2020届长郡中学高三第3次月考试卷-理数答案
2020届长郡中学高三第3次月考试卷-理数答案
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【理数】长郡中学2020届高三适应性模拟试卷及答案(3月)
学校:___________准考证号:____________姓名:____________(在此卷上答题无效)长郡中学2020届高三适应性考试(三)理科数学本试题卷共8页，全卷满分150分。
注意事项:1.答题前，考生可能需要输入信息。
请务必正确输入所需的信息，如姓名、考生号等。
2.选择题的作答:请直接在选择题页面内作答并提交。
写在试题卷、草稿纸等非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡，上对应的答题区域内或空白纸张上，按规定上传。
4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用笔涂黑，或者在空白纸张上注明所写题目，然后开始作答。
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合{}12x Nz x *∈∈中含有的元素个数为A.4 B.6 C.8 D.122.设,a b R ∈，i 是虚数单位，则“复数z a bi =+为纯虚数”是“ab=0"的A.充要条件B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充分不必要条件3.2019年10月1日上午，庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵仪式在天安门广场隆重举行。
这次阅兵不仅展示了我国的科技军事力量，更是让世界感受到了中国的日新月异。
今年的阅兵方阵有一个很抢眼，他们就是院校科研方阵。
他们是由军事科学院、国防大学、国防科技大学联合组建.若已知甲、乙、丙三人来自上述三所学校，学历分别有学士、硕士、博士学位。
现知道:①甲不是军事科学院的;②来自军事科学院的不是博士;③乙不是军事科学院的;④乙不是博士学位;⑤国防科技大学的是研究生.则丙是来自哪个院校的，学位是什么A.国防大学，博士B.国防科技大学，研究生C.国防大学，研究生D.军事科学院，学士4.281()x y x ++的展开式中12x y -的系数为A.160B.240C.280D.3205.已知3ln 3,log ,log e e a b c π===(注:e 为自然对数的底数)，则下列关系正确的是A.c<b<aB.a<b<cC.b<a<cD.b<c<a6.函数2()ln(1)x x e e f x x --=+在[-3,3]的图象大致为7.一个几何体的三视图及尺寸如下图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，该几何体的表面积是A.82+8πB.82+16π2+8π2+l6π8.已知(0,),(,0)22ππαβ∈∈-，且13cos(),cos()43423ππβα+=-=，则cos()2βα+=A.33 B.33- C.539 D.69-9.已知F 1、F 2是双曲线C:2221(0)x y a a-=>的两个焦点，过点F 1且垂直于x 轴的直线与C 相交于A 、B 两点，若2AB =，则∆ABF 2的内切圆的半径为A.23 B.33 C.323 D.3310.已知数列{}n a 的通项公式为22n a n =+，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记n b 为数阵从左至右的n列，从上到下的n 行共n 2个数的和，则数列n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为A.10112020 B.20192020 C.20202021 D.1010202111.上世纪末河南出土的以鹤的尺骨(翅骨)制成的“骨笛”(图1)，充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春(秋)分”，“夏(冬)至”的示意图，图3是某骨笛的部分测量数据(骨笛的弯曲忽略不计)，夏至(或冬至)日光(当日正午太阳光线)与春秋分日光(当日正午太阳光线)的夹角等于黄赤交角.由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表:根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是A.早于公元前6000年B.公元前2000年到公元元年C.公元前4000年到公元前2000年D.公元前6000年到公元前4000年12.在满足04i i y x i i i i x y x y <<≤=，的实数对(,)(1,2,3,,,)i i x y i n = 中，使得213i n n x x x x -+++< ,成立的正整数n 的最大值为A.5B.6C.7D.9二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分。
湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考(三)数学试题(含解析)
B
ABFP
轴的垂线交抛物线于点，记
P
，则的值为（
）
2
4
8
A.
B.
C.6
D.
二、多项选择题(本题共小题，每小题分，共分)
4520
9.针对当下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男
4
3
女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数的，若有
10
当进行到第次时，即停止抽球；记停止抽球时已抽球总次数为X，求X的数学期望.(精确到小数点后1
位)
9
4
9
4
11
k1
k1
k
k
9
10
1.80
2.05
，
参考数据：
，
10
5
10
5
k2
k2
11
9
4
11
9
4
k
k
k
k
9
10
10.79
13.32.
k
k
，
10
5
10
5
k2
k2
一、选择题(本题共小题，每题分，共分)
8540
n
2a12a13
n
a
n
n
n
C,D
19.在如图所示的圆柱OO
中，为圆O的直径，
AB
是AB
的两个三等分点，，，都是圆柱
EAFCGB
1
1
2
OO
1
的母线．
2
的
FO//
（1）求证：
平面ADE；
1
（2）设BC=1，已知直线
2020届湖南省长沙市长郡中学高三下学期4月第三次适应性考试数学(文)试题(解析版)
2020届湖南省长沙市长郡中学高三下学期4月第三次适应性考试数学（文）试题一、单选题1．设集合(),2y x M x y y x ⎧⎫=⎧⎪⎪=⎨⎨⎬=-+⎩⎪⎪⎩⎭，{}2320N x x x =-+≤，则M N =I （ ）A ．∅B ．{}2C ．{}1D ．{}1,2【答案】A【解析】根据集合中元素的意义判断即可. 【详解】由题,集合M 为点的集合,N 为数的集合.故M N ⋂=∅. 故选：A 【点睛】本题主要考查了集合的元素意义与交集运算,属于基础题.2．已知单位向量a r 满足等式2a b =r r ，2a b +=r r a r 与b r的夹角为（ ）A ．30°B ．60︒C ．90︒D ．120︒【答案】D【解析】根据单位向量定义可先求得a r ，b r，结合平面向量的数量积定义将2a b +r r 平方展开化简，即可求得cos θ，进而确定a r 与b r的夹角. 【详解】设a r 与b r的夹角为θ，由2a b =r r ，2a b +=r r 可得1a =r ，2b =r，平方化简可得224413a a b b +⋅+=r r r r ，设a r 与b r 的夹角为θ，则1cos 2θ=-，即120θ=o ，故选：D. 【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义及运算，平面向量夹角的求法，属于基础题. 3．已知0a >，函数2()f x ax bx c =++，若0x 满足关于x 的方程20ax b +=，则下列选项的命题中为假命题的是 A ．0,()()x R f x f x ∃∈≤ B ．0,()()x R f x f x ∃∈≥ C ．0,()()x R f x f x ∀∈≤ D ．0,()()x R f x f x ∀∈≥【答案】C【解析】试题分析：因为，0x 满足关于x 的方程20ax b +=，所以，02bx a=-，使2()f x ax bx c =++取得最小值，因此，0,()()x R f x f x ∀∈≤是假命题，选C ．【考点】方程的根，二次函数的图象和性质，全称命题、存在性命题． 点评：小综合题，二次函数，当a>0时，2bx a=-使函数取得最小值．4．已知某函数图象如图所示，则图象所对应的函数可能是（ ）A ．||sin ()ex xf x =B ．||2()e x f x x =-C ．||()e ||x f x x =-D ．||2()e 2x f x x =-【答案】D【解析】根据图象所反应的性质，结合四个选项的函数求导数判断单调性，逐一判断即可. 【详解】对于A ：函数||sin ()e x xf x =是奇函数，不满足题意； 对于B ：当0x ≥时，||2'2(e ()2)x xxe f x e x x f x x =-=⇒-=-，令'()2()2x x g x e x g x e -⇒=-=，当ln 2x >时，'()0g x >，()g x 单调递增，当0ln 2x <<时，'()0g x <，()g x 单调递减，因此()g x 的最小值为：(ln 2)22ln 22(1ln 2)0g =-=->，所以()0>g x ，即'()0f x >，()f x 单调递增，不满足题意；对于C ：当0x ≥时，||'()e ||()1x x x f x x e x f x e =-=-⇒=-，当0x ≥时，'()0f x ≥，函数()f x 单调递增，不满足题意；对于D ：函数||2()e 2x f x x =-为偶函数，且当0x ≥时，||2'224()e 2()x x x e f x e x x f x x =-=⇒-=-，令'()4()4x x g x e x g x e -⇒=-=，当ln 4x >时，'()0g x >，()g x 单调递增，当0ln 4x <<时，'()0g x <，()g x 单调递减，因此()g x 的最小值为：(ln 4)24ln 22(12ln 2)0g =-=-<，当x →+∞时，()+g x →∞，当0x →时，()1g x →，因此函数()g x 有两个零点，设为1212,(0ln 4)x x x x <<<，显然当1(0,)x 时，()0>g x ，即'()0f x >，函数()f x 单调递增，当12(,)x x 时，()0<g x ，即'()0f x <，函数()f x 单调递减，当2(,)x +∞时，()0>g x ，即'()0f x >，函数()f x 单调递增，满足题意.故选：D 【点睛】本题考查了已知函数的图象判断函数的解析式，考查了偶函数的性质，考查了导数的应用.5．公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然领先他10米.当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然领先他1米……，所以阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若乌龟恰好领先阿基里斯210-米时，乌龟爬行的总距离为（ ）A ．410190-B ．4101900-C ．510190-D ．5101900- 【答案】D【解析】由题意可知乌龟每次爬行的距离为等比数列，利用等比数列前n 项和公式即可得解. 【详解】由题意，乌龟每次爬行的距离组成等比数列{}n a ，且1100a =，210n a -=，∴()3511110010101111900110n n n a q a a q S qq ---⋅--====---. 故选：D.【点睛】本题考查了等比数列前n 项和公式的应用，考查了转化化归思想，属于基础题. 6．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1(1)2nn n n S a =-+，则135S S S ++=（ ） A ．0 B ．1764C ．564D ．2164 【答案】D【解析】直接利用2n ≥时,1n n n a S S -=-化简已知条件, 当n 为偶数时，112n n n nS S S -=-+,求得112n n S -=,代值即可求得结果. 【详解】数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足1(1)2nn n n S a =-+, 当n 为偶数时，112n n n n S S S -=-+，即有112n n S -=所以13511121+4166464S S S ++=+= 故选:D. 【点睛】本题考查利用n a 与n S 的关系求得n S ,考查数列求和问题,难度一般.7．已知数据1，2，3，4，(05)x x <<的平均数与中位数相等，从这5个数中任取2个，则这2个数字之积大于5的概率为（ ） A ．25B ．12C ．35D ．710【答案】B【解析】分析：由题意首先求得实数x 的值，然后列出所有可能的结果，从中挑选满足题意的结果结合古典概型计算公式即可求得最终结果. 详解：由数据1，2，3，4，x （0<x <5）的平均数()123422,355x x++++=+∈，可得2+5x=x ，所以x =52，从这5个数中任取2个，结果有： ()()()()()()51,2,1,,1,3,1,4,252,,2,3,2,4,255,3,,4,3,422⎛⎫⎪⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭共10种，这2个数字之积大于5的结果有：()()()552,3,2,4,,3,,4,3,422⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，共5种， 所以所求概率为51102p ==. 本题选择B 选项.点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用. 8．某几何体由一个棱柱与一个棱锥组合而成，其三视图如图所示，其中俯视图和侧视图中的正方形的边长为2，正视图和俯视图中的三角形均为等腰直角三角形，则该几何体的体积为（ ）A ．163B ．163或203C ．203D ．203或6 【答案】B【解析】由三视图还原原几何体，该几何体为组合体，左边为直三棱柱ABC EFG -，右边为四棱锥P BCGF -（或三棱锥P CFG -或三棱锥)P BCF -，再由棱柱与棱锥的体积公式求解． 【详解】该几何体为组合体，左边为直三棱柱ABC EFG -，右边为四棱锥P BCGF -（或三棱锥P CFG -或三棱锥)P BCF -，则1120222222233⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=或111162222222323⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=． 故选：B ． 【点睛】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．9．已知函数12212()ln (52)2,()21x x m f x m x g x x x +=-++-=-，若对任意121,[,1]2x x ∈的不等式12()()f x g x <恒成立，则正数m 的取值范围是（ ）A ．