初中数学拓展性课程优秀案例动手实践类
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二、学情分析
学生在浙教版八年级数学上册第二单元《等腰三角形的判定》中，学习了如何判定等腰三角形，并且具有一定猜想、实验、证明的能力。学生在等腰三角形判定学习过程中，只局限于如何证明已有图形为等腰三角形。学生对于此类探究活动出现“不知所措”的现象。因此，突破学生思维定式，大胆让学生进行动手分割、猜想证明、演绎归纳，并且进行数形结合，充分拓展学生数学思维的广度与深度，激发学生自主探究、综合分析及归纳的能力，
【学生展示】
【教师引导】你是如何思考？
【学生回答】考虑到一个角36°，刚好另一个角72°，所以将72°分割成36°，36°。
【教师引导】你能将10°、20°、150°三角形分成两个等腰三角形吗？
【学生1回答】
【学生2回答】这是错误的分割方式！20°分割成10°，10°不行！
【教师引导】那怎么分割？
【学生2回答】
【设计意图】数学建模对于八年级的学生来说，是有一定的困难的，教师如果说成“把文字语言变成符号语言”学生可能更能接受些。
【教师引导】推理1：△ACD为等腰三角形的各种情况：
（1）∠ADC=∠C，即2β=γ；
（2）∠ADC=∠CAD，即α=3β；
（3）∠C=∠CAD，即α=90°再结合具体图形。
（1）.【教师引导】你能将36°、72°、72°三角形分成两个等腰三角形吗？
量角器
学案
七、教学过程
活动一：
小组派代表，上台随意抽取一叠三角形纸片（平均每人能分到一张）。小组活动：折一次，将三角形分割成两个等腰三角形（可以用到量角器确定角度大小），限时5分钟。
【设计意图】这是一个开放式的课堂，让学生随意抽取纸片，全体活动，调动所有孩子积极性。
【小组展示】将能被分割的三角形以小组为单位进行展示（黑板上进行展示）、讲解。
自主、合作、探究是新课改所倡导的学习方式。探究学习是整节课的核心，学生在经历多次数学实验活动的基础上积极主动地探究与挖掘蕴含其中的规律与结论，感受着“实验与归纳推理”数学方法与“特殊到一般”、“数形结合”等思想相结合的生动性、灵活性及奇妙性。当然，学生的合作学习对自主及探究学习起到了良好的促进作用，兴趣在合作中得到激发，思维在合作中得到迸发，方法在合作中得到跃进，能力在合作中得到提升，友情在合作中得到升华。此外，教师在学生合作探究学习中应该有效地发挥参与、引导及促进等积极作用。
【设计意图】任意三角形能够被分割成四个三角形，知识链接到直角三角形斜中线定理。是知识上的拓展。
【教师总结】本节课，我们从哪些三角形能够被分割成两个等腰三角形拓展到如何分割，再拓展到分割成多个等腰三角形的情况，对等腰三角形的性质进一步研究及思考，并且体验几何学习的猜想、实验、证明、论证过程。
【教师引导】分割成三个等腰三角形做得到吗？
【学生总结】小组讨论，尝试之后，做不到。
【教师引导】那么分割成四个做得到吗？
【学生总结】如图，作出三角形的高，把整个三角形分成两个小直角三角形。对于每一个直角三角形，作出斜边上的中线后都将会把它分成两个小等腰三角形。于是，我们就把整个三角形分成了4个小等腰三角形。
初中数学拓展性课程优秀案例动手实践类
---玩转三角形中的翻折问题
湖州市第十一中学教育集团杨建雅徐会星
第一课时：折出等腰三角形
一、教材分析
本节课是在浙教版八上《等腰三角形的判定》P63中探究活动进行拓展。本课是一节知识类拓展课，以一个活动、两个问题为载体，活动从“哪些三角形能够被分割成两个等腰三角形”层层递进到“如何分割”，并且拓展到“任何三角形能够被分割成几个等腰三角形”让学生亲自实验操作，在多次特殊的实验中寻找一般的数学规律，经历“猜想—归纳——验证”相扣的环节，感受实验与归纳推理这一核心概念在探究数学问题中体现的重要性，在此基础上让学生自主合作探究两个生成性问题，体验由特殊到一般、数形结合等的数学思想。
【学生回答】
【教师引导】那么80°、25°、75°的三角形呢？
【学生回答】
【学生总结】
