高考大题---解三角形中有关最值问题的题型汇总

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高中数学。三角形中的最值、范围问题。练习题(含答案)

高中数学。

三角形中的最值、范围问题。

练习题(含答案)解三角形问题是高考高频考点。

主要利用三角形的内角和定理、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等知识解题。

在解题过程中，需要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”。

另外，要注意a+c。

ac。

a+c三者的关系。

高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题。

如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到。

而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式。

正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化。

其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征。

如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行。

例如：（1）sinA+sinB-sinAsinB=sinC。

可化为a+b-ab=c；（2）bcosC+ccosB=a 可化为sinBcosC+sinCcosB=sinA（恒等式）；（3) bcsinBsinC/2=asinA/2.余弦定理为a²=b²+c²-2bccosA。

变式为a=(b+c)-2bc(1+cosA)。

此公式在已知a,A的情况下，配合均值不等式可得到b+c和bc的最值。

在三角形中，任意两边之和大于第三边。

在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可。

在求最值时使用较少。

另外，在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系。

例如a>b则A>B，则sinA>sinB，cosAB 则cosAB则sinA>sinB仅在一个三角形内有效。

解三角形中处理不等关系的几种方法包括：（1）转变为一个变量的函数；（2）利用均值不等式求得最值。

例如，已知四边形面积为S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4的最大值为多少？答案】1) $\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$；2) $a+b+c$ 的最大值为 $2\sqrt{3}+\sqrt{6}$。

2023年新高考数学大一轮复习专题15 三角形中的范围与最值问题(原卷版)

专题15 三角形中的范围与最值问题【方法技巧与总结】1.在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点。

解决这类问题，通常有下列五种解题技巧:(1)利用基本不等式求范围或最值；(2)利用三角函数求范围或最值；(3)利用三角形中的不等关系求范围或最值；(4)根据三角形解的个数求范围或最值；(5)利用二次函数求范围或最值.要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题.这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大.2.解三角形中的范围与最值问题常见题型：(1)求角的最值；(2)求边和周长的最值及范围；(3)求面积的最值和范围.【题型归纳目录】题型一：周长问题题型二：面积问题题型三：长度问题题型四：转化为角范围问题题型五：倍角问题题型六：角平分线问题题型七：中线问题题型八：四心问题题型九：坐标法题型十：隐圆问题题型十一：两边夹问题题型十二：与正切有关的最值问题题型十三：最大角问题题型十四：费马点、布洛卡点、拿破仑三角形问题题型十五：托勒密定理及旋转相似题型十六：三角形中的平方问题题型十七：等面积法、张角定理【典例例题】题型一：周长问题例1．（2022·云南·昆明市第三中学高一期中）设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设sin cos()6a C c A π=-．(1)求A ；(2)从三个条件：①ABCb =a =ABC 周长的取值范围．例2．（2022·重庆·高一阶段练习）已知向量(3sin ,cos )a x x =，(1,1)b =，函数()f x a b =⋅． (1)求函数()f x 在[]0,π上的值域；(2)若ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且()2f A =，1a =，求ABC 的周长的取值范围．例3．（2022·浙江·高三专题练习）锐角ABC 的内切圆的圆心为O ，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .()222tan b c a A =+-，且ABC 的外接圆半径为1，则BOC 周长的取值范围为___________.例4．（2022·浙江省新昌中学模拟预测）已知函数21()cos sin 2f x x x x ωωω=-+，其中0>ω，若实数12,x x 满足()()122f x f x -=时，12x x -的最小值为2π． (1)求ω的值及()f x 的对称中心；(2)在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若()1,f A a =-=ABC 周长的取值范围．题型二：面积问题例5．（2022·贵州黔东南·高一期中）在面积为S 的△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()22sin sin 2sin sin sin C A S a b A B C ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭. (1)求C 的值；(2)若ABC 为锐角三角形，记2Sm a =，求m 的取值范围.例6．（2022·浙江·高二阶段练习）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,,cos 2a b c A A =． (1)求角A ；(2)若点D 满足34AD AC =，且2BC =，求BCD △面积的取值范围．例7．（2022·浙江·杭师大附中模拟预测）在ABC 中，D 的边BC 的中点，32,2cos cos2()2AD C A B =-+=． (1)求角C ；(2)求ABC 面积的取值范围．例8．（2022·江苏省天一中学高一期中）在ABC 中，角A ､B ､C 所对应的边分别为a ､b ､c ，若2cos 24a cb C ==-，.ABC 是锐角三角形，则ABC 面积的取值范围是___________.题型三：长度问题例9．（2022·辽宁·模拟预测）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()()sin sin sin 3sin c a b C A B a B +--+=．(1)求角C 的大小；(2)设1m ，若ABC 的外接圆半径为4，且2a mb +有最大值，求m 的取值范围．例10．（2022·河南·模拟预测（文））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．22cos 22C C =，4c =，a b +=．(1)求ABCS ；(2)求11a b-的取值范围．例11．（2022·江苏·高三专题练习）已知ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2A+C =B ，ABC的面积S . (1)求边c ；(2)若ABC 为锐角三角形，求a 的取值范围.例12．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测（文））已知()()cos ,cos ,3sin ,cos a x x b x x ==-，()f x a b =⋅，(1)求()f x 的单调递增区间；(2)设ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()12f A =，且a =22b c +的取值范围.例13．（2022·江苏南京·模拟预测）请在①向量,sin c a x B b c -⎛⎫=⎪+⎝⎭，,sin b c y A c a -⎛⎫= ⎪+⎝⎭，且x y ；②π2sin 3c A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭这两个条件中任选一个填入横线上并解答．在锐角三角形ABC 中，已知角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，． (1)求角C ；(2)若ABC 的面积为2a b +的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．例14．（2022·全国·模拟预测）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()()sin sin 2sin sin sin a A c C B b C B =-++．(1)求角A ；(2)若ABC 为锐角三角形，求)2b c a-的取值范围．例15．（2022·辽宁·抚顺市第二中学三模）在①()()222sin 2sin Bc a C b c a b-=+-，②23cos cos cos 24A C A C --=tan tan A B =+这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中，问题：在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，b =_______． (1)求角B ﹔ (2)求2a c -的范围．例16．（2022·浙江·模拟预测）在△ABC 中，角A B C ，，所对的边分别是a b c ，，，若2sin (2)tan c B a c C =+，sin sin b A C B =，则ac 的最小值为________．例17．（2022·安徽黄山·二模（文））在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，1a =，34A π=，若b c λ+有最大值，则实数λ的取值范围是_____．例18．（2022·浙江·高三专题练习）已知ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，角B 是钝角，则2()a c ab -的取值范围是________.例19．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若3sin c b A =，则2()a b ab+的取值范围是（）A ．[3,5]B ．[4,6]C ．[4,2D ．[4,2题型四：转化为角范围问题例20．（2022·河北秦皇岛·二模）在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-.(1)求A ；(2)求cos cos B C -的取值范围.例21．（2022·广东茂名·模拟预测）已知ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且()cos cos a b c B A -=-．(1)判断ABC 的形状并给出证明； (2)若a b ，求sin sin sin A B C ++的取值范围．例22．（2022·浙江温州·三模）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知1,a b ==. (1)若π4B ∠=，求角A 的大小； (2)求πcos cos 6A A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的取值范围.例23．（2021·河北·沧县中学高三阶段练习）已知函数()223sin 4sin cos cos f x x x x x =+-．(1)求函数()f x 的最大值；(2)已知在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且满足224B c af a π++⎛⎫=⎪⎝⎭，求sin sin sin A B C ⋅⋅的取值范围．例24．（2022·山西·模拟预测（理））已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2(cos )c a b C =-. (1)求B ；(2)若ABC 为锐角三角形，求22sin sin A C +的取值范围.例25．（2022·安徽省舒城中学模拟预测（理））锐角ABC 的内角,,A B C 所对的边是,,a b c ，且1,cos cos 1a b A B =-=，若,A B 变化时，2sin 2sin B A λ-存在最大值，则正数λ的取值范围是______例26．（2022·江西·南昌十中模拟预测（理））锐角ABC 中，π3A =，角A 的角平分线交BC 于点M ，2AM = ,,则BM CM ⋅ 的取值范围为_________.例27．（2022·辽宁·高一期中）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知tan a b A =，且B 为钝角，则B A -=______，sin sin A C +的取值范围是______．例28．（2021·云南师大附中高三阶段练习（理））如图所示，有一块三角形的空地，已知7,12ABC BC π∠==千米，AB ＝4千米，则∠ACB ＝________；现要在空地中修建一个三角形的绿化区域，其三个顶点为B ，D ，E ，其中D ，E 为AC 边上的点，若使6DBE π∠=，则BD ＋BE 最小值为________平方千米．例29．（2021·浙江·舟山中学高三阶段练习）如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，2AC CB ==P 是ABC 内一动点，120BPC ∠=︒，则ABC 的外接圆半径r =______，AP 的最小值为____________．例30．（2022·湖北·武汉二中模拟预测）在锐角ABC 中，22a b bc -=，则角B 的范围是________，556sin tan tan A B A-+的取值范围为__________.例31．（2022·新疆喀什·一模）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2A B =，且A 为锐角，则1cos c b A+的最小值为（）A．1 B ．3 C ．2 D ．4例32．（2021·北京·高三专题练习）在锐角ABC 中2A B =，B ，C 的对边长分别是b ，c ，则bb c+的取值范围是（） A ．11,43⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．23,34⎛⎫ ⎪⎝⎭例33．（2022•石家庄模拟）如图，平面四边形ABCD 的对角线的交点位于四边形的内部，1AB =，2BC =，AC CD =，AC CD ⊥，当ABC ∠变化时，对角线BD 的最大值为．题型五：倍角问题例34．（2021·安徽·芜湖一中高一期中）ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2C B =，则c b的取值范围为______.例35．（2021·全国·高三专题练习（文））已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2A B =，则82c bb a+的取值范围为______.例36．（2020·全国·高二单元测试）已知ABC ∆是锐角三角形，,,a b c 分别是,,A B C 的对边.若2A B =，则ab ba+的取值范围是_________.例37．（2020·陕西·无高一阶段练习）已知ABC ∆是锐角三角形，若2A B =，则ab的取值范围是_____.例38．（2019·四川·成都外国语学校高二开学考试（文））已知ABC ∆的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，若2A B =，则22c b b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的取值范围为______例39．（2021·江西鹰潭·一模（理））已知ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2A B =，则22ac b ab+的取值范围为__________．例40．（2022•芜湖模拟）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2A B =，则2()b ac b+最小值是．例41．（2022•道里区校级一模）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2A B =，则82c bb a+的取值范围为．题型六：角平分线问题例42．（2022·河北保定·高一阶段练习）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos cos 2cos b C c B a A +=.(1)求A 的大小；(2)若BC A 的角平分线交BC 于点D ，求AD 的最小值.例43．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .且满足（a +2b ）cos C +c cos A =0. (1)求角C 的大小；(2)设AB 边上的角平分线CD 长为2，求△ABC 的面积的最小值.题型七：中线问题例44．（2022·江苏省天一中学高一期中）已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足22222sin 2sin sin 2sin sin cos cos2A B C B C C C ---=-.(1)求角A ；(2)若AD 是ABC 的中线，且2AD =，求b c +的最大值.例45．（2022·山西运城·高一阶段练习）已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,cos sin a b c B a B =+.(1)若8,a ABC =的面积为D 为边BC 的中点，求中线AD 的长度； (2)若E 为边BC 上一点，且1,:2:AE BE EC c b ==，求2b c +的最小值.例46．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）锐角ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且tan tan .cos aB C c B=+ (1)求角C 的大小；(2)若边2c =，边AB 的中点为D ，求中线CD 长的取值范围．例47．（2022·山东滨州·二模）锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2sin cos C a A B =．(1)求A ；(2)若2b =，D 为AB 的中点，求CD 的取值范围．例48．（2022·安徽·合肥一中模拟预测（文））在①3(cos )sin b c A C-，②1tan (1)2tan a Cb B =+，③πsin cos()6c B b C =-这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足________． (1)求C ；(2)若ABC 的面积为D 为AC 的中点，求BD 的最小值．例49．（2022·山东师范大学附中模拟预测）在①2sin cos sin b C B c B =+，②cos cos 2B bC a c=-两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且________. (1)求角B ；(2)若a c +=D 是AC 的中点，求线段BD 的取值范围.例50．（多选题）（2022·甘肃定西·高一阶段练习）ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2a =，BC 边上的中线2AD =，则下列说法正确的有：（） A ．3AB AC ⋅= B ．2210b c +=C ．3cos 15A ≤<D ．∠BAD 的最大值为60°题型八：四心问题例51．（2022·山东泰安·模拟预测）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点O 是ABC 的外心，cos 3||||AO AB AO AC a C AB AC π⋅⋅⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭．(1)求角A ；(2)若ABC 外接圆的周长为，求ABC 周长的取值范围，例52．（2021·河南南阳·高三期末（理））在 ABC sin sin cos sin B CC C A++=.(1)求A ；(2)若 ABC 的内切圆半径2r =，求+AB AC 的最小值.例53．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知O 是三角形ABC 的外心，若2||||2()||||AC AB AB AO AC AO m AO AB AC ⋅+⋅=，且2sin sin B C +=m 的最大值为（） A ．34B ．35C ．23D ．12例54．（2022·全国·高三专题练习）已知O 是三角形ABC 的外心，若()22AC ABAB AO AC AO m AO AB AC⋅+⋅=，且sin sin B C +=，则实数m 的最大值为（） A ．3 B ．35C ．75D ．32例55．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a （B 4π+），c =5且O 为△ABC 的外心，G 为△ABC 的重心，则OG 的最小值为（）A 1BC 1D例56．（2022·全国·高三专题练习）已知ABC 的周长为9，若cos 2sin 22A B C-=，则ABC 的内切圆半径的最大值为（）A ．12 B ．1 C ．2 D例57．（2022·全国·高三专题练习）在钝角ABC 中，,,a b c 分别是ABC 的内角,,A B C 所对的边，点G 是ABC 的重心，若AG BG ⊥，则cos C 的取值范围是（）A ．⎛ ⎝⎭B ．45⎡⎢⎣⎭C ．⎫⎪⎪⎝⎭D ．4,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭例58．（2022·广东深圳·高三阶段练习）在ABC 中，7cos 25A =，ABC 的内切圆的面积为16π，则边BC 长度的最小值为（）A ．16B ．24C ．25D ．36题型九：坐标法例59．（2022·全国·模拟预测（文））在Rt ABC △中，2BAC π∠=，2AB AC ==，点M 在ABC 内部，3cos 5AMC ∠=-，则22MB MA -的最小值为______．例60．（2022•南通一模）在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆224x y +=上两点，点(1,1)A ，且AB AC ⊥，则线段BC 的长的取值范围为．例61．M 为等边ABC ∆内一动点，且120CMB ∠=︒，则AMMC的最小值为．例62．（2022•江苏模拟）已知ABC ∆是边长为3的等边三角形，点P 是以A 为圆心的单位圆上一动点，点Q 满足2133AQ AP AC =+，则||BQ 的最小值是．例63．（2022秋•新华区校级期末）“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小于120︒时，“费马点”与三个顶点的连线正好三等分“费马点”所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为120︒，根据以上性质，函数222222()(1)(1)(2)f x x y x y x y=-++++++-的最小值为()A．2B．3C．23-D．23+例64．（2022•唐山二模）在等边ABC∆中，M为ABC∆内一动点，120BMC∠=︒，则MAMC的最小值是()A．1B．34C．32D．33例65．（2022春•仁寿县校级期末）锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2225a b c +=，则cos C 的取值范围是( ) A ．1(2，6)3B ．1(2，1)C ．4[5，6)3D ．4[5，1)例66．（2022春•博望区校级月考）在等腰ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中B 为钝角，3sin cos2b a A b A -=．点D 与点B 在直线AC 的两侧，且33CD AD ==，则BCD ∆的面积的最大值为( ) A ．334B ．43C ．534D ．3例67．（2022•淮安模拟）拿破仑定理是法国著名的军事家拿破仑⋅波拿马最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三个角形的顶点”．在ABC ∆中，120A ∠=︒，以AB ，BC ，AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为1O ，2O ，3O ，若△123O O O 的面积为3，则ABC ∆的周长的取值范围为．题型十：隐圆问题例68．（2022•盐城二模）若点G 为ABC ∆的重心，且AG BG ⊥，则sin C 的最大值为．例69．（2022•江苏三模）在平面四边形ABCD 中，90BAD ∠=︒，2AB =，1AD =，若43AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅，则12CB CD +的最小值为．例70．（2022•涪城区校级开学）若ABC ∆满足条件4AB =，2AC BC =，则ABC ∆面积的最大值为．例71．已知A ，B 是圆22:10O x y +=上的动点，42AB =，P 是圆22(6)(8)1C x y -+-=上的动点，则|3|PA PB +的取值范围是．例72．（2022•合肥模拟）锐角ABC ∆中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 所对的边，点G 为ABC ∆的重心，若AG BG ⊥，则cos C 的取值范围为( ) A ．3[2，5]3B ．4[5，6)3C ．6[5，)+∞D ．5[6，5]3例73．（2022•江汉区校级模拟）ABC ∆中3AB AC ==，ABC ∆所在平面内存在点P 使得22233PB PC PA +==，则ABC ∆面积最大值为( )A ．2233B ．52316C ．354D ．33516例74．（2022•上城区校级模拟）设a ，b 为单位向量，向量c 满足|2|||c a a b +=，则||c b -的最大值为() A ．2 B ．1 C ．3 D ．2例75．（2022春•瑶海区月考）在平面四边形ABCD 中，连接对角线BD ，已知9CD =，16BD =，90BDC ∠=︒，4sin 5A =，则对角线AC 的最大值为( ) A ．27 B ．16 C ．10 D ．25例76．已知圆22:5O x y +=，A ，B 为圆O 上的两个动点，且||2AB =，M 为弦AB 的中点，(22C ，)a ，(22D ，2)a +．当A ，B 在圆O 上运动时，始终有CMD ∠为锐角，则实数a 的取值范围为( ) A ．(,2)-∞- B ．(-∞，2)(0-⋃，)+∞ C ．(2,)-+∞ D ．(-∞，0)(2⋃，)+∞题型十一：两边夹问题例77．（2022•合肥一模）设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边长a ，b ，c 成等比数列，1cos()cos 2A CB --=，延长BC 至D ，若2BD =，则ACD ∆面积的最大值为．例78．（2022•静安区二模）设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ．已知a ，b ，c 依次成等比数列，且1cos()cos 2A CB --=，延长边BC 到D ，若4BD =，则ACD ∆面积的最大值为．例79．（2022•常德一模）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2c ab =，且3cos()cos 2A B C -+=．（Ⅰ）求角C ；（Ⅰ）延长BC 至D ，使得4BD =，求ACD ∆面积的最大值．例80．在ABC ∆中，若cos cos 2sin sin A B B A +=，且ABC ∆的周长为12．（1）求证：ABC ∆为直角三角形；（2）求ABC ∆面积的最大值．题型十二：与正切有关的最值问题例81．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin sin 2B C b a B +=．求： (1)A ；(2)a c b-的取值范围．例82．（2022·全国·模拟预测）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若220c bc a +-=，则()2114sin cos tan tan C C C A ++-的取值范围为（）A ．()B ．()8,9C ．4,9⎫⎪⎪⎝⎭D ．()4,9 例83．（2022·山西吕梁·二模（文））锐角ABC 是单位圆的内接三角形，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22224cos 2cos +-=-a b c a A ac B ，则ac b 的取值范围是（）A ．B ．C ．⎝D ．⎝例84．（2022·全国·高三专题练习）在锐角三角形ABC 中，角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ，且满足22b a ac -=，则11tan tan A B-的取值范围为___________.例85．（2022·全国·高三专题练习）在锐角ABC 中，角、、A B C 所对的边分别为,,a b c ，若22a c bc -=，则113sin tan tan A C A-+的取值范围为（）A ．)+∞B ．C ．D ．例86．（2022·全国·高三专题练习）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC 的面积，且()222S a b c =--，则bc 的取值范围为（） A ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．23,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．34,43⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．35,53⎛⎫ ⎪⎝⎭题型十三：最大角问题例87．（2022春•海淀区校级期中）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M ，N 是锐角AQB ∠的一边QA 上的两点，试在QB 边上找一点P ，使得MPN ∠最大”．如图，其结论是：点P 为过M ，N 两点且和射线QB 相切的圆的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy 中，给定两点(1,2)M -，(1,4)N ，点P 在x 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标是( )A．7-B．1或7-C．2或7-D．1例88．（2022秋•青羊区校级期中）（理科）E、F是椭圆22142x y+=的左、右焦点，l是椭圆的一条准线，点P在l上，EPF∠的最大值是()A．60︒B．30︒C．90︒D．45︒例89．（2022春•辽宁期末）设ABC∆的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且3 cos cos5a Bb A c-=，则tan()A B-的最大值为()A．35B．13C．38D．34例90．（2022•滨州二模）最大视角问题是1471年德国数学家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题一般称为“米勒问题”．如图，树顶A离地面a米，树上另一点B离地面b米，在离地面()c c b<米的C处看此树，离此树的水平距离为米时看A，B的视角最大．例91．如图，足球门框的长AB 为2(1 3.66)dw dw m =，设足球为一点P ，足球与A ，B 连线所成的角为(090)αα︒<<︒．（1）若队员射门训练时，射门角度30α=︒，求足球所在弧线的方程；（2）已知点D 到直线AB 的距离为3dw ，到直线AB 的垂直平分线的距离为2dw ，若教练员要求队员，当足球运至距离点D 为2dw 处的一点时射门，问射门角度α最大可为多少？题型十四：费马点、布洛卡点、拿破仑三角形问题例92．（2022秋•安徽月考）17世纪法国数学家费马曾提出这样一个问题：怎样在一个三角形中求一点，使它到每个顶点的距离之和最小？现已证明：在ABC ∆中，若三个内角均小于120︒，当点P 满足120APB APC BPC ∠=∠=∠=︒时，则点P 到三角形三个顶点的距离之和最小，点P 被人们称为费马点．根据以上性质，已知a 为平面内任意一个向量，b 和c 是平面内两个互相垂直的单位向量，则||||||a b a b a c -+++-的最小值是( )A ．23-B ．23+C ．31-D ．31+例93．（2022•深圳模拟）著名的费马问题是法国数学家皮埃尔⋅德费马(16011665)-于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当ABC ∆的三个内角均小于120︒时，则使得120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒的点P 即为费马点．已知点P 为ABC ∆的费马点，且AC BC ⊥，若||||||PA PB PC λ+=，则实数λ的最小值为．例94．（2022秋•全国月考）费马点是指到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小于120︒时，费马点在三角形内，且费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点对三角形三边的张角相等，均为120︒．已知ABC ∆的三个内角均小于120︒，P 为ABC ∆的费马点，且3PA PB PC ++=，则ABC ∆面积的最大值为．例95．（2022春•湖北期末）拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑⋅波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点．”已知ABC ∆内接于半径为6的圆，以BC ，AC ，AB 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为A '，B '，C '．若30ACB ∠=︒，则△A B C '''的面积最大值为．例96．（2022春•润州区校级期中）拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑⋅波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点．”已知ABC ∆内接于单位圆，以BC ，AC ，AB 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为A '，B '，C '．若90ACB ∠=︒，则△A B C '''的面积最大值为．题型十五：托勒密定理及旋转相似例97．（2022春•五华区月考）数学家托勒密从公元127年到151年在亚历山大城从事天文观测，在编制三角函数表过程中发现了很多重要的定理和结论，如图便是托勒密推导倍角公式“2cos212sin αα=-”所用的几何图形．已知点B ，C 在以线段AC 为直径的圆上，D 为弧BC 的中点，点E 在线段AC 上且AE AB =，点F 为EC 的中点．设2AC r =，DAC α∠=，那么下列结论：①2cos DC r α=，②2cos2AB r α=，③(1cos2)FC r α=-，④2(2)DC r r AB =-其中正确的是( )A．②③B．②④C．①③④D．②③④例98．（2022春•扬州期中）托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和．其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．已知四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC、BD是其两条对角线，42BD=，且ACD∆为正三角形，则四边形ABCD的面积为()A．8B．16C．83D．163例99．（2021秋•宝山区校级月考）凸四边形就是没有角度数大于180︒的四边形，把四边形任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形，如图，在凸四边形ABCD中，AB=，31BC=，AC CD∠变化时，对角线BD的最大值为()⊥，AC CD=，当ABCA ．3B ．4C ．61+D ．723+例100．（2022•冀州市校级模拟）在ABC ∆中，2BC =，1AC =，以AB 为边作等腰直角三角形(ABD B 为直角顶点，C 、D 两点在直线AB 的两侧）．当C ∠变化时，线段CD 长的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4例101．（2022•日照一模）如图所示，在平面四边形ABCD 中，1AB =，2BC =，ACD ∆为正三角形，则BCD∆面积的最大值为( )A．232+B．312+C．322+D．31+题型十六：三角形中的平方问题例102．（2021秋•河南期末）在ABC∆中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，23Bπ=，23b=，2223b c a bc+-=．若BAC∠的平分线与BC交于点E，则(AE=) A．6B．7C．22D．3例103．（2022•洛阳二模）已知ABC ∆的三边分别为a ，b ，c ，若满足22228a b c ++=，则ABC ∆面积的最大值为( )A ．55B ．255C ．355D ．53例104．（2022春•张家界期末）秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”如果把以上这段文字写成公式就是2222221[()]42a b c S a b +-=-，其中a ，b ，c 是ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边，若sin 2sin cos B A C =且2b ，2，2c 成等差数列，则ABC ∆面积S 的最大值为( )A ．55 B ．235 C ．1 D ．255例105．（2022•晋城一模）在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC ∆的面积为S ，若222sin()S A C b c +=-，则1tan 2tan()C B C +-的最小值为( ) A ．2B ．2C ．1D ．22例106．（2022•秦淮区模拟）在锐角三角形ABC 中，已知2224sin sin 4sin A B C +=，则111tan tan tan A B C ++的最小值为．例107．（2022•浙江三模）在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若已知224sin()6b c bc A π+=+，则tan tan tan A B C ++的最小值是．例108．（2022春•鼓楼区校级期中）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2233cos 0a b ab C -+=，则cos cos ()A B c a b +的最小值为．例109．（2022·全国·高三专题练习）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC 的面积，且()222S a b c =--，则22224121741213b bc c b bc c -+-+的取值范围为（）． A ．973,537⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．2819,1815⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．732,37⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．281,2181⎛⎤ ⎥⎝⎦例110．（2022·安徽·南陵中学模拟预测（理））在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足222533a b c +=，则sin A 的取值范围是___________.题型十七：等面积法、张角定理例111．（2022秋•厦门校级期中）给定平面上四点A ，B ，C ，D ，满足2AB =，4AC =，6AD =，4AB AC =，则DBC ∆面积的最大值为．例112．（2022春•奎屯市校级期末）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为( )A ．8B ．9C ．10D ．7例113．（2022•云南一模）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 对的边分别为a ，b ，c ，23ABC π∠=，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，2BD =，则ABC ∆的面积的最小值为( ) A ．33B ．43C ．53D ．63例114．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则23a c +的最小值为( )A ．25B ．526+C ．5D ．342+。