()0,1ln 2-B ．50,ln 28⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭C ．()ln 2,+∞D ．53ln,84⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】通过解析式化简可得1()ln 22ln (52)2f x x xm x =--++-，2()221xmg x m =+-通过求导可判断()f x 的单调性,通过观察可判断()g x 的单调性, 若对任意121,[,1]2x x ∈的不等式12()()f x g x <恒成立等价于max min ()()f x g x <,代入求最值即可得出结果. 【详解】当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时, 1()ln 22ln (52)2f x x xm x =--++-所以22211()521510f x m m x x x ⎛⎫'=-+++=-++> ⎪⎝⎭,所以()f x 在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以max ()(1)ln 251f x f m ==+-.由题可得2()221xmg x m =+-,易知()g x 在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,所以min ()(1)4g x g m ==.由题意得max min ()()f x g x <，即ln 2514m m +-<,又0m >,所以01ln 2m <<-.故选:A. 【点睛】本题考查函数的单调性和最值问题,考查在给定区间恒成立问题,难度较难.10．已知在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,,2sin 22sin cos a b c c b A a A B =+，点D 在ABC ∆内部，且满足23ADB BDC CDA π∠=∠=∠=，若2,3a ABC π=∠=，则AD BD CD ++=（ ） A ．3 B ．6C ．7D ．7【答案】D【解析】由已知利用正弦定理及逆用和角公式可求得2A π=,设DAB θ∠=,可证得ADBC BDC V V ∽由对应边成比例可得2,24BD AD CD BD AD ===,在ABD ∆中,利用余弦定理得: 2222(2)22cos 13AD AD AD AD AB π+-⋅==,可解得7AD =,即可求得结果. 【详解】Q 2sin 22sin cos c b A a A B =+,∴ 2sin sin 2sin cos 2sin sin cos C B A A A A B =⋅+,即()2sin sin sin cos sin cos =sin sin cos sin cos =sin sin C B A A A B A B A A B A C=⋅++⋅,∴sin 1A =,2A π=,由2,3a ABC π=∠=.得1c =.设DAB θ∠=,则33DBA DBC ABC ππθθθ⎛⎫∠=-∴∠=∠--= ⎪⎝⎭，， ADBC BDC ∴V V ∽，2BD CD BC AD BD AB∴=== 2,24BD AD CD BD AD ∴===在ABD ∆中,利用余弦定理得: 2222(2)22cos13AD AD AD AD AB π+-⋅==, 解得7AD =,则2747,BD CD ==, 7AD BD CD ∴++=. 故选:D.【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用,考查学生的逻辑推理能力和计算能力,难度一般.11．为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示.劳伦茨曲线为直线OL 时，表示收入完全平等.劳伦茨曲线为折线OKL 时，表示收入完全不平等.记区域A 为不平等区域，a 表示其面积，S 为OKL △的面积，将Gini aS=称为基尼系数.对于下列说法：①Gini 越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为()y f x =，则对(0,1)x ∀∈，均有()1f x x >； ③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为2([0,1])y x x =∈，则1Gini 4=； ④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为3([0,1])y x x =∈，则1Gini 2=. 其中正确的是：（ ） A ．①④ B ．②③ C ．①③④ D ．①②④【答案】A【解析】Gini 越小，不平等区域越小，可知①正确，结合劳伦茨曲线的特点，可知(0,1)x ∀∈，均有()f x x <，可知②错误，结合定积分公式，可求出a 的值，即可判断出③④是否正确，从而可选出答案. 【详解】对于①，根据基尼系数公式Gini aS=，可得基尼系数越小，不平等区域的面积a 越小，国民分配越公平，所以①正确；对于②，根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，可知(0,1)x ∀∈，均有()f x x <，可得()1f x x<，所以②错误；对于③，因为1223100111()d ()|236a xx x x x =-=-=⎰，所以116Gini 132a S ===，所以③错误； 对于④，因为1324100111()d ()|244a x x x x x =-=-=⎰，所以114Gini 122a S ===，所以④正确.故选：A. 【点睛】本题考查不等式恒成立，考查定积分的应用，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.12．我们把形如(0,0)by a b x a=>>-的函数因其图像类似汉字“囧”字，故生动地称为“囧函数”，并把其与y 轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点” 为圆心凡是与“囧函数”有公共点的圆，皆称为“囧圆”，则当1,1a b ==时，所有的“囧圆”中面积的最小值为（ ） A ．2π B ．3πC ．4πD ．12π【答案】B【解析】根据已知中关于“囧函数”、“囧点”、“囧圆”的定义及1,1a b ==我们易求出“囧点“坐标,根据求出圆心到“囧函数“图象上的最小距离,即可得到结论. 【详解】如图,当1,1a b ==时,则函数11y x =-与y 轴交于()0-1，点，则“囧点”的坐标为()01，，它们之间的距离为2.取囧函数在第一象限图像上任一点(),x y , 其到囧点的距离为2222211(1)13311d x y x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-=+-=-+≥ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭.当且仅当15+时,上式等号成立,故所有的“囧圆”中,面积的最小值为3π. 故选:B. 【点睛】本题考查的知识点是抽象函数及其应用,其中根据“囧圆”的圆心坐标及“囧函数”的解析式,求出“囧圆”的圆心到函数图象距离的最小值是解答本题的关键,属中档题.二、填空题13．已知复数21i z i=+（i 为虚数单位），则z =________；【答案】1122i -- 【解析】根据复数乘法运算化简,再利用共轭复数的定义即可求得结果. 【详解】()2-11--1+==122i i iz i =+Q , -1-11=222i z i ∴=--. 故答案为: 1122i --.【点睛】本题考查复数的乘法运算,考查共轭复数的定义,难度容易.14．如图，函数()2sin()f x x ωϕ=+（0>ω，0ϕπ<<）的图象与坐标轴交于点A ，B ，C ，直线BC 交()f x 的图象于点D ，O （坐标原点）为ABD ∆的重心，(,0)A π-，则点C 的坐标为______，(0)f =______.【答案】,02π⎛⎫⎪⎝⎭【解析】根据O （坐标原点）为ABD ∆的重心，(,0)A π-，则有d 23OA AC π==，32AC π=，得到(,0)2C π，同时，32AC π=是半个周期，可求得ω，再代入一个零点，求得ϕ即可. 【详解】因为O （坐标原点）为ABD ∆的重心，(,0)A π-，所以23OA AC π==， 所以32AC π=，所以(,0)2C π.所以322T ππω==，23ω=， 因为()23k πϕπ⨯-+=，23k πϕπ=+， 所以22()2sin()33f x x π=+.所以22(0)2sin(0)33f π=⨯+=故答案为：①. ,02π⎛⎫⎪⎝⎭②.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.15．若函数满足：定义域,()()R f x a f x a --=-，且()()f x f x -=，在称函数()f x 为“双对称a 函数”，已知函数()f x 为“双对称1函数”，且当[0,1]x ∈时3()f x x =，记函数()()(1)3(56)g x f x f x x x =+--≤≤，则函数()g x 的最小值为___________ 【答案】17-【解析】由已知可得函数()f x 是周期为2的周期函数，求出()f x 一个周期的解析式，进而求出()g x 即可求解. 【详解】因为函数(1)=-y f x 的图象关于直线1x =对称,所以函数()y f x =的图象关于y 轴对称，即为偶函数,所以(1)(1)(1)f x f x f x --=+=-,则有(2)()f x f x +=成立,即函数()y f x =是周期为2的周期函数. 所以当0 1 x ≤≤时,3()f x x =,当310,()x f x x -≤≤=-,当356,160,()(6)(6)x x f x f x x ≤≤-≤-≤=-=--,当356,415,051,(1)(5)x x x f x x ≤≤≤-≤≤-≤-=-,当3356,()()(1)(6)(5)3x g x f x f x x x x ≤≤=+-=--+--22336913(6)17x x x =-+=--,当6x =时,()g x 取最小值(6)17g =-. 故答案为:-17. 【点睛】本题考查函数的性质，注意利用周期求函数解析式，解题的关键要理解函数对称与周期关系，属于较难题.16．已知南北回归线的纬度为2326'︒，设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射纬度，ϕ为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是90θϕδ=︒--.当地夏半年δ取正值，冬半年δ取负值，如果在北半球某地（纬度为0ϕ）的一幢高为0h 的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离应不小于______（结果用含有0h 和0ϕ的式子表示）. 【答案】()00tan 2326'h ϕ︒+【解析】根据题意，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线时的情况考虑，此时的太阳直射纬度为2326'-︒，依题意两楼的间距不小于MC ，根据太阳高度角的定义，以及题设条件，解三角形，即得解. 【详解】 如图：设点A ，B ，C 分别为太阳直射北回归线，赤道，南回归线时楼顶在地面上得投射点，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线时的情况考虑，此时的太阳直射纬度为2326'-︒，依题意两楼的间距不小于MC ，根据太阳高度角的定义得：90|(2326')|90(2326')o o o o o o C ϕϕ∠=---=-+0|MC|=tan(2326')tan tan(90(2326'))o o oo o oo h h h C ϕϕ∴==+-+ 故答案为：()00tan 2326'h ϕ︒+ 【点睛】本题考查了解三角形在实际问题中的应用，考查了学生综合分析，数学建模，数学运算的能力，属于较难题.三、解答题17．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是线段AD ，PB 的中点，PA ＝AB ＝1.(1)证明：EF ∥平面PDC ； (2)求点F 到平面PDC 的距离. 【答案】（1）证明见解析（2）24【解析】（1）把EF 向上平移，E 与D 重合，则F 应在PC 上，因此得辅助线作法，取PC 中点M ，连接,DM FM ，只要证明//EF DM 即可证线面平行；（2）由（1）只要求E 到平面PDC 的距离即可，这可用体积法求解，即E PDC P EDC V V --=． 【详解】(1)证明取PC 的中点M ，连接DM ，MF ，∵M ，F 分别是PC ，PB 的中点，∴MF ∥CB ，MF ＝12CB ， ∵E 为DA 的中点，四边形ABCD 为正方形， ∴DE ∥CB ，DE ＝12CB ， ∴MF ∥DE ，MF ＝DE ，∴四边形DEFM 为平行四边形，∴EF ∥DM ，∵EF ⊄平面PDC ，DM ⊂平面PDC ， ∴EF ∥平面PDC .(2)解∵EF ∥平面PDC ，∴点F 到平面PDC 的距离等于点E 到平面PDC 的距离. ∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥DA ，在Rt △P AD 中，P A ＝AD ＝1，∴DP. ∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥CB ，∵CB ⊥AB ，P A ∩AB ＝A ，∴CB ⊥平面P AB ， ∴CB ⊥PB ，则PC，∴PD 2＋DC 2＝PC 2， ∴△PDC 为直角三角形， ∴S △PDC＝1122⨯=. 连接EP ，EC ，易知V E －PDC ＝V C －PDE ，设E 到平面PDC 的距离为h ， ∵CD ⊥AD ，CD ⊥P A ，AD ∩P A ＝A ，∴CD ⊥平面P AD ， 则13×h＝13×1×12×12×1，∴h，∴点F 到平面PDC的距离为4. 【点睛】本题考查线面平行的证明，考查求点到平面的距离．要证线面平行，只要找到线线平行即可，为此可把平面外的直线平移到平面上，从而可得辅助线的作法．而求点到平面的距离，这个距离可由平行进行转化，可看作是一个三棱锥的高，从而用体积法求解． 18．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且()()()212n n 2n 1a 1a 2S 1S 1S 1++==++=+，，． （1）求S n ；（2）记数列n 1a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为T n ，证明：1≤T n ＜2．【答案】（1）21nn S =-；（2）见解析【解析】（1）利用迭代法证得{}1n S +是等比数列，由此求得1n S +的表达式，进而求得n S 的表达式.（2）根据（1）求得的n S 的表达式.利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得n a 的表达式，再求得n T 的表达式，由此证得不等式成立. 【详解】()1由题意有21211111···111n n n n S S S S S S ++++++===+++，所以数列{}1n S +是等比数列.