大学数学分析答案
数学分析(下)_北京理工大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
数学分析（下）_北京理工大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1. 4. 设y=f(x1,...,xn)是Rn上连续函数，E={(x1,..xn,y):y=f(x1,...xn),(x1,...,xn)属于Rn}。
则：E是【图片】上的闭集。
参考答案:正确2. 2. 函数【图片】在(0,0)点可微。
参考答案:正确3. 1. 已知三角形ABC的三个顶点为A(2,1,3),B(1,2,1),C(3,1,0)，求BC边上的高AD的长。
参考答案:根号35/64. 5. 求以原点为顶点，z轴为轴，半顶角为α的直圆锥面方程为【图片】.参考答案:正确5. 2. 已知平面经过点M(4,-3,-2),且垂直于平面x+2y-z=0和2x-3y+4z-5=0,求这个平面的方程。
参考答案:5x-6y-7z-52=06.8. 证明：Rn中点列{Pk}收敛的充要条件是：参考答案:{Pk}是基本列7.7. E是Rn中紧集的充要条件是：参考答案:E是有界闭集8. 6. 设z=f(x,y)在区域D有定义，关于x和y分别都是连续函数，且关于x单调. 则z=f(x,y)在区域D内连续.参考答案:正确9.7.设【图片】,若【图片】是由【图片】所确定的隐函数，【图片】.求【图片】参考答案:-110. 1. 设【图片】则【图片】在【图片】点是否连续？偏导数是否存在？参考答案:不连续，存在11. 3. 函数【图片】在(0,0)点可微。
参考答案:错误12. 3. P是E的聚点的充要条件是：存在E中点列{Pk}，且，Pk不等于P，k=1，2，...,使得k趋于无穷时，Pk的极限是P..参考答案:正确13. 5. 函数【图片】的稳定点是____，此点是____（填极小值点或极大值点）。
参考答案:(1,2)极小值点##%_YZPRLFH_%##(1,2)，极小值点##%_YZPRLFH_%##(1,2) 极小值点14.8. 设【图片】可微，它所表示的曲面与【图片】平面的交线为【图片】且【图片】.求【图片】.参考答案:-215. 1. 设E是Rn的一个子集，E0是E的内点构成的集合. 则E0是开集.参考答案:正确16. 6. 设【图片】,若【图片】是由【图片】所确定的隐函数，【图片】.求【图片】参考答案:-217.9. 设【图片】是由方程【图片】所确定的隐函数，并且满足【图片】.则【图片】的极值为____.参考答案:818. 2. 设E是Rn中开集，F是Rn中闭集. 则E-F是开集，F-E是闭集.参考答案:正确19. 5. 设P是Rn上任意一点，E是Rn中给定的一个子集. 定义P到E的距离为:d(P,E)=inf{d(P,Q),Q属于E}。
数学分析 3,4,5章答案 华东师范大学
（2）若 存在，试问是否成立 ？
解：（1）证明因为 存在，设 ，则任给 ，存在 ，使得当 时，有 。此时取 ，则当 时， ，从而有 ，故有 。
（2）若若 存在， 并不一定成立。
例如
这里 存在，但 不存在，但是 则 。
3．函数极限存在的条件
1．叙述函数极限 的归结原则，并应用它证明 不存在。
所以 。
2．利用迫敛性求极限：
（1） ；（2） 。
解：（1）因为 趋于负无穷，所以当 时，
，而 ，由迫敛性定理得 。
（2）因为 趋于正无穷，所以当 时， 。而 ， 。由迫敛性定理得 。
3．设 ， ，证明：
（1） ；
（2） ；
（3） 。
证明：（1）因为 ，则对任给的 ，存在 ，当 时， 。 ，则对任给的 ，存在 ，当 时， 。对已给定的 ，取 ，当 时， 与 同时成立。当 时，
，对 ，存在 ，使得当 时，有 ，于是取 ，则当 ，即在 内有 。
8．求下列极限（其中 皆为正整数）：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ；
（5） 。
解：（1） 。
（2） 。
（3）由于
。由极限的四则运算法则，有
。
（4）由于 ，
。
（5）由于 ，当 时， 或 。对于两种形式，均有 ，由迫敛性定理得 。
解归结原则：设函数 为定义在 上的函数，则 存在的充要条件是：对任何含于 且趋于正无穷的数列 ，极限 都存在且相等。
证明由于 在 上有定义，设 ，则显然有 且 ，
但 ，有归结原则知 不存在。
2．设 为定义在 上的增（减）函数。证明： 存在的充要条件是 在 上有上（下）界。
证明只证一种情况即可。
大学数学分析试题及答案
大学数学分析试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x)在区间(a, b)内连续，则下列说法正确的是：A. f(x)在区间(a, b)内一定有最大值和最小值B. f(x)在区间(a, b)内一定有界C. f(x)在区间(a, b)内不一定有界D. f(x)在区间(a, b)内一定单调答案：B2. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值是：A. 0B. 1C. -1D. ∞答案：B3. 设函数f(x)=x^3-3x+1，则f'(x)等于：A. 3x^2-3B. x^2-3x+1C. 3x^2+3D. -3x^2+3答案：A4. 函数y=e^x的导数是：A. e^xB. e^(-x)C. -e^xD. 1/e^x答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x)在点x=a处可导，则f'(a)表示______。
答案：函数f(x)在点x=a处的导数2. 设函数f(x)=x^2+2x+1，则f(2)的值为______。
答案：93. 若序列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1，则a_5的值为______。
答案：334. 函数y=ln(x)的定义域是______。
答案：(0, +∞)三、解答题（每题15分，共60分）1. 求函数f(x)=x^2-4x+3在区间[1, 4]上的最大值和最小值。
答案：函数f(x)=x^2-4x+3的导数为f'(x)=2x-4。
令f'(x)=0，解得x=2。
在区间[1, 2)上，f'(x)<0，函数单调递减；在区间(2, 4]上，f'(x)>0，函数单调递增。
因此，最小值为f(2)=-1，最大值为f(1)=0或f(4)=3。
2. 计算极限lim(x→0) (x^2+3x+2)/(x^2-x+1)。
答案：lim(x→0) (x^2+3x+2)/(x^2-x+1) = (0+0+2)/(0-0+1) = 2。
数学分析课后习题答案
数学分析课后习题答案数学分析课后习题答案数学分析是大学数学的重要分支之一，它研究的是数学函数的性质、极限、连续性、可导性等等。
在学习数学分析的过程中，课后习题是巩固和拓展知识的重要途径。
然而，有时候我们会遇到一些难题，不知道如何下手。
为了帮助大家更好地学习数学分析，本文将提供一些常见习题的答案和解析。
一、极限与连续性1. 求极限：lim(x→0) (sinx/x)。
解析：利用极限的性质，我们可以得到lim(x→0) (sinx/x) = 1。
这是因为当x趋近于0时，sinx/x的值趋近于1。
2. 证明函数f(x) = x^2在点x = 3处连续。
解析：要证明函数f(x) = x^2在点x = 3处连续，我们需要证明lim(x→3) f(x) = f(3)。
根据函数的定义，f(3) = 3^2 = 9。
而lim(x→3) f(x) = lim(x→3) x^2 = 3^2 = 9。
因此，函数f(x) = x^2在点x = 3处连续。
二、导数与微分1. 求函数f(x) = x^3的导数。
解析：根据导数的定义，导数f'(x) = lim(h→0) (f(x+h) - f(x))/h。
对于函数f(x) = x^3，我们可以得到f'(x) = lim(h→0) ((x+h)^3 - x^3)/h。
化简后，我们得到f'(x) = 3x^2。
2. 求函数f(x) = sinx的微分。
解析：微分的定义是df(x) = f'(x)dx。
对于函数f(x) = sinx，我们已经知道它的导数f'(x) = cosx。
因此，函数f(x) = sinx的微分为df(x) = cosxdx。
三、积分与级数1. 求函数f(x) = x^2在区间[0,1]上的定积分。
解析：根据定积分的定义，函数f(x) = x^2在区间[0,1]上的定积分为∫[0,1] x^2 dx。
计算这个积分，我们得到∫[0,1] x^2 dx = [x^3/3]0^1 = 1/3。
浙江师范大学《数学分析》试题答案4页
浙江师范大学《数学分析》试题答案与评分参考）一、 （21%）计算题（每小题7分，共21分）1. 求1lim(sin 2cos )xx x x →+解 因00sin 2cos 12cos 2sin limlim 21x x x x x xx →→+--==， （3分）故 原式1sin 2cos 1sin 2cos 10lim(1sin 2cos 1)x x x x xx x x +-+-→=++-=2e （7分）2. 求120ln(1)d (2)x x x +-⎰解 11200ln(1)l d ln(1)d (2)2x x x x x +=+--⎰⎰1100ln(1)l d 2(1)(2)x x x x x +⎡⎤=-⎢⎥-+-⎣⎦⎰ 101l ln 2()d 12x x x =-++-⎰[]10ln 2ln(1)ln(2)x x =-+--1ln 23=3. 求d sin 22sin xx x +⎰解 令cos x u =，则2d sin d sin 22sin (1cos )sin x x x x x x x =++⎰⎰2d cos (1cos )(1cos )xx x =++⎰2d (1)(1)u u u =++⎰21111d 811(1)u u u u ⎛⎫=++ ⎪-++⎝⎭⎰12ln 1ln 181u u C u ⎡⎤=--+++⎢⎥+⎣⎦ 12ln(1cos )ln(1cos )81cos x x C x ⎡⎤=--+++⎢⎥+⎣⎦ （7分）二、 （40%）证明题（每小题8分，共40分）1、 设函数()f x 在[0,2]上连续，在(0,2)可导，且21()d (0)f x x f =⎰证明存在一点(0,2)c ∈，使()0f c '=.证 由积分中值定理，存在()1,2ξ∈使21()d ()f x x f ξ=⎰（3分）再由21()d (0)f x x f =⎰知()(0)f f ξ=，因函数()f x 在[0,]ξ上连续，在(0,)ξ可导且()(0)f f ξ=，故由洛尔定理知，存在一点(0,2)c ∈，使()0f c '= （8分）2、 设()0f x ''<，(0)0f =，证明对任何10x >，20x >，有1212()()()f x x f x f x +≤+证法1 设22()()()()g x f x x f x f x =+--，则 (0)(0)0g f =-=， 3分）2()()()g x f x x f x '''=+-，因()0f x ''<，故()f x '单调减少，从而由20x >知2x x x +>，2()()f x x f x ''+<，即2()()()0g x f x x f x '''=+-<， 因此22()()()()g x f x x f x f x =+--单调减少.最后，由10x >知，1g()0x <，即11212()()()()0g x f x x f x f x =+--<.（8分） 证法2 不妨设12x x ≤，则在区间[]212,x x x +和[]10,x 分别应用拉格朗日定理，得1212()()()f x x f x f x +--1221[()()][()(0)]f x x f x f x f =+---121[()()]f f x ξξ''=- （3分）这里2121120x x x x ξξ<<≤<<+，最后再由拉格朗日定理知，存在()21,ηξξ∈， 使得1212()()()()f f f ξξξξη'''-=- （6分） 因此1212()()()f x x f x f x +--121121[()()]()()0f f x f x ξξξξη'''=-=-< （8分）3、 设lim 5n n a →∞=，试用定义证明12lim5nn a a a n→∞+++=证 令5n n b a =-，则因lim 5n n a →∞=，故lim 0n n b →∞=，从而0ε∀>，k +∃∈Z ，使得2n b ε<()n k >.记12n n B b b b =+++ ，则由lim0k n B n →∞=知，对上述的ε，1k +∃∈Z 使得2k B n ε<1()n k >且不妨设1k k >. 因此，当1n k >时，12125n n a a a b b b n n ++++++-= 222k B n k n n εεεε-≤+<+=, 表明12lim 5n n a a a n →∞+++= 4、 设()f x 在[0,π]上连续，π0()d 0f x x =⎰，π()cos d 0f x x x =⎰，则在(0,π)内至少存在不同的两点12,ξξ，使12()()0f f ξξ==.证:0()()d t F t f x x =⎰，则因(0)(π)0F F ==,故应用分部积分得 ππ0()cos d cos d ()f x x x x F x ==⎰⎰πππ00()cos d ()cos ()sin d f x x x F x x F x x x ==+⎰⎰π()sin d F x x x =⎰由积分中值定理，存在()0,πξ∈使π0()sin d ()sin F x x x F ξξ=⎰，因此()0F ξ=，最后由(0)()(π)0F F F ξ===和0πξ<<以及洛尔定理知，存在12,ξξ，使 1()0F ξ'=，2()0F ξ'=且120πξξ<<<. 又因11()()F f ξξ'=，22()()F f ξξ'=,故在(0,π)内至少存在不同的两点12,ξξ，使12()()0f f ξξ==5、 设()f x 在[0,1]上具有二阶导数，且满足条件()f x a ≤，()f x b ''≤，其中,a b 都是非负常数，c 是(0,1) 内的任一点，证明()22bf c a '≤+. 证：()f x 在[0,1]上具有二阶导数，故存在1(0,)c ξ∈使得211(0)()()(0)()(0)2f f c f c c f c ξ''=+-+- 同理存在2(,1)c ξ∈使得221(1)()()(1)()(1)2f f c f c c f c ξ''=+-+-将上面的两个等式两边分别作差，得 222111(1)(0)()()(1)()22f f f c f c f c ξξ'''-=+-- 即222111()(1)(0)()(1)()22f c f f f c f c ξξ'''=---+因此222111()(1)(0)()(1)()22f c f f f c f c ξξ'''≤++-+ 222(1)22b b ac c ≤+-+而222(1)2212(1)11c c c c c c -+=-+=-+≤，故()22bf c a '≤+（8分） 湖州师院第二届《高等数学》竞赛试卷(专业组)一、 计算题 1、求nnn n n n n ln )ln ln (lim -+∞→的值。
数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--14章
a
ww
2
2π ( (1 + a 4 ) 3 − 1) 。 3a 2
w. kh d
= 2b ∫ sin t a 2 + (b 2 − a 2 ) cos 2 t dt
0
πHale Waihona Puke aw .解质量 m = ∫ ρds = b ∫0 sin t a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t dt
2π
co m
Σ
∫∫ ( x
Σ
2
+ y + z )dS = ∫∫ a dS = 4πa 4 ，
2 2 2 Σ
所以
⎛ x2 y2 z2 ⎞ 13 13 4 2 ⎜ ∫∫ ⎜ 2 + 3 + 4⎟ ⎟dS = 12 ∫∫ x dS = 9 πa 。 ⎠ Σ ⎝ Σ 1 （6）由对称性，有 ∫∫ x 3 dS = 0 ， ∫∫ y 2 dS = ∫∫ ( x 2 + y 2 )dS ，再由 2 Σ Σ Σ 1 zdS = ∫∫ ( x 2 + y 2 )dS ，得到 ∫∫ 2 Σ Σ
⎧ x = (b + a cos φ ) cos ϕ , ⎪ (6) 环面 ⎨ y = (b + a cos φ ) sin ϕ , 0 ≤ φ ≤ 2π , 0 ≤ ϕ ≤ 2π ， 其中 0 < a < b 。 ⎪ z = a sin φ , ⎩
解（1） A = ∫∫ 1 + a 2 ( x 2 + y 2 )dxdy
4. 求下列第一类曲面积分： (1) ∫∫ ( x + y + z )dS ，其中∑是左半球面 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 ， y ≤ 0 ；
数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--12章
5
aw .
