(最新)[武汉大学]2015数学分析
武汉科技大学_840 数学分析-2015(A卷答案)考研真题
二O一五年招收硕士研究生入学考试试题参考答案（A 卷）一、选择题(本大题共5小题, 每小题6分, 共30分)1.A2. B3.B4.C5. B二、填空题(本大题共5小题, 每小题6分, 共30分)1、 2、0)4()1(2)2(4=---+-z x x π3、4、2π⎰+y y yf dx x f 0)(2)(5、 31三. 计算题(本大题共3小题, 每小题10分, 共30分)1.解：两曲线的交点为（0，0），（1，1） （2分）所求的面积为： （4分）31)(102=-⎰dx x x 所求的体积为： （4分）103)(105ππ=-⎰dx x x 2.解：设，，收敛半径为1，收敛域∑∞=+=1)1()(n n n n x x f 1)1(1)2)(1(1lim =+++∞→n n n n n [-1，1] （4分）),10(),1ln(11)1()(121'<<---=+=∑∞=-x x x x n x x f n n (3分）)10(),1ln(11)()(0'<<--+==⎰x x xx dt t f x f x x =0级数为0，x =1，级数为1，x =-1，级数为1-2ln2 （3分）3. 解：，224y x z --=y x y x y y x x S d d 441d 222222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+= （3分）y x zy x y x d d 2d d 4222=--=且 4|),(22≤+=y x y x D （4分）()()y x y x S z y z xD S d d 2d 2222⎰⎰⎰⎰⋅+=+∴ r r r d d 220220⎰⎰⋅θ=π []2022042⎥⎦⎤⎢⎣⎡π⋅θ⋅=π= （3分）π=⋅π⋅16422四、证明题(本大题共4小题,，每小题15分，共60分)1． 证明：设函数在有界，则在必有上确界和下确界 （3分）)(x f ],[b a ],[b a 一方面，，所以{}{}],[,,)(inf )(sup )()(],[],[b a y x x f x f y f x f b a x b a x ∈∀-≤-∈∈ （5分）{}{}{}{},)(inf )(sup )()(sup )()(sup],[],[],[,],[,x f x f y f x f y f x f b a x b a x b a y x b a y x ∈∈∈∈-≤-=- 另一方面， （2分）],[,)()()()()()()(b a y x y f y f x f y f y f x f x f ∈∀+-≤+-=所以{)],[,),()()(sup )(],[,b a y x y f y f x f x f b a y x ∈∀+-≤∈进一步{){}],[,)(inf )()(sup)(],[],[,b a x y f y f x f x f b a y b a y x ∈∀+-≤∈∈从而 （5分）{}{}{})(inf )(sup )()(sup],[],[],[,x f x f y f x f b a x b a x b a y x ∈∈∈-≥-2. 证明：考虑函数在条件下的极值问题，2nn y x z +=)0 ,0 ,0( ≥≥>=+y x a a y x 设（5分）).()(21),(a y x y x y x F n n -+++=λ解方程组（5分）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=∂∂=+=∂∂=+=∂∂--002211a y x F y n y F x n x F n n λλλ可得从而.2a y x ==.222nn n n y x a y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛≥+如果时，则结论显然成立. （5分）0==y x 3.证明： （4分）||||022xy y x xy≤+≤=0所以函数在（0，0）点连续， （3分）22)0,0(),(lim y x xy y x +→又，存在切等于0， （4分）00lim0=∆→∆x x )0,0(),0,0(y x f f 但不存在，故函数在（0，0）点不可微 （4分）22)0,0(),(lim y x y x y x ∆+∆∆∆→∆∆4. 证明：由在上单调递增，)(x f []b a , （5分）],[,0)]2()(2(b a x b a f x f b a x ∈≥+-+-所以 （5分）0)]2()([2(≥+-+-⎰dx b a f x f b a x b a 即 0)2(2()()2(=+-+≥+-⎰⎰dx b a x b a f dx x f b a x b a b a 即 。
武汉大学近二十年数学分析考研真题
其中 N > 0 为一常数，且逐点有 fn (x) → f (x) （当 n → +∞ ）。证明： （1） f (x) 在[a,b] 上连续。
（2） fn (x)→ f (x) 。
6．设
f
(x,
y)
=
⎪⎪⎧ g ( x, ⎨
y ) sin
⎪0,
⎪⎩
1, x2 + y2
(x, y) ≠ (0,0)
，证明
+
1 32
−
1 4
+
1 52
+"+
1 (2n −1)2
−
1 2n
+ " 是否收敛？为什么？
∑ 3．求级数 ∞ ⎜⎛1 + 1 ⎟⎞n(n+1) x n 的收敛区域。
n=1 ⎝ n ⎠ 4．求函数 f (x, y, z) = xyz 在条件 x + y = 1 及 x − y + z 2 = 1下的极值。
∫+∞⎡
lim
n→+∞
−∞⎢⎣
f
⎜⎛ ⎝
y
+
1 n
⎟⎞ − ⎠
f
⎤ ( y)⎥⎦dy
=
0。
3．设 f (x, y) 为连续函数，且当 (x, y) ≠ (0,0) 时，f (x, y) > 0 ，及满足 f (cx,cy) = cf (x, y) ，
∀c > 0 。证明存在α , β > 0 ，使得α x2 + y 2 ≤ f (x, y) ≤ β x2 + y 2 。
其中
∆u
=
∂2u ∂x 2
+
2015年湖北省高考数学试卷(文科)答案与解析
2015年湖北省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
6072．（3分）（2015•湖北）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内×4．（3分）（2015•湖北）已知变量x和y满足关系y=﹣0.1x+1，变量y与z正相关，下列结5．（3分）（2015•湖北）l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线，q：l1，l26．（3分）（2015•湖北）函数f（x）=的定义域为（），7．（3分）（2015•湖北）设x∈R，定义符号函数sgnx=，则（），而左边，而左边，而左边=xsgnx=，显然正确；8．（3分）（2015•湖北）在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x+y≤”的概率，P2为事件“xy≤”的概率，则（）”==；；9．（3分）（2015•湖北）将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b（a≠b）同时=∴﹣，10．（3分）（2015•湖北）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则A⊕B中元二、填空题11．（3分）（2015•湖北）已知向量，||=3，则=9．，所以=0﹣，即212．（3分）（2015•湖北）设变量x，y满足约束条件，则3x+y的最大值为10．得13．（3分）（2015•湖北）函数的零点个数为2．14．（3分）（2015•湖北）某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示．（1）直方图中的a=3．（2）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为6000．15．（3分）（2015•湖北）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=100m．h=，h=100．16．（3分）（2015•湖北）如图，已知圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|=2．（1）圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣）2=2．（2）圆C在点B处切线在x轴上的截距为﹣1﹣．）由题意，圆的半径为=））1+）﹣﹣）．17．（3分）（2015•湖北）a为实数，函数f（x）=|x2﹣ax|在区间[0，1]上的最大值记为g（a）．当a=2﹣2时，g（a）的值最小．2﹣2时，=∵=﹣，[）；，故答案为：三、解答题18．（12分）（2015•湖北）某同学将“五点法”画函数f（x）=Asin（wx+φ）（w＞0，|φ|＜）π（1）请将上述数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点向左平移个单位长度，得到y=g（x）图象，求y=g（x）的图象离原点O最近的对称中心．2））图象上所有点向左平移（）﹣]2x+）=k﹣，．（﹣19．（12分）（2015•湖北）设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式（2）当d＞1时，记c n=，求数列{c n}的前n项和T n．，写出、，由题意可得，或；=•••∴+3+5+7+•∴+++﹣﹣20．（13分）（2015•湖北）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE．（Ⅰ）证明：DE⊥平面PBC．试判断四面体EBCD是否为鳖臑．若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；（Ⅱ）记阳马P﹣ABCD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，求的值．====．CD==21．（14分）（2015•湖北）设函数f（x），g（x）的定义域均为R，且f（x）是奇函数，g （x）是偶函数，f（x）+g（x）=e x，其中e为自然对数的底数．（1）求f（x），g（x）的解析式，并证明：当x＞0时，f（x）＞0，g（x）＞1；（2）设a≤0，b≥1，证明：当x＞0时，ag（x）+（1﹣a）＜＜bg（x）+（1﹣b）．时，＞，（=）＞×==时，＞，故，故＜22．（14分）（2015•湖北）一种画椭圆的工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON 可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（1）求椭圆C的方程；（2）设动直线l与两定直线l1：x﹣2y=0和l2：x+2y=0分别交于P，Q两点．若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．其方程为．=k（，，）|PQ|==|PQ|d=|m||x|m|||=| =||=8|时，＜（时，∴1+。
数学分析例题
一、极限论例 证明 1lim 0a n n →∞=，其中a>0为常数.例 设{nS }为例所得的数列，即证明222321lim 36n n n n →∞-+=.例 证明lim 0(1)n n q q →∞=<.例 求224n 1lim 256n n n →∞++-.例 求lim ,其中a -11n n n a a →∞≠+.例 求lim n →∞-.例 n n 设a 0（n=1，2）,lim a =a.证明lim 为常数).n n a →∞→∞≥K例 证明lim 1(0)n a →∞=>.例 求lim n →∞.例 设123n a a a a ====L 求lim n n a →∞.例 证明极限1lim (1)n n n→∞+存在.例 若2sin 1sin 2sin 222n nn a =+++L ，则数列{n a }收敛.例 证明x 1lim =0x →∞.例 证明 （1）x lim arctan 2x π→+∞=（2）x lim arctan 2x π→-∞=-例 证明2x 11lim 21x x →-=-.例 证明2x 2lim 12x x →=+.例 证明00x lim 0).x x →=>例 证明 （1）00x lim sin sin x x x →=（2）00x lim cos cos x x x →=.例 求极限01lim x x →-.例 求极限01lim .x x x →⎡⎤⎢⎥⎣⎦例 求证0lim 1(0).x x a a →=>例 0tan lim x x x →例 201cos lim x x x →-例 lim 2sin 2n n n π→∞例 求312cos lim sin()3x xx ππ→--例 3lim ()1x x x x →∞++例 2lim (1)x x x→∞-例 cot 0lim (1tan )x x x →-例 求211lim (1)n n n n →∞+-例 求极限20sin 3lim 4x x x x→+例 求极限30tan sin lim sin x x x x →-例 考查函数1sin ,0()0,0x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在点x=0处的连续性.例 x=0是1siny x =的第二类间断点.例 2x π=是tan y x =的第二类间断点.例2ln(2)3arctan x x x x +-例lim x →例 根据初等函数的连续性与复合函数连续性，有 （1）0ln(1)lim x x x →+（2）0lim x →（3）lim x →∞例 求211lim (1)n n n n →∞+-例 证明方程32410x x -+=在区间（0，1）内至少有一个根.一致连续性 例 例 例 书上49页.实数的连续性、上下极限 书上51页.补充：部分例子仍在书中，看书为准.二、一元函数微分学例 求函数2()2f x x =+在点x=1处的导数.例 设21sin ,0(),求'()0,0x x f x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩.例 证明函数()在点x=0处不可导.f x x =例 设x ，x 0()1-cos x ，x>0f x ⎧≤=⎨⎩,确定函数f(x)在点x=0处的可导性.例 求等边双曲线1y x=在点(1,1)处的切线方程和法线方程.例 求导(1)3()4cos ln sin f x x x x π=+-+ (2)(sin cos )x y e x x =+例 证明(1)22(tan )'sec ,(cot )'csc x x x x ==(2)(sec )'sec tan ,(csc )'csc cot x x x x x x ==-例 证明x （a ）'=a ln (0,0)，特别地(e )'=e .x x x a a a >≠例 证明：（1）11(arcsin )',(arccos )'x x ==-（2）2211(arctan )',(arccot )'11x x x x ==-++例 求导数（1）2sin y x =（2）22ln 1xy x =+例 求导数（1）y =（2）ln sin y x =例 求导数（1）21tan y x= （2）sin 3y x =（3）ln(y x =+4）221arcsin (0)1xy x x-=>+例求导（1）221x y x =-（2）(sin )x y x =例 求椭圆cos (02)sin x a t t y b tπ⎧=≤≤⎨=⎩所确定的参数变量函数的导数，并求出该椭圆在4t π=的对应点处的切线方程。
武汉大学《数学分析》《高等代数》历年考研真题(2009-2018汇总)
4
8! ( K 14 ©) lim an = +∞, y²:
n→∞
Ô! ( K 14 ©) ¼ê
1n
lim n→∞ n
ak = +∞.
k=1
(x2 + y2) sin f (x, y) =
0,
1 , x2 + y2 = 0; x2 + y2
x2 + y2 = 0.
1. ¦ fx(0, 0), fy(0, 0); 2. y²: fx(0, 0), fy(0, 0) 3 (0, 0) ØëY; 3. y²: f (x, y) 3 (0, 0) Œ‡, ¿¦ df (0, 0).
l! ( K 15 ©) z(x, y) ëY
Œ‡, 釩•§
1
∂2z
∂2z ∂2z
1
∂z ∂z
(x2 + y2)2
∂x2
+
2 ∂x∂y
+
∂y2
− (x2 + y2)3
+ ∂x ∂y
= 0.
ŠCþ“† u = xy, v = x − y. 1. ¦“† •§; 2. •ÑCþ“†” :8, ¿`²”
4. OŽ F (α), Ù¥:
eα
x+3α
F (α) = dx
f (x, y)dδ.
D
¦ f (x, y).