又11212112,114S a S a a +=+=+=++=，所以21121S S +=+，数列{}1n S +是首项为2，公比为2的等比数列.所以11222n n n S -+=⨯=，所以2 1.n n S =-()2由 ()1知，2n ≥时，1121,21n n n n S S --=-=-.两式相减得12n n a -=，1n =时，11a =也满足12n n a -=，所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=.当1n =时，11,T =当2n ≥时，显然1n T >且21111111121?··2 2.1222212n n n n T ---=++++==-<- 所以1 2.n T ≤< 【点睛】本小题主要考查递推数列求通项公式，考查数列求和的方法，属于中档题.19．某企业积极响应国家“科技创新”的号召，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据(),(1,2,3,4,5,6)i i x y i = 如下表所示：（1）求P 的值；（2）已知变量,x y 具有线性相关关系，求产品销量y （件）关于试销单价x （百元）的线性回归方程（计算结果精确到整数位）（3）用µi y 表示用正确的线性回归方程得到的与i x 对应的产品销量的估计值，当销量数据(),i i x y 的残差的绝对值$1i i y y -<时，则将销售数据称为一个“有效数据”现从这6组数据中任取2组，求抽出的2组销售数据都是“有效数据”的概率附参考公式：6662111180,1606,916i i i i i i i y y x y x =======∑∑∑，66116622211()()()iii ii i iii i x x y y x y nx ybx x xnx====---==--∑∑∑∑$，a y bx =-【答案】（1）82p =（2）495y x =-+或494y x =-+（3）25【解析】(1)由已知数据利用公式611806i i y y ===∑,即可求得82p =;(2)根据平均数定义求出x ,再利用已知即可求得b$,$a ,即可求得线性回归直线方程; (3)根据“有效数据”即可求得符合条件的基本事件有4个,利用列举法,借助古典概型的概率公式即可求得. 【详解】（1）由611806i i y y ===∑得9186787370806p +++++=. 求得82p =.（2） 3.5x =Q ，6662111180,1606,916i i i i i i i y y x y x =======∑∑∑216066 3.580-744916 3.517.5b-⨯⨯∴==≈--⨯$，$804 3.594a =+⨯=（或$7480 3.595175a ⎛⎫=--⨯≈ ⎪⎝⎭） 所以回归方程为495y x =-+或494y x =-+.（3）当11ˆ1,90x y==，当22ˆ2,86x y ==，当33ˆ3,82x y ==,当44x =，4ˆ78y =;当55x =，5ˆ74y=；当66x =，6ˆ70y =，根据题意则“有效数据”有()()()()2,86,3,82,4,78,6,704个,从6组销售数据中任意抽取2组的所有可能结果有2615C =种，抽取的2组销售数据都是“有效数据”的有246C =种,所以抽取的2组销售数据都是“有效数据”的概率为62155=. 【点睛】本题考查了平均数的定义,考查了线性回归方程的求法,考查古典概型的概率求法,考查学生的计算能力和应用能力.20．已知椭圆2211612x y Ω+=：.双曲线Γ的实轴顶点就是椭圆Ω的焦点，双曲线Γ的焦距等于椭圆Ω的长轴长. （1）求双曲线的标准方程；（2）设直线l 经过点(3,0)E 与椭圆Ω交于A B 、两点，求OAB ∆的面积的最大值； （3）设直线:l y kx m =+（其中为,k m 整数）与椭圆Ω交于不同两点A B 、，与双曲线Γ交于不同两点C D 、，问是否存在直线l ，使得向量0AC BD +=u u u r u u u r r，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由.【答案】（1） 221412x y -= （2） （3）存在，9【解析】（1）根据椭圆方程可以得到双曲线的焦距和顶点坐标，从而直接写出双曲线方程即可；（2）设出直线方程，将三角形面积拆分为2个三角形的面积，从而利用韦达定理进行处理；（3）根据直线与两个曲线相交，通过n 夹逼出,k m 的取值范围，再结合向量相加为零转化出的条件，得到,k m 之间的关系，从而利用,k m 是整数，对结果进行取舍即可. 【详解】（1）对椭圆2211612x y Ω+=：，因为22222116,124a b c a b ===-=，，故其焦点为()2,0±，椭圆的长轴长为28a =.设双曲线方程为22221x y m n-=，由题可知：28m a ===，解得212n =.故双曲线的方程为：221412x y -=.（2）因为直线AB 的斜率显然不为零，故设直线方程为3x my =+，联立椭圆方程2211612x y +=可得()223418210m y my ++-=设交点()()1122,,,A x y B x y ， 则1212221821,3434m y y y y m m +=-=-++ 则1212y y y y +=-===== 又1212OAB S OE y y =⨯⨯+n故132OABS =⨯⨯n=(,t t =≥，解得2217344m t =-故211199344442OABt S t t t ==≤=++n 当且仅当944t t =时，即3,6t m ==±时，取得最大值. 故OAB ∆的面积的最大值为（3）联立直线y kx m =+与椭圆方程2211612x y +=可得()2223484480kxkmx m +++-=()()2222644344480k m k m =-+->n整理得2216120k m -+> ①设直线与椭圆的交点为()()1122,,,A x y B x y故可得122834kmx x k +=-+ ②同理：联立直线y kx m =+与双曲线方程221412x y -=可得()22232120kxkmx m ----=()()2222443120k m k m =+-+>n整理得224120k m --< ③设直线与双曲线的交点为()()3344,,,C x y D x y 故可得34223kmx x k +=- ④ 要使得0AC BD +=u u u r u u u r即可得()()31314244,,x x y y x x y x --=-- 故可得1234x x x x +=+ 将②④代入可得2282343km kmk k-=+- 解得0km =.综上所述，要满足题意，只需使得：2222412041200,k m k m km k Z m Z⎧--<⎪--<⎪⎨=⎪⎪∈∈⎩ 故当0k =时，m 可以取得0,1,2,3±±±满足题意； 即直线方程可以为0,1,2,3y y y y ==±=±=± 当0m =时，k 可以取1±满足题意. 即直线方程可以为y x =±故存在这样的直线有9条，能够使得0AC BD +=u u u r u u u r. 【点睛】本题考查椭圆方程和双曲线方程，涉及椭圆中三角形面积的最大值，以及圆锥曲线中的直线的存在性问题，属综合性困难题；其中解决第三问的关键是要把握住“整数”这一个关键词，同时也要对向量进行合理的转化.21．已知函数ln ()xf x x=（1）若直线32:2l y kx e -=+与()y f x =的图像相切，求实数k 的值；（2）设322a e -≥，求证：对0k ∀<，直线y kx a =+与()y f x =的图像有唯一公共点.【答案】（1）312k e=-（2）见解析 【解析】(1)利用导数的几何意义以及导数与函数单调性、极值的关系求解; (2) 构造函数,利用导数与函数的单调性、极值的关系,结合零点存在性定理证明. 【详解】 .(1)设切点为0020ln 1ln ,,()x xx f x x x⎛⎫-'= ⎪⎝⎭ 则切线方程为000200ln 1ln ()x x y x x x x --=- 因为322y kx e -=+与()y f x =相切，所以330220002ln 12,2ln 210x e x e x x ---=--= 令32()2ln 21h t t e t -=--,33222()20,0h t e t e t-'=->∴<<，此时为增函数，33222()20,h t e t e t-'=-<∴>，此时为减函数， 即当32t e =时有极大值，32()3210h e =--= ，33220()0,,,h t t e x e ===所以3202233302311ln 1ln 122x e k x e e e ---=====-⎛⎫ ⎪⎝⎭. （2）令23ln 1ln 2ln 3(),(),()x x x g x kx a g x k g x x x x--'''=--=-=, 当320x e <<时()0,()g x g x '''<递减 当32x e >时，()0,()g x g x '''>递增 所以3231()()2g x g e k e''≥=-- 当312k e≤-时()0,()g x g x '≥单调递增，()()0k k k k k k g e ke a k e e e-=--<-< 当1x ≥时ln 0x x ≥；当a x k≥-时, 0kx a --≥， 取11ln1max{1,},()()01a a x g x k a k k =-≥---= ∴()g x 有唯一的零点 ； 当3102k e <<时，323ln 1()22x g x x e x e-=+-单调递增， 33322233232202e g e e e e -⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭Q 320x e ∴<≤时，323ln 122x x e kx a x e-≤--<+， 故()0,()g x g x <∴在320,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦上没有零点； 当32x e >时()g x '在32[,)e +∞单调递增， 3231()02g e k e'=--<， 22111ln()1()011k k g k k kk k --'-=->-= 所以存在3322(,),,()0,()t e e x t g x g x '∈+∞<<<单调递减，当,()0,()x t g x g x '>>单调递增， 又3333322223332223112=-0,()()0222ke g e ke a ke g t g e e e e ⎛⎫+=--≤--<<< ⎪⎝⎭ 取22max{1,},()0a x g x k=-> 所以()=0g x 有唯一的零点. 综上所述322a e -≥，对0k ∀<，直线y kx a =+与()y f x =的图像有唯一公共点.【点睛】本题考查导数与函数、不等式的综合,考查考生的运算求解能力及等价转化思想难度困难.22．已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程是:22{22x m t y t =+=（t 是参数）.（1）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点,且||14AB =,试求实数m 值.（2）设为曲线上任意一点，求2x y +的取值范围. 【答案】（1）或；（2）[225,225]-+.【解析】（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，在直角坐标条件下求出曲线的圆心坐标和半径，将直线的参数方程化为普通方程，由勾股定理列出等式可求的值；（2）将圆化为参数方程形式，代入由三角公式化简可求其取值范围．【详解】 （1）曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=化为直角坐标方程为：直线的直角坐标方程为：圆心到直线l 的距离（弦心距）圆心(2,0)到直线的距离为 ： 或（2）曲线的方程可化为222)4x y -+=（，其参数方程为：22cos {2sin x y θθ=+=(θ为参数）(),M x y Q 为曲线上任意一点，2225sin()x y θα+=++2x y ∴+的取值范围是[225,225]-+23．已知函数．（1）求不等式()4f x ≤的解集；（2）设函数()f x 的最小值为m ，当a ，b ，c +∈R ，且a b c m ++=时，求的最大值．【答案】（1）223x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭（2）【解析】（1）根据x 的不同范围，去掉绝对值，然后求解不等式（2）利用基本不等式的合理利用求最大值【详解】（1）①当12x <时，()324f x x =-+≤ 2132x ∴-≤< ②当112x ≤<时，()4f x x =≤ 112x ∴≤< ③当1x ≥时，()324f x x =-≤ 12x ∴≤≤综上：()4f x ≤的解集为223x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭（2）法一：由（1）可知()132,21,1232,1x x f x x x x x ⎧-+<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩()min 12f x ∴=即12m = 又*,,a b c R ∈且12a b c ++= 则2221a b c ++=，设x y z ===222x y xy +≥Q 2222121222xy x y a b a b ∴≤+=+++=++ 同理：2222yz b c ≤++，2222zx c a ≤++2222222222228xy yz zx a b b c c a ∴++≤++++++++=()2222222212121812x y z x y z xy yz zx a b c ∴++=+++++≤++++++=x y z ∴++≤当且仅当16a b c ===时取得最大值法二：由（1）可知()132,21,1232,1x x f x x x x x ⎧-+<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩()min 12f x ∴=即12m = 又*,,a b c R ∈且12a b c ++=2=4442121213332222a b c ⎛⎫++++++ ⎪≤++ ⎪ ⎪⎝⎭当且仅当16a b c ===时取得最大值法三：由（1）可知()132,21,1232,1x x f x x x x x ⎧-+<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩()min 12f x ∴=即12m = 12a b c ∴++= 2121214a b c ∴+++++=由柯西不等式可知：()())2222222111111++⨯++≥++即：)211121≤≤ 当且仅当212121a b c +=+=+即16a b c ===时，取得最大值【点睛】考核绝对值不等式的解法，以及基本不等式的运用。
湖南省长沙市长郡中学2023届高三上学期第三次月考数学试题
又 ， ， … ，累加可得 ，故 正确，故B正确；
故选：ABD
12.已知 ，则（）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】A.先构造函数 ，通过函数的单调性确定 的大致范围，再构造
，通过函数 的单调性确定 与 的大小关系，进而得到A选项.