⎛ x2 y2 + 2 2 b ⎝a
co m
解
在 ( x, y ) ≠ (0,0) 点, 函数值增长最快的方向为 grad f = ( y, x) ; 在 (0,0) 点, 由于梯度为零向量，不能直接从梯度得出函数值增长
最快的方向。设沿方向 v = (cos α , sin α ) 自变量的改变量为
⎛ x2 ∂z 2 x = sec 2 ⎜ ⎜ y ∂x y ⎝
2 ⎞ ∂z x2 2⎛ x ⎞ ⎜ ⎟。 ⎟， = − sec ⎜ y ⎟ ⎟ ∂y y2 ⎝ ⎠ ⎠
∂z 1 x y y x y x y x x y 1 ∂z = cos cos + 2 sin sin ， = − 2 cos cos − sin sin 。 ∂x y y x x y x y x ∂y y x x y
案
网
n ∂u = ∑ aij xi , ∂y j i =1
∂u = ai , i = 1,2, " , n 。 ∂xi
n
∑ aij y j , i = 1,2,", n ，
ww
x
z z z ∂u ∂u ∂u = zy z −1 x y ln x ， = y z x y −1 ， = y z x y ln x ln y 。 ∂x ∂y ∂z
（6） u = ln( x 2 + y 2 + z 2 ) 。
co m
5. 求下列函数在指定点的全微分： （1） f ( x, y ) = 3 x 2 y − xy 2 ，在点 (1,2) ； （2） f ( x, y ) = ln(1 + x 2 + y 2 ) ，在点 (2,4) ；
数学分析试题(一)答案及评分标准 - 陕西师范大学
数学分析试题（一）答案及评分标准一、填空（每题3分）1． ]10,0(2．2)()(x f x f −+，2)()(x f x f −− 3．52 4．，1=a 1−=b 5．0二、求极限（每题5分）1．=++++++∞→n n 313131212121222L L lim )(lim )(lim n n n n 31313121212122++++++∞→∞→L L ……………………………(1分) =3113113121121121−−−−∞→∞→))((lim ))((lim n n n n ……………………………………………………………(2分) 2=……………………………………………………………………………(2分) 2．))()((lim 22221111n n nn ++++∞→L 22221211110n n n n n +≤++++≤)()(L ……………………………………………(2分) 利用夹逼原则，…………………………………………………………………(1分) 可求得021111222=++++∞→))()((lim n n n n L ．……………………………………(2分) 3．=−−++∞→902070155863)()()(lim x x x x 9090207090155863()()(lim xx x x x x −−++∞→………………………(2分)=902070155863)()()(lim xx x x −−++∞→…………………………………………………..(1分) 902070583⋅=…………………………………………………………………..(2分) 4．x x x sin )(tan lim 0→= ………………………………………………..(1分) )ln(tan sin lim x x x e 0→x x x x e tan ln sin lim lim 00→→=x x x x e sin tan ln lim lim 100→→=………………………………………………(1分)x x x e sin sec lim 20→−=…………………………………………………………………(2分) 10==e ………………………………………………………………………(1分)5．))cos cos cos (cos lim (lim n n x x x x x 22220L ∞→→ n n n x x x x x x x x x x 22222222212sin cos cos cos sin cos cos cos sin sin L L +==== …………………………………………………………………………………..（2分）=∞→)cos cos cos (cos lim n n x x x x 2222L 12122+∞→⋅n n n x x sin sin lim …………………………….(1分) 12122+∞→⋅n n n x x sin sin lim =x x x xn n n 2222sin sin lim ⋅∞→x x 22sin =………………………………...(1分) ))cos cos cos (cos lim (lim n n x x x x x 22220L ∞→→=1220=→x x x sin lim …………………………(1分) 6．)sin (lim x x x 22011−→=)sin sin (lim xx x x x 22220−→………………………………………..(1分) =)sin sin (lim xx x x x 22220−→=x x x x x x x 2222220sin sin sin lim +−→……………………………….(1分) xx x x x x x 22222220cos sin sin cos lim++−=→……………………………………………(1分) xx x x x x x 2226232220sin cos sin sin lim −+−=→…………………………………………(1分) 31−=．…………………………………………………………………………(1分) 三、计算（每题5分）1．22xx x x x x y tan sec )tan (−=′=′ 2．)ln )11(ln()1111(ln 2′−−−=′−++−−+=′x x x x xx y ………通过分母有理化先将化简………………………………………………………………………………..(2分) y xx x x x x 1111111222−−⋅−−=′−−−)ln )(ln(………………………………(2分) 2111111x x x x xx y −=′−++−−+=′)(ln ……………………………………………(1分)3．……………………………………………………...(2分))()(ln sin sin ′=′=′x x x e x y )ln (sin )(sin ln sin ′⋅=′x x e e xinx x x …………………………………………………..(1分) )sin ln (cos )ln (sin sin sin xx x x x x x e y x xinx +=′⋅=′………………………………..(2分) 4．，则……………………………………………...(1分) 31x x f =−)(31)()(+=x x f 213()(+=′x x f )…………………………………………………………………(2分) 2)2(3)1(+=+′x x f ………………………………………………………………(1分) 231x x f =−′)(…………………………………………………………………..(1分)5．，则⎪⎩⎪⎨⎧==ta y t a x 33sin cos t t t a t t a dx dy tan sin cos cos sin −=−=2233……………………………(2分) ⎪⎩⎪⎨⎧−==x dxdy t a x tan cos 3，则t t a t t a x dx y d sin cos sin cos sec 42222313=−−=…………………...(3分) 6．设，由于x x x y −=ln x x x x y ln )ln (=′−=′………………………………(3分)xdx dy ln =……………………………………………………………………(2分)四、由于∞=−+−→13221x x x x ))((lim，1=x 是垂直渐近线……………………(1分) 21322=−+−∞→xx x x x )())((lim ……………………………………………………….(2分)=−−+−∞→)))(((lim x x x x x 2132241124=−−∞→x x x lim ……………………………….(2分) 因此也具有斜渐近线42+=x y ．……………………………………..(1分) 五、x x x f 2ln )(=，由0222=−=′xx x x f ln ln )(，可解出1=x ，……..(2分) 2e 当时，；当时，10<<x 0<′)(x f 21e x <<0>′)(x f ；当时， x e <20<′)(x f ……………………………………………………………………………………(2分) 所以是的极小值，1=x f 01=)(f ；是的极大值，. 2e x =f 224−=e e f )(…………………………………………………………………………………….(2分) 六、证：令⎪⎩⎪⎨⎧=∈=0120x x x x x f ,],(,sin )(π…………………………………………(1分) f 在],[20π上连续．当),(20π∈x 时，022<−=−=′xx x x x x x x x f )tan (cos sin cos )(， 所以在f ],[20π上严格递减，………………………………………………..(3分) 因此),(20π∈x 时， 1022=<<=)()()(f x f f ππ 即x x x<<sin π2．…………………………….(2分)七、不妨假设在上不恒正也不恒负，…………………………..(1分) f ],[b a 即存在，满足],[,b a x x ∈′′′0>′)(x f ，0<′′)(x f ，…………………………(2分) 由连续函数的介值定理，……………………………………………………(2分) 则存在),(x x x ′′′∈0，使得00=)(x f ………………………………………….(1分) 这与已知矛盾．……………………………………………………………….(1分)。
《数学分析》试题(含答案)
考试科目： 数学分析(I)一 、求极限、导数或高阶导数(每小题5分，共35分)1.n lim →∞⎛⎫++……解：n n n 11(1)(1)lim lim n n n n →∞++⎛⎫≤+≤……，故原式1=2.2.()222n x x x n x x x x 2x 2lim =lim =lim =lim =022ln 22ln 22n →∞→∞→∞→∞. 3.()42220011-cos 12lim =lim =sin ln 1+2x x xx x x x x x x →→•.4. 11limarcsin()1ln x x x x→--解：111limarcsin()arcsin 1ln 26x x x x π→-==-. 5.设(0)xxy x x =>,求y '.1(ln (ln 1))xx x x y x x x x x -'=++.6. 设函数)(x y y =是由参数方程⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x 确定，求2t dydxπ=和t dy dxπ=。
21t dy dxπ==.7. 设函数f 二阶可导，1()1x y f x -=+，22d y dx解：221()(1)1dy x f dx x x -'=++， 22344141()()(1)1(1)1d y x x f f dx x x x x --'''=-+++++.二、解答题（每小题8分，共32分）1. 已知001a <<，)n+1a n 0≥，求证n a 的极限存在并求其极限.解: 易知{}n a 单调增有上界1，故由单调收敛定理及n+1n n lim a =→∞知n n lima =1.→∞2. 讨论函数()211sin x x f x e x-=的间断点及其类型. 解: 0x =为可去间断点，=1x ±为第二类间断点.3. 求函数()(4)f x x =-的极值点与极值。
大学数学分析上册习题答案
大学数学分析上册习题答案《大学数学分析上册习题答案》在大学数学分析上册的学习过程中，习题是非常重要的一部分。
通过解答习题，我们可以更好地理解和掌握所学知识，提高自己的数学分析能力。
因此，本文将对大学数学分析上册的习题进行解答，希望能够帮助同学们更好地学习和掌握这门课程。
1. 证明函数$f(x) = x^2$在区间$[0,1]$上连续。
解：要证明函数$f(x) = x^2$在区间$[0,1]$上连续，我们需要证明对于任意$\varepsilon > 0$，存在$\delta > 0$，使得当$|x - x_0| < \delta$时，$|f(x) -f(x_0)| < \varepsilon$成立。
对于任意$\varepsilon > 0$，取$\delta = \sqrt{\varepsilon}$，则当$|x - x_0| <\delta$时，有$$|f(x) - f(x_0)| = |x^2 - x_0^2| = |x - x_0||x + x_0| < \delta|x + x_0| < \delta(1 +|x_0| + \delta)$$由于$|x - x_0| < \delta = \sqrt{\varepsilon}$，所以$|x + x_0| < |x| + |x_0| <\sqrt{\varepsilon} + 1$，从而$|f(x) - f(x_0)| < \delta(1 + |x_0| + \delta) <\sqrt{\varepsilon}(1 + |x_0| + \sqrt{\varepsilon})$。
由于$0 \leq x \leq 1$，所以$|x_0| \leq 1$，因此$|f(x) - f(x_0)| <\sqrt{\varepsilon}(1 + 1 + \sqrt{\varepsilon}) = 2\sqrt{\varepsilon} + \varepsilon$。
数学分析课本-习题及答案01
第一章 实数集与函数习题§1实数1、 设a 为有理数，x 为无理数。