Ê! ( K 14 ©) f (x) ´ {(x, y)|x2 + y2 1} þ gëYŒ‡¼ê, …÷v
∂2f ∂x2
+
∂2f ∂y2
= (x2 + y2)2,
Á¦È©
x2+y2 1
x ∂f
陈纪修《数学分析》（第2版）（下册）名校考研真题-曲线积分、曲面积分与场论（圣才出品）
陈纪修《数学分析》（第2版）（下册）名校考研真题-曲线积分、曲面积分与场论（圣才出品）第14章曲线积分、曲面积分与场论1．计算为取逆时针方向．[南开大学2011研]解：记因为P与Q在点（0，0）处都无定义，则不能直接应用格林公式．在L围成的区域内取一闭曲线L1:（取逆时针方向）,则在L与L1围成是区域内可以应用格林公式．由于则由Green公式知，则2．求第一型曲面积分其中h≠R．[浙江大学研]解：令其中且3．计算其中[湖南大学研]解：令所以4．求常数λ，使得曲线积分对上半平面内任何光滑闭曲线L成立．[北京大学研]解：记由题设知，所考虑积分在上半平面内与路径无关，所以，即即即所以λ=．5．设为xy平面上具有光滑边界的有界闭区域且u为非常值函数及证明[武汉大学研]证明：因在上，u=0．故所以又u为非常值函数，故再注意到的连续性，所以6．计算其中∑为圆柱面被z=0，z=3截的部分外侧．[北京航空航天大学研]解：分别补充圆柱体的交面记P=x，Q=y，R=z，由奥高公式而平面，yz平面；平面，yz平面，所以从而7．计算为[南开大学2011研]解：(对称性)8．计算曲线积分其中L是从（2a，0）沿曲线到点（0，0）的一段．[兰州大学2009研]解：曲线即记则所以所以由Green公式得9．计算，其中为圆柱面的部分，它的法线与ox轴正向成锐角；为xoy平面上半圆域：的部分，它的法线与oz轴正向相反．[上海交通大学研]解：如图14-1所示，补充则构成封闭曲面的外侧，由奥高公式其中则又，从而平面，平面，从而图14-110．计算曲线积分其中C是从A（－a，0）经上半椭圆到B（a，0）的弧段．[湖北大学研]解：记则所以此积分在上半平面内与路径无关，如图14-2所示取以（0，0）为心，a为半径的上半圆周，则。
数学分析与高等代数考研真题详解--武汉大学卷
−
n+1
n
−
x x x x l xl x xl x =
−
n+ p
n+ p−1 +…+
－
n+1
< 2[
n
2 n+ p
1
+ ... +
−
] 2
1
n +1
l x x l l l x x <
2( − 2 l −1
)
1
1
n
=M
−n
(M=
2− 2 l −1
1)
显然由柯西收敛准则知，对于 ∀ε > 0 ， ∃N > 0 ，使得 n>N 时
wwwboss163com博士家园二零一零年二月博士家园系列内部资料数学分析与高等代数考研真题详解武汉大学考研数学专卷目录9501年数学分析试题解答电子版在随书附赠的光盘中2002年招收硕士研究生入学考试数学分析试题2002年招收硕士研究生入学考试数学分析试题解答2002年招收硕士研究生入学考试高等代数试题2002年招收硕士研究生入学考试高等代数试题解答2003年招收硕士研究生入学考试数学分析试题及解答2003年招收硕士研究生入学考试高等代数试题及解答2004年招收硕士研究生入学考试数学分析试题及解答2004年招收硕士研究生入学考试高等代数试题及解答2005年招收硕士研究生入学考试高等代数试题及解答2005年招收硕士研究生入学考试数学分析试题及解答2006年招收硕士研究生入学考试数学分析试题及解答2007基础数学复试题2008年招收硕士研究生入学考试数学分析试题及解答2008年招收硕士研究生入学考试线性代数试题及解答2009年数学分析试题及解答电子版在随书附赠的光盘中2009年高等代数试题及解答电子版在随书附赠的光盘中2009博士家园系列内部资料武汉大学博士家园系列内部资料2002年数学分析答案由归纳法知n123
国内数学分析主要参考书目_数学分析书籍
国内数学分析主要参考书⽬_数学分析书籍花了半天时间，对国内部分⼤学所编数学分析(/⾼等数学/微积分)教材做了个汇总，发于此，肯定有很多遗漏，(期待有兴趣的⾍友帮我⼀起补充,补充格式:⼤学名，精确书名，编写作者....)。
国内部份⼤学常⽤数学分析(⾼数,微积分)教材总汇清华⼤学《数学分析教程》常庚哲.史济怀.《数学分析》(三册).何琛史济怀徐森林《数学分析》(三册).徐森林,.⾦亚东,.薛春华《数学分析讲义》(三册).陈天权《数学分析习题课讲义》谢惠民等北京⼤学《数学分析》沈燮昌著第⼀册，⽅企勤著第⼆册，廖可⼈、李正元著第三册《数学分析习题课教材》（第⼀版）《数学分析解题指南》（第⼆版）林源渠，⽅企勤《数学分析习题集》林源渠，⽅企勤等《数学分析新讲》张筑⽣(三册)《数学分析简明教程》邓东翱,尹⼩铃著《数学分析上、下册》彭⽴中、谭⼩江著复旦⼤学《数学分析》《数学分析》陈传璋，⾦福临，朱学炎，欧阳光中著第⼆版《数学分析》欧阳光中，朱学炎，⾦福临，陈传璋著第三版《数学分析》陈纪修等著《数学分析》欧阳光中，姚允龙著同济⼤学《⾼等数学》（同济⼤学数学系第六版,上、下册）《⾼等数学讲义》樊映川等编..华东师范⼤学《数学分析》华东师范⼤学数学系著《数学分析精读讲义》华东师范⼤学数学系著《数学分析习题精解》吴良森，⽑⽻辉等?中国科学技术⼤学《数学分析教程》常庚哲，史济怀著《简明微积分》龚昇《⾼等数学引论》华罗庚《数学分析》徐森林著《数学分析的⽅法及例题选讲》徐利治南开⼤学《数学分析上、下册》李成章，黄⽟民《在南开⼤学的演讲》陈省⾝南京⼤学《数学分析讲义》梅加强《数学分析教程》许绍浦等北京师范⼤学《简明数学分析（第⼀版）》王昆扬《简明数学分析（第⼆版）》郇中丹，刘永平，王昆扬《微积分学讲义（第⼆版）》邝荣⾬武汉⼤学《⾼等数学上、下册》（⾼等教育出版社，齐民友主编）《重温微积分》齐民友著吉林⼤学《数学分析》东北师范⼤学《数学分析讲义》刘⽟琏，傅沛仁著天津⼤学《⾼等数学上、下册》蔡⾼厅叶宗泽《⾼等数学试题精选与解答》（蔡⾼厅等编）内蒙古⼤学《微积分学简明教程》曹之江等著[ Last edited by hylpy on 2014-9-15 at 12:38 ]国内数学分析主要参考书⽬[1].刘⽟琏,傅沛仁,林玎,苑德馨,刘宁编.数学分析讲义(上),第四版.北京:⾼等教育出版社,2003.[2].刘⽟琏,傅沛仁,林玎,苑德馨,刘宁编.数学分析讲义(下),第四版.北京:⾼等教育出版社,2003.[3].刘⽟琏,扬奎元,吕风编.数学分析讲义学习辅导书(上),第⼆版,北京:⾼等教育出版社.2003.[4].刘⽟琏,扬奎元,吕风编.数学分析讲义学习辅导书(下),第⼆版,北京:⾼等教育出版社.2003.[5].华东师范⼤学数学系编.数学分析(上),第三版.北京:⾼等教育出版社,2002.[6].华东师范⼤学数学系编.数学分析(下),第三版.北京:⾼等教育出版社,2002.[7].吴良森,⽑⽻辉,韩⼠安,吴畏编著.数学分析学习指导书(上).北京:⾼等教育出版社.2004.[8].吴良森,⽑⽻辉,韩⼠安,吴畏编著.数学分析学习指导书(下).北京:⾼等教育出版社.2004.[9].吴良森,⽑⽻辉编著.数学分析习题精解(单变量部分).北京:科学出版社.2002.[10].吴良森,⽑⽻辉编著.数学分析习题精解(多变量部分).北京:科学出版社.2003.[11].薛宗慈,曾昭著,邝荣⾬,陈平尚编.数学分析习作课讲义(上).北京:北京师范⼤学出版社,1985.[12].薛宗慈,曾昭著,邝荣⾬,陈平尚编.数学分析习作课讲义(下).北京:北京师范⼤学出版社,1987.[13].谢惠民,恽⾃求,易法槐,钱定边编.数学分析习题课讲义(上).北京:⾼等教育出版社,2004.[14].谢惠民,恽⾃求,易法槐,钱定边编.数学分析习题课讲义(下).北京:⾼等教育出版社,2004.[15].徐利治,王兴华.数学分析的⽅法与例题选讲.北京:⾼等教育出版社,2002.[16].钱吉林等主编.数学分析解题精粹.武汉:崇⽂书局,2003.[17].裴礼⽂.数学分析中的典型问题与⽅法,第⼆版.北京: ⾼等教育出版社,2006.[18].周民强编著.数学分析习题演练(第⼀册).北京:科学出版社,2006.[19].周民强编著.数学分析习题演练(第⼆册).北京:科学出版社,2006.[20].裘兆泰.王承国,章仰⽂编.数学分析学习指导.北京:科学出版社,2004.[21].孙涛编.数学分析经典习题解析.北京:⾼等教育出版社,2004.[22].胡晓敏,李承家编著.数学分析考研教案,第⼆版.西安:西北⼯业⼤学出版社, 2006.[23].孙本旺,汪浩主编.数学分析中的典型例题和⽅法.长沙:湖南科学技术出版社,1983.[24].⽑⽻辉编著.数学分析选论.北京:科学出版社,2003.[25].王昆扬编.数学分析专题研究.北京:⾼等教育出版社,2001.[26].胡适耕,姚云飞编著.数学分析:定理问题⽅法.北京:科学出版社,2007.[27].徐利治编著.数学分析的⽅法及例题选讲:分析学的思想、⽅法与技巧.⼤连:⼤连理⼯⼤学出版社,2007.[28].沈燮昌.数学分析纵横谈.北京:北京⼤学出版社,1991.[29].G.波利亚.数学分析中的问题和定理(第⼀卷).上海:上海科技出版社,1981.[30].舒斯会编著.数学分析选讲.北京:北京⼤学出版社,2007.[31].刘三阳,于⼒,李⼴民编.数学分析选讲.北京:科学出版社,2007.[32].李克典,马云苓编著.数学分析选讲.厦门:厦门⼤学出版社,2007.[33].⾟钦著.数学分析⼋讲.武汉:武汉⼤学出版社,1999.[34].[美]克莱鲍尔著.数学分析.上海:上海科技出版社,1981.[35].朱时编著.数学分析札记.贵阳:贵州教育出版社,1994.[36].[苏]B.Π.吉⽶多维奇.数学分析习题集.北京:⾼等教育出版社,1985.[37].林源渠.数学分析习题集.北京:⾼等教育出版社,1986.[38].吕通庆编.数学分析中⼀些重要概念及其⽭盾概念.北京:⼈民教育出版社,1979.[39].赵显曾著.数学分析拾遗.南京:东南⼤学出版社,2006.[40].强⽂久,李元章,黄雯荣.数学分析的基本概念与⽅法.北京:⾼等教育出版社,1989.[41].⽅企勤,林源渠编著.数学分析习题课教材.北京:北京⼤学出版社,1990.[42].王向东主编.数学分析的概念与⽅法(上).上海:上海科学技术⽂献出版社,1989.[43].王向东主编.数学分析的概念与⽅法(下).上海:上海科学技术⽂献出版社,1989.[44].朱匀华,周健伟.数学分析选讲.⼴州:⼴东科技出版社,1995.[45].明清河.数学分析的思想与⽅法.济南:⼭东⼤学出版社,2004.[46].李惜雯.数学分析例题解析及难点注释(上).西安:西安交通⼤学出版社,2004.[47].李惜雯.数学分析例题解析及难点注释(下).西安:西安交通⼤学出版社,2004.[48].宋国柱编.分析中的基本定理和典型⽅法.北京:科学出版社,2004.[49].周忠群主编.数学分析⽅法选讲.重庆:西南师范⼤学出版社,1990.[50].王⼽平编.数学分析选讲.徐州:中国矿业⼤学出版社,2002.[51].林安浩,张国杰,王智青编演.数学分析(1983-1984全国⾼等院校硕⼠研究⽣⼊学试题解答).天津:天津科学技术出版社,1985.[52].皱节铣,陈强编.数学试题选解(1980-1985全国招考研究⽣).长沙:湖南科学技术出版社,1986.[53].庄亚栋,⽅洪锦,姚林编.基础数学试题选解(研究⽣⼊选考试).苏州:江苏科技术学出版社,1986.[54].蔡林,张继昌编著.研究⽣数学⼊学考试精编,第三版.杭州:浙江⼤学出版社,1999.[55].牟俊霖,李青吉主编.洞穿考研数学.北京:航空⼯业出版社,2003.[56].刘光祖,卢恩双主编.⼤学数学辅导与考研指导.北京:科学出版社,2002.[57].西安交通⼤学⼗教授考研班主编.考研数学成功指南,第三版.西安:世界图书出版公司西安公司,2004.[58].余长安主编.⼤学数学考研题型精讲与解题技巧集粹.北京:科学出版社,2005.[59].邵剑,陈维新,张继昌,何勇编著.⼤学数学考研专题复习.北京:科学出版社,2001.[60].李沛恒主编.考研数学新编考试参考书.北京:中国⼈民⼤学出版社,2004.[61].龚冬宝（保）主编.数学考研教程,第三版.西安:西北交通⼤学出版社,2004.[62].龚怀云,胡清徽,杨泽⾼,张可村.研究⽣⾼等数学⼊学考试指南.西安:西北交通⼤学出版社,1985.[63].陈⽂灯,莫先开主编.数学复习指南.北京:世界图书出版公司北京公司,2002.[64].齐民友主编.微积分学习指导.武汉:武汉⼤学出版社,2004.[65].汪林.数学分析中的问题和反例.昆明:云南科技出版社,1990.[66].汪林,戴正徳,杨富春,郑喜印.数学分析问题与研究评注.北京:科学出版社,1995.[67].陈纪修,於崇华,⾦路.数学分析(上).北京:⾼等教育出版社,2000.[68].陈纪修,於崇华,⾦路.数学分析(下).北京:⾼等教育出版社,2000[69].王晓敏,李晓奇,惠兴杰主编.数学分析学习⽅法与解题指导.沈阳:东北⼤学出版社,2005.[70].赵焕光,林长盛编著.数学分析(上).成都:四川⼤学出版社,2006.[71].赵焕光,林长盛编著.数学分析(下).成都:四川⼤学出版社,2006.[72].陈传章,⾦福临,朱学炎,欧阳光中.数学分析(上),第⼆版.北京:⾼等教育出版社,1983.[73].陈传章,⾦福临,朱学炎,欧阳光中.数学分析(下),第⼆版.北京:⾼等教育出版社,1983.[74].⽅企勤编.数学分析(1).北京:⾼等教育出版社,1986.[75].沈燮昌编.数学分析(2).北京:⾼等教育出版社,1986.[76].廖可⼈,李正元编.数学分析(3).北京:⾼等教育出版社,1986.[77].许绍溥,姜东平,宋国柱,任福贤.数学分析教程(上).南京:南京⼤学出版社,1990.[78].宋国柱,任福贤,许绍溥,姜东平.数学分析教程(下).南京:南京⼤学出版社,1990.[79].武汉⼤学数学系编.数学分析(上).北京:⼈民教育出版社,1978.[80].武汉⼤学数学系编.数学分析(下).北京:⼈民教育出版社,1978.[81].吉林⼤学数学系编.数学分析(上).北京:⾼等教育出版社,1979.[82].吉林⼤学数学系编.数学分析(中).北京:⾼等教育出版社,1979.[83].吉林⼤学数学系编.数学分析(下).北京:⾼等教育出版社,1979.[84].常庚哲,史济怀编.数学分析教程(上).北京:⾼等教育出版社,2003.[85].常庚哲,史济怀编.数学分析教程(下).北京:⾼等教育出版社,2003.[86].复旦⼤学数学系编.数学分析(上).上海:上海科学技术出版社,1978.[87].复旦⼤学数学系编.数学分析(下).上海:上海科学技术出版社,1978.[88].邓东皋,尹⼩玲编著.数学分析简明教程(上).北京:⾼等教育出版社,1999.[89].邓东皋,尹⼩玲编著.数学分析简明教程(下).北京:⾼等教育出版社,1999.[90].欧阳光中编.数学分析(上).上海:上海科学技术出版社,1982.[91].欧阳光中编.数学分析(下).上海:上海科学技术出版社,1982.[92].周性伟.数学分析(上).天津:南开⼤学出版社,1982.[93].周性伟.数学分析(下).天津:南开⼤学出版社,1982.[94].彭⽴中,谭⼩江编著.数学分析(第1册).北京:⾼等教育出版社,2005.[95].严⼦谦,尹景学,张然编著.数学分析(第⼀册).北京:⾼等教育出版社,2004.[96].马富明,⾼⽂杰编著.数学分析(第⼆册).北京:⾼等教育出版社,2005.[97].徐森林,薛春华编著.数学分析(第⼆册).北京:清华⼤学出版社,2006.[98].王慕三,庄亚栋.数学分析(上).北京:⾼等教育出版社,1990.[99].王慕三,庄亚栋.数学分析(中).北京:⾼等教育出版社,1990.[100].王慕三,庄亚栋.数学分析(下).北京:⾼等教育出版社,1990.[101].邓东皋,尹⼩玲编撰.数学分析简明教程.北京:⾼等教育出版社,1997.[102].李成章,黄⽟明编.数学分析(上).北京:科学出版社,2004.[103].李成章,黄⽟明编.数学分析(下).北京:科学出版社,2004.[104].张筑⽣.数学分析新讲(第⼀册).北京:北京⼤学出版社,1999.[105].张筑⽣.数学分析新讲(第⼆册).北京:北京⼤学出版社,1999.[106].张筑⽣.数学分析新讲(第三册).北京:北京⼤学出版社,1999.[107].朱永庚.数学分析(上).西安:陕西师范⼤学出版社,1989.[108].朱永庚.数学分析(下).西安:陕西师范⼤学出版社,1989.[109].东北师⼤等校数学系编.数学分析(上).北京:⾼等教育出版社,1983.[110].东北师⼤等校数学系编.数学分析(下).北京:⾼等教育出版社,1983.[111].吴传⽣,张⼩柔主编.数学分析(下册)习题精解.合肥:中国科学技术⼤学出版社,2007. [112].吴传⽣,张⼩柔主编.数学分析(下册)习题精解).合肥:中国科学技术⼤学出版社,2007. [113].郑英元.数学分析习题课教程(上).北京:⾼等教育出版社,1991.[114].郑英元.数学分析习题课教程(下).北京:⾼等教育出版社,1991.[115].郑美元.数学分析中的习题课教程(上).北京:⾼等教育出版社,1991.[116].郑美元.数学分析中的习题课教程(下).北京:⾼等教育出版社,1991.[117].邵漪漪.⾼等数学选择题集.上海:上海科学技术出版社,1989.[118].孟繁铎.微积分标准化试题库.⼤连:⼤连理⼯⼤学出版社,1989.[119].李承家,胡晓敏编.数学分析导教•导学•导考.