材料力学课件-第四章-扭转
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第四章 扭转(张新占主编 材料力学)
2M A M e M B 0 （2）
联立式（1）与式（2），得
Me MB 3
MA MB Me 3
26
4.6 等直圆轴扭转时的应变能
圆轴在外力偶作用下发生扭转变形，轴内将积蓄应变能。这种 应变能在数值上等于外力所做的功。
T1 在位移 d1上所做的功为 dW T1d1
PB M eB M eC 9549 n 796(N m) PA M eA 9549 1910(N m) n PD M eD 9549 318(N m) n
5
（2）求扭矩（扭矩按正方向假设） 1-1 截面
M M M
x
0
T1 M eB 0
T1 M eB 796N m
d1 85.3 mm
取 d1 85.3 mm。 BC段：同理，由扭转强度条件得 d2 67.4 mm ，由扭转刚度条件得
d 2 74.4 mm
取 d 2 74.4 mm。
23
（2）将轴改为空心圆轴后，根据强度条件和刚度条件确定轴的 外径D。 由强度条件得 D 96.3 mm 由刚度条件得 D 97.3 mm 取 D 97.3 mm ，则内径为
T Me
M e RdA RRd 2R 2
A 0
2
Me 2 2R
8
二、切应力互等定理
M
z
0
（dy）dx （ dx）dy
得到
切应力互等定理：在单元体在相互垂直的一对平面上，切应力 同时存在，数值相等，且都垂直于两个平面的交线，方向共同 指向或共同背离这一交线。 纯剪应力状态：单元体上四个侧面上只有切应力，而无正应力 作用
材料力学 第四章扭转ppt课件
.
29
§4 — 4 圆轴扭转强度
1、强度条件： max
Tm a x WT
≤
2、强度计算：
1）校核强度:
max
Tmax ≤
WT
2）设计截面尺寸:W T
≥
T max [ ]
3）确定外荷载: Tmax ≤ WT []
WT
m
D3
16
D3
16
实,
(1 4 )
空.
.
30
已知：P＝7.5kW,n=100r/min,
5、剪应变的变化规律：
tg aa' Rd
dx dx
c
tg
bb 1 dx
d
dx
d
dx
二）物理关系：
弹性范围内 maxP
G → G
→
G
d
dx
方向垂直于半径。
.
ab
a’b '
18
应力分布
（实心截面）
（空心截面）
.
19
三）静力关系：
AdAdA dA
TAdAAG2
Gddx A2dA
ddA
dx
1、实验：
.
11
.
12
2、变形规律：
圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动 了一个不同的角度。
纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。
3、剪应变（角应变）：直角角度的改变量。
4、定性分析横截面上的应力
（1） 0, 0
（2）0 0
'
'
因为圆周上剪应变相同，所以剪应力沿圆周均匀分布。
2、外力：m （外力偶矩）
材料力学第四章 扭转
则上式改写为
max
T GI p
180
(/m)
×
例５ 图示圆轴，已知mA =1kN.m， mB =3kN.m， mC
=2kN.m；l1 =0.7m，l2 =0.3m；[]=60MPa，[ ]=0.3°/m，
G=80GPa；试选择该轴的直径。
mA
mB mC 解： ⑴按强度条件
A
l1
B l2 C
max
9.55
200 300
6.37
(kN m)
×
n D
m2 1 m3 2 m1 3 m4
n A 1 B 2 C 3D
②求扭矩（扭矩按正方向假设）
m 0 , T1 m2 0, T1 m2 4.78kN m m 0; T2 m1 m2 0
T2 m2 m3 (4.78 4.78) 9.56kN m
T
2 r02
t
T 2 A0
t
T
A0为平均半径所作圆的面积。
×
三、切应力互等定理：
´
a
b
dy
´
c
z
dx
d t
mz 0; t dxdy t dxdy
'
这就是切应力互等定理：在单元体相互垂直的两个截面
上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平
面的交线，其方向或共同指向交线，或共同背离交线。
垂直，则杆件发生的变形为扭转变形。
A
B O
A
BO
m
m
——扭转角（两端面相对转过的角度）
——剪切角，剪切角也称切应变。
×
§4–2 扭转的内力—扭矩与扭矩图
一、扭矩 圆杆扭转横截面的内力合成
结果为一合力偶，合力偶的力偶 矩称为截面的扭矩，用T 表示之。 m
max
T GI p
180
(/m)
×
例５ 图示圆轴，已知mA =1kN.m， mB =3kN.m， mC
=2kN.m；l1 =0.7m，l2 =0.3m；[]=60MPa，[ ]=0.3°/m，
G=80GPa；试选择该轴的直径。
mA
mB mC 解： ⑴按强度条件
A
l1
B l2 C
max
9.55
200 300
6.37
(kN m)
×
n D
m2 1 m3 2 m1 3 m4
n A 1 B 2 C 3D
②求扭矩（扭矩按正方向假设）
m 0 , T1 m2 0, T1 m2 4.78kN m m 0; T2 m1 m2 0
T2 m2 m3 (4.78 4.78) 9.56kN m
T
2 r02
t
T 2 A0
t
T
A0为平均半径所作圆的面积。
×
三、切应力互等定理：
´
a
b
dy
´
c
z
dx
d t
mz 0; t dxdy t dxdy
'
这就是切应力互等定理：在单元体相互垂直的两个截面
上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平
面的交线，其方向或共同指向交线，或共同背离交线。
垂直，则杆件发生的变形为扭转变形。
A
B O
A
BO
m
m
——扭转角（两端面相对转过的角度）
——剪切角，剪切角也称切应变。
×
§4–2 扭转的内力—扭矩与扭矩图
一、扭矩 圆杆扭转横截面的内力合成
结果为一合力偶，合力偶的力偶 矩称为截面的扭矩，用T 表示之。 m
材料力学课件：扭转
B
D
C
12 3
A P
Page4
§3-6 热应力与预应力
扭转
§4-1 引言 §4-2 圆轴扭转应力
Page5
§3-6 热应力与预应力
lT=ll T
B
C
A A’
变形不受限制(静定结构)，杆内未引起应力
Page6
B lT=ll T
CB
C
A’
A
A
变形受到限制(静不定结构)，杆内引起应力
热应力：因温度的变化在杆件内部引起的应力 预应力：由于实际尺寸的误差在杆件内部引起的应力
各
截面的扭矩。
Page20
扭矩图：外扭力矩随杆轴线变化的情况。
M 3ml
m
x
A
B
C
D
l
l/2 l/2
T1 ( x)
x
T ml
x
2ml