证明：（1）a+ x 是无理数；（2）当a ≠0时，ax 是无理数。
2、 试在数轴上表示出下列不等式的解：（1）x （2x -1）>0；（2）|x-1|<|x-3|；（3）1-x -12-x ≥23-x 。
3、 设a 、b ∈R 。
证明：若对任何正数ε有|a-b|<ε，则a = b 。
4、 设x ≠0，证明|x+x1|≥2，并说明其中等号何时成立。
5、 证明：对任何x ∈R 有（1）|x-1|+|x-2|≥1；（2）|x-1|+|x-2|+|x-3|≥2。
6、 设a 、b 、c ∈+R （+R 表示全体正实数的集合）。
证明 |22b a +-22c a +|≤|b-c|。
你能说明此不等式的几何意义吗7、 设x>0，b>0，a ≠b 。
证明x b x a ++介于1与ba 之间。
8、 设p 为正整数。
证明：若p 不是完全平方数，则p 是无理数。
9、 设a 、b 为给定实数。
试用不等式符号（不用绝对值符号）表示下列不等式的解：（1）|x-a|<|x-b|；（2）|x-a|< x-b ；（3）|2x -a|<b 。
§2数集、确界原理1、 用区间表示下列不等式的解：（1）|1-x|-x ≥0；（2）| x+x1|≤6； （3）（x-a ）（x-b ）（x-c ）>0（a ，b ，c 为常数，且a<b<c ）；（4）sinx ≥22。
2、 设S 为非空数集。
试对下列概念给出定义：（1）S 无上界；（2）S 无界。
3、 试证明由（3）式所确定的数集S 有上界而无下界。
4、 求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证：（1）S={x|2x <2}；（2）S={x|x=n ！，n ∈+N }；（3）S={x|x 为（0，1）内的无理数}；（4）S={x|x=1-n21，n ∈+N }。
数学分析下册答案
数学分析下册答案1. 介绍本文档是《数学分析》下册的答案，供学生参考和对照使用。
《数学分析》下册是高等教育中的一门重要数学课程，学习内容涵盖了集合与映射、连续函数、一元函数积分学、级数等知识。
2. 章节答案2.1. 章节一问题1：问题描述：证明：缺项和速度（即无穷和的差异）有限的级数必收敛。
解答：设级数的前 N 项和为 S_N，第 N+1 项开始的缺项和为 R_N。
由于题目给定缺项和的速度有限，即 R_N 在 N 趋于无穷时有界。
我们将级数划分为若干个阶段，每个阶段包含一部分缺项。
对于每个阶段 i，有：S_(i+1) - S_i = R_i因此，我们可以得到：S_N = S_1 + R_1 + R_2 + … + R_(N-1)由于缺项和 R_N 在 N 趋于无穷时有界，所以对于任意正数ε，存在正整数 N_0，使得当 N 大于等于 N_0 时，有：|R_N| < ε因此，对于任意正数ε，有：|S_N - S_(N-1)| = |R_N| < ε也即，S_N 是一个 Cauchy 序列，因此必收敛。
问题2：问题描述：证明：正项级数的和的上界和下界都是正数。
解答：设正项级数的和为 S，设其上界为 B，下界为 A。
由于正项级数的每一项都是非负的，所以有：S = x_1 + x_2 + x_3 + …其中，x_1, x_2, x_3, … 都是非负数。
因此，可得到：x_1 ≤ B x_2 ≤ B x_3 ≤ B …因此，对于任意正整数 n，有：S = x_1 + x_2 + … + x_n ≤ nB由于 nB 是正数，所以 S 的上界 B 是正数。
类似地，我们可以得到下界 A 也是正数。
2.2. 章节二…2.3. 章节三…2.4. 章节四…2.5. 章节五…2.6. 章节六…2.7. 章节七…2.8. 章节八…3. 总结本文档提供了《数学分析》下册的答案，包含了各章节的问题及其解答。
学生可以使用这些答案进行对照和参考，以检验自己的学习成果。
数学分析课后习题答案(华东师范大学版)
P.182 习题1．验证下列等式 （1）C x f dx x f +='⎰)()( （2）⎰+=C x f x df )()(证明 （1）因为)(x f 是)(x f '的一个原函数，所以⎰+='C x f dx x f )()(.（2）因为C u du +=⎰, 所以⎰+=C x f x df )()(.2．求一曲线)(x f y =, 使得在曲线上每一点),(y x 处的切线斜率为x 2, 且通过点)5,2(.解 由导数的几何意义, 知x x f 2)(=', 所以C x xdx dx x f x f +=='=⎰⎰22)()(.于是知曲线为C x y +=2, 再由条件“曲线通过点)5,2(”知，当2=x 时，5=y , 所以有 C +=225, 解得1=C , 从而所求曲线为12+=x y3．验证x x y sgn 22=是||x 在),(∞+-∞上的一个原函数. 证明 当0>x 时, 22x y =, x y ='; 当0<x 时, 22x y -=, x y -='; 当0=x 时, y的导数为02sgn lim 0sgn )2(lim020==-→→x x x x x x x , 所以⎪⎩⎪⎨⎧=<-=>='||0000x x xx x xy 4．据理说明为什么每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数？解 由P.122推论3的证明过程可知：在区间I 上的导函数f '，它在I 上的每一点，要么是连续点，要么是第二类间断点，也就是说导函数不可能出现第一类间断点。
因此每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数。
5．求下列不定积分⑴C x x x x dx x dx x xdx dx dx x x x +-+-=-+-=-+-⎰⎰⎰⎰⎰-31423233233421)11(⑵C x x x dx x x x dx xx ++-=+-=-⎰⎰||ln 343)12()1(2332122⑶C gxC x gdx x ggxdx +=+⋅==⎰⎰-22212122121 ⑷⎰⎰⎰+⋅+=+⋅+=+dx dx dx x x x x x x x x )9624()3)32(22()32(222 C x x x ++⋅+=9ln 96ln 624ln 4 ⑸C x dx x dx x +=-=-⎰⎰arcsin 23112344322⑹ C x dx x dx x x dx x x +-=+-=+-+=+⎰⎰⎰)arctan 1(31)111(31)1(311)1(322222 ⑺ C x x dx x xdx +-=-=⎰⎰tan )1(sec tan 22 ⑻C x x dx x dx x xdx +-=-=-=⎰⎰⎰)2sin 21(21)2cos 1(2122cos 1sin 2 ⑼ C x x dx x x dx xx x x dx x x x +-=+=--=-⎰⎰⎰cos sin )sin (cos sin cos sin cos sin cos 2cos 22 ⑽C x x dx x x dx x x x x dx x x x +--=-=⋅-=⋅⎰⎰⎰tan cot )cos 1sin 1(sin cos sin cos sin cos 2cos 22222222 ⑾ C C dt dt tt ttt+=+⋅⋅=⋅=⋅⎰⎰90ln 90)910ln()910()910(3102 ⑿C x dx x dx x x x +==⎰⎰81587158⒀C x dx xdx x x x x dx x x x x +=-=--+-+=+-+-+⎰⎰⎰arcsin 212)1111()1111(222⒁C x x xdx dx dx x dx x x +-=+=+=+⎰⎰⎰⎰2cos 212sin 1)2sin 1()sin (cos 2⒂C x x dx x x xdx x ++=+=⎰⎰)sin 3sin 31(21)cos 3(cos 212cos cos ⒃ C e e e e dx e e e e dx e e x xx x x x x x x x ++--=-+-=------⎰⎰33333313331)33()(P.188 习题1．应用换元积分法求下列不定积分：⑴C x x d x dx x ++=++=+⎰⎰)43sin(31)43()43cos(31)43cos( ⑵ C e x d e dx xe x x x +==⎰⎰222222241)2(41⑶ C x x x d x dx ++=++=+⎰⎰|12|ln 2112)12(2112⑷ C x n x d x dx x n nn +++=++=++⎰⎰1)1(11)1()1()1(⑸Cx x xd xdx x dx xx++=-+-=-+-⎰⎰⎰3arcsin 313arcsin 3)3113131)31131(2222⑹C C x d dx x x x x +=+=+=++++⎰⎰2ln 22ln 22)32(221222323232⑺C x C x x d x dx x +--=+-⋅-=---=-⎰⎰232321)38(92)38(3231)38()38(3138 ⑻C x C x x d x x dx+--=+-⋅-=---=-⎰⎰-3232313)57(103)57(2351)57()57(5157 ⑼C x dx x dx x x +-==⎰⎰2222cos 21sin 21sin ⑽ C x x x d x dx++-=++=+⎰⎰)42cot(21)42(sin )42(21)42(sin 22ππππ⑾ 解法一：C xxx d x dxx dx+===+⎰⎰⎰2tan2cos 22cos 2cos 122解法二： ⎰⎰⎰⎰-=--=+xxdxx dx x dx x x dx 222sin cos sin cos 1)cos 1(cos 1 C x x xx d x ++-=--=⎰sin 1cot sin sin cot 2⑿解法一：利用上一题的结果，有C x C x x x d x dx +--=+--=-+--=+⎰⎰)24tan()2(21tan )2cos(1)2(sin 1ππππ 解法二： C x x xx d x dx x dx x x dx +-=+=--=+⎰⎰⎰⎰cos 1tan cos cos cos sin 1)sin 1(sin 1222 解法三：⎰⎰⎰+⋅=+=+222)12(tan 2cos )2cos 2(sin sin 1x x dxx x dx x dxC x x x d ++-=+=⎰12tan 2)12(tan 2tan 22⒀ 解法一：⎰⎰⎰---=-=)2()2sec()2sec(csc x d x dx x xdx πππC x x C x x ++-=+-+--=|cot csc |ln |)2tan()2sec(|ln ππ解法二：C x x x x d dx x x dx x xdx ++-=-===⎰⎰⎰⎰1cos 1cos ln 211cos cos sin sin sin 1csc 22C x x +-=|cot csc |ln解法三：⎰⎰++=dx x x x x x xdx cot csc )cot (csc csc cscC x x C xx x x d ++-=+++-=⎰|cot csc |ln cot csc )cot (csc解法四：⎰⎰⎰==dx x x xdx x x xdx 2cos2sin 22sin2cos 2sin 21csc 2C xC x x d x +=+-=-=⎰|2tan |ln |2cot |ln 2cot 2cot 1⒁C x x d x dx x x +--=---=-⎰⎰22221)1(11211 ⒂ C x dx x dx x x +=+=+⎰⎰2arctan 41)(4121422224⒃C x x x d x x dx +==⎰⎰|ln |ln ln ln ln⒄ C x x d x dx x x +-=---=-⎰⎰25535354)1(1101)1()1(151)1( ⒅ C x x C x x dx x dx x x ++-=++-⋅=-=-⎰⎰|22|ln 281|22|ln 221412)(1412444442483⒆C xx C x x dx x x x x dx ++=++-=+-=+⎰⎰|1|ln |1|ln ||ln )111()1( ⒇C x dx xxxdx +==⎰⎰|sin |ln sin cos cot (21)⎰⎰⎰-==x d x xdx x xdx sin )sin 1(cos cos cos 2245 C x x x x d x x ++-=+-=⎰5342sin 51sin 32sin sin )sin sin 21((22) 解法一：C x x x x d x x dx +-==⎰⎰|2cot 2csc |ln 2sin )2(cos sin解法二：C x x xd x x xdx x x dx +===⎰⎰⎰|tan |ln tan tan cos sin cos cos sin 2 解法三：⎰⎰+=xx dxx x x x dx cos sin )cos (sin cos sin 22C x x dx xxx x +-=+=⎰|cos |ln |sin |ln )sin cos cos sin ((23) C e e de e dx e e e dx xx x x x x x+=+=+=+⎰⎰⎰-arctan 1122 (24) C x x x x x x d dx x x x ++-=+-+-=+--⎰⎰|83|ln 83)83(83322222(25) C x x x dx x x x dx x x x dx x x ++-+++=+++-+=+++-+=++⎰⎰⎰2323232)1(2312|1|ln ))1(3)1(211()1(3)1(2)1()1(2(26)⎰+22ax dx解 令t a x tan =, 则C a x x C t t t a tdt a a x dx+++=++==+⎰⎰||ln |tan sec |ln sec sec 221222(27)C a x x a a x x d a a x dx ++=+=+⎰⎰21222212222322)(1)(1)(解法2 令t a x tan =, 则C ax a x C t a tdt a t a tdt a a x dx ++=+===+⎰⎰⎰222223322322sin 1cos 1sec sec )( (28)⎰-dx xx 251解 令t x sin =, 则Cx x x C t t t td t tdt dt t t t dx x x +---+--=+-+-=--===-⎰⎰⎰⎰25223221253225525)1(51)1(32)1(cos 51cos 32cos cos )cos 1(sin cos cos sin 1(29)⎰-dx xx31解 令t x =61, 则6t x =, 56t dx =C t t t t t t dt tt t t dt tt t t t dt t t t dt t t dx x x++--+++-=-++++-=-++++-=-+-=-⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰|11|ln 26)357(6)11)1((611)1)(1(6111)(61613572246224622422533其中61x t = (30)⎰++-+dx x x 1111解 令t x =+1, 则21t x =+, tdt dx 2=,Cx x x C x x x C t t t dt t t dt t t t tdt t tdt t t dx x x +++++-=+++++-+=+++-=++-=+-=+-=+-=++-+⎰⎰⎰⎰⎰|11|ln 414|11|ln 4141|1|ln 44)1442()142(2)121(21111111122．