专题02 解三角形中的最值问题(原卷版)

专题02 解三角形中的最值问题常见考点考点一面积最值问题典例1．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且cos (2)cos 0c B b a C +-=. （1）求角C 的大小；（2）若2c =，求△ABC 的面积S 的最大值.变式1-1．ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且22(sin sin )sin sin sin .A C B A C -=- （1）求角B（2）当b =3时，求ABC 的面积的最大值．变式1-2．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin()sin sin A B C B -=-. （1）求A ；（2）若2a =，求ABC 面积的最大值.变式1-3．△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知a =22()a b c bc --=，（1）若4B π=，求边长b 的值；（2）求△ABC 的面积S 的最大值．考点二周长最值问题典例2．在锐角ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c sin cos A a B a =+.（1）求角B 的值；（2）若2b =，求ABC 周长的取值范围.变式2-1．已知a ，b ，c 分别是ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，()cos 2cos 0b C a c B --=. （1）求角B ；（2）若4AC =，求ABC 的周长的最大值.变式2-2．在锐角ABC 中，向量(,3)m a b =与(cos ,sin )n A B =平行.（1）求角A ；（2）若a =2，求ABC 周长的取值范围.变式2-3．在ABC 中，已知内角A ､B ､C 的对边分别是a ､b ､c ，且2cos 2c B a b =+.（1）求角C 的大小；（2）若c =，求ABC 周长的最大值.考点三角的最值问题典例3．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(),m c b =，3,sin n B ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，m n ∥.（1）求C ；（2）求sin sin A B +的取值范围.变式3-1．在ABC 中，A ∠､B ､C ∠所对的边分别为a ､b ､c ，且222a b c +-=ABC （1）求角C 的大小；（2cos 4A B π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的最大值，并求取得最大值时角A ､B 的大小.变式3-2．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，面积cos S C =．（1）求角C 的大小；（2）求2sincos cos 223A A H B π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的最大值，及取得最大值时角A 的值．变式3-3．在锐角ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且sin sin 2sin sin 6b B a A b A c C π⎡⎤⎛⎫-=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．（1）求角A 的大小；（2）求sin cos C B ⋅的取值范围．考点四边的最值问题典例4．已知在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin cos 20B b A b +-=. （1）求角A ；（2）若a =b c -的取值范围.变式4-1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22cos a c b C -=．（1）求角B ；（2）若b =12a +c 的最大值．变式4-2．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()sin sin sin a A b a B c C +-=．（1）求角C ；（2）求a b c +的取值范围．变式4-3．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin sin A C a b A B c--=+．（1）求角B 的大小；（2）设2m a c =-，若b =A ，C 都为锐角，求m 的取值范围．巩固练习练习一面积最值问题1．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2B B =.（1）求B ；（2）若ABC 为锐角三角形，且1c =，求ABC 面积的取值范围.2．已知ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足()1sin cos 22b C abc B ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭. （1）求b 的值；（2）若3B π=，求ABC 面积的最大值.3．已知△ABC 的内角A 、B 、C 满足sin sin sin sin sin sin sin sin A B C B C A B C -+=+-. （1）求角A ；（2）若△ABC 的外接圆半径为1，求△ABC 的面积S 的最大值.4．在ABC 中，A ∠、B 、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，其中边c 最长，并且22sin sin 1A B +=．（1）求证：ABC 是直角三角形；（2）当1c =时，求ABC 面积的最大值．练习二周长最值问题5．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin sin sin sin A C b B C a c-=-+. （1）求角A 的大小；（2）若2a =，求ABC 周长的最大值.6()sin cos 1C c A =+；②()()()sin sin sin a b A B c b C -+=-；③)2224ABC S b c a +-△中任选一个，补充在下面问题的横线上，并作答．问题：在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且______．（1）求角A 的大小；（2）若2a =，求ABC 的周长l 的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．7．在ABC 中，内角A B C ､､所对边分别为a b c ､､，已知()sin sin sin sin .c C b B a A B -=- （1）求角C 的值；（2）若3c =，求ABC 周长的最大值.8．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为()1sin sin sin 2c a A b B c C +-．（1）求角C 的大小；（2）若c =ABC 周长的最大值．练习三角的最值问题9．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足()2sin cos 2sin b A B c b B =- （1）求角A 的大小；（2）求cos cos B C +的取值范围.10．已知向量(,)m a c b =+，(,)n a c b a =--，且0m m ⋅=，其中A 、B 、C 是ABC 的内角，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边．（1）求角C 的大小；（2）求sin sin A B +的最大值．11．在ABC 中，已知角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b ，c 为方程2312100x x -+=的两个根，a =（1）求三角形ABC 的面积；（2）求sin sin B C +的值.12．在ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且sin sin sin sin a A b C c C b B +=+. （1）求角A 的大小；（2）求sin sin B C +的取值范围.练习四边的最值问题13．已知ABC 的内角,,A B C 对边分别为,,a b c ，且()22sin sin sin sin sin A C B A C -=-. （1）求角B 的大小；（2）若ABC 为锐角三角形，且b =c a -的取值范围.14．在锐角ABC 中，角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，()222sin cos a b c B B -+.（1）求B ；（2）若1b =，求2c a -的取值范围.15．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a =cos (cos )+C B B cos 0A =.（1）求角A 的大小；（2）求2b c +的取值范围.16．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin B ＋sin （A -C ）＝cos C ．（1）求角A 的大小；（2）当c =时，求a 2＋b 2的取值范围．。

高考100题解三角形：专题6 三角形中的最值问题

【答案】 3
【解析】由 a 2 ，且 2 b(sin A sin B) (c b) sin C ，故 (a b)(sinA sinB) (c b) sinC ，又根据正弦
定理，得 (a b)(a b) (c b)c ，化简得， b2 c2 a2 bc ，故 cosA b2 c2 a2 1 ，所以 A 600 ， 2 bc 2
∵ 0 A ，∴ 0 sin A
2
，
4
2
因此 2 2(sin A 1 )2 9 9 ，由此可知 sin A sin C 的取值范围是 ( 2 , 9] .
2
4 88
28
【例 3 】【 2014 重庆高考理第 10 题】已知 ABC 的内角 A, B, C 满足 sin 2 A sin( A B C)
【方法总结】对于三角形中边的代数式的最值问题，若是三角形中最大（小）边长问题，先根据角判定三边的
大小关系，再用正弦定理或余弦定理求解；若是关于两边以上的齐次代数式，若能求得两边的和或积为常数，
可以利用基本不等式求最值，也可以利用正弦定理化为对应角的三角函数式的最值，常用题中条件和三角形内
角和定理化为一个角的三角式函数最值问题，再利用三角公式化为一个角的三角函数在某个范围上的最值问题，
IV．题型攻略·深度挖掘
【考试方向】
这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题或解答题的形式出现，一般中档题，考查综合运用正余弦定理
及相关知识与方法解综合问题的能力.
【技能方法】
1.与平面向量结合的三角形问题，常利用平面向量的知识将向量条件或问题化为三角形的边角条件或问题，再
利用正余弦定理化为纯边或纯角条件或问题求解，如在 ABC 中，由