例：(m：单位长度的扭力偶矩)
AB段： T1 x mx
BC段： T2 ml CD段： T3 2ml
Page21
思考：
M
M’
M’
M
(1)
M’
(2)
M’
(3)
FN3
FN1
FN2
Page9
3
1
2
3
1
2
协调方程:
l3+ l1/cos()=
l3
FN3
FN1
FN2
Page10
➢ 装配应力在工程结构中的应用
1 23
P
在准确加工、装配的情况下，2杆 的应力最大。
如果能使3根杆同时达到许用应力， 将对结构更有利。
FN1 [1 ]A FN 2 [ 2 ]A FN 3 [ 3 ]A
材料力学 第4章_扭转
z
d x d z d y d y d z d x 0
返回
4. 切应力互等定理
切应力互等定理： 也称切应力双生定理， 指在单元体相互垂直的两 个面上，切应力必成对存 在，且数值相等；两者都 垂直于两个平面的交线， 方向共同指向或背离这一 交线。
纯剪切
BC B
TCD mB mC 700N m
(b)
TDA mA 1146N m
可见:主动轮与从动轮位置不 同,轴内最大扭矩也不同,显 然(a)方案比(b)方案合理。
返回
§4.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
返回总目录
一、薄壁圆筒扭转时的切应力 1. 变形现象 圆周线大小、形状、间距 不变，纵向线相同倾斜。 2. 横截面上应力分析 因纵向纤维无正应变， 有角应变，因此横截面上 无，有， 与圆周相切。 又因壁很薄，可近似认 为沿壁厚应力相等。
第4章 扭转
第4章 扭转
§4.1 扭转的概念 §4.2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
§4.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
§4.4 圆杆扭转时的变形及刚度条件
§4.5 非圆截面杆的扭转概念
§4.1 扭转的概念
返回总目录
工程中的受扭转杆件
拧紧螺母的工具杆产生扭转变形
返回
工程中的受扭转杆件
返回
工程中的受扭转杆件
r
d dx
横截面上任一点的 ⊥半 径，并与该点到轴线的距离 成正比。
返回
4. 应力公式 静力关系
T
dA
横截面上分布内力系对 圆心的矩等于扭矩T。
T d A A d d 2 G d A G d A A dx dx A
d x d z d y d y d z d x 0
返回
4. 切应力互等定理
切应力互等定理： 也称切应力双生定理， 指在单元体相互垂直的两 个面上，切应力必成对存 在，且数值相等；两者都 垂直于两个平面的交线， 方向共同指向或背离这一 交线。
纯剪切
BC B
TCD mB mC 700N m
(b)
TDA mA 1146N m
可见:主动轮与从动轮位置不 同,轴内最大扭矩也不同,显 然(a)方案比(b)方案合理。
返回
§4.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
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一、薄壁圆筒扭转时的切应力 1. 变形现象 圆周线大小、形状、间距 不变，纵向线相同倾斜。 2. 横截面上应力分析 因纵向纤维无正应变， 有角应变，因此横截面上 无，有， 与圆周相切。 又因壁很薄，可近似认 为沿壁厚应力相等。
第4章 扭转
第4章 扭转
§4.1 扭转的概念 §4.2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
§4.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
§4.4 圆杆扭转时的变形及刚度条件
§4.5 非圆截面杆的扭转概念
§4.1 扭转的概念
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工程中的受扭转杆件
拧紧螺母的工具杆产生扭转变形
返回
工程中的受扭转杆件
返回
工程中的受扭转杆件
r
d dx
横截面上任一点的 ⊥半 径，并与该点到轴线的距离 成正比。
返回
4. 应力公式 静力关系
T
dA
横截面上分布内力系对 圆心的矩等于扭矩T。
T d A A d d 2 G d A G d A A dx dx A
材料力学-扭转课件
dz z B dx C
At
D
n
t
t
Bt C
扭转试验和破坏分析
利用截面法和静力衡，
F x 0 d A c o s td A sin td A x 0 y F y 0 d A sin td A c o s td A y 0
注意到：
dAx=dAsin dAy=dAcos
得： t sin2 t t cos2
MD
T1=MB=3.5103 N·m
1
2
3
T2=MB+ MC =7103 N·m T3= -MD= -4.68103 N·m
MB
T1
若扭矩为正，表明
与所设方向相同（扭矩 MB MC
MD
的正向）；若为负，表
T2
明扭矩与所设方向相反
T3
外力偶矩、扭矩和扭矩图
绘制扭矩图。 最大扭矩产生
在CA段上，其值为
B
C
A
主动轮 D
外力偶矩、扭矩和扭矩图
解 主动轮和从动轮的外力偶矩分别为
MA
9549PA n
11.68103
N m
MB
MC
9549PB n
3.50103
N m
MD
9549PD n
4.68103
方向如图所示
N m
MB
MC
MA
MD
外力偶矩、扭矩和扭矩图
各段的扭矩为
MB 1 MC 2
MA 3
圆轴扭转强度条件
45o
受扭轴的破坏标志仍为屈服和断裂 屈服时横截面上的最大切应力称为扭转
屈服应力，记为ts
断裂时横截面上的最大切应力称为扭转
强度极限，记为tb 它们统称为扭转极限应力，记为tu
材料力学第4章扭转变形
1 1
T
1 1
T
1
Me
+
B
x
T Me
Me
B
T图 x
例 一传动轴如图，转速n = 300r/min； 主动轮输 入的功率P1= 500kW，三个从动轮输出的功率分 别为： P2= 150kW， P3= 150kW， P4= 200kW。 试作轴的扭矩图。
解： 首先必须计算作用在各轮上的外力偶矩
M2 1
2 T
1
1 T
1
材料不同），可见在两
杆交界处的切应力是不
同的。
d
D
§4. 7 非圆截面杆扭转的概念
对非圆截面杆的扭转问题，主要介绍矩形截面 杆的扭转。
试验现象
横向线变 成曲线
横截面发生 翘曲不再保 持为平面
平面假设不再 成立，可能产 生附加正应力
自由扭转 翘曲不受限制。 纵向纤维无伸长 横截面上无正应力
T
max
O
max
D
d
T
Ip
max
T Wp
圆截面的极惯性矩Ip和扭转截面系数Wp —几何性质 实心圆截面：
d
O
d
O
d D d
Ip
2 d A πd 4
A
32
Wp
Ip d /2
πd 3 16
