武汉大学2014年数学分析真题
湖北省武汉市2014届高三11月调研考试 数学理试题 含解析
（考试时间：120分钟，满分150分）第I卷（共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分,共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．复数z＝错误!的共轭复数是（）A．2＋i B．2－i C．－1＋i D．－1－i2．函数f（x）＝ln x的图象与函数g（x）＝x2－4x＋4的图象的交点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．33．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G,H,则错误!＋错误!＝( ）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!4．已知正三角形ABC的顶点A（1，1),B（1,3)，顶点C在第一象限，若点（x，y)在△ABC内部,则z＝－x＋y的取值范围是（)A．（1－错误!,2）B．（0，2）C．(错误!－1,2）D．(0,1＋错误!）5．给定两个命题p，q．若﹁p是q的必要而不充分条件，则p是﹁q的( ）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．一几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（) A．200＋9πB．200＋18πC．140＋9πD．140＋18π7．某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成,元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时)均服从正态分布N(1000，502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为（）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!8．直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直,则l与C所围成的图形的面积等于（）A．错误!B．2 C．错误!D．错误!【答案】C【解析】9．椭圆C:错误!＋错误!＝1的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2,－1］,那么直线PA1斜率的取值范围是（)A．［错误!，错误!] B．[错误!，错误!] C．［错误!,1] D．［错误!，1]10．已知函数f(x）＝cos x sin2x，下列结论中错误的是（）A．y＝f(x)的图象关于点（π，0）中心对称B．y＝f(x)的图象关于直线x ＝π2对称C ．f （x )的最大值为错误!D ．f (x )既是奇函数，又是周期函数 【答案】C 【解析】第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分,共25分）.11．已知函数f （x )＝错误!则f (f (错误!）)＝ ．12．执行如图所示的程序框图，输出的S值为．13．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91．现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示，则7个剩余分数的方差为．14．从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是．（用数字作答）【答案】59015．下表中的数阵为“森德拉姆素数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第i行第j列的数为a i,j（i,j∈N*)，则（Ⅰ)a9，9＝；（Ⅱ）表中的数82共出现次．三、解答题（解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）16．（本小题满分12分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，（a＋b＋c)(a －b＋c）＝ac．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若sin A sin C＝错误!,求C．cos()cos cos sin sin cos cos sin sin 2sin sin A C A C A C A C A C A C ∴-=+=-+13132242=+⨯= 6A C π∴-=或6A C π-=-12C π∴=或4C π=考点：1.余弦定理；2。
2014年湖北省高考数学文科试卷(含解析)
2014年湖北省高考数学文科试卷（含解析）绝密★启用前2014年湖北省高考数学文科试卷（含解析）本试题卷共5页，22题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用统一提供的2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．2014•湖北卷]已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{1，3，5，6}，则∁UA＝()A．{1，3，5，6}B．{2，3，7}C．{2，4，7}D．{2，5，7}1．C解析]由A＝{1，3，5，6}，U＝{1，2，3，4，5，6，7}，得∁UA＝{2，4，7}．故选C.2．2014•湖北卷]i为虚数单位，1－i1＋i2＝()A．1B．－1C．iD．－i2．B解析]1－i1＋i2＝（1－i）2（1＋i）2＝－2i2i＝－1.故选B. 3．2014•湖北卷]命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是()A．∀x∈/R，x2≠xB．∀x∈R，x2＝xC．∃x0∈/R，x20≠x0D．∃x0∈R，x20＝x03．D解析]特称命题的否定方法是先改变量词，然后否定结论，故命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是“∃x0∈R，x20＝x0”.故选D.4．2014•湖北卷]若变量x，y满足约束条件x＋y≤4，x－y≤2，x≥0，y≥0，则2x＋y的最大值是()A．2B．4C．7D．84．C解析]作出约束条件x＋y≤4，x－y≤2，x≥0，y≥0表示的可行域如下图阴影部分所示．设z＝2x＋y，平移直线2x＋y＝0，易知在直线x＋y＝4与直线x－y＝2的交点A(3，1)处，z＝2x＋y取得最大值7.故选C.5．2014•湖北卷]随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1，点数之和大于5的概率记为p2，点数之和为偶数的概率记为p3，则()A．p1＜p2＜p3B．p2＜p1＜p3C．p1＜p3＜p2D．p3＜p1＜p25．C解析]掷出两枚骰子，它们向上的点数的所有可能情况如下表：123456123456723456783456789456789105678910116789101112则p1＝1036，p2＝2636，p3＝1836.故p16．2014•湖北卷]根据如下样本数据x345678y4.02.5－0.50.5－2.0－3.0得到的回归方程为y^＝bx＋a，则()A．a＞0，b＜0B．a＞0，b＞0C．a＜0，b＜0D．a＜0，b＞06．A解析]作出散点图如下：由图像不难得出，回归直线y^＝bx＋a的斜率b0，所以a>0，b图1-1 7．2014•湖北卷]在如图1-1所示的空间直角坐标系O-xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)．给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为()图1-2A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②7．D解析]由三视图可知，该几何体的正视图显然是一个直角三角形(三个顶点坐标分别是(0，0，2)，(0，2，0)，(0，2，2))且内有一虚线(一锐角顶点与一直角边中点的连线)，故正视图是④；俯视图是一个斜三角形，三个顶点坐标分别是(0，0，0)，(2，2，0)，(1，2，0)，故俯视图是②.故选D.8．、2014•湖北卷]设a，b是关于t的方程t2cosθ＋tsinθ＝0的两个不等实根，则过A(a，a2)，B(b，b2)两点的直线与双曲线x2cos2θ－y2sin2θ＝1的公共点的个数为()A．0B．1C．2D．38．A解析]由方程t2cosθ＋tsinθ＝0，解得t1＝0，t2＝－tanθ，不妨设点A(0，0)，B(－tanθ，tan2θ)，则过这两点的直线方程为y＝－xtanθ，该直线恰是双曲线x2cos2θ－y2sin2θ＝1的一条渐近线，所以该直线与双曲线无公共点．故选A.9．、2014•湖北卷]已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为()A．{1，3}B．{－3，－1，1，3}C．{2－7，1，3}D．{－2－7，1，3}9．D解析]设x0，所以f(x)＝－f(－x)＝－(－x)2－3(－x)]＝－x2－3x.求函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点等价于求方程f(x)＝－3＋x的解．当x≥0时，x2－3x＝－3＋x，解得x1＝3，x2＝1；当x10．2014•湖北卷]《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈136L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V≈275L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为()A.227B.258C.15750D.35511310．B解析]设圆锥的底面圆半径为r，底面积为S，则L＝2πr.由题意得136L2h≈13Sh，代入S＝πr2化简得π≈3.类比推理，若V≈275L2h时，π≈258.故选B.11．2014•湖北卷]甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件．11．1800解析]设乙设备生产的产品总数为n，则80－50n＝804800，解得n＝1800.12．、2014•湖北卷]若向量OA→＝(1，－3)，|OA→|＝|OB→|，OA→•OB→＝0，则|AB→|＝________．12．