B.先构造函数 ，通过函数的单调性确定 的大致范围，再构造
有图可得出 ，由 可得 计算即可.
【详解】由题图可知， ，由 ，得 .
故答案为： .
【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数的运算法则，属于常考题.
14.已知等边三角形 的边长为6，点P满足 ，则 _________．
【答案】
【解析】
【分析】
以BC所在的边为x轴，垂直平分线为y轴建立坐标系，用坐标表示 可求得P点坐标求得答案.
A. B.
C. 或 D. 或
4.已知平面 ，直线 、 ，若 ，则“ ”是“ ”的（）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5.如图，边长为2 正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，将△AED，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使A，B，C三点重合于点A′，若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为（）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】观察图形，分析剪掉的半圆的变化，纸板 相较于纸板 剪掉了半径为 的半圆，再分别写出 和 的递推公式，从而累加得到通项公式再逐个判断即可
【详解】根据题意可得纸板 相较于纸板 剪掉了半径为 的半圆，故 ，即 ，故 ， ， ， … ，累加可得 ，所以 ，故A正确，C错误；
湖南省长郡中学2020届高三适应性考试(三)理数
学校:___________准考证号:____________姓名:____________(在此卷上答题无效)长郡中学2020届高三适应性考试(三)理科数学本试题卷共8页，全卷满分150分。
注意事项:1.答题前，考生可能需要输入信息。
请务必正确输入所需的信息，如姓名、考生号等。
2.选择题的作答:请直接在选择题页面内作答并提交。
写在试题卷、草稿纸等非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡，上对应的答题区域内或空白纸张上，按规定上传。
4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用笔涂黑，或者在空白纸张上注明所写题目，然后开始作答。
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合中含有的元素个数为A.4B.6C.8D.122.设，是虚数单位，则“复数为纯虚数”是“ab=0"的A.充要条件B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充分不必要条件3.2019年10月1日上午，庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵仪式在天安门广场隆重举行。
这次阅兵不仅展示了我国的科技军事力量，更是让世界感受到了中国的日新月异。
今年的阅兵方阵有一个很抢眼，他们就是院校科研方阵。
他们是由军事科学院、国防大学、国防科技大学联合组建.若已知甲、乙、丙三人来自上述三所学校，学历分别有学士、硕士、博士学位。
现知道:①甲不是军事科学院的;②来自军事科学院的不是博士;③乙不是军事科学院的;④乙不是博士学位;⑤国防科技大学的是研究生.则丙是来自哪个院校的，学位是什么A.国防大学，博士 B.国防科技大学，研究生C.国防大学，研究生D.军事科学院，学士4.的展开式中的系数为A.160B.240C.280D.3205.已知(注:e为自然对数的底数)，则下列关系正确的是A.c<b<aB.a<b<cC.b<a<cD.b<c<a6.函数在[-3,3]的图象大致为7.一个几何体的三视图及尺寸如下图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，该几何体的表面积是A.B.+16πC.16+8πD.16+l6π8.已知，且，则A. B. C. D.9.已知F1、F2是双曲线C:的两个焦点，过点F1且垂直于x轴的直线与C相交于A、B两点，若，则∆ABF2的内切圆的半径为A. B. C. D.10.已知数列的通项公式为，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记为数阵从左至右的n列，从上到下的n行共n2个数的和，则数列的前2020项和为A. B. C. D.11.上世纪末河南出土的以鹤的尺骨(翅骨)制成的“骨笛”(图1)，充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春(秋)分”，“夏(冬)至”的示意图，图3是某骨笛的部分测量数据(骨笛的弯曲忽略不计)，夏至(或冬至)日光(当日正午太阳光线)与春秋分日光(当日正午太阳光线)的夹角等于黄赤交角.由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表:根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是A.早于公元前6000年B.公元前2000年到公元元年C.公元前4000年到公元前2000年D.公元前6000年到公元前4000年12.在满足的实数对中，使得,成立的正整数n的最大值为A.5B.6C.7D.9二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届湖南省长沙市长郡中学高三下学期4月第三次适应性考试数学(理)试题(解析版)
2020届湖南省长沙市长郡中学高三下学期4月第三次适应性考试数学（理）试题一、单选题1．集合*12|x N Z x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭中含有的元素个数为（ ） A ．4 B ．6C ．8D ．12【答案】B【解析】解：因为*12|x N Z x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭集合中的元素表示的是被12整除的正整数，那么可得为1，2,3,4，6，,12故选B2．设,,a b R i ∈是虚数单位，则“复数z a bi =+为纯虚数”是“0ab =”的（ ） A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充分不必要条件【答案】D【解析】结合纯虚数的概念，可得0,0a b =≠，再结合充分条件和必要条件的定义即可判定选项. 【详解】若复数z a bi =+为纯虚数，则0,0a b =≠，所以0ab =，若0ab =，不妨设1,0a b ==，此时复数1z a bi =+=，不是纯虚数，所以“复数z a bi =+为纯虚数”是“0ab =”的充分不必要条件. 故选：D 【点睛】本题考查充分条件和必要条件，考查了纯虚数的概念，理解充分必要条件的逻辑关系是解题的关键，属于基础题.3．2019年10月1日上午，庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵仪式在天安门广场隆重举行.这次阅兵不仅展示了我国的科技军事力量，更是让世界感受到了中国的日新月异.今年的阅兵方阵有一个很抢眼，他们就是院校科研方阵.他们是由军事科学院、国防大学、国防科技大学联合组建．若已知甲、乙、丙三人来自上述三所学校，学历分别有学士、硕士、博士学位.现知道：①甲不是军事科学院的；②来自军事科学院的不是博士；③乙不是军事科学院的；④乙不是博士学位；⑤国防科技大学的是研究生．则丙是来自哪个院校的，学位是什么( ) A ．国防大学，研究生 B ．国防大学，博士 C ．军事科学院，学士 D ．国防科技大学，研究生【答案】C【解析】根据①③可判断丙的院校；由②和⑤可判断丙的学位. 【详解】由题意①甲不是军事科学院的，③乙不是军事科学院的； 则丙来自军事科学院；由②来自军事科学院的不是博士，则丙不是博士； 由⑤国防科技大学的是研究生，可知丙不是研究生， 故丙为学士.综上可知，丙来自军事科学院，学位是学士. 故选：C. 【点睛】本题考查了合情推理的简单应用，由条件的相互牵制判断符合要求的情况，属于基础题.4．821x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中12x y -的系数是（ ）A ．160B ．240C ．280D ．320【答案】C 【解析】首先把1x x+看作为一个整体，进而利用二项展开式求得2y 的系数，再求71x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中1x -的系数，二者相乘即可求解. 【详解】由二项展开式的通项公式可得821x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的第1r +项为82181rr r r T C x y x -+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令1r =，则712281T C x y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又71x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的第1r +为7271771rr r r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令3r =，则3735C =，所以12x y -的系数是358280⨯=.故选：C 【点睛】本题考查二项展开式指定项的系数，掌握二项展开式的通项是解题的关键，属于基础题. 5．已知3ln 3,log ,log a b e c e π===，则下列关系正确的是（ ） A ．c b a << B ．a b c <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】A【解析】首先判断,,a b c 和1的大小关系，再由换底公式和对数函数ln y x =的单调性判断,b c 的大小即可. 【详解】因为ln3ln 1a e =>>，311log ,log ln 3ln b e c e ππ====，1ln3ln π<<，所以1c b <<，综上可得c b a <<.故选：A 【点睛】本题考查了换底公式和对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．函数2()ln(1)x xe ef x x --=+在[3,3]-的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】先根据函数奇偶性排除B ，再根据函数极值排除A ；结合特殊值即可排除D ，即可得解. 【详解】函数2()ln(1)x xe ef x x --=+，则2()()ln(1)x xe ef x f x x ---==-+，所以()f x 为奇函数，排除B 选项； 当x →+∞时，2()ln xe f x x≈→+∞，所以排除A 选项； 当1x =时，11 2.720.37(1) 3.4ln(11)ln 20.69e e e ef -----==≈≈+，排除D 选项； 综上可知，C 为正确选项， 故选：C. 【点睛】本题考查根据函数解析式判断函数图像，注意奇偶性、单调性、极值与特殊值的使用，属于基础题.7．一个几何体的三视图及尺寸如下图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，该几何体的表面积是 （ ）A ．16216πB ．1628πC ．8216πD ．828π 【答案】D 【解析】【详解】由三视图可知该几何体的直观图是轴截面在水平面上的半个圆锥，表面积为2111442226828222πππ⋅⋅+⋅⋅=,故选D ．8．已知(0,),(,0)22ππαβ∈∈-，1cos(),cos()43423ππβα+=-=，则cos()2βα+=（ ）A ．B ．-C D ． 【答案】C【解析】首先判断3,444απππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，,4242πβππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，再由同角三角函数之间的关系求得sin()4πα+和sin()42πβ-的值，再运用配角2442βππβαα⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用两角差的余弦公式即可求得cos()2βα+的值.【详解】因为(0,),(,0)22ππαβ∈∈-，所以3,444απππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，,4242πβππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，又1cos()043πα+=>，所以,442πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，sin()4πα+===sin()423πβ-===， cos()cos 2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos cos cos sin sin 442442442ππβππβππβααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦133=+=. 故选：C 【点睛】本题考查了同角三角函数的关系以及两角差的余弦公式，考查了配角的应用技巧，()()2ααβαβ=++-是常见的配角，考查了运算能力，属于中档题.9．已知12,F F 是双曲线222:1(0)x C y a a-=>的两个焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于,A B 两点，若2AB =，则2ABF ∆的内切圆半径为（）A ．23B ．3 C ．323D ．23【答案】B【解析】首先由2AB =求得双曲线的方程，进而求得三角形的面积，再由三角形的面积等于周长乘以内切圆的半径即可求解. 