西安:西北⼯业⼤学出版社,2003. [120].贺⾃树等编.数学分析习题课选讲.重庆:重庆⼤学出版社,2007.[ Last edited by hylpy on 2018-9-2 at 18:39 ][121].李忠⽅丽萍编.数学分析教程上,2008.[122].李忠⽅丽萍编.数学分析教程下,2008.[123].梅加强编.《数学分析》⾼等教育出版社,2011.07.[124].邹应编.数学分析.上册.⾼等教育出版社.1995.[125].邹应编.数学分析.下册.⾼等教育出版社.1995.[126].郭⼤钧等编著.数学分析（上册）（第2版）,2002.[127].郭⼤钧等编著.数学分析（下册）（第2版）,2002.[128].沐定夷.数学分析（上）,1993.[129].沐定夷.数学分析（下）,1993.[130].欧阳光中，姚允龙，周渊编著.数学分析（上册）,2003.[131].欧阳光中，姚允龙，周渊编著.数学分析（下册）,2003.[132].数学分析-卷I-秦曾复、朱学炎-⾼等教育出版社1991.[133].数学分析-卷Ⅱ-秦曾复、朱学炎-⾼等教育出版社1991.[134].数学分析-卷Ⅲ-秦曾复、朱学炎-⾼等教育出版社1991.[ Last edited by hylpy on 2018-9-5 at 19:19 ][135].数学分析1-徐森林,.薛春华.清华⼤学出版社,2005.[136].数学分析2-徐森林,薛春华.清华⼤学出版社,2007.[137].数学分析3-徐森林,⾦亚东,薛春华.清华⼤学出版社,2007.[138].数学分析精选习题全解(上)-薛春华,徐森林,2009.[139].数学分析精选习题全解(下)-薛春华,徐森林,2010.[ Last edited by hylpy on 2018-9-7 at 18:06 ][140].伍胜健.数学分析第⼆版，(第⼀册),北京⼤学数学教学系列丛书,2009.[141].伍胜健.数学分析第⼆版，(第⼆册),北京⼤学数学教学系列丛书,2009.[142].伍胜健.数学分析第⼆版，(第三册),北京⼤学数学教学系列丛书,2009.国内数学分析主要参考书⽬本帖隐藏的内容[1].刘⽟琏,傅沛仁,林玎,苑德馨,刘宁编.数学分析讲义(上),第四版.北京:⾼等教育出版社,2003.[2].刘⽟琏,傅沛仁,林玎,苑德馨,刘宁编.数学分析讲义(下),第四版.北京:⾼等教育出版社,2003.[3].刘⽟琏,扬奎元,吕风编.数学分析讲义学习辅导书(上),第⼆版,北京:⾼等教育出版社.2003.[4].刘⽟琏,扬奎元,吕风编.数学分析讲义学习辅导书(下),第⼆版,北京:⾼等教育出版社.2003.[5].华东师范⼤学数学系编.数学分析(上),第三版.北京:⾼等教育出版社,2002.[6].华东师范⼤学数学系编.数学分析(下),第三版.北京:⾼等教育出版社,2002.[7].吴良森,⽑⽻辉,韩⼠安,吴畏编著.数学分析学习指导书(上).北京:⾼等教育出版社.2004.[8].吴良森,⽑⽻辉,韩⼠安,吴畏编著.数学分析学习指导书(下).北京:⾼等教育出版社.2004.[9].吴良森,⽑⽻辉编著.数学分析习题精解(单变量部分).北京:科学出版社.2002.[10].吴良森,⽑⽻辉编著.数学分析习题精解(多变量部分).北京:科学出版社.2003.[11].薛宗慈,曾昭著,邝荣⾬,陈平尚编.数学分析习作课讲义(上).北京:北京师范⼤学出版社,1985.[12].薛宗慈,曾昭著,邝荣⾬,陈平尚编.数学分析习作课讲义(下).北京:北京师范⼤学出版社,1987.[13].谢惠民,恽⾃求,易法槐,钱定边编.数学分析习题课讲义(上).北京:⾼等教育出版社,2004.[14].谢惠民,恽⾃求,易法槐,钱定边编.数学分析习题课讲义(下).北京:⾼等教育出版社,2004.[15].徐利治,王兴华.数学分析的⽅法与例题选讲.北京:⾼等教育出版社,2002.[16].钱吉林等主编.数学分析解题精粹.武汉:崇⽂书局,2003.[17].裴礼⽂.数学分析中的典型问题与⽅法,第⼆版.北京: ⾼等教育出版社,2006.[18].周民强编著.数学分析习题演练(第⼀册).北京:科学出版社,2006.[19].周民强编著.数学分析习题演练(第⼆册).北京:科学出版社,2006.[20].裘兆泰.王承国,章仰⽂编.数学分析学习指导.北京:科学出版社,2004.[21].孙涛编.数学分析经典习题解析.北京:⾼等教育出版社,2004.[22].胡晓敏,李承家编著.数学分析考研教案,第⼆版.西安:西北⼯业⼤学出版社, 2006.[23].孙本旺,汪浩主编.数学分析中的典型例题和⽅法.长沙:湖南科学技术出版社,1983.[24].⽑⽻辉编著.数学分析选论.北京:科学出版社,2003.[25].王昆扬编.数学分析专题研究.北京:⾼等教育出版社,2001.[26].胡适耕,姚云飞编著.数学分析:定理问题⽅法.北京:科学出版社,2007.[27].徐利治编著.数学分析的⽅法及例题选讲:分析学的思想、⽅法与技巧.⼤连:⼤连理⼯⼤学出版社,2007.[28].沈燮昌.数学分析纵横谈.北京:北京⼤学出版社,1991.[29].G.波利亚.数学分析中的问题和定理(第⼀卷).上海:上海科技出版社,1981.[30].舒斯会编著.数学分析选讲.北京:北京⼤学出版社,2007.[31].刘三阳,于⼒,李⼴民编.数学分析选讲.北京:科学出版社,2007.[32].李克典,马云苓编著.数学分析选讲.厦门:厦门⼤学出版社,2007.[33].⾟钦著.数学分析⼋讲.武汉:武汉⼤学出版社,1999.[34].[美]克莱鲍尔著.数学分析.上海:上海科技出版社,1981.[35].朱时编著.数学分析札记.贵阳:贵州教育出版社,1994.[36].[苏]B.Π.吉⽶多维奇.数学分析习题集.北京:⾼等教育出版社,1985.[37].林源渠.数学分析习题集.北京:⾼等教育出版社,1986.[38].吕通庆编.数学分析中⼀些重要概念及其⽭盾概念.北京:⼈民教育出版社,1979.[39].赵显曾著.数学分析拾遗.南京:东南⼤学出版社,2006.[40].强⽂久,李元章,黄雯荣.数学分析的基本概念与⽅法.北京:⾼等教育出版社,1989.[41].⽅企勤,林源渠编著.数学分析习题课教材.北京:北京⼤学出版社,1990.[42].王向东主编.数学分析的概念与⽅法(上).上海:上海科学技术⽂献出版社,1989.[43].王向东主编.数学分析的概念与⽅法(下).上海:上海科学技术⽂献出版社,1989.[44].朱匀华,周健伟.数学分析选讲.⼴州:⼴东科技出版社,1995.[45].明清河.数学分析的思想与⽅法.济南:⼭东⼤学出版社,2004.[46].李惜雯.数学分析例题解析及难点注释(上).西安:西安交通⼤学出版社,2004.[47].李惜雯.数学分析例题解析及难点注释(下).西安:西安交通⼤学出版社,2004.[48].宋国柱编.分析中的基本定理和典型⽅法.北京:科学出版社,2004.[49].周忠群主编.数学分析⽅法选讲.重庆:西南师范⼤学出版社,1990.[50].王⼽平编.数学分析选讲.徐州:中国矿业⼤学出版社,2002.[51].林安浩,张国杰,王智青编演.数学分析(1983-1984全国⾼等院校硕⼠研究⽣⼊学试题解答).天津:天津科学技术出版社,1985.[52].皱节铣,陈强编.数学试题选解(1980-1985全国招考研究⽣).长沙:湖南科学技术出版社,1986.[53].庄亚栋,⽅洪锦,姚林编.基础数学试题选解(研究⽣⼊选考试).苏州:江苏科技术学出版社,1986.[54].蔡林,张继昌编著.研究⽣数学⼊学考试精编,第三版.杭州:浙江⼤学出版社,1999.[55].牟俊霖,李青吉主编.洞穿考研数学.北京:航空⼯业出版社,2003.[56].刘光祖,卢恩双主编.⼤学数学辅导与考研指导.北京:科学出版社,2002.[57].西安交通⼤学⼗教授考研班主编.考研数学成功指南,第三版.西安:世界图书出版公司西安公司,2004.[58].余长安主编.⼤学数学考研题型精讲与解题技巧集粹.北京:科学出版社,2005.[59].邵剑,陈维新,张继昌,何勇编著.⼤学数学考研专题复习.北京:科学出版社,2001.[60].李沛恒主编.考研数学新编考试参考书.北京:中国⼈民⼤学出版社,2004.[61].龚冬宝（保）主编.数学考研教程,第三版.西安:西北交通⼤学出版社,2004.[62].龚怀云,胡清徽,杨泽⾼,张可村.研究⽣⾼等数学⼊学考试指南.西安:西北交通⼤学出版社,1985.[63].陈⽂灯,莫先开主编.数学复习指南.北京:世界图书出版公司北京公司,2002.[64].齐民友主编.微积分学习指导.武汉:武汉⼤学出版社,2004.[65].汪林.数学分析中的问题和反例.昆明:云南科技出版社,1990.[66].汪林,戴正徳,杨富春,郑喜印.数学分析问题与研究评注.北京:科学出版社,1995.[67].陈纪修,於崇华,⾦路.数学分析(上).北京:⾼等教育出版社,2000.[68].陈纪修,於崇华,⾦路.数学分析(下).北京:⾼等教育出版社,2000[69].王晓敏,李晓奇,惠兴杰主编.数学分析学习⽅法与解题指导.沈阳:东北⼤学出版社,2005.[70].赵焕光,林长盛编著.数学分析(上).成都:四川⼤学出版社,2006.[71].赵焕光,林长盛编著.数学分析(下).成都:四川⼤学出版社,2006.[72].陈传章,⾦福临,朱学炎,欧阳光中.数学分析(上),第⼆版.北京:⾼等教育出版社,1983.[73].陈传章,⾦福临,朱学炎,欧阳光中.数学分析(下),第⼆版.北京:⾼等教育出版社,1983.[74].⽅企勤编.数学分析(1).北京:⾼等教育出版社,1986.[75].沈燮昌编.数学分析(2).北京:⾼等教育出版社,1986.[76].廖可⼈,李正元编.数学分析(3).北京:⾼等教育出版社,1986.[77].许绍溥,姜东平,宋国柱,任福贤.数学分析教程(上).南京:南京⼤学出版社,1990.[78].宋国柱,任福贤,许绍溥,姜东平.数学分析教程(下).南京:南京⼤学出版社,1990.[79].武汉⼤学数学系编.数学分析(上).北京:⼈民教育出版社,1978.[80].武汉⼤学数学系编.数学分析(下).北京:⼈民教育出版社,1978.[81].吉林⼤学数学系编.数学分析(上).北京:⾼等教育出版社,1979.[82].吉林⼤学数学系编.数学分析(中).北京:⾼等教育出版社,1979.[83].吉林⼤学数学系编.数学分析(下).北京:⾼等教育出版社,1979.[84].常庚哲,史济怀编.数学分析教程(上).北京:⾼等教育出版社,2003.[85].常庚哲,史济怀编.数学分析教程(下).北京:⾼等教育出版社,2003.[86].复旦⼤学数学系编.数学分析(上).上海:上海科学技术出版社,1978.[87].复旦⼤学数学系编.数学分析(下).上海:上海科学技术出版社,1978.[88].邓东皋,尹⼩玲编著.数学分析简明教程(上).北京:⾼等教育出版社,1999.[89].邓东皋,尹⼩玲编著.数学分析简明教程(下).北京:⾼等教育出版社,1999.[90].欧阳光中编.数学分析(上).上海:上海科学技术出版社,1982.[91].欧阳光中编.数学分析(下).上海:上海科学技术出版社,1982.[92].周性伟.数学分析(上).天津:南开⼤学出版社,1982.[93].周性伟.数学分析(下).天津:南开⼤学出版社,1982.[94].彭⽴中,谭⼩江编著.数学分析(第1册).北京:⾼等教育出版社,2005.[95].严⼦谦,尹景学,张然编著.数学分析(第⼀册).北京:⾼等教育出版社,2004.[96].马富明,⾼⽂杰编著.数学分析(第⼆册).北京:⾼等教育出版社,2005.[97].徐森林,薛春华编著.数学分析(第⼆册).北京:清华⼤学出版社,2006.[98].王慕三,庄亚栋.数学分析(上).北京:⾼等教育出版社,1990.[99].王慕三,庄亚栋.数学分析(中).北京:⾼等教育出版社,1990.[100].王慕三,庄亚栋.数学分析(下).北京:⾼等教育出版社,1990.[101].邓东皋,尹⼩玲编撰.数学分析简明教程.北京:⾼等教育出版社,1997.[102].李成章,黄⽟明编.数学分析(上).北京:科学出版社,2004.[103].李成章,黄⽟明编.数学分析(下).北京:科学出版社,2004.[104].张筑⽣.数学分析新讲(第⼀册).北京:北京⼤学出版社,1999.[105].张筑⽣.数学分析新讲(第⼆册).北京:北京⼤学出版社,1999.[106].张筑⽣.数学分析新讲(第三册).北京:北京⼤学出版社,1999.[107].朱永庚.数学分析(上).西安:陕西师范⼤学出版社,1989.[108].朱永庚.数学分析(下).西安:陕西师范⼤学出版社,1989.[109].东北师⼤等校数学系编.数学分析(上).北京:⾼等教育出版社,1983.[110].东北师⼤等校数学系编.数学分析(下).北京:⾼等教育出版社,1983.[111].吴传⽣,张⼩柔主编.数学分析(上册)习题精解.合肥:中国科学技术⼤学出版社,2007.[112].吴传⽣,张⼩柔主编.数学分析(下册)习题精解).合肥:中国科学技术⼤学出版社,2007.[113].郑英元.数学分析习题课教程(上).北京:⾼等教育出版社,1991.[114].郑英元.数学分析习题课教程(下).北京:⾼等教育出版社,1991.[115].郑美元.数学分析中的习题课教程(上).北京:⾼等教育出版社,1991.[116].郑美元.数学分析中的习题课教程(下).北京:⾼等教育出版社,1991.[117].邵漪漪.⾼等数学选择题集.上海:上海科学技术出版社,1989.[118].孟繁铎.微积分标准化试题库.⼤连:⼤连理⼯⼤学出版社,1989.[119].李承家,胡晓敏编.数学分析导教•导学•导考.西安:西北⼯业⼤学出版社,2003. [120].贺⾃树等编.数学分析习题课选讲.重庆:重庆⼤学出版社,2007.[121].李忠⽅丽萍编.数学分析教程上,2008.[122].李忠⽅丽萍编.数学分析教程下,2008.[123].梅加强编.《数学分析》⾼等教育出版社,2011.07.[124].邹应编.数学分析.上册.⾼等教育出版社.1995.[125].邹应编.数学分析.下册.⾼等教育出版社.1995.[126].郭⼤钧等编著.数学分析（上册）（第2版）,2002.[127].郭⼤钧等编著.数学分析（下册）（第2版）,2002.[128].沐定夷.数学分析（上）,1993.[129].沐定夷.数学分析（下）,1993.[130].欧阳光中，姚允龙，周渊编著.数学分析（上册）,2003.[131].欧阳光中，姚允龙，周渊编著.数学分析（下册）,2003.[132].数学分析-卷I-秦曾复、朱学炎-⾼等教育出版社1991.[133].数学分析-卷Ⅱ-秦曾复、朱学炎-⾼等教育出版社1991.[134].数学分析-卷Ⅲ-秦曾复、朱学炎-⾼等教育出版社1991.[135].数学分析1-徐森林,.薛春华.清华⼤学出版社,2005.[136].数学分析2-徐森林,薛春华.清华⼤学出版社,2007.[137].数学分析3-徐森林,⾦亚东,薛春华.清华⼤学出版社,2007.[138].数学分析精选习题全解(上)-薛春华,徐森林,2009.[139].数学分析精选习题全解(下)-薛春华,徐森林,2010.[140].伍胜健.数学分析第⼆版，(第⼀册),北京⼤学数学教学系列丛书,2009.[141].伍胜健.数学分析第⼆版，(第⼆册),北京⼤学数学教学系列丛书,2009.[142].伍胜健.数学分析第⼆版，(第三册),北京⼤学数学教学系列丛书,2009.这⾥列的参考书，本论坛⼤部分都有电⼦版分享。
2015考研数学线性代数真题解析
2015考研数学线性代数真题解析[摘要]2015年考研结束后，凯程考研不断的为大家整理各类真题，按题型、考点、科目等进行剖析，希望能帮助大家更好的复习！2015考研刚刚结束，在这里首先祝福各位考生金榜题名!根据今年考研真题，凯程考研数学名师李擂为2016考研的学子介绍一下真题中线性代数的出题特点，以便大家在接下来的复习中能够更好的把握线性代数的复习方法。
从真题上可以看出，对基本概念、基本性质和基本方法的考查才是考研数学的重点。
下面以真题中的几道题目为例，例如：数学三第13题，考查的内容就是特征值的基本运算性质，如果考生能够掌握特征值之积等于行列式的值，那么该题很容易求解;数学三第5题，考查的内容是非齐次线性方程组解的判定，如果考生能够清楚的知道非齐次线性方程组有无穷多解的充要条件为r(A)=r(A,b)针对以上特点，老师建议各位2016考研的学子在进行线性代数复习时，一定要注重基本概念、基本性质和基本方法的复习。
很多考生由于对这些基础内容掌握不够牢固，理解不够透彻，导致许多失分现象，这一点在线性代数这个模块上体现的更加明显。
比如，线性代数中经常涉及到的基本概念，余子式，代数余子式，伴随矩阵，逆矩阵，初等变换与初等矩阵，正交变换与正交矩阵，秩(矩阵、向量组、二次型)，等价(矩阵、向量组)，线性表示，线性相关与线性无关，极大线性无关组，基础解系与通解，特征值与特征向量，矩阵相似与相似对角化，二次型的标准形与规范形，正定矩阵与正定二次型，合同变换与合同矩阵等等，这些概念必须理解清楚。
对于线性代数中的基本运算，行列式的计算(数值型、抽象型)，求逆矩阵，求矩阵的秩，求方阵的幂，求向量组的秩与极大线性无关组，线性相关性的判定，求基础解系，求非齐次线性方程组的通解，求特征值与特征向量，判断矩阵是否可以相似对角化，求相似对角矩阵，用正交变换法化实对称矩阵为对角矩阵，用正交变换化二次型为标准形等等。
一定要注意总结这些基本运算的运算方法。
武汉大学2015年硕士研究生招生考试复试基本分数线及相关说明