25解析]由题意知，OB→＝(3，1)或OB＝(－3，－1)，所以AB＝OB－OA＝(2，4)或AB＝(－4，2)，所以|AB|＝22＋42＝25. 13．2014•湖北卷]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A＝π6，a＝1，b＝3，则B＝________．13.π3或2π3解析]由正弦定理得asinA＝bsinB，即1sinπ6＝3sinB，解得sinB＝32.又因为b>a，所以B＝π3或2π3.14．2014•湖北卷]阅读如图1-3所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n的值为9，则输出S的值为________．图1-314．1067解析]第一次运行时，S＝0＋21＋1，k＝1＋1；第二次运行时，S＝(21＋1)＋(22＋2)，k＝2＋1；……所以框图运算的是S＝(21＋1)＋(22＋2)＋…＋(29＋9)＝1067. 15．2014•湖北卷]如图1-4所示，函数y＝f(x)的图像由两条射线和三条线段组成．若∀x∈R，f(x)＞f(x－1)，则正实数a的取值范围为________．图1-415.0，16解析]“∀x∈R，f(x)>f(x－1)”等价于“函数y＝f(x)的图像恒在函数y＝f(x－1)的图像的上方”，函数y＝f(x－1)的图像是由函数y＝f(x)的图像向右平移一个单位得到的，如图所示．因为a>0，由图知6a16．2014•湖北卷]某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝76000vv2＋18v＋20l.(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为________辆/小时；(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时．16．(1)1900(2)100解析](1)依题意知，l>0，v>0，所以当l＝6.05时，F＝76000vv2＋18v＋121＝76000v＋121v＋18≤760002v•121v＋18＝1900，当且仅当v＝11时，取等号．(2)当l＝5时，F＝76000vv2＋18v＋100＝76000v＋100v＋18≤2000，当且仅当v＝10时，取等号，此时比(1)中的最大车流量增加100辆/小时．17．2014•湖北卷]已知圆O：x2＋y2＝1和点A(－2，0)，若定点B(b，0)(b≠－2)和常数λ满足：对圆O上任意一点M，都有|MB|＝λ|MA|，则(1)b＝________；(2)λ＝________．17．(1)－12(2)12解析]设点M(cosθ，sinθ)，则由|MB|＝λ|MA|得(cosθ－b)2＋sin2θ＝λ2（cosθ＋2）2＋sin2θ，即－2bcosθ＋b2＋1＝4λ2cosθ＋5λ2对任意的θ都成立，所以－2b＝4λ2，b2＋1＝5λ2.又由|MB|＝λ|MA|，得λ>0，且b≠－2，解得b＝－12，λ＝12.18．、、、2014•湖北卷]某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－3cosπ12t－sinπ12t，t∈0，24)．(1)求实验室这一天上午8时的温度；(2)求实验室这一天的最大温差．18．解：(1)f(8)＝10－3cosπ12×8－sinπ12×8＝10－3cos2π3－sin2π3＝10－3×－12－32＝10.故实验室上午8时的温度为10℃.(2)因为f(t)＝10－232cosπ12t＋12sinπ12t＝10－2sinπ12t＋π3，又0≤t所以π3≤π12t＋π3当t＝2时，sinπ12t＋π3＝1；当t＝14时，sinπ12t＋π3＝－1.于是f(t)在0，24)上取得最大值12，最小值8.故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃. 19．、、2014•湖北卷]已知等差数列{an}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式．(2)记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn＞60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．19．解：(1)设数列{an}的公差为d，依题意知，2，2＋d，2＋4d成等比数列，故有(2＋d)2＝2(2＋4d)，化简得d2－4d＝0，解得d＝0或d＝4，当d＝0时，an＝2；当d＝4时，an＝2＋(n－1)•4＝4n－2，从而得数列{an}的通项公式为an＝2或an＝4n－2.(2)当an＝2时，Sn＝2n，显然2n此时不存在正整数n，使得Sn>60n ＋800成立．当an＝4n－2时，Sn＝n2＋（4n－2）]2＝2n2.令2n2>60n＋800，即n2－30n－400>0，解得n>40或n此时存在正整数n，使得Sn>60n＋800成立，n的最小值为41.综上，当an＝2时，不存在满足题意的正整数n；当an＝4n－2时，存在满足题意的正整数n，其最小值为41.20．、2014•湖北卷]如图1-5，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，N分别是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中点．求证：(1)直线BC1∥平面EFPQ；(2)直线AC1⊥平面PQMN.图1-520．证明：(1)连接AD1，由ABCD-A1B1C1D1是正方体，知AD1∥BC1.因为F，P分别是AD，DD1的中点，所以FP∥AD1.从而BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ，且BC1⊄平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ.(2)如图，连接AC，BD，A1C1，则AC⊥BD.由CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，可得CC1⊥BD.又AC∩CC1＝C，所以BD⊥平面ACC1A1.而AC1⊂平面ACC1A1，所以BD⊥AC1.因为M，N分别是A1B1，A1D1的中点，所以MN∥BD，从而MN⊥AC1. 同理可证PN⊥AC1.又PN∩MN＝N，所以直线AC1⊥平面PQMN.21．2014•湖北卷]π为圆周率，e＝2.71828…为自然对数的底数．(1)求函数f(x)＝lnxx的单调区间；(2)求e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数中的最大数与最小数．21．解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．因为f(x)＝lnxx，所以f′(x)＝1－lnxx2.当f′(x)>0，即0当f′(x)e时，函数f(x)单调递减．故函数f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，＋∞)．(2)因为e即ln3e于是根据函数y＝lnx，y＝ex，y＝πx在定义域上单调递增可得，3e故这6个数中的最大数在π3与3π之中，最小数在3e与e3之中．由e即lnππ由lnπππ3.由ln33综上，6个数中的最大数是3π，最小数是3e.22．2014•湖北卷]在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1，0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)设斜率为k的直线l过定点P(－2，1)，求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．22．解：(1)设点M(x，y)，依题意得|MF|＝|x|＋1，即（x－1）2＋y2＝|x|＋1，化简整理得y2＝2(|x|＋x)．故点M的轨迹C的方程为y2＝4x，x≥0，0，x(2)在点M的轨迹C中，记C1：y2＝4x(x≥0)，C2：y＝0(x依题意，可设直线l的方程为y－1＝k(x＋2)．由方程组y－1＝k（x＋2），y2＝4x，可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0.①当k＝0时，y＝1.把y＝1代入轨迹C的方程，得x＝14.故此时直线l：y＝1与轨迹C恰好有一个公共点14，1.当k≠0时，方程①的判别式Δ＝－16(2k2＋k－1)．②设直线l与x轴的交点为(x0，0)，则由y－1＝k(x＋2)，令y＝0，得x0＝－2k＋1k.③(i)若Δ12.即当k∈(－∞，－1)∪12，＋∞时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点．(ii)若Δ＝0，x00，x0≥0，由②③解得k∈－112或－12≤k即当k∈－1，12时，直线l与C1只有一个公共点，与C2有一个公共点．当k∈－12，0时，直线l与C1有两个公共点，与C2没有公共点．故当k∈－12，0∪－1，12时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点．(iii)若Δ>0，x0即当k∈－1，－12∪0，12时，直线l与C1有一个公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点．综上所述，当k∈(－∞，－1)∪12，＋∞∪{0}时，直线l与轨迹C恰好有一个公共点；当k∈－12，0∪－1，12时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点；当k∈－1，－12∪0，12时，直线l与轨迹C恰好有三个公共点．。
2014年高考真题——文科数学(湖北卷)部分试题解析版Word版含解析