【详解】由题意1b =将x c =-代入双曲线C 的方程,得1y a =±则22,2,3a c a===,由2121222AF AF BF BF a -=-==,得2ABF ∆的周长为2211||22||42||62AF BF AB a AF a BF AB a AB ++=++++=+=,设2ABF ∆的内切圆的半径为r ,则11362232,223r r ⨯=⨯⨯=, 故选：B【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的内心的概念，考查了转化的思想，属于中档题.10．已知数列{}n a 的通项公式为22n a n =+，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记n b 为数阵从左至右的n 列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为（ ）A ．10112020B ．20192020C ．20202021D ．10102021【答案】D【解析】由题意，设每一行的和为i c ，可得11...(21)i i i n i c a a a n n i ++-=+++=++，继而可求解212...2(1)n n b c c c n n =+++=+，表示12(1)n n b n n =+，裂项相消即可求解. 【详解】由题意，设每一行的和为i c 故111()...(21)2i n i i i i n i a a nc a a a n n i +-++-+=+++==++因此：212...[(3)(5)...(21)]2(1)n n b c c c n n n n n n n =+++=+++++++=+1111()2(1)21n n b n n n n ==-++ 故202011111111(1...)(1)22232020202122021S =-+-++-=-=10102021故选：D 【点睛】本题考查了等差数列型数阵的求和，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.11．上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角.由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表： 黄赤交角 2341︒'2357︒'2413︒'2428︒'2444︒'正切值 0.439 0.4440.4500.4550.461年代 公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是( ) A ．公元前2000年到公元元年 B ．公元前4000年到公元前2000年 C ．公元前6000年到公元前4000年 D ．早于公元前6000年【答案】D【解析】先理解题意，然后根据题意建立平面几何图形，在利用三角函数的知识计算出冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角，即可得到正确选项． 【详解】解：由题意，可设冬至日光与垂直线夹角为α，春秋分日光与垂直线夹角为β， 则αβ-即为冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角， 将图3近似画出如下平面几何图形：则16tan 1.610α==，169.4tan 0.6610β-==， tan tan 1.60.66tan()0.4571tan tan 1 1.60.66αβαβαβ---==≈++⨯g ．0.4550.4570.461<<Q ，∴估计该骨笛的大致年代早于公元前6000年．故选：D ． 【点睛】本题考查利用三角函数解决实际问题的能力，运用了两角和与差的正切公式，考查了转化思想，数学建模思想，以及数学运算能力，属中档题．12．在满足04i i x y <<≤，i i y xi i x y =的实数对(),i i x y (1,2,,,)i n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅中，使得1213n n x x x x -++⋅⋅⋅+<成立的正整数n 的最大值为( )A ．5B ．6C ．7D ．9【答案】A【解析】由题可知：04i i x y <<≤，且i i y xi i x y =可得ln ln i ii ix y x y =，构造函数()()ln 04th t t t=<≤求导，通过导函数求出()h t 的单调性，结合图像得出min 2t =，即2i x e ≤<得出33n x e <， 从而得出n 的最大值. 【详解】因为04i i x y <<≤，i i y xi i x y = 则ln ln yi xii i x y =，即ln ln i i i i y x x y =整理得ln ln i ii ix y x y =，令i i t x y ==， 设()()ln 04th t t t =<≤， 则()2211ln 1ln t tt t h t t t ⋅-⋅-'==， 令()0h t '>,则0t e <<，令()0h t '<，则4e t <≤， 故()h t 在()0,e 上单调递增，在(),4e 上单调递减，则()1h e e=， 因为i i x y <，()()i i h x h y =， 由题可知：()1ln 44h t =时，则min 2t =，所以2t e ≤<， 所以24i i e x y ≤<<≤，当n x 无限接近e 时，满足条件，所以2n x e ≤<，所以要使得121338.154n n x x x x e -+++<<≈L故当12342x x x x ====时，可有123488.154x x x x +++=<， 故14n -≤，即5n ≤， 所以：n 最大值为5. 故选：A. 【点睛】本题主要考查利用导数求函数单调性、极值和最值，以及运用构造函数法和放缩法，同时考查转化思想和解题能力.二、填空题13．近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力.假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%，充放电循环次数达到2500次的概率为35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为______. 【答案】717【解析】记“某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电”为事件A ，“他的车能够充电2500次”为事件B ，即求条件概率：(|)P B A ，由条件概率公式即得解. 【详解】记“某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电”为事件A ，“他的车能够充电2500次”为事件B ，即求条件概率：()35%7(|)()85%17P A B P B A P A ===I故答案为：717【点睛】本题考查了条件概率的应用，考查了学生概念理解，数学应用，数学运算的能力，属于基础题.14．动点P 到直线1x =-的距离和他到点(1,0)F 距离相等，直线AB 过(4,0)且交点P 的轨迹于,A B 两点，则以AB 为直径的圆必过_________.【答案】()0,0【解析】利用动点P 到直线1x =-的距离和他到点(1,0)F 距离相等，,可知动点P 的轨迹是以()1,0F 为焦点的抛物线,从而可求曲线的方程,将(4)y k x =- ,代入24y x =,利用韦达定理,可得12120x x y y ∴+= ,从而可知以AB 为直径的圆经过原点O. 【详解】设点(),P x y ，由题意可得1x +=222(1)(1)x x y +=-+，2222121x x x x y ++=-++，可得24y x =，设直线AB 的方程为(4)y k x =-，代入抛物线可得()2222421160k x k x k -++=，()()()2112212122421,,,16,k A x y B x y x x x x k +∴=+=，()()2121244,y y k x x ∴=--()()222121212121416x x y y k x x k x x k ∴+=+-++ ()22222841614160k k k k k+=+-+=， 0OA OB ∴⋅=u u u r u u u r，以AB 为直径的圆经过原点O .故答案为：（0,0） 【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了直线和抛物线的交汇问题，同时考查了方程的思想和韦达定理，考查了运算能力，属于中档题.15．已知224()ln ,()()e f x x g x x a ==-，如果函数()()()h x f x g x =-有三个零点，则实数a 的取值范围是____________ 【答案】()3,e +∞【解析】首先把零点问题转化为方程问题，等价于224ln ()e x x a =-有三个零点，两侧开方，可得x a =±a x =即可求出参数的取值范围. 【详解】若函数()()()h x f x g x =-有三个零点，即224ln ()e x x a =-零点有，显然1x >，则有224()ln e a x x-=，可得x a =±a x =±()g x x =±对于()g x x =-函数单调递增，0g =<，()220g ee e =->，所以函数在区间()1,+∞上只有一解，对于函数()g x x =+()()32'ln 10x g x ex-=-=，解得x e =，()'0g x <，解得1x e <<，()'0g x >，解得x e >，所以函数在区间()1,e 上单调递减，在区间(),e +∞上单调递增，()23g e e e e =+=，当1x →时，()g x →+∞，当x →+∞时，()g x →+∞，此时函数若有两个零点，则有3a e >，综上可知，若函数()()()h x f x g x =-有三个零点，则实数a 的取值范围是()3,e +∞. 故答案为：()3,e +∞ 【点睛】本题考查了函数零点的零点，恰当的开方，转化为函数有零点问题，注意恰有三个零点条件的应用，根据函数的最值求解参数的范围，属于难题.16．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点,,M N E 分别为棱1,,AA AB AD的中点，以 A 为圆心，1为半径，分别在面11 ABB A 和面 ABCD 内作弧MN 和 NE ，并将两弧各五等分，分点依次为 M 、1P 、2P 、3P 、4P 、N 以及 N 、1Q 、2 Q 、3Q 、4Q 、E ．一只蚂蚁欲从点1P 出发，沿正方体的表面爬行至4 Q ，则其爬行的最短距离为________．参考数据：cos90.9877︒=； cos180.9511 ︒=；cos270.8910︒=）【答案】1.7820【解析】根据空间位置关系，将平面旋转后使得各点在同一平面内，结合角的关系即可求得两点间距离的三角函数表达式.根据所给参考数据即可得解. 【详解】棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点,,M N E 分别为棱1,,AA AB AD 的中点，以 A 为圆心，1为半径，分别在面11 ABB A 和面 ABCD 内作弧MN 和 NE .将平面ABCD 绕AB 旋转至与平面11ABB A 共面的位置，如下图所示：则14180814410P AQ ∠=⨯=o o ，所以142sin 72PQ =o ； 将平面ABCD 绕AD 旋转至与平面11ADD A 共面的位置，将11ABB A 绕1AA 旋转至与平面11ADD A 共面的位置，如下图所示：则14902901265P AQ ∠=⨯+=o o ，所以142sin 63PQ =o ； 因为sin 63sin 72<o o ，且由诱导公式可得sin 63cos 27=o o ，所以最短距离为142sin 6320.8910 1.7820PQ ==⨯=o ， 故答案为：1.7820. 【点睛】本题考查了空间几何体中最短距离的求法，注意将空间几何体展开至同一平面内求解的方法，三角函数诱导公式的应用，综合性强，属于难题.三、解答题17．已知a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，若ABC ∆同时满足下列四个条件中的三个：①2633()b a ac c a b -+=+；②2cos 22cos 12A A +=；③6a =④22b =（1）满足有解三角形的序号组合有哪些？（2）在（1）所有组合中任选一组，并求对应ABC ∆的面积. （若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分） 【答案】（1）①，③，④或②，③，④；（23.【解析】（1）由①可求得cos B 的值，由②可求出角A 的值，结合题意得出A B π+>，推出矛盾，可得出①②不能同时成为ABC ∆的条件，由此可得出结论；（2）在符合条件的两组三角形中利用余弦定理和正弦定理求出对应的边和角，然后利用三角形的面积公式可求出ABC ∆的面积. 【详解】（1）由①b ac -=()2223a c b +-=-，所以222cos 2a c b B ac +-==， 由②2cos 22cos 12AA +=得，22cos cos 10A A +-=， 解得1cos 2A =或cos 1A =-（舍），所以3A π=，因为1cos 32B =-<-，且()0,B π∈，所以23B π>，所以A B π+>，矛盾.所以ABC ∆不能同时满足①，②. 故ABC ∆满足①，③，④或②，③，④； （2）若ABC ∆满足①，③，④，因为2222cos b a c ac B =+-，所以2862c c =++2420c c +-=.解得2c =.所以ABC ∆的面积1sin 2S ac B ==若ABC ∆满足②，③，④由正弦定理sin sin a b A B=sin B =，解得sin 1B =，所以c =ABC ∆的面积1sin 2S bc A ==【点睛】本题考查三角形能否成立的判断，同时也考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，以及三角形面积的计算，要结合三角形已知元素类型合理选择正弦定理或余弦定理解三角形，考查运算求解能力，属于中等题.18．