武汉大学2015年硕士研究生招生考试复试基本分数线及相关说明学院、中心、实验室学科或专业（领域）政治(管理综合)外语业务课一业务课二总分联系电话备注外国语言文学学院学术学位5055909037068753315专业学位50559090390新闻与传播学院新闻学、传播学、数字媒介606010010036068752684广播电视艺术理论5050100100360新闻与传播专业学位6060100100365新闻与传播专业学位（在职研究生班）45454545315不低于国家线信息管理学院出版发行学、图书馆学、档案学、信息资源管理6060909038568754939情报学、管理科学与工程、电子商务60609090370出版（专业学位）60609090380图书情报（专业学位）11060205图书情报（在职研究生班）7545155不低于国家线出版（在职研究生班）55558080350经济与管理学院理论经济学（政治经济学、经济思想史、经济史、西方经济学、世界经济、人口资源与环境经济学）6060909036068753847应用经济学（国民经济学、区域经济学、财政学、金融学、产业经济学、国际贸易学、劳动经济学、数量经济学、金融工程、保险学、房地产经济学、统计学）6060100100390管理科学与工程 60 60 90 90 380工商管理（会计学、企业管理、旅游管理、技术经济及管理、人力资 源管理、市场营销） 60 60 100 100 390金融 (专业学位) 60 60 90 90 400 68754991税务（专业学位） 国际商务（专业学位） 60 60 90 90 370 保险（专业学位） 60 60 90 90 375 物流工程（专业学位） 55 55 90 90 375 会计（全日制） 会计（在职研究生班） 95 50 170 金融（在职研究生班） 55 55 85 85 330 MBA （求是项目）68752891MBA （弘毅项目） 国家线法学院学术学位50 50 90 90 355 68752912法律硕士（非法学） 50 50 90 90 335 68753628法律硕士（法学） 50 50 90 90 325 法律硕士（拓新项目）50 50 90 90 315 WTO 学院 国际法学68753872文学院文学类（学术学位）55 55 100 100 365 68752672语言类（学术学位） 55 60 90 90 365 汉语国际教育（专业学位）55 55 90 90 340学科教学（语文）（专业学位）55559090360历史学院中国史、世界史（学术学位）605019532068753810考古学（学术学位）6050190310文物与博物馆（专业学位）哲学学院哲学各专业5050909035068753566心理学专业5565220360艺术学系学术学位68752126专业学位政治与公共管理学院学术学位5555909038568754460公共管理硕士（专业学位）10050175教育科学学院学术学位505018033568772118专业学位50459090315社会学系学术学位5555909035068756650专业学位55559090370马克思主义学院马克思主义基本原理、马克思主义发展史、马克思主义中国化研究、国外马克思主义研究、思想政治教育、中国近现代史基本问题研究5550909035568752507科学社会主义与国际共产主义运动、中共党史55559090370发展与教育心理学5555220355数学与统计学院学术学位5045656528568754907专业学位50509090360物理科学医学物理（学术学位）5045858531068752与技术学院其他专业（学术学位）50458080310979专业学位50458080310化学与分子科学学院各专业（含专业学位）505090（数学二100）9032068752469生命科学学院学术学位5050909034068756695专业学位50459090340资源与环境科学学院人文地理学、自然地理学、资源环境监测与规划5050909037068778676土地资源管理50509090360环境科学、环境工程（学术学位）地图学与地理信息系统、地图制图学与地理信息工程50509090355专业学位50509090360水利水电学院学术学位606010010036068772339水利工程（专业学位）605595100350工程管理（专业学位）9050200电气工程学院学术学位5555909035568774430专业学位6060100100380动力与机械学院学术学位5050909035568772271专业学位50509090355工程管理（专业学位）9050175城市设计学院城乡规划学、风景园林学、建筑学555011011037068775476设计艺术学、景观与公共艺术5550100100370数字化设计与仿真5545100100340专业学位5550110110370城市规划（在职研究生班）50408080295土木建筑工程学院工程力学、固体力学（学术学位）5550909033068772229其他各专业（学术学位）55559090365建筑与土木工程、项目管理（专业学位）55559090380工程管理（在职研究生班）9545150计算机学院计算机科学与技术一级学科55501009033568775531软件工程一级学科555010090330通信与信息系统555595110335模式识别与智能系统50509090335计算机技术（专业学位）55509580335电子与通信工程（专业学位）556090110335计算机技术（在职研究生班）50505050295不低于国家线电子信息学院电路与系统、信息与通信工程仪器科学与技术5050909034068778464空间物理学、空间探测与信息处理技术、电磁场与微波技术、无线电物理、物理电子学、光学工程50509090330专业学位50509090330电子与通信工程（在职研究生班）45457575285遥感信息工程学院摄影测量与遥感、模式识别与智能系统5550909035068778202地图学与地理信息系统55459090345专业学位55509080330测绘学院学术学位68778075专业学位50509090365国际软件学院各专业（含专业学位）5050909032068778107印刷与包装系图像传播工程5050909032068778435轻工技术与工程、制浆造纸工程50509090365包装与环境工程50509090360专业学位50509090365基础医学院医学各专业504518030568759310理学各专业50459090305第一临床学院临床医学（学术学位）88041911—88884临床医学（专业学位）药学（学术学位）护理学（学术学位）第二临床学院各专业（含专业学位）67812829口腔医学院各专业（含专业学位）87686105公共卫生学院学术学位556020035568758648专业学位5550200330药学院药学（理学）5555909033068759996药学（医学）、中药学（医学）5555200330制药工程（专业学位）55559090330中药学（专业学位）5555200330HOPE护理学院学术学位505017029568759710专业学位5050165295护理（在职研究生班）5040165275不低于国家线卫星导航定位技术研究中心电路与系统、导航、制导与控制5045909030068778595—15大地测量学与测绘工程50459090335测绘遥感信息工程国家重点实验室地图学与地理信息系统5550909035068778525其他各专业55509090340专业学位55509090330国际问题研究院国际法学5050909035568756726中国传统文化研究中心中国古代文学68753821中国史中国哲学中国中部发展研究院各专业6060909036568763678中国边界与海洋研究院国际法学5050909035568756726中国南极测绘研究中心各专业5050909033068778030质量发展战略研究院宏观质量管理68756646国家文化创新研究文化产业管理606010010035568761537中心医学研究院生物学68755692基础医学。
2015年湖北省高考数学试卷(理科)答案与解析
2015年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2015•湖北）i为虚数单位，i607的共轭复数为（）A．i B．﹣i C．1D．﹣12．（5分）（2015•湖北）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A．134石B．169石C．338石D．1365石3．（5分）（2015•湖北）已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）A．212B．211C．210D．294．（5分）（2015•湖北）设X～N（μ1，σ12），Y～N（μ2，σ22），这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（）A．P（Y≥μ2）≥P（Y≥μ1）B．P（X≤σ2）≤P（X≤σ1）C．对任意正数t，P（X≤t）≥P（Y≤t）D．对任意正数t，P（X≥t）≥P（Y≥t）5．（5分）（2015•湖北）设a1，a2，…，a n∈R，n≥3．若p：a1，a2，…，a n成等比数列；q：（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+a n2）=（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，则（）A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件6．（5分）（2015•湖北）已知符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（）A sgn[g（x）]=sgnxB sgn[g（x）]=﹣sgnxC sgn[g（x）]=sgn[f（x）]D sgn[g（x）]=﹣sgn[f（x）]7．（5分）（2015•湖北）在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记P1为事件“x+y≥”的概率，P2为事件“|x﹣y|≤”的概率，P3为事件“xy≤”的概率，则（）A．P1＜P2＜P3B．P2＜P3＜P1C．P3＜P1＜P2D．P3＜P2＜P18．（5分）（2015•湖北）将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b（a≠b）同时增加m（m＞0）个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（）A．对任意的a，b，e1＞e2B．当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2C．对任意的a，b，e1＜e2D．当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e29．（5分）（2015•湖北）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则A⊕B中元素的个数为（）A．77 B．49 C．45 D．3010．（5分）（2015•湖北）设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数．若存在实数t，使得[t]=1，[t2]=2，…，[t n]=n同时成立，则正整数n的最大值是（）A．3B．4C．5D．6二、填空题：本大题共4小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．（5分）（2015•湖北）已知向量⊥，||=3，则•=．12．（5分）（2015•湖北）函数f（x）=4cos2cos（﹣x）﹣2sinx﹣|ln（x+1）|的零点个数为．13．（5分）（2015•湖北）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=m．14．（5分）（2015•湖北）如图，圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|=2．（1）圆C的标准方程为；（2）过点A任作一条直线与圆O：x2+y2=1相交于M，N两点，下列三个结论：①=；②﹣=2；③+=2．其中正确结论的序号是．（写出所有正确结论的序号）选修4-1：几何证明选讲15．（5分）（2015•湖北）如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且BC=3PB，则=．选修4-4：坐标系与参数方程16．（2015•湖北）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρ（sinθ﹣3cosθ）=0，曲线C的参数方程为（t为参数），l与C相交于A，B两点，则|AB|=．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（11分）（2015•湖北）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：ωx+φ0 π2πxAsin（ωx+φ）0 5 ﹣5 0（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）的图象．若y=g（x）图象的一个对称中心为（，0），求θ的最小值．18．（12分）（2015•湖北）设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式（2）当d＞1时，记c n=，求数列{c n}的前n项和T n．19．（12分）（2015•湖北）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P﹣ABCD 中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE．（1）证明：PB⊥平面DEF．试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（2）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，求的值．20．（12分）（2015•湖北）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A，B两种奶制品．生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产A，B两种产品时间之和不超过12小时．假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为W 12 15 18P 0.3 0.5 0.2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量．（1）求Z的分布列和均值；（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．21．（14分）（2015•湖北）一种画椭圆的工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON 可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（1）求椭圆C的方程；（2）设动直线l与两定直线l1：x﹣2y=0和l2：x+2y=0分别交于P，Q两点．若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．22．（14分）（2015•湖北）已知数列{a n}的各项均为正数，b n=n（1+）n a n（n∈N+），e为自然对数的底数．（1）求函数f（x）=1+x﹣e x的单调区间，并比较（1+）n与e的大小；（2）计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；（3）令c n=（a1a2…a n），数列{a n}，{c n}的前n项和分别记为S n，T n，证明：T n＜eS n．答案：1、解：i607=i604+3=i3=﹣i，它的共轭复数为：i．故选：A．2、解：由题意，这批米内夹谷约为1534×≈169石，故选：B．3、解：已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，可得，可得n=3+7=10．（1+x）10的展开式中奇数项的二项式系数和为：=29．故选：D．4、解：正态分布密度曲线图象关于x=μ对称，所以μ1＜μ2，从图中容易得到P（X≤t）≥P（Y≤t）．故选：C．5、解：由a1，a2，…，a n∈R，n≥3．运用柯西不等式，可得：（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+a n2）≥（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，若a1，a2，…，a n成等比数列，即有==…=，则（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+a n2）=（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，即由p推得q，但由q推不到p，比如a1=a2=a3=…=a n=0，则a1，a2，…，a n不成等比数列．