专题24-解三角形中的最值、范围问题(解析版)

专题24 解三角形中的最值、范围问题解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意22,,a c ac a c ++三者的关系. 高考中经常将三角变换及解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式. 1、正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===，其中R 为ABC 外接圆的半径正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化.其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征.如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行学/科-+网例如：（1）222222sin sin sin sin sin A B A B C a b ab c +-=⇔+-=（2）cos cos sin cos sin cos sin b C c B a B C C B A +=⇒+=（恒等式）（3）22sin sin sin bc B Ca A= 2、余弦定理：2222cos a b c bc A =+-变式：()()2221cos a b c bc A =+-+ 此公式在已知,a A 的情况下，配合均值不等式可得到b c +和bc 的最值 4、三角形中的不等关系（1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可.由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少（2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系：其中由cos cos>⇔>仅在A B A B>⇔<利用的是余弦函数单调性，而sin sinA B A B一个三角形内有效.5、解三角形中处理不等关系的几种方法（1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域（最值）（2）利用均值不等式求得最值【经典例题】例1.【2018届百校联盟TOP20高三四月联考全国一卷】已知四边形中，，设及面积分别为，则的最大值为_____.【答案】【解析】分析：利用余弦定理推，求出的表达式，利用二次函数以及余弦函数的值的范围，求的最大值即可．点睛：求解三角函数的最值(或值域)时一定要注意自变量的取值范围，由于三角函数的周期性，正弦函数、余弦函数的最大值和最小值可能不在自变量区间的端点处取得．例2.【2018届普通高等学校招生全国统一考试高三下学期第二次调研】在中，角A,B,C所对的边分别为，则实数a 的取值范围是____________.【答案】.【解析】由，得，所以，则由余弦定理，得，解得，又，所以的范围是.例3.【2018届浙江省杭州市高三第二次检测】在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．若对任意λ∈R，不等式恒成立，则的最大值为_____．【答案】2例4.【衡水金卷信息卷三】已知的三边分别为，，，所对的角分别为，，，且满足，且的外接圆的面积为，则的最大值的取值范围为__________．【答案】【解析】由的三边分别为，，可得：可知：，例5.【2018届湖南省株洲市高三检测（二）】已知中，角所对的边分别是,且.(1)求角的大小；(2)设向量，边长，当取最大值时，求边的长.【答案】(1)(2).【解析】分析：（1）由题意，根据正弦定理可得，再由余弦定理可得，由此可求角的大小；（2）因为由此可求当取最大值时，求边的长.（2）因为所以当时，取最大值，此时，由正弦定理得，例6.【2018届四川省攀枝花市高三第三次（4月）统考】已知的内角的对边分别为其面积为,且.学/科/*网（Ⅰ）求角；（II ）若,当有且只有一解时,求实数的范围及的最大值. 【答案】(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】分析：（Ⅰ）利用余弦定理和三角形的面积公式化简得到,再解这个三角方程即得A 的值. （II ）先根据有且只有一解利用正弦定理和三角函数的图像得到m 的取值范围，再写出S 的函数表达式求其最大值. 详解：(Ⅰ)由己知(Ⅱ)由己知，当有且只有一解时，或,所以；当时，为直角三角形，当时，由正弦定理，所以，当时，综上所述，.例7.【2018届四川省资阳市高三4月（三诊）】在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()()sin sin a b A B +- ()sin sin c C B =-．（1）求A ．（2）若4a =，求22b c +的取值范围．【答案】（1）3A π=；（2）(]16,32.221616b c bc +=+>，进而可得结果.试题解析：（1）根据正弦定理得()()a b a b +- ()c c b =-，即222a b c bc -=-，则222122b c a bc +-=，即1cos 2A =，由于0πA <<，【方法点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于中档题.在解及三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 除了直接利用两定理求边和角以外，恒等变形过程中，一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.例8．【2018届甘肃省张掖市高三三诊】已知3cos ,cos 44x x m ⎛⎫=⎪⎝⎭，sin ,cos 44x x n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设函数()f x m n =⋅．（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）设ABC ∆的内角A ， B ， C 所对的边分别为a ， b ， c ，且a ， b ， c 成等比数列，求()f B 的取值范围．【答案】(1) 424,433k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦， k Z ∈．(2) ⎛ ⎝⎦. 【解析】试题分析：（1）由题()13cos ,cos sin ,cos sin 4444262x x x x x f x m n π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，根据正弦函数的性质222262x k k πππππ-≤+≤+可求其单调增区间；（2）由题2b ac =可知2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--==≥=，（当且仅当a c =时取等号），所以03B π<≤， 6263B πππ<+≤，由此可求 ()f B 的取值范围．（当且仅当a c =时取等号），所以03B π<≤， 6263B πππ<+≤， ()311f B +<≤，综上， ()f B 的取值范围为311,2⎛⎤⎥⎝⎦．例9.【2018届吉林省吉林市高三第三次调研】锐角ABC ∆中， ,,A B C 对边为,,a b c ， ()()()222sin 3cos b a c B C ac A C --+=+（1）求A 的大小；（2）求代数式b c a+的取值范围.【答案】（1）3π（2）32b ca+≤ 【解析】试题分析：（1）由()()()222sin 3cos b a c B C ac A C --+=+及余弦定理的变形可得2cos sin 3cos B A B -=，因为cos 0B ≠，故得3sin 2A =，从而可得锐角ABC∆中3A π=．（2）利用正弦定理将所求变形为2sin sin 32sin sin 6B B b c B a A ππ⎛⎫++ ⎪+⎛⎫⎝⎭==+ ⎪⎝⎭，然后根据6B π+的取值范围求出代数式b c a+的取值范围即可．试题解析：（1）∵2222cos b a c ac B --=-， ()()()222sin 3cos b a c B C ac A C --+=+， ∵ABC ∆为锐角三角形，且3A π= ∴02{02B C ππ<<<<，即02{ 2032B B πππ<<<-<, 解得62B ππ<<，∴2,363B πππ<+<sin 16B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭．2b c a +<≤．故代数式b c a +的取值范围2⎤⎦．点睛：（1）求b c a+的取值范围时，可根据正弦定理将问题转化为形如()sin y A x ωϕ=+的函数的取值范围的问题解决，这是在解三角形问题中常用的一种方法，但在解题中要注意确定角x ωϕ+的范围．（2）解答本题时要注意“锐角三角形”这一条件的运用，根据此条件可的求得6B π+的范围，然后结合函数的图象可得sin 6B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的范围，以达到求解的目的．例10.【2018届衡水金卷信息卷（一）】已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若向量()()2,cos ,,cos m b c B n a A =-=-，且//m n .（1）求角A 的值；（2）已知ABC ∆的外接圆半径为3，求ABC ∆周长的取值范围.【答案】(1) 3A π= (2) (]4,6【解析】试题分析：（1）由//m n ，得62)0c cosA acosB -+=（，利用正弦定理统一到角上易得1cos 2A =；（2）根据题意，得2sin 2a R A ==，由余弦定理，得()223a b c bc =+-，结合均值不等式可得()216b c +≤，所以b c +的最大值为4，又2b c a +>=，从而得到ABC ∆周长的取值范围.得1cos 2A =.又()0,A π∈，所以3A π=.（2）根据题意，得4332sin 232a R A ==⨯=.由余弦定理，得()22222cos 3a b c bc A b c bc =+-=+-，即()223432b c bc b c +⎛⎫=+-≤ ⎪⎝⎭，整理得()216b c +≤，当且仅当2b c ==时，取等号，所以b c +的最大值为4.又2b c a +>=，所以24b c <+≤，所以46a b c <++≤. 所以ABC ∆的周长的取值范围为(]4,6.【精选精练】1.【2018届东莞市高三第二次考试】在中，若，则的取值范围为( ) A.B.C.D. 【答案】D【解析】因为，所以，即，即，2．【2018届湖南省衡阳市高三二模】在中，已知为的面积)，若,则的取值范围是( )A. B.C.D. 【答案】C【解析】，，，，又，，，，故选C.3．【2018届四川省绵阳市高三三诊】四边形ABCD 中， 2AB =，1BC CD DA ===，设ABD ∆、BCD ∆的面积分别为1S 、2S ，则当2212S S +取最大值时， BD =__________．【答案】102【点睛】本小题主要考查三角形的面积公式的应用,考查同角三角函数关系,考查利用余弦定理解三角形,考查二次函数最值的求法.首先根据题目所求,利用三角形面积公式,写出面积的表达式,利用同角三角函数关系转化为余弦值,利用余弦定理化简,再利用配方法求得面积的最值,并求得取得最值时BD 的值.4．【2018届广东省肇庆市高三第三次模拟】已知的角对边分别为，若，且的面积为，则的最小值为________.【答案】5．【2018届辽宁省辽南协作校高三下学期一模】设的内角所对的边分别为且+,则的范围是__________．【答案】【解析】由+得,所以，即，再由余弦定理得，即，解得，又，所以的范围是.点睛：在解三角形问题中，一般需要利用余弦定理结合均值不等式，来求两边和的取值范围或者是三角形的面积的最值，只需运用余弦定理，并变形为两边和及两边积的等式，在利用均值不等式转化为关于两边和或两边积的不等式，解不等式即可求出范围.6．【2018届四川省攀枝花市高三第三次（4月）统考】已知锐角ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、,且2cos 2,2a C c b a +==,则ABC ∆的最大值为__________．即4bc ≤，所以ABC ∆的最大值为max 11sin 422S bc A ==⨯=．点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.7．【2018届宁夏石嘴山市高三4月适应性测试（一模）】已知,,a b c 分别为ABC ∆内角,,A B C 的对边，且sin cos b A B =.（1）求角B ；（2）若b =，求ABC ∆面积的最大值.【答案】（1）3B π=；（2）.【解析】试题分析：（1）由正弦定理边化角得到tan B =，从而得解；（2）由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-， 2212a c ac =+-结合222a c ac +≥即可得最值. 试题解析：（1）∵sin cos b A B =，∴由正弦定理可得sin sin cos B A A B =，即ABC面积的最大值为33. 8．【2018届四川省攀枝花市高三第三次（4月）统考】已知的内角的对边分别为其面积为,且.（Ⅰ）求角；（II）若,当有且只有一解时,求实数的范围及的最大值.【答案】(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】分析：（Ⅰ）利用余弦定理和三角形的面积公式化简得到,再解这个三角方程即得A的值. （II）先根据有且只有一解利用正弦定理和三角函数的图像得到m的取值范围，再写出S的函数表达式求其最大值.详解：(Ⅰ)由己知由余弦定理得，所以，即,，所以.由正弦定理，，所以，当时，综上所述，.点睛：本题在转化有且只有一解时,容易漏掉m=2这一种情况.此时要通过正弦定理和正弦函数的图像分析，不能死记硬背.先由正弦定理得再画正弦函数的图像得到或.9．【衡水金卷信息卷（二）】在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin 3cos a C c A =.（1）求角A 的大小；（2）若2b =，且43B ππ≤≤，求边c 的取值范围.【答案】(1) 3A π=；(2) 31⎡⎤⎣⎦. 在ABC ∆中，由正弦定理，得sin sin b cB C=，∴22sin 2sin 3cos 3311sin sin B C B c B B π⎛⎫- ⎪⎝⎭===+=，∵43B ππ≤≤，∴1tan 3B ≤≤231c ≤≤，即c 的取值范围为31⎡⎤⎣⎦.10．【2018届辽宁省沈阳市东北育才学校高三三模】已知ABC ∆三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ， ABC ∆的面积S 满足2223a b c =+-．（1）求角C 的值；（2）求()cos2cos A A B +-的取值范围．【答案】（1）23π；（2）(3tan 3C =-，又0C π<<， 23C π∴=.（2）()33cos2cos =cos2cos 2cos2322A A B A A A A π⎛⎫+-+-=+ ⎪⎝⎭=3sin 23A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭11．【2018届江苏省姜堰、溧阳、前黄中学高三4月联考】在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin A C A C =.（1）求b 的值；（2）若4B π=， S 为ABC ∆的面积，求82cos cos S A C +的取值范围.【答案】(1) 4b =(2) (【解析】试题分析：（1）利用正余弦定理， sin cos 3cos sin A C A C =可转化为2222b ac -=，又222a c b -=，从而得到b 的值；（2）由正弦定理1sin sin 2S bc A A C ==，故324S AcosC A π⎛⎫+=-⎪⎝⎭限制角A的范围，求出cos S A C +的取值范围. （2）由正弦定理sin sin b c B C=得114sin 4sin sin sin 22sin4S bc A A C A C π==⋅⋅=在ABC ∆中，由3040{202A A C A Cπππ<<<<<<> 得3,82A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭320,44A ππ⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭，3cos 2,142A π⎛⎫⎛⎫∴-∈ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭12．【衡水金卷信息卷（五）】在锐角ABC ∆中，内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，且25sin 2sin 224B C A π+⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭. （1）求角A ；（2）若a =ABC ∆周长的取值范围.【答案】(1) 3A π=(2) (3试题解析：（1）∵252224B C sin A sin π+⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭，∴()15224cos B C cos A -+-=-， ∴2152124cosA cos A +--=-，整理，得28210cos A cosA --=，∴14cosA =-或12cosA =，∵02A π<<，∴12cosA =，即3A π=.（2）设ABC ∆的外接圆半径为r，则22a r sinA===，∴1r =.∴ABC ∆周长的取值范围是(3+.。

三角函数与解三角形中的最值(范围)问题

＝

sin
2
2
（sin＋cos）
sin
＝
π
4
）
sin
2
1
（1＋
），
2
tan
π
π
因为 B ∈［，），所以tan
6
4
因为函数 y ＝
sin（＋
B ∈［
3
，1），
3
2
1
3
（1＋）在［，1）上单调递减，
2

3

所以的取值范围为（

2，
6＋ 2
］.
2
＝
高中总复习·数学
2. （2024·湖北三校联考）记△ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为
π
≤ ）的图象离原点最近的对称轴为 x ＝ x 0，若满足｜ x 0｜≤
2
π
，则称 f （ x ）为“近轴函数”.若函数 y ＝2
6
“近轴函数”，则φ的取值范围是（
）
sin （2 x －φ）是
高中总复习·数学
解析： y ＝2 sin
π
（2 x －φ），令2 x －φ＝＋ k π， k ∈Z，∴图象
6
6
π
［0，］上的值域为[－1，2].故选D.
2
高中总复习·数学
2.
4
3
sin+5
函数 y ＝
的最大值是
2−sin
6 ，最小值是
解析：法一
2−5
sin x ＝
，而－1≤
+1
原函数可化为
.
sin x ≤1，所以
2−5
4
－1≤
≤1，所以 ≤ y ≤6，因此原函数的最大值是6，最小值

完整版)解三角形中的最值问题

完整版)解三角形中的最值问题解三角形中的最值问题1.在三角形ABC中，已知角A,B,C所对边长分别为a,b,c，且a²+b²=2c²，求cosC的最小值。

解析：由余弦定理知cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)，代入已知条件得cosC≥-1/2.因此cosC的最小值为-1/2.2.在三角形ABC中，已知角B=60°，AC=3，求AB+2BC的最大值。

解析：根据余弦定理，AB²=AC²+BC²-2AC·BCcosB，代入已知条件得AB²=9+BC²-6BC·1/2，即AB²=BC²-3BC+9.由于AB+2BC=AB+BC+BC，因此可将其转化为求AB+BC的最大值。

设x=BC，则AB²=x²-3x+9，求导得x=3/2时，AB+BC取得最大值，即AB+2BC的最大值为9/2.3.在三角形ABC中，已知角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a≥b，sinA+3cosA=2sinB。

（1）求角C的大小；（2）求(a+b)/c的最大值。

解析：（1）由sinA+3cosA=2sinB得2sin(A+π/3)=2sinBsinA/3，因此sin(A+π/3)=sinB/3.由于a≥b，因此A≥B，所以A+π/3=B/3，即A=π/3-B/3.由正弦定理得c/sinC=2b/sinB，代入已知条件得c=2b(sinA+3cosA)/sinB=6b/√3=2√3b，因此角C的大小为π/3.2）由正弦定理得(a+b)/c=sinA+sinB/sinC，代入已知条件得(a+b)/c=2sinB/sinC，即sinC=2sinB(a+b)/c。

由于sinC≤1，因此(a+b)/c≤1/2.当且仅当A=π/2时，(a+b)/c取得最大值1/2.4.在三角形ABC中，已知内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a=___。

专题03 解三角形之最值、范围问题(解析版)