Ip
2 d A πD4
A
32
1 4
Wp
Ip D /2
πD 3 16
1 4
4-4 圆轴扭转强度条件与合理设计
B 0
按叠加原理：
B BB BM 0
BB、BM分别为MB、Me 引起的在杆端B的扭转角。
线弹性时，物理关系(胡克定理)为
材料力学第四章扭转
解：1、变形 协调条件
1 2
2、装配扭力
偶矩 M
l1
l2
d1
d2
D
M
1
2
M
M FS
Page45
第四章 扭转
1 2
M
D
3、 M 关系
1
2
M
1
32Ml1
G d14
2
32Ml2
G
d
4 2
4、装配扭力 偶矩解答
M G d14d24
32
l1d
4 2
l2d14
5、轴最大切应力
1,max
16M
§4-2 扭矩
1. 扭矩与扭矩图
m
M
A
M
m
B
A
mT
x
M
m
扭矩：矢量方向垂直于横截面 A
m
Tx
的内力偶矩，并用T 表示。 M
m
符号规定：矢量方向(按右手定则)与横截面外法线方
向一致的扭矩为正，反之为负。
Page 6
第四章 扭转
扭矩图：扭矩随杆轴线变化的图线。
例：画扭矩图。
在AB和BC段分别切开， 分别考察左与右段平衡
max
A:
2M
D3
,
16
M
B :
D3
14
16
max
Page32
第四章 扭转
4、刚度校核
m 2M a
A
BM
3M
dD
a
a
a
a
x
T
M
T 2M x a
B
2M
A
x
max
max
材料力学课件-第四章-扭转
d :扭转角沿轴线的变化率 dx
单位 rad/m
工程常用单位 () / m
等截面圆轴:
Tmax GI P
一般传动轴， [ ] = 0.5 ~1/m 180 1 rad / m /m 注意单位换算: π
Page27
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
BUAA
Page31
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
例： l 2m ，均布力偶矩 m 60Nm m, G 80GPa, 30MPa, 1 / m ， 设计实心轴直径 d
A
m
l
B
解：最大扭矩发生在B端（危险截面）
Tmax ml 60 2 120N
Page11
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
1. 几何方面
dd ' tan ad
其中
dd ' d ad dx
由此得
d dx
Page12
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
d dx
2. 物理方面
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
§4-3 圆轴扭转横截面上的应力
M
1
2
T M
M
问题：横截面应力大小、方向、分布均未知，仅知合成扭矩T 。 连续体的静不定问题 。 分析方法：几何、物理、静力学三方面。关键是几何方面：
几何方面： 截面上各点变形的规律 物理方面： 变形与应力之间的关系 静力学方面： 合成扭矩等于扭力矩
M M
M
M
材料力学-第4章 扭转 ppt课件
dA
T
O
dA
23
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
A dA T
代入：
G
G
d dx
得到：
G d 2dA T dx A
记： IP －2dA称为圆截面的极惯性矩
A
则：圆轴扭转角的变化率 d T
dx GIP
圆截面切应力
采用右手螺旋法则，如果用四指表示扭矩的转向， 拇指的指向与截面的外法线n的方向相同时，该扭矩为 正；反之，规定扭矩为负
正扭矩
负扭矩
——保证了无论从哪一段计算，扭矩的大小和符号 都相同
12
材料力学－第4章 扭转
扭力偶矩计算与扭矩
讨论：如图受扭圆轴，m-m截面上扭矩为多少？
Me
m
2M e
m m
T Me
17
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
几何变形：
1. 横截面绕圆轴的轴线转动
？
主要
2. 圆轴中段的横截面缩小 几何变形特征
有剪切应变 rz 次要
3. 圆轴的长度略有增长
有轴向应变 z 次要
– 变形后，横截面仍保持为平面，其形状和大小均不
改变，半径仍为直线
– 变形后，相邻横截面的间距保持不变，相邻横截面 绕圆轴轴线转动一定的角度
外力偶矩的计算
• 工程中的传动轴，通常给出传动轴所传递的功率和转 速，而不直接给出外力偶矩的数值
• 设外力偶矩为Me，传动轴的功率为P，角速度为w，则
有（理论力学）
Me
P
w
外力偶矩Me 单位：N·m (牛顿·米) 功率为P 单位：J (焦耳)
材料力学：第四章 扭转
回顾: 极惯性矩、抗扭截面系数的计算
抗扭截面系数 极惯性矩
薄壁圆管 扭转切应力
回顾: 圆轴扭转强度条件 & 应力计算公式
薄壁圆管扭 转切应力
圆轴扭转 强度条件
max
[ ] u
n
扭转极限应力τu =
扭转屈服应力ts (塑性材料) 扭转强度极限tb (脆性材料)
§5 圆轴扭转变形与刚度计算
单辉祖：材料力学Ⅰ
14
例题
例 2-1 MA=76 Nm, MB=191 Nm, MC=115 Nm, 画扭矩图 解：用截断法,列力偶
矩平衡方程,和x轴正向 相同者取正 (1) 1-1截面
单辉祖：材料力学Ⅰ
(2) 2-2截面 T2 MC 115 N m
(3) 画扭矩图
15
§3 圆轴扭转横截面上的应力
单辉祖：材料力学Ⅰ
64
薄壁杆扭转
开口与闭口薄壁杆
截面中心线
－截面壁厚平分线
薄壁杆
－壁厚<<截面中心线 长度的杆件
闭口薄壁杆
－截面中心线为封闭曲线的薄壁杆
开口薄壁杆
－截面中心线为非封闭曲线的薄壁杆
单辉祖：材料力学Ⅰ
65
闭口薄壁杆扭转应力与变形
假设 切应力沿壁厚均匀分布, 并平行于中心线切线 应力公式
单辉祖：材料力学Ⅰ
62
例题
例 7-1 试比较闭口与开口薄壁圆管的抗扭性能,设 R0＝20d
解：1. 闭口薄壁圆管
2. 开口薄壁圆管
3. 抗扭性能比较
单辉祖：材料力闭学Ⅰ口薄壁杆的抗扭性能远比开口薄壁杆好
63
§8 薄壁杆扭转
开口与闭口薄壁杆 闭口薄壁杆扭转应力与变形 开口薄壁杆扭转简介 薄壁杆合理截面形状 例题
材料力学扭转教学课件PPT
200 kW。试做轴力图。
(a)
P2
P3
P1
n
P4
B
C
D
A
例题3-2图
m P2 2
m P3 3
P1
m1
m n
4 P4
B
C
D
A
m2
m3
m1
m4
(b)
B
C
A
D
解:1.计算外力偶矩
m1
m2
9.55 P1 15.9kN .m
m3
n
9.55
P2
n
4.78kN
.m
m4
9.55 P4 n
6.37kN .m
2.由计算简图用截面法计算各段轴内的扭矩，然后画扭矩图
§3.1 扭转的概念和实例