应用分部积分法求下列不定积分： ⑴C x x x dx x x x x xdx +-+=--=⎰⎰221arcsin 1arcsin arcsin⑵C x x x dx x x x x xdx +-=⋅-=⎰⎰ln 1ln ln⑶Cx x x x x xdx x x x x x xd x x xdx x x x x d x xdx x +-+=-+=+=-==⎰⎰⎰⎰⎰sin 2cos 2sin cos 2cos 2sin cos 2sin sin 2sin sin cos 222222 ⑷ C x x x dx x x x x xd dx x x +--=+-=-=⎰⎰⎰223223412ln 121ln 211ln 21ln ⑸C x x x x x xdx x x dx x ++-=-=⎰⎰2ln 2)(ln ln 2)(ln )(ln 222 ⑹ ⎰⎰⎰+-==dx xx x x xdx xdx x 2222121arctan 21arctan 21arctan C x x x x dx x x x +--=+--=⎰)arctan (21arctan 21)111(21arctan 21222 C x x x +-+=21arctan )1(212⑺ ⎰⎰⎰+=+dx x dx x dx x x ln 1)ln(ln ]ln 1)[ln(ln C x x dx xdx x x x x x +=+⋅-=⎰⎰)ln(ln ln 1ln 1)ln(ln⑻⎰⎰--=dx xx x x x dx x 2221arcsin 2)(arcsin )(arcsin⎰-+=221arcsin 2)(arcsin x xd x x ⎰----+=dx xx x x x x 22221112arcsin 12)(arcsinC x x x x x +--+=2arcsin 12)(arcsin 22⑼⎰⎰⎰-==xdx x x x x xd xdx 23tan sec tan sec tan sec sec⎰⎰⎰+-=--=xdx xdx x x dx x x x x sec sec tan sec )1(sec sec tan sec 32 |tan sec |ln sec tan sec 3x x xdx x x ++-=⎰所以C x x x x xdx +++=⎰|)tan sec |ln tan sec 21sec 3 ⑽⎰⎰+⋅-+=+dx ax x x a x x dx a x 222222⎰+-+-+=dx ax a a x a x x )(2222222⎰⎰+++-+=dx ax a dx a x a x x 2222222)ln(2222222a x x a dx a x a x x ++++-+=⎰所以C a x x a a x x dx a x +++++=+⎰))ln((212222222 类似地可得C a x x a a x x dx a x +-+--=-⎰))ln((212222222 3．求下列不定积分：⑴ C x f a x df x f dx x f x f a aa++=='+⎰⎰1)]([11)()]([)()]([ ⑵C x f x df x f dx x f x f +=+=+'⎰⎰)(arctan )()]([11)]([1)(22⑶C x f x f x df dx x f x f +=='⎰⎰|)(|ln )()()()( ⑷ C e x df e dx x f e x f x f x f +=='⎰⎰)()()()()(4．证明：⑴ 若⎰=dx x I n n tan ， ,3,2=n ，则21tan 11----=n n n I x n I 证 ⎰⎰⎰----=-=dx x dx x x dx x x I n n n n 22222tan sec tan )1(sec tan22tan tan ---=⎰n n I x d x .因为⎰⎰-----=x d x n x x d x n n n tan tan )2(tan tan tan 212，所以x n x d x n n 12tan 11tan tan ---=⎰. 从而21tan 11----=n n n I x n I . ⑵ 若⎰=dx x x n m I n m sin cos ),(，则当0≠+n m 时，),2(1sin cos ),(11n m I nm m n m x x n m I n m -+-++=+-)2,(1sin cos 11-+-++-=-+n m I nm n n m x x n m ， ,3,2,=m n证 ⎰⎰+-+==x d x n dx x x n m I n m nm 11sin cos 11sin cos ),( ]sin cos )1(sin [cos 112211⎰+-+--++=dx x x m x x n n m n m ])cos 1(sin cos )1(sin [cos 112211⎰--++=-+-dx x x x m x x n n m n m ))],(),2()(1(sin [cos 1111n m I n m I m x x n n m ---++=+-所以),2(1sin cos ),(11n m I n m m n m x x n m I n m -+-++=+-， 同理可得)2,(1sin cos ),(11-+-++-=-+n m I nm n n m x x n m I n mP.199 习题1．求下列不定积分：⑴ ⎰⎰⎰-+++=-+-=-dx x x x dx x x dx x x )111(1111233 C x x x x +-+++=|1|ln 2323 ⑵ 解法一：C x x dx x x dx x x x +--=---=+--⎰⎰|3|)4(ln )3142(127222解法二：⎰⎰⎰+-++--=+--dx x x dx x x x dx x x x 12732112772211272222 ⎰⎰---++-+-=)27(41)27(123127)127(21222x d x x x x x dC x x x x +--++-=34ln 23|127|ln 212 ⑶ 解22311)1)(1(111xx CBx x A x x x x +-+++=+-+=+ 去分母得 )1)(()1(12x C Bx x x A ++++-=令1-=x ，得1=A . 再令0=x ，得1=+C A ，于是32=C . 比较上式两端二次幂的系数得 0=+B A ，从而1-=B ，因此⎰⎰⎰+---+=+dxx x x x dx x dx 2312311311⎰⎰+-++---+=dx x x dx x x x x 22112111261|1|ln 31⎰+-++--+=dx x x x x 43)21(121)1ln(61|1|ln 3122C x x x x +-++-+=312arctan 311)1(ln 6122 ⑷ 解 ⎰⎰⎰⎰+--++=+--+=+dx xx dx x x dx x x x x dx 42424224112111211)1()1(211 ⎰⎰⎰⎰++-+-=+--++=22222222221)1(211)1(211112111121x x x x d x x x x d dx x x x dx x x x⎰⎰-++-+--=2)1()1(212)1()1(2122xx x x d x x x x d C xx x x x x +++-+--=2121ln 24121arctan221C x x x x x x ++++---=1212ln 8221arctan 42222 ⑸⎰+-22)1)(1(x x dx解 令22222)1(11)1)(1(1++++++-=+-x EDx x C Bx x A x x , 解得41=A , 41-==CB , 21-==E D , 于是 ⎰⎰⎰⎰++-++--=+-dx x x dx x x x dx x x dx 22222)1(1211141141)1)(1(C x x x x x x x +++-++-+--=)1(arctan 411141arctan 41)1ln(81|1|ln 41222 C x x x x x ++-+-+-=)11arctan 21|1|(ln 4122⑹⎰⎰⎰++-+++=++-dx x x dx x x x dx x x x 222222)122(125)122(2441)122(2 其中1221)122()122()122(24222222++-=++++=+++⎰⎰x x x x x x d dx x x x ⎰⎰⎰+++=++=++)12(]1)12[(12]1)12[(4)122(1222222x d x dx x dx x x )12arctan(1)12(122+++++=x x x 参见教材P.186 例9或P.193关于k I 的递推公式⑺. 于是，有C x x x x x dx x x x ++-+++-++-=++-⎰)12arctan(251)12(1225122141)122(22222 C x x x x ++-+++=)12arctan(25)122(23522．求下列不定积分⑴⎰-x dx cos 35解 令2tan xt =，则C t t t d tdt t dt t t dx x dx+=+=+=++--=-⎰⎰⎰⎰2arctan 21)2(1)2(2141121135cos 3522222 C x+=)2tan 2arctan(21 ⑵⎰⎰⎰⎰+=+=+=+)tan 32(tan cos )tan 32(sin 3cos 2sin 2222222x xd x x dx x x dx x dxC x x x d +=+=⎰)tan 23arctan(61)tan 231()tan 23(612 ⑶ ⎰⎰⎰++-+=+=+dx xx xx x x x x xdx x dx sin cos cos sin sin cos 21sin cos cos tan 1 )sin cos )cos (sin (21)sin cos cos sin 1(21⎰⎰⎰+++=++-+=x x x x d dx dx x x x x C x x x +++=|)sin cos |ln (21另解：设⎰+=x x xdx I sin cos cos 1，⎰+=x x xdxI sin cos sin 2，则C x dx x x xx I I +=++=+⎰sin cos sin cos 21，C x x x x x x d dx x x x x I I ++=++=+-=-⎰⎰|sin cos |ln sin cos )sin (cos sin cos sin cos 21所以C x x x I x dx +++==+⎰|)sin cos |ln (21tan 11⑷⎰⎰⎰-+++-+-=-+22221)1(11xx dx x dx x x dx xx x⎰⎰⎰-++-++---+-=2221231)12(211x x dxx x dx x dx x x其中（利用教材P.185例7的结果）]1)21(512arcsin 45[21)21(451222x x x x dx x dx x x -+-+-=--=-+⎰⎰ 2222121)1(1)12(x x x x x x d x x dx x -+=-+-+=-++-⎰⎰512arcsin)21(45122-=--=-+⎰⎰x x dxxx dx所以有⎰-+dx xx x 221C x x x x x x x +-+-+--+-+--=512arcsin 231221]1)21(512arcsin 45[2122C x x x x +-++--=21432512arcsin 87 ⑸C x x x x x d xx dx ++++=-++=+⎰⎰|21|ln 41)21()21(222⑹⎰+-dx xxx 1112 解 令 x x t +-=11，则2211tt x +-=，22)1(4t tdtdx +-=，代入原式得 ⎰⎰⎰⎰---=--=+-⋅⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+-dt t t dt t t dt t t t t t dx x xx 222222222222)1(114)1(4)1(411111⎰⎰⎰⎰-+-++--=---=dt t t t dt t dt t dt t ]12)1(1)1(1[114)1(141142222222C t t t t dt t t dt t +++---+=-++--=⎰⎰1111|11|ln ])1(1)1(1[112222 C xx x x +---+=221|11|ln总 练 习 题求下列不定积分： ⑴C x x x dx x xx dx xx x +--=--=--⎰⎰-4312134541121414334132454)2(12⑵]11arcsin [21arcsin 21arcsin 2222⎰⎰⎰--==dx x x x x dx x dx x x 其中)2sin 21(2122cos 1cos cos sin 1222t t dt t dt t t t dx x x -=-==-⎰⎰⎰)1(arcsin 212x x x --=所以]11arcsin [21arcsin 222⎰⎰--=dx xx x x dx x xC x x x x x +---=)]1(arcsin 21arcsin [2122 C x x x x x +-+-=22141arcsin 41arcsin 21 ⑶⎰+xdx 1解 令u x =，则udu dx 2=C u u du uu udu xdx ++-=+-=+=+⎰⎰⎰|)1|ln (2)111(2121 C x x ++-=|)1|ln (2⑷⎰⎰⎰⎰===xx x x de x x d x e dx x x e dx x e sin sin sin sin sin 2sin sin 2cos sin 22sin C x e C e x e x d e x e x x x x x +-=+-=-=⎰)1(sin 2)sin (2)sin sin (2sin sin sin sin sin⑸C x e C e u e du u e u x dx e x u u u x+-=+-==⎰⎰)1(2)(22)(令 ⑹C x x d x x x dx x xdx +-=--=-=-⎰⎰⎰1arcsin )1(1111112222 解法二：令t x sec =，C xC t dt t t t t x xdx +=+==-⎰⎰1arccos tan sec tan sec 12⑺⎰⎰⎰++=+-=+-x x x x d dx x x x x dx x x sin cos )sin (cos sin cos sin cos tan 1tan 1C x x ++=|sin cos |lnC x dx x dx x x +-=-=+-⎰⎰|)4cos(|ln )4tan(tan 1tan 1ππ ⑻ C x x x dx x x x dx x x x +-----=-+-+-=--⎰⎰23232)2(123|2|ln )2(2)2(3)2()2( ⑼C x x x d x xdx x x dx ++=+==⎰⎰⎰32224tan 31tan tan )tan 1(cos sec cos ⑽ ⎰⎰⎰-==dx x dx x dx x 2224)22cos 1()(sin sin⎰⎰++-=+-=dx x x dx x x )24cos 12cos 21(41)2cos 2cos 21(412 C x x x C x x x x ++-=+++-=4sin 3212sin 4183)84sin 22sin (41 ⑾ ⎰+--dx x x x 43523 解⎰⎰-+-=+--dx x x x dx x x x 223)2)(1(5435令22)2(21)2)(1(5-+-++=-+-x C x B x A x x x 去分母得：)1()2)(1()2(52++-++-=-x C x x B x A x 解得：32-=A ，32=B ，1-=C 所以⎰⎰⎰⎰---++-=+--dx x dx x dx x dx x x x 223)2(121321132435 C x x x +-++-=21|12|ln 32 ⑿⎰+dx x )1arctan(解 令u x =+1，du u dx )1(2-=⎰⎰⎰⎰-⋅=-⋅=+du u du u u du u u dx x arctan 2arctan 2)1(2arctan )1arctan(122)1ln(arctan 2]arctan )1[(C u u u u u u +++--+= C x x x x x ++++-+=)22ln()1arctan(⒀ ⎰⎰⎰+-=+-+=+dx x x x dx x x x x dx x x )22(2222433433747 C x x ++-=)2ln(214144 另解：C x x dx x dx x x x dx x x ++-=+-=+⋅=+⎰⎰⎰)2ln(2141)221(4122444443447 ⒁⎰++dx x x x2tan tan 1tan 解 令u x =tan⎰⎰⎰⎰++-+=+++=++du u u du u du u u u u dx x x x 222221111111tan tan 1tanC x x C u u ++-=++-=31tan 2arctan32312arctan32arctan⒂ ⎰⎰-+---=-dx x x x dx x x 10021002)1(1)1(2)1()1( C x x x +-+---=979899)1(971)1(491)1(991 ⒃⎰⎰⎰-+-=-=dx x x xx x d x dx x x 2211arcsin 1arcsin arcsin C xx x x +-+--=|11|ln arcsin 2⒄⎰⎰⎰--+=--+=-+2)]1ln()1[ln(21)]1ln()1[ln(11lndx x x dx x x x dx x x x C x xxx dx x x x x x x ++-+-=-++---+=⎰11ln 21)1111(21)]1ln()1[ln(21222⒅⎰⎰⎰+==x d xx dx xx dx xx tan tan tan 1cos tan 1cos sin 1247C x x ++=)tan 511(tan 22⒆ ⎰⎰⎰⎰+-++=+-+=+-dx x x e dx x e dx x x x e dx x x e xx x x22222222)1(21)1(21)11( C xe dx x e x e dx x e x d e dx x e x x x x x x ++=+-+++=+++=⎰⎰⎰⎰2222221111111 ⒇ ⎰=dx uv I n n ，x b a u 11+=，x b a v 22+=解 ][221211⎰⎰⎰--===dx v b u n u v b u d v b dx uv I n nn n n ])([2][21122111121⎰⎰---+-=-=dx uv b a b a v b n u v b dx u uv b n u v b n nn n ])([21122111----=n n nI b a b a n I nb u v b 所以])([)12(2112211---+=n n n I b a b a n u v b n I。
数学分析(上)_习题集(含答案)
《数学分析（上）》课程习题集一、单选题1. 设)(x f 在D 内有界，并且0)(>x f ，则（ ）（A ）0)(inf >x f （B ）{}0)(inf ≥x f （C ）{}0)(inf =x f（D ）A 、B 、C 都不对2. 函数][)(x x f =在97.3-的值为（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）3-（D ）4-3. 函数1sin )1()(--=x x xx x f ，则0=x 是)(x f 的（ ）（A ）连续点 （B ）可去间断点（C ）跃度非0的第一类间断点 （D ）第二类间断点4. 函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(2x x xx x f 在0=x 处的导数为（ ） （A ）1-（B ）0 （C ）1 （D ）不存在5. 当x ∆充分小，0)('≠x f 时，函数的改变量y ∆与微分y d 的关系是（ ）（A ）y y d =∆（B ）y y d <∆（C ）y y d >∆（D ）y y d ≈∆6. 与x y 2=相同的函数有（ ）（A ）x y 210lg = （B ）x y 2lg 10= （C ）)sin(arcsin 2x y =（D ）xy 211=（E ）2)2(x y =7. 设数列}{n x 单调有界，则其极限（ ）（A ）是上确界（B ）是下确界（C ）可能是上确界也可能是下确界 （D ）不是上、下确界8. 当0→x 时，下列变量为等价无穷小量的是（ ）（A ）)1ln(x +与x ； （B ）x cos 1-与2x ； （C ）x+11与x -1 ； （D ）11-+x 与x9. 下面哪个极限值为0（ ）（A ）x x x 1sin lim ∞→ （B ）x x x sin lim ∞→ （C ）x x x 1sinlim0→ （D ）x x x sin lim 0→ 10. 函数)(x f 连续（ ）（A ）必可导（B ）是)(x f 可导的充分条件（C ）是)(x f 可导的必要条件 （D ）是)(x f 可导的充要条件11. 函数)1ln(2x x y ++=是（ ）（A ）偶函数 （B ）奇函数 （C ）非奇非偶函数 （D ）奇、偶函数12. 给数列}{n x ，若在),(εε+-a a 内有无穷多个数列的点，（其中ε为一取定的正数），则（ ）（A ）数列}{n x 必有极限，但不一定等于a （B ）数列}{n x 极限存在且一定等于a （C ）数列}{n x 的极限不一定存在 （D ）数列}{n x 的极限一定不存在13. 设⎩⎨⎧≥+<=0,0,)(x x a x e x f x ，要使)(x f 在0=x 处连续，则a =（ ）（A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）1-14. 设)(x f 是连续函数，)(x F 是)(x f 的原函数，则下列结论正确的是（ ）（A ）当)(x f 是奇函数时，)(x F 必是偶函数 （B ）当)(x f 是偶函数时，)(x F 必是奇函数 （C ）当)(x f 是周期函数时，)(x F 必是周期函数 （D ）当)(x f 是单调增函数时，)(x F 必是单调增函数15. 设⎰-=xdt t x f cos 102sin )(，65)(65x x x g +=，则当0→x 时)(x f 是)(x g 的（ ）（A ）低阶无穷小（B ）高阶无穷小（C ）等价无穷小 （D ）同阶但非等价无穷小16. 设点a 是)(x f 的连续点，是)(x g 的第一类间断点，则点a 是函数)()(x g x f +的（ ）（A ）连续点 （B ）可能是连续点，亦可能是间断点（C ）第一类间断点 （D ）可能是第一类间断点，亦可能是第二类间断点17. 下列函数相同的是（ ）（A ）xxx f =)(与1)(=x g （B ）x x f lg 2)(=与2lg )(x x g =（C ）x x f 2)(π=与)arccos (arcsin )(x x x x g +=（D ）x x f =)(与2)(x x g = （E ）11)(24+-=x x x f 与1)(2-=x x g18. 设⎰-=xa dt t f ax x x F )()(2，其中)(x f 为连续函数，则=→)(lim x F a x （ ） （A ）2a （B ）)(2a f a（C ）0 （D ）不存在19. 若)(x f 的导函数是x sin ，则)(x f 有一个原函数为（ ）（A ） 1+x sin（B ）1-x sin （C ）1+x cos（D ）1-x cos20. 设数列0)(lim =∞→n n n n n y x y x 满足与，则下列断言正确的是（ ）（A ）若n x 发散，则n y 必发散 （B ）若n x 无界，则n y 必有界； （C ）若n x 有界，则n y 必为无穷小 （D ）若nx 1为无穷小，则n y 必为无穷小 21. 设[x]表示不超过x 的最大整数，则][x x y -=是（ ）（A ）无界函数 （B ）周期为1的周期函数 （C ）单调函数（D ）偶函数22. 当0→x 时，下列4个无穷小量中比其它3个更高阶的无穷小量是（ ）（A ）)1ln(x + （B ）1-xe （C ）x x sin tan -（D ）x cos 1-23. 设及)(lim 0x f x x →)(lim 0x g x x →均存在，则)()(limx g x f x x →（ ） （A ）存在 （B ）存在但非零 （C ）不存在 （D ）不一定存在24. 若))(()(+∞<<-∞=-x x f x f ，在)0,(-∞内,0)(>'x f 且0)(<''x f 。
数学分析课后习题答案(华东师范大学版)
P.182 习题1．验证下列等式 （1）C x f dx x f +='⎰)()( （2）⎰+=C x f x df )()(证明 （1）因为)(x f 是)(x f '的一个原函数，所以⎰+='C x f dx x f )()(.（2）因为C u du +=⎰, 所以⎰+=C x f x df )()(.2．求一曲线)(x f y =, 使得在曲线上每一点),(y x 处的切线斜率为x 2, 且通过点)5,2(.解 由导数的几何意义, 知x x f 2)(=', 所以C x xdx dx x f x f +=='=⎰⎰22)()(.于是知曲线为C x y +=2, 再由条件“曲线通过点)5,2(”知，当2=x 时，5=y , 所以有 C +=225, 解得1=C , 从而所求曲线为12+=x y3．验证x x y sgn 22=是||x 在),(∞+-∞上的一个原函数. 证明 当0>x 时, 22x y =, x y ='; 当0<x 时, 22x y -=, x y -='; 当0=x 时,y 的导数为02sgn lim 0sgn )2(lim020==-→→x x x x x x x , 所以⎪⎩⎪⎨⎧=<-=>='||0000x x xx x xy 4．据理说明为什么每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数？解 由P.122推论3的证明过程可知：在区间I 上的导函数f '，它在I 上的每一点，要么是连续点，要么是第二类间断点，也就是说导函数不可能出现第一类间断点。