解三角形之最值、范围问题一、单选题1．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a =c sin B ，则tan A 的最大值为（） A ．1 B ．54C ．43D ．32【答案】C2．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,,a b c 且,,A B C 成等差数列，2b =，则a c +的取值范围是（）A ．(]2,3B ．(]2,4C ．(]0,4 D ．(2,【答案】B3．锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2225a b c +=，则cos C 的取值范围是（） A ．(123，） B ．(112，）C ．[45D ．[45，1) 【答案】C4．在ABC 内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若()()3cos sin sin 1cos A B A B -=+，6a c +=，则ABC 的面积的最大值为（）A ．BCD ．【答案】D5．已知ABC 三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c cos sin 0A a C +=，若角A 的平分线交BC 于D 点，且1AD =，则b c +的最小值为( )A ．2B ．C ．4D ．【答案】C6．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3b =，且()()()3sin sin sin c B C a A c -+=-⋅，则ABC 周长的最大值为（）A ．8B ．9C ．12D ．15【答案】B二、解答题7．已知函数()2cos 3cos 1f x x x x =-+.（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）在锐角ABC 中，角,,A B C 所对的边分别,,a b c .若()1,f C c ==D 为AB 的中点，求CD 的最大值. 【答案】（1）递减区间511[,]1212k k k Z ππππ++∈；（2）32. 8．现有三个条件①sin()sin ()sin c A B b B c a A +=+-，②tan 2sin b aB A=，③(1cos )sin a B A +，请任选一个，填在下面的横线上，并完成解答．已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别是a ，b ，c ，若______．（1）求角B ；（2）若a c +=，求ABC 周长的最小值，并求周长取最小值时ABC 的面积．【答案】（1）3π；（2）4.9．如图，在四边形ABCD 中，CD =BC =cos 14CBD ∠=-.（1）求BDC ∠；（2）若3A π∠=，求ABD △周长的最大值. 【答案】（1）6π；（2）12 10．已知ABC 的内角、、A B C 所对的边分别是,,,a b c 在以下三个条件中任先一个：①22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-；②sin4A =；③sin sin 2B C b a B +=；并解答以下问题：（1）若选___________(填序号)，求A ∠的值；（2）在（1）的条件下，若(0)a b m m ==>，当ABC 有且只有一解时，求实数m 的范围及ABC 面积S 的最大值.【答案】（1）条件选择见解析；60A =；（2）({}2m ∈⋃，max S =. 11．已知函数()21sin cos cos 62f x x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭. （1）当[],0x π∈-时，求出函数()f x 的最大值，并写出对应的x 的值；（2）ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若()12f A =，4b c +=，求a 的最小值. 【答案】（1）当56x =-π时，函数()f x 取最大值34；（2）最小值为2.12．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知1cos 2a c Bb =+. （1）若1c =，求ABC 面积的最大值；（2）若D 为BC 边上一点，4DB =，5AB =，且12AB BD ⋅=-，求AC .【答案】（1（2.13．在ABC 中，设,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，4A π=，1cos 3B =，a b += （1）求,a b 的值；（2）已知,D E 分别在边,BA BC 上，且AD CE +=，求BDE 面积的最大值.【答案】（1）a =b =（214．在ABC 中，角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ，已知1cos 2b a Cc =+. （1）求角A ；（2）若1AB AC ⋅=，求a 的最小值.【答案】（1）3π；（2。

解三角形中的最值与范围问题(原卷版)

专题5解三角形中的最值与范围问题一、三角形中的最值范围问题处理方法1、利用基本不等式或常用不等式求最值：化角为边余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求最值或范围，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的条件。

2、转为三角函数求最值：化边为角如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值问题进行解决。

要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边。

二、边化角与角化边的变换原则在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：(1)若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；(2)若式子中含有a、b、c的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；(3)若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；(4)代数式变形或者三角恒等变换前置；(5)含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；(6)同时出现两个自由角(或三三个自由角)时，要用到三角形的内角和定理．2020·浙江卷2019年全国Ⅲ卷·文·理T184．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sinsin 2A Ca b A +=．（1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围．2018·北京卷2018·江苏卷6．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=°，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为．题型一由不等式求最值角平分线相关1．（多选）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，π3ABC ∠=，内角B 的平分线交AC 于点D 且BD =，则下列结论正确的是（）A ．111a c+= B ．b 的最小值是2C ．3a c +的最小值是D ．ABC2．（2024届·湖南衡阳市八中校考）在①，②，③中选一个，补充在下面的横线中，并解答.在中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足________.(1)求A ；(2)若内角A 的角平分线交BC 于点，且，求的面积的最小值.（注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分）中线相关3．（2024届·湖北校联考）已知分别是的三个内角的对边，且. (1)求角；(2)若在边上且，求面积的最大值.()()b c a b c a bc +−++=sin cos )a Ca Cb =−(2)cos cos 0bc A a C ++=ABC D AD =ABC ,,a b c ABC ,,A B C cos sin 0a C C b c −−=A D BC ,2BD DC AD ==ABC 重点题型·归类精讲浙江省百校联盟2022-2023学年高三上学期11月模拟福建省厦门双十中学高三上学期期中定角定高6．如图，在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AH=4 ，∠BAC=60°，求△ABC 面积的最小值.对式子变形后利用基本不等式求最值7．在中，角，，的对边分别为，，，已知. (1)若，，求的面积；(2)求的最小值，并求出此时的大小.湖南省益阳市2022届高三上学期9月调研题型二构造函数求范围9．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且，，求的取值范围．2024届·雅礼中学月考（二）10．记锐角的内角的对边分别为，已知．(1)求证：；(2)若，求的最大值．ABC A B C a b c ()2222sin 0ac B C a c b +++−=π6A =2a =ABC 2224sin 3sin 2sin C A B++B π32c =2a b −ABC ,,A B C ,,a b c sin()sin()cos cos A B A C B C−−=B C =sin 1a C =2211a b +2023届河北省唐山市三模12．（2024届·湖南长郡中学校考）在锐角中，内角的对边分别为，已知.(1)求；(2)若的取值范围.ABC ,,A B C ,,a b c ()2sin cos cos A c B b C +A a =223b c bc ++2023届广东江门市一模2024届常德市一中校考14．在中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若，请完成以下问题： (1)求角B 的大小；(2)若为锐角三角形，，求的取值范围．2024届长沙一中月考（一）15．在锐角中，角的对边分别为，且满足.(1)求证：；(2)设的周长为，求的取值范围.ABC 1cos 2b Cc a +=ABC 1c =22a b +ABC ,,A B C ,,a b c 22b a ac −=2B A =ABC l la2024届长沙一中月考（二）16．的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，点O 为的内心，记，，的面积分别为，，，已知，.(1)在①；②；③中选一个作为条件，判断是否存在，若存在，求出的周长，若不存在，说明理由.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）(2)若为锐角三角形，求面积的取值范围.17．在中，角，，所对的边分别为，，，.(1)求角的大小；(2)若的取值范围.ABC ABC OBC △OAC OAB 1S 2S 3S 22213132S S S S S +−=2AB =cos cos 1a C c A +=4sin sin cos21B A A +=12cos 12cos 0sin sin A BA B−−+=ABC ABC ABC ABC ABC A B C a b c sin sin tan cos cos A BC A B+=+C ABC c18．（2024届·扬州中学校考）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3b =，sin sin A a B +，则ABC 周长的取值范围为 .2024届河南省实验中学校考19．在锐角中，内角所对的边分别为，，，满足，且. (1)求证：；(2)已知是的平分线，若，求线段长度的取值范围.湖北省腾云联盟2023-2024学年高三上学期10月联考ABC ,,A B C a b c 222sin sin sin 1sin sin A A CC B−−=A C 2BC =BD ABC ∠4a =BD。

高考数学二轮复习专题03 解三角形之最值、范围问题(解析版)

解三角形之最值、范围问题一、单选题1．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a =c sin B ，则tan A 的最大值为（） A ．1 B ．54C ．43D ．32【答案】C2．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,,a b c 且,,A B C 成等差数列，2b =，则a c +的取值范围是（）A ．(]2,3B ．(]2,4C ．(]0,4 D ．(2,【答案】B3．锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2225a b c +=，则cos C 的取值范围是（）A ．(12 B ．(112，） C ．[453，) D ．[45，1) 【答案】C4．在ABC 内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若()()3cos sin sin 1cos A B A B -=+，6a c +=，则ABC 的面积的最大值为（）A ．B CD ．【答案】D5．已知ABC 三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c cos sin 0A a C +=，若角A 的平分线交BC 于D 点，且1AD =，则b c +的最小值为( )A ．2B ．C ．4D ．【答案】C6．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3b =，且()()()3sin sin sin c B C a A c -+=-⋅，则ABC 周长的最大值为（）A ．8B ．9C ．12D ．15【答案】B二、解答题7．已知函数()2cos 3cos 1f x x x x -+.（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）在锐角ABC 中，角,,A B C 所对的边分别,,a b c .若()1,f C c ==D 为AB 的中点，求CD 的最大值. 【答案】（1）递减区间511[,]1212k k k Z ππππ++∈；（2）32. 8．现有三个条件①sin()sin ()sin c A B b B c a A +=+-，②tan 2sin b aB A=，③(1cos )sin a B A +=，请任选一个，填在下面的横线上，并完成解答．已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别是a ，b ，c ，若______．（1）求角B ；（2）若a c +=求ABC 周长的最小值，并求周长取最小值时ABC 的面积．【答案】（1）3π；（2）.9．如图，在四边形ABCD 中，CD =BC =cos CBD ∠=.（1）求BDC ∠；（2）若3A π∠=，求ABD △周长的最大值. 【答案】（1）6π；（2）12 10．已知ABC 的内角、、A B C 所对的边分别是,,,a b c 在以下三个条件中任先一个：①22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-；②sin4A =③sin sin 2B C b a B +=；并解答以下问题：（1）若选___________(填序号)，求A ∠的值；（2）在（1）的条件下，若(0)a b m m ==>，当ABC 有且只有一解时，求实数m 的范围及ABC 面积S 的最大值.【答案】（1）条件选择见解析；60A =；（2）({}2m ∈⋃，max S =. 11．已知函数()21sin cos cos 62f x x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭. （1）当[],0x π∈-时，求出函数()f x 的最大值，并写出对应的x 的值；（2）ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若()12f A =，4b c +=，求a 的最小值. 【答案】（1）当56x =-π时，函数()f x 取最大值34；（2）最小值为2.12．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知1cos 2a c Bb =+. （1）若1c =，求ABC 面积的最大值；（2）若D 为BC 边上一点，4DB =，5AB =，且12AB BD ⋅=-，求AC .【答案】（1）最大值为4；（2）3.13．在ABC 中，设,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，4A π=，1cos 3B =，a b += （1）求,a b 的值；（2）已知,D E 分别在边,BA BC 上，且AD CE +=，求BDE 面积的最大值.【答案】（1）a =，b =（2）最大值3. 14．在ABC 中，角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ，已知1cos 2b a Cc =+. （1）求角A ；（2）若1AB AC ⋅=，求a 的最小值.【答案】（1）3π；（2.。

解三角形中的最值与范围问题-高考数学复习

∴f(x)＝x＋122－54∈(1,5)， ∴bc22＋bc－1∈(1,5)， ∴a＋b c的取值范围是(1,5).
课时精练
一、单项选择题 1.已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 B＝π3，a＝4，且
三角形有两解，则 b 的取值范围是
A.(2 3，＋∞)
√B.(2 3，4)
(2)求a＋b c的取值范围.
由(1)知，c2＝b2＋ab， ∴a＝c2－b b2，c>b，由三角形三边关系可得ab＋＋bc>>ac，，
代入化简可得b<c<2b，
∴a＋b c＝c2－bb22＋bc＝bc22＋bc－1，令 x＝bc，则 x∈(1,2)，f(x)＝x2＋x－1,1<x<2，
以a12＋b12的最大值为2156.
解决此类题目，一是利用正余弦定理，转化成边的函数，或转化成关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解；二是利用三角恒等变换构造关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解.
跟踪训练 3 (2023·浙江联考)已知△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别
所以1b＝sin A＝sin 2C，
所以a12＋b12＝sin2C＋sin22C＝1－c2os 2C＋(1－cos22C)＝－cos22C－
1 2cos
2C＋32，
因为△ABC为锐角三角形，且B＝C，
则有π4<C<π2，得π2<2C<π，所以－1<cos 2C<0，由二次函数的性质可得，当 cos 2C＝－14时，a12＋b12取得最大值1265，所
解三角形中的最值与范围问题
重点解读
解三角形中的最值或范围问题，通常涉及与边长、周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，一直是高考的热点与重点，主要是利用三角函数、正余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等工具研究三角形问题，解决此类问题的关键是建立起角与边的数量关系.