2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文科）部分解析一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知全集}7,6,5,4,3,2,1{=U ，集合}6,5,3,1{=A ，则=A C U （ ）A.}6,5,3,1{B. }7,3,2{C. }7,4,2{D. }7,5,2{2. i 为虚数单位，则=+-2)11(ii （ ） A. 1 B. 1- C. i D.i -3. 命题“R ∈∀x ，x x ≠2”的否定是（ ）A. R ∉∀x ，x x ≠2B. R ∈∀x ，x x =2C. R ∉∃x ，x x ≠2D. R ∈∃x ，x x =24.若变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤-≤+0,024y x y x y x ，则y x +2的最大值是（ ）A.2B.4C.7D.85.随机投掷两枚均匀的投骰子，学 科 网他们向上的点数之和不超过5的概率为1P ，点数之和大于5的概率为2P ，点数之和为偶数的概率为3P ，则（ ）A. 321P P P <<B. 312P P P <<C. 231P P P <<D. 213P P P <<6.根据如下样本数据：得到的回归方程为a bx y+=ˆ，则（ ） A.0,0>>b a B.0,0<>b a C.0,0><b a D.0.0<<b a7.在如图所示的空间直角坐标系xyz O -中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）A.①和②B.③和①C. ④和③D.④和②8.设a 、b 是关于t 的方程0sin cos 2=+θθt t 的两个不等实根，则过),(2a a A ，),(2b b B 两点的直线与双曲线1sin cos 2222=-θθy x 的公共点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 39.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，x x x f 3)(2-=，则函数3)()(+-=x x f x g 的零点的集合为（ ）A.{1,3}B.{3,1,1,3}--C.{2-D.{2--10.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式21.36v L h ≈它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么近似公式2275v L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ） A.227 B.258 C.15750 D.355113二．填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.请将答案天灾答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11.甲、乙两套设备生产的同类产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80 的样本进行检测.若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件.12.若向量)3,1(-=OA ，||||OB OA =，0=∙OB OA ，则=||AB ________.13.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知6π=A ，1=a ，3=b ，则=B ________.14.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n 的值为9，则输出S 的值为 .15.如图所示，函数)(x f y =的图象由两条射线和三条线段组成.若R ∈∀x ，)1()(->x f x f ，则正实数a 的取值范围是 .16.某项研究表明，在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F （单位时间内测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v （假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒）平均车长l （单位：米）的值有关，其公式为lv v vF 2018760002++=（1）如果不限定车型，05.6=l ，则最大车流量为_______辆/小时；（2）如果限定车型，5=l ，则最大车流量比（1）中的最大车流量增加 辆/小时.17. 已知圆1:22=+y x O 和点)0,2(-A ，若定点)2)(0,(-≠b b B 和常数λ满足：对圆O 上那个任意一点M ，都有||||MA MB λ=，则 （1）=b ； （2）=λ .。
14年高考真题——文科数学(湖北卷)
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（湖北卷）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7U =，集合{}1,3,5,6A =，则U A =ð（ ）（A ）{}1,3,5,6 （B ）{}2,3,7 （C ）{}2,4,7 （D ）{}2,5,72．i 为虚数单位，211i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭（ ） （A ）1 （B ）1- （C ）i （D ）i - 3．命题“x R ∀∈，2x x ≠”的否定是（ ） （A ）x R ∀∉，2x x ≠（B ）x R ∀∈，2x x = （C ）0x R ∃∉，200x x ≠ （D ）0x R ∃∈，200x x = 4．若变量,x y 满足约束条件420,0x y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥≥⎩，则2x y +的最大值是（ ）（A ）2 （B ）4 （C ）7 （D ）8A ．B ．C ．D ．5．随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为1p ，点数之和大于5的概率记为2p ，点数之和为偶数的概率记为3p ，则（ ）（A ）123p p p << （B ）213p p p << （C ）132p p p << （D ）312p p p <<6．根据如下样本数据得到的回归方程为y bx a =+，则（ ） （A ）0a >，0b <（B ）0a >，0b > （C ）0a <，0b < （D ）0a <，0b >7．在如图所示的空间直角坐标系O xyz -中，一个四面体的顶点坐标分别是()0,0,2，()2,2,0，()1,2,1，()2,2,2。
给出编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ） （A ）①和② （B ）③和① （C ）④和③ （D ）④和②8．设,a b 是关于t 的方程2cos sin 0t t θθ+=的两个不等实根，则过()2,A a a ，()2,B b b 两点的直线与双曲线22221cos sin x y θθ-=的公共点的个数为（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）39．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()23f x x x =-，则函数()()3g x f x x =-+的零点的集合为（ ）（A ）{}1,3 （B ）{}3,1,1,3-- （C ）{}2- （D ）{}2-10．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也。
2014湖北省高考数学试卷(文)答案解析
2014湖北省高考数学试卷（文）答案解析2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，则（）A.B.C.D.2.为虚数单位，则（）A.B.C.D.3.命题“，”的否定是（）A.，B.，C.，D.，4.若变量、满足约束条件，则的最大值是（）A.2B.4C.7D.85.随机投掷两枚均匀的投骰子，他们向上的点数之和不超过5的概率为，点数之和大于5的概率为，点数之和为偶数的概率为，则（）A.B.C.D.6.根据如下样本数据：得到的回归方程为，则（）A.B.C.D.7.在如图所示的空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A.①和②B.③和①C.④和③D.④和②8.设、是关于的方程的两个不等实根，则过，两点的直线与双曲线的公共点的个数为（）A.0B.1C.2D.39.已知是定义在上的奇函数，当时，，则函数的零点的集合为（）A.B.C.D.10.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为 3.那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为（）A.B.C.D.二．填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.请将答案天灾答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11.甲、乙两套设备生产的同类产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行检测.若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件.12.若向量，，，则________.13.在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，，则________.14.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为9，则输出的值为.15.如图所示，函数的图象由两条射线和三条线段组成.若，，则正实数的取值范围是.16.某项研究表明，在考虑行车安全的情况下，某路段车流量（单位时间内测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度（假设车辆以相同速度行驶，单位：米/秒）平均车长（单位：米）的值有关，其公式为（1）如果不限定车型，，则最大车流量为_______辆/小时；（2）如果限定车型，，则最大车流量比（1）中的最大车流量增加辆/小时.17.已知圆和点，若定点和常数满足：对圆上那个任意一点，都有，则（1）；（2）.。
2014年高考真题精校精析纯word可编辑·2014高考真题解析2014·湖北(理科数学)