为提供市民的健身素质，某市把,,,A B C D 四个篮球馆全部转为免费民用 （1）在一次全民健身活动中，四个篮球馆的使用场数如图，用分层抽样的方法从,,,A B C D 四场馆的使用场数中依次抽取1234,,,a a a a 共25场，在1234,,,a a a a 中随机取两数，求这两数和ξ的分布列和数学期望；（2）设四个篮球馆一个月内各馆使用次数之和为x ，其相应维修费用为y 元，根据统计，得到如下表的数据： x 10 15 20 25 30 35 40 y1000011761 13010 13980 14771 15440 16020 43430.12y z e=+ 2.993.494.054.504.995.495.99①用最小二乘法求z 与x 的回归直线方程； ②40yx +叫做篮球馆月惠值，根据①的结论，试估计这四个篮球馆月惠值最大时x 的值参考数据和公式：7723114.5,()700,()()70,20i i i i i z x x x x z z e ===-=--==∑∑71721()()()iii ii x x zz bx x ==--=-∑∑$，$az bx =- 【答案】（1）见解析，12.5（2）①0.12z x =+$②20【解析】(1) 运用分层抽样，结合总场次为100，可求得1234,,,a a a a 的值，再运用古典概型的概率计算公式可求解果; (2) ①由公式可计算77211(),()()iiii i x x x x zz ==---∑∑的值，进而可求z 与x 的回归直线方程；②求出()g x ，再对函数求导，结合单调性，可估计这四个篮球馆月惠值最大时x 的值. 【详解】 解：（1）抽样比为2511004=，所以1234,,,a a a a 分别是，6，7，8，5所以两数之和所有可能取值是：10，12，13，15()1106p ξ==，()1123p ξ==，()1133p ξ==，()1156p ξ== 所以分布列为期望为1111()1012131512.56336E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= （2）因为77211()700,()()70,ii i i i x x x x z z ==-=--=∑∑所以71721()()()iii ii x x zz bx x ==--=-∑∑$，$701, 4.50.125270010a ===-⨯=， 0.12zx ∴=+$； ②43430.12y z e=+0.12x =+，设2401ln 4343ln (),()43434040(40)xy x x g x g x x x x +-'===+++， 所以当[0,20],()0,()x g x g x '∈>递增，当[20,),()0,()x g x g x '∈+∞<递减 所以约惠值最大值时的x 值为20 【点睛】本题考查直方图的实际应用，涉及求概率，平均数、拟合直线和导数等问题，关键是要读懂题意，属于中档题.19．如图，三棱台111.ABC A B C -中， 侧面11A B BA 与侧面12AC CA 是全等的梯形，若1111,A A AB A A AC ⊥⊥，且11124AB A B A A ==.（Ⅰ）若12CD DA =u u u v u u u u v ，2AE EB =u u u v u u u v，证明：∥平面11BCC B ；（Ⅱ）若二面角11C AA B --为3π，求平面11A B BA 与平面11C B BC 所成的锐二面角的余弦值.【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)14. 【解析】试题分析：(Ⅰ) 连接11,AC BC ，由比例可得DE ∥1BC ，进而得线面平行； （Ⅱ）过点A 作AC 的垂线，建立空间直角坐标系，不妨设11AA =，则11112,A B AC ==求得平面11A B BA 的法向量为m v ，设平面11C B BC 的法向量为n v ，由cos ,m n m n m n⋅=v vv v u u vu u v 求二面角余弦即可. 试题解析：（Ⅰ）证明：连接11,AC BC ，梯形11A C CA ，112AC A C =,易知：111,2AC AC D AD DC ⋂==u u u v u u u u v；又2AE EB =u u u v u u u v，则DE ∥1BC ；1BC ⊂平面11BCC B ，DE ⊄平面11BCC B ，可得：DE ∥平面11BCC B ；（Ⅱ）侧面11A C CA 是梯形，111A A AC ⊥，1AA AC ⇒⊥,1A A AB ⊥,则BAC ∠为二面角11C AA B --的平面角， BAC ∠=3π；111,ABC A B C ⇒∆∆均为正三角形，在平面ABC 内，过点A 作AC 的垂线，如图建立空间直角坐标系，不妨设11AA =，则11112,A B AC ==4AC AC ==,故点()10,0,1A ，()0,4,0,C())1,B B ；设平面11A B BA 的法向量为()111,,m x y z =v，则有：()111111001,00y m AB m m AB y z ⎧⎧+=⋅=⎪⎪⇒⇒=⎨⋅=⎪++=⎩u u u v v vu u u vv ； 设平面11C B BC 的法向量为()222,,n x y z =v，则有：(22122200030y m CB n m CB y z ⎧⎧-=⋅=⎪⎪⇒⇒=⎨⋅=⎪-+=⎩u u u v v vu u u v v ； 1cos ,4m nm n m n⋅==-v vv v u uvu u v ， 故平面11A B BA 与平面11C B BC 所成的锐二面角的余弦值为14. 20．已知函数21()(1)ln (,0)2f x ax a x x a R a =---∈≠ （1）求函数()f x 的单调递增区间（2）记函数()y F x =的图象为曲线C ，设点1122(,),(,)A x y B x y 是曲线C 上不同两点，如果在曲线C 上存在点00(,)M x y ，使得①1202x x x +=；②曲线C 在点M 处的切线平行于直线AB ，则称函数存在“中值和谐切线”，当2a =时，函数()f x 是否存在“中值和谐切线”请说明理由【答案】（1）见解析（2）不存在，见解析【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围求出函数的单调区间即可； （2）求出函数的导数，结合导数的几何意义，再令21x t x =，转化为方程有解问题，即可说明. 【详解】(1)函数的定义域为()0,∞+，所以1(1)()()a x x a f x x-+'=当0a >时，()0,1f x x '>>；()0,01f x x '<<<，所以函数()f x 在()1,+∞上单调递增 当0a <时， ①当111,1,()0,1a f x x a a '-<<->-<<时，函数在1,0a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递增 ②11,1a a-==-，显然无增区间； ③当11,10a a ->-<<时， 1()0,1f x x a '><<-，函数在11,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递增， 综上当0,a >函数在1,1a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增. 当1a <-时函数在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； 当1a =-时函数无单调递增区间当10a -<<时函数在11,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增(2)假设函数存在“中值相依切线”设1122(,),(,)A x y B x y 是曲线()y f x =上不同的两个点，且120x x << 则1111222ln ,ln y x x x y x x x =--=--2121212121ln ln 1AB y y x x k x x x x x x --==+----曲线在点00(,)M x y 处的切线的斜率为012122()1k f x x x x x '==+--+，2121122112ln ln 21x x x x x x x x x x -+--=+--+2212122112112(1)ln ln 2,ln 01x x x x x x x x x x x x --∴=∴-=-++.令21x t x =，则222(1)(1)()ln ,()01(1)t t h t t h t t t t --'=-=>++， ()h t ∴单调递增，()(1)0h t h ∴>=，故()0h t =无解，假设不成立综上，假设不成立，所以不存在“中值相依切线”【点睛】本题考查了函数的单调性，导数的几何意义，考查导数的应用以及分类讨论和转化思想，属于中档题．21．已知抛物线2:2G y px =，焦点为F ，直线l 交抛物线G 于,A B 两点，交抛物线G 的准线于点C ，如图所示，当直线l 经过焦点F 时，点F 恰好是AC 的中点，且83BC =.（1）求抛物线G 的方程；（2）点O 是原点，设直线,OA OB 的斜率分别是12,k k ，当直线l 的纵截距为1时，有数列{}n a 满足()2112n 1,16,42n a k a k a -==-=+，设数列1n n a a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为n S ，已知存在正整数m 使得20201m S m ≤<+，求m 的值.【答案】（1）24y x =（2）2019m =【解析】(1) 设出直线的方程，再与抛物线联立方程组，进而求得点,A B 的坐标，结合弦长即可求得抛物线的方程；(2) 设直线的方程，运用韦达定理可得214k k +=，可得1,n n a a +之间的关系，再运用11111n n n a a a +=-+进行裂项，可求得2020S ，解不等式求得m 的值. 【详解】解：（1）设过抛物线焦点的直线方程为()2p y k x =-， 与抛物线方程联立得：22222(2)04k p k x k p p x -++=，设2112221(,),(,),4p A x y B x y y y =，所以2223(,),(),326P P A kP B k P p =，83k BC ∴===， 2P =∴，所以抛物线方程为24y x = （2）设直线方程为()2(1)1,4x m y x m y y x =-⎧=-∴⎨=⎩， 21212440,4,4y my m y y m y y m ∴-+==+=，1221124y y k k x x +=+=， 221116(42)4,(1)n n n n n n n a a a a a a a ++∴-++=-+=+，11111(1)1n n n n n a a a a a +∴==-++， 111()11n n n n a a a a ∴=--++， 2020122320202021202111111112020(...)20201S a a a a a a a =-+-++-=-+ 由111,(1)1n n n a a a a +==+>得2019m =.【点睛】本题考查了直线与抛物线的关系，考查了韦达定理和运用裂项法求数列的和，考查了运算能力，属于中档题.22．已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程是:2{2x m t y =+=（t 是参数）.（1）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点,且||AB =试求实数m 值.（2）设为曲线上任意一点，求2x y +的取值范围. 【答案】（1）或；（2）[225,225]-+.【解析】（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，在直角坐标条件下求出曲线的圆心坐标和半径，将直线的参数方程化为普通方程，由勾股定理列出等式可求的值；（2）将圆化为参数方程形式，代入由三角公式化简可求其取值范围．【详解】 （1）曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=化为直角坐标方程为：直线的直角坐标方程为： 圆心到直线l 的距离（弦心距） 圆心(2,0)到直线的距离为 ： 或（2）曲线的方程可化为222)4x y -+=（，其参数方程为：22cos {2sin x y θθ=+=(θ为参数）(),M x y Q 为曲线上任意一点，225)x y θα+=++2x y ∴+的取值范围是[25,25]-+23．已知函数()|1|||f x x x a =+-+.（1）若1a =-，求不等式()1f x -…的解集；（2）若“x R ∀∈，()|21|f x a <+”为假命题，求a 的取值范围.【答案】（1）1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭（2）[]2,0-【解析】（1））当1a =-时，将函数()f x 写成分段函数，即可求得不等式的解集. （2）根据原命题是假命题，这命题的否定为真命题，即“x R ∃∈，()21f x a +…”为真命题，只需满足()max |21|f x a +…即可.【详解】解：（1）当1a =-时，()2,1,112,11,2, 1.x f x x x x x x -≤-⎧⎪=+--=-<<⎨⎪≥⎩由()1f x -…，得12x -…. 故不等式()1f x -…的解集为1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. （2）因为“x R ∀∈，()21f x a <+”为假命题，所以“x R ∃∈，()21f x a +…”为真命题，所以()max |21|f x a +….因为()|1||||(1)()||1|f x x x a x x a a =+-++-+=-„， 所以()max |1|f x a =-，则|1||21|a a -+…，所以()()22121a a -+…， 即220a a +≤，解得20a -剟，即a 的取值范围为[]2,0-. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，以及绝对值三角不等式，属于基础题.。
【全国百强名校】湖南长郡中学2020届高三第3次月考高考冲刺试卷-理科数学(附答案)
设向量,+*-与-+*)的夹角为&
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理科数学试题参考答案!长郡版"!!"