三角形中的最值问题 -高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品

1/20高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第一篇三角函数与解三角形专题06三角形中的最值问题【典例1】已知锐角三角形ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos cos c C=（1）求角C 的大小．（2）求函数sin sin y A B =+的值域．【思路引导】（1）由2cos cos a b Bc C-=利用正弦定理得2sin cos sin cos sin cos A C B C C B -=，根据两角和的正弦公式及诱导公式可得1cos 2C =，可求出C 的值；（2）对函数的关系式进行恒等变换，利用两角和与差的正弦公式及辅助角公式把函数的关系式变形成同一个角正弦型函数，进一步利用定义域求出函数的值域.2/20【典例2】在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且22cos a c b C -=.(1)求sin 2A C B +⎛⎫+⎪⎝⎭的值；(2)若b =，求c a -的取值范围.【思路引导】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式可整理求得cos B ，进而求得B 和A C +，代入求得结果；（2）利用正弦定理可将c a -表示为2sin 2sin C A -，利用两角和差正弦公式、辅助角公式将其整理为2sin 3C π⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据正弦型函数值域的求解方法，结合C 的范围可求得结果.【典例3】已知△ABC 的内角A ，B ，C 满足sin sin sin sin sin sin sin sin A B C BC A B C -+=+-．（1）求角A ；（2）若△ABC 的外接圆半径为1，求△ABC 的面积S 的最大值．【思路引导】（1）利用正弦定理将角化为边可得222a b c bc =+-，再由余弦定理即可得A ；（2）由正弦定理2aR sinA=，可得a ，由基本不等式利用余弦定理可得222b c bc bc bc bc +-≥-=，从而由12S bscinA =可得解.3/20【典例4】已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，设(sin ,1cos )m B B =- ，(2,0)n =.（1）若23B π=，求m 与n 的夹角θ；（2）若||1,m b ==，求ABC ∆周长的最大值.【思路引导】（1）将23B π=代入可求得m .根据平面向量数量积的坐标运算求得m n ⋅ ,由数量积的定义即可求得cos θ,进而得夹角θ.（2）根据||1m = 及向量模的坐标表示,可求得B .再由余弦定理可得22()4a cb +=.结合基本不等式即可求得a c +的最大值,即可求得周长的最大值;或由正弦定理,用角表示出a c +,结合辅助角公式及角的取值范围,即可求得a c +的取值范围,进而求得周长的最大值.【典例5】如图，在矩形ABCD 中，1AB =，BC =，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，3FAE π∠=，06EAB πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭..（1）求AE ，AF （用θ表示）；（2）求EAF ∆的面积S 的最小值.【思路引导】（1）根据1AB =，BC =，分别在Rt ABE ∆和Rt ADF ∆中，利用锐角三角函数的定义求出AE 和AF即可；（2）由条件知13sin 232sin 23S AE AF ππθ=⋅⋅=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，然后根据θ的范围，利用正弦函数的图象和性质求出S 的最小值.4/20【典例6】已知ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin ()(sin sin )a c C a b A B -=+-.（1）求B ；（2）设b =，ABC 的面积为S ，求2sin 2S C -的最大值.【思路引导】（1）用正弦定理化角为边后，再用余弦定理可求得角B ；（2）用正弦定理把边用角表示，即2sin a A =，2sin c C =，这样2sin 2sin sin 2S C ac B C -=-32sin 2sin sin 22A C C =⋅⋅-，又sin sin()sin()3A B C C π=+=+，2sin 2S C -就表示为C 的三角函数，由三角函数恒等变换化为一个角的一个三角函数形式，结合正弦函数性质可得最大值．【典例7】ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且cos c C -=⋅，c =（1）求A ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，D 为BC 中点，求AD 的取值范围．【思路引导】（1cos c C -=⋅中的边化成角得到2cos 2A =，从而求得A 的值；（2）由（1）知4A π=，可得C 的范围，再将b 表示成关于tan C 的函数，从而求得b 的取值范围.5/201.在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且()()3a b c a b c ab +++-=.（1）求角C 的值；（2）若2c =，且ABC ∆为锐角三角形，求+a b 的取值范围.2.,,a b c 分别为ABC 的内角,,A B C 的对边.已知()sin 4sin 8sin a A B A+=.（1）若1,6b A π==，求sin B ；（2）已知3C π=，当ABC 的面积取得最大值时，求ABC 的周长.3.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求角B 的大小；（2）若D 为AC 的中点，且1BD =，求ABC S ∆的最大值.6/204.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos cos 2cos +=a c Bb C A .（1）求A ；（2）若a =b c +的最大值.5.在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知向量(2cos ,)m C b =- ，(1,cos cos )n a C c A =+ ，且//m n.（1）求角C 的大小；（2）若c =，求ABC ∆的周长的取值范围.6.如图，在四边形ABCD 中，A为锐角，2cos sin()6A A C C π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.（1）求A C +；（2）设ABD △、CBD 的外接圆半径分别为1,r 2r ，若1211mr r DB+≤恒成立，求实数m 的最小值.7/207.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知2(tan A ＋tan B)＝tan tan cos cos A BB A+.(1)证明：a ＋b ＝2c ；(2)求cos C 的最小值．8.在ABC △中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知1cos 2b a C c=+．(1)求角A ；(2)若·3AB AC =，求a 的最小值．9.已知ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2A π≠，且满足()sin 220cos 0bc A B C ++=.（1）求ABC ∆的面积S ；（2）若24a S =，求c bb c+的最大值.8/2010.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且tan(sin 2cos )cos 2222A C A C a b a +=．（1）求角B 的值；（2）若△ABC的面积为D 为边AC 的中点，求线段BD 长的最小值．11.ABC ∆中，60,2,B AB ABC ==∆的面积为（1）求AC ；（2）若D 为BC 的中点，,E F 分别为边,AB AC 上的点（不包括端点），且120EDF ∠= ，求DEF ∆面积的最小值.9/20参考答案【典例1】解：（1）由2cos cos a b Bc C-=，利用正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos A C B C C B -=，可化为()2sin cos sin A C sin C B A =+=，1sin 0,cos 2A C ≠∴=0,,23C C ππ⎛⎫∈∴= ⎪⎝⎭.（2）sin sin 3y A sinB A sin A ππ⎛⎫=+=+-- ⎪⎝⎭31sin cos sin 226A A A A π⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭，2,032A B A ππ+=<<，62A ππ∴<<，2,36362A sin A ππππ⎛⎤⎛⎫∴<+<∴+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，32y ⎛∴∈ ⎝.【典例2】解：（1）由正弦定理可得：2sin sin 2sin cos A C B C-=A B C π++= ()sin sin A B C ∴=+()2sin sin 2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C C B C B C C B C∴+-=+-=即2cos sin sin B C C=()0,C π∈ sin 0C ∴≠1cos 2B ∴=()0,B π∈ 3B π∴=23A C π∴+=23sin sin 232A C B π+⎛⎫∴+==⎪⎝⎭（2）由（1）知：3sin sin 32B π==2sin sin sin 32a c bA C B∴====2sin c C ∴=，2sin a A=()2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin cos 2cos sin c a C A C B C C B C B C∴-=-=-+=--10/202sin sin sin 2sin 3C C C C C C π⎛⎫=--=-=- ⎪⎝⎭23A C π+=Q 203C π∴<<,333C πππ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭(2sin 3C π⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭，即c a -的取值范围为(【典例3】解：（1）设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．根据sin sin sin sin sin sin sin sin A B C BC A B C-+=+-，可得222a b c ba b c bc c a b c-+=⇒=+-+-，所以2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，又因为0A π<<，所以3A π=．（2）22sin 2sin sin 3a R a R A A π=⇒===，所以2232b c bc bc bc bc =+-≥-=，所以11333sin 32224S bc A =≤⨯⨯=（b c =时取等号）．【典例4】解：（1）23B π=,所以33,22m ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,因为(2,0)n =,202m n ⋅=⨯+= ∴ ,又||m == ||2n =,1cos 2θ==∴,3πθ∴=,（2）因为||1m = ,即||1m ===,所以3B π=,方法1.由余弦定理,得2222cos b a c ac B =+-.11/202222()()3()324a c a c a c ac a c ++⎛⎫=+-≥+-⋅=⎪⎝⎭,即2()34a c +≥,即a c +≤（当且仅当a c =时取等号）所以ABC ∆周长的最大值为方法2.由正弦定理可知,2sin sin sin a c bA C B===,2sin ,2sin a A c C ==∴,23A C π+=,所以22sin 2sin 3sin 36a c A A A A A ππ⎛⎫⎛⎫+=+-==+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,又203A π<<,5666A πππ<+<,1sin ,162A π⎛⎫⎛⎤∴+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦,a c +∈∴,所以当3A π=时,a c +取最大值所以ABC ∆周长的最大值为【典例5】解：（1）在Rt ABE ∆中，1AB =，所以1cos cos AB AE EAB θ==∠，在Rt ADF ∆中，AD =，236DAF EAB πππθ∠=--∠=-，30cos 6cos 6ADAF DAFπθπθ⎛⎫∴==<< ⎪∠⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭；（2）13sin 23314cos cos 622S AE AF ππθθ=⋅==⎛⎫- ⎪⎝⎭⎝⎭32sin 23πθ==⎛⎫++ ⎪⎝⎭，因为06πθ<<，所以22333πππθ<+<2sin 223πθ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，12/20当232ππθ+=时，即当12πθ=时，S取最小值(32-.【典例6】解：（1）由正弦定理()()()a c c a b a b -=+-，222a c b ac +-=，由余弦定理2221cos 22a cb B ac +-==，3B π=；（2）由正弦定理2sin sin sin 32a c bA C B===，2sin a A =，2sin c C =，2sin 2sin sin 2S C ac B C-=-2sin 2sin sin 2sin sin 22A C C A C C =⋅⋅-=-2)sin sin 23sin cos sin 2C B C C C C C C =+-=+-333331cos 2sin 2sin 2cos 2sin 2222222C C C C C =-+-=-+33sin 21232C π⎛⎫=+-≤+⎪⎝⎭.当且仅当512C π=时等号成立，故最大值为312+.【典例7】解：（1cos c C -=⋅sin cos B C A C -=，又sin sin[()]sin()B A C A C =π-+=+，cos cos sin )sin cos A C A C C A C +-=sin sin 0A C C -=，因为0C π<<，所以sin 0C ≠，所以cos A =0A π<<，所以4A π=.（2）由（1）知4A π=，根据题意得0242C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，，解得42C ππ<<.在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin c b C B=，所以)2sin 2cos 242sin sin tan C C C b CC Cπ++===+，因为(42C ππ∈，，所以tan (1,)C ∈+∞，所以(24)b ∈，.13/20因为D 为BC 中点，所以1()2AD AC AB =+，所以221()4AD AC AB =+ 21(48)4b b =++21(2)14b =++，因为(24)b ∈，，所以AD的取值范围为.1.【思路引导】（1）根据题意，由余弦定理求得1cos 2C =，即可求解C 角的值；（2）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到4sin 6a b A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再根据ABC ∆为锐角三角形，求得62A ππ<<，利用三角函数的图象与性质，即可求解.解：（1）由题意知()()3a b c a b c ab +++-=，∴222a b c ab +-=，由余弦定理可知，222cos 122a b c C ab +-==，又∵(0,)C π∈，∴3C π=.（2）由正弦定理可知，2sin sin sin 3a b A B π===,a A b B ==∴sin )a b A B +=+2sin sin 3A A π⎤⎛⎫=+- ⎪⎥⎝⎭⎦2cos A A =+4sin 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又∵ABC ∆为锐角三角形，∴022032A B A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，即，则2363A πππ<+<，所以4sin 46A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，14/20综上+a b的取值范围为.2.【思路引导】（1）根据正弦定理，将()sin 4sin 8sin a A B A +=，化角为边，即可求出a ，再利用正弦定理即可求出sin B ；（2）根据3C π=，选择in 12s S ab C =，所以当ABC 的面积取得最大值时，ab 最大，结合（1）中条件48a b +=，即可求出ab 最大时，对应的,a b 的值，再根据余弦定理求出边c ，进而得到ABC 的周长．解：（1）由()sin 4sin 8sin a A B A +=，得()48a a b a +=，即48a b +=.因为1b =，所以4a =.由41sin sin6B=π，得1sin 8B =.（2）因为48a b +=≥，所以4ab ≤，当且仅当44a b ==时，等号成立.因为ABC的面积11sin 4sin 223S ab C π=≤⨯⨯=.所以当44a b ==时，ABC 的面积取得最大值，此时22241241cos 133c π=+-⨯⨯⨯=，则c =，所以ABC的周长为5+3.【思路引导】（1）利用正弦定理边角互化思想得出sin cos 6B B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再利用两角差的余弦公式可得出tan B 的值，结合角B 的范围可得出角B 的大小；（2）由中线向量得出2BD BA BC =+uu u r uu r uu u r，将等式两边平方，利用平面向量数量积的运算律和定义，并结合基本不等式得出ac 的最大值，再利用三角形的面积公式可得出ABC ∆面积的最大值.解：（1）由正弦定理及sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭得sin sin sin cos 6B A A B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()0,A π∈知sin 0A >，15/20则31sin cos sin 622B B B B π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，化简得sin B B =，tan B ∴=.又()0,B π∈，因此，3B π=；（2）如下图，由1sin 24ABC S ac B ac ∆==，又D 为AC 的中点，则2BD BA BC =+uu u r uu r uu u r，等式两边平方得22242BD BC BC BA BA =+⋅+uu u r uu u r uu u r uu r uu r ，所以2222423a c BA BC a c ac ac =++⋅=++≥，则43ac ≤，当且仅当a c =时取等号，因此，ABC ∆的面积最大值为343433⨯=.4.【思路引导】（1）根据正弦定理即正弦的和角公式,将表达式化为角的表达式.即可求得A .（2）利用正弦定理,表示出b c +,结合三角函数的辅助角公式及角的取值范围,即可求得b c +的最大值.解：（1）∵cos cos 2cos +=ac B b C A,由正弦定理得sin sin cos sin cos 2cos +=AC B B C A从而有()sin sin sin sin 2cos 2cos +=⇒=A AB C A A A ,∵sin 0A ≠,∴1cos 2A =,∵0A π<<,∴3A π=；（2）由正弦定理得：2sin sin sin a b cA B C===,∴2sin ,2sin b B c C ==,则()22sin sin 2sin 2sin 3⎛⎫+=+=+-⎪⎝⎭b c B C B B π16/203sin 6B B B π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,∵203B π<<,∴5666B πππ<+<,∴当3B π=时,b c +取得最大值5.【思路引导】（1）根据向量平行列出方程，再利用正弦定理进行边角转化，然后求出角C 的大小；（2）根据余弦定理求出+a b 的取值范围，再根据三角形边的几何性质求出周长的取值范围.解：（1）由//m n得22cos 2cos cos a C c A C b +=-，由正弦定理sin sin sin a b cA B C==，得2cos (sin cos sin cos )sin C A C C A B +=-，即2cos sin()sin C A C B +=-，因为在三角形中sin()sin 0A C B +=≠，则1cos 2C =-，又(0,)C π∠∈，故23C π∠=；（2）在ABC ∆中，因c =，23C π∠=，由余弦定理得2223c a b ab =++=，即22()332a b a b ab +⎛⎫+=+≤+ ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时取等号，解得2a b +≤，又由三角形性质得a b c +>=2a b <+≤，则2a b c <++≤+，即ABC ∆的周长的取值范围为(2.6.【思路引导】(1)根据三角函数的和差角公式与三角函数值求解即可.(2)根据正弦定理参变分离,再利用A 的取值范围求解解：（1）由题,2cos sin()A A C +=33sin[()]sin[()]sin(2)sin sin cos 22A A C A A C A C C C C ++--+=++=-,即1sin(2)sin cos 22A C C C +=-sin(2)sin 3A C C π⎛⎫⇒+=- ⎪⎝⎭,因为23A C C π+>-.故17/2023A C C π+≠-.所以2233A C C A C πππ++-=⇒+=.（2）122sin 2sin BD BD m A C r r ≥+=+22sin 2sin 3A A π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭312sin 22sin 22A A A ⎛⎫=+⨯-⨯- ⎪⎝⎭3sin A A =+6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,因为0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,故当62A ππ+=时6A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭有最大值所以m ≥即实数m的最小值为7.【思路引导】（1）根据三角函数的基本关系式，可化简得2(sin cos sin cos )sin sin A B B A A B +=+，再根据A B C π++=，即可得到sin sin 2sin A B C +=，利用正弦定理，可作出证明；（2）由（1）2a bc +=，利用余弦定理列出方程，再利用基本不等式，可得cos C 的最小值.解：（1）由题意知，sin sin sin sin 2()cos cos cos cos cos cos A B A BA B A B A B+=+，化简得：2(sin cos sin cos )sin sin A B B A A B +=+即2sin()sin sin A B A B +=+，因为A B C π++=，所以sin()sin()sin A B C C π+=-=，从而sin sin 2sin A B C +=，由正弦定理得2a b c +=.（2）由（1）知，2a bc +=，所以222222()3112cos ()22842a b a b a b c b a C ab ab a b ++-+-===+-≥，当且仅当a b =时，等号成立，故cos C 的最小值为12.8.【思路引导】（Ⅰ）利用正弦定理、诱导公式、两角和差的三角公式求出cosA 的值，可得A 的值．解：(1)∵ABC 中，cos 2c b a C -=，∴由正弦定理知，1sin sin cos sin 2B AC C -=，∵πA B C ++=，18/20∴()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，∴1sin cos cos sin sin cos sin 2A C A C A C C +-=，∴1cos sin sin 2A C C =，∴1cos 2A =，∴π3A =．(2)由(1)及·3AB AC =得6bc =，所以222222cos 6266a b c bc A b c bc =+-=+--= 当且仅当b c =时取等号，所以a9.【思路引导】（1）由诱导公式和二倍角公式可得sin bc A ，从而得三角形面积；（2）由余弦定理得2222cos 2sin b c bc A a bc A +-==，从而可把22c b b c b c bc++=用角A 表示出来，由三角函数性质求得最大值．解：（1）在ABC ∆中，A B C π++=，∴B C A +=π-∵()sin 220cos 0bc A B C ++=∴2sin cos 20cos 0bc A A A ⋅-=∵2A π≠，∴cos 0A ≠∴1sin 52S bc A ==（2）∵24a S=∴222cos 2sin b c bc A bc A +-=∴222sin 2cos b c bc A bc A+=+∴222sin 2cos 4c b b c A A A b c bc π+⎛⎫+==+=+ ⎪⎝⎭∴当4A π=时，c bb c+取最大值.10.【思路引导】（1）根据tan(sin 2cos cos 2222A C A C a b a +=，化简可得cos sin 2A C a b A +=，进一步得到1cos 22B =，19/20然后求出B 的值；（2）由（1）的角B 及三角形面积公式可得ac 的值，因为D 为边AC 的中点，所以1()2BD BA BC =+，利用向量的模和基本不等式可求BD的取值范围，即可得到BD 的最小值.解：（1）由tan (sin 2cos )cos 2222A C A C a b a +=，得sin (sin 2cos )cos cos 22222A C A A C a b a +=，即(cos cos sin sin )2sin cos 222222A C A C A A a b -=，即cos sin 2A Ca b A +=.由正弦定理得sin cossin sin 2A C AB A +=，因0,sin 0,sin 02BA A π<<≠≠，所以cossin 2A C A +=，则sin sin 2sin cos 222B B BB ==，所以1cos (0)2222B B π=<<，所以23B π=，即23B π=.（2）由△ABC的面积为1sin 2ac B =，得12ac =.因为D 为边AC 的中点，所以1()2BD BA BC =+ ，所以2221(2)4BD BA BC BA BC=++，即222111(2cos )(2)3444BD c a ac B ac ac ac =++≥-==，当且仅当a c ==“=”，所以BD≥BD长的最小值为.11.【思路引导】（1）利用1sin 2ABC AB B S BC =⋅⋅⋅ 求出BC ，再利用余弦定理求AC 即可；（2）设(),0,60BDE θθ︒︒∠=∈，在BDE 中，利用正弦定理表示出DE ，在CDF 中，利用正弦定理表示出DF ，再将DEF 的面积表示出来，利用三角函数的性质求其最小值.解：（1）因为60,2,B AB ==所以11sin 22222ABC AB BC B BC B S C =⋅⋅⋅=⨯⨯⋅= ，又ABC S = 4BC =，由余弦定理得：2222212cos 24224122AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=，所以AC =；20/20（2）设(),0,60BDE θθ︒︒∠=∈，则60CDF θ︒∠=-，在BDE 中，由正弦定理得：sin sin BD DEBED B=∠，即()2sin 60θ︒=+，所以()sin 60DE θ︒=+，在CDF 中，由正弦定理得：sin sin CD DFCFD C=∠，由（1）可得22260,,30B BC AC AB C ︒=∴=+= ，则()21sin 902DFθ︒+=，所以1cos DF θ=，所以()13sin 24sin 60cos DEF S DE DF EDF θθ︒=⋅⋅⋅∠=+⋅==，当15θ︒=时，()()min sin 2601,6DEP S θ︒+==- 故DEF 的面积的最小值为6-.。

高考数学热点必会题型第12讲-解三角形中的最值问题(原卷及答案)

