平面电磁波的波动方程
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电磁场原理(第二版)6章
• 式(6.1.5)和式(6.1.6)称为电磁波动方程，它们是波 动方程的一般形式，它们支配着无源、线性、均 匀各向同性导电媒质中电磁场的行为，是研究电 磁波问题的基础。 • 从数学上来看，H和E满足相同形式的方程，在直
角坐标系下，若用ψ(r,t)来表示电场E或磁场H的一 个分量，有方程
• 6.1.2 平面电磁波及基本性质 • 对于电磁波传播过程中的某一时刻 t ，电磁场中 E 或 H 具有相同相位的点构成的空间曲面称为等相 面，又称为波阵面。如果电磁波的等相面或波阵 面为平面，则这种电磁波称为平面电磁波。如果 在平面电磁波波阵面上的每一点处，电场 E 均相 同，磁场 H 也均相同，则这样的平面电磁波称为 均匀平面电磁波。
称为理想介质的波阻抗，单位
为欧姆，上两式均称为波的欧姆定律。 • 4)对于入射波，根据空间任意点在某一时刻 的电磁波电磁场能量密度的假设，再考虑 波的欧姆定律，有 • 相应的坡印延矢量为
• 上式表明，在理想介质中电磁波能量流动 的方向与波传播的方向一致。又坡印廷矢 量的值表示单位时间内穿过与波传播方向 相垂直的单位面积内的电磁能量，即等于 电磁能量密度ω′和能流速率ve的乘积
负方向行进的波的电场分量和磁场分量，称 为反射波。 • 2)波的传播速率 • 是一常数，它仅与媒质参数有关。 • 3)将 代入式(6.1.15)得
• 将上式对时间积分，并略去积分常数，得
• 同理可得 • (6.2.5)和(6.2.6)分别表示了入射波和反射波 中电场和磁场之间的关系。令
• 其中
• 上两式就是无限大理想介质中电磁场随时 间作正弦变化时的稳态解。此时的电场和 磁场既是时间的周期函数，又是空间坐标 的周期函数。 • 相位因子 (ωt-βx+φ) 的物理意义 ( 为方便计， 取φ =0)： • 1)t=0 时，相位因子为 -βx ， x=0 处的相位为 零，这时电场和磁场都处在零值。 • 2)在t时刻，波的零值点移到ωt-βx=0处，即
平面波的波动方程
§17－5 平面波的波动方程 －
各种平面波都满足下列方程
y y =u t x
2 2 2 2 2
称为平面波的波动方程 平面简谐波波动式是它的解
例2
弦上的横波，设线密度 张力T 不变） 弦上的横波，设线密度，张力T（不变）
T
αT
2
T
α
1
T sinα2 T sinα1 ≈ T(tgα2 tgα1 ) 2 y y y y = T dx = dx 2 =T x x x x 2 2 T y T y u= =
y1 = Acos(ωt kx) y2 = Acos(ωt + kx)
y = y1 + y2 = 2 Acos kx cosωt
y = y1 + y2 = 2 Acos kx cosωt
３. 振幅
kx = ±nπ
腹－腹
n = 012L 波腹 ,,
x =
λ
2
kx = ±( 2n +1)
节－节 腹－节
二、波的干涉 １.相干条件 相干条件 频率相同，振动方向相同， 频率相同，振动方向相同，相位差恒定 两相干波在空间相遇， 两相干波在空间相遇，某些点的振动始终加强另一 些点的振动始终减弱，即出现干涉现象。 些点的振动始终减弱，即出现干涉现象。
设 y1 = A cos(ωt +1 kr ) 1 1
3 λ 2
P
解:
Q
R
= 1 2 k(r1 r2 ) 3 = k λ = 3π 减弱 2
A= 0
三、驻波 当两列振幅相同，频率相同， 当两列振幅相同，频率相同，振动方向相同的 波以相反方向传波时，叠加形成驻波 驻波。 波以相反方向传波时，叠加形成驻波。 1. 演示： Zlcai 演示： 2.表达式 表达式 设
各种平面波都满足下列方程
y y =u t x
2 2 2 2 2
称为平面波的波动方程 平面简谐波波动式是它的解
例2
弦上的横波，设线密度 张力T 不变） 弦上的横波，设线密度，张力T（不变）
T
αT
2
T
α
1
T sinα2 T sinα1 ≈ T(tgα2 tgα1 ) 2 y y y y = T dx = dx 2 =T x x x x 2 2 T y T y u= =
y1 = Acos(ωt kx) y2 = Acos(ωt + kx)
y = y1 + y2 = 2 Acos kx cosωt
y = y1 + y2 = 2 Acos kx cosωt
３. 振幅
kx = ±nπ
腹－腹
n = 012L 波腹 ,,
x =
λ
2
kx = ±( 2n +1)
节－节 腹－节
二、波的干涉 １.相干条件 相干条件 频率相同，振动方向相同， 频率相同，振动方向相同，相位差恒定 两相干波在空间相遇， 两相干波在空间相遇，某些点的振动始终加强另一 些点的振动始终减弱，即出现干涉现象。 些点的振动始终减弱，即出现干涉现象。