*!,!$解析%不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示&由此得.0##4'# 的最小值为点/ 到直线,-)
值范围是!!!! !2!已知 实 数&&'&0!&)')0"三 个 数 成 等 比 数 列&它 们 的 和 是 #!&积 是 &2&
那么这个数列的公比1'!!!!!
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满足##(*#+)2+#(%'$&则当#%+取得最大值时
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!!"求曲线-! 的直角坐标方程&并说明它是什么曲线.
!#"设定点 3!$&槡*"&求
湖南省长沙市长郡中学2023届高三上学期第三次月考数学参考答案
炎德·英才大联考长郡中学2023届高三月考试卷（三）数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号12345678答案ACDDBDCD1．A 【解析】∵{}{}2422M x x x x x =>=<->或，{}{}24004N x x x x x =-≤=≤≤，所以{}24M N x x ⋂=<≤．故选A ．2．C 【解析】用“x -”代替“x ”，得()()()()321f x g x x x ---=-+-+，化简得()()321f x g x x x +=-++，令1x =，得()()111f g +=．故选C ．3．D 【解析】由AB a ∥ 知，存在实数λ，使(),2AB a λλλ==-，又AB =22495λλ+=⨯，即3λ=或3λ=-，所以()3,6AB =-或()3,6-．又点()2,1A -，所以()1,5OB OA AB =+=-或()5,7-．故选D ．4．D 【解析】若l m ∥，且m α⊂，则l α∥或l α⊂，即“l m ∥”¿“l α∥”；若l α∥，且m α⊂，则l m ∥或l ，m 异面，则“l m ∥”¿“l α∥”．因此，“l m ∥”是“l α∥”的既不充分也不必要条件．故选D ．5．B 【解析】易知四面体A EFD '的三条侧棱A E '，A F '，A D '两两垂直，且1A E '=，1A F '=，2A D '=，把四面体A EFD '补成从顶点A '出发的三条棱长分别为1，1，2的一个长方体，则长方体的外接球即为四面体A EFD '的外接球，球的半径为62r ==．故选B ．6．D 【解析】()sin 7sin 72a π==-．因为7264πππ<-<，所以122a <<，所以21142a <<；因为2xy =在R 1222a=<<；因为2log y x =在()0,+∞上为增函数，且1222a <<，所以2221log log log 22a <<，即211log 2a -<<-；所以22log 2aa a <<．故选D ．7．C 【解析】依题意，()cos cos 66g x A x A x πωπωϕωϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故2A =，又()g x 的周期T 满足4312T ππ=-，得T π=，所以2ω=，所以()2cos 23g x x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，又23g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，得2233k ππϕπ⨯-+=，k ∈Z ，又0πϕ-<<，所以3πϕ=-，所以()2cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()02cos 2cos 2333f f πππ⎛⎫⎛⎫+=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选C ．8．D 【解析】∵()2,0A -，()2,0B ，()0,2C ，∴直线BC 的方程为20x y +-=，直线AC 的方程为20x y -+=，如图，作F 关于BC 的对称点P ，∵()1,0F ，∴()2,1P ，再作P 关于AC 的对称点M ，则()1,4M -，连接MA ，ME ，且ME 交AC 于点N ，则直线ME 的方程为1x =-，∴()1,1N -，连接PN ，PA ，分别交BC 于点G ，H ，则直线PN 的方程为1y =，直线PA 的方程为420x y -+=，∴()1,1G ，64,55H ⎛⎫⎪⎝⎭．连接GF ，HF ，则G ，H 之间即为点D 的变动范围．∵直线FG 的方程为1x =，直线FH 的斜率为454615=-，∴直线FD 斜率的取值范围为()4,+∞．故选D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．题号9101112答案ABDBCDABDAD9．ABD 【解析】因为0a b -≥，所以a b ≥．根据不等式的性质可知A ，B 正确；因为a ，b 的符号不确定，所以C 不正确；2222110a b ab ba a b --=≥，可得2211ab ba ≥，所以D 正确．故选ABD ．10．BCD 【解析】由题得()cos 2sin 6f x x x x πωωω⎛⎫=+=--⎪⎝⎭，令6x k πωπ-=，解得6k x ππωω=+，∵0ω>，取0k =，∴062ππω<≤，即13ω≥．故选BCD ．11．ABD 【解析】根据题意可得纸板n P 相交于纸板()12n P n -≥剪掉了半径为112n -的半圆，故1111122222n n n n L L π---=-⨯+⨯，即112122n n n n L L π----=-，故12L π=+，2110122L L π-=-，3221122L L π-=-，4332122L L π-=-，…，112122n n n n L L π----=-，累加可得2n L π=+11121012121111111112222211222222221122n n n n n n ππππππ------⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭++++-+++=++-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-- ，所以321117122242L ππ⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭，故A 正确，C 错误；又2111122n n n S S π--⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故1212n n n S S π---=-，即1212n n n S S π++=-，故D 正确；又12S π=，2132S S π-=-，3252S S π-=-，…，1212n n n S S π---=-，累加可得13521211118411222223214n n n n S πππππππ---⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=----=-=+ ⎪⎝⎭- ，故31132S π=，故B 正确．故选ABD ．12．AD 【解析】∵e e 1.01011a b a b ==>++，∴1a >-，1b >-，令()()e 11xf x x x=>-+，则()()2e 1xx f x x '=+，所以()f x 在()1,0-上单调递减，在()0,+∞上单调递增，且()01f =，故0a >，10b -<<．令()()()()()ln ln 2ln 1ln 1h x f x f x x x x =--=-++-+，()1,1x ∈-，则()2112220111h x x x x-'=-+=-<+-+-，所以()h x 在()1,1-上单调递减，且()00h =，∵()1,0b ∈-，∴()()ln ln 0f b f b -->，∴()()f b f b >-，∴()()f a f b >-，∴a b >-，即0a b +>，故选项A 正确；∵()()1e 1e 0.990cdc d -=-=>，∴1c <，1d <，令()()()1e1xg x x x =-<，则()e xg x x '=-，所以()g x 在(),0-∞上单调递增，在()0,1上单调递减，且()01g =，故01c <<，0d <．令()()()()()()ln ln 2ln 1ln 1m x g x g x x x x h x =--=-++-+=，()1,1x ∈-，所以()m x 在()1,1-上单调递减，且()00m =，∵()0,1c ∈，∴()()ln ln 0g c g c --<，∴()()g c g c <-，∴()()g d g c <-，∴d c <-，即0c d +<，故选项B 错误；∵()()1f x g x =-，∴()()11000.99101g a f a -==>，()1,0a ∈-，∴()()g a g d ->，又∵()g x 在(),0上单调递增，∴a d ->，∴0a d +<，故选项C 错误；由C 可知，()()g b g c ->，()0,1b -∈，又∵()g x 在()0,1上单调递减，∴b c -<，∴0b c +>，故选项D 正确．故选AD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．2i --【解析】由题图可知，112i z =-+，由21i z z =，得()21i 12i i 2i z z ==-+=--．14【解析】建立如图所示坐标系，其中O 为BC的中点，所以(A ，()3,0B -，()3,0C ．设(),P x y，则()PA x y =-，()3,PB x y =--- ，()3,PC x y =-- ，又因为320PA PB PC ++=，所以()()()323,3,0x y x y x y --+---+--=，()3623320x x x y y y ---+---=，即630x --=，60y -=，所以133,22P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以PA ==15．311,44⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】由()1132n n n n S a n =-++-，得134a =-；当2n ≥时，1n n n a S S -=-()()()()()111111113113111222n n n nn n n n n n n a n a n a a ----=-++------+=-+--+，若n 为偶数，则1112n n a -=-，∴1112n n a +=-（n 为正奇数）；若n 为奇数，则11111112121132222n n n n n n a a -+-⎛⎫=--+=---+=- ⎪⎝⎭，∴132n n a =-（n 为正偶数）．函数1112n n a -=-（n 为正奇数）为减函数，最大值为134a =-，函数132n n a =-（n 为正偶数）为增函数，最小值为2114a =．若()()10n n a p a p +--<恒成立，则12a p a <<，即31144p -<<．故答案为311,44⎛⎫-⎪⎝⎭．16．①③④【解析】对①：当H 为DE 的中点时，取EA 中点为M ，连接MH ，MB ，如下图所示：因为H ，M 分别为ED ，EA 的中点，故可得MH AD ∥，12MH AD =，根据已知条件可知：BG AD ∥，12BG AD =，故MH BG ∥，MH BG =，故四边形HMBG 为平行四边形，则HG MB ∥，又MB ⊂平面ABE ，HG ⊄平面ABE ，故HG ∥平面ABE ，故①正确；对②：因为ED ⊥平面ABCD ，DA ，DC ⊂平面ABCD ，故DE DA ⊥，DE DC ⊥，又四边形ABCD 为正方形，故DA DC ⊥，则DE ，DA ，DC 两两垂直，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系如下图所示：则()2,0,0A ，()0,0,2E ，()1,2,0G ，设()0,0,H m ，[]0,2m ∈，若GH AE ⊥，则()()1,2,2,0,20GH AE m ⋅=--⋅-=，即220m +=，解得1m =-，不满足题意，故②错误；对③：B GFH H BGF V V --=，因为B ，F ，G 均为定点，故BGF S △为定值，又DE CF ∥，CF ⊂平面BGF ，DE ⊄平面BGF ，故DE ∥平面BGF ，又点H 在DE 上运动，故点H 到平面BGF 的距离是定值，故三棱锥B GFH -的体积为定值，则③正确；对④：取EFC △的外心为1O ，过1O 作平面EFC 的垂线1O N ，则三棱锥B EFC -的外接球的球心O 一定在1O N 上，因为1OO ⊥平面EFC ，FC ⊥平面ABCD ，CB ⊂平面ABCD ，则CF CB ⊥，又CB CD ⊥，CF CD C ⋂=，CF ，CD ⊂平面EFCD ，故CB ⊥平面EFCD ，即BC ⊥平面EFC ，则1OO CB ∥，故1OO ，BC 在同一个平面，则过O 作OP BC ⊥，连接OB ，OC 如图所示．在EFC △中，容易知EF =，EC =1FC =，则由余弦定理可得cos5EFC ∠=-，故25sin 5EFC ∠=，则由正弦定理可得12sin 2EC O C OP EFC ===∠；设三棱锥E FCB -的外接球半径为R ，则OC OB R ==，在OBP △中，OB R =，102OP =，又12222BP PC OO =-=-==，故由勾股定理可知：222OB OP BP =+，即2255422R R =++--，解得：272R =，则该棱锥外接球的表面积2414S R ππ==，故④正确．故答案为①③④．四、解答题：本题共6小题，共17．【解析】（1）设公差为d ，则依题意得23a =-，则13a d =--，33a d =-+，∴()()()33315d d ----+=-，得24d =，2d =±，∴21n a n =-+或27n a n =-．