高考数学热点必会题型第12讲解三角形中的最值问题——每天30分钟7天掌握一、重点题型目录【题型】一、求三角形中的边长有关的最值【题型】二、求三角形中的周长有关的最值【题型】三、求三角形中的面积有关的最值【题型】四、正余弦定理与三角函数性质结合最值【题型】五、化角为边判断三角形的形状【题型】六、化边为角判断三角形的形状【题型】七、利用不等式求范围问题【题型】八、利用三角函数值域求范围问题二、题型讲解总结第一天学习及训练【题型】一、求三角形中的边长有关的最值A B C所对的三边分别为例1．（2022·山东·日照一中高三阶段练习）ABC中，角,,，若ABC的面积为1，则BC的最小值是（）,,,2a b c c bDA．2 B．3 C例2．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，60BAC ∠=，3BC =，且有2CD DB =，则线段AD 长的最大值为（）A B ．2 C 1 D ．例3．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，若3B π=，AC =2AB BC +的最大值为（）A ．7B ．C ．D ．5【题型】二、求三角形中的周长有关的最值例4．（2022·全国·高三专题练习）在锐角三角形ABC cos 2B B +=，且满足关系式cos cos sin sin 3sin B C A Bb c C⋅+=，则ABC 的周长最大值为（）AB ．C ．D ．例5．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，23ABC π∠=，4BD =，则ABC 周长的最小值为（）A ．8+B ．8+C ．16+D ．16+例6．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，已知60C =︒，4AB =，则ABC 周长的最大值为（） A ．8B ．10C ．12D ．14第二天学习及训练【题型】三、求三角形中的面积有关的最值例7．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，2a =，2cos 2cos 24sin C A B =+，则ABC 面积的最大值是（） A ．23B ．1C ．43D ．2例8．（2023·全国·高三专题练习）ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知()sin sin sin ,cos cos 2b c B c C a A b C c B -+=+=，则ABC 的面积的最大值（）A ．1BC ．2D ．例9．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且sin()2sin cos 0B C A B ++=.若2b =，则ABC 面积的最大值为（）A B C D ．例10．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，BAC ∠的平分线交BC 于点,2,6D BD DC BC ==，则ABC ∆的面积的最大值为（）A ．6B ．C ．12D ．例11．（2022·全国·高三专题练习）在平面四边形ABCD 中，AB =1，AD =4，BC =CD =2，则四边形ABCD 面积的最大值为（）A B C ．D ．例12．（2022·全国·高三专题练习）已知边长为2的等边三角形ABC ，D 是平面ABC 内一点，且满足:2:1DB DC =，则三角形ABD 面积的最大值是（）A 43B C 43D 例13．（2022·全国·高三专题练习）已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2cos 2a C b c =+，若6a =，则ABC ∆的面积的最大值为（） A ．6 B ．3C ．D ．【题型】四、正余弦定理与三角函数性质结合最值例14．（2022·福建·三明一中高三阶段练习）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若sin c A =，λ=b a ，则实数λ的最大值是（）A B ．32C ．D ．2+例15．（2020·全国·高三专题练习（文））已知平面四边形ABCD 由ACD 与等边ABC 拼接而成，其中22AD CD ==，则平面四边形ABCD 面积的最大值为______.例16．（2020·全国·高三阶段练习（理））在边长为ABC 中，G 是中心，直线l 经过点G 且与AB ，AC 两边分别交于P ，Q 两点，则11GP GQ+的最大值为__________. 第三天学习及训练【题型】五、化角为边判断三角形的形状例17．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()2cos cos a b c A B +=+，则角C 的大小为（）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6例18．（2023·全国·高三专题练习）设△ABC 的三边长为BC a =，=CA b ，AB c =，若tan2A a b c =+，tan 2B ba c=+，则△ABC 是（）． A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形例19．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos c B a =，则这个三角形的形状为（） A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．锐角三角形D ．等腰或直角三角形例20．（2022·江苏·高邮市第一中学高三阶段练习）在ABC ，下列说法正确的是（） A ．若cos cos a A b B =，则ABC 为等腰三角形 B ．若40,20,25a b B ===︒，则ABC 必有两解 C ．若ABC 是锐角三角形，则sin cos A B >D ．若cos2cos2cos21A B C +-<，则ABC 为锐角三角形例21．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列命题正确的是（） A ．若a b >，则cos2cos2A B <B ．若cos cos a B b A c -=，则ABC 一定为直角三角形C ．若4a =，5b =，6c =，则ABCD ．若()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=，则ABC 一定是等边三角形【题型】六、化边为角判断三角形的形状例22．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，A ∠，B ∠，C ∠的对边分别为a ，b ，c ，2cos 22A b cc+=，则ABC 的形状一定是（） A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形例23．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足cos cos a A b B =，则ABC 的形状为（） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形例24．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos sin cos b A c B a B =-，则ABC 是（） A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形例25．（2022·江苏·海安市立发中学高三阶段练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列的结论中正确的是（） A ．若cos cos A B >，则sin sin A B <B ．若sin cos sin cos A A B B =,则ABC 一定是等腰三角形C ．若ABC 是锐角三角形，则sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++D ．已知ABC 不是直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++第四天学习及训练【题型】七、利用不等式求范围问题例26．（2023·江苏·苏州中学高三阶段练习）已知△ABC 中，sin A =3sin C cos B ，且AB =2，则△ABC 的面积的最大值为（）A ．3B ．C ．9D ．例27．（2023·全国·高三专题练习）在等腰ABC 中，AB ＝AC ，若AC 边上的中线BD 的长为3，则ABC 的面积的最大值是（） A ．6B ．12C ．18D ．24例28．（2023·全国·高三专题练习）设()2πsin cos cos 4f x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若02A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1a =，则ABC 面积的最大值为（）A BC D 例29．（2023·全国·高三专题练习）如图，镇江金山的江天禅寺是历史悠久的佛教圣地，其周围的金山湖公园也成为市民休闲旅游的最佳选择.为了扩大对家乡旅游的宣传，现对江天禅寺进行无人机拍照.已知慈寿塔DE 的右侧是金山湖，我们选择了三个点，分别是宝塔左侧一点A 与湖对岸B ，F 点，设宝塔底部E 点和这三个点在同一直线上，无人机从A 点沿AD 直线飞行200米到达宝塔顶部D 点后，然后再飞到F 点的正上方，对山脚的江天禅寺EB 区域进行拍照.现测得从A 处看宝塔顶部D 的仰角为60°，sin ABD ∠=100BF =米.若无人机在C 点处获得最佳拍照角度时（即BCE ∠最大），该无人机离地面的高度为（）A ．B ．C ．D ．200米例30．（2023·全国·高三专题练习）ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知222,cos cos 2b c a bc b C c B +-=+=，则ABC 的面积的最大值（）A ．1B C ．2D ．例31．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC 中，cos B =2AC =，AB k =，则（）A ．△ABC 外接圆面积为定值，且定值为9πB ．△ABC 的面积有最大值，最大值为3+C ．若k =60C =︒D ．当且仅当02k <≤或6k =时，△ABC 有一解例32．（2023·全国·高三专题练习）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列命题正确的是（）A ．若A ＝30°，3a =，4b =，则△ABC 有两解B ．若()3AB AC CB -⊥，则角A 最大值为30° C ．若222a b c +>，则△ABC 为锐角三角形D ．若AB AC AP AB AC λ⎛⎫⎪=+ ⎪⎝⎭，则直线AP 必过△ABC 内心【题型】八、利用三角函数值域求范围问题例33．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，若222a b c kab +-=，则实数k 的取值范围是（） A ．()2,2-B ．()1,1-C ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．0,1例34．（2022·全国·高三专题练习）在锐角ABC 中，cos cos ()sin sin A CA B C a c+=，cos 2C C +=，则a b +的取值范围是（）A ．(4⎤⎦B ．(2,C ．(]0,4D ．(]2,4例35．（2022·全国·高三专题练习）已知在锐角ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且60B ︒=，ABC b 的取值范围为（）A ．⎡⎣B ．C ．)D ．[)2,6例36．（2022·全国·高三专题练习）已知正三棱柱111ABC A B C 的外接球的表面积为36π，球心为O ，则（） A ．1OA BC ⊥B ．该三棱柱所有棱长之和的最大值为36C ．该三棱柱侧面积的最大值为12D ．三棱锥O ABC -的体积是该三棱柱的体积的16答案第一天学习及训练【题型】一、求三角形中的边长有关的最值例1．（2022·山东·日照一中高三阶段练习）ABC 中，角,,A B C 所对的三边分别为,,,2a b c c b =，若ABC 的面积为1，则BC 的最小值是（） A ．2 B ．3 CD【答案】C【分析】由三角形面积公式得到21sin b A=，利用角A 的三角函数表达出254cos sin A BC A -=，利用数形结合及sin sin 055cos cos 44AA A A -=--的几何意义求出最值.【详解】因为△ABC 的面积为1，所211sin 2sin sin 122bc A b b A b A =⨯==，可得21sin b A=，由BC AC AB =-，可得222222||||||22cos BC AC AB AC AB b c bc A b =+-⋅=+-=+()22254cos 54cos 222cos 54cos sin sin sin A Ab b b A b b A A A A--⨯=-=-=，设sin 1sin 54cos 54cos 4A A m A A ⎡⎤⎢⎥==-⨯⎢⎥-+⎢⎥-⎣⎦，其中(0,π)A ∈，因为sin sin 055cos cos 44AA A A -=--表示点5,04P ⎛⎫⎪⎝⎭与点（cos A ，sin A ）连线的斜率，如图所示，当过点P 的直线与半圆相切时，此时斜率最小，在直角△OAP 中，51,4OA OP ==，可得34PA =，所以斜率的最小值为4tan 3PA k APO ∠=-=-，所以m 的最大值为141433⎛⎫-⨯-= ⎪⎝⎭，所以2||3BC ，所以||3BC ，即BC故选：C ．【点睛】思路点睛：解三角形中最值问题，要结合基本不等式，导函数或者数形结合，利用代数式本身的几何意义求解.例2．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，60BAC ∠=，3BC =，且有2CD DB =，则线段AD 长的最大值为（）A B ．2 C 1 D ．【答案】C【分析】在ABC 中，设角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，利用正弦定理得出b B =，c C =，利用平面向量数量积的运算性质得出222924AD b bc c =++，利用三角恒等变换思想化简得出2224AD B =+，利用正弦型函数的有界性可得出线段AD 长的最大值.【详解】在ABC 中，设角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，由正弦定理可得3sin sin sin 3b c B C π===b B =，c C =， ()()1112333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，即32AD AB AC =+，所以，()()22222229324444cos3AD ADAB ACAC AB AB AC b c cb π==+=++⋅=++22224212sin 48sin 24sin sin b c bc B C B C =++=++1cos 21cos 2124824sin sin 22B CB C --=⋅+⋅+ 224sin sin 6cos 224cos 23033BB B B ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+---+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1124sin sin 6cos 224cos 223022B B BB B B ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos 212cos 6cos 212cos 22302BB B B B B -=⋅+-+++ 236B =+，所以，2224AD B =+，203B π<<，则4023B π<<，当22B π=时，即当4B π=时，AD 取最大值，即max 1AD =. 故选：C.【点睛】思路点睛：求三角形有关代数式最值是一种常见的类型，主要方法有两类：（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. 例3．（2022·全国·高三专题练习）在ABC中，若3B π=，AC =2AB BC +的最大值为（） A ．7B ．C ．D ．5【答案】B【分析】设A θ=，结合正弦定理得22sin ,3AB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭πθ2sin BC θ=，然后结合化简整理得到关于θ的函数，进而结合函数的图象与性质即可求出结果.【详解】设A θ=，由正弦定理知22sin sin 3AB BC ===⎛⎫- ⎪⎝⎭θπθ，因此22sin ,3AB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭πθ 2sin BC θ=，故222sin 4sin 3AB BC ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭πθθ222sin cos cos sin 4sin 33⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭πθπθθsin 4sin =++θθθ5sin =+θθ()=+θϕ，其中tan ϕ 所以当()sin 1θϕ+=时，，取得最大值，且最大值为故选：B.【题型】二、求三角形中的周长有关的最值例4．（2022·全国·高三专题练习）在锐角三角形ABCcos 2B B +=，且满足关系式cos cos sin sin 3sin B C A Bb c C⋅+=，则ABC 的周长最大值为（） AB．C．D．【答案】D【分析】cos 2B B +=，推导出3B π=，由cos cos sin sin 3sin B C A Bb c C+=，推导出b =再由正弦定理可得4sin a A =，24sin 4sin()3c C A π==-，由此能求出周长的取值范围.【详解】cos 2B B +=，∴112cos B B +=，sin()16B π∴+=，262B k πππ∴+=+，2B π<，3B π∴=，cos cos sin sin 3sin B C A B b c C +=，∴2222222223a c b a b c abc abc c+-+-+=，∴a bc，b ∴=4sin sin sin a c bA CB ===， 4sin a A ∴=，24sin 4sin()3c C A π==-，214sin 4sin()3(cos ))326a c A A A A A ππ∴+=+-==+，三角形ABC 为锐角三角形，∴62A ππ<<，∴2363A πππ<+<，∴sin 16A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭66A π⎛⎫∴<+≤ ⎪⎝⎭6a c <+≤b =∴a b c ++≤ABC的周长最大值为故选：D例5．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，23ABC π∠=，4BD =，则ABC 周长的最小值为（）A．8+B．8+C．16+D．16+【答案】C【分析】根据等面积法得4aca c +=，进而结合基本不等式得16a c +≥，64ac ≥，当且仅当8a c ==时等号成立，再结合余弦定理得b ≥≥当且仅当8a c ==时等号成立，进而得周长最小值. 【详解】根据题意，设,,AB c BC a AC b ===，因为ABCABDCBDSSS=+，243ABC BD π∠==，，ABD CBD ∠=∠，所以111sin sin sin 222AB BC ABC AB BD ABD CB BD CBD ⋅⋅∠=⋅⋅∠+⋅⋅∠，=，所以4ac a c +=，因为根据基本不等式有22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，a c +≥所以16a c +≥，64ac ≥，当且仅当8a c ==时等号成立，由余弦定理得b ==当且仅当8ac ==时等号成立，所以16a b c ++≥+，当且仅当8a c ==时等号成立.所以ABC 周长的最小值为16+故选：C例6．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，已知60C =︒，4AB =，则ABC 周长的最大值为（） A ．8 B ．10C ．12D ．14【答案】C【分析】根据余弦定理算出2()163a b ab +=+，再利用基本不等式即可得8a b +，从而可得到ABC 周长的最大值．【详解】解：在ABC 中，60C =︒，4AB c ==， ∴由余弦定理，得2222cos c a b ab C =+-，即2222162cos 60a b ab a b ab =+-︒=+-2()3a b ab =+-，由基本不等式有22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，所以222216()3()(3144)()a b ab a b a b a b -==+-≥+++，∴8a b +（当且仅当4a b ==时等号成立），ABC ∴周长8412a b c +++=（当且仅当4a b ==时等号成立），即当且仅当4a b ==时，ABC 周长的最大值为12，故选：C ．【点睛】关键点点睛：先用余弦定理得216()3a b ab =+-，再结合基本不等式22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭即可求a b +的最大值，从而得ABC 周长的最大值.第二天学习及训练【题型】三、求三角形中的面积有关的最值例7．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，2a =，2cos 2cos 24sin C A B =+，则ABC 面积的最大值是（） A ．23B ．1C ．43D ．2【答案】A【分析】利用二倍角公式和正弦定理化简已知等式可得22224a c b =+=；利用余弦定理可构造等量关系求得cos A ，进而得到sin A ；利用三角形面积公式，将ABCS表示为以2b 为自变量的二次函数的形式，利用二次函数最值的求法可求得所求最大值. 【详解】由2cos 2cos 24sin C A B =+得：22212sin 12sin 4sin C A B -=-+，即222sin sin 2sin A C B =+，由正弦定理得：22224a c b =+=；由余弦定理得：2222cos 4a b c bc A =+-=，222222cos c b b c bc A ∴+=+-，即cos 2bA c=，()0,A π∈，sin A ∴1sin 2ABCSbc A ∴=== 2224c b +=，2242c b ∴=-，ABCS∴=则当289b =时，42max 996481644448199b b ⎛⎫-+=-⨯+⨯= ⎪⎝⎭，()max 142233ABC S∴=⨯=. 故选：A.例8．（2023·全国·高三专题练习）ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知()sin sin sin ,cos cos 2b c B c C a A b C c B -+=+=，则ABC 的面积的最大值（）A ．1 BC ．2D ．【答案】B【分析】根据()sin sin sin b c B c C a A -+=，利用正弦定理化角为边，结合余弦定理求得角A ，再根据cos cos 2b C c B +=，利用余弦定理化角为边求得边a ，再利用余弦定理结合基本不等式求得bc 的最大值，再根据三角形的面积公式即可得出答案. 【详解】解：因为()sin sin sin b c B c C a A -+=，所以222b bc c a -+=，所以1cos 2A =，又()0,A π∈，所以3A π=，因为cos cos 2b C c B +=，所以222222222a b c a c b bc ab ac+-+-+=，所以2a =，由2222cos a b c bc A =+-，得224b c bc bc =+-≥，所以4bc ≤，当且仅当2b c ==时，取等号，则1sin 2ABC S bc A ==≤△，所以ABC故选：B.例9．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且sin()2sin cos 0B C A B ++=.若2b =，则ABC 面积的最大值为（）ABCD．【答案】A【分析】由已知条件，结合三角形内角性质得12cos 0B +=，进而可得角B ，应用正弦定理有033c A A ππ⎛⎫⎛⎫=-<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，根据三角形面积公式、三角恒等变换得26ABCSA π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ABC 面积的最大值. 【详解】由sin()2sin cos 0B C A B ++=，得sin 2sin cos 0A A B +=， ∴sin (12cos )0A B ⋅+=，又sin 0A ≠， ∴12cos 0B +=，即1cos 2B =-，又(0,)B π∈，∴2,33B C A B A πππ==--=-，又sin sin c bC B=，∴2sin sin 302sin 33sin3A b C c A A B ππππ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭===-<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 211sin sin sin sin 2sin cos sin 2232ABCSbc A A A A A A A A A A π⎫⎛⎫==-=-==⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭sin 2226A A A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 由03A π<<，有52666A πππ<+<，则sin 2sin 162A ππ⎛⎫+≤= ⎪⎝⎭，26A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ABC故选：A.【点睛】关键点点睛：由已知等量关系求角，利用三角形内角性质、正弦定理及三角形面积公式得到ABC 面积关于内角A 的函数式，根据内角的范围求最值.例10．