➢ 扭转变形 ——作用在垂直于杆件轴线的平面内 的力偶矩，使得杆件的任意两个 横截面都发生了绕轴线的相对转 动。
➢ 扭转变形杆件的内力 ——扭矩（T ）
➢ 轴 ——主要承受扭矩的构件
m A'
g
A
m B j B'
扭转的受力特征 ：在杆件的两端作用两个大小相等、
转向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶。
dA
O r
dA
dA
O
A
G 2
dj
dx
dA
G
dj
dx
A
2dA
T
GI p
dj
dx
令 Ip A 2dA
dj
dx
T GI p
代入物理关系式
G
dj
dx
得：
T
Ip
T
Ip
—横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。
(a)
P2
P3
P1
n
P4
B
C
D
A
例题3-2图
m P2 2
m P3 3
P1
m1
m n
4 P4
B
C
D
A
m2
m3
m1
m4
(b)
B
C
A
D
解:1.计算外力偶矩
m1
m2
9.55 P1 15.9kN .m
m3
n
9.55
P2
n
4.78kN
.m
m4
9.55 P4 n
6.37kN .m
2.由计算简图用截面法计算各段轴内的扭矩，然后画扭矩图
§3.1 扭转的概念和实例
➢ 扭转变形 ——作用在垂直于杆件轴线的平面内 的力偶矩，使得杆件的任意两个 横截面都发生了绕轴线的相对转 动。
➢ 扭转变形杆件的内力 ——扭矩（T ）
➢ 轴 ——主要承受扭矩的构件
m A'
g
A
m B j B'
扭转的受力特征 ：在杆件的两端作用两个大小相等、
转向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶。
dA
O r
dA
dA
O
A
G 2
dj
dx
dA
G
dj
dx
A
2dA
T
GI p
dj
dx
令 Ip A 2dA
dj
dx
T GI p
代入物理关系式
G
dj
dx
得：
T
Ip
T
Ip
—横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。
材料力学扭转教学课件
通过对材料力学扭转的深入研究，工程师可以在这些领域中优化设计，提高产品 的性能和安全性。此外，材料力学扭转在科学研究中也具有广泛的应用，如生物 医学工程和地质工程等领域。
材料力学扭转的教学建议
教学方法与技巧
案例分析法
实验演示法
互动讨论法
教学难点与重点
难点
理解材料在扭转作用下的应力分布和变 形特点。
材料力学扭转教学课件
目录
• 材料力学扭转基础
材料力学扭转基础
定义与概念
定义 概念
扭转的物理特性
扭矩
剪切应力
在材料力学中，剪切应力是物体在剪 切力作用下产生的应力，而在扭转中， 剪切应力是主要的应力形式。
扭转的分类
自由扭 转
约束扭转
材料力学扭转的应力分析
切应力与扭矩的关系
切应力与扭矩成正比
扭转变形的计算
扭转变形计算的公式 扭转变形计算的数据 扭转变形计算的过程
扭转变形的影响因素
01
02
03
材料性质的影响
加载条件的影响
环境因素的影响
材料力学扭转的实验研究
实验目的与原理
实验目的 实验原理
实验设备与材料
实验设备
实验材料
实验步骤与结果分析
实验步骤 1. 将试样安装在扭转试验机上，调整试样的位置和角度。
材料力学扭转的变形分析
扭转变形的测量
扭转变形的测量方法
通过测量材料在扭转变形后的角度、 长度等参数，计算出扭转变形的大小。
扭转变形测量的工具
扭转变形测量的步骤
按照规定的步骤进行测量，包括安装、 调整、操作和记录等步骤，确保测量 过程的规范性和准确性。
使用扭角仪、测角仪等工具进行测量， 确保测量结果的准确性和可靠性。
材料力学扭转的教学建议
教学方法与技巧
案例分析法
实验演示法
互动讨论法
教学难点与重点
难点
理解材料在扭转作用下的应力分布和变 形特点。
材料力学扭转教学课件
目录
• 材料力学扭转基础
材料力学扭转基础
定义与概念
定义 概念
扭转的物理特性
扭矩
剪切应力
在材料力学中，剪切应力是物体在剪 切力作用下产生的应力，而在扭转中， 剪切应力是主要的应力形式。
扭转的分类
自由扭 转
约束扭转
材料力学扭转的应力分析
切应力与扭矩的关系
切应力与扭矩成正比
扭转变形的计算
扭转变形计算的公式 扭转变形计算的数据 扭转变形计算的过程
扭转变形的影响因素
01
02
03
材料性质的影响
加载条件的影响
环境因素的影响
材料力学扭转的实验研究
实验目的与原理
实验目的 实验原理
实验设备与材料
实验设备
实验材料
实验步骤与结果分析
实验步骤 1. 将试样安装在扭转试验机上，调整试样的位置和角度。
材料力学扭转的变形分析
扭转变形的测量
扭转变形的测量方法
通过测量材料在扭转变形后的角度、 长度等参数，计算出扭转变形的大小。
扭转变形测量的工具
扭转变形测量的步骤
按照规定的步骤进行测量，包括安装、 调整、操作和记录等步骤，确保测量 过程的规范性和准确性。
使用扭角仪、测角仪等工具进行测量， 确保测量结果的准确性和可靠性。
材料力学课件 第四章扭转
4. 公式讨论： ① 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面
直杆。
② 式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。
—该点到圆心的距离。
Ip—截面极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
17
Ip A 2dA 单位：mm4，m4。
③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，
只是Ip值不同。
一、传动轴的外力偶矩 传递轴的传递功率、转数与外力偶矩的关系：
m
9.55
P n
(kN
m)
其中：P — 功率，千瓦（kW） n — 转速，转/分（rpm）
m
7.024
P n
(kN
m)
其中：P — 功率，马力（PS） n — 转速，转/分（rpm）
m
7.121
P n
(kN
m)
其中：P — 功率，马力（HP） n — 转速，转/分（rpm）
22
[例2]有一阶梯形圆轴，如图(a)所示轴的直径分别d为1 50mm,d2 80mm 。扭转力偶矩分别为 Me1 0.8kN m ，Me2 1.2kN m ，M e3 2kN m。若 材料的许用切应力 [ ] 40MPa ，试校核该轴的强度。
解： 方法一（理论计算法） 用截面法求出圆轴各段的扭矩，如图(b)所示。 由扭矩图可见，CD段和DB段的直径相同，但DB段的扭矩大 于CD段，故这两段只要校核DB段的强度即可。AC段的扭矩 虽然也小于DB段，但其直径也比DB段小，故AC段的强度也 需要校核。
2GI p
W
U ;
64PR3n Gd 4
P K
;
K