2014²湖北卷(理科数学)1．[2014·湖北卷] i 为虚数单位，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝( )A ．－1B ．1C ．－iD ．i1．A [解析]⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝－2i 2i ＝－1.故选A. 2．[2014·湖北卷] 若二项式⎝⎛⎭⎫2x ＋a x 7的展开式中1x 3的系数是84，则实数a ＝( )A ．2B.54C ．1D.242．C [解析]展开式中含1x 3的项是T 6＝C 57(2x )2⎝⎛⎭⎫a x 5＝C 5722a 5x －3，故含1x3的项的系数是C 5722a 5＝84，解得a ＝1.故选C.3．[2014·湖北卷] U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．C [解析]若存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ，则可以推出A ∩B ＝∅；若A ∩B ＝∅，由维思图可知，一定存在C ＝A ，满足A ⊆C ，B ⊆∁U C ，故“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的充要条件．故选C.4．[2014·得到的回归方程为y ＝bx ＋a ，则( ) A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0 C ．a <0，b >0D ．a <0，b <04．B [解析]观察图象可知，回归直线y ＝bx ＋a 的斜率b <0，截距a >0.故a >0，b <0.故选B. 5．[2014·湖北卷] 在如图1-1所示的空间直角坐标系O xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)．给出编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为( )A ．①和②B5．D [解析]由三视图及空间直角坐标系可知，该几何体的正视图显然是一个直角三角形且内有一条虚线(一锐角顶点与其所对直角边中点的连线)，故正视图是④；俯视图是一个钝角三角形，故俯视图是②.故选D.6．[2014·湖北卷] 若函数f (x )，g (x )满足⎠⎛－11f(x)g(x)d x ＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f(x)＝sin 12x ，g(x)＝cos 12x ；②f(x)＝x ＋1，g(x)＝x －1；③f(x)＝x ，g(x)＝x 2.其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．36．C [解析]由题意，要满足f(x)，g(x)是区间[－1，1]上的正交函数，即需满足⎠⎛－11f(x)g(x)d x ＝0.①⎠⎛－11f(x)g(x)d x ＝⎠⎛－11sin 12x cos 12x d x ＝12⎠⎛－11sin x d x ＝⎝⎛⎭⎫－12cos x 1－1＝0，故第①组是区间[－1，1]上的正交函数； ②⎠⎛－11f(x)g(x)d x ＝⎠⎛－11(x ＋1)(x －1)d x ＝⎝⎛⎭⎫x 33－x 1－1＝－43≠0，故第②组不是区间[－1，1]上的正交函数；③⎠⎛－11f(x)g(x)d x ＝⎠⎛－11x ²x 2d x ＝x 4411＝0，故第③组是区间[－1，1]上的正交函数．综上，是区间[－1，1]上的正交函数的组数是2.故选C . 7．[2014·湖北卷] 由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( )A.18B.14C.34D.787．D [解析]作出Ω1，Ω2表示的平面区域如图所示，S Ω1＝S △AOB ＝12³2³2＝2，S △BCE ＝12³1³12＝14，则S 四边形AOEC ＝S Ω1－S △BCE ＝2－14＝74.故由几何概型得，所求的概率P ＝S 四边形AOEC S Ω1＝742＝78.故选D.8．[2014·湖北卷] 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V≈275L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( ) A.227B.258C.15750D.3551138．B [解析]设圆锥的底面圆半径为r ，底面积为S ，则L ＝2πr ，由题意得136L 2h ≈13Sh ，代入S ＝πr 2化简得π≈3；类比推理，若V ＝275L 2h ，则π≈258.故选B.9．、[2014·湖北卷] 已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )A.433B.233C ．3D ．29．A [解析]设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，r 1>r 2，椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，椭圆、双曲线的离心率分别为e 1，e 2.则由椭圆、双曲线的定义，得r 1＋r 2＝2a 1，r 1－r 2＝2a 2，平方得4a 21＝r 21＋r 22＋2r 1r 2，4a 22＝r 21－2r 1r 2＋r 22.又由余弦定理得4c 2＝r 21＋r 22－r 1r 2，消去r 1r 2，得a 21＋3a 22＝4c 2，即1e 21＋3e 22＝4.所以由柯西不等式得⎝⎛⎭⎫1e 1＋1e 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 1＋13³3e 22≤⎝⎛⎭⎫1e 21＋3e 22⎝⎛⎭⎫1＋13＝163.所以1e 1＋1e 2≤433.故选A.10．[2014·湖北卷] 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)．若∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤－16，16B.⎣⎡⎦⎤－66，66C.⎣⎡⎦⎤－13，13D.⎣⎡⎦⎤－33，33 10．B [解析]因为当x ≥0时，f (x )＝12()||x －a 2＋||x －2a 2－3a 2，所以当0≤x ≤a 2时，f (x )＝12()a 2－x ＋2a 2－x －3a 2＝－x ； 当a 2<x <2a 2时，f (x )＝12()x －a 2＋2a 2－x －3a 2＝－a 2；当x ≥2a 2时，f (x )＝12()x －a 2＋x －2a 2－3a 2＝x －3a 2.综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，0≤x ≤a 2，－a 2，a 2<x <2a 2，x －3a 2，x ≥2a 2.观察图象可知，要使∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则需满足2a 2－(－4a 2)≤1，解得－66≤a ≤66.故选B. 11．[2014·湖北卷] 设向量a ＝(3，3)，b ＝(1，－1)．若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝________．11．±3 [解析]因为a ＋λb ＝(3＋λ，3－λ)，a －λb ＝(3－λ，3＋λ)，又(a ＋λb )⊥(a －λb )，所以(a ＋λb )·(a －λb )＝(3＋λ)(3－λ)＋(3－λ)(3＋λ)＝0，解得λ＝±3.12．[2014·湖北卷] 直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝________.12．2 [解析]依题意得，圆心O 到两直线l 1：y ＝x ＋a ，l 2：y ＝x ＋b 的距离相等，且每段弧长等于圆周的14，即|a |2＝|b |2＝1³sin45°，得|a |＝|b |＝1.故a 2＋b 2＝2.13．[2014·湖北卷] 设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数．将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为I (a )，按从大到小排成的三位数记为D (a )(例如a ＝815，则I (a )＝158，D (a )＝851)．阅读如图1-2所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，输出的结果b ＝________．13．495 [解析]取a 1＝815⇒b 1＝851－158＝693≠815⇒a 2＝693； 由a 2＝693⇒b 2＝963－369＝594≠693⇒a 3＝594； 由a 3＝594⇒b 3＝954－459＝495≠594⇒a 4＝495； 由a 4＝495⇒b 4＝954－459＝495＝a 4⇒b ＝495.14．、[2014·湖北卷] 设f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数，且f (x )>0，对任意a >0，b >0，若经过点(a ，f (a ))，(b ，－f (b ))的直线与x 轴的交点为(c ，0)，则称c 为a ，b 关于函数f (x )的平均数，记为M f (a ，b )，例如，当f (x )＝1(x >0)时，可得M f (a ，b )＝c ＝a ＋b2，即M f (a ，b )为a ，b 的算术平均数．(1)当f (x )＝________(x >0)时，M f (a ，b )为a ，b 的几何平均数；(2)当f (x )＝________(x >0)时，M f (a ，b )为a ，b 的调和平均数2aba ＋b.(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)14．(1)x (2)x (或填(1)k 1x ；(2)k 2x ，其中k 1，k 2为正常数) [解析]设A (a ，f (a ))，B (b ，－f (b ))，C (c ，0)，则此三点共线：(1)依题意，c ＝ab ，则0－f （a ）c －a ＝0＋f （b ）c －b，即0－f （a ）ab －a ＝0＋f （b ）ab －b.因为a >0，b >0，所以化简得f （a ）a ＝f （b ）b，故可以选择f (x )＝x (x >0)；(2)依题意，c ＝2aba ＋b，则0－f （a ）2ab a ＋b －a ＝0＋f （b ）2ab a ＋b－b ，因为a >0，b >0，所以化简得f （a ）a ＝f （b ）b，故可以选择f (x )＝x (x >0)． 15．[2014·湖北卷] (选修4-1：几何证明选讲) 如图1-3，P 为⊙O 外一点，过P 点作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ，过P A 的中点Q 作割线交⊙O 于C ，D ________．15．4 [解析]由切线长定理得QA 2＝QC ·QD ＝1³(1＋3)＝4，解得QA ＝2.故PB ＝P A ＝2QA ＝4.16．[2014·湖北卷] (选修4-4：坐标系与参数方程)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝3t 3(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，则C 1与C 2交点的直角坐标为________． 