设 y1 = A cos(ωt +1 kr ) 1 1
3 λ 2
P
解:
Q
R
= 1 2 k(r1 r2 ) 3 = k λ = 3π 减弱 2
A= 0
三、驻波 当两列振幅相同，频率相同， 当两列振幅相同，频率相同，振动方向相同的 波以相反方向传波时，叠加形成驻波 驻波。 波以相反方向传波时，叠加形成驻波。 1. 演示： Zlcai 演示： 2.表达式 表达式 设
§1-4球面波和柱面波
此式较复杂不便应用，实际中往往进行近 似处理。
§1-4球面波和柱面波
三、 柱面波的波函数： 柱面波是由无限长同步线状振动源（同步 线源）产生的波动。 所谓同步线源是指这样一种振动源：在整 条直线上所有点都是一个点源，各个点源 的振动完全相同，在简谐振动下各点的初 位相，频率和振幅完全相同。 在光学上可以用平面波照亮一个极细的长 缝来获得近似的柱面波。
§1-4球面波和柱面波
前次课内容回顾及平面波的波函数： 一 、球面波的波函数: 二、球面波的复振幅： 三、柱面波的波函数：
§1-3平面电磁波
前次课内容回顾：
1.波动方程的平面波解：
E
2
B
2
z
2
1 E
2
v
2
1 B
2 2
t
2
0 0
(1)
E f1 ( z vt) f 2 ( z vt)
§1-4球面波和柱面波
由于对称性,可将波动方程转化为球坐标下 的方程。选择振动源作为坐标原点,则知： 波函数A(r,t)只与r有关，与方位无关 可以证明：这样的波函数 A(r,t)满足下式：
A( r , t )
2
1
2 2
r r
2
rA(r , t )
1 v
2
标准波动方程 变为： 1
1 2
此即为球面波波函数的一般形式。 其中B1,B2为任意函数。
§1-4球面波和柱面波
显然，我们最关心简谐球面波这个特殊形 式。 则： A(r , t ) a coskr t r 假定源点振动的初位相为零，对于电矢量 （此时可看作标量）即0=0 则有：
电磁波波动方程要点
长波
真空中波长
主要产生方式
4
3 10 m — 3 10 m
3
无 线 电 波
中波
短波
200m — 3 10 m 10m — 200m
3
超短波 1m — 10m
微波
由线路 中电磁振荡 所激发的电 磁辐射
0.1m — 1m
电磁波谱
红外线
真空中波长
主要产生方式 由炽热 物体、气体 放电或其他 光源激发分 子或原子等 微观客体所 产生的电磁 辐射
（2） E、H 同相
可证：
E H 0 x t
x E E0 cos (t ) c
E0 1 E x x H dt cos (t ) H 0 cos (t ) 0 x 0c c c
E0 H0 0c
0 E0 0
c
1
0 0
§18.2 电磁波的性质
任一时刻t，空间任一 点x，满足
0 E0 0 H 0 0 E 0 H
E0 H 0 E H
沿x轴负向传播：
x H H 0 cos (t ) c x E E0 cos (t ) c
电磁波谱
电磁波谱
x E y E0 cos t u x H z H 0 cos t u
*电磁波波速与光矢量*
真空中
1 8m u 3 10 ——光速 c s 0 0
推测：光也是电磁波！
在介质中
u
1
c n r r
c
n r r
第 18 章 电磁波
§18.1 电磁波波动方程
§18.2 电磁波的性质 §18.4 振荡电偶极子的辐射 赫兹实验
真空中波长
主要产生方式
4
3 10 m — 3 10 m
3
无 线 电 波
中波
短波
200m — 3 10 m 10m — 200m
3
超短波 1m — 10m
微波
由线路 中电磁振荡 所激发的电 磁辐射
0.1m — 1m
电磁波谱
红外线
真空中波长
主要产生方式 由炽热 物体、气体 放电或其他 光源激发分 子或原子等 微观客体所 产生的电磁 辐射
（2） E、H 同相
可证：
E H 0 x t
x E E0 cos (t ) c
E0 1 E x x H dt cos (t ) H 0 cos (t ) 0 x 0c c c
E0 H0 0c
0 E0 0
c
1
0 0
§18.2 电磁波的性质
任一时刻t，空间任一 点x，满足
0 E0 0 H 0 0 E 0 H
E0 H 0 E H
沿x轴负向传播：
x H H 0 cos (t ) c x E E0 cos (t ) c
电磁波谱
电磁波谱
x E y E0 cos t u x H z H 0 cos t u
*电磁波波速与光矢量*
真空中
1 8m u 3 10 ——光速 c s 0 0
推测：光也是电磁波！
在介质中
u
1
c n r r
c
n r r
第 18 章 电磁波
§18.1 电磁波波动方程
§18.2 电磁波的性质 §18.4 振荡电偶极子的辐射 赫兹实验
电磁波波动方程要点
§18.2 电磁波的性质
（1）电磁波是横波
Ey Ey 2 2 x t