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，BAC ∠的平分线交BC 于点,2,6D BD DC BC ==，则ABC ∆的面积的最大值为（）A ．6B ．C ．12D ．【答案】C【分析】设AC x =，BAC θ∠=，则2AB x =，结合正弦定理表示得1sin 2ABCSAB AC BAC =⋅⋅∠，由余弦定理可得x 与θ的关系式，联立前式由同角三角函数和二次函数性质化简即可求解【详解】如图，设设AC x =，BAC θ∠=，则由正弦定理可得sin sin BD ABBAD ADB=∠∠①，sin sin CD ACCAD ADC=∠∠②，又ADB ADC π∠+∠=，所以sin sin ADB ADC ∠=∠，①②式联立可得21AB AC =，则2AB x =，则211sin 2sin sin 22ABC S AB AC BAC x x x θθ=⋅⋅∠=⋅⋅=⋅△，对ABC ，由余弦定理可得22222536cos 24AB AC BC x BAC AB AC x +--∠==⋅，则()22422242424425362536036sin 1cos 1416x x x S x x x x x θθ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪=⋅=⋅-=⋅-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()2422422199********+14420256161616x x x x x ⎡⎤=--+=--=---⎢⎥⎣⎦，当220x =时，2S 有最大值，()2max 925614416S =⨯=，所以max 12S =，故选：C【点睛】本题考查由三角形的边角关系求解面积最值，正弦定理、余弦定理解三角形，属于难题，本题中的角平分线性质可当结论进行识记：AD 为ABC 的角平分线，则AB BDAC CD= 例11．（2022·全国·高三专题练习）在平面四边形ABCD 中，AB =1，AD =4，BC =CD =2，则四边形ABCD 面积的最大值为（）A B C ．D ．【答案】A【分析】通过余弦定理分别表示BD ，从而找到角A ，C 的关系，将四边形的面积用角A ，C 表示，从而求得面积的最大值. 【详解】由余弦定理知：在ABD △中，有2222cos BD AB AD AB AD A =+-⋅2214214cos 178cos A A =+-⨯⨯⋅=-，在BCD △中，有2222cos BD CB CD CB CD C =+-⋅2222222cos 88cos C C =+-⨯⨯⋅=-，则9178cos 88cos cos cos 8A C A C -=-⇒-=，由四边形ABCD 的面积=三角形ABD 的面积+三角形BCD 的面积，故1111sin sin 14sin 22sin 2222S AB AD A CB CD C A C =⋅+⋅=⨯⨯+⨯⨯ 2(sin sin )A C =+，在三角形中，易知,(0,)A C π∈，sin ,sin 0A C >，()22sin sin (cos cos )A C A C ++-2222sin sin 2sin sin cos cos 2cos cos A C A C A C A C =++++-22cos()4A C =-+≤，当且仅当A C π+=时等号成立，此时229(sin sin )4sin sin 8A C A C ⎛⎫++≤⇒+≤ ⎪⎝⎭，故2(sin sin )2S A C =+≤=故选：A.【点睛】方法点睛：四边形对角线是公共边，以之为连接点找到角与角的关系，把面积也化成角来表示，从而借助三角函数的最值来求得面积的最值.例12．（2022·全国·高三专题练习）已知边长为2的等边三角形ABC ，D 是平面ABC 内一点，且满足:2:1DB DC =，则三角形ABD 面积的最大值是（） A43BC43D【答案】C【分析】建立直角坐标系，设(,)D x y ，写出,,A B C 的坐标，利用:2:1DB DC =列式得关于,x y的等式，可得点D 的轨迹为以5(,0)3为圆心，以43为半径的圆，写出直线AB 的方程，计算AB和点D 距离直线AB 的最大距离d r +，代入三角形面积公式计算.【详解】以BC 的中点O为原点，建立如图所示的直角坐标系，则(1,0),(1,0)A B C -，设(,)D x y ，因为:2:1DB DC =，所以()()22221414++=-+x y x y ，得2251639x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以点D 的轨迹为以5(,0)3为圆心，以43为半径的圆，当点D 距离直线AB 距离最大时，ABD △面积最大，已知直线AB0y -=，2AB =，点D 距离直线AB 的最大距离为：4433+=d r ，所以ABD △面积的最大值为1442233⎫=⨯⨯=⎪⎪⎝⎭ABD S △. 故选：C【点睛】解答本题的关键在于建立直角坐标系，设点(,)D x y ，通过:2:1DB DC =得关于,x y 的等式，从而判断出点D 的轨迹，数形结合分析得当点D 距离直线AB 距离最大时，ABD △面积最大.例13．（2022·全国·高三专题练习）已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2cos 2a C b c =+，若6a =，则ABC ∆的面积的最大值为（） A ．6 B ．3C ．D ．【答案】D【解析】利用余弦定理求得角A 的值，结合基本不等式可求得bc 的最大值，进而可求得ABC ∆的面积的最大值.【详解】由余弦定理得222222a b c a b c ab+-⋅=+，所以22222a b c b bc +-=+，所以222b c a bc +-=-.由余弦定理的推论得2221cos 222b c a bc A bc bc +-==-=-，又()0,A π∈，所以23A π=.若6a =，由余弦定理的得222222cos 23a b c bc A b c bc bc bc bc =+-=++≥+=，当且仅当b c =时取等号，所以336bc ≤，解得12bc ≤.故1sin 2ABC S bc A ∆=≤.因此，ABC ∆面积的最大值为故选：D.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了三角形面积最值的计算，涉及基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.【题型】四、正余弦定理与三角函数性质结合最值例14．（2022·福建·三明一中高三阶段练习）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若sinc A=，λ=b a，则实数λ的最大值是（）AB．32C．D．2+【答案】D【分析】根据余弦定理和sinc A=得222212sin2sin cosa b A b b A A=+-⋅，进而得22723aAbπ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，再根据三角函数的性质求解即可得答案.【详解】解：由余弦定理，得2222cosa cb b A=+-，结合sinc A=，得222212sin2sin cosa b A b b A A=+-⋅，解得22212sin12aA Ab=+-，即22723aAbπ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，则当12Aπ=时，222max(2ba⎛⎫=⎪⎝⎭．max max()2baλ==故选：D．【点睛】本题考查余弦定理与三角函数的性质求最值，考查运算能力，是中档题.例15．（2020·全国·高三专题练习（文））已知平面四边形ABCD由ACD与等边ABC拼接而成，其中22AD CD==，则平面四边形ABCD面积的最大值为______.【答案】2【解析】设D θ∠=，利用余弦定理求出AC ，利用面积公式将ACD 与等边ABC 的面积用θ表示，利用三角函数的性质即可求解.【详解】设D θ∠=，在ACD 中，由余弦定理可得：2222cos 54cos AC AD CD AD CD θθ=+-⨯=- ，所以)21sin 54cos 23ABCSAC πθ=⨯=-，因为1sin sin 2ACDSAD CD θθ=⨯⨯=，所以)sin 54cos ABC ACDS SSθθ=+=+-sin 2sin 3πθθθ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，因为()0,θπ∈，所以2,333πππθ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以max 2S =，故答案为：2【点睛】本题主要考查了三角函数的实际应用，求面积的最值，考查余弦定理、辅助角公式，属于中档题.例16．（2020·全国·高三阶段练习（理））在边长为ABC 中，G 是中心，直线l 经过点G 且与AB ，AC 两边分别交于P ，Q 两点，则11GP GQ+的最大值为__________.【分析】设AGP θ∠=，在,APG AQG 中由正弦定理，用θ表示出,PG GQ ，再利用正余弦的和角公式，将11GP GQ+表示为 θ的函数，求该函数的最值即可. 【详解】设BC 中点为D ，AGP θ∠=，2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，如下图所示：因为G是重心，所以22233AG AD AC =⋅=⨯=. 在AGP 中，由正弦定理得，sin sin GP AGPAG APG=∠∠，所以sin165sin sin 66AG GP πππθθ⋅==⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，同理在AGQ △中，由正弦定理得1sin 6GQ πθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭.所以11sin sin 2sin cos 666GP GQ πππθθθθ⎛⎫⎛⎫+=++-=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当2πθ=时，max112GP GQ π⎛⎫+== ⎪⎝⎭【点睛】本题考查利用正余弦定理求解三角形中的最值问题，涉及三角函数最值的求解，第三天学习及训练【题型】五、化角为边判断三角形的形状例17．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()2cos cos a b c A B +=+，则角C 的大小为（）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6【答案】B【分析】利用余弦定理进行边化角222222222b c a a c b a b c bc ac ⎛⎫+-+-+=+ ⎪⎝⎭，整理可得()()2220a b c a b ab +--+=即2220c a b ab --+=，再用余弦定理可得1cos 2C =．【详解】因为()2cos cos a b c A B +=+，则222222222b c a a c b a b c bc ac ⎛⎫+-+-+=+ ⎪⎝⎭，整理得()()2220a b c a b ab +--+=，所以2220c a b ab --+=即222a b c ab +-=，则2221cos 222a b c ab C ab ab +-===， ∵()0,πC ∈，所以π3C =. 故选：B.例18．（2023·全国·高三专题练习）设△ABC 的三边长为BC a =，=CA b ，AB c =，若tan2A a b c =+，tan 2B ba c=+，则△ABC 是（）． A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形【答案】B【分析】若三角形各边长为a 、b 、c 且内切圆半径为r ，法一：由内切圆的性质有tan2A a b c =+、tan 2B ba c=+，根据边角关系可得a b =或222+=a b c ，注意讨论所得关系验证所得关系的内在联系；法二：由半角正切公式、正弦定理可得A B =或π2A B +=，结合三角形内角的性质讨论所得关系判断三角形的形状. 【详解】设()12P a b c =++，△ABC 的内切圆半径为r ，如图所示，法一： ∴tan2A r a p a b c ==-+①；tan 2B r b p b a c==-+②. ①÷②，得：p b a a cp a b c b -+=⋅-+，即()()()()22p b a a c p a b b c -+=-+．于是()()()()b b c c a b a a c b c a ++-=++-，232232ab b bc a b a ac -+=-+，()()2220a b a b c -+-=，从而得a b =或222+=a b c ，∴A B ∠=∠或90C ∠=︒．故△ABC 为等腰三角形或直角三角形，（1）当a b =时，内心I 在等腰三角形CAB 的底边上的高CD 上，12ABCS AB CD c =⋅△，从而得2S r a b c ==++又()1122p a b c a c -=+-=，代入①式，()22a abc a ca c c==+++⋅，a a c =+，上式两边同时平方，得：()2222a c a a c a c -=++，化简2220c a -=，即c =．即△ABC 直角三角形，∴△ABC 为等腰直角三角形．（2）当222+=a b c 时，易得()12r a b c =+-．代入②式，得()()1212a b c b a c a c b +-=++-，此式恒成立，综上，△ABC 为直角三角形．法二：利用sin tan21cos A A A =+，sin tan 21cos B B B =+及正弦定理和题设条件，得sin sin 1cos sin sin A A A B C=++①，sin sin 1cos sin sin B B B A C=++②.∴1cos sin sin A B C +=+③；1cos sin sin B A C +=+④.由③和④得：1cos sin 1cos sin A B B A +-=+-，即sin cos sin cos A A B B +=+，ππsin sin 44A B ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为,A B 为三角形内角， ∴ππ44A B +=+或πππ44A B +=--，即A B =或π2A B +=．（1）若A B =，代入③得：1cos sin sin A B C +=+⑤又ππ2C A B A =--=-，将其代入⑤，得：1cos sin sin 2A A A +=+．变形得()()2sin cos sin cos 0A A A A ---=，即()()sin cos sin cos 10A A A A ---=⑥，由A B =知A 为锐角，从而知sin cos 10A A --≠． ∴由⑥，得：sin cos 0A A -=，即π4A =，从而π4B =，π2C =．因此，△ABC 为等腰直角三角形．（2）若π2A B +=，即π2C =，此时③④恒成立，综上，△ABC 为直角三角形．故选：B例19．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos c B a =，则这个三角形的形状为（） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．锐角三角形 D ．等腰或直角三角形【答案】A【解析】由条件和余弦定理可得2222a c b a acc +-=⋅，然后化简可得答案. 【详解】因为cos c B a =，所以由余弦定理可得2222a c b a acc +-=⋅，即22222a c b a +-= 所以222+c a b ，所以三角形的形状为直角三角形故选：A例20．（2022·江苏·高邮市第一中学高三阶段练习）在ABC ，下列说法正确的是（） A ．若cos cos a A b B =，则ABC 为等腰三角形 B ．若40,20,25a b B ===︒，则ABC 必有两解 C ．若ABC 是锐角三角形，则sin cos A B >D ．若cos2cos2cos21A B C +-<，则ABC 为锐角三角形【答案】BC【分析】利用正弦定理结合正弦函数的性质可判断A ；根据边角关系判断三角形解的个数可判断B ；由已知得022A B ππ>>->，结合正弦函数性质可判断C ；利用二倍角的余弦公结合余弦定理可判断D.【详解】对于A ，由正弦定理可得sin cos sin cos A A B B =，sin 2sin 2A B ∴=，A B ∴=或22180A B +=即90A B +=，ABC ∴为等腰或直角三角形，故A 错误；对于B ，1sin 40sin 2540sin3040202a B =<=⨯=，即sin a Bb a <<，ABC ∴必有两解，故B 正确；对于C ，ABC 是锐角三角形，2A B π∴+>，即022A B ππ>>->，由正弦函数性质结合诱导公式得sin sin cos 2A B B π⎛⎫>-= ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，利用二倍角的余弦公式知22212sin 12sin 12sin 1A B C -+--+<，即222sin sin sin 0A B C +->，即2220a b c +->，cos 0C ∴>，即C 为锐角，不能说明ABC 为锐角三角形，故D 错误. 故选：BC【点睛】方法点睛：在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：（1）若式子含有sin x 的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；（2）若式子含有,,a b c 的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；（3）若式子含有cos x 的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；例21．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列命题正确的是（） A ．若a b >，则cos2cos2A B <B ．若cos cos a B b A c -=，则ABC 一定为直角三角形C ．若4a =，5b =，6c =，则ABCD ．若()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=，则ABC 一定是等边三角形【答案】ABD【分析】对于A ，利用正弦定理和三角函数恒等变换公式化简判断，对于B ，利用余弦定理统一成边化简进行判断，对于C ，先利用余弦定理求出cos A ，从而可求出sin A ，再利用正弦定理可求出ABC 外接圆半径，对于D ，利用三角函数的性质结合三角形内角进行判断【详解】解：对于A ，因为a b >，所以由正弦定理得sin sin 0A B >>，所以22sin sin A B >，所以1cos 21cos 222A B-->，所以cos2cos2A B <，所以A 正确，对于B ，因为cos cos a B b A c -=，所以22222222a c b b c a a b c ac bc+-+-⋅-⋅=，即22222222a c b b c a c +---+=，所以222a b c =+，所以ABC 一定为直角三角形，所以B 正确，对于C ，由余弦定理得2222536163cos 22564+-+-===⨯⨯b c a A bc ，因为(0,)A π∈，所以sin A ==2sin a R A ===ABCC 错误，对于D ，因为在ABC 中，()()()cos ,cos ,cos (1,1]A B B C C A ---∈-，()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=，所以()()()cos cos cos 1A B B C C A -=-=-=，所以0A B B C C A -=-=-=，所以A B C ==，所以ABC 一定是等边三角形，所以D 正确，故选：ABD【题型】六、化边为角判断三角形的形状例22．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，A ∠，B ∠，C ∠的对边分别为a ，b ，c ，2cos 22A b cc+=，则ABC 的形状一定是（） A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形【答案】B【分析】根据降幂公式，先得到1cos 22A c bc+=+，化简整理，再由正弦定理，得到sin cos 0A C =，推出cos 0C =，进而可得出结果. 【详解】因为2cos22A b c c +=，所以1cos sin sin sin 122sin 2sin 2A B C B C C ++==+，所以sin cos sin B A C= 即()cos sin sin sin sin cos cos sin A C B A C A C A C ==+=+，所以sin cos 0A C =，因为sin 0A ≠，所以cos 0C =，因为()0,C π∈，所以2C π=，即ABC 是直角三角形.故选：B例23．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足cos cos a A b B =，则ABC 的形状为（） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形【答案】D【分析】利用正弦定理得到A B =或2A B π+=，即可判断.【详解】在ABC 中，对于 cos cos a A b B =，由正弦定理得：sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =，所以22A B =或22A B π+= 即A B =或2A B π+=.所以ABC 为等腰三角形或直角三角形. 故选：D例24．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos sin cos b A c B a B =-，则ABC 是（） A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形【答案】C【分析】利用正弦定理化边为角，逆用两角和的正弦公式、结合诱导公式求出sin B 的值，结合角B 的范求得角B ，即可求解.【详解】因为cos sin cos b A c B a B =-由正弦定理化边为角可得：sin cos sin sin sin cos B A C B A B =-，所以()()sin sin sin cos sin cos sin sin πsin C B A B B A A B C C =+=+=-=，因为sin 0C ≠，所以sin 1B =，因为0πB <<，所以π2B =，所以ABC 是直角三角形，故选：C.例25．（2022·江苏·海安市立发中学高三阶段练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列的结论中正确的是（） A ．若cos cos A B >，则sin sin A B <B ．若sin cos sin cos A A B B =,则ABC 一定是等腰三角形C ．若ABC 是锐角三角形，则sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++D ．已知ABC 不是直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++ 【答案】ACD【分析】结合正弦定理以及三角函数与三角形的性质、三角恒等变换以及两角和与差的三角函数公式逐项判断即可．【详解】解：因为A ，0πB ∈（，），且cos y x =在0π（，）上单调递减，故由cos cos A B >，得A B <，故a b <，结合正弦定理得sin sin A B <,故A 正确；sin cos sin cos A A B B =⇒ sin 2sin 2A B =,故22A B =，或22πA B +=，即=A B ，或π2A B +=，故三角形ABC 是等腰三角形或直角三角形，故B 错误；若三角形ABC 为锐角三角形，则π2A B +>π02A B ⇒>->，故πsin sin()cos 2A B B >-=，同理可得sin cos B C >,sin cos C A >，三式相加得sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++，故C 正确；ABC 不是直角三角形，即A ，B ，C 都不是直角，因为tan tan[π()]tan()C B C B C =-+=-+=tan tan tan tan 1A BA B +⋅-,整理得tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++，故D 正确．故选：ACD ．第四天学习及训练【题型】七、利用不等式求范围问题例26．（2023·江苏·苏州中学高三阶段练习）已知△ABC 中，sin A =3sin C cos B ，且AB =2，则△ABC 的面积的最大值为（）A ．3B ．C ．9D ．【答案】A【分析】法一：根据正弦定理，将角化边，从而利用三角形面积公式，半角公式及三角函数有界性求出面积的最大值；法二：根据正弦定理，将边化角，得到tan =2tan B C ，画出图形，作出辅助线，设,AD h BD x ==，得到22+=4x h ，利用基本不等式求出三角形面积的最大值. 【详解】法一：由正弦定理得：=3cos =6cos a c B B ， ()11=sin =6cos 2sin =3sin2322ABCSac B B B B ⋅⋅≤ 法二：由正弦定理得：sin cos +cos sin =3sin cos B C B C C B ，所以sin cos =2cos sin B C B C故tan =2tan B C ，如图所示：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，设,AD h BD x ==，则2CD x =，由勾股定理得：22+=4x h ，所以()2213313=3=+=4=322224ABCSx h xh x h ⋅⋅⋅≤⨯当且仅当=x h 故选：A.例27．（2023·全国·高三专题练习）在等腰ABC 中，AB ＝AC ，若AC 边上的中线BD 的长为3，则ABC 的面积的最大值是（） A ．6 B ．12 C ．18 D ．24【答案】A【分析】利用余弦定理得到边长的关系式，然后结合勾股定理和基本不等式即可求得ABC 面积的最大值．【详解】设2AB AC m ==，2BC n =，由于ADB CDB π∠=-∠，在ABD △和BCD △中应用余弦定理可得：2222949466m m m n m m+-+-=-，整理可得：2292m n =-，结合勾股定理可得ABC 的面积：112322S BC n =⨯224362n n +-=⨯=，。