Gd 4 64R3n
为弹簧常数。
36
[例3] 圆柱形密圈螺旋弹簧的平均直径为：D=125mm，簧丝直 径为：d =18mm，受拉力 P=500N 的作用，试求最大剪应力 的近似值和精确值；若 G =82GPa，欲使弹簧变形等于 6mm， 问：弹簧至少应有几圈？
直杆。
② 式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。
—该点到圆心的距离。
Ip—截面极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
17
Ip A 2dA 单位：mm4，m4。
③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，
只是Ip值不同。
一、传动轴的外力偶矩 传递轴的传递功率、转数与外力偶矩的关系：
m
9.55
P n
(kN
m)
其中：P — 功率，千瓦（kW） n — 转速，转/分（rpm）
m
7.024
P n
(kN
m)
其中：P — 功率，马力（PS） n — 转速，转/分（rpm）
m
7.121
P n
(kN
m)
其中：P — 功率，马力（HP） n — 转速，转/分（rpm）
22
[例2]有一阶梯形圆轴，如图(a)所示轴的直径分别d为1 50mm,d2 80mm 。扭转力偶矩分别为 Me1 0.8kN m ，Me2 1.2kN m ，M e3 2kN m。若 材料的许用切应力 [ ] 40MPa ，试校核该轴的强度。
解： 方法一（理论计算法） 用截面法求出圆轴各段的扭矩，如图(b)所示。 由扭矩图可见，CD段和DB段的直径相同，但DB段的扭矩大 于CD段，故这两段只要校核DB段的强度即可。AC段的扭矩 虽然也小于DB段，但其直径也比DB段小，故AC段的强度也 需要校核。
2GI p
W
U ;
64PR3n Gd 4
P K
;
K
Gd 4 64R3n
为弹簧常数。
36
[例3] 圆柱形密圈螺旋弹簧的平均直径为：D=125mm，簧丝直 径为：d =18mm，受拉力 P=500N 的作用，试求最大剪应力 的近似值和精确值；若 G =82GPa，欲使弹簧变形等于 6mm， 问：弹簧至少应有几圈？
材料力学扭转
dx
c
x
它们组成的力偶，其矩为
(dxdy )dz
z
(dxdy )dz
y
此力偶矩与前一力偶矩
dy
d
a
b
( dy dz) dx 数量相等而转向相反，从而可得 z
dx
c
x
剪应力互等定理：
单元体两个相互垂直平面上
a
dy
y
b
d
的剪应力同时存在，且大小
相等，都指相（或背离）该
y
程中，认为上，下两面上的外
a
'
d
x
力将不作功。只有右侧面的外 力 (dydz) 对相应的位移 dx 作
z
b dx
dx
了功。
当材料在线弹性范围内内工作时，
y
上述力与位移成正比，因此，单
元体上外力所作的功为
1 2 1 2
z a
'
d
x
dW
( dydz)( dx)
( dxdydz)
M GI
e P
r
o
dA
M I
e p
上式为圆轴在扭转时横截面上任一点处的剪应力计算公式
M I
e p
式中：Me 为横截面上的扭矩； 为求应力的点到圆心的距离：
I p A dA
2
称为横截面对圆心的 极惯性矩
说明：
M n I
p
max
Mn
材料力学第四章 扭转
mA １
２
mC
１ mB
２
Mn1 MA
（+）
（-）
扭矩图
Mn2 MC
13
§3-2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
例题 图示传动轴上，经由A轮输入功率10KW，经由B、C、D轮 输出功率分别为2、3、5KW。轴的转速n=300r/min，求作该轴 的扭矩图。如将A、D轮的位置更换放置是否合理？
A
B
C
D
I
2、变形规律：
§3-3 薄壁圆筒的扭转
圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个角度。
纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。
结论： 横截面上 0, 0
0 0
根据对称性可知切应力沿圆周均匀分布；
' t
tD, 可认为切应力沿壁厚均匀分布,
将A、D轮的位置更换，则
B
I
C
II
A
D
III
I
II
III
单位：( N m)
63.7
（-） 15.29
因此将A、 D轮的
位置更换 不合理。
Mn,ma x31.38(Nm)
（AD段） 31.38 扭矩Mn-图
18
§3-2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
课堂练习 图示圆轴中，各轮上的转矩分别为mA＝4kN·m， mB＝10kN·m, mC＝6kN · m，试求1－1截面和2－2截面上的 扭矩，并画扭矩图。
m
转速：n (转/分)
1分钟输入功： 1分钟m 作功：
W W '
W 6 N 0 10 60 0 N 0 000
W m m 2 n 1 2 nm
材料力学课件-扭转
T
max
max
WP
即须使抗扭截面系数 Wp 相等
18
例 如图的轴的许用切应力为 60 MPa ， 校核强度。若将实心 圆轴改为内外径之比为 0.7 的空心圆轴，在强度相等的条件下， 求空心圆轴外径，并求两者的重量比。
m1=1kNm
D = 60
m2 =3kNm
D1
2 kNm
T
1 kNm
[解] （1）内力扭矩图：
y
Fx x
水平方向和竖直方向分量为
T
x (r)sin
T r sin
IP
y
(r)cos
T r cos
IP
水平方向合力为
Fx
xdA
A
A
Tr sin
IP
rdr d
T IP
d2
π2
r 2dr sin d
0
0
Td 3 24 I P
27
竖直方向合力为
Fy
A
ydA
A
Tr IP
cos
TC tL
C max
TC WP C
tL [ ]
πd
3 2
16
d2
16 t L
π[ ]
13
22
t
C
例5.3 图中结构由两段等截面圆轴
d1 A
L1 B L2
d2 构成。圆轴总长度为 L ，全长上作 用着均布力偶矩 t 。材料许用切应
L
力为 [ ]。要使圆轴重量为最轻，确
tL1
tL
定两段轴的长度 L1 和 L2 ，以及直
A
T
GI P
d
dx
d T
dx GIP
材料力学课件(路桥)第4章扭转
计算过程中需要考虑材料的弹性模量、泊松比、剪切模量等参数，以及 结构的几何尺寸和边界条件。
强度条件的工程意义
满足强度条件是保证路桥工程安全性和 稳定性的基础。
通过满足强度条件，可以防止桥梁结构 在承受外力矩和扭矩时发生破坏或过度
变形。
在路桥工程的设计、施工和运营过程中 ，需要定期进行检测和维护，以确保结
扭矩的量纲
扭矩的量纲是力和长度（L）的乘积，表示为ML^2。