2 2
E y
H z
Hz Hz 2 2 x t 由于 j k i 所以 E H // x 轴
2 2
u x
§18.2 电磁波的性质
— 折射率
n r
与物质作用的主要是
E
矢量,
E
通常被称为光矢量！
几点注意
（1）振动不是媒质体积元，是电场和磁场 （2）周期变化的不是质点位移，是 E、H 强度矢量
（3）伴随电磁波传播的有能量、动量和质 量的流动（引力波具有同样的性质） （4）电磁波是自持波，在真空或媒质中均 可传播
F pcS pc w 辐射压强： S S
c
F
S
偶极子的辐射
一、 电磁波的产生
赫兹实验
C P P0 cost I 1 P q l ， 0 0 L 2 LC
q
S EH
H
电磁波强度为
E
S
2 I S EH E
**坡因廷矢量举例**
•电阻
S
I
E
I
可以证明： 输入功率：
H
P S (2a l ) I R
2
S
电阻消耗的能量是通过坡因廷矢量输入的！
**坡因廷矢量举例**
•电容器充、放电 电容器充电过程 中，通过坡因廷 矢量输入能量！ 电容器放电过程 中，通过坡因廷 矢量输出能量！ 可以证明：
2 2
其中
2 2 2 x y z
球面波和柱面波
§1-4球面波和柱面波
2. 位相：
球面波的位相是
kr kvt 0
即仅仅是r的函数，并指出了v的含义
dr
v
dt d 0
说明v是沿球面径向的位相传播速率。
当等相面自球心向外传播时v>0,称为发散球面波，
当等相面向球心会聚时v<0，称为会聚球面波。
§1-4球面波和柱面波
K仍为波数：
所以S的大小也随时间快速变化。在可见光
区E和B的频率达
51014 H，Z 故S的频率为
数1量01级5 HZ。
目前任何接收器都来不及反映这样高频
的能量变化，通常把S在接收器能分辨的时 间间隔内的平均值叫做电磁波的强度I。
I s 1 sdt
0
§1-5光波的辐射
对于平面波而言，S及其平均值<s>有很简
在外界能量的激发下，由于原子核和电子 的剧烈运动和相互作用，原子的正电中心 和负电中心常不重合，且正、负中心的距 离在不断的变化，从而形成一个振荡的电 偶极子。如图1-13所示：
该系统的电偶极距为
p
ql
§1-5光波的辐射
最为简单的振荡电偶极子是电偶极距随时间
作简谐变化的电偶极子，此时电偶极距 可
可以证明：这样的波函数 A(r,t)满足下式：
2 A(r, t) 1 2 rA(r, t)
r r 2
标准波动方程
2 A
1 v2
2 A t 2
变为：
1 2 rA(r, t) 1 2 A(r, t)
r r 2
2 t 2
§1-4球面波和柱面波
上式亦可写为：r22
rA(r,t) 1
2
2 rA(r,t)
§1-4球面波和柱面波
平面电磁波及其性质
E＝f1(
z v
t)
B＝f1(
z v
t)
这是行波的表示式，表 示源点的振动经过一定 的时间推迟才传播到场 点。
（二）波动方程的平面简谐波解 (Simple Harmonic Wave)
A：电场振幅矢量
E＝Acos( z t) A'：磁场振幅矢量
v
：角频率
B＝A'cos( z t)
v
(
z v
t
)称为位相
E＝Acoskx cos y cos z cos t
平面波的复数形式：
E＝Aexp[i(k • r t)]
x
P(x,y,z)
k
复振幅：
r
E＝Aexp(ik • r) o
z
y
s=r k
复振幅：只关心光波在 空间的分布。
（三）平面电磁波的性质
1、横波特性：电矢量和磁矢量的方向均垂直波的传播
平面电磁波及其性质
（一）波动方程的平面波解
1、方程求解：
设光波沿z轴正向传播
y
＝x 0
x
y0
y
z0Leabharlann zz0zx
v
z
结果：2 E 1 2 E 0 v2 t 2
2E 1 2E 0 z 2 v2 t 2
令 ＝ z t, z t，代入上式则有
v
v
E＝f1
(
z v
t)
f
2
(
z v
t)
T E＝Acos(kz t)
（10－25） （10－26）
上式是一个具有单一频率、在时间和空间上 无限延伸的波。
说明2点：
在空间域中（时间轴为某
在时间域中（空间某点）
电磁场波动方程
定态波动方程
vv
2E k 2E 0
2
v B
k
2
v B
0
其中：
Helmhotz方程
▪ 定态情况下的电磁场方程可以写成：
vv 2E k2E 0
v
E 0
v B
i
v E
Helmhotz 方程
或者
vv 2B k2B 0
v B 0
v E
i
k2
v B
其中：
是定态下介质电磁特性参数
此处的 Ev、Bv 是电磁场的振幅，时间变化部分不包含在内
v B
0
v 2E
0 0
v 2E t 2
0
v
v 2B
0 0
2B t 2
0
在真空中电磁场满足 “波动方程”
▪ 真空中电、磁场形式上可以分离：
v 2E
1
v 2E
0
c2 t 2
v 2B
1
v 2B 0
c2 t 2