16.()3，1 [解析]由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝3t 3，消去t 得y ＝33x (x ≥0)，即曲线C 1的普通方程是y ＝33x (x ≥0)；由ρ＝2，得ρ2＝4，得x 2＋y 2＝4，即曲线C 2的直角坐标方程是x 2＋y 2＝4.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x （x ≥0），x 2＋y 2＝4，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1.故曲线C 1与C 2的交点坐标为()3，1. 17．、、、[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天的最大温差．(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？17．解：(1)因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，－1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0，24)上取得的最大值是12，最小值是8.故实验室这一天的最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃. (2)依题意，当f (t )>11时，实验室需要降温．由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，故有10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3>11，即sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3<－12.又0≤t <24，因此7π6<π12t ＋π3<11π6，即10<t <18.故在10时至18时实验室需要降温． 18．、、[2014·湖北卷] 已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式．(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n >60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．18．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，依题意得，2，2＋d ，2＋4d 成等比数列， 故有(2＋d )2＝2(2＋4d )，化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4. 当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2.从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2. (2)当a n ＝2时，S n ＝2n ，显然2n <60n ＋800， 此时不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立．当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋（4n －2）]2＝2n 2.令2n 2>60n ＋800，即n 2－30n －400>0， 解得n >40或n <－10(舍去)，此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的正整数n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的正整数n ，其最小值为41. 19．、、、[2014·湖北卷] 如图1-4，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP ＝BQ ＝λ(0<λ<2)．(1)当λ＝1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ .(2)是否存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．19．解：方法一(几何方法)：(1)证明：如图①，连接AD 1，由ABCD A 1B 1C 1D 1是正方体，知BC 1∥AD 1.当λ＝1时，P 是DD 1的中点，又F 是AD 的中点，所以FP ∥AD 1，所以BC 1∥FP . 而FP ⊂平面EFPQ .(2)如图②，连接BD .因为E ，F 分别是AB ，AD 的中点，所以EF ∥BD ，且EF ＝12BD .又DP ＝BQ ，DP ∥BQ ，所以四边形PQBD 是平行四边形，故PQ ∥BD ，且PQ ＝BD ，从而EF ∥PQ ，且EF ＝12PQ .在Rt △EBQ 和Rt △FDP 中，因为BQ ＝DP ＝λ，BE ＝DF ＝1， 于是EQ ＝FP ＝1＋λ2，所以四边形EFPQ 也是等腰梯形． 同理可证四边形PQMN 也是等腰梯形．分别取EF ，PQ ，MN 的中点为H ，O ，G ，连接OH ，OG ， 则GO ⊥PQ ，HO ⊥PQ ，而GO ∩HO ＝O ，故∠GOH 是面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角的平面角．若存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角，则∠GOH ＝90°. 连接EM ，FN ，则由EF ∥MN ，且EF ＝MN 知四边形EFNM 是平行四边形． 连接GH ，因为H ，G 是EF ，MN 的中点， 所以GH ＝ME ＝2.在△GOH 中，GH 2＝4，OH 2＝1＋λ2－⎝⎛⎭⎫222＝λ2＋12，OG 2＝1＋(2－λ)2－⎝⎛⎫222＝(2－λ)2＋12，由OG 2＋OH 2＝GH 2，得(2－λ)2＋12＋λ2＋12＝4，解得λ＝1±22，故存在λ＝1±22，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角．方法二(向量方法)：以D 为原点，射线DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴的正半轴建立如图③所示的空间直角坐标系．由已知得B (2，2，0)，C 1(0，2，2)，E (2，1，0)，F (1，0，0)，P (0，0，λ)．BC 1→＝(－2，0，2)，FP ＝(－1，0，λ)，FE ＝(1，1，0)． (1)证明：当λ＝1时，FP ＝(－1，0，1)，因为BC 1→＝(－2，0，2)，所以BC 1→＝2FP →，即BC 1∥FP .而FP ⊂平面EFPQ ，且BC 1⊄平面EFPQ ，故直线BC 1∥平面EFPQ .(2)设平面EFPQ 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧FE →²n ＝0，FP →·n ＝0可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－x ＋λz ＝0.于是可取n ＝(λ，－λ，1)．同理可得平面MNPQ 的一个法向量为m ＝(λ－2，2－λ，1)． 若存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角， 则m ·n ＝(λ－2，2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0，即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝1±22.故存在λ＝1±22，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角．20．、、、、[2014·湖北卷] 计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水年入流量．．．．X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．(1)求未来4年中，至多．．有1年的年入流量超过120的概率． (2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？20．解：(1)依题意，p 1＝P (40<X <80)＝1050＝0.2，p 2＝P (80≤X ≤120)＝3550＝0.7，p 3＝P (X >120)＝550＝0.1.由二项分布得，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为p ＝C 04(1－p 3)4＋C 14(1－p 3)3p 3＝0.94＋4³0.93³0.1＝0.9477. (2)记水电站年总利润为Y (单位：万元)． ①安装1台发电机的情形．由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y ＝5000，E (Y )＝5000³1＝5000.②安装2台发电机的情形． 依题意，当40<X <80时，一台发电机运行，此时Y ＝5000－800＝4200，因此P (Y ＝4200)＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2；当X ≥80时，两台发电机运行，此时Y ＝5000³2＝10000，因此P (Y ＝10000)＝P (X ≥80)＝p 2＋p 3所以，E (Y )＝4200³0.2＋③安装3台发电机的情形． 依题意，当40<X <80时，一台发电机运行，此时Y ＝5000－1600＝3400，因此P (Y ＝3400)＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2；当80≤X ≤120时，两台发电机运行，此时Y ＝5000³2－800＝9200，因此P (Y ＝9200)＝P (80≤X ≤120)＝p 2＝0.7；当X >120时，三台发电机运行，此时Y ＝5000³3＝15000，因此P (Y ＝所以，E (Y )＝3400³综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台． 21．、、[2014·湖北卷] 在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点F (1，0)的距离比它到y 轴的距离多1.记点M 的轨迹为C .(1)求轨迹C 的方程；(2)设斜率为k 的直线l 过定点P (－2，1)，求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围．