初高中数学衔接知识(二次函数)
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2012年 22日星期三 2012年2月22日星期三
y = ax 2 + bx + c (a ≠ 0)是初中函数的主要内 二次函数
也是高中学习的重要基础.在初中 容 .也是高中学习的重要基础 在初中 ， 大家已经知道 也是高中学习的重要基础 在初中， 二次函数在自变量取任意实数时的最值情况. 二次函数在自变量取任意实数时的最值情况 本讲我们将在这个基础上继续学习当自变量 本讲我们将在这个基础上继续学习当自变量 x在某 个范围内取值时，函数的最值问题. 个范围内取值时，函数期三
二、二次函数的三种表示方式
2 1．一般式： y = ax + bx + c ( a ≠ 0) . 一般式：
2 2．顶点式： y = a ( x − h) + k ( a ≠ 0) ，顶点坐标是 ( h, k ) ． 顶点式：
轴交点的横坐标． 3．交点式： y = a ( x − x1 )( x − x2 ) (a ≠ 0) ， 其中 x1 ， x 2 是二次函数图象与 x 轴交点的横坐标． 交点式：
2012年 22日星期三 2012年2月22日星期三
y = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) 的图像和性质 一、二次函数
b 4ac − b 2 , ) ，对称轴为 图象开口向上， （1）当 a > 0 时，函数 y = ax + bx + c 图象开口向上，顶点坐标为 ( − 2a 4a b 在对称轴的左侧， 的增大而减小；在对称轴的右侧， 的增大而增大； 直线 x = − . 在对称轴的左侧 ， y 随着 x 的增大而减小 ；在对称轴的右侧， y 随着 x 的增大而增大； 2a
2
4ac − b 2 b 当x =− 时，函数取最小值 y = ． 4a 2a
今后解决二次函数 问题时， 问题时 ， 要善于借助 函数图像， 函数图像 ， 利用数形 结合的思想方法解决 问题． 问题．
b 4ac − b 2 图象开口向下， , ) ， 对称轴为 （2 ）当 a < 0 时 ，函数 y = ax + bx + c 图象开口向下，顶点坐标为 ( − 2a 4a
2
直线 x = −
b . 在对称轴的左侧 ， y 随着 x 的增大而增大 ；在对称轴的右侧， y 随着 x 的增大而减小； 在对称轴的左侧， 的增大而增大；在对称轴的右侧， 的增大而减小； 2a
4ac − b 2 b 当x=− 时，函数取最大值 y = ． 4a 2a
2012年 22日星期三 2012年2月22日星期三
2012年 22日星期三 2012年2月22日星期三
2 2 ∴可设二次函数为−12aa(− 4a 2=+ 2a ， = a(x +1)2 − 2. y = x +1) −4 或 y 顶点的纵坐标为 4a 1 函数图象过点(1 0)， (1， 1 ∵函数图象过点(1，0)， ∴ a = ± ． 轴的距离为 ∵二次函数图象的顶点到 x 轴的距离2 2，∴ | −4a |= 2 ⇒ a = ± ． 为 2
y = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) 的图像和性质 一、二次函数
请您求 图象的开口方向、对称轴方程 顶点坐标、 方程、 【例 1】 请您求出 二次函数 y = −3 x 2 − 6 x + 1 的图象的开口方向、对称轴方程、顶点坐标、最大值 ，并指出当 取何值时， 的增大而增大（ 或减小） 并画出该函数的图象． （或最小值） 并指出当 x 取何值时， y 随 x 的增大而增大（ 或减小） 并画出该函数的图象． 或最小值） ， ，
1 2 3 1 x2 + x − 3 或 y = 1 x2 − x + 3 ． 3 1 2 ∴二次函数的表达式为 y = x + x − 或 y = x − x + ． ∴二次函数的表达式为 y = 2 2 2 2
说明：在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题． 说明：在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题． 通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下， 分别利用函数的一般式、顶点式、 通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下， 分别利用函数的一般式 、顶点式、 交点 式来求二次函数的表达式 式来求二次函数的表达式？
2012年 22日星期三 2012年2月22日星期三
二、二次函数的三种表示方式
【例 4】已知二次函数的图象过点(－ 3，0)，(1，0)，且顶点到 x轴的距离等于 2，求此二次函数的 已知二次函数的图象过点( 0)，(1，0)， 表达式． 表达式．
二次函数的图象过点( 0)，(1， 0)， 解：法一 ∵二次函数的图象过点( －3，0)，(1， 0)， 二次函数的图象过点( 0)，(1， 0)， 解：法二 ∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1， 0)， ∴对称轴为直线 x =−1． ∴可设二次函数为 y = a， + ∴顶点的纵坐标为 2 或－2ax2 + 2ax − 3a . 又顶点到 x 轴的距离为 2( x 3)( x − 1) (a ≠ 0) ， 即 y = ．
已知二次函数的图象过点( ，－22) (0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式． 22)， ，－8) 【例 2】已知二次函数的图象过点( －1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式．
并且图象经过点（ ，－1 ， 【例 3】 已知二次函数的最大值为 2，图像的顶点在直线 y = x+1上，并且图象经过点（3，－1） 求此二次函数的解析式． 二次函数的解析式．
解：∵ y =−3x2 − 6x +1 =−3( x +1)2 + 4. ∴函数图象的开口向下， 函数图象的开口向下， 对称轴方程 顶点坐标为( 4)， 对称轴方程 x =−1，顶点坐标为(－1，4)， 当 x =−1时， ymax = 4 .
