材料力学课件-第四章-扭转

T2 M
T1 2M
M
A
C
T

M
x

2M
Page6
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
例：画扭矩图(m：单位长度的扭力偶矩)。
M 3ml
m
A B
C
D
在AB、BC和CD段分别由三截面 x 切开，考察左（或右）段平衡
l
l/2
l/2
T1 ( x)
x
T
AB段： T x mx 1

为了合理利用材料，应做成空心的 思考：R0 / 是否是愈大愈好？
R0
空心轴
Page24
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
2. 采用变截面轴与阶梯形轴
3. 减小应力集中 在截面尺寸突变或急剧改变处，会产生应力集 中，因此在阶梯轴交界处，宜配置适当尺寸过 度圆角以减小应力集中。
3、强度校核（危险截面A和B）
m 2M a
A
B
M
3M
d D
a
T
a
a

a
M
x

A B
2M
x
2M T x a
max
max
2M M A: , B: 3 3 4 D D 1 16 16 max
Page30
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
3 D D W IP , P 16 32 4
Page16
d D3 4 WP (1 ), 16 D
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
圆轴扭转应力小结
平面假设 外部变形
物理方程(应力应变关系) 静力学条件(平衡方程) 剪切胡克定律
切应变
d dx
Page31
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
例： l 2m ，均布力偶矩 m 60Nm m, G 80GPa, 30MPa, 1 / m ， 设计实心轴直径 d
A
m
l
B
解：最大扭矩发生在B端（危险截面）
Tmax ml 60 2 120N
求出截面常数
d 完全确定切应变分布 dx
T 横截面上剪应力 IP
圆截面轴； max p
Page17
公式的适用范围：
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
薄壁圆管的扭转切应力
1、精确计算 ——按空心轴的计算办法
R1 R2
2、近似计算 管壁薄——假设切应力沿 管壁均匀分布


T= AR0 A2R0
T 2 2 R0
当R0/10时，足够精确
Page18
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
dz
切应力互等定理 将所取微体置于坐标系下，研 y dydz 1 究其平衡

M
1dydz
x
z
0
dy
1dydz dx dxdz dy 0
z
dx
1 1
切应力互等定理
在微体的互垂截面上，垂直于截面交线的切应力数 值相等，方向均指向或离开交线。
Page19
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
切应力互等定理的几点推论
• 纵截面上存在切应力 • 受扭轴横截面边缘上任一点的切应力方向与该点的切 线方向一致（即边缘切应力平行于周边） • 矩形截面角点上的切应力为零。
Page11
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
1. 几何方面
dd ' tan ad
其中
dd ' d ad dx
由此得
d dx
Page12
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
d dx
2. 物理方面
max
T WP
Page15
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
四. 极惯性矩与抗扭截面系数
I p 2 dA
A
•空心圆截面
D d

d
dA 2 d
IP
D/2 d /2
D4 2 d (1 4 ) 32
2
•实心圆截面 设 0
MECHANICS OF MATERIALS
§4-2 1. 轴的动力传递
扭力偶矩计算与扭矩
已知传动构件的转速与所传递的 功率，计算轴所承受的扭力矩。
解: 计算一分钟的功 W
从电机看
W P (千瓦） 60 （秒） P (1000牛顿米） 60 （秒）
（弧度） 从扭力矩看 W T (牛顿米） T (牛顿米） 2n（弧度）
G
d G dx
考察：扭转切应 力分布规律
与 成正比， 垂直于半径
• 纵截面上存在切应力
Page13
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
d G dx
3. 静力学方面
公式中还有哪些量未被确定？


A
dA T
定义： I p
d :扭转角沿轴线的变化率 dx
单位 rad/m
工程常用单位 () / m
等截面圆轴:
Tmax GI P
一般传动轴， [ ] = 0.5 ~1/m 180 1 rad / m /m 注意单位换算: π
Page27
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
Page32
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
Tmax 120N
设计实心圆轴直径d。 a、根据强度条件
d1
3
A
m
l
B
16Tmax

d1 27.311mm
b、根据刚度条件
d2
4
32Tmax G
d1 30.588mm
取 d 31mm
Page33
纵线：倾斜同一角度并保持直线。 2. 扭转平面假设 各横截面如同刚性圆片，仅绕轴线作相对旋转。 这一假设为建立单参数的变形协调公式提供了依据。
Page10
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
二、扭转应力的一般公式
1. 几何方面（截取楔形体）
取楔形体O1O2ABCD 为研究对象
微段扭转 变形
BUAA
Page5
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
扭矩图：扭矩 (T) 随轴线位置(x)变化的图线。 例：画扭矩图。 在AB和BC段分别切开，分 别考察左与右段平衡（设正）
2M
2M
B
M
A
3M
C
AB段： T1 2 M BC段： T2 M
画扭矩图。 注意：扭矩图与受扭轴对齐， 标注正负号。
2M a
4、刚度校核
m
A
B
M
3M
d D
a
T
a
a

a
M
x

A B
2M
x
2M T x a
max
注意
max
单位换算 分别设计，取较大者 设计轴，可按 ，
2M M A: , B: 4 4 4 D D 1 32 32 max
工作应力： max
许用切应力： 强度条件： max
T W P max
等截面与非等截面轴
u
n
n
安全因数 等截面圆轴：
Tmax WP
T W p max
[ ] 与 [ ] 关系
详细讨论见第九章
塑性材料： =（0.5－0.577） 脆性材料： = （0.8－1.0）t
dA
d G dx