21．解：(1)设点M (x ，y )，依题意得|MF |＝|x |＋1，即（x －1）2＋y 2＝|x |＋1， 化简整理得y 2＝2(|x |＋x )．故点M 的轨迹C 的方程为y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≥0，0，x <0.(2)在点M 的轨迹C 中，记C 1：y 2＝4x ，C 2：y ＝0(x <0)． 依题意，可设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k （x ＋2），y 2＝4x ，可得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0.①当k ＝0时，y ＝1.把y ＝1代入轨迹C 的方程，得x ＝14.故此时直线l ：y ＝1与轨迹C 恰好有一个公共点⎝⎛⎭⎫14，1. 当k ≠0时，方程①的判别式Δ＝－16(2k 2＋k －1)．②设直线l 与x 轴的交点为(x 0，0)，则由y －1＝k (x ＋2)，令y ＝0，得x 0＝－2k ＋1k.③(i)若⎩⎪⎨⎪⎧Δ<0，x 0<0，由②③解得k <－1或k >12.即当k ∈(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，直线l 与C 1没有公共点，与C 2有一个公共点．故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点．(ii)若⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝0，x 0<0，或⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 0≥0，由②③解得k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12或－12≤k <0.即当k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与C 1只有一个公共点．当k ∈⎣⎡⎭⎫－12，0时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2没有公共点． 故当k ∈⎣⎡⎭⎫－12，0∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点．(iii)若⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 0<0，由②③解得－1<k <－12或0<k <12.即当k ∈⎝⎛⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎭⎫0，12时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2有一个公共点， 故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．综上可知，当k ∈()－∞，－1∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞∪{0}时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点；当k ∈⎣⎡⎭⎫－12，0∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点；当k ∈⎝⎛⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎭⎫0，12时，直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．22．[2014·湖北卷] π为圆周率，e ＝2.71828…为自然对数的底数．(1)求函数f (x )＝ln xx 的单调区间；(2)求e 3，3e，e π，πe ，，3π，π3这6个数中的最大数与最小数；(3)将e 3，3e ，e π，πe ，3π，π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．22．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．因为f (x )＝ln xx ，所以f ′(x )＝1－ln x x2.当f ′(x )>0，即0<x <e 时，函数f (x )单调递增； 当f ′(x )<0，即x >e 时，函数f (x )单调递减．故函数f (x )的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e ，＋∞)．(2)因为e<3<π，所以eln3<eln π，πlne<πln3，即ln3e <ln πe ，lne π<ln3π. 于是根据函数y ＝ln x ，y ＝e x ，y ＝πx 在定义域上单调递增，可得3e <πe <π3，e 3<e π<3π.故这6个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e 与e 3之中．由e<3<π及(1)的结论，得f (π)<f (3)<f (e)，即ln ππ<ln33<lnee .由ln ππ<ln33，得ln π3<ln3π，所以3π>π3；由ln33<lnee，得ln3e <lne 3，所以3e <e 3. 综上，6个数中的最大数是3π，最小数是3e .(3)由(2)知，3e <πe <π3<3π，3e <e 3.又由(2)知，ln ππ<lne e ，得πe <e π.故只需比较e 3与πe 和e π与π3的大小．由(1)知，当0<x <e 时，f (x )<f (e)＝1e，即ln x x <1e. 在上式中，令x ＝e 2π，又e 2π<e ，则ln e 2π<e π，从而2－ln π<e π，即得ln π>2－eπ.①由①得，eln π>e ⎝⎛⎭⎫2－e π>2.7³⎝⎛⎭⎫2－2.723.1>2.7³(2－0.88)＝3.024>3， 即eln π>3，亦即ln πe >lne 3，所以e 3<πe .又由①得，3ln π>6－3eπ>6－e>π，即3ln π>π，所以e π<π3.综上可得，3e <e 3<πe <e π<π3<3π，即这6个数从小到大的顺序为3e ，e 3，πe ，e π，π3，3π.第11 页共11 页。
2014年高考文科数学湖北卷及答案解析
绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类）本试题卷共6页,22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.★祝考试顺利★注意事项:1.答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.用统一提供的2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{1,2,3,4,5,6,7}U =，集合{1,3,5,6}A =，则U A =ð( )A .{1,3,5,6}B .{2,3,7}C .{2,4,7}D .{2,5,7} 2.i 为虚数单位，21i ()1i-=+( )A .1B .1-C .iD .i - 3.命题“x ∀∈R ，2x x ≠”的否定是( )A .x ∀∉R ，2x x ≠B .x ∀∈R ，2x x =C .x ∃∉R ，2x x ≠D .x ∃∈R ，2x x =4.若变量x ，y 满足约束条件420,0x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪⎩≤，≤，≥≥，则2x y +的最大值是( )A .2B .4C .7D .85.随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为1p ，点数之和大于5的概率记为2p ，点数之和为偶数的概率记为3p ，则( )A .123p p p ＜＜B .213p p p ＜＜C .132p p p ＜＜D .312p p p ＜＜6.得到的回归方程为y bx a =+，则( )A .0a ＞，0b ＜B .0a ＞，0b ＞C .0a ＜，0b ＜D .0a ＜，0b ＞7.在如图所示的空间直角坐标系-O xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2).给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为( )A .①和②B .③和①C .④和③D .④和②8.设a ，b 是关于t 的方程2cos sin 0t t θθ+=的两个不等实根，则过2(,)A a a ，2(,)B b b 两点的直线与双曲线22221cos sin x yθθ-=的公共点的个数为 ( )A .0B.1C .2D .39.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()3f x x x =-.则函数()()3g x f x x =-+的零点的集合为 ( )A .{1,3}B .{3,1,1,3}--C .{2D .{2-10.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式2136V L h ≈.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式2275V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A .227B .258C .15750D .355113二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11.甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测.若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为 件.12.若向量(1,3)OA =-，||||OA OB =，||||0OA OB =， 则||AB = .13.在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知π6A =，1a =，b =，则B = . 14.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n 的值为9，则输出S 的值为 .--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------姓名________________ 准考证号_____________15.