故p是q的充分不必要条件．故选：A．6、解：由于本题是选择题，可以常用特殊法，符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），不妨令f（x）=x，a=2，则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x，sgn[g（x）]=﹣sgnx．所以A不正确，B正确，sgn[f（x）]=sgnx，C不正确；D正确；对于D，令f（x）=x+1，a=2，则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x﹣1，sgn[f（x）]=sgn（x+1）=；sgn[g（x）]=sgn（﹣x﹣1）=，﹣sgn[f（x）]=﹣sgn（x+1）=；所以D不正确；故选：B．7、解：分别作出事件对应的图象如图（阴影部分）：P1：D（0，），F（，0），A（0，1），B（1，1），C（1，0），则阴影部分的面积S1=1×1﹣=1﹣=，S2=1×1﹣2×=1﹣=，S3=1×+dx=+lnx|=﹣ln=+ln2，∴S2＜S3＜S1，即P2＜P3＜P1，故选：B．8、解：由题意，双曲线C1：c2=a2+b2，e1=；双曲线C2：c′2=（a+m）2+（b+m）2，e2=，∴=﹣=，∴当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2，故选：D．9、解：∵A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}={（0，0），（0，1），（0，﹣1），（1，0），（﹣1，0），B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2）（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2）}∵A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，∴A⊕B={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2），（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），（﹣2，3），（﹣2，﹣3），（0，﹣3），（2，﹣3），（﹣1，3），（﹣1，﹣3），（1，3），（2，3），（0，3），（3，﹣1），（3，0）（3，1），（3，2），（3，﹣2）（﹣3，2）（﹣3，1），（1，﹣3），（﹣3，﹣1），（﹣3，0），（﹣3，﹣2）}共45个元素故选：C．10、解：∵[t]=1，∴t∈[1，2），又∵[t2]=2，∴t2∈[2，3），∴t∈[，），又t2∈[2，3），∴t4∈[4，9），∴[t4]=4，∴正整数n的最大值4故选：B．11、解：由⊥，得•=0，即•（）=0，∵||=3，∴．故答案为：9．12、解：函数f（x）的定义域为：{x|x＞﹣1}．f（x）=4cos2cos（﹣x）﹣2sinx﹣|ln（x+1）|=2sinx﹣|ln（x+1）|=sin2x﹣|ln（x+1）|，分别画出函数y=sin2x，y=|ln（x+1）|的图象，由函数的图象可知，交点个数为2．所以函数的零点有2个．故答案为：2．13、解：设此山高h（m），则BC=h，在△ABC中，∠BAC=30°，∠CBA=105°，∠BCA=45°，AB=600．根据正弦定理得=，解得h=100（m）故答案为：100．14、解：（1）∵圆C与x轴相切于点T（1，0），∴圆心的横坐标x=1，取AB的中点E，∵|AB|=2，∴|BE|=1，则|BC|=，即圆的半径r=|BC|=，∴圆心C（1，），则圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣）2=2，故答案为：（x﹣1）2+（y﹣）2=2．（2）∵圆心C（1，），∴E（0，），又∵|AB|=2，且E为AB中点，∴A（0，﹣1），B（0，+1），∵M、N在圆O：x2+y2=1上，∴可设M（cosα，sinα），N（cosβ，sinβ），∴|NA|=====，|NB|====，∴===，同理可得=，∴=，①成立，﹣=﹣（）=2，②正确．+=+（）=，③正确．故答案为：①②③．15、解：由切割线定理可知：PA2=PB•PC，又BC=3PB，可得PA=2PB，在△PAB与△PAC中，∠P=∠P，∠PAB=∠PCA（同弧上的圆周角与弦切角相等），可得△PAB∽△PAC，∴==．故答案为：．16、解：由ρ（sinθ﹣3cosθ）=0，得y﹣3x=0，由C的参数方程为（t为参数），两式平方作差得：x2﹣y2=﹣4．联立，得，即．∴A（），B（），∴|AB|=．故答案为：．17、解：（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣．数据补全如下表：ωx+φ0 π2πxAsin（ωx+φ）0 5 0 ﹣5 0且函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）．（2）由（Ⅰ）知f（x）=5sin（2x﹣），得g（x）=5sin（2x+2θ﹣）．因为y=sinx的对称中心为（kπ，0），k∈Z．令2x+2θ﹣=kπ，解得x=，k∈Z．由于函数y=g（x）的图象关于点（，0）成中心对称，令=，解得θ=，k∈Z．由θ＞0可知，当K=1时，θ取得最小值．18、解：（1）设a1=a，由题意可得，解得，或，当时，a n=2n﹣1，b n=2n﹣1；当时，a n=（2n+79），b n=9•；（2）当d＞1时，由（1）知a n=2n﹣1，b n=2n﹣1，∴c n==，∴T n=1+3•+5•+7•+9•+…+（2n﹣1）•，∴T n=1•+3•+5•+7•+…+（2n﹣3）•+（2n﹣1）•，∴T n=2+++++…+﹣（2n﹣1）•=3﹣，∴T n=6﹣．19、解法1）（1）因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，而PD∩CD=D，所以BC⊥平面ABCD．而DE⊂平面PDC，所以BC⊥DE．又因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC．而PC∩CB=C，所以DE⊥平面PBC．而PB⊂平面PBC，所以PB⊥DE．又PB⊥EF，DE∩FE=E，所以PB⊥平面DEF．由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB．（2）如图1，在面BPC内，延长BC与FE交于点G，则DG是平面DEF与平面ACBD的交线．由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以PB⊥DG．又因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥DG．而PD∩PB=P，所以DG⊥平面PBD．所以DG⊥DF，DG⊥DB故∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，设PD=DC=1，BC=λ，有BD=，在Rt△PDB中，由DF⊥PB，得∠DGF=∠FDB=，则tan=tan∠DPF===，解得．所以==故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时，=．（解法2）（1）以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系．设PD=DC=1，BC=λ，则D（0，0，0），P（0，0，1），B（λ，1，0），C（0，1，0），=（λ1，﹣1），点E是PC的中点，所以E（0，，），=（0，，），于是=0，即PB⊥DE．又已知EF⊥PB，而ED∩EF=E，所以PB⊥平面DEF．因=（0，1，﹣1），=0，则DE⊥PC，所以DE⊥平面PBC．由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个矩形，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB．（2）由PD⊥底面ABCD，所以=（0，0，1）是平面ACDB的一个法向量；由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以=（﹣λ，﹣1，1）是平面DEF的一个法向量．若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，则运用向量的数量积求解得出cos==，解得．所以所以==故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时，=．20、（12分）解：（1）设每天A，B两种产品的生产数量分别为x，y，相应的获利为z，则有，①如图1，目标函数为：z=1000x+1200y．当W=12时，①表示的平面区域如图1，三个顶点分别为A（0，0），B（2.4，4.8），C（6，0）．将z=1000x+1200y变形为，当x=2.4，y=4.8时，直线l：在y轴上的截距最大，最大获利Z=Z max=2.4×1000+4.8×1200=8160．当W=15时，①表示的平面区域如图2，三个顶点分别为A（0，0），B（3，6），C （7.5，0）．．将z=1000x+1200y变形为，当x=3，y=6时，直线l：在y轴上的截距最大，最大获利Z=Z max=3×1000+6×1200=10200．当W=18时，①表示的平面区域如图3，四个顶点分别为A（0，0），B（3，6），C（6，4），D（9，0）．将z=1000x+1200y变形为：，当x=6，y=4时，直线l：y=﹣56x+z1200在y轴上的截距最大，最大获利Z=Z max=6×1000+4×1200=10800．故最大获利Z的分布列为：Z 8160 10200 10800P 0.3 0.5 0.2因此，E（Z）=8160×0.3+10200×0.5+10800×0.2=9708（2）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率P1=P（Z＞10000）=0.5+0.2=0.7，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为：21、解：（1）∵|OM|≤|MN|+|NO|=3+1=4，当M，N在x轴上时，等号成立，同理|OM|≥|MN|﹣|NO|=3﹣1=2，当D，O重合，即MN⊥x轴时，等号成立．∴椭圆C的中心为原点O，长半轴长为4，短半轴长为2，其方程为．（2）①当直线l的斜率k不存在时，直线l为：x=4或x=﹣4，都有S△OPQ=，②直线l的斜率k存在时，直线l为：y=kx+m，（k），由消去y，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣16=0，∵直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，∴△=64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣16）=0，即m2=16k2+4，①，由，可得P（，），同理得Q（，），原点O到直线PQ的距离d=和|PQ|=•|x P﹣x Q|，可得S△OPQ=|PQ|d=|m||x P﹣x Q|=|m|||=||②，将①代入②得S△OPQ=||=8||，当k2＞时，S△OPQ=8（）=8（1+）＞8，当0≤k2＜时，S△OPQ=8||=﹣8（）=8（﹣1+），∵0≤k2＜时，∴0＜1﹣4k2≤1，≥2，∴S△OPQ=8（﹣1+）≥8，当且仅当k=0时取等号，∴当k=0时，S△OPQ的最小值为8，综上可知当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，三角形OPQ的面积存在最小值为8．22、（1）解：f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），f′（x）=1﹣e x．当f′（x）＞0，即x＜0时，f（x）单调递增；当f′（x）＜0，即x＞0时，f（x）单调递减．故f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0），单调递减区间为（0，+∞）．当x＞0时，f（x）＜f（0）=0，即1+x＜e x．令，得，即．①（2）解：；=；．由此推测：=（n+1）n．②下面用数学归纳法证明②．（1）当n=1时，左边=右边=2，②成立．（2）假设当n=k时，②成立，即．当n=k+1时，，由归纳假设可得=．∴当n=k+1时，②也成立．根据（1）（2），可知②对一切正整数n都成立．（3）证明：由c n的定义，②，算术﹣几何平均不等式，b n的定义及①得T n=c1+c2+…+c n=====＜ea1+ea2+…+ea n=eS n．即T n＜eS n．。
新版武汉大学计算数学考研经验考研参考书考研真题
经过一年的努力奋斗终于如愿以偿考到自己期望的学校，在这一年的时间内，我秉持着天将降大任于斯人也必先苦其心志劳其筋骨饿其体肤空乏其身的信念终于熬过了这段难熬却充满期待和自我怀疑的岁月。
可谓是痛并快乐着。
在这期间，我不止一次地怀疑自己有没有可能成功上岸，这样的想法，充斥在我的头脑中太多次，明知不可想这么多，但在休息时，思想放空的时候就会凭空冒出来，难以抵挡。
这对自己的心绪实在是太大的干扰，所以在此想跟大家讲，调整好心态，无论成功与否，付出自己全部的努力，到最后，总不会有那种没有努力过而与成功失之交臂的遗憾。
总之就是，付出过，就不会后悔。
在此，我终于可以将我这一年来的所有欣喜，汗水，期待，惶惑，不安全部写出来，一来是对这一重要的人生转折做一个回顾和告别，再有就是，希望我的这些经验，可以给大家以借鉴的作用。
无论是心态方面，考研选择方面，还是备考复习方面。
都希望可以跟大家做一个深入交流，否则这一年来的各种辛酸苦辣真是难吐难吞。
由于心情略微激动了些，所以开篇部分可能略显鸡汤，不过，认真负责的告诉大家，下面的内容将是满满的干货。
只是由于篇幅过长还望大家可以充满耐心的把它看完。
文章结尾会附赠我的学习资料供各位下载使用。
武汉大学计算数学的初试科目为：(101)思想政治理论和(201)英语一(653)数学分析和(873)线性代数参考书目为：1.《数学分析》华东师范大学高等教育出版社2.《数学分析教程》常庚哲史济怀著高等教育出版社3.《高等代数与解析几何》陈志杰高等教育出版社4.《高等代数》北京大学高等教育出版社先说英语吧。
词汇量曾经是我的一块心病，跟我英语水平差不多的同学，词汇量往往比我高出一大截。
从初中学英语开始就不爱背单词。
在考研阶段，词汇量的重要性胜过四六级，尤其是一些熟词僻义，往往一个单词决定你一道阅读能否做对。
所以，一旦你准备学习考研英语，词汇一定是陪伴你从头至尾的一项工作。
考研到底背多少个单词足够？按照大纲的要求，大概是5500多个。
数学分析第五版答案
数学分析第五版答案【篇一：数学分析学习方法档】>从数学分析开始讲起：数学分析是数学系最重要的一门课，经常一个点就会引申出今后的一门课，并且是今后数学系大部分课程的基础。
也是初学时比较难的一门课，这里的难主要是对数学分析思想和方法的不适应，其实随着课程的深入会一点点容易起来。
当大四考研复习再看时会感觉轻松许多。
数学系的数学分析讲三个学期共计15学分270学时。
将《数学分析》中较难的一部分删去再加上常微分方程的一些最简单的内容就是中国非数学专业的《高等数学》，或者叫数学一的高数部分数学分析书：初学从中选一本教材，一本参考书就基本够了。
我强烈推荐11，推荐1，2，7，8。
另外建议看一下当不了教材的16，20。
中国人自己写的：1《数学分析》陈传璋，金福临，朱学炎，欧阳光中著（新版作者顺序颠倒）应该是来自辛钦的《数学分析简明教程》，是数学系用的时间最长，用的最多的书，大部分学校考研分析的指定教材。
我大一用第二版，现在出了第三版，但是里面仍有一些印刷错误，不过克可以一眼看出来。
网络上可以找到课后习题的参考答案，不过建议自己做。
不少经济类工科类学校也用这一本书。
里面个别地方讲的比较难懂，而且比其他书少了一俩个知识点，比如好像没有讲斯托尔滋(stolz)定理，实数的定义也不清楚。
不过仍然不失为一本好书。
能广泛被使用一定有它自己的一些优势。
2《数学分析》华东师范大学数学系著师范类使用最多的书，课后习题编排的不错，也是考研用的比较多的一本书。
课本最后讲了一些流形上的微积分。
虽然是师范类的书，难度比上一本有一些降低，不过还是值得一看的。
3《数学分析》陈纪修等著以上三本是考研用的最多的三本书。
4《数学分析》李成章，黄玉民是南开大学一个系列里的数学分析分册，这套教材里的各本都经常被用到，总体还是不错的，是为教学改革后课时数减少后的数学系各门课编写的教材。
5《数学分析讲义》刘玉链我的数学分析老师推荐的一本书，不过我没有看，最近应该出了新版，貌似是第五？版，最初是一本函授教材，写的应该比较详细易懂。
《数学分析选讲》考研很有用的参考资料(共15章)第9章