v E 0
v B 0
电波动方程＋横波条件 磁波动方程＋横波条件
其中
称为真空中光速
但不能替代麦克斯韦方程，还需要考虑电场与磁场的联系
二、时谐波（又称定态波）及其方程
▪
任一时域函数
v
Et
，可以视为由频域函数
v
E
叠加而成，反之亦
然。这就是富里叶（Fourier）变换：
v
E t
v E
eit
d
Ev
1
v E
t
eit
dt
2
正变换 逆变换
▪ 对电磁场作富里叶变换：
v
E
v X,t
平面波方程
1
1
1
1
O1 r1
y A cos(t kr )
P
2
2
2
2
y y y Acos t
O2 r2
1
2
其中 A2 A2 A2 2 A A cos
1
2
12
kr r
设
1
2
1
2
1 2 2
k r r r r
解满足叠加原理。 •光波在媒质中传播时 弱光 媒质可看作线性媒质 强光 媒质非线性,波的叠加原理不成立
二、波的干涉
１.相干条件 频率相同，振动方向相同，相位差恒定
两相干波在空间相遇，某些点的振动始终加强另一
些点的振动始终减弱，即出现干涉现象。
见Zlcai
设 y A cos(t kr )
2
1
2
1
当 r r n, n 0,1,2
2
1
A A A I I I 2 I I 相长
1
2
1
2
12
当 r r 2n 1 , n 0,1,2
2
1
2
A A A I I I 2 I I 相消
1
2
1
2
12
例: 两相干机械波，振源相位差的奇数倍， 在p点相遇，若波程差为半波长的偶数倍 问p点是加强还是减弱？
⑴入射波的波动方程;
⑵反射波的波动方程; ⑶入射波与反射波叠加的
y
合成波在0≤x≤10m区间
u
内各波节和波腹处的坐标;
. ⑷合成波的平均能流密度。 o x1
第四章 电磁波的传播 §1. 平面电磁波§2. 电磁波在介质界面上的反射和折射§3. 有导体存在时电磁波的
知 H
E
较大，非铁磁
B
可取 = 0
(2) E k 在与 k 垂直平面上可将 E 分解成两个分量
(3) H k, 且 H E
(4)
nn ((EH22EH1)1
0 )0
即 Et E't E"t Ht H 't H"t
(5) ' ,
sin 2 sin " 1
(1 2 0 )
电磁波：迅变电磁场， 导体内 = ？
电流：J
E
电荷：
E
/
,
J
E
J
0
t
t
J
,
d dt,
t
0e
t = 0 时，导体内 = 0 ， 然后 随 t 按指数衰减 t = 时，（ = / 特征时间） = 0 / e
导体内的自由电荷分布
t = 0 时，导体内 = 0 ， 然后 随 t 按指数衰减
o
y
x
平面电磁波的特性： （证明 see next page）
(1) 电磁波是横波， E k ， B k
(2) E B ， E B 沿 k 方向
(3) E 和 B同相，振幅比 E / B = v
平面电磁波
证明平面电磁波的特性
E 0
E
E0
ei
(
k
xt
)
E0
ei
( k xt
)i(k
E"
2 1 cos
2sin "cos
E 1 cos 2 cos" sin( ")
振幅关系 Fresnel 公式
(2) E || 入射面： (Ht H )
理想介质中的均匀平面电磁波
(x,
t)
g1(t
x) v
g
2(t
x) v
v 1
f1 、f2 、g1 、g2 的具体形式与产生该波的 激励方式有关。
一、一维波动方程的解及其物理意义
E
y
(x,
t)
E
y
(x,
t
)
E
y
(x,
t)
f 1(t
x) v
f 2(t
x) v
H
z
(x, t)
H
z
(x,
t)
H
z
(x,
t)
g1(t
x) v
一、一维波动方程的解及其物理意义
E
y
(x,
t)
E
y
(x,
t
)
E
y
(x,
t)
f 1(t
x) v
f 2(t
x) v
H
z
(x, t)
H
z
(x,
t)
H
z
(x,
t)
g1(t
x) v
g2 (t
x) v
v 1
入射波和反射波：
理想介质中均匀平面波的传播速度是一常数。
1
v
c
c
rr n
n rr 称为介质的折射率。
2. 理想介质中的正弦均匀平面波
电场强度和磁场强度在时间上同相，振幅比为实数 电磁波无衰减地传播，是等振幅波 相位因子，相速等于波速且与频率无关
2 H H 2 H
x2
t
t 2
0
x22E
E t
2 E t 2
0
这两个一维波动方程的解分别为
平面电磁波
第六章主平面电磁波要 内 容 9学时平面电磁波电磁波：变化的电磁场脱离场源后在空间的传播 平面电磁波：等相位面为平面构成的电磁波 均匀平面电磁波：等相位面上E、H 处处相等的 电磁波 若电磁波沿 x 轴方向传播，则H=H(x,t)，E=E(x,t) 平面电磁波知识结构框图电磁场基本方程组 电磁波动方程 均匀平面电磁波的传播特性平面电磁波的基本特性1. 理想介质中的均匀平面波 2. 损耗媒质中的均匀平面波 3. 均匀平面波的极化 4. 均匀平面波对平面边界的垂直入射 5. 均匀平面波对平面边界的斜入射 6. 各向异性媒质中的均匀平面波1-120 2-120理想介质中均匀平面波 平面电磁波的极化导电媒质中均匀平面波平面电磁波的垂直入射平面电磁波的斜入射各向异性媒质中的均匀平面波x方向传播的一组均匀平面波3-120平面电磁波知识结构框图数的媒质， σ → ∞ 的媒质称为理想导体。