（2）由题意得27n a n =-，所以72,3,27,4,n n n a n n -≤⎧=⎨-≥⎩①3n ≤时，()()21257262n n n S a a a n n +-=-+++==- ；②4n ≥时，()()21234123122186n n n S a a a a a a a a a a a n n =---+++=-++++++=-+ ．综上，数列{}n a 的前n 项和226,3,618, 4.n n n n S n n n ⎧-+≤=⎨-+≥⎩18．【解析】（1）由正弦定理2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =得：cos B C A C =-，即()cos B C B C C =+-，即cos C B C =，因为sin 0C ≠，化简得1cos 2B =，∵()0,B π∈，∴60B =︒．（2）设AC 边上的中线为BD ，则()12BD BA BC =+ ，所以()222124BD BA BC BA BC =++⋅，()22212cos 4BD BA BC BA BC B =++⋅ ，即有()2225144a c ac =++，①又2sin 3b R B ==，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得229a c ac =+-，②由①②得8ac =，所以1sin 2ABC S ac B ==△．19．【解析】（1）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3，()3213121110C 33339P X ⎛⎫⎛⎫==+⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()222421181C 33381P X ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2224212162C 33381P X ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()23232122163C 333327P X ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以X 的分布列为X123P1988116811627所以数学期望()1816161840123981812781E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．（2）记“甲、乙两队比赛两场后，两队积分相等”为事件A ，设第i 场甲、乙两队积分分别为i X 、i Y ，则3i i X Y =-，1i =，2，因两队积分相等，所以1212X X Y Y +=+，即()()121233X X X X +=-+-，则123X X +=，所以()()()()()()()121212031221P A P X P X P X P X P X P X ===+==+==()()12116816168161112030927818181812796561P X P X +===⨯+⨯+⨯+⨯=．20．【解析】（1）过点D 作DO AC ⊥交AC 与点O ，∵平面ABC ⊥平面ACD ，且两平面的交线为AC ，∴DO ⊥平面ABC ，又∵DE ∥平面ABC ，∴DO DE ⊥，又∵AD DE ⊥且AD DO D ⋂=，∴DE ⊥平面ACD ．（2）过点E 作EN BC ⊥交BC 与点N ，连接ON ，∵平面ABC ⊥平面BCE ，且两平面的交线为BC ，∴EN ⊥平面ABC ，又∵DE ∥平面ABC ，∴D ，E 到平面ABC 的距离相等，∴DO EN ∥且DO EN =，ON ⊥平面ACD ，∴CO ON =，DE ON =，∴()11111133333ABCDE E ABC E ACD ABC ACD V V V EN S DE S EN DE DO DO DE --=+=⋅+⋅=+⋅=+△△，又222221DO DE DO CO CD +=+==，令()01DE x x =≤≤，则()())11133ABCDEx V f x DO DE +==+=，())12f x x '=-．所以()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，即1324ABCDE V f ⎛⎫≤=⎪⎝⎭，当且仅当12DE =时取得最大值．如图所示，以点O 为原点建立空间直角坐标系O xyz -，则3,0,02A ⎛⎫-⎪⎝⎭，1,1,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，130,,22E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1,0,02C ⎛⎫⎪⎝⎭，30,0,2D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以13,,444M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，53,,444AM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，1,0,22CD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ．设AM 与CD 所成角为α，则37cos 37AM CD AM CDα⋅==⋅ ，则tan 6α=，即当几何体ABCDE 体积最大时，AM 与CD 所成角的正切值为6．21．【解析】（1）由题意知()0,3P ，过点P 与椭圆相切的直线斜率存在，设切线方程为3y kx =+，联立223,26,y kx x y =+⎧⎨+=⎩可得()222112120k x kx +++=，（*）由()()22214448214810k k k ∆=-+=-=，可得1k =±，即切线方程为3y x =±+，所以，PA PB ⊥，将1k =代入方程（*）可得2440x x ++=，可得2x =-，此时1y =，不妨设点()2,1A -，同理可得点()，PA PB ===因此，142S PA PB =⋅=．（2）证明：先证明出椭圆22163x y +=在其上一点()00,M x y 处的切线方程为00163x x y y+=，因为点()00,M x y 在椭圆22163x y +=上，则220026x y +=，联立00221,631,63x x y yx y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 可得()222200002103633x y x x x y +-+-=，整理得220020x x x x -+=，即()200x x -=，解得0x x =，因此，椭圆22163x y +=在其上一点()00,M x y 处的切线方程为00163x x y y +=．设()11,A x y ，()22,B x y ，则切线PA 的方程为11136x x y y +=，切线PB 的方程为22136x x y y+=．设(),P m n ，则11221,631,63mx ny mx ny ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩所以，点A ，B 的坐标满足方程260mx ny +-=，所以，直线AB 的方程为260mx ny +-=，因为点(),P m n 在直线163x y+=上，则26m n +=，则26n m =-，所以，直线AB 的方程可表示为()660mx m y +--=，即()()610m x y y -+-=，由0,10,x y y -=⎧⎨-=⎩可得1,1,x y =⎧⎨=⎩故直线AB 过定点()1,1T ，因为OD AB ⊥，所以，点D 在以OT 为直径的圆上，当点Q 为线段OT 的中点时，1222DQ OT ==，此时点Q 的坐标为11,22⎛⎫⎪⎝⎭．故存在点11,22Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得DQ 为定值22．22．【解析】（1）令()0f x =，得e 0nx x nx -=．所以0x =或e nx n =．即0x =或ln nx n=．因为点P 在点Q 的左侧，所以()0,0P ，ln ,0n Q n ⎛⎫⎪⎝⎭因为()()1e nxf x nx n '=+-，所以()01f n '=-，得点P 处的切线方程为()1y n x =-，即()()1g x n x =-．当0x ≥时，()()()()e 1e 1nxnxf xg x x nx n x x -=---=-，因为0x ≥，*n ∈N 且2n ≥，所以0nx ≥，所以e 1nx ≥，即e 10nx -≥．所以()e 10nx x -≥，所以()()f xg x ≥．（2）不妨设12x x ≤，且只考虑x 的情形．因为()()1e nxf x nx n '=+-，所以()ln ln ln 1e ln 1ln nn n f nn n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫'=+-=+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以点Q 处的切线方程为()2ln ln ln ln n y n n x n n x n n ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，记()()2ln ln h x n n x n =-，令()()()()()22e ln ln e ln ln nx nx F xf x h x x nx n n x n x n n n x n ⎡⎤=-=---=-++⎣⎦，0x ≥，设()()()()1e ln nx G x F x nx n n n '==+-+，则()()2e0nxG x n nx '=+>．所以()F x '单调递增．又因为()ln ln ln 1e ln 0nn n F nn n n n ⎛⎫⎛⎫'=+-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，当ln 0,n x n ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0F x '<；当ln ,n x n ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0F x '>．所以()F x 在ln 0,n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在ln ,n n ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．所以()F x 在ln n x n =时有极小值，也是最小值，即()()ln 2ln ln ln e ln ln 0nn nn n nF x F n n n n n n n⋅⎛⎫≥=-++= ⎪⎝⎭，所以当0x ≥时，()()f x h x ≥．设方程()h x t =的根为2x '，则22ln ln t nx n n+'=．易知()h x 单调递增，由()()()222h x f x t h x '≤==，所以22x x '≤．对于（1）中()()1g x n x =-，设方程()g x t =的根为1x '，则11tx n'=-．易知()g x 单调递减，由（1）知()()()111g x f x t g x '≤==，所以11x x '≤．所以22121ln 11ln ln 1ln 1t n t n x x x x t n n n n n n n+⎛⎫''-≤-=-=++⎪--⎝⎭．因为()()ln 1ln 11n n n n n --=-+，易知3n ≥时，ln 10n ->，故()()ln 1103n n n -+>≥；当2n =时，()2ln 211ln 410-+=->，所以ln 10n n n >->，所以110ln 1n n n <<-，所以112ln 1ln n n n n n+>-．记()()()1e nxx f x nx n ϕ'==+-，0x ≥，则()()2e0nxx n nx ϕ'=+>恒成立．所以()()1e nxf x nx n '=+-单调递增，因为()010f n '=-<，ln ln 0n f n n n ⎛⎫'=>⎪⎝⎭，所以存在0ln 0,n x n ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()00f x '=．所以，当()00,x x ∈时．()0f x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>．所以()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增．因为()00f =，ln 0n f n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由函数图象知当方程()f x t =（t 为实数）有两个正实根1x ，2x 时，0t <，所以112ln 1ln t t n n n n n ⎛⎫+<⎪-⎝⎭．所以21212ln ln t n x x x x n n n ''-≤-<+，即212ln ln t n x x n n n -<+．。
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在棱长为&的正方体中&2"&3"&4"&5" 分别为其对应棱上的中点& 将正方体裁去四分之一圆柱 623!6"2"3" 和四分之一圆锥,!,"4"5" 后对应的几何体即为三视图所对 应的几何体&
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理科数学试题参考答案!长郡版"!"!
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当分母的指数为#时&分子为##0&(
炎德英才大联考长郡中学#$#$届高三月考试卷!三"
数学!理科"参考答案
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