如图所示，函数()y f x =的图象由两条射线和三条线段组成.若x ∀∈R ，()(1)f x f x -＞，则正实数a 的取值范围为 .16.某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F （单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时）与车流速度v （假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒）、平均车长l （单位：米）的值有关，其公式为2760001820vF v v l=++.（Ⅰ）如果不限定车型， 6.05l =，则最大车流量为 辆/小时；（Ⅱ）如果限定车型，5l =，则最大车流量比（Ⅰ）中的最大车流量增加 辆/小时.17.已知圆O :221x y +=和点(2,0)A -，若定点(,0)(2)B b b ≠-和常数λ满足：对圆O 上任意一点，都有||||MB MA λ=，则 （Ⅰ）b = ； （Ⅱ）λ= .三、解答题:本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.（本小题满分12分）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系：ππ()10sin ,[0,24).1212f t t t t =-∈（Ⅰ）求实验室这一天上午8时的温度； （Ⅱ）求实验室这一天的最大温差.19.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足：12a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得60800n S n +＞？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由.20.（本小题满分13分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，P ，Q ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，1DD ，1BB ，11A B ，11A D 的中点.求证：（Ⅰ）直线1BC ∥平面EFPQ ； （Ⅱ）直线1AC ⊥平面PQMN . ss21.（本小题满分14分）π为圆周率，e 2.71828=…为自然对数的底数.（Ⅰ）求函数ln ()xf x x=的单调区间； （Ⅱ）求3e ，e 3，πe ，e π，π3，3π这6个数中的最大数与最小数.22.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点(1,0)F 的距离比它到y 轴的距离多1．记点M 的轨迹为C .（Ⅰ）求轨迹C 的方程；（Ⅱ）设斜率为k 的直线l 过定点(2,1)P -.求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围.M2z xy =+，所以00z =，4A z =，7B z =，4C z =，故2x y +的最大值是7，故选C ．)5.57.95=图的画图规则判断三棱锥的正视图为④与俯视图为②，故选D ．5(,O B x=(1,OA =-||||OA OB =，0OA OB =，1y =⎩ ，所以(3,1)OB =故(2,4)AB OB OA =-=2||2AB =【答案】π212kk ++++++的值，(9212212912-++++++=-【考点】循环结构的程序框图101)442n =-.显然2n <故直线1BC EFPQ ∥平面.1ACCC C =，所以ACC ⊂平面M ，N 分别是PNMN N =【考点】空间中的线面平行与垂直的判定11)(,)2+∞10){1,}2-时，直线0,0,由②③解得11)(0,)2时，直线恰好有三个公共点1(,1)(,){0}2∈-∞-+∞时，直线10){1,}2-时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点；1)(0,)2与轨迹C 恰好有三个公共点【考点】轨迹方程，直线与圆锥曲线的关系。
2014年湖北省高考数学理科试题及解析(全部题目)
2014年湖北省高考数学理科试题及解析1. i 为虚数单位，=+-2)11(ii A. －1 B.1 C. －i D. i 【解题提示】利用复数的运算法则进行计算 【解析】选A . 122)1)(1()1)(1()11(2-=-=++--=+-iii i i i i i 2.若二项式7)2(x a x +的展开式中31x 的系数是84，则实数a ＝ A. 2 B.34 C.1 D.42【解题提示】 考查二项式定理的通项公式 【解析】选C . 因为1r T += r r r r rrrx a C xa x C 2777772)()2(+---⋅⋅⋅=⋅⋅，令327-=+-r ，得2=r ，所以84227227=⋅⋅-a C ，解得a ＝1. 3.设U 为全集，B A ,是集合，则“存在集合C 使得,U A C B C ⊆⊆”是“∅=B A ”的A. 充分而不必要的条件B. 必要而不充分的条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要的条件【解题提示】考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件的判断 【解析】选C . 依题意，若C A ⊆，则UUC A ⊆，当UB C ⊆，可得∅=B A ；若∅=B A ，不妨另C A = ，显然满足,UA CBC ⊆⊆，故满足条件的集合C 是存在的.4.得到的回归方程为a bx y +=ˆ，则A.0,0>>b aB.0,0<>b aC.0,0><b aD.0.0<<b a【解题提示】 考查根据已知样本数判绘制散点图，由散点图判断线性回归方程中的b 与a 的符号问题【解析】选B .画出散点图如图所示，y 的值大致随x 的增加而减小，因而两个变量呈负相关，所以0<b ，0>a5..在如图所示的空间直角坐标系xyz O -中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为A.①和②B.③和①C. ④和③D.④和②【解题提示】 考查由已知条件，在空间坐标系中作出几何体的大致形状，进一步得到正视图与俯视图 【解析】选D . 在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④与俯视图为②，故选D . 6.若函数f(x)，()g x 满足11()g()d 0f x x x -=⎰，则称f(x)，()g x 为区间[-1,1] 上的一组正交函数，给出三组函数：①11()sin,()cos 22f x x g x x ==；②()1,g()1f x x x x =+=-；③2(),g()f x x x x ==其中为区间]1,1[-的正交函数的组数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3【解题提示】 考查微积分基本定理的运用【解析】选C . 对①，1111111111(sin cos )(sin )cos |02222x x dx x dx x ---⋅==-=⎰⎰，则)(x f 、)(x g 为区间]1,1[-上的正交函数；对②，1123111114 (1)(1)(1)()|033x x dx x dx x x---+-=-=-=-≠⎰⎰，则)(x f、)(x g不为区间]1,1[-上的正交函数；对③，1341111()|04x dx x--==⎰，则)(x f、)(x g为区间]1,1[-上的正交函数.所以满足条件的正交函数有2组.7.由不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥≤2xyyx确定的平面区域记为1Ω，不等式⎩⎨⎧-≥+≤+21yxyx，确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为（）A.81B.41C.43D.87【解题提示】首先根据给出的不等式组表示出平面区域，然后利用面积型的几何概型公式求解【解析】选D. 依题意，不等式组表示的平面区域如图，由几何概型概率公式知，该点落在2Ω内的概率为111221722218222BDF CEFBDFS SPS⨯⨯-⨯⨯-===⨯⨯.8.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，另相乘也。
2014年高考数学湖北卷试题及解析
2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.为虚数单位，则=+-2)11(ii （ ） A. 1- B. C. i - D. i【答案】C【解析】试题分析：因为122)11(2-=-=+-iii i ，故选C 。
【点评】本题考查复数的运算，容易题。
2. 若二项式7)2(x a x +的展开式中31x的系数是84，则实数=a （ ） A.2 B. 54 C. 1 D.42答案】D【解析】试题分析：因为r r r r rrr x a C xax C 2777772)()2(+---⋅⋅⋅=⋅⋅，令327-=+-r ，得2=r ，所以84227227=⋅⋅-a C ，解得42=a ，故选D 。
【点评】本题考查二项式定理的通项公式，容易题。
3. 设U 为全集，B A ,是集合，则“存在集合C 使得C C B C A U ⊆⊆,是“∅=B A ”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】试题分析：依题意，若C A ⊆，则A C C C U U ⊆，当C C B U ⊆，可得∅=B A ；若∅=B A ，不能推出C C B U ⊆，故选A 。
【点评】本题考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件判断，容易题。
得到的回归方程为a bx y+=ˆ，则（ ） A.0,0>>b a B.0,0<>b a C.0,0><b a D.0.0<<b a 【答案】B【解析】试题分析：依题意，画散点图知，两个变量负相关，所以0<b ，0>a .选B 。
【点评】本题考查根据已知样本数判断线性回归方程中的b 与a 的符号，容易题。
5.在如图所示的空间直角坐标系xyz O -中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）A. ①和②B.③和①C. ④和③D.④和② 【答案】D【解析】试题分析：在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④与俯视图为②，故选D 。
2014年湖北省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析