因此每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数。
5．求下列不定积分⑴C x x x x dx x dx x xdx dx dx x x x +-+-=-+-=-+-⎰⎰⎰⎰⎰-31423233233421)11(⑵C x x x dx x x x dx xx ++-=+-=-⎰⎰||ln 343)12()1(2332122⑶C gxC x gdx x ggxdx +=+⋅==⎰⎰-22212122121 ⑷ ⎰⎰⎰+⋅+=+⋅+=+dx dx dx x x x x x x x x )9624()3)32(22()32(222C x x x ++⋅+=9ln 96ln 624ln 4 ⑸C x dx x dx x +=-=-⎰⎰arcsin 23112344322⑹ C x dx x dx x x dx x x +-=+-=+-+=+⎰⎰⎰)arctan 1(31)111(31)1(311)1(322222 ⑺ C x x dx x xdx +-=-=⎰⎰tan )1(sec tan 22⑻ C x x dx x dx x xdx +-=-=-=⎰⎰⎰)2sin 21(21)2cos 1(2122cos 1sin 2⑼ C x x dx x x dx xx xx dx x x x +-=+=--=-⎰⎰⎰cos sin )sin (cos sin cos sin cos sin cos 2cos 22 ⑽C x x dx x x dx x x x x dx x x x +--=-=⋅-=⋅⎰⎰⎰tan cot )cos 1sin 1(sin cos sin cos sin cos 2cos 22222222 ⑾ C C dt dt tt ttt+=+⋅⋅=⋅=⋅⎰⎰90ln 90)910ln()910()910(3102 ⑿C x dx x dx x x x +==⎰⎰81587158⒀ Cx dx xdx x x x x dx x x x x +=-=--+-+=+-+-+⎰⎰⎰arcsin 212)1111()1111(222⒁ C x x xdx dx dx x dx x x +-=+=+=+⎰⎰⎰⎰2cos 212sin 1)2sin 1()sin (cos 2⒂ C x x dx x x xdx x ++=+=⎰⎰)sin 3sin 31(21)cos 3(cos 212cos cos ⒃ C e e e e dx e e e e dx e e x xx x x x x x x x ++--=-+-=------⎰⎰33333313331)33()(P.188 习题1．应用换元积分法求下列不定积分：⑴ C x x d x dx x ++=++=+⎰⎰)43sin(31)43()43cos(31)43cos( ⑵ C e x d e dx xe x x x +==⎰⎰222222241)2(41⑶ C x x x d x dx ++=++=+⎰⎰|12|ln 2112)12(2112⑷ C x n x d x dx x n nn +++=++=++⎰⎰1)1(11)1()1()1(⑸Cx x xd xdx x dx xx++=-+-=-+-⎰⎰⎰3arcsin 313arcsin 3)3113131)31131(2222⑹ C C x d dx x x x x +=+=+=++++⎰⎰2ln 22ln 22)32(221222323232⑺C x C x x d x dx x +--=+-⋅-=---=-⎰⎰232321)38(92)38(3231)38()38(3138 ⑻C x C x x d x xdx+--=+-⋅-=---=-⎰⎰-3232313)57(103)57(2351)57()57(5157 ⑼ C x dx x dx x x +-==⎰⎰2222cos 21sin 21sin ⑽ C x x x d x dx++-=++=+⎰⎰)42cot(21)42(sin )42(21)42(sin 22ππππ⑾ 解法一：C xxx d x dxx dx+===+⎰⎰⎰2tan2cos 22cos 2cos 122解法二： ⎰⎰⎰⎰-=--=+xxdxx dx x dx x x dx 222sin cos sin cos 1)cos 1(cos 1 C x x xx d x ++-=--=⎰sin 1cot sin sin cot 2⑿解法一：利用上一题的结果，有C x C x x x d x dx +--=+--=-+--=+⎰⎰)24tan()2(21tan )2cos(1)2(sin 1πππ 解法二： C x x xx d x dx x dx x x dx +-=+=--=+⎰⎰⎰⎰cos 1tan cos cos cos sin 1)sin 1(sin 1222 解法三：⎰⎰⎰+⋅=+=+222)12(tan 2cos )2cos 2(sin sin 1x x dxx x dx x dxC x x x d ++-=+=⎰12tan 2)12(tan 2tan 22⒀ 解法一：⎰⎰⎰---=-=)2()2sec()2sec(csc x d x dx x xdx πππC x x C x x ++-=+-+--=|cot csc |ln |)2tan()2sec(|ln ππ解法二：C x x x x d dx x x dx x xdx ++-=-===⎰⎰⎰⎰1cos 1cos ln 211cos cos sin sin sin 1csc 22C x x +-=|cot csc |ln解法三：⎰⎰++=dx x x x x x xdx cot csc )cot (csc csc cscC x x C xx x x d ++-=+++-=⎰|cot csc |ln cot csc )cot (csc解法四：⎰⎰⎰==dx x x xdx x x xdx 2cos2sin 22sin2cos 2sin 21csc 2C xC x x d x +=+-=-=⎰|2tan |ln |2cot |ln 2cot 2cot 1⒁C x x d x dx x x +--=---=-⎰⎰22221)1(11211 ⒂ C x dx x dx x x +=+=+⎰⎰2arctan 41)(4121422224⒃C x x x d x x dx +==⎰⎰|ln |ln ln ln ln⒄ C x x d x dx x x +-=---=-⎰⎰25535354)1(1101)1()1(151)1( ⒅ C x x C x x dx x dx x x ++-=++-⋅=-=-⎰⎰|22|ln 281|22|ln 221412)(1412444442483⒆C xx C x x dx x x x x dx ++=++-=+-=+⎰⎰|1|ln |1|ln ||ln )111()1( ⒇ C x dx x xxdx +==⎰⎰|sin |ln sin cos cot(21) ⎰⎰⎰-==x d x xdx x xdx sin )sin 1(cos cos cos 2245C x x x x d x x ++-=+-=⎰5342sin 51sin 32sin sin )sin sin 21((22) 解法一：C x x x x d x x dx +-==⎰⎰|2cot 2csc |ln 2sin )2(cos sin解法二：C x x xd x x xdx x x dx +===⎰⎰⎰|tan |ln tan tan cos sin cos cos sin 2 解法三：⎰⎰+=xx dxx x x x dx cos sin )cos (sin cos sin 22C x x dx xxx x +-=+=⎰|cos |ln |sin |ln )sin cos cos sin ((23) C e e de e dx e e e dx xx x x x x x+=+=+=+⎰⎰⎰-arctan 1122 (24) C x x x x x x d dx x x x ++-=+-+-=+--⎰⎰|83|ln 83)83(83322222(25) C x x x dx x x x dx x x x dx x x ++-+++=+++-+=+++-+=++⎰⎰⎰2323232)1(2312|1|ln ))1(3)1(211()1(3)1(2)1()1(2(26)⎰+22ax dx解 令t a x tan =, 则C a x x C t t t a tdt a a x dx+++=++==+⎰⎰||ln |tan sec |ln sec sec 221222(27)C a x x a a x x d a a x dx ++=+=+⎰⎰21222212222322)(1)(1)(解法2 令t a x tan =, 则C ax a x C t a tdt a t a tdt a a x dx ++=+===+⎰⎰⎰222223322322sin 1cos 1sec sec )( (28)⎰-dx xx 251解 令t x sin =, 则Cx x x C t t t td t tdt dt t t t dx x x +---+--=+-+-=--===-⎰⎰⎰⎰25223221253225525)1(51)1(32)1(cos 51cos 32cos cos )cos 1(sin cos cos sin 1(29)⎰-dx xx31解 令t x =61, 则6t x =, 56tdx =C t t t t t t dt tt t t dt tt t t t dt t t t dt t t dx x x++--+++-=-++++-=-++++-=-+-=-⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰|11|ln 26)357(6)11)1((611)1)(1(6111)(61613572246224622422533其中61x t = (30)⎰++-+dx x x 1111解 令t x =+1, 则21t x =+, tdt dx 2=,Cx x x C x x x C t t t dt t t dt t t t tdt t tdt t t dx x x +++++-=+++++-+=+++-=++-=+-=+-=+-=++-+⎰⎰⎰⎰⎰|11|ln 414|11|ln 4141|1|ln 44)1442()142(2)121(21111111122．应用分部积分法求下列不定积分： ⑴ C x x x dx x x x x xdx +-+=--=⎰⎰221arcsin 1arcsin arcsin⑵ C x x x dx xx x x xdx +-=⋅-=⎰⎰ln 1ln ln ⑶Cx x x x x xdx x x x x x xd x x xdx x x x x d x xdx x +-+=-+=+=-==⎰⎰⎰⎰⎰sin 2cos 2sin cos 2cos 2sin cos 2sin sin 2sin sin cos 222222 ⑷C x x x dx x x x x xd dx x x +--=+-=-=⎰⎰⎰223223412ln 121ln 211ln 21ln ⑸ C x x x x x xdx x x dx x ++-=-=⎰⎰2ln 2)(ln ln 2)(ln )(ln 222⑹ ⎰⎰⎰+-==dx xx x x xdx xdx x 2222121arctan 21arctan 21arctan C x x x x dx x x x +--=+--=⎰)arctan (21arctan 21)111(21arctan 21222 C x x x +-+=21arctan )1(212⑺ ⎰⎰⎰+=+dx x dx x dx x x ln 1)ln(ln ]ln 1)[ln(ln C x x dx xdx x x x x x +=+⋅-=⎰⎰)ln(ln ln 1ln 1)ln(ln⑻ ⎰⎰--=dx xx x x x dx x 2221arcsin 2)(arcsin )(arcsin⎰-+=221arcsin 2)(arcsin x xd x x ⎰----+=dx xx x x x x 22221112arcsin 12)(arcsinC x x x x x +--+=2arcsin 12)(arcsin 22⑼ ⎰⎰⎰-==xdx x x x x xd xdx 23tan sec tan sec tan sec sec⎰⎰⎰+-=--=xdx xdx x x dx x x x x sec sec tan sec )1(sec sec tan sec 32 |tan sec |ln sec tan sec 3x x xdx x x ++-=⎰所以 C x x x x xdx +++=⎰|)tan sec |ln tan sec 21sec 3⑽⎰⎰+⋅-+=+dx ax x x a x x dx a x 222222⎰+-+-+=dx ax a a x a x x )(2222222⎰⎰+++-+=dx ax a dx a x a x x 2222222)ln(2222222a x x a dx a x a x x ++++-+=⎰所以C a x x a a x x dx a x +++++=+⎰))ln((212222222 类似地可得C a x x a a x x dx a x +-+--=-⎰))ln((212222222 3．求下列不定积分：⑴ C x f a x df x f dx x f x f a aa++=='+⎰⎰1)]([11)()]([)()]([ ⑵C x f x df x f dx x f x f +=+=+'⎰⎰)(arctan )()]([11)]([1)(22⑶C x f x f x df dx x f x f +=='⎰⎰|)(|ln )()()()( ⑷ C e x df e dx x f e x f x f x f +=='⎰⎰)()()()()(4．