在对称轴的左侧，y 随着 x 的增大而增大； 的增大而增大； 在对称轴的右侧， (如图 如图) 在对称轴的左侧 ， 在对称轴的右侧，y 随着 x 的增大而减小 (如图) .
y = ax 2 + bx + c (a ≠ 0)是初中函数的主要内 二次函数
也是高中学习的重要基础.在初中 容 .也是高中学习的重要基础 在初中 ， 大家已经知道 也是高中学习的重要基础 在初中， 二次函数在自变量取任意实数时的最值情况. 二次函数在自变量取任意实数时的最值情况 本讲我们将在这个基础上继续学习当自变量 本讲我们将在这个基础上继续学习当自变量 x在某 个范围内取值时，函数的最值问题. 个范围内取值时，函数期三
二、二次函数的三种表示方式
2 1．一般式： y = ax + bx + c ( a ≠ 0) . 一般式：
2 2．顶点式： y = a ( x − h) + k ( a ≠ 0) ，顶点坐标是 ( h, k ) ． 顶点式：
轴交点的横坐标． 3．交点式： y = a ( x − x1 )( x − x2 ) (a ≠ 0) ， 其中 x1 ， x 2 是二次函数图象与 x 轴交点的横坐标． 交点式：
2012年 22日星期三 2012年2月22日星期三
y = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) 的图像和性质 一、二次函数
b 4ac − b 2 , ) ，对称轴为 图象开口向上， （1）当 a > 0 时，函数 y = ax + bx + c 图象开口向上，顶点坐标为 ( − 2a 4a b 在对称轴的左侧， 的增大而减小；在对称轴的右侧， 的增大而增大； 直线 x = − . 在对称轴的左侧 ， y 随着 x 的增大而减小 ；在对称轴的右侧， y 随着 x 的增大而增大； 2a
2
4ac − b 2 b 当x =− 时，函数取最小值 y = ． 4a 2a
今后解决二次函数 问题时， 问题时 ， 要善于借助 函数图像， 函数图像 ， 利用数形 结合的思想方法解决 问题． 问题．
b 4ac − b 2 图象开口向下， , ) ， 对称轴为 （2 ）当 a < 0 时 ，函数 y = ax + bx + c 图象开口向下，顶点坐标为 ( − 2a 4a
2
直线 x = −
b . 在对称轴的左侧 ， y 随着 x 的增大而增大 ；在对称轴的右侧， y 随着 x 的增大而减小； 在对称轴的左侧， 的增大而增大；在对称轴的右侧， 的增大而减小； 2a
4ac − b 2 b 当x=− 时，函数取最大值 y = ． 4a 2a
2012年 22日星期三 2012年2月22日星期三
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2 2 ∴可设二次函数为−12aa(− 4a 2=+ 2a ， = a(x +1)2 − 2. y = x +1) −4 或 y 顶点的纵坐标为 4a 1 函数图象过点(1 0)， (1， 1 ∵函数图象过点(1，0)， ∴ a = ± ． 轴的距离为 ∵二次函数图象的顶点到 x 轴的距离2 2，∴ | −4a |= 2 ⇒ a = ± ． 为 2
y = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) 的图像和性质 一、二次函数
请您求 图象的开口方向、对称轴方程 顶点坐标、 方程、 【例 1】 请您求出 二次函数 y = −3 x 2 − 6 x + 1 的图象的开口方向、对称轴方程、顶点坐标、最大值 ，并指出当 取何值时， 的增大而增大（ 或减小） 并画出该函数的图象． （或最小值） 并指出当 x 取何值时， y 随 x 的增大而增大（ 或减小） 并画出该函数的图象． 或最小值） ， ，
1 2 3 1 x2 + x − 3 或 y = 1 x2 − x + 3 ． 3 1 2 ∴二次函数的表达式为 y = x + x − 或 y = x − x + ． ∴二次函数的表达式为 y = 2 2 2 2
说明：在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题． 说明：在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题． 通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下， 分别利用函数的一般式、顶点式、 通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下， 分别利用函数的一般式 、顶点式、 交点 式来求二次函数的表达式 式来求二次函数的表达式？
2012年 22日星期三 2012年2月22日星期三
二、二次函数的三种表示方式
【例 4】已知二次函数的图象过点(－ 3，0)，(1，0)，且顶点到 x轴的距离等于 2，求此二次函数的 已知二次函数的图象过点( 0)，(1，0)， 表达式． 表达式．
二次函数的图象过点( 0)，(1， 0)， 解：法一 ∵二次函数的图象过点( －3，0)，(1， 0)， 二次函数的图象过点( 0)，(1， 0)， 解：法二 ∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1， 0)， ∴对称轴为直线 x =−1． ∴可设二次函数为 y = a， + ∴顶点的纵坐标为 2 或－2ax2 + 2ax − 3a . 又顶点到 x 轴的距离为 2( x 3)( x − 1) (a ≠ 0) ， 即 y = ．
已知二次函数的图象过点( ，－22) (0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式． 22)， ，－8) 【例 2】已知二次函数的图象过点( －1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式．
并且图象经过点（ ，－1 ， 【例 3】 已知二次函数的最大值为 2，图像的顶点在直线 y = x+1上，并且图象经过点（3，－1） 求此二次函数的解析式． 二次函数的解析式．
解：∵ y =−3x2 − 6x +1 =−3( x +1)2 + 4. ∴函数图象的开口向下， 函数图象的开口向下， 对称轴方程 顶点坐标为( 4)， 对称轴方程 x =−1，顶点坐标为(－1，4)， 当 x =−1时， ymax = 4 .
在对称轴的左侧，y 随着 x 的增大而增大； 的增大而增大； 在对称轴的右侧， (如图 如图) 在对称轴的左侧 ， 在对称轴的右侧，y 随着 x 的增大而减小 (如图) .