上（或减去）同一 个 数或同一个整式，不等号的方向不变； ② 、不等式的两边都乘以（或除以）同一 个 正数，不等号的方向不变； ③ 、*不等式的两边都乘以（或除以）同 一个负数，不等号的方向要改变 ； （2）能正确应用性质对不等式进行变形；
例 1 根据不等式的基本性质，把下列不等 式化成 x＜ a 或 x＞ a 的形式： （ 1） x － 2＜ 3 （ 2） 6 x ＜ 5 x － 1
1 （ 3） x ＞ 5 2
（ 4） － 4 x ＞ 3
解 （1）根据不等式的性质1，两边都加上2得： x－2＋2＜3＋2 即 x ＜5 （2）根据不等式的性质1，两边都减去5 x 得： 6 x －5 x ＜（5 x －1）－5 x 即 x ＜－1
当不等式两边都乘以（或除以）同 一个数 时，一定要看清是正数还是负数；对于未给定 范围的字母，应分情况讨论。
• [例1] 出租车的收费标准是: 不超过2千米 起步价5元, 往后每增加1千米车费加收2 元；不足1千米的路程, 按1千米收费. 某 列不等式解应用题 人乘出租车从甲地到乙地 , 共付车费35元. 如果他从甲地先步行800米, 然后乘车到 乙地, 仍然需要付35元. 问从甲乙两地的 中点乘车到乙地, 需付车费多少元?
• 1. 某单位有青年职工若干人, 住若干间宿 舍. 如果每间住4人, 那么还有20人的住宿 无法安排; 如果每间住8人, 那么有一间宿 练习 舍不空也不满. 求该单位的职工人数和宿 舍间数.
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• 2.某展览会入场票价为: 成人票每张5元, 小孩票每张3元。 某天上午入场人数为 109人, 其中一部分还购买了定价为5角的 说明书. 已知售出的入场券和说明书总收 入为539.5元, 且没有买说明书的人数在15 人和20 人之间 , 问成人有多少人 ? 问小孩 有多少人? 没有买说明书的有多少人?
③④ 同学回答
（1）掌握不等式的三条性质，尤其是性质3； 不等式的三条性质是： ① 、不等式的两边都加上（或减去）同一 个 数或同一个整式，不等号的方向不变； ② 、不等式的两边都乘以（或除以）同一 个 正数，不等号的方向不变； ③ 、*不等式的两边都乘以（或除以）同 一个负数，不等号的方向要改变 ； （2）能正确应用性质对不等式进行变形；
例 1 根据不等式的基本性质，把下列不等 式化成 x＜ a 或 x＞ a 的形式： （ 1） x － 2＜ 3 （ 2） 6 x ＜ 5 x － 1
1 （ 3） x ＞ 5 2
（ 4） － 4 x ＞ 3
解 （1）根据不等式的性质1，两边都加上2得： x－2＋2＜3＋2 即 x ＜5 （2）根据不等式的性质1，两边都减去5 x 得： 6 x －5 x ＜（5 x －1）－5 x 即 x ＜－1
当不等式两边都乘以（或除以）同 一个数 时，一定要看清是正数还是负数；对于未给定 范围的字母，应分情况讨论。
• [例1] 出租车的收费标准是: 不超过2千米 起步价5元, 往后每增加1千米车费加收2 元；不足1千米的路程, 按1千米收费. 某 列不等式解应用题 人乘出租车从甲地到乙地 , 共付车费35元. 如果他从甲地先步行800米, 然后乘车到 乙地, 仍然需要付35元. 问从甲乙两地的 中点乘车到乙地, 需付车费多少元?
不等式的基本性质教学课件
2023《不等式的基本性质教学课件ppt》contents •不等式的定义和表示方法•不等式的基本性质•不等式的解法•不等式的应用•不等式的历史和未来发展•课后习题与答案目录01不等式的定义和表示方法1不等式的定义23不等式是表示两个数或两个式子之间不相等关系的数学符号。
不等式的定义包括算术不等式、几何不等式、函数不等式等。
不等式的种类描述两个数或式子之间的数量关系，可以反映事物的某些性质和规律。
不等式的意义一般用“>”、“<”、“≥”、“≤”等符号来表示两个数或式子之间的大小关系。
不等式的表示方法数学符号如x > 3，a < b等都是不等式。
举例说明不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变。
注意问题03解题步骤首先分析问题中涉及的变量及其关系，然后建立相应的不等式模型，最后解不等式得到所需的结果。
如何使用不等式进行数学建模01建立数学模型通过建立不等式模型，可以描述实际问题中变量之间的关系，反映事物的规律和性质。
02实例说明如实际生活中的购物问题、投资问题等都可以通过建立不等式模型来分析解决。
02不等式的基本性质总结词基础且重要详细描述不等式的传递性是不等式基本性质的核心内容之一，它表明如果a>b和c>d，那么ac>bd。
这个性质在解决一些复杂不等式问题时非常有用，需要学生熟练掌握。
不等式的传递性总结词基础且常用详细描述不等式的可加性表明，如果a>b，c>d，那么a+c>b+d。
这个性质在解决一些实际问题时非常常用，如比较两个商品的价格等。
不等式的可加性重要但较难理解总结词不等式的可乘性表明，如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd。
这个性质在解决一些复杂不等式问题时需要逆用，同时需要注意乘积为负的情况。
详细描述不等式的可乘性总结词易忽视但有技巧详细描述不等式的可除性表明，如果a>b>0，c>d>0，那么ad>bc。
不等式的基本性质(优秀公开课课件)
不等式的基本性质
万源市井溪乡中心小学校 伍高兴
回顾旧知
a±c a=b
等式的基本性质：
=
b±c
ac = bc
a÷c = b ÷c （c ≠ 0）
1、等式两边同时加（或减）同一个代数式，结果仍是等式。
2、等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数）， 所得结果仍是等式。
不等式的基本性质还是这样吗？
回顾旧知
不等式的定义：
一般地，用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”）连 接的式子叫做不等式。
我 会 判 断
5x + 3y = 0
m2 m2 ＞ 4 π 16
5x + 3y
6 + 5t ≤ 180
情境引入
通过师生对话，年龄的差异现场生成不等式。你能告 诉我你的年龄吗？你知道老师的年龄吗？ 14 < 34
收获新知
不等式的性质2 不等式的两边同时乘（或除以）同一个 正数，不等号的方向不变. 不等式的性质3 不等式的两边同时乘（或除以）同一个 负数，不等号的方向改变.