σ 介 于两者之间的媒质称为有损耗媒质或导电媒质。
6.1 理想介质中的均匀平面波 理想介质是指电导率 σ = 0 ，ε 、 μ 为实常6.1.1波动方程的解其通解为假设电磁场沿着 Z 轴方向传播，且电场仅有指向 X 轴 的方向分量，则磁场必只有 Y 方向的分量，即：z z E x = f1 (t − ) + f 2 (t + ) v v ∂ 2 Ex + β 2 Ex = 0 ∂z 2对于时谐变电磁场：E = ex E x ( z, t )波动方程H = ey H y (z,t)其通解为 则平面波是指波前面，即等相位面或者波前 阵是平面的波。
均匀平面波是指波前面上场量振 幅处处相等的波。
本节介绍最简单的情况，即介绍无源、均 匀（homogeneous）（媒质参数与位置无关）、 线性（linear）（媒质参数与场强大小无关）、 各向同性（isotropic）（媒质参数与场强方向无 关）的无限大理想介质中的时谐平面波。
4-120 5-120则∂E 2 =0 ∂t 2 ∂E 2 ∇ 2 E x − με 2x = 0 ∂t 2 ∂ E x 1 ∂E x2 − =0 ∂z 2 v 2 ∂t 2 ∇ 2 E − με其中： v =其中： β = ω μ εEx = Ex + e− jβ z + Ex − e+ jβ zE x = E x+ cos(ω t − β z ) + E x− cos(ω t + β z )对应的磁场为1∇ × E = −μ6-120με∂H ∂t∂H y ∂E x = −μ ∂z ∂t对应的磁场为∇ × E = −μ其通解为∂H ∂t∂H y ∂E x = −μ ∂z ∂t考察电场的一个分量 ，瞬时值表达式为：Ex ( z, t ) = Ex+ cos(ωt − β z + ϕx )其中Hy =β ⎡ E + cos(ω t − β z ) − E x− cos(ω t + β z ) ⎤ ⎦ ωμ ⎣ xωt 为时间相位 ， β z 为空间相位 ， ϕ x 是初始相位。
电磁场波动方程亥姆霍兹方程和平面电磁波2
k
（2）波长与周期
波长
2
k
周期 T 1 2 f
波长定义：两相位差为 2 的等相面间的距离。
两等相面相位差：k(Rs Rs ) 2
Rs
Rs
2
k
波长、波 k k 2
v f
速、频率
v
2
间的关系 T 1 2
v
E
v X,t
v E
v
X ,
eit d
v
B
v X,t
v B
v X,t
eit d
v
D
v X,t
v D
v
X ,
eit d
v E
v
X ,
eit d
v
证明：
B
k
E
B
i
E
i
E0eikx
i
eikx
E0
k
E
几
a) B 与 E 同相位；
点
说 明
b)
EB
E, B, k
E构 B成 右E手 k螺 E旋关0系
2
2
电场、磁场能量相等
▪ 平面电磁波能流密度：
v
v S
v E
v H
1
v E
v B
1
v E
（2）波长与周期
波长
2
k
周期 T 1 2 f
波长定义：两相位差为 2 的等相面间的距离。
两等相面相位差：k(Rs Rs ) 2
Rs
Rs
2
k
波长、波 k k 2
v f
速、频率
v
2
间的关系 T 1 2
v
E
v X,t
v E
v
X ,
eit d
v
B
v X,t
v B
v X,t
eit d
v
D
v X,t
v D
v
X ,
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v E
v
X ,
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v
证明：
B
k
E
B
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E
i
E0eikx
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E0
k
E
几
a) B 与 E 同相位；
点
说 明
b)
EB
E, B, k
E构 B成 右E手 k螺 E旋关0系
2
2
电场、磁场能量相等
▪ 平面电磁波能流密度：
v
v S
v E
v H
1
v E
v B
1
v E
均匀平面波的概念和波动方程
6.2均匀平面电磁波的概念和特性
1, 均匀平面电磁波的概念
2, 时变电磁场的波动方程
3, 均匀平面波的特性
什么是电磁波?