高考数学解三角形中的最值专题

（2）由已知结合正弦定理将边转化角，再利用三角形内角和定理、辅助角公式转化为求的取值范围.
【详解】
（1）由，可得，
整理得，
所以 .
（2）由（1）得， , ，,
，，
由正弦定理得，
∴
，
∵ ,∴ ，，
，∴
∴ 的取值范围是 .
【点睛】
本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题.
3．（1）；（2）．
【详解】
（1）
原式
（2），
时等号成立.
周长的最大值为
【点睛】
本题考查了三角恒等变换，余弦定理，均值不等式，周长的最大值，意在考查学生解决问题的能力.
14．（1）；（2） .
【解析】
试题分析：（1）根据题意，由正弦定理得到关于角的三角函数关系
利用：，得到，再利用两角和的正弦定理，化简为：，利用辅助角公式得到：，进而求得：；（2）根据余弦定理得到关于的关系式：，利用基本不等式得，所以三角形的周长的取值范围为 .
12．（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理，并结合，可将原式转化为，由，可求出，进而可求出；
（2）由，可求出，再结合余弦定理，可求得的值，结合，可求出的值，进而可求出的周长.
【详解】
（1）由正弦定理可得，，
由，则，
因为，所以，
又，所以 .
（2）由题意，，解得，
（2）根据向量数量积的定义可得，再利用余弦定理以及基本不等式可得，由三角形的面积公式即可求解.
【详解】
解：（1）因为，所以，
由正弦定理，，即
（2）若，则，

高考微专题解三角形之求最值(值域)问题归纳总结

解三角形之求最值（值域）问题一、高考考点： 1.构建三角函数求值域例1.（1）已知△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，23C π＝，求()cos2cos A A B +-的取值范围．【详解】因所以()3cos2cos =cos2cos 2cos232A A B A A A A π⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭23A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 又0,2333A A ππππ<<∴<+<(203A π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭（2）已知锐角△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3A π＝，求b ca+的取值范围．【详解】由正弦定理得：sin sin sin b c B Ca A ++=, 因为A B C π++=，且3A π=，所以23C B π=-代入上式化简得：23sin sin sin cos 36222sin sin sin sin 6B B B B B b c B a A A A πππ⎛⎫⎛⎫+-++ ⎪ ⎪+⎛⎫⎝⎭⎝⎭====+ ⎪⎝⎭，又ABC ∆所以2363B πππ<+<，则有sin 126B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭2b c a +<≤. 例2. （1）已知△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，=C 2A ，求()cos2cos A A B +-的取值范围．【详解】因为C =2A A+B+C =,B =3A ππ-，，所以()()cos cos2A+cos A B =cos2A+cos +4A =cos2A+4A π--2=2cos 2cos 21A A -++又02A <<（2）在锐角ABC ∆中，已知2A B =，,a b 分别为角,A B 的对边，则ab的取值范围是__________．【解析】锐角ABC ∆中， 2A B =， ()3C A B B ππ∴=-+=-，可得cos 64B B ππ<<<<2sin sin sin22cos 2sin sin sin a R A A B B b R B B B ====∈.例3.（1）已知△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3B π＝，b=2，求边长a 的取值范围.【详解】，即a 的取值范围为（2）在三角形ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c，且,3A a π==，求2b c -的取值范围.【详解】,3A a π==2sin sin sin 2b c aB C A====，所以22sin ,2sin 2sin(),033b Bc C B B ππ===+<<， 24sin 2sin()3sin 3b c B B B B π-=-+=-∴1cos ))26B B B π=-=-，210,,sin()1366226B B B πππππ<<∴-<-<-<-<，2b c -<， ∴2b c -的取值范围是(.（3）在锐角ABC ∆中，内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ，c ABC ∆的周长的取值范围.【详解】ABC ∆外接圆半径r ，22a r sinA===，∵1r =.∵()2b c r sinB sinC +=+223sinB sin B π⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 6B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∵62B ππ<<，∵2363B πππ<+<，∵6sin B π⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，∵(b c +∈， ∵ABC ∆周长的取值范围是(3+.例4.（1）已知△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3A π=，2b =，且43B ππ≤≤，求边a 的取值范围.【详解】∵2,3b A π==∵43B ππ≤≤，，即a 的取值范围为（2）△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3A π=，2b =，且43B ππ≤≤，求边c 的取值范围.【详解】∵2,3b A π==，由正弦定理有sin sin b cB C=，∵22sin 2sin 311sin sin B C c B B π⎛⎫- ⎪⎝⎭==+=， ∵43B ππ≤≤，∵21c ≤≤，即c的取值范围为1⎡⎤⎣⎦.练习：1．在锐角ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b cS 为ABC ∆的面积，求cos S A C +的取值范围.【详解】由正弦定理sin sin b c B C=得114sin 4sin sin sin 22sin 4S bc A A C A C π==⋅⋅=()324S AcosC A C A π⎛⎫∴+=-=-⎪⎝⎭，在ABC ∆得3,82A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 320,44A ππ⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭，3cos 24A π⎫⎛⎫∴-∈⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，(S AcosC ∴+∈. 2．已知,,a b c 分别是锐角ABC ∆的内角A ， B ， C 的对边，且2b =，()24c a a -=-，则sin 2cos A C -的取值范围是________.【解析】由题得222b c a -=，即222a cb +-=，则222cos 2a c b B ac +-==，所以6B π=，32A ππ<<，因为()1sin 2cos sin 2cos sin 2sin 2A C A B A A A A A ⎫-=++=+-⎪⎪⎝⎭，所以0A <<，故sinA 2cosC -的取值范围为⎛ ⎝⎭，故答案为⎛ ⎝⎭. 3．在ABC ∆中，三个内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，a = cos,sin 22A A m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， cos ,sin 22A A n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且1=2m n ⋅，则b c +的取值范围为__________．【解析】∵cos ,sin 22A A m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， cos ,sin 22A A n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且1=2m n ⋅，∵221sin cos 222A A -=， ∵221cossin cos 222A A A -==-,∵23A π=．在ABC ∆中，由正弦定理得4sin sin sin b c aB C A===， ∵4sin ,4sin b B c C ==，∵4sin 4sin 4sin 4sin 3b c B C B B π⎛⎫+=+=+-⎪⎝⎭ 4sin 3B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∵03B π<<，∵2333B πππ<+<，∴4sin 43B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭．∵b c +的取值范围为(4⎤⎦． 4．已知,,a b c 分别为锐角ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边， 2a =，且()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆周长的取值范围为__________．【解析】由已知及正弦定理得()()()a b a b c b c +-=-，整理得222b c a bc +-=，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，又0A π<<，∴3A π=．由正弦定理得sin sin sin 3b c a B C A ===，∴三角形的周长为24sin 26a b c B C B π⎛⎫++==++ ⎪⎝⎭，∵,62B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴sin 6B π⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦．∴ABC ∆周长的取值范围为周长的取值范围为(2⎤+⎦．2.利用不等式求最值：例1. （1）在ABC ∆中，三内角A B C 、、对应的边分别为a b c 、、，且1,6a A π==，求ABC ∆面积最大值．【详解】∵1a =， 6A π=．∵由余弦定理可得： 2222cos a b c bc A =+-.即(22122b c bc bc =+≥=，所以bc ≤（当且仅当1b c ==时等号成立）∵111sin222ABC S bc A =≤=，（当且仅当1b c ==时等号成立），即ABC ∆．（2）已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 3A π=，则ABC ∆周长的取值范围为（）．3A π=，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，所以2212b c bc =+-= ()()223b c bc b c +-≥+ ()()223144b c b c -+=+，当且仅当b c =时等号成立．∵()248b c +≤，∵b c +≤ABC ∆ （3）已知ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若6a b +=且3C π=，则ABC 的周长的取值范围为（）A ．[)9,12B ．()6,12C ．(]6,9D ．()9,12【详解】因为3C π=，所以()2222222cos33c a b ab a b ab a b ab π=+-=+-=+-，由基本不等式可得()()()()2222233944a b a b c a b ab a b ++=+-≥+-==，当且仅当a b =时，等号成立，此时3c ≥，由三角形三边关系可得6c a b <+=，所以36c ≤<，则912a b c ≤++<，所以，ABC 的周长的取值范围为[)9,12.故选：A.例2.已知锐角三角形的边长分别为1，3， a ，则a 的取值范围是__________．【解析】由三角形中三边关系及余弦定理可得a 应满足22222222224130 130310a a a a <<+->+->+->⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得a << ∵实数a的取值范围是(．练习：1.在ABC ∆中，三个内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，a =， 23A π=，则b c +的取值范围为__________．，b c =时等号成立．∵()216b c +≤，又0b c +> ∵4b c +≤，b c +的取值范围为(4⎤⎦． 2．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若60B =， ABC ∆，则b 的取值范围是 _________. 【解析】由112222ABC S acsinB ac ∆==⨯=可得2ac =，再由2222accosB b a c =+-可得212ac 2ac ac 22b ≥-⨯==，当且仅当a c ==“=”,∴b 的取值范围是)+∞4．已知a b c 、、是ABC ∆的三边， ()4,4,6,sin2sin a b A C =∈=，则c 的取值范围为__________．【解析】由sin2sin A C =得2sin cos sin A A C =，由正弦定理得2cos a A c =，即cos 2cA a=，∴222cos 22b c a cA bc a+-==，又4a =，∴2164c b =+，∵46b <<，∴23240c <<，即c << 5．设ABC ∆的内角A B C 、、所对的边a b c 、、成等比数列，则b aa b+的取值范围为__________．【解析】ABC ∆的内角A B C 、、所对的边a b c 、、成等比数列，所以2b ac =,有2b c a=.由余弦定理得2222211cosB 12222a c b a c ac a c ac ac c a +-+-⎛⎫===+-≥ ⎪⎝⎭,所以πB 0,3⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 又222222222222211131cosB ()12222222b a b a a c b a b b a ac b b a a b ⎛⎫+- ⎪⎛⎫+-⎡⎫⎝⎭===+-=+-∈ ⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭，,解得b a a b⎡+∈⎣.故答案为：⎡⎣. 8．已知ABC ∆的周长为6，且,,BC CA AB 成等比数列，则BA BC ⋅的取值范围是______．【解析】因为,,BC CA AB 成等比数列，所以622a c bb +-=≤=，从而02b <≤，所以()()22222263cos 32722b b ac bBA BC ac B b --+-⋅====-++，又()()2222,,4a c b a c b a c ac b -<∴-<+-<，即2390b b +->2b <≤，故2BA BC ≤⋅<. 二、高考真题：1．（2020年全国2卷理）ABC 中，sin2A －sin2B －sin2C=sinBsinC ．（1）求A ；（2）若BC=3，求ABC 周长的最大值.【详解】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅，()0,A π∈，23A π∴=. （2）由余弦定理得：222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB =+-⋅=++⋅=，即()29AC AB AC AB +-⋅=.22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭（当且仅当AC AB =时取等号）， ()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭，解得：AC AB +≤（当且仅当AC AB =时取等号），ABC ∴周长3L AC AB BC =++≤+ABC ∴周长的最大值为3+2．（2019全国3卷文理）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sinsin 2A Ca b A +=．（1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围．【详解】(1)根据题意sinsin 2A Ca b A +=，由正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=，因为0A π<<，故sin 0A >，消去sin A 得sin sin 2A CB +=．因为0<B π<，02AC π+<<，所以2A C B +=或者2A CB π++=，而根据题意A BC π++=，故2A C B π++=不成立，所以2A CB +=，又因为A BC π++=，代入得3B π=，所以3B π=.(2)因为ABC 是锐角三角形，由（1）知3B π=，又由A B C π++=得到23A C π+=，故022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62C ππ<<.又应用正弦定理sin sin a cA C=，1c =，由三角形面积公式有222sin()111sin 3sin sin sin 222sin 4sin ABCC a A Sac B c B c B c C Cπ-=⋅=⋅=⋅=22sin cos cos sin 2123133(sin cos )sin 3tan 38tan C C C C C ππππ-==-=+又因,tan 62C C ππ<<>318tan C <+<故82ABCS <<即ABCS 的取值范围是()82。