第六章 级数理论§1 数项级数I 基本概念一 数项级数及其敛散性定义1 给定一个数列{，对它的各项依次用“+”号连结起来的表达式}n u ""++++n u u u 21 （1）称为数项级数或无穷级数，简称级数，记为，其中称为数项（1）的通项． ∑∞=1n nun u 数项级数（1）的前项之和，记为，称之为（1）的前项部分和，简称为部分和．n ∑==nk kn uS 1n 定义2 若级数（1）的部分和数列{}n S 收敛于（即S S S n n =∞→lim ），则称级数（1）收敛，并称为（1）的和，记为．若S ∑∞==1n nuS {}n S 是发散数列，则称级数（1）发散．二 收敛级数的基本性质1 收敛级数的柯西收敛准则级数（1）收敛的充要条件是：0>∀ε，0>∃N ，N n >∀，，有+∈∀Z p ε<++++++p n n n u u u "21．2 级数收敛的必要条件：若级数∑收敛，则∞=1n na0lim =∞→n n a ．3 去掉、增加或改变级数的有限项并不改变级数的敛散性．4 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和（正项级数亦如此），即收敛级数满足结合律．5 若级数适当加括号后发散，则原级数发散．6 在级数中，若不改变级数中各项的位置，只把符号相同的项加括号组成一新级数，则两级数具有相同的敛散性．7 线性运算性质若级数与都收敛，是常数，则收敛，且∑∞=1n nu∑∞=1n nvd c ,(∑∞=+1n n ndv cu)()∑∑∑∞=∞=∞=±=±111n n n n n n nv d u c dv cu．三 正项级数收敛性判别法1 正项级数收敛的充要条件是部分和数列∑∞=1n nu{}n S 有界．2 比较判别法 设与是两个正项级数，若存在正整数，当时，都有，则∑∞=1n nu∑∞=1n nvN N n >n n v u ≤（1）若收敛，则∑收敛；∑∞=1n nv∞=1n nu（2）若发散，则∑发散．∑∞=1n nu∞=1n nv3 比较原则的极限形式 设和是两个正项级数，且∑∞=1n n u ∑∞=1n n v l v u nnn =∞→lim，则（1）当+∞<<l 0时，和∑具有相同的敛散性；∑∞=1n nu∞=1n nv（2）当时，若∑收敛，则收敛；0=l ∞=1n nv∑∞=1n nu（3）当时，若发散，则发散．+∞=l ∑∞=1n nv∑∞=1n nu4 设∑和是两个正项级数，且∞=1n n a ∑∞=1n n b 0>∃N ，N n >∀，有nn n n b b a a 11++≤，则 （1）若收敛，则∑收敛；∑∞=1n nb∞=1n na（2）若发散，则发散．∑∞=1n na∑∞=1n nb5 比式判别法（达朗贝尔判别法） 设是正项级数，若及常数，有∑∞=1n nu00>∃N 0>q（1）当时，0N n >11<≤+q a a n n ，则级数收敛；∑∞=1n n u （2）当时，0N n >11≥+n n a a ，则发散．∑∞=1n n u 6 比式判别法极限形式 设为正项级数，且∑∞=1n n u q u u nn n =+∞→1lim，则（1）当时，收敛；1<q ∑∞=1n nu（2）当若时，∑发散；1>q +∞=q ∞=1n nu（3）当时失效．1=q 当比式极限不存在时，我们有 设为正项级数．∑∞=1n nu（1）若1lim1<=+∞→q u u n n n ，则级数收敛；（2）若1lim1>=+∞→q u u nn n ，则级数发散．7 根式判别法（柯西判别法） 设为正项级数，且存在某正整数及正常数l ，∑∞=1n nu0N （1）若对一切，成立不等式0N n >1<≤l u nn ，则级数收敛；∑∞=1n n u （2）若对一切，成立不等式0N n >1≥n n u ，则级数∑发散．∞=1n nu8 根式判别法极限形式 设为正项级数，且∑∞=1n nul u n n n =∞→lim ，则（1）当时级数收敛； 1<l （2）当时级数发散． 1>l 9 柯西积分判别法设为[上非负递减函数，那么正项级数与反常积分同时收f )∞+,1()∑∞=1n n f ()∫∞+1dx x f敛或同时发散．10 拉贝判别法 设为正项级数，且存在某正整数及常数∑∞=1n nu0N r ，（1）若对一切，成立不等式0N n >111>≥⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+r u u n n n ，则级数∑收敛；∞=1n n u （2）若对一切，成立不等式0N n >111≤⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+n n u u n ，则级数发散．∑∞=1n n u 注 拉贝判别法中（1）111>≥⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+r u u n n n 可转化为nru u n n −≤+11，1>r 收敛； （2）r u u n n n ≤⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+11可转化为nru u n n −≥+11，1≤r 发散． 11 拉贝判别法极限形式若r u u n n n n =⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+∞→11lim ，则有 （1）当1>r 时，收敛；∑∞=1n nu（2）当1<r 时，发散．∑∞=1n nu四 一般项级数1 莱布尼兹判别法 若交错级数，，满足下列两个条件：()∑∞=−−111n n n u 0>n u （1）数列{单减； }n u （2），0lim =∞→n n u 则收敛．∑∞=1n nu注 若交错级数满足莱布尼兹判别法，则其余项满足()∑∞=−−111n n n u ()x R n ()1+≤n n u x R ．2 绝对收敛级数及其性质 定义 对于级数，若∑∞=1n nu∑∞=1n nu收敛，则称绝对收敛；若收敛，而∑∞=1n nu∑∞=1n nu∑∞=1n nu发散，则称是条件收敛的．∑∞=1n nu显然，若绝对收敛，则一定收敛，反之不真．∑∞=1n nu∑∞=1n nu绝对收敛级数的性质： （1）重排性：若∑绝对收敛，其和为，则任意重排后所得级数亦绝对收敛，且有相同的和数．∞=1n nuS 此说明：绝对收敛级数满足交换律．对于条件收敛级数适当重排后，可得到发散级数，或收敛于任何事先指定的数（Riemann ）．（2）级数的乘积 若和都绝对收敛，其和分别为∑∞=1n nu∑∞=1n nvA 和B ，则其乘积按任意方式排列所得的级数也绝对收敛，且其和为∑∞=1n n u ∑∞=⋅1n nvAB （柯西定理）．乘积的排列方式通常有两种：正方形和对角线法．3 一般级数收敛判别法一般级数除应用前面正项级数方法判定其绝对收敛以外，莱布尼兹判别法和下面的狄利克雷判别法和阿贝尔判别法则是判定其可能条件收敛的主要方法．（1）狄利克雷判别法 若数列{单减收敛于零，的部分和数列有界，则级数收敛．}n a ∑∞=1n nbnn n ba ∑∞=1注 莱布尼兹判别法是狄利克雷判别法的特例，Abel 判别法亦可由狄利克雷判别法推证．（2）阿贝尔判别法：若数列{单调有界，∑收敛，则级数收敛．}n a ∞=1n nbnn n ba ∑∞=1五、常用于比较判别法的已知级数（1）几何级数∑，∞=1n nq1<q 收敛，1≥q 发散；（2）级数−p ∑∞=11n p n ，时收敛，1>p 1≤p 发散； （3）()∑∞=2ln 1n pn n ，时收敛，1>p 1≤p 发散．II 例题选解一 级数敛散性判别例1 讨论下列级数的敛散性． （1）∑∞=+111n nx，； 0>x （2）∑∞=1sinn nx，． R x ∈解（1）10<<x ，，0→n x 0111≠→+nx，发散； 1=x 时，02111≠→+nx，发散； 1>x 时，nn x x ⎟⎠⎞⎜⎝⎛<+111，∑∞=11n n x 收敛，故∑∞=+111n nx 收敛． （2）当时收敛，当时，发散． 0=x 0≠x 例2 已知∑收敛．∞=12n na（1）判定()∑∞=+−1211n n n n a 的敛散性；（2）证明：∑∞=2ln n n nn a 收敛．（武汉大学）解（1）()222221112111n a n a n a n nn+≤⎟⎠⎞⎜⎝⎛++≤+⋅−，与∑∞=12n n a ∑∞=121n n 均收敛，从而原级数收敛（绝对收敛）．（2）仿（1），由五（3）知其收敛． 例3 判断下列级数的敛散性． （1）∑∞=+−1)]11ln(1[n n n ；（东北师大）（2）∑++++−)]!1!21!111([n e "；（东北师大） （3）∑∞=142sin3n n n ； （4）∑∞=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−1cos 1n pn π，（） 0>p （5）∑∞=1!n n n nn a （）；e a a ≠>,0（6）()∑∞=−−+11312n n n ；（7）∑∞=−>−+111)0()2(n nna aa；（8）∑∫∞=+104411n n dxx ；（9）∑∞=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−21111n n n n ； （10）()()∑∞=+2ln ln 1n n nn n ；（11）∑∞=3ln n pnn（）； 0>p （12）()()∑∞=++11ln 11n pn n （）；（0>p 1=p 为大连理工） （13）()∑∞=+++1!2!!2!1n n n "； （14）()∑∞=⎦⎤⎢⎣⎡−+111ln n p n n （）； 0>p （15）()()∑∞=⋅−11!!2!!12n n n n ；（16）()∑∞=1ln ln 1n nn ； （17）∑∞=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−2ln 1n nn n p （）； 0>p（18）()()()∑∞=+++12111n nnx x x x "0≥x （）； （19）()∑∞=+−⋅−+211ln1n pn n nn （）； 0>p （20）()∑∞=⎟⎠⎞⎜⎝⎛++−110310021n nnn n ；（21）()()∑∞=−+−211n n n n ； （22）∑∞=1cos n pn nx（π<<x 0）； （23）"+−−−+−−+−+2222222222； （24）()[]∑∞=−11n n n；（25）()()∑∞=2ln ln ln 1n qp n n n ；（大连理工1998） （26）∑∞=+−11n nn n；（中科院2002）（27）∑−nnnarctan )1(（北京大学1999）．解（1）由于)(1ln ln 1)1ln(1)]11ln(1[111∞→→++−=+−=+−=∑∑∑===n c n n n k n k k k S nk n k nk n ，其中c 为欧拉常数，所以级数收敛．（2）由于""++++=++++−<)!2(1)!1(1)!1!21!111(e 0n n n ))3)(2)(1(1)2)(1(111(!1"+++++++++=n n n n n n n 22)!1(2))3)(2(1)2)(1(111(!1nn n n n n n n <+=++++++++<"， 由比较原则知其收敛．（3）24342sin 3→⎟⎠⎞⎜⎝⎛nnn⇒ 收敛；（4）21021~cos 12≤<⇒⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛−p n n pp ππ发散，21>p 收敛； （5）()()e a n n a n n a n n a nn n n n →⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⋅=⋅++⋅++1!1!111e a <<⇒0收敛，发散； e a >（6）()131312<→−+n n n⇒收敛；或()()∑∑∑∞=−∞=∞=−−+=−+111113131232n n n n n n n n ，收敛；或()1131312−−≤−+n nn ，收敛；（此乃正项级数）（7）220222121211)ln 2((lim )21()(lim )21()2(lim a x a a na a n a a x x x nnn nnn =−=−=−+−+→−∞→−∞→⇒收敛； 注：利用的Maclaurin 展开式估计分子的阶． x a （8）204421110nxdxdxx a n n n =≤+=<∫∫⇒ 收敛； （9）()nn n nn n n n n n −=−−=−−−111111=n n −231⇒收敛； 或⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛+++=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−−n o n n n n n n 11111111111⎟⎠⎞⎜⎝⎛+++=23231111n o n n n ⇒⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=−−−=2323111111n o n n n n a n （∞→n ）收敛；∑∞=⇒1n n a （10）()()()()nenn n n nn n nn nnnln ln 1ln 11ln ln ln ln +⋅=+=+，而()01ln ln →+⋅nn n ，从而上式极限为零，⇒收敛；（11）当10≤<p 时，nn n p 1ln ≥（）发散； 3>n ⇒ 当时，1>p ()()21211ln 1ln −−+⋅=p p p nnn n n ，当充分大时， n ()1ln 21<−p n n ⇒ ()2111ln −+≤p p nn n ⇒收敛．或当时，1>p 0ln 1ln 1ln 121<−=⋅−⋅=′⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−p p p pp x x p x xpx x x x x （），即单减．由柯西积分判别法知原级数收敛．3>x （12）()()()pn n n u 1ln 11++=单减，故可用柯西积分判别法，令()()()1ln 11++=x x x f p ，，易知当1≥x 1=p 时，发散，时亦发散，而时收敛．()∫∞+1dx x f 10<<p 1>p （13）()()()2121!2!!2!!2!1+≤⋅≤+++n n n n n n "（）收敛； 3≥n ⇒（14）由泰勒公式（皮亚诺余项形式）得：()()()⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+p p n p n p n n o n n n 221121111ln ()⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⋅−−=p p p nn o n n 2211211，当绝对收敛，1>p 121≤<p 条件收敛，210≤<p 发散． 注 能否利用()()p np n n n 1~11ln −⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⇒()∑∞=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+111ln n p n n 收敛？（此法仅用于正项级数）．（15）()()()()⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−=+⋅++=⋅−+⋅++=+1112211122121!!2!!1211!!22!!121n n n n n n nn n n n n a a n n()⎟⎠⎞⎜⎝⎛+++−=+++−=11123112112312n o n n n 由拉贝判别法知其收敛．（16）+∞→n ln ，则当较大时，，n 2ln e n >()()2ln 2ln 11ln 1n en n n =<⇒收敛； （17）根式判别法失效．先估计它的阶，⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=n n p n nn e n n p u ln 1ln ln 1，n npn n p ln ~ln 1ln −⎟⎠⎞⎜⎝⎛−（）， ∞→n 从而可以估计，于是可讨论pn nu −~n p p nu n nu =的极限，为此()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=∞→∞→∞→n n p n n p n n p n u n n np n n pn ln 1ln ln lim ln 1ln lim ln lim ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛++−=−∞→n n p n p n n n 1ln 1ln 1ln 11lim1()[]x px x px xx ln ln 1ln 1lim0−+=→ ()0ln 1ln ln lim 220=++−=→xpx x x x x p x 故，，所以当时收敛，当1lim =∞→n pn u n p n n u −~1>p 1≤p 时发散．（18）当时级数显然收敛； 0=x 当时，，故收敛；10<<x n n x u <当时，1=x nn u ⎟⎠⎞⎜⎝⎛=21，收敛；当时，1>x ()()()112111111−−<+<+++=n n n nn x x x x x x u "，收敛．