符号表示为：
如果a＜b,c >0那么ac ﹤
bc
(或
如果a＜b,c＜0那么ac ＞
a b ＞ ). 如果a＞b,c >0那么ac ＞ bc (或 ___ c ac b ﹤ ). 如果a＞b,c＜0那么ac ﹤ bc (或 ___
乘胜追击
2、不计算，完成下列填空
x＞y x-z ＞ y-z
z＜0
x z
xz ＜ yz
＜
y z
善于观察
3、 x ＞ y，下列不等式一定成立吗？
x-6＜y-6
2x ＞
3y
-2 x ＞ -2y
万源市井溪乡中心小学校 伍高兴
回顾旧知
a±c a=b
等式的基本性质：
=
b±c
ac = bc
a÷c = b ÷c （c ≠ 0）
1、等式两边同时加（或减）同一个代数式，结果仍是等式。
2、等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数）， 所得结果仍是等式。
不等式的基本性质还是这样吗？
回顾旧知
不等式的定义：
一般地，用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”）连 接的式子叫做不等式。
我 会 判 断
5x + 3y = 0
m2 m2 ＞ 4 π 16
5x + 3y
6 + 5t ≤ 180
情境引入
通过师生对话，年龄的差异现场生成不等式。你能告 诉我你的年龄吗？你知道老师的年龄吗？ 14 < 34
收获新知
不等式的性质2 不等式的两边同时乘（或除以）同一个 正数，不等号的方向不变. 不等式的性质3 不等式的两边同时乘（或除以）同一个 负数，不等号的方向改变.
符号表示为：
如果a＜b,c >0那么ac ﹤
bc
(或
如果a＜b,c＜0那么ac ＞
a b ＞ ). 如果a＞b,c >0那么ac ＞ bc (或 ___ c ac b ﹤ ). 如果a＞b,c＜0那么ac ﹤ bc (或 ___
乘胜追击
2、不计算，完成下列填空
x＞y x-z ＞ y-z
z＜0
x z
xz ＜ yz
＜
y z
善于观察
3、 x ＞ y，下列不等式一定成立吗？
x-6＜y-6
2x ＞
3y
-2 x ＞ -2y
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不等式的两边都加上（或减去） 同一个数，不等号的方向不变。
这个性质可以用数学语言表示为： 如果 a
b ，那么 a c ＜ b c 如果 a b ，那么 a c ＞ b c
仿照下表，分组探讨
不等式的两边 都乘以（或除 以）同一个正 与原不等式 比较不等号 的方向是否 改变了
没有改变 没有改变
1、如果x＋5＞4，那么两边都 减去5 可得 x ＞－1 2、在－7＜8 的两边都加上9可得 2＜17 。
3、在5＞－2 的两边都减去6可得 －1＞－8
4、在－3＞－4 的两边都乘以7可得 －21＞－28
。
。
5、在－8＜0 的两边都除以8 可得 －1＜0
。
仿照下表，分组探讨
不等式的两边 都乘以（或除 不等式 以）同一个负 与原不等式 比较不等号 的方向是否 改变了
改变了 改变了
结 果
数
7＞4 － 8＜ 4 乘以－5 除以－4 －35＜－20 2 ＞－1
…
…
…
…
由上面的探讨我们可以继续得出：
不等式的基本性质 3：
不等式的两边都乘以（或除以） 同一个负数，不等号的方向要改变。
这个性质可以用数学语言表示为：
c 0 ，那么 ac bc b， c 0 ，那么 ac bc 如果 a b ，
不等式的性质
观察下面的式子，回答什么叫不等式？
3x 5
a4 b3
a 1 0
2
（用不等号表示不等关系的式子叫不等式） 由“等式表示相等关系”，我们会想到： 在现实生活中，同种量之间有没有不等关系 呢？（如身高与身高、面积与面积等）请你 们举一些实例。
1、判断下列式子哪些是不等式 （ 1） 3＞ 2 （2） a2+1＞ 0 （3） 3 x 2+2 x （4） x＜ 2 x +1 （ 5） x ＝ 2 x － 5 （6） x 2+4 x ＜ 3 x +1 （7） a+b≠c
不等式