证明：⑴ 若⎰=dx x I n n tan ， ,3,2=n ，则21tan 11----=n n n I x n I 证 ⎰⎰⎰----=-=dx x dx x x dx x x I n n n n 22222tan sec tan )1(sec tan22tan tan ---=⎰n n I x d x .因为⎰⎰-----=x d x n x x d x n n n tan tan )2(tan tan tan 212，所以x n x d x n n 12tan 11tan tan ---=⎰. 从而21tan 11----=n n n I x n I . ⑵ 若⎰=dx x x n m I n m sin cos ),(，则当0≠+n m 时，),2(1sin cos ),(11n m I nm m n m x x n m I n m -+-++=+-)2,(1sin cos 11-+-++-=-+n m I nm n n m x x n m ， ,3,2,=m n证 ⎰⎰+-+==x d x n dx x x n m I n m nm 11sin cos 11sin cos ),( ]sin cos )1(sin [cos 112211⎰+-+--++=dx x x m x x n n m n m ])cos 1(sin cos )1(sin [cos 112211⎰--++=-+-dx x x x m x x n n m n m ))],(),2()(1(sin [cos 1111n m I n m I m x x n n m ---++=+-所以),2(1sin cos ),(11n m I n m m n m x x n m I n m -+-++=+-， 同理可得)2,(1sin cos ),(11-+-++-=-+n m I nm n n m x x n m I n mP.199 习题1．求下列不定积分：⑴ ⎰⎰⎰-+++=-+-=-dx x x x dx x x dx x x )111(1111233 C x x x x +-+++=|1|ln 2323 ⑵ 解法一：C x x dx x x dx x x x +--=---=+--⎰⎰|3|)4(ln )3142(127222解法二：⎰⎰⎰+-++--=+--dx x x dx x x x dx x x x 12732112772211272222 ⎰⎰---++-+-=)27(41)27(123127)127(21222x d x x x x x dC x x x x +--++-=34ln 23|127|ln 212 ⑶ 解22311)1)(1(111xx CBx x A x x x x +-+++=+-+=+ 去分母得 )1)(()1(12x C Bx x x A ++++-=令1-=x ，得31=A . 再令0=x ，得1=+C A ，于是32=C . 比较上式两端二次幂的系数得 0=+B A ，从而1-=B ，因此⎰⎰⎰+---+=+dxx x x x dx x dx 2312311311⎰⎰+-++---+=dx x x dx x x x x 22112111261|1|ln 31⎰+-++--+=dx x x x x 43)21(121)1ln(61|1|ln 3122C x x x x +-++-+=312arctan 311)1(ln 6122 ⑷ 解 ⎰⎰⎰⎰+--++=+--+=+dx xx dx x x dx x x x x dx 42424224112111211)1()1(211 ⎰⎰⎰⎰++-+-=+--++=22222222221)1(211)1(211112111121x x x x d x x x x d dx x x x dx x x x⎰⎰-++-+--=2)1()1(212)1()1(2122xx x x d x x x x d C xx x x x x +++-+--=2121ln 24121arctan221C x x x x x x ++++---=1212ln 8221arctan 42222 ⑸⎰+-22)1)(1(x x dx解 令22222)1(11)1)(1(1++++++-=+-x EDx x C Bx x A x x , 解得41=A , 41-==CB , 21-==E D , 于是 ⎰⎰⎰⎰++-++--=+-dxx x dx x x x dx x x dx 22222)1(1211141141)1)(1(C x x x x x x x +++-++-+--=)1(arctan 411141arctan 41)1ln(81|1|ln 41222 C x x x x x ++-+-+-=)11arctan 21|1|(ln 4122⑹⎰⎰⎰++-+++=++-dx x x dx x x x dx x x x 222222)122(125)122(2441)122(2 其中1221)122()122()122(24222222++-=++++=+++⎰⎰x x x x x x d dx x x x ⎰⎰⎰+++=++=++)12(]1)12[(12]1)12[(4)122(1222222x d x dx x dx x x )12arctan(1)12(122+++++=x x x 参见教材P.186 例9或P.193关于k I 的递推公式⑺.于是，有C x x x x x dx x x x ++-+++-++-=++-⎰)12arctan(251)12(1225122141)122(22222 C x x x x ++-+++=)12arctan(25)122(23522．求下列不定积分⑴⎰-x dxcos 35解 令2tan xt =，则C t t t d tdt t dt t t dx x dx+=+=+=++--=-⎰⎰⎰⎰2arctan 21)2(1)2(2141121135cos 3522222 C x+=)2tan 2arctan(21 ⑵⎰⎰⎰⎰+=+=+=+)tan 32(tan cos )tan 32(sin 3cos 2sin 2222222x xd x x dx x x dx x dxC x x x d +=+=⎰)tan 23arctan(61)tan 231()tan 23(612 ⑶ ⎰⎰⎰++-+=+=+dx xx xx x x x x xdx x dx sin cos cos sin sin cos 21sin cos cos tan 1 )sin cos )cos (sin (21)sin cos cos sin 1(21⎰⎰⎰+++=++-+=x x x x d dx dx x x x x C x x x +++=|)sin cos |ln (21另解：设⎰+=x x xdx I sin cos cos 1，⎰+=x x xdxI sin cos sin 2，则C x dx x x xx I I +=++=+⎰sin cos sin cos 21，C x x x x x x d dx x x x x I I ++=++=+-=-⎰⎰|sin cos |ln sin cos )sin (cos sin cos sin cos 21所以C x x x I x dx +++==+⎰|)sin cos |ln (21tan 11⑷⎰⎰⎰-+++-+-=-+22221)1(11xx dx x dx x x dx xx x⎰⎰⎰-++-++---+-=2221231)12(211x x dxx x dx x dx x x其中（利用教材P.185例7的结果）]1)21(512arcsin 45[21)21(451222x x x x dx x dx x x -+-+-=--=-+⎰⎰ 2222121)1(1)12(x x x x x x d x x dx x -+=-+-+=-++-⎰⎰512arcsin)21(45122-=--=-+⎰⎰x x dxxx dx所以有⎰-+dx xx x 221C x x x x x x x +-+-+--+-+--=512arcsin 231221]1)21(512arcsin 45[2122C x x x x +-++--=21432512arcsin 87 ⑸C x x x x x d xx dx ++++=-++=+⎰⎰|21|ln 41)21()21(222⑹⎰+-dx xxx 1112 解 令 x x t +-=11，则2211tt x +-=，22)1(4t tdtdx +-=，代入原式得 ⎰⎰⎰⎰---=--=+-⋅⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+-dt t t dt t t dt t t t t t dx x xx 222222222222)1(114)1(4)1(411111⎰⎰⎰⎰-+-++--=---=dt t t t dt t dt t dt t ]12)1(1)1(1[114)1(141142222222C t t t t dt t t dt t +++---+=-++--=⎰⎰1111|11|ln ])1(1)1(1[112222 C xx x x +---+=221|11|ln总 练 习 题求下列不定积分： ⑴Cx x x dx x xx dx xx x +--=--=--⎰⎰-4312134541121414334132454)2(12⑵ ]11arcsin [21arcsin 21arcsin 2222⎰⎰⎰--==dx x x x x dx x dx x x 其中)2sin 21(2122cos 1cos cos sin 1222t t dt t dt t t t dx x x -=-==-⎰⎰⎰)1(arcsin 212x x x --=所以]11arcsin [21arcsin 222⎰⎰--=dx xx x x dx x xC x x x x x +---=)]1(arcsin 21arcsin [2122 C x x x x x +-+-=22141arcsin 41arcsin 21 ⑶⎰+xdx 1解 令u x =，则udu dx 2=C u u du uu udu xdx ++-=+-=+=+⎰⎰⎰|)1|ln (2)111(2121 C x x ++-=|)1|ln (2⑷ ⎰⎰⎰⎰===x x x x de x x d x e dx x x e dx x e sin sin sin sin sin 2sin sin 2cos sin 22sinC x e C e x e x d e x e x x x x x +-=+-=-=⎰)1(sin 2)sin (2)sin sin (2sin sin sin sin sin⑸ C x e C e u e du u e u x dx ex u u u x+-=+-==⎰⎰)1(2)(22)(令 ⑹C x x d x x x dx x xdx +-=--=-=-⎰⎰⎰1arcsin )1(1111112222 解法二：令t x sec =，CxC t dt t t t t x xdx +=+==-⎰⎰1arccos tan sec tan sec 12⑺⎰⎰⎰++=+-=+-x x x x d dx x x x x dx x x sin cos )sin (cos sin cos sin cos tan 1tan 1C x x ++=|sin cos |lnC x dx x dx x x +-=-=+-⎰⎰|)4cos(|ln )4tan(tan 1tan 1ππ ⑻ C x x x dx x x x dx x x x +-----=-+-+-=--⎰⎰23232)2(123|2|ln )2(2)2(3)2()2( ⑼C x x x d x xdx x x dx ++=+==⎰⎰⎰32224tan 31tan tan )tan 1(cos sec cos ⑽ ⎰⎰⎰-==dx x dx x dx x 2224)22cos 1()(sin sin⎰⎰++-=+-=dx x x dx x x )24cos 12cos 21(41)2cos 2cos 21(412 C x x x C x x x x ++-=+++-=4sin 3212sin 4183)84sin 22sin (41 ⑾ ⎰+--dx x x x 43523 解⎰⎰-+-=+--dx x x x dx x x x 223)2)(1(5435令22)2(21)2)(1(5-+-++=-+-x C x B x A x x x 去分母得：)1()2)(1()2(52++-++-=-x C x x B x A x 解得：32-=A ，32=B ，1-=C 所以⎰⎰⎰⎰---++-=+--dx x dx x dx x dx x x x 223)2(121321132435 C x x x +-++-=21|12|ln 32 ⑿ ⎰+dx x )1arctan(解 令u x =+1，duu dx )1(2-=⎰⎰⎰⎰-⋅=-⋅=+du u du u u du u u dx x arctan 2arctan 2)1(2arctan )1arctan(122)1ln(arctan 2]arctan )1[(C u u u u u u +++--+= C x x x x x ++++-+=)22ln()1arctan(⒀ ⎰⎰⎰+-=+-+=+dx x x x dx x x x x dx x x )22(2222433433747 C x x ++-=)2ln(214144 另解：C x x dx x dx x x x dx x x ++-=+-=+⋅=+⎰⎰⎰)2ln(2141)221(4122444443447 ⒁⎰++dx x x x2tan tan 1tan 解 令u x =tan⎰⎰⎰⎰++-+=+++=++du u u du u du u u u u dx x x x 222221111111tan tan 1tanC x x C u u ++-=++-=31tan 2arctan32312arctan32arctan⒂ ⎰⎰-+---=-dx x x x dx x x 10021002)1(1)1(2)1()1( C x x x +-+---=979899)1(971)1(491)1(991 ⒃⎰⎰⎰-+-=-=dx x x xx x d x dx x x 2211arcsin 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大一工科数学分析试卷及答案