（3）【教师引导】那么90°、45°、45°的三角形呢？以及90°、30°、60°的三角形呢？
【学生回答】
【学生总结】
活动二：不能被分割成两个等腰三角形的这些三角形。如果再多分割几次，能够被分割成等腰三角形吗？
【设计意图】从探究哪些三角形能被分割成两个等腰三角形，拓展到如何分割成两个等腰三角形，以及探究分割成多个等腰三角形。在思维的深度及广度上循序渐进，步步拓展。
【设计意图】通过开放性的问题，让学生直观感受如何将三角形分割成两个等腰三角形，并且学生在此过程中，发现有些三角形能够被分割，有些则不行。激发学生产生好奇。
【教师引导】任何三角形能被分割成两个等腰三角形吗？
【学生回答】当然不行。
【教师引导】那么你能理论说明吗？△ABC中，∠A=α，∠B=β，∠C=γ，过点A作∠BAD=β，交BC于点D。
【教师引导】这两个三角形能够被分割，他们具有怎样的特征？你能从活动一的展示中找到相同特征三角形吗？
【学生回答】有两个角具有两倍关系。
【教师引导】那么我们将活动一展示的三角形归类，哪些属于两倍角关系，他们又是怎样分割的呢？
【学生总结】
（2）【教师引导】你能将108°、36°、36°三角形分成两个等腰三角形吗？
三、教学目标
知识与技能：经历可以分割成两个三角形的条件的探索过程，发展学生的数学建模能力和合情推理能力。
过程与方法：用“建构――导学”课堂教学范式，让学生形成比较、分类、猜想、推理、类比等思维能力。
情感、态度价值观：通过探索条件的实践过程，体会数学推理的乐趣，增强学生的合作交流意识。
四、学习方法
自主学习、合作学习、探究学习
五、学习重难点
重点：可以分割成两个等腰三角形的条件的探索过程。
难点：在条件探索过程中“一个角是另一个角的2倍”的限制条件。
六、课前准备
学习小组（5-6人）
三角形纸片（50张），分类：两内角两倍关系的三角形（特别放入36°、72°、72°三角形，10°，20°，150°三角形），两内角三倍关系的三角形（108°、36°、36°三角形，25°、75°、80°三角形），直角三角形（45°，45°，90°三角形，30°，60°，90°三角形）以及除以上特征以外的三角形。
学生在浙教版八年级数学上册第二单元《等腰三角形的判定》中，学习了如何判定等腰三角形，并且具有一定猜想、实验、证明的能力。学生在等腰三角形判定学习过程中，只局限于如何证明已有图形为等腰三角形。学生对于此类探究活动出现“不知所措”的现象。因此，突破学生思维定式，大胆让学生进行动手分割、猜想证明、演绎归纳，并且进行数形结合，充分拓展学生数学思维的广度与深度，激发学生自主探究、综合分析及归纳的能力，
【学生展示】
【教师引导】你是如何思考？
【学生回答】考虑到一个角36°，刚好另一个角72°，所以将72°分割成36°，36°。
【教师引导】你能将10°、20°、150°三角形分成两个等腰三角形吗？
【学生1回答】
【学生2回答】这是错误的分割方式！20°分割成10°，10°不行！
【教师引导】那怎么分割？
【学生2回答】
【设计意图】数学建模对于八年级的学生来说，是有一定的困难的，教师如果说成“把文字语言变成符号语言”学生可能更能接受些。
【教师引导】推理1：△ACD为等腰三角形的各种情况：
（1）∠ADC=∠C，即2β=γ；
（2）∠ADC=∠CAD，即α=3β；
（3）∠C=∠CAD，即α=90°再结合具体图形。
（1）.【教师引导】你能将36°、72°、72°三角形分成两个等腰三角形吗？
量角器
学案
七、教学过程
活动一：
小组派代表，上台随意抽取一叠三角形纸片（平均每人能分到一张）。小组活动：折一次，将三角形分割成两个等腰三角形（可以用到量角器确定角度大小），限时5分钟。
【设计意图】这是一个开放式的课堂，让学生随意抽取纸片，全体活动，调动所有孩子积极性。
【小组展示】将能被分割的三角形以小组为单位进行展示（黑板上进行展示）、讲解。