A
2 dA T
极惯性矩

A
2 dA
O
T
d T dx GI P T IP
扭转角变化率 圆轴扭转切应力的 一般公式。
Page14
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
三、圆轴扭转最大切应力
最大扭转切应力发生在圆轴 表面
O
max
R
TR T max IP IP R IP 定义： 抗扭截面系数 WP R
两式得扭矩
60000 P P T 9549 (牛顿米） 2n n
Page4
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
A M A M
2 扭矩与扭矩图 m
m m T m
M B
扭矩：矢量方向垂直于横 截面的内力偶矩，并用T 表 示。
x
扭矩 扭力矩!
符号规定：矢量方向(按 右手螺旋定则)与横截面 外法线方向一致的扭矩 为正，反之为负。
P
长l 常扭矩等截面圆轴 GIp

Tl GI P
圆轴截面扭转刚度
Page26
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
二、圆轴扭转刚度条件 d T dx GI P
单位长度许用扭转角： 刚度条件: 注意
T GI P max
Page20
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
§4-4 圆轴扭转强度条件与合理设计 一、扭转失效与扭转极限应力
s 扭转极限应力 u b
扭转屈服应力，塑性材料 扭转强度极限，脆性材料
Page21
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
二、圆轴扭转强度条件
(分4段计算)
A B
M
3M
d D
a
T
a
a

a
M
x

A B
2M
x
2M T x a
2M x a 2 Ma Ma Ma a T dx 4 4 4 0 D D D D4 d 4 G G G G 32 32 32 32
Page29
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
Page22
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
思考：竹竿扭转破坏沿纵向还是沿横向开裂？
Page23
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
三、圆轴合理截面与减缓应力集中
max
dA
T W P max
1. 合理截面形状
增大 W p
实心轴
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
第四章
§4-1 引言
扭转
§4-2
§4-3 §4-4 §4-5 §4-6 §4-7 §4-8
扭力偶矩计算与扭矩
圆轴扭转横截面上的应力 圆轴扭转破坏与强度条件 圆轴扭转变形与刚度计算 简单静不定轴 非圆截面轴扭转 薄壁杆扭转
Page1
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
§4-3 圆轴扭转横截面上的应力
M
1
2
T M
M
Fra Baidu bibliotek
问题：横截面应力大小、方向、分布均未知，仅知合成扭矩T 。 连续体的静不定问题 。 分析方法：几何、物理、静力学三方面。关键是几何方面：
几何方面： 截面上各点变形的规律 物理方面： 变形与应力之间的关系 静力学方面： 合成扭矩等于扭力矩
M M
M
M
截面尺寸突变
配置过渡圆角
Page25
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
§4-5 圆轴扭转变形与刚度计算
一、圆轴扭转变形公式
d T dx GI P T 微段dx的扭转变形 d GI dx P T
相距l 的两横截面的扭转角 l d l GI dx
(r , ) f (r )
(r, ) Gf (r )
T (r, )dA M
A
截面上各点变形的规律：实验观测
合理假设
连续体的变形协调条件(数学公式)
Page9
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
一、试验与假设
1. 实验观测
圆周线：形状、大小与间距均不改变，仅绕轴线相对旋转。
例：已知轴的尺寸， ， ，计算总扭转角，校核强度与刚度。
m 2M a
A
B
M
3M
d D
a
x
a
a
a
解：1、画扭转图（与轴位置对齐），确定危险截面。
T
2M x a
M


A B
2M
x
T
可能危险截面A、B
Page28
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
2、总扭转角 T
m 2M a
§4-1
引言
受扭杆件的外力及变形特征
外力：作用面垂直于杆轴线的力偶，称为扭力偶， 扭力偶之矩称为扭力偶矩或扭力矩。
变形：各横截面绕轴线作相对旋转，轴线仍为直线。 轴： 以扭转变形为主要变形的直杆称为轴。
Page2
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
工程中的扭转问题
传动轴
Page3
BUAA
BC段： T2 ml CD段： T3 2ml
ml

画扭矩图

x
2ml
•试与轴力图比较， 考察对应关系。
Page7
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
对应的拉压问题轴力图
M 3ml
q
D
F 3ql
m
A B
C
l
l/2
l/2
T
ml

FN

ql

x
2ml
2 ql

x
Page8