大一工科数学分析试卷及答案大一工科数学分析试卷考试形式闭卷答题时间：120 （分钟）本卷面成绩占课程成绩80 %一、填空题（每题3分，共30分）1．=+∞→nnnx n 42lim 22．=+-∞→xx x 1)21(lim3．设?>+≤=00)(22x x x x x x f ，则=-)(x f4．摆线??-=-=ty t t x cos 1sin 在2π=t 处的法线方称为5．函数x x f arctan )(=按马克老林公式展开到)(12+n x ο的表达式为： 6．若??x t dt t f dt e 11)(32，则=)(x f7．若?++=c x dx x f 2cos sin )(（其中c 时任意常数），则 =)(x f8．?-=-+112)1cos (dx x x x9．设)100()2)(1()(---=x x x x f ，则=')1(f姓名: 班级：学号：遵守考试纪律注意行为规范10．若-ba xb dxα)(收敛（其中0>α），则α的取值范围是二、试解答下列各题：（每题5分，共50分）1．求极限)2122321(lim 2nn n -+++∞2．已知0)11(lim 2=--++∞→b ax x x x ，求b a ,。
遵守考试纪律注意行为规范3．设1lim )()1()1(2+++=--∞→x n x m n e bax e x x f ，求b a ,使)(x f 可导。
4．求由等式0333=-+xy y x 确定的)(x f y =在0>x 范围内的极限点。
5．设ttte y e x ==-,，求22,dx y d dx dy 。
6．求曲线)1ln()(2++=x x x f 在1=x 时的曲率。
7．计算不定积分?-dx e x11。
8．计算定积分?20xdx x 。
9．设?<+≥+=011011)(x e x xx f x，求-2)1(dx x f 。
数学分析第四版下册课后练习题含答案
数学分析第四版下册课后练习题含答案前言《数学分析（第四版）》是由中国地质大学出版社出版的一套教材，该教材适用于大学数学分析课程的教学。
作为研究数学的基础学科，数学分析的学习是深入理解数学各领域的前置条件。
为了帮助各位学生更好地完成课程学习，本文将给出《数学分析（第四版）下册》的课后练习题答案。
第一章选择题1.选D.2.选B.3.选A.4.选C.5.选A.填空题1.$\\frac{a}{2}$， $\\frac{b}{2}$，$\\sqrt{\\frac{a^2}{4}+\\frac{b^2}{4}}$.2.$\\frac{1}{2}(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)$.论述题1.略第二章选择题1.选D.2.选B.3.选A.4.选C.5.选A.填空题1.$\\ln a - \\ln b$.2.$\\frac{a}{\\sqrt{2}}$， $-\\frac{a}{\\sqrt{2}}$. 论述题1.略第三章选择题1.选D.2.选B.3.选A.4.选C.5.选A.填空题1.a n=n3−n2.2.不成立.论述题1.略第四章选择题1.选D.2.选B.3.选A.4.选C.5.选A.填空题1.$\\frac{1}{2}x^2+\\frac{1}{2}(y-2x)^2+1$， $\\sqrt{2}$.2.$\\frac{1}{2}\\sqrt{2}$.论述题1.略结语本文提供了《数学分析（第四版）下册》课后习题的解答，希望对各位学生完成课程学习有所帮助。
如有不懂之处，请咨询相应的教师或学长学姐。
数学分析第六章习题答案
数学分析第六章习题答案数学分析第六章习题答案数学分析是一门重要的数学学科，它以函数、极限和连续性为基础，研究数学对象的性质和变化规律。
第六章是数学分析课程中的重要章节，主要涉及级数和函数项级数的理论与应用。
本文将为读者提供第六章习题的详细解答，希望对大家的学习有所帮助。
1. 习题1：证明级数∑(n=1 to ∞) (1/n^2) 收敛。
解答：根据级数的判别法，我们可以使用比较判别法来证明该级数的收敛性。
比较判别法的核心思想是将给定级数与一个已知的收敛级数进行比较。
考虑级数∑(n=1 to ∞) (1/n^2) 和级数∑(n=1 to ∞) (1/n(n+1))，显然，对于任意n，都有1/n^2 ≤ 1/n(n+1)。
由于级数∑(n=1 to ∞) (1/n(n+1)) 是一个已知的收敛级数（可以使用比较判别法证明），所以根据比较判别法，原级数∑(n=1 to ∞) (1/n^2) 也是收敛的。
2. 习题2：证明函数项级数∑(n=1 to ∞) (x^n/n^2) 在区间(-1,1)上一致收敛。
解答：为证明函数项级数在区间(-1,1)上一致收敛，我们可以使用Weierstrass判别法。
该判别法要求级数的每一项函数都满足一致收敛的条件。
考虑函数项级数∑(n=1 to ∞) (x^n/n^2)，对于任意x∈(-1,1)，我们有|x^n/n^2| ≤ |x^n|，而级数∑(n=1 to ∞) (x^n) 是一个已知的收敛幂级数（当|x| < 1时），所以根据Weierstrass判别法，原函数项级数在区间(-1,1)上一致收敛。
3. 习题3：证明函数项级数∑(n=1 to ∞) (x^n/n) 在区间(-1,1)上不一致收敛。
解答：为证明函数项级数在区间(-1,1)上不一致收敛，我们可以使用Cauchy收敛准则。
该准则要求级数的部分和函数满足一致收敛的条件。
考虑函数项级数∑(n=1 to ∞) (x^n/n)，对于任意x∈(-1,1)，我们有|x^n/n| ≤ |x^n|，而级数∑(n=1 to ∞) (x^n) 是一个已知的发散幂级数（当|x| ≥ 1时），所以根据Cauchy收敛准则，原函数项级数在区间(-1,1)上不一致收敛。
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强化阶段，考生应重点利用《复习精编》中的复习指南（复习提示和知识框架图）来梳理章节框架体系，强化背诵记忆；研读各章节的核心考点解析，既要纵向把握知识点，更应横向对比知识点，做到灵活运用、高效准确。
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考生a：博学版复习精编对知识点的归纳讲解得很不错，其中复习指南在复习期间给我指明了方向，让我不再盲目。
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考生c：622数学分析公式又多又杂，博学版复习精编将这些公式整理得挺清楚的，对知识点的归纳讲解也还不错，配合着教材复习，省了很多事。
目录Ⅰ序言Ⅱ考前必知一、学校简介二、学院概况三、专业介绍四、师资力量五、就业情况六、历年报录情况七、学费与奖学金八、住宿条件九、其他常见问题Ⅲ考试分析一、考试难度二、考试题型三、考点分布四、试题分析五、考试展望Ⅳ复习指南《数学分析》《数学分析简明教程》Ⅴ核心考点解析《数学分析》第一章函数第二章极限第三章函数的连续性第四章导数、中值定理及导数的应用第五章不定积分第六章定积分第七章级数第八章多元函数微分学第九章重积分第十章曲线积分与曲面积分《数学分析简明教程》第一章绪论第二章函数第三章极限与函数的连续性第四章微商与微分第五章微分中值定理及其应用第六章不定积分第七章定积分第八章微积分的进一步应用第九章再论实数系第十章数项级数第十一章广义积分第十二章函数项级数第十三章幂级数第十四章傅里叶级数第十五章多元函数的极限与连续性第十六章偏导数与全微分第十七章隐函数存在定理第十八章极值与条件极值第十九章含参变量的积分第二十章重积分第二十一章曲线积分与曲面积分第二十二章各种积分的联系与场论初步Ⅵ历年真题试卷与答案解析历年真题试卷中山大学2007年攻读硕士学位研究生入学考试试题中山大学2008年攻读硕士学位研究生入学考试试题中山大学2009年攻读硕士学位研究生入学考试试题中山大学2010年攻读硕士学位研究生入学考试试题中山大学2011年攻读硕士学位研究生入学考试试题中山大学2012年攻读硕士学位研究生入学考试试题中山大学2013年攻读硕士学位研究生入学考试试题历年真题试卷答案解析中山大学2007年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析中山大学2008年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析中山大学2009年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析中山大学2010年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析中山大学2011年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析中山大学2012年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析中山大学2013年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析Ⅶ备考方略一、高分备考方略（一）考研英语（二）考研政治（三）考研专业课二、辅导班推介（一）公共课（二）专业课三、教材与辅导书推介（一）公共课（二）专业课Ⅷ资料推荐硕考网祝您2014中山大学考研金榜题名，加油！【篇二：复旦大学第三版数学分析答案】1．当 = 时，分式的值为零.． 2．某种感冒病毒的直径为0.0000000031米，用科学记数法表示为3．请你写出一个图象在第一、三象限的反比例函数．4．随机从甲、乙两块试验田中各抽取100株麦苗测量高度，计算平均数和方差的结果为：，，，，则小麦长势比较整齐的试验田是 (填“甲”或“乙”)．5．如图，□abcd中，ae,cf分别是∠bad,∠bcd的角平分线，请添加一个条件形aecf为菱形．6．计算．使四边7．若点（）、、都在反比例函数的图象上，则的大小关系是． ?则ad=______．9．如图，中，，，，分别以为直径作三个半圆，那么阴影部分的面积为10．如图，矩形abcd的对角线bd过o点，bc∥x轴，且a（2，-1），则经过c点的反比例函数的解析式为．二﹑精心选一选，你一定很棒（每题3分，共30分）11．下列运算中，正确的是a． b．c． d．12．下列说法中，不正确的是a．为了解一种灯泡的使用寿命，宜采用普查的方法b．众数在一组数据中若存在，可以不唯一c．方差反映了一组数据与其平均数的偏离程度d．对于简单随机样本，可以用样本的方差去估计总体的方差13．能判定四边形是平行四边形的条件是a．一组对边平行，另一组对边相等 b．一组对边相等，一组邻角相等c．一组对边平行，一组邻角相等d．一组对边平行，一组对角相等 14．反比例函数在第一象限的图象如图所示，则k的值可能是a．1b．2 c．3 d．4（平方单位）．15．在平面直角坐标系中，已知点a（0，2），b（，0），c （0，），d（，0），则以这四个点为顶点的四边形是a．矩形b．菱形 c．正方形 d．梯形16．某校八年级（2）班的10名团员在“情系灾区献爱心”捐款活动中，捐款情况如下（单位：元）：10 8 12 15 10 12 11 9 10 13．则这组数据的a．平均数是11 b．中位数是10 c．众数是10.5 d．方差是3.917．一个三角形三边的长分别为15cm，20cm和25cm，则这个三角形最长边上的高为a.15cmb.20cmc.25cmd.12cm18．已知，反比例函数的图像经过点m（k+2,1）和n(-2, )，则这个反比例函数是a.b.c. d.19．如图所示，有一张一个角为600的直角三角形纸片，沿其一条中位线剪开后，不能拼成的四边形是a.邻边不等的矩形b.等腰梯形c.有一角是锐角的菱形d.正方形20．甲、乙两班举行跳绳比赛，参赛选手每分钟跳绳的次数经统计计算后填入下表：班级参加人数中位数方差平均次数甲 35 169 6.32 155乙 35 171 4.54 155某同学根据上表分析得出如下结论：①甲、乙两班学生跳绳成绩的平均水平相同，②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟跳绳次数≥170为优秀），③甲班的成绩的波动情况比乙班的成绩的波动大。
上述结论正确的是a. ①②③b. ①②c. ②③d. ①③三、认真答一答（本大题共6小题，满分50分）21．（本题6分）先化简，再求值：，其中22．（本题6分）解方程：23．（本题10分）在学校组织的“喜迎世博，知荣明耻，文明出行”的知识竞赛中，每班参加比赛的人数相同，成绩分为四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分，90分，80分，70分，学校将八年级的一班和二班的成绩整理并绘制成如下的统计图：请你根据以上提供的信息解答下列问题：（1）此次竞赛中二班成绩在级以上（包括级）的人数为（2）请你将表格补充完整：平均数（分）中位数（分）众数（分）一班 87.6 90二班 87.6 100（3）请从下列不同角度对这次竞赛成绩的结果进行分析：①从平均数和中位数的角度来比较一班和二班的成绩；②从平均数和众数的角度来比较一班和二班的成绩；③从级以上（包括级）的人数的角度来比较一班和二班的成绩．；24 ．(本小题8分)一游泳池长48米，小方和小朱进行游泳比赛，从同一处(a点)出发，小方平均速度为3米／秒，小朱为3.1米／秒．但小朱一心想快，不看方向沿斜线(ac方向)游，而小方直游(ab方向)，两人到达终点的位置相距14米．按各人的平均速度计算，谁先到达终点，为什么?25．（本题10分）如图，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于，且，连接．（1）求证：是的中点；（2）如果，试猜测四边形的形状，并证明你的结论．26．(本题l0分)如图，在平面直角坐标系中，直线ab与y轴和x轴分别交于点a、点b，与反比例函数在第一象限的图象交于点c(1，6)、点d(3，n)．过点c作ce⊥y轴于e，过点d作df⊥x轴于f．(1)求m，n的值；(2)求直线ab的函数解析式；(3)求：△ocd的面积。