在自由空间，麦克斯韦方程:
可见：
Jc=。，Pv =。
VxH = e — dt
V7百一渔
N xE = —//-dt
时变的电场可以产生时变的磁场，时变的磁场又可以产生时变的 磁电场， 同时在空间上向邻近点推移，这样就产生了以一定速度向前 传播的电磁波动。
(4)均匀平面电磁波：
任意时刻，如果在平面等相位面上，每一点的电场强度均相同, 这种电 磁波:
Vx H = J +亜 c dt
丿 V x E =--
<
dt
▽ . D = pN
i V.B = o
在自由空间：Jc=O/v=O (Vx H = 8 竺 dt
该电磁波动称为电磁波。
例如：水波
问题：一个点源所发射的电 磁 波的等相位面是什么样？
1 ,均匀平面电磁波的概念
(1) 等相位面：
在某一时刻，空间具有相同相位的点构成的面称为等相位面。 等相 位面又称为波阵面。
(2) 球面波：等相位面是球面的电磁波称为球面波。 (3) 平面波：等相位面是平面的电磁波称为平面电磁波。
可见：HZ与时间t无关，不属于时变场部分。Hz = 0 结论：磁场只有Hx和
Hy分量，说明磁场矢量也位于xOy平面上。
磁场强度可表示为：亘二jHx+ayH
结论: 对传播方向而言，电场和磁场只有横向分量，没有纵向分量,
这种平面电磁波称为横电磁波，简写为TEM波。
小结：
1、 均匀平面电磁波的概念 2、 时变电磁场的波动方程
D= 8E B=
1, 均匀平面电磁波的概念
2, 时变电磁场的波动方程
3, 均匀平面波的特性
什么是电磁波?
在自由空间，麦克斯韦方程:
可见：
Jc=。，Pv =。
VxH = e — dt
V7百一渔
N xE = —//-dt
时变的电场可以产生时变的磁场，时变的磁场又可以产生时变的 磁电场， 同时在空间上向邻近点推移，这样就产生了以一定速度向前 传播的电磁波动。
(4)均匀平面电磁波：
任意时刻，如果在平面等相位面上，每一点的电场强度均相同, 这种电 磁波:
Vx H = J +亜 c dt
丿 V x E =--
<
dt
▽ . D = pN
i V.B = o
在自由空间：Jc=O/v=O (Vx H = 8 竺 dt
该电磁波动称为电磁波。
例如：水波
问题：一个点源所发射的电 磁 波的等相位面是什么样？
1 ,均匀平面电磁波的概念
(1) 等相位面：
在某一时刻，空间具有相同相位的点构成的面称为等相位面。 等相 位面又称为波阵面。
(2) 球面波：等相位面是球面的电磁波称为球面波。 (3) 平面波：等相位面是平面的电磁波称为平面电磁波。
可见：HZ与时间t无关，不属于时变场部分。Hz = 0 结论：磁场只有Hx和
Hy分量，说明磁场矢量也位于xOy平面上。
磁场强度可表示为：亘二jHx+ayH
结论: 对传播方向而言，电场和磁场只有横向分量，没有纵向分量,
这种平面电磁波称为横电磁波，简写为TEM波。
小结：
1、 均匀平面电磁波的概念 2、 时变电磁场的波动方程
D= 8E B=
第二章 波动方程和平面波解
Ssuarmfaecephwaisthe
kR
kI
之间的夹角为未知。 在半空间介质反折射情况需要通过边界条件才可确定。
若 kR // kI 例如平面波垂直于有耗介质表面入射时的透射波
kR2 kI2 2 2kR kI
《高等电磁场理论》
kR2
2
2
1
2
1
kI2
2
2
1
材料名称 电导率σ /(S/m) 趋肤深度δ /m
银
6.17×107
紫铜
5.8×107
铝
3.72×107
钠
2.1×107
黄铜
1.6×107
锡
0.87×107
石墨
0.01×107
《高等电磁场理论》
0.064 / f 0.066 / f 0.083/ f 0.11/ f 0.13/ f 0.17 / f 1.6 / f
vphase
k
0 0
k 0
vgroup
1 dk
d
dk 0
d 0
若波数k不是频率ω的线性函数，这时 vphase vgroup，且和
频率有关，这一类介质称为色散介质。 《高等电磁场理论》
y1
cos
1
t
z c
,
1
51
y2
cos 2
t
z c
,
2
49
《高等电磁场理论》
18
E
2
E0
cos
为电子浓度 为电子电量 为电子质量