自主、合作、探究是新课改所倡导的学习方式。探究学习是整节课的核心，学生在经历多次数学实验活动的基础上积极主动地探究与挖掘蕴含其中的规律与结论，感受着“实验与归纳推理”数学方法与“特殊到一般”、“数形结合”等思想相结合的生动性、灵活性及奇妙性。当然，学生的合作学习对自主及探究学习起到了良好的促进作用，兴趣在合作中得到激发，思维在合作中得到迸发，方法在合作中得到跃进，能力在合作中得到提升，友情在合作中得到升华。此外，教师在学生合作探究学习中应该有效地发挥参与、引导及促进等积极作用。
【设计意图】任意三角形能够被分割成四个三角形，知识链接到直角三角形斜中线定理。是知识上的拓展。
【教师总结】本节课，我们从哪些三角形能够被分割成两个等腰三角形拓展到如何分割，再拓展到分割成多个等腰三角形的情况，对等腰三角形的性质进一步研究及思考，并且体验几何学习的猜想、实验、证明、论证过程。
【教师引导】分割成三个等腰三角形做得到吗？
【学生总结】小组讨论，尝试之后，做不到。
【教师引导】那么分割成四个做得到吗？
【学生总结】如图，作出三角形的高，把整个三角形分成两个小直角三角形。对于每一个直角三角形，作出斜边上的中线后都将会把它分成两个小等腰三角形。于是，我们就把整个三角形分成了4个小等腰三角形。
初中数学拓展性课程优秀案例动手实践类
---玩转三角形中的翻折问题
湖州市第十一中学教育集团杨建雅徐会星
第一课时：折出等腰三角形
一、教材分析
本节课是在浙教版八上《等腰三角形的判定》P63中探究活动进行拓展。本课是一节知识类拓展课，以一个活动、两个问题为载体，活动从“哪些三角形能够被分割成两个等腰三角形”层层递进到“如何分割”，并且拓展到“任何三角形能够被分割成几个等腰三角形”让学生亲自实验操作，在多次特殊的实验中寻找一般的数学规律，经历“猜想—归纳——验证”相扣的环节，感受实验与归纳推理这一核心概念在探究数学问题中体现的重要性，在此基础上让学生自主合作探究两个生成性问题，体验由特殊到一般、数形结合等的数学思想。
【学生回答】
【教师引导】那么80°、25°、75°的三角形呢？
【学生回答】
【学生总结】
（3）【教师引导】那么90°、45°、45°的三角形呢？以及90°、30°、60°的三角形呢？
【学生回答】
【学生总结】
活动二：不能被分割成两个等腰三角形的这些三角形。如果再多分割几次，能够被分割成等腰三角形吗？
【设计意图】从探究哪些三角形能被分割成两个等腰三角形，拓展到如何分割成两个等腰三角形，以及探究分割成多个等腰三角形。在思维的深度及广度上循序渐进，步步拓展。
【设计意图】通过开放性的问题，让学生直观感受如何将三角形分割成两个等腰三角形，并且学生在此过程中，发现有些三角形能够被分割，有些则不行。激发学生产生好奇。
【教师引导】任何三角形能被分割成两个等腰三角形吗？
【学生回答】当然不行。
【教师引导】那么你能理论说明吗？△ABC中，∠A=α，∠B=β，∠C=γ，过点A作∠BAD=β，交BC于点D。
【教师引导】这两个三角形能够被分割，他们具有怎样的特征？你能从活动一的展示中找到相同特征三角形吗？
【学生回答】有两个角具有两倍关系。
【教师引导】那么我们将活动一展示的三角形归类，哪些属于两倍角关系，他们又是怎样分割的呢？
【学生总结】
（2）【教师引导】你能将108°、36°、36°三角形分成两个等腰三角形吗？
三、教学目标
知识与技能：经历可以分割成两个三角形的条件的探索过程，发展学生的数学建模能力和合情推理能力。
过程与方法：用“建构――导学”课堂教学范式，让学生形成比较、分类、猜想、推理、类比等思维能力。
情感、态度价值观：通过探索条件的实践过程，体会数学推理的乐趣，增强学生的合作交流意识。
四、学习方法
自主学习、合作学习、探究学习
五、学习重难点
重点：可以分割成两个等腰三角形的条件的探索过程。
难点：在条件探索过程中“一个角是另一个角的2倍”的限制条件。
六、课前准备
学习小组（5-6人）
三角形纸片（50张），分类：两内角两倍关系的三角形（特别放入36°、72°、72°三角形，10°，20°，150°三角形），两内角三倍关系的三角形（108°、36°、36°三角形，25°、75°、80°三角形），直角三角形（45°，45°，90°三角形，30°，60°，90°三角形）以及除以上特征以外的三角形。