量纲是描述物理量本质属性的方式，通过量纲可以判断物理量的性质和相互关系 。
03
扭转的应力分析
切应力与剪切应变的关系
切应力与剪切应变的关系是线 性的，即剪切应变与切应力成 正比。
在剪切弹性范围内，切应力与 剪切应变之间的关系可以用剪 切弹性模量来描述。
扭转过程中，杆件上各点的角位移和 剪切变形程度不同，导致杆件横截面 绕其自身轴线发生转动。
扭转的物理现象
01
杆件在扭转时，横截面上的正应 力分布不均匀，呈现出剪切变形 的特点。
02
杆件上各点的剪切变形程度与该 点到轴线的距离成正比，导致横 截面上的切向力分布不均匀。
扭转的分类
根据杆件上所受外力矩的方向， 扭转可分为左旋和右旋两种类型
构的强度和稳定性。
05
扭转的刚度条件
刚度条件的定义
刚度条件是指在材料力学中，杆件在受到扭矩作用时，其横 截面上的剪切应力和剪切变形之间的关系。
刚度条件是材料力学中一个重要的基本概念，它描述了杆件 在扭矩作用下抵抗变形的能力。
刚度条件的计算方法
根据材料力学的基本理论，刚度条件可以通过杆件的剪切 弹性模量和剪切应变来计算。
材料力学课件(路桥)第4章 扭转
目录 CONTENTS
强度条件的工程意义
满足强度条件是保证路桥工程安全性和 稳定性的基础。
通过满足强度条件，可以防止桥梁结构 在承受外力矩和扭矩时发生破坏或过度
变形。
在路桥工程的设计、施工和运营过程中 ，需要定期进行检测和维护，以确保结
扭矩的量纲
扭矩的量纲是力和长度（L）的乘积，表示为ML^2。
量纲是描述物理量本质属性的方式，通过量纲可以判断物理量的性质和相互关系 。
03
扭转的应力分析
切应力与剪切应变的关系
切应力与剪切应变的关系是线 性的，即剪切应变与切应力成 正比。
在剪切弹性范围内，切应力与 剪切应变之间的关系可以用剪 切弹性模量来描述。
扭转过程中，杆件上各点的角位移和 剪切变形程度不同，导致杆件横截面 绕其自身轴线发生转动。
扭转的物理现象
01
杆件在扭转时，横截面上的正应 力分布不均匀，呈现出剪切变形 的特点。
02
杆件上各点的剪切变形程度与该 点到轴线的距离成正比，导致横 截面上的切向力分布不均匀。
扭转的分类
根据杆件上所受外力矩的方向， 扭转可分为左旋和右旋两种类型
构的强度和稳定性。
05
扭转的刚度条件
刚度条件的定义
刚度条件是指在材料力学中，杆件在受到扭矩作用时，其横 截面上的剪切应力和剪切变形之间的关系。
刚度条件是材料力学中一个重要的基本概念，它描述了杆件 在扭矩作用下抵抗变形的能力。
刚度条件的计算方法
根据材料力学的基本理论，刚度条件可以通过杆件的剪切 弹性模量和剪切应变来计算。
材料力学课件(路桥)第4章 扭转
目录 CONTENTS
第四章：扭转
2 2
64.22
45.02
0.611
A1
d12
58.62
小 结 在最大切应力相同的情况下，空心轴所用的材料是实心轴的
61.1%，自重也减轻了 38.9%。其原因是：圆轴扭转时，横截面上应力
呈线性分布，越接近截面中心，应力越小，此处的材料就没有充分发挥 作用。做成空心轴，使得截面中心处的材料安置到轴的外缘，材料得到 了充分利用，而且也减轻了构件的自重。但空心轴的制造要困难些，故 应综合考虑。
解：1）用截面法求各段扭矩 AB 段：
1
2
T1 MA 900 N m
BC 段：
T
T2 M c 600 N m
600Nm
画出扭矩图如图所示
900Nm
第五节：圆轴扭转时的变形
AB 截面 极惯性矩
I P1
πd14 32
BC 截面 极惯性矩
2）C 截面相对于 A 截面的转角
IP2
πd
4 2
32
第一节：扭转的概念
扭转：是杆的又一种基本变形形式。其受力特点是：构件两 端受到两个作用面与杆的轴线垂直的、大小相等的、转向相 反的力偶矩作用，使杆件的横截面绕轴线发生相对转动。
扭转角：任意两横截面间的相对角位移。如图所示的 φ 角。
轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如钻探机的钻杆，电 动机的主轴及机器的传动轴等。
叠加原理
CA CB BA
AB 段：
BA =
T1l1 GI P1
×
1800
=-0.8110
BC 段：
CB =
T2l2 GI P2
×
1800
=0.9810
CA CB BA 0.9810 (0.8110 ) 0.17 0
材料力学课件-第四章 扭转-薄壁杆件的扭转
部分加厚由于最小壁厚不变，最大应力不变。部分加厚后甚至由于应力集中更危险。
例2：某等壁厚d闭口薄壁杆受扭矩T，中心线周长S，轴的最大扭转切应力与扭转变形:(1)在 S/2中心线长度上壁厚增加一倍到2d；(2)在很小的局部受损伤壁厚减薄到d/2。
解：(2)第2种情形
局部减薄对积分值影响甚微，可以忽略不计。
最大应力增加一倍。
定性研究结论：强度是局部量，刚度是整体量。
例3：比较扭转切应力与扭转变形
解：
R0
R0
比较
（1）闭口薄壁圆管
（2）开口薄壁圆管
(狭长矩形)
作业 4-22 4-27 4-35 4-36
谢谢
薄壁圆管
思考：公式的精度？
在线弹性情况下，精确解为
思考：公式（1）和（2）的适用范围？
(1)
(2)
误差
T
dx
a
b
c
d
二、闭口薄壁杆的扭转变形
dx
ds
分析方法讨论:
由静力学、几何和物理三方面求解所遇到的困难：几何形状复杂。
新方法探索：
尝试能量法。
一未知量
无未知量
问题可解
二、闭口薄壁杆的扭转变形
假设：切应力沿壁厚均匀分布，其方向平行于中心线 假设依据：
T
dx
a
b
c
d
a
b
c
d
2
1
dx
1
1
2
2
薄，切应力互等定理
利用切应力互等定理，转化为研究纵向截面切应力，利用平衡方程求解.
截面中心线所围面积 的2倍
思考：O点位置可否任选，如截面外？
ds
o
ds
例2：某等壁厚d闭口薄壁杆受扭矩T，中心线周长S，轴的最大扭转切应力与扭转变形:(1)在 S/2中心线长度上壁厚增加一倍到2d；(2)在很小的局部受损伤壁厚减薄到d/2。
解：(2)第2种情形
局部减薄对积分值影响甚微，可以忽略不计。
最大应力增加一倍。
定性研究结论：强度是局部量，刚度是整体量。
例3：比较扭转切应力与扭转变形
解：
R0
R0
比较
（1）闭口薄壁圆管
（2）开口薄壁圆管
(狭长矩形)
作业 4-22 4-27 4-35 4-36
谢谢
薄壁圆管
思考：公式的精度？
在线弹性情况下，精确解为
思考：公式（1）和（2）的适用范围？
(1)
(2)
误差
T
dx
a
b
c
d
二、闭口薄壁杆的扭转变形
dx
ds
分析方法讨论:
由静力学、几何和物理三方面求解所遇到的困难：几何形状复杂。
新方法探索：
尝试能量法。
一未知量
无未知量
问题可解
二、闭口薄壁杆的扭转变形
假设：切应力沿壁厚均匀分布，其方向平行于中心线 假设依据：
T
dx
a
b
c
d
a
b
c
d
2
1
dx
1
1
2
2
薄，切应力互等定理
利用切应力互等定理，转化为研究纵向截面切应力，利用平衡方程求解.