《高等电磁场理论》
5000 1000
白天 夜间
F2
电离层电子密度的典型高度分布
F1
100
kR
kI
之间的夹角为未知。 在半空间介质反折射情况需要通过边界条件才可确定。
若 kR // kI 例如平面波垂直于有耗介质表面入射时的透射波
kR2 kI2 2 2kR kI
《高等电磁场理论》
kR2
2
2
1
2
1
kI2
2
2
1
材料名称 电导率σ /(S/m) 趋肤深度δ /m
银
6.17×107
紫铜
5.8×107
铝
3.72×107
钠
2.1×107
黄铜
1.6×107
锡
0.87×107
石墨
0.01×107
《高等电磁场理论》
0.064 / f 0.066 / f 0.083/ f 0.11/ f 0.13/ f 0.17 / f 1.6 / f
vphase
k
0 0
k 0
vgroup
1 dk
d
dk 0
d 0
若波数k不是频率ω的线性函数，这时 vphase vgroup，且和
频率有关，这一类介质称为色散介质。 《高等电磁场理论》
y1
cos
1
t
z c
,
1
51
y2
cos 2
t
z c
,
2
49
《高等电磁场理论》
18
E
2
E0
cos
为电子浓度 为电子电量 为电子质量
《高等电磁场理论》
5000 1000
白天 夜间
F2
电离层电子密度的典型高度分布
F1
100
第20讲 均匀平面电磁波的传播(2)
ε=ε0、ζ = 5.8×107 S/m。 解：对于频率范围的低端 fL =10kHz ，有 假 5.8 107 设 1.04 1014 1 L 2 104 1 109 不 36 好 对于频率范围的高端 fH =100MHz ，有
良导体
5.8 107 1.04 1010 1 H 2 108 1 109 36
第20讲
均匀平面电磁波的传播（2）
——均匀平面波在导电媒质中传播
目录
均匀平面波在 导电媒质中的 传播 色散与群速 各向异性媒质中 传播（简介）
一般导电媒质 弱导电媒质
良导电媒质
1 导电媒质中的均匀平面波
导电媒质的典型特征是电导率 ≠ 0
电磁波在导电媒质中传播时，有传导电流 J = E 存在，同时
z Ε ( z ) ex Εxm e ex Εxm e z e jz 瞬时值形式 E ( z, t ) ex Exm e z cos(t z )
令 jkc j ，则均匀平面波解为
称为电磁波的传播常数，单位：1/m
e z 是衰减因子， 称为衰减常数，单位：Np/m（奈培/米） jz是相位因子， 称为相位常数，单位：rad/m（弧度/米） e
合成波电场
E ( z, t ) E1 ( z, t ) E2 ( z, t ) ex 2 Em cos(t z ) cos(0t 0 z )
振幅，包络波，以角频率 缓慢变化
行波因子，代表沿 z 轴传播的行波
E ( z, t ) E1 ( z, t ) E2 ( z, t ) ex 2Em cos(t z) cos(0t 0 z)
平面电磁波 第六章
一、无耗介质中时谐电磁场的频域无源波动方程
• 解出 E 就可用Maxwell方程组求出 H ，故只须解 E 。
• 不失一般性，可作一些假设，使求解更方便： ˆ (1)设 E 只有x方向的分量，即 E r E x x ； ˆ (2)设 E 只随z 坐标变化，即 E r E x z x ； x • E x z 满足的常微分方程：
vp
6、从行波角度理解电磁波各参数的物理意义： 相速度 ( vp )：等相位面在一秒钟之内前进的距离 波长(λ)：等相位面在一个周期 T 之内前进的距离 2 2 v pT k k 周期(T )：等相位面前进一个波长所需的时间
vp T
频率( f )：等相位面在一秒钟之内前进的波长数 vp 1 f T
E:
H:
x y z
某时刻的三个 等相位面
• 均匀平面波每个等相位面上的场矢量处处相等。 • 任意固定时刻，空间中不同等相位面上的场值不同。 （除非两个等相位面间距为波长的整数倍）
5、Poynting矢量：
• 瞬时Poynting矢量： 1 2 ˆ S r , t Em cos2 t kz z
真空中： 0
0 120 377 0