（19）()()())(12121~1112∞→⋅=++=−+n nn nn nn p p ppp， )(2~12~121ln 11ln∞→−+−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−+=+−n n n n n n ， 所以，211121~p p n n a +−⋅−)(∞→n ，由此易得：时收敛，0>p 0≤p 时发散． 注 等价无穷小替换法仅适用于同号级数．（20）()132103100210310021<→++=⎟⎠⎞⎜⎝⎛++−n n n n n nn，绝对收敛． （21）()()()()()111111111−+−−=−−−−=−+−=n n n n n n u nnnnn n ， ()()()0121112112221<−−−=−−−⋅=′⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−x x x x x x xx x （） 1>x 由莱布尼兹判别法，()∑∞=−−211n nn n 收敛，而∑∞=−111n n 发散，故原级数发散． （22）当，发散，，绝对收敛，当0≤p 1>p 10≤<p 时，由狄利克雷判别法知其收敛．事实上，212sin 21sin cos 3cos 2cos cos −⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=++++x xn nx x x x "，()π,0∈x ，有界．（23）法一：212sin24sin24cos22πππ====a ，322sin 24cos 1222ππ=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−=a ，4332sin 22cos 224cos 122222πππ=−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−=−−=a ，……12sin2+=n n a π，……于是原级数可表为∑∞=+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛++++21322sin 22sin 2sin 2sin 2n n n ππππ""，收敛．法二：记21=A ，222+=A ，2223++=A ，……则，于是2→n A 121222lim 222lim 222lim lim 22111<=−+−=−+−=−+−=→→−−∞→+∞→x x x x A A a a x x n n n nn n ，收敛．（24）将级数中相邻且符号相同的项合并为一项，得一新级数()()∑∞=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−++++−12221111111n nn n n " 注意到通项中共有项，其中前项之和和后12+n n 1+n 项之和分别夹在11+n 与n1之间， n n n n n n n n n n n n n 11111122222=<−+++<−+<+=" ()nn n n n n n n n n n n n n 11211211122222=++<++++<+<+=+" 因此()nn n n n 211111112222<−+++++<+" 由此得其单减，从而为收敛级数，而原级数的部分和总是夹在新级数某相邻的二部分和之间，所以原级数也收敛．（25）当时，则当时收敛，1=p 1>q 1≤q 时发散，此时级数的敛散性等同于无穷积分()∫∞+2ln ln ln qx x x dx的敛散性．由无穷积分立得 ()∫∞+2ln ln ln q x x x dx ()∫+∞→=A q A x x x dx2ln ln ln lim ()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<∞+>−=+∞==−+∞→+∞→1,1,ln ln 11lim 1,ln ln ln lim 212q q x q q x A qAA A 收敛， 当时发散，时收敛，事实上，1<p 1>p 当时，1<p ()()()()n n n n n n n n n q pqp ln 1ln ln ln ln 1ln ln ln ln 11>⋅=−（n 充分大） 当时，1>p ()()()()()()()2121211ln 1ln ln ln 1ln 1ln ln ln ln 1+−−+<⋅=p q p p q p n n n n n n n n n ． （26）由 及发散知级数发散．∑−1n（27）由于{单调有界，}n arctan ∑−nn)1(收敛，由阿贝尔判别法知其收敛．思考题1 判别下列级数的敛散性： （1）∑∞=+−−++122)11(1n n n n n n ；（复旦大学1997） （2）∑∞=123ln n nn；（复旦大学1998） （3）∑∞=122sinn nn π；（复旦大学1999）（4）∑∞=−122sin)53(n n n n π；（复旦大学1999）（5）)0()1()2ln(1>++∑∞=a n a n n n；武汉理工大学2004） （6）∑∞=−11sin 1(n n n α．（南京理工2004） 提示：（1）分子有理化，发散； （2）收敛；（3）仿上例（3），收敛；（4）当为偶数时，通项为0，去掉这些为0的项以后所得级数为交错级数，收敛，n从而原级数收敛（考察它们部分和数列之间的关系）．（5）由级数收敛的必要条件知当1≤a 时发散；当由比式判别法知其收敛； 1>a （6）利用的Taylor 公式讨论． x sin 例4 讨论级数∑∞=11n pn的敛散性．分析：，柯西准则，发散；1=p 1>p ，柯西积分判别法，收敛； 1<p ，比较判别法，发散．例5 证明 （1）若级数收敛，则∑∞=12n n a ∑∞=1n nn a 收敛；（淮北煤师院2004） （2）若，则发散，而∑收敛；（南开大学2001）0lim ≠=a na n n∑∞=1n na∞=12n na（3）若是收敛的正项级数，则当∑∞=1n n a 21>p 时，级数∑∞=1n p n na 收敛（中科院2002）． 分析：（1）⎟⎠⎞⎜⎝⎛+≤22121n a n a n n ； （2）01≠→=a na na n n ，发散，而∑收敛； ∑∞=1n n a ∞=12n na （3）同（1）．或：由Cauchy 不等式211221111⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛≤∑∑∑===nk p nk k nk pk k a k a ； 知其部分和有界，从而收敛．例6（兰州大学2000）设是单调递减数列，试证明： 0>n u （1）若0lim ≠=∞→c u n n ，则∑∞=+−11)1(n nn u u 收敛； （2）若0lim =∞→n n u ，则∑∞=+−11)1(n nn u u 发散． 证（1）由单调有界定理知，再由极限的柯西收敛准则知：0>≥c u n 0,0>∃>∀N ε，当，有+∈∀>Z p N n ,εc u u p n n <−+，又单调递减，所以，当时，有n u +∈∀>Z p N n ,ε<−≤−++−+−+−+++++np n n p n p n n n n n u u u u u u u u u )1()1()1(1121"，由级数的柯西收敛准则知其收敛．（2）由于1)1()1()1(1121−=−≥−++−+−+++−+++++pn n p n p n n p n p n n n n n u uu u u u u u u u u "，令得上式右端的极限为，由柯西准则知∞→p ∞+∑∞=+−11)1(n nn u u 发散． 例7（华东师大1997）设级数∑∞=1n nn a收敛．试就∑n a 为正项级数和一般项级数两种情形分别证明：级数n n an n+∑∞=1也收敛．证 当为正项级数时，∑na1lim=+∞→nn a n a n n n ，由比较判别法知n n an n+∑∞=1收敛．当∑∞=1n n n a 为一般项级数时，nn a n n a n n n n 1111+=+∑∑∞=∞=，由阿贝尔判别法知它是收敛的．思考题2（华东师大1998）已知为发散的一般项级数，试证明∑∞=1n n a ∑∞=+1)11(n n n a 也是发散级数．提示：用反证法．假设∑∞=+1)11(n n n a 收敛，则∑∑∞=∞=++=11)1)(11(n n n n n n n a a ，由阿贝尔判别法知收敛，矛盾．∑∞=1n na例8（北京工业大学2000）设和正项数列{}n a 单调减少，且级数发散．令n n na ∑∞=−1)1(nn a a a u ++⋅+=11111121"，.,2,1"=n试问级数∑是否收敛，并说明理由．∞=1n nu证 级数收敛．这是因为：由级数发散和正项数列单调减少知，且由单调有界定理知，于是∑∞=1n nun n na ∑∞=−1)1({}n a 0lim >=∞→a a n n a a n ≥nn n n aa a a a u )11()1(111111121+=+≤++⋅+="， 由比较原则知收敛．∑∞=1n nu例9（北方交通大学1999）已知.,2,1,,01"=≤>+n a a a n n n 讨论级数"""++++na a a a a a 21211111 的敛散性．解 由单调性假设知存在极限0lim ≥=∞→a a n n ，则a a a a n n n =∞→"21lim ，由柯西根式判别法知，当时收敛，当时发散，当1>a 1<a 1=a 时，例10（中国矿大北研部）设，0>n a n n a a a S +++="21，级数．试证：∞=∑∞=1n na（1）∑∞=1n nnS a 发散；（武汉大学） （2）∑∞=12n nnS a 收敛．（东北师大） 证 （1），，于是0>n a ↑n S pn n p n pn n k kpn n k k k S S S a S a ++++=++=−=≥∑∑111． 而，故，从而当充分大时，∞=∑∞=1n n a +∞=++∞→p n p S lim p 21<+pn n S S ， 211≥∑++=pn n k kk S a ．由柯西收敛准则知其发散．（2）11211211122121111a S S S S a S S a a S a n nk k k n k k k k nk kk ≤−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=+≤∑∑∑=−=−=，部分和有界，故收敛．例11（华中科技大学） 若0lim 1=+∞→n n a ，()0lim 21=+++∞→n n n a a ，…，()0lim 21=++++++∞→p n n n n a a a "，…，试问是否一定收敛？为什么？∑∞=1n n a 解 不一定．如级数∑∞=11n n，有 )(01121110∞→→+<++++++<n n p p n n n "； 但∑∞=11n n 发散．例12（上海交大） 若 1lim 1sin 2=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅∞→n nn n a n ，则级数是否收敛？试证之．∑∞=1n n a 解 由于11sin2→−nn n na （∞→n ），而()432sin 21sin2110−⋅−−≤=<−−nnn n n nn （n 充分大），由比较判别法知∑∞=−11sin2n nn n收敛，再由比较判别法知收敛．∑∞=1n na例13 设且单减，试证与同时敛散．0>n a ∑∞=1n na∑∞=122n nn a 证 因为对正项级数任意加括号不改变敛散性，因此由∑∞=1n na()()()""++++++++++=1587654321a a a a a a a a a∑∞==++++≤02232221222232n n n a a a a a "和∑∞=1n na()()()"""++++++++++=169854321a a a a a a a a∑∞=+=+++++≥02116842122121842n nn a a a a a a a "知两级数具有相同的敛散性．例14 若正项级数收敛，且（∑∞=1n nan n nb a n a e a e++=",2,1=n ）．证明 （1）∑收敛；（华东师大）∞=1n nb（2）∑∞=1n nna b 收敛．（北京理工大学2003）证 解出得：n b ()0ln lim >−=∞→n a n n a eb n，而收敛，故当n 充分大时，∑∞=1n n a nnn a b b <，从而（2）收敛立得（1）收敛．由收敛的必要条件得)(0∞→→n a n ．又因为()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−++++=−n nn n n a a a a a a e n"!3!21ln ln 32()n n n a o a a =++"32!3121~， 即 0lim=∞→nn n a b ，由级数收敛得∑∞=1n n a ∑∞=1n nn a b收敛． 例15 研究级数∑∞=121n nx 的敛散性，这里是方程n x x x tan =的正根，并且按递增的顺序编号．解 解方程得：()⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−+∈ππππn n x n 2,12，()22111−<n x n ，，收敛． 1>n 例16 设，，11=u 22=u 21−−+=n n n u u u （）．问收敛吗？3≥n ∑∞=−11n nu解 由于03323233211211111<−=−=−=−+−−+−+++n n n n n n n n n n n u u u u u u u u u u u （）； 3>n 所以 321111≤=+−−+n n n n u u u u （由的前若干项预测）；由比式判别法知其收敛． n u 例17 设，证明级数 0>n a ()()()∑∞=+++121111n nna a a a " 收敛． 解 由于()()()()()()()()n n n a a a a a a a a a a a a a S +++++++++++++=<111111111021321321211""()()()()()()()"""++++++++−=+++++=321321212121111111111a a a a a a a a a a a a()()()()()()n n a a a a a a a ++++++++−=1111111121321"" ()()()1111121<+++−=n na a a a "即部分和有界，所以收敛．例18（上海师大）证明：级数："+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+++−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+++⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−4131211713121151211311是收敛的．解 这是交错级数，且()()⎟⎠⎞⎜⎝⎛++++−+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+++−=n n n n n n a n 12111212121211121""111121112112111221121+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛++++++>⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛+++⎟⎠⎞⎜⎝⎛−++=n a n n n n n n ""， ()()0ln 1211211121→++−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+++−=n n n c n n n a ε"． 由莱布尼兹判别法知收敛．∑∞=1n na例19（合肥工大2001）已知正项级数∑na 和∑nb 都发散，问下列级数收敛性如何？（1）∑； （2）),min(nnb a ∑),max(nnb a ．解（1）可能收敛，也可能发散，例如，取，则1−==n b a n n ∑),min(nn b a 发散；若取，，则n n a )1(1−+=1)1(1+−+=n n b 0),min(≡n n b a ，∑),min(nn b a 收敛．（2）一定发散，这是因为． n n n a b a ≥),max(思考题3（复旦大学1997）证明：如果任意项级数∑nu和∑nv都收敛，且成立.1,≥≤≤n v w u n n n则收敛．∑nw提示：利用柯西收敛准则．思考题4（上海交大2004）设.,2,1,1,11212"+==∫+−n dx x x n x n nn n 证明收敛．∑∞=−−11)1(n nn x 提示：12212111−+=<<+=n n n x n x n x ，应用Leibniz 判别法即可．例20（华东师大2000）设收敛，∑∞=1n na0lim =∞→n n na ．证明：．