截面中心线所围面积 的2倍
思考：O点位置可否任选，如截面外？
ds
o
ds
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BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
第四章
§4-1 引言
扭转
§4-2
§4-3 §4-4 §4-5 §4-6 §4-7 §4-8
扭力偶矩计算与扭矩
圆轴扭转横截面上的应力 圆轴扭转破坏与强度条件 圆轴扭转变形与刚度计算 简单静不定轴 非圆截面轴扭转 薄壁杆扭转
Page1
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
G
d G dx
考察：扭转切应 力分布规律
与 成正比， 垂直于半径
• 纵截面上存在切应力
Page13
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
d G dx
3. 静力学方面
公式中还有哪些量未被确定？
A
dA T
定义： I p
两式得扭矩
60000 P P T 9549 (牛顿米） 2n n
Page4
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
A M A M
2 扭矩与扭矩图 m
m m T m
M B
扭矩：矢量方向垂直于横 截面的内力偶矩，并用T 表 示。
x
扭矩 扭力矩!
符号规定：矢量方向(按 右手螺旋定则)与横截面 外法线方向一致的扭矩 为正，反之为负。
d :扭转角沿轴线的变化率 dx
单位 rad/m
工程常用单位 () / m
等截面圆轴:
Tmax GI P
一般传动轴， [ ] = 0.5 ~1/m 180 1 rad / m /m 注意单位换算: π
Page27
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
T= AR0 A2R0
T 2 2 R0
当R0/10时，足够精确
Page18
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
dz
切应力互等定理 将所取微体置于坐标系下，研 y dydz 1 究其平衡
M
1dydz
x
z
0
dy
1dydz dx dxdz dy 0
MECHANICS OF MATERIALS
§4-2 1. 轴的动力传递
扭力偶矩计算与扭矩
已知传动构件的转速与所传递的 功率，计算轴所承受的扭力矩。
解: 计算一分钟的功 W
从电机看
W P (千瓦） 60 （秒） P (1000牛顿米） 60 （秒）
（弧度） 从扭力矩看 W T (牛顿米） T (牛顿米） 2n（弧度）
T2 M
T1 2M
M
A
C
T
M
x
2M
Page6
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
例：画扭矩图(m：单位长度的扭力偶矩)。
M 3ml
m
A B
C
D
在AB、BC和CD段分别由三截面 x 切开，考察左（或右）段平衡
l
l/2
l/2
T1 ( x)
x
T
AB段： T x mx 1
z
dx
1 1
切应力互等定理
在微体的互垂截面上，垂直于截面交线的切应力数 值相等，方向均指向或离开交线。
Page19
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
切应力互等定理的几点推论
• 纵截面上存在切应力 • 受扭轴横截面边缘上任一点的切应力方向与该点的切 线方向一致（即边缘切应力平行于周边） • 矩形截面角点上的切应力为零。
Page32
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
Tmax 120N
设计实心圆轴直径d。 a、根据强度条件
d1
3
A
m
l
B
16Tmax
d1 27.311mm
b、根据刚度条件
d2
4
32Tmax G
d1 30.588mm
取 d 31mm
Page33
Page5
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
扭矩图：扭矩 (T) 随轴线位置(x)变化的图线。 例：画扭矩图。 在AB和BC段分别切开，分 别考察左与右段平衡（设正）
2M
2M
B
M
A
3M
C
AB段： T1 2 M BC段： T2 M
画扭矩图。 注意：扭矩图与受扭轴对齐， 标注正负号。
3、强度校核（危险截面A和B）
m 2M a
A
B
M
3M
d D
a
T
a
a
a
M
x
A B
2M
x
2M T x a
max
max
2M M A: , B: 3 3 4 D D 1 16 16 max
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MECHANICS OF MATERIALS
纵线：倾斜同一角度并保持直线。 2. 扭转平面假设 各横截面如同刚性圆片，仅绕轴线作相对旋转。 这一假设为建立单参数的变形协调公式提供了依据。
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MECHANICS OF MATERIALS
二、扭转应力的一般公式
1. 几何方面（截取楔形体）
取楔形体O1O2ABCD 为研究对象
微段扭转 变形
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MECHANICS OF MATERIALS
§4-4 圆轴扭转强度条件与合理设计 一、扭转失效与扭转极限应力
s 扭转极限应力 u b
扭转屈服应力，塑性材料 扭转强度极限，脆性材料
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MECHANICS OF MATERIALS
二、圆轴扭转强度条件
dA
d G dx
A
2 dA T
极惯性矩
A
2 dA
O
T
d T dx GI P T IP
扭转角变化率 圆轴扭转切应力的 一般公式。
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MECHANICS OF MATERIALS
三、圆轴扭转最大切应力
最大扭转切应力发生在圆轴 表面
O
max
R
TR T max IP IP R IP 定义： 抗扭截面系数 WP R
工作应力： max
许用切应力： 强度条件： max
T W P max
等截面与非等截面轴
u
n
n
安全因数 等截面圆轴：
Tmax WP
T W p max
[ ] 与 [ ] 关系
详细讨论见第九章
塑性材料： =（0.5－0.577） 脆性材料： = （0.8－1.0）t
BC段： T2 ml CD段： T3 2ml
ml
画扭矩图
x
2ml
•试与轴力图比较， 考察对应关系。
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MECHANICS OF MATERIALS
对应的拉压问题轴力图
M 3ml
q
D
F 3ql
m
A B
C
l
l/2
l/2
T
ml
FN
ql
x
2ml
2 ql
x
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(分4段计算)
A B
M
3M
d D
a
T
a
a
a
M
x
A B
2M
x
2M T x a
2M x a 2 Ma Ma Ma a T dx 4 4 4 0 D D D D4 d 4 G G G G 32 32 32 32
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MECHANICS OF MATERIALS
3 D D W IP , P 16 32 4
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d D3 4 WP (1 ), 16 D
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MECHANICS OF MATERIALS
圆轴扭转应力小结
平面假设 外部变形
物理方程(应力应变关系) 静力学条件(平衡方程) 剪切胡克定律
切应变
d dx
M M
M
M
截面尺寸突变
配置过渡圆角
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§4-5 圆轴扭转变形与刚度计算
一、圆轴扭转变形公式
d T dx GI P T 微段dx的扭转变形 d GI dx P T
相距l 的两横截面的扭转角 l d l GI dx
(r , ) f (r )
(r, ) Gf (r )
T (r, )dA M
A
截面上各点变形的规律：实验观测
合理假设
连续体的变形协调条件(数学公式)
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MECHANICS OF MATERIALS
一、试验与假设
1. 实验观测
圆周线：形状、大小与间距均不改变，仅绕轴线相对旋转。
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MECHANICS OF MATERIALS
例： l 2m ，均布力偶矩 m 60Nm m, G 80GPa, 30MPa, 1 / m ， 设计实心轴直径 d
MECHANICS OF MATERIALS
第四章
§4-1 引言
扭转
§4-2
§4-3 §4-4 §4-5 §4-6 §4-7 §4-8
扭力偶矩计算与扭矩
圆轴扭转横截面上的应力 圆轴扭转破坏与强度条件 圆轴扭转变形与刚度计算 简单静不定轴 非圆截面轴扭转 薄壁杆扭转
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G
d G dx
考察：扭转切应 力分布规律
与 成正比， 垂直于半径
• 纵截面上存在切应力
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MECHANICS OF MATERIALS
d G dx
3. 静力学方面
公式中还有哪些量未被确定？
A
dA T
定义： I p
两式得扭矩
60000 P P T 9549 (牛顿米） 2n n
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A M A M
2 扭矩与扭矩图 m
m m T m
M B
扭矩：矢量方向垂直于横 截面的内力偶矩，并用T 表 示。
x
扭矩 扭力矩!