• 波阻抗只是一个比值，单位与电阻相同，它并不意味 着存在能量损耗。 • 波阻抗仅由媒质参数决定，与场矢量值无关。 • 电场、磁场的互求公式：
ˆ z E H
1 ˆ zH E
ˆ z为 传 播 方 向
等相位面上的场分布情况 4、场结构：
m/s
v0 2 2 m k f
Hm Em 0 10 0
ˆ H 为 - x方 向
• 解出 E 就可用Maxwell方程组求出 H ，故只须解 E 。
• 不失一般性，可作一些假设，使求解更方便： ˆ (1)设 E 只有x方向的分量，即 E r E x x ； ˆ (2)设 E 只随z 坐标变化，即 E r E x z x ； x • E x z 满足的常微分方程：
vp
6、从行波角度理解电磁波各参数的物理意义： 相速度 ( vp )：等相位面在一秒钟之内前进的距离 波长(λ)：等相位面在一个周期 T 之内前进的距离 2 2 v pT k k 周期(T )：等相位面前进一个波长所需的时间
vp T
频率( f )：等相位面在一秒钟之内前进的波长数 vp 1 f T
E:
H:
x y z
某时刻的三个 等相位面
• 均匀平面波每个等相位面上的场矢量处处相等。 • 任意固定时刻，空间中不同等相位面上的场值不同。 （除非两个等相位面间距为波长的整数倍）
5、Poynting矢量：
• 瞬时Poynting矢量： 1 2 ˆ S r , t Em cos2 t kz z
真空中： 0
0 120 377 0
• 波阻抗只是一个比值，单位与电阻相同，它并不意味 着存在能量损耗。 • 波阻抗仅由媒质参数决定，与场矢量值无关。 • 电场、磁场的互求公式：
ˆ z E H
1 ˆ zH E
ˆ z为 传 播 方 向
等相位面上的场分布情况 4、场结构：
m/s
v0 2 2 m k f
Hm Em 0 10 0
ˆ H 为 - x方 向
7.1 电磁波动方程和平面电磁波
7 平面电磁波的传播从基本方程的微分形式可以看出它们包含了产生电磁场的全部场源信息。
在电磁波中，变化的电场产生变化的磁场，变化的磁场又产生变化的电场，伴随着电场和磁场的传播是能量的传输。
本章从电磁场的基本方程出发，首先介绍电磁波动方程，然后介绍了电磁波中最简单的形态--均匀平面电磁波在理想介质和导电媒质中的情况。
7.1电磁波动方程和平面电磁波变化的电场和变化的磁场之间存在着耦合，这种耦合是以波动的形式存在于空间中。
这种变化的电磁场以波动的存在通常称为电磁波。
电磁波的存在，意味着在空间中有电磁场的变化和电磁能量的传播。
光波、无线电波等都是电磁波，它们在空间不需借助任何媒质就能传播。
7.1.1 一般电磁波动方程设空间为各向同性、线性、均匀媒质，考虑 0=f ρ，0=f J 。
则电磁场基本方程组可写为t∂∂+=⨯∇E E H εγ （7.1.1） t∂∂-=⨯∇H E μ （7.1.2） 0=⋅∇H （7.1.3）0=⋅∇E （7.1.4）对（7.1.1）式两端求旋度()H H H 2∇-⋅∇∇=⨯∇⨯∇()22t t t t ∂∂-∂∂-=⨯∇∂∂+⨯∇=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⨯∇H H E E E E μεγμεγεγ利用（7.1.3）有0222=∂∂-∂∂-∇tt H H H μεγμ （7.1.5） 同理由对（7.1.2）两边取旋度，再代入（7.1.3）、（7.1.2）式等，可推得0222=∂∂-∂∂-∇t t E E E μεγμ （7.1.6） 称上面两式为电磁波动方程（它们是一般性的波动方程）。
我们就是在各向同性、线性、均匀媒质中研究电磁波的基础问题。
H 和E 满足的方程在数学上属同一类方程。
对于电场E 或磁场H 的分量，若用统一的标量符号()t r ,ψ来表示，就可以将原问题转化成标量方程的求解问题0222=∂∂-∂∂-∇t t ψγεψγμψ （7.1.7） 7.1.2 平面电磁波及基本性质对于电磁波传播过程中的某一时刻t ，空间电磁场中E 或H 具有相同相位的点构成的面称为等相面，又称为波阵面。
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