∑∑∞=∞=+=−111)(n n n n na a an 证 记级数的前n 项和为，则∑∞=−−11)(n n na an n S 12113221)()(2)(++−+++=−++−+−=n n n n n na a a a a a n a a a a S ""，而0])1(1[lim lim 11=+⋅+=+∞→+∞→n n n n a n n nna ，所以∑∑∞=∞=+=−111)(n n n n na a an ．思考题5（合肥工大2000）设数列{}n a 单调，且级数收敛于A ．证明：级数收敛，并求其和．∑∞=1n na∑∞=+−11)(n n na an 思考题6（北京工业大学2001）设数列{}n na 收敛，00=a ，级数收敛，证明：级数收敛．∑∞=−−11)(n n na an ∑∞=1n na思考题7（安徽大学2003）若级数满足：∑∞=1n na（1）；0lim =∞→n n a （2）∑收敛，∞=−+1212)(n n n a a证明：收敛．∑∞=1n na思考题8（华东师大2003）若级数满足：∑∞=1n na（1）；0lim =∞→n n a （2）∑收敛，∞=−−1212)(n n n a a证明：收敛．∑∞=1n na例21（吉林大学）证明级数"+−++−++−+611119141715121311发散到正无穷．证 记.,2,1,141241341"=−−−+−=n n n n a n 则nnna n 1)331(3142−=−>，而∑n1发散到正无穷，所以，+∞=∞→n n S 3lim ．又因为，故．n n n S S S 31323>>+++∞=∞→n n S lim 注（1）若要证明级数发散，则只需证明+∞=∞→n n S 3lim 即可．（2）在证明{收敛或发散时，有时通过求其子列的敛散性而使问题变得简单． }n S 思考题9（武汉大学1999）级数""+−−+++−+−nn 21)12(1514131211222 是否收敛？为什么？提示：考察． n S 2例22 证明：级数收敛的充分必要条件是：对于任意的正整数序列{和正整数数任意子序列{，都有∑∞=1n na}k p }k n .0)(lim 11=++++++∞→k k k k p n n n k a a a "证 必要性．设级数收敛，则由柯西收敛准则得：∑∞=1n na,0,0>∃>∀N ε当时，，都有N n >+∈∀Z p ε<++++++p n n n a a a "21，从而当时，，于是对于任意的正整数序列N k >N n k >{}k p ，有ε<++++++k k k k p n n n a a a "11，即 .0)(lim 11=++++++∞→k k k k p n n n k a a a "充分性．反证法．若发散，则，使得∑∞=1n na+∈∃>∃>∀>∃Z p N n N ,,0,00ε021ε≥++++++p n n n a a a "，特别地，分别取,,1,1111+∈∃>∃=Z p n N 使得 0211111ε≥++++++p n n n a a a "，{}+∈∃>∃>Z p N n n N 22212,,,2max ，使得 0212222ε≥++++++p n n n a a a "，如此下去，得一正整数子序列{和正整数序列}k n {}k p ，恒有011ε≥++++++k k k k p n n n a a a "，这与已知条件矛盾．二 绝对收敛与条件收敛例23 判别下列级数是条件收敛，还是绝对收敛： （1）()∑∞=+−−1111n np n n（南京师大2002，1=p 为武汉大学1995）；（2）∑∞=−1sin)1(n nnx（内蒙古大学）； （3）)0()23()1(12>−+−∑∞=x n n n xn（复旦大学1997）． 解（1）当时，不趋于0，发散； 0≤p n u 当时，原级数绝对收敛； 1>p 当时，10≤<p ()∑∞=−−1111n p n n收敛，nn 11单调有界，由阿贝尔判别发知其收敛，但 ()1111→−−+−p np n n n（∞→n ）；故原级数条件收敛．（2）当时绝对收敛，当0=x 0≠x 时，不妨设，则0>x 0>∃N ，当时，有N n >20π<<x ，且nxsin关于单减趋于0，由莱布尼兹判别法知其收敛． n 又因为)(1sin)1(∞→→−n nx n xn ，而∑∞=1n n x发散，故原级数条件收敛．（3）当时，数列0>x ⎭⎬⎫⎩⎨⎧−+x n n )23(12单减趋于0，由莱布尼兹判别法知其收敛．又因为 ，所以222423n n n n <−+<xx n x x nn n n 2221)23()1(41≤−+−<，从而，当21>x 时，绝对收敛，当21≤x 时，条件收敛． 思考题10（武汉大学2005）判别级数∑∞=2sin ln ln ln n n nn是否绝对收敛或条件收敛． 思考题11（南京大学2001）设1,0,1,111≥>>++=+n x k x x k x nnn ．（1）证明：级数绝对收敛；∑∞=+−01)(n n n x x（2）求级数之和．∑∞=+−11)(n n n x x例24（北京大学1999,中国矿大1999，安徽大学2000，2001）设()x f 在的某邻域内有二阶连续导数，且0=x ()0lim 0=→x x f x ．证明：级数∑∞=⎟⎠⎞⎜⎝⎛11n n f 绝对收敛．证 由()0lim=→xx f x 得，()00=f ()00=′f ，()x f 在0=x 某邻域内的二阶泰勒展式为()()()()()22212100x x f x x f x f f x f θθ′′=′′+′+=，10<<θ 由连续知，，有()x f ′′0>∃M ()M x f ≤′′，从而有2121nM n f ⋅≤⎟⎠⎞⎜⎝⎛ 故∑∞=⎟⎠⎞⎜⎝⎛11n n f 绝对收敛． 思考题12 证明：（1）（华南理工大学2005）设是偶函数，在)(x f 0=x 的某个领域中有连续的二阶导数， 则级数.2)0(,1)0(=′′=f f ∑∞=−1)11((n n f 绝对收敛．（2）（浙江大学2004）设函数在区间)(x f )1,1(−内具有直到三阶的连续导数，且，0)0(=f .0)(lim 0=′→x x f x 则∑∞=2)1(n n nf 绝对收敛．例25 设（）单调，且级数0>n a ",2,1=n ∑∞=11n n a 收敛，讨论级数()∑∞=++−111n nn a a n"是条件收敛还是绝对收敛．解 由于且单调，故0>n a 01→na ↑⇒n a ()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<++<++++⋅−=<+++⋅−++,2112121,22211221122212n n n n nn n n a a n n a a a n a na n a a a n "" 由已知条件，∑∞=12n na 收敛，故原级数绝对收敛． 例26 （哈尔滨工大2000）证明：若级数∑收敛，且级数绝对收敛，则级数收敛．∞=1n nb(∑∞=−−11n n na a)∑∞=1n nn ba 证 设n nb b b S +++="21，则1−−=n n n S S b ，于是由收敛知：，∑∞=1n nb0>∃M M S n ≤，．由收敛知：",2,1=n (∑∞=−−11n n n a a )0>∀ε，01>∃N ，1,N m n >∀，有ε<−++−+−−+−111m m n n n n a a a a a a "，又收敛，对上述{}n S 0>ε，，02>∃N 2N n >∀，，有2N m >ε<−m n S S ，取{}1,max 21+=N N N ，于是，当时，N m n >,m m n n n n b a b a b a +++++"11()()()1111−++−−++−+−=m m m n n n n n n S S a S S a S S a "[]()11121−−+++−+−+−++−+−≤n m n n m m m n n n n S S a a a M a a a a a a M "εM 3<．由柯西收敛准则知级数∑收敛．∞=1n nn ba 另证收敛⇒∑∞=1n nb0>∀ε，0>∃N ，N n >∀，，有+∈∀Z p ε<∑++=pn n k kb1．记，，则∑++==in n k ki bS 1p i ,,2,1"=ε<i S ，p i ,,2,1"=．由绝对收敛得其部分和有界，即，有(∑∞=−−11n n na a)0>∃MM a aS mn n nm ≤−=′∑=−11，",2,1=m ．由阿贝尔定理得p n p p n p n p n n n n pn n k kk a S a a S a a S a a S ba ++−+−++++++=+−++−+−≤∑113222111"p n p a S M ++≤ε又M a a a a a a a p n p n p n +<−++−+=−+++01010"，从而()012a M ba pn n k kk +≤∑++=ε．由柯西收敛准则知其收敛．例27（华东师大2001）证明：若级数绝对收敛，则级数也绝对收敛．∑∞=1n na∑∞=+++121)(n n na a a a"证 记，则由绝对收敛知收敛，所以{有界，即，有n n a a S ++="1∑∞=1n na∑∞=1n na}n S 0>∃M .,2,1,"=≤n M S n 于是有n n n a M a a a a ≤+++)(21"，由绝对收敛知级数∑也绝对收敛．∑∞=1n na∞=+++121)(n n na a a a"思考题14（华中科技2004）设，求级数之和．)(),1(,010∞→→≥==∑=n b x n ax x n nk kn ∑−+)(1n n nx x a提示：1−−=n n n x x a ．例28 证明：若对任意收敛于0的数列{}n x ，级数∑都收敛，则级数绝对收敛．∞=1n n nx a∑∞=1n n a 分析 问题等价于：若级数∑na发散，则至少存在一个收敛于0的数列{，使得级数发散，于是问题转化为：从}n x ∑n nx a∑+∞=n a 出发，构造出满足条件的数列{．联想例10中（1）的结论立明．}n x证 假设∑∞=1n n a 发散，记其前项和为，则n n S +∞=∞→n n S lim ．取210=ε，，，由0>∀N N n >∃+∞=∞→n n S lim 得 210lim<=∞→mn m S S ，从而当充分大（）时，有m n m >21<m n S S ，于是0221121ε=>−≥+++++=++m n m m m n n n n S S S S a S a S a "， 由柯西收敛准则知级数 ∑∞=1n n n S a 发散，取1,1≥=n S x nn ，则0lim =∞→n n x ，且发散，这与题目的条件矛盾，故命题成立．∑∞=1n n n x a 思考题15（中国人民大学2000）若正项级数发散，则存在收敛于0的正数序列，使得级数发散．∑∞=1n na{}n b ∑∞=1n n n b a 例29 研究级数∑∞=1sin n n n的收敛性．记其前n 项和为，将其分成两项 n S −++=nn n S S S ， 其中分别表示前n 项和中所有正项之和与负项之和．证明：极限−+nnS S ,−+∞→nnn S S lim 存在，并求其值．证 由Dirichlet 判别法知其收敛．又因为∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=−=≥111212cos 21121sin sin n n n n n n n n n n ，右端第一个级数发散，第二个级数收敛（利用Dirichlet 判别法），从而∑∞=1sin n n n非绝对收敛． 由于)(sin 2122)(1∞→−∞→−=−−+=∑=−+−+−n k k S S S S S S n k n n n n n n，所以，1)1(lim lim lim −=−=−+=−∞→−−−+∞→−+∞→nnn n n n n n n n n S S S S S S S S ． 注 此例给出了条件收敛与绝对收敛的一个本质区别，且这个结论对一切条件收敛级数都成立．三 构造级数例30 试构造一级数，使它满足：∑∞=1n na（1）∑收敛； （2）∞=1n na ⎟⎠⎞⎜⎝⎛≠n o a n 1． 解 ∑∞=121n n ，∑∞=11n n 满足（2），将两者结合起来，构造级数如下： "+++++=∑∞=22221514131211n n a 即当n 是整数平方时，n a n 1=，否则21n a n =，显然⎟⎠⎞⎜⎝⎛≠n o a n 1，同时 +∞<≤+≤=∑∑∑∑=≤==nk n k nk nk k n k kk a S 12212112112故此级数收敛．例31 举出一个发散的交错级数，使其通项趋于零． 分析 交错级数""+−++−+−−n n a a a a a a 2124321 （）0>n a 部分和为，可见只要构造一个级数，使得，同时使和一个收敛，另一个发散即可．为此可构造级数如下：∑∑==−−=n k k nk k n a aS 121122∑∞=1n n a 0→n a ∑∞=−112k k a∑∞=12k ka()""+−−+−+−+−nn 21121514131211222． 例32（南开大学1999）已知级数收敛，问级数和是否必收敛？说明理由．∑∞=1n na∑∞=12n na∑∞=13n na解 未必收敛．如级数∑∞=−1)1(n nn收敛，但发散．令∑∞=12n na"+−−−+−−+−=∑∞=33333331331331331312212212111n n a""+−−−−+项k k k k k k k k k k k11113。
高联2015专业课资料目录(湖北) .doc
高联2015专业课资料目录（湖北）武汉大学专业 考试科目 价格 资料目录适用专业：国民经济学、区域经济学、财政学、金融学、产业经济学、国际贸易学、劳动经济学、数量经济学、金融工程、保险学、房地产经济学、统计学 816 宏观经济学 200元 1.09-11年入学试题及解析19页2.13年真题 回忆版1页3.818 （00-12年）真题 204.宏观经济学模拟题3套无答案 45.宏观微观经济学辅导资料 546.经济学辅导讲义787.西方经济学期末试卷7套及答案 488.高鸿业版西方经济学课后答案112页9.武大微观、宏观本科课件200页.817经济学 150元 1.西方经济学辅导讲义80页2.西方经济学历年真题08-12真题133.习题及答案1684.习题及答案2-1245.曼昆经济学全套教学课件适用专业：会计学、企业管理、旅游管理、技术经济与管理、市场营销管理、人力资源管理，物流管理 818工商管理基本理论180元 1.工商管理基本理论真题2000-2012年，其中2012年为回忆版，历年考研试题，主要用来研究考研的考点，重点和出题思路，为考研必备参考资料2.真题答案2004-2011年，为官方提供的参考答案，有利于考生检验复习效果，把握得分点和解题步骤3.《工商管理基本理论》考研辅导班讲义，由权威机构举办辅导班，涉及到了很多的考点和重点，具有非常高的参考价值。
，共94页4.《工商管理基本理论》2011年辅导班讲义，由权威机构举办辅导班，涉及到了很多的考点和重点，具有非常高的参考价值。
，共61页5.期末试题，为本校本科阶段的期末试题，因授课老师参与出题，所以参考价值很大。
共4套2.《工商管理基本理论》重点复习内容，为本校本专业本科生所用习题库，因授课老师即为出题老师，所以参考价值很大。
，共37页6.管理学对应教材课程习题库，汇集了本专业考研的重点习题，有利于考生有针对性地进行复习，为考生节省大量的宝贵时间。
2015工程随机数学(A)试卷及答案
武汉大学2015 —2016学年度第 一 学期《工程随机数学》试卷（A ）电子信息 学院 专业 班 学号 姓名 分数 1. （本题10分）将a ，b ，c 三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为p ，而输出为其他一字母的概率都是(1-p)/2，今将字母串aaaa,bbbb,cccc 之一输入信道，三者输入的概率分别为p1, p2, p3 (p1+p2+p3=1)，已知输出为abcb ，问输入的是aaaa 的概率是多少？（设信道传输各个字母的工作是相互独立的。
）解： 以A ，B ，C 分别表示事件“输入aaaa ”，“输入bbbb ”，“输入cccc ”，以D 表示事件“输出abcb ”。
由全概率公式和贝叶斯公式有1123()(|)(|)()(|)(|)(|)P AD P D A p P A D P D P D A p P D B p P D C p ==++ 这里 31(|)()2p P D A p -=，221(|)()2p P D B p -=，31(|)()2p P D C p -= 带入上式 31322312311221321()2(|)111()()()222(1)2131p p p P A D p p p p p p p p p p p p p p p pp p p p p-=---++-==--+++- 2. （本题10分）设随机变量~(0,1)X U 。
（1） 求 221Y X =+的概率密度。
（2）求(),()D x D y解：（1）由于2211Y X =+≥，故当1y <时，()0Y f y =. 当1y ≥ 时，2()()(21)(Y X F y P Y y P X y P X F =≤=+≤=≤= 两边关于y 求导得1()0,Y Xyf y felse≥==⎩3.（本题15分）二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为2,01(,)0,.cx y x yf x yelse⎧≤≤≤=⎨⎩（1）确定常数c；（2）分析并判断X和Y是否相互独立？（3）求Z X Y=+的概率密度。