博弈算法研究：不可能完美的绝对公平公正

博弈算法研究：不可能完美的绝对公平公正

呃……我要说的不是政治体制，是数学或者说经济学。话说我最近已经不太愤了，发现右愤+Nerd（好听点叫Geek）果然是最没前途的组合，有句名言说得好“当别人和美少女舌吻的时候，我和美少女舌战，这就是独立思考和知道太多的结局。”于是我要先把愤属性藏起来，再把Nerd属性藏起来，这样就更好地伪装成人类了，然后就可以和美少女舌吻了。

不扯了入正题，下面要说的是一个选举的问题，我们规定一些看上去完全合情合理的条件，结果却发现没有任何一种选举制度能够满足。从这个意义上讲，任何一种选举制度都是有缺陷的。

下面把问题形式化一下，有N个投票人，K个候选人。每个投票人根据自己的喜好，把这K个人排个序，设这K!种可能的序列组成的集合为L(K)。一个选举制度，就是N个L(K)的笛卡尔积到一个L(K)的映射。前面这句话是吓人用的，说白了就是，选举制度就是一个算法，输入是N个{1..K}的排列，设为R1,R2…Rn，每个排列表示一个投票人的观点，算法的输出是一个{1..K}的排列，表示结合所有的观点计算出一个最终的投票结果。我们要证明的是，不管你用什么算法在某种意义上都是有缺陷的。

我们觉得这选举算法应该满足如下3个条件：

(1)一致性或帕雷托最优性(unanimity): 如果对于全部N个排列，候选人a都排在b的前面，则最终结果a也应该排在b的前面

(2)非独裁性(non-dictatorship): 不存在这样一个i (1 <= i <= n)，使得无论输入是什么，总的结果总和Ri相同。

(3)无关因素独立性(independence of irrelevant alternatives, 以下简作IIA): 对于两组可能不同的输入R1,R2…Rn和S1,S2…Sn，如果对于每个i，候选人a和b的相对顺序在Ri和Si里都一致，则由R1,R2…Rn 得出的最终结果和由S1,S2…Sn得出的最终结果中，a和b的相对顺序是一样的。

条件(3)的另一种理解方式为，如果我们只关心K个候选人的一个子集，假设说是M个候选人，那么把投票人的排列里我们不关心的人都划去，剩下的仍保持原来顺序，就好像只有这M个候选人一样。然后用同样的选举算法计算，最终这M个人的顺序和原来考虑全部K个人时这M个人的相对顺序是一样的。

这三个条件看上去似乎都很合理，然而我们可以证明，没有任何一种选举算法能同时满足三条。下面我们就证明，满足(1)和(3)的选举算法，必然不满足(2)，也就是说，满足一定条件的民主就变成了独裁…… -_-

证明可以分为三部分：

第一部分：存在关键的投票人

我们考虑N个投票人和三个候选人A,B,C。如果所有投票人都把B排在最后，根据一致性，显然在总排名里B排在最后。（我们把这种状态叫做状态1）

同理，如果所有人都把B排在最前，总排名里B就在最前。下面我们考虑从状态1开始，编号从1到N的N个投票人，逐个把B从最后改成最前，每当一个投票人改变一次排列，就重新计算一次总的排名。这样的话，一开始B总排名垫底，到最后总排名最高，这中间必定有个变化的过程。我们会发现，这个变化是直接“跳”上去的，也就是说，在中间的某个投票人改变自己的排列后，B的总排名会突然从垫底跳到最高，没有中间过程。

我们用反证法，假设存在一个中间过程，也就是说，在某个投票人（不妨设为第n个）改变主意后，B升到了A和C的中间。不妨设此时总排名是C>B>A （A>B>C同理），现在我们把每个投票人的排列里的A都改到C的前面，由一致性可知，总排名里A也应该在C前面。又因为在投票人的排列里B不是在最前就是在最后，我们改变A,C的顺序对B的相对位置没有影响，由IIA 知，因为BA, BC的相对顺序都没变，故总排名里BA,BC的相对顺序也都不变。但此时就出现了矛盾，要想让A改在C前面，BA,BC的相对顺序不可能不变。故假设不成立，第一部分得证。

第二部分：存在决定A与C相对顺序的独裁者

继续第一部分的讨论，我们把B的排名发生跳跃之前的状态，也就是前n-1个人把B排在最前，后面的人都把B排在最后的状态，称为状态2，此时总的排名里B在最后。把B的排名发生跳跃之后的状态，也就是前n个人把B 排在最前，后面的人都把B排在最后的状态，称为状态3，此时总的排名里B在最前。

下面我们要证的是，这第n个人就是决定A与C相对顺序的独裁者，他说谁在前面谁就在前面。

设第n个人的投票是A>B>C，此时如果我们只考虑A和B，把C去掉，我们会发现A,B的相对顺序和状态2里是相同的（前n-1个人AB），于是根据IIA，A-B的最终相对顺序也与状态2相同，也就是说，A应该在B前面（因为状态2里B最终在最后）。同理，如果我们只考虑B 和C，我们发现B,C的相对顺序和状态3里是相同的（前n个人B>C，后面的人BB>C。

若设第n个人的投票是C>B>A，同理可得最终顺序是C>B>A。

现在我们只考虑A-C相对顺序，把B完全忽略掉，可以发现A-C的相对顺序是由这第n个人决定的。

注意这里是我认为整个证明里最难理解的一点：根据IIA，在我们决定A-C 相对顺序时，B是无关紧要的。尽管我们的证明里出现了B，但最终的结论里没有B的事，引入B只是为了证明独裁者的存在性。在这里我猜很多人都会有的一个疑问是：我们是在如此特殊的状态下才证明了最终结果取决于第n个人，为什么可以得出在所有状态下都成立？如果我不是让前n-1人都把B排最前而后面的人都把B排最后，而是随便乱给一个输入状态呢？（如果你没有这个疑问，说明你的智商远高于我，这是一件概率非常大的事，那样就可以跳过下面的这段解释了）

解释是，我们确实可以乱给一个输入，根本不是前面状态1状态2状态3的样子，但因为现在只考虑A-C相对顺序，我们可以从这个乱给的输入里把其它的候选人都拿掉，结果是不变的，再把B按照状态1的情况插进去，结果还是不变，再逐个地把B从最低提到最高，结果还是不变，但是当总排名里B出现跳跃的时候，独裁者（那第n个人）就找到了。如果我们把此人对A,C 的排名交换位置，则总排名里A,C也交换位置。这时你可以再把所有的B都改回一开始乱给的那种输入下的位置，由IIA知B的位置是不影响A-C顺序的。这样我们又回到了原来的输入，只是交换了第n个人对A,C的排名，结果总结果里就跟着变化了。所以第n个人确实是A-C顺序的独裁者。

第三部分：独裁者只有一个

这一部分的证明最简短了。第二部分我们只证明了决定A-C顺序的独裁者存在，当然同理决定B-C顺序和A-B顺序的独裁者也存在，现在的问题是这些独裁者是不是同一个人？

假设A-B独裁者x和B-C独裁者y不是同一个人，则由这两个独裁者的意见就可能决定了A-C的顺序。比如x投票是A