结 果
数
7＞4 － 8＜ 4 乘以5 除以4 35＞20 － 2＜ 1
…
…
…
…
由上面的探讨我们可以继续得出：
不等式的基本性质 2：
不等式的两边都乘以（或除以） 同一个正数，不等号的方向不变。
这个性质可以用数学语言表示为： 如果 a
c 0 ，那么 ac bc b， c 0 ，那么 ac bc 如果 a b ，
例 1 根据不等式的基本性质，把下列不等 式化成 x＜ a 或 x＞ a 的形式： （ 1） x － 2＜ 3 （ 2） 6 x ＜ 5 x － 1
1 （ 3） x ＞ 5 2
（ 4） － 4 x ＞ 3
解 （1）根据不等式的性质1，两边都加上2得： x－2＋2＜3＋2 即 x ＜5 （2）根据不等式的性质1，两边都减去5 x 得： 6 x －5 x ＜（5 x －1）－5 x 即 x ＜－1
√
√
√
√
√
2、用“＞”或“＜”填空： （ 1） 4 ＞ － 6 （2）－1 ＜ 0 （3） －8＜ －3 （4） －4.5 ＜ －4 （5） 7+3＞ 4+3 （6） 7+(－3)＞ 4+(－3) （7） 7×3＞ 4×3 （8） 7×(－3)＜ 4×(－3)
1、观察下面这几个式子，回答什么是等式？
③ ④
） ） ） ）
3a ＜ 3b （不等式的性质 3 a b ＞ 0 （不等式的性质 1
a是任意有理数，试比较 5a 与 3a 的大小。
解：∵ 5 ＞ 3 ∴ 5a 3a 这种解法对吗？如果正确，说出它根据 的是不等式的哪一条基本性质；如果不正确， 请就明理由。 答：这种解法不正确，因为字母 a的取值范 围我们并不知道。如果 a 0，那么 5a 3a ； 如果 a 0 ，那么 3a 5a 。
x 2y 3
2 2 m 2n 0 3
x2 y
★表示相等关系的式子叫等式。
★等号左边的代数式叫等式的左边；
★等号右边的代数式叫等式的右边。
2、观察下面这几个式子，完成下面的填空。
∵
ab ∴ a3 b3 2 2 ∴ a ( x 2 y) b ( x 2 y)
等式的基本性质1：
同一个数 等式的两边都加上（或减去） 或 同一个整式，所得的结果仍是等式。
3、继续观察下面这几个式子，完成下面的填空。
∵ab ∴ 3a 3b ∴
a b 4 4
等式的基本性质2：
同一个数 等式的两边都乘以（或除以） （除数不能为零），所得的结果仍是等式。
从上面的回忆可知，等式有两条基本性质， 那么不等式有没有类似的性质呢？
回答是肯定的，有。我们今天的主要任务 就是研究不等式有哪些性质？
仿照下表，分组探讨
不等式 7＞4 不等式的两边 都加上（或减 去）同一个数 加上5 结果 12＞9
与原不等式 比较不等号 的方向是否 改变了
没有改变
－ 3＜ 4
减去7
－10＜－3
没有改变
…
…
…
…
由上面的探讨我们可以得出：
不等式的性质1：
如果 a
1、在不等式－8＜0的两边都除以－8可得 1＞0 2、在不等式－3 x3、在不等式－3＞－4的两边都乘以－3可得 9＜12 。
b 的两边都乘以－1可得 a b。
如果 a
b ，那么： ① a 3 ＞ b 3（不等式的性质 1 2 （不等式的性质 ＞ 2 a 2 b ②
③④ 同学回答
（1）掌握不等式的三条性质，尤其是性质3； 不等式的三条性质是： ① 、不等式的两边都加上（或减去）同一 个 数或同一个整式，不等号的方向不变； ② 、不等式的两边都乘以（或除以）同一 个 正数，不等号的方向不变； ③ 、*不等式的两边都乘以（或除以）同 一个负数，不等号的方向要改变 ； （2）能正确应用性质对不等式进行变形；
当不等式两边都乘以（或除以）同 一个数 时，一定要看清是正数还是负数；对于未给定 范围的字母，应分情况讨论。
• [例1] 出租车的收费标准是: 不超过2千米 起步价5元, 往后每增加1千米车费加收2 元；不足1千米的路程, 按1千米收费. 某 列不等式解应用题 人乘出租车从甲地到乙地 , 共付车费35元. 如果他从甲地先步行800米, 然后乘车到 乙地, 仍然需要付35元. 问从甲乙两地的 中点乘车到乙地, 需付车费多少元?