符号规定：矢量方向(按 右手螺旋定则)与横截面 外法线方向一致的扭矩 为正，反之为负。
d :扭转角沿轴线的变化率 dx
单位 rad/m
工程常用单位 () / m
等截面圆轴:
Tmax GI P
一般传动轴， [ ] = 0.5 ~1/m 180 1 rad / m /m 注意单位换算: π
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T= AR0 A2R0
T 2 2 R0
当R0/10时，足够精确
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dz
切应力互等定理 将所取微体置于坐标系下，研 y dydz 1 究其平衡
M
1dydz
x
z
0
dy
1dydz dx dxdz dy 0
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§4-2 1. 轴的动力传递
扭力偶矩计算与扭矩
已知传动构件的转速与所传递的 功率，计算轴所承受的扭力矩。
解: 计算一分钟的功 W
从电机看
W P (千瓦） 60 （秒） P (1000牛顿米） 60 （秒）
（弧度） 从扭力矩看 W T (牛顿米） T (牛顿米） 2n（弧度）
T2 M
T1 2M
M
A
C
T
M
x
2M
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例：画扭矩图(m：单位长度的扭力偶矩)。
M 3ml
m
A B
C
D
在AB、BC和CD段分别由三截面 x 切开，考察左（或右）段平衡
l
l/2
l/2
T1 ( x)
x
T
AB段： T x mx 1
z
dx
1 1
切应力互等定理
在微体的互垂截面上，垂直于截面交线的切应力数 值相等，方向均指向或离开交线。
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切应力互等定理的几点推论
• 纵截面上存在切应力 • 受扭轴横截面边缘上任一点的切应力方向与该点的切 线方向一致（即边缘切应力平行于周边） • 矩形截面角点上的切应力为零。
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Tmax 120N
设计实心圆轴直径d。 a、根据强度条件
d1
3
A
m
l
B
16Tmax
d1 27.311mm
b、根据刚度条件
d2
4
32Tmax G
d1 30.588mm
取 d 31mm
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扭矩图：扭矩 (T) 随轴线位置(x)变化的图线。 例：画扭矩图。 在AB和BC段分别切开，分 别考察左与右段平衡（设正）
2M
2M
B
M
A
3M
C
AB段： T1 2 M BC段： T2 M
画扭矩图。 注意：扭矩图与受扭轴对齐， 标注正负号。
3、强度校核（危险截面A和B）
m 2M a
A
B
M
3M
d D
a
T
a
a
a
M
x
A B
2M
x
2M T x a
max
max
2M M A: , B: 3 3 4 D D 1 16 16 max
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纵线：倾斜同一角度并保持直线。 2. 扭转平面假设 各横截面如同刚性圆片，仅绕轴线作相对旋转。 这一假设为建立单参数的变形协调公式提供了依据。
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二、扭转应力的一般公式
1. 几何方面（截取楔形体）
取楔形体O1O2ABCD 为研究对象
微段扭转 变形
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§4-4 圆轴扭转强度条件与合理设计 一、扭转失效与扭转极限应力
s 扭转极限应力 u b
扭转屈服应力，塑性材料 扭转强度极限，脆性材料
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二、圆轴扭转强度条件
dA
d G dx
A
2 dA T
极惯性矩
A
2 dA
O
T
d T dx GI P T IP
扭转角变化率 圆轴扭转切应力的 一般公式。
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三、圆轴扭转最大切应力
最大扭转切应力发生在圆轴 表面
O
max
R
TR T max IP IP R IP 定义： 抗扭截面系数 WP R
工作应力： max
许用切应力： 强度条件： max
T W P max
等截面与非等截面轴
u
n
n
安全因数 等截面圆轴：
Tmax WP
T W p max
[ ] 与 [ ] 关系
详细讨论见第九章
塑性材料： =（0.5－0.577） 脆性材料： = （0.8－1.0）t
BC段： T2 ml CD段： T3 2ml
ml
画扭矩图
x
2ml
•试与轴力图比较， 考察对应关系。
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对应的拉压问题轴力图
M 3ml
q
D
F 3ql
m
A B
C
l
l/2
l/2
T
ml
FN
ql
x
2ml
2 ql
x
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(分4段计算)
A B
M
3M
d D
a
T
a
a
a
M
x
A B
2M
x
2M T x a
2M x a 2 Ma Ma Ma a T dx 4 4 4 0 D D D D4 d 4 G G G G 32 32 32 32
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3 D D W IP , P 16 32 4
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d D3 4 WP (1 ), 16 D
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圆轴扭转应力小结
平面假设 外部变形
物理方程(应力应变关系) 静力学条件(平衡方程) 剪切胡克定律
切应变
d dx
M M
M
M
截面尺寸突变
配置过渡圆角
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§4-5 圆轴扭转变形与刚度计算
一、圆轴扭转变形公式
d T dx GI P T 微段dx的扭转变形 d GI dx P T
相距l 的两横截面的扭转角 l d l GI dx
(r , ) f (r )
(r, ) Gf (r )
T (r, )dA M
A
截面上各点变形的规律：实验观测
合理假设
连续体的变形协调条件(数学公式)
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一、试验与假设
1. 实验观测
圆周线：形状、大小与间距均不改变，仅绕轴线相对旋转。
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例： l 2m ，均布力偶矩 m 60Nm m, G 80GPa, 30MPa, 1 / m ， 设计实心轴直径 d