2014年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2014•湖北）i为虚数单位，（）2=（）A．﹣1 B．1C．﹣i D．i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题；数系的扩充和复数．分析：可先计算出的值，再计算平方的值．解答：解：由于，所以，（）2=（﹣i）2=﹣1故选A．点评：本题考查复数代数形式的计算，属于容易题2．（5分）（2014•湖北）若二项式（2x+）7的展开式中的系数是84，则实数a=（）A．2B．C．1D．考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：利用二项式定理的展开式的通项公式，通过x幂指数为﹣3，求出a即可．解答：解：二项式（2x+）7的展开式即（+2x）7的展开式中x﹣3项的系数为84，所以T r+1==，令﹣7+2r=﹣3，解得r=2，代入得：，解得a=1，故选：C．点评：本题考查二项式定理的应用，特定项的求法，基本知识的考查．3．（5分）（2014•湖北）设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B=∅”的（）A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：充要条件；集合的包含关系判断及应用．专题：集合；简易逻辑．分析：通过集合的包含关系，以及充分条件和必要条件的判断，推出结果．解答：解：由题意A⊆C，则∁U C⊆∁U A，当B⊆∁U C，可得“A∩B=∅”；若“A∩B=∅”能推出存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C，∴U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B=∅”的充分必要的条件．故选：C．点评：本题考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件的判断，是基础题．4．（5分）（2014•湖北）根据如下样本数据，得到回归方程=bx+a，则（）x 3 4 5 6 7 8y 4.0 2.5 ﹣0.5 0.5 ﹣2.0 ﹣3.0A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0考点：线性回归方程．专题：概率与统计．分析：通过样本数据表，容易判断回归方程中，b、a的符号．解答：解：由题意可知：回归方程经过的样本数据对应的点附近，是减函数，所以b＜0，且回归方程经过（3，4）与（4，3.5）附近，所以a＞0．故选：B．点评：本题考查回归方程的应用，基本知识的考查．5．（5分）（2014•湖北）在如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出的编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②考点：简单空间图形的三视图．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得结论．解答：解：在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得三棱锥的正视图和俯视图分别为④②，故选：D．点评：本题考查三视图的画法，做到心中有图形，考查空间想象能力，是基础题．6．（5分）（2014•湖北）若函数f（x），g（x）满足f（x）g（x）dx=0，则f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f（x）=sin x，g（x）=cos x；②f（x）=x+1，g（x）=x﹣1；③f（x）=x，g（x）=x2，其中为区间[﹣1，1]上的正交函数的组数是（）A．0B．1C．2D．3考点：微积分基本定理．专题：综合题；导数的综合应用．分析：利用新定义，对每组函数求积分，即可得出结论．解答：解：对于①：[sin x•cos x]dx=（sinx）dx=cosx=0，∴f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数；对于②：（x+1）（x﹣1）dx=（x2﹣1）dx=（）≠0，∴f（x），g（x）不为区间[﹣1，1]上的一组正交函数；对于③：x3dx=（）=0，∴f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，∴正交函数有2组，故选：C．点评：本题考查新定义，考查微积分基本定理的运用，属于基础题．7．（5分）（2014•湖北）由不等式组确定的平面区域记为Ω1，不等式组确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为（）A．B．C．D．考点：几何概型；简单线性规划．专题：概率与统计．分析：作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何槪型的概率公式即可得到结论．解答：解：平面区域Ω1，为三角形AOB，面积为，平面区域Ω2，为四边形BDCO，其中C（0，1），由，解得，即D（，），则三角形ACD的面积S==，则四边形BDCO的面积S=，则在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为，故选：D．点评：本题主要考查几何槪型的概率计算，利用线性规划的知识求出对应的区域和面积是解决本题的关键．8．（5分）（2014•湖北）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）A．B．C．D．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据近似公式V≈L2h，建立方程，即可求得结论．解答：解：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则L=（2πr）2，∴=（2πr）2h，∴π=．故选：B．点评：本题考查圆锥体积公式，考查学生的阅读理解能力，属于基础题．9．（5分）（2014•湖北）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点．且∠F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A．B．C．3D．2考点：椭圆的简单性质；余弦定理；双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论．解答：解：设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（a＞a1），半焦距为c，由椭圆和双曲线的定义可知，设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分布为e1，e2∵∠F1PF2=，∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，①在椭圆中，①化简为即4c2=4a12+3r1r2，即，②在双曲线中，①化简为即4c2=4a22+r1r2，即，③联立②③得，=4，由柯西不等式得（1+）（）≥（1×+）2，即（）=即，d当且仅当时取等号，故选：A点评：本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键．难度较大．10．（5分）（2014•湖北）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2），若∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），则实数a的取值范围为（）A．[﹣，]B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]考点：函数恒成立问题；函数奇偶性的判断；函数最值的应用．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：把x≥0时的f（x）改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得x＜0时的函数的最大值，由对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），可得2a2﹣（﹣4a2）≤1，求解该不等式得答案．解答：解：当x≥0时，f（x）=，由f（x）=x﹣3a2，x＞2a2，得f（x）＞﹣a2；当a2＜x＜2a2时，f（x）=﹣a2；由f（x）=﹣x，0≤x≤a2，得f（x）≥﹣a2．∴当x＞0时，．∵函数f（x）为奇函数，∴当x＜0时，．∵对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），∴2a2﹣（﹣4a2）≤1，解得：．故实数a的取值范围是．故选：B．点评：本题考查了恒成立问题，考查了函数奇偶性的性质，运用了数学转化思想方法，解答此题的关键是由对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x）得到不等式2a2﹣（﹣4a2）≤1，是中档题．二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．11．（5分）（2014•湖北）设向量=（3，3），=（1，﹣1），若（+λ）⊥（﹣λ），则实数λ=±3．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：根据向量垂直与向量坐标之间的关系建立方程关系，即可得到结论．解答：解：∵向量=（3，3），=（1，﹣1），∴向量||=3，||=，向量•=3﹣3=0，若（+λ）⊥（（﹣λ）），则（+λ）•（（﹣λ）=，即18﹣2λ2=0，则λ2=9，解得λ=±3，故答案为：±3，点评：本题主要考查向量垂直的坐标公式的应用，比较基础．12．（5分）（2014•湖北）直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将单位圆C：x2+y2=1分成长度相等四段弧，则a2+b2=2．考点：直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：由题意可得，圆心（0，0）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的，即==cos45°，由此求得a2+b2的值．解答：解：由题意可得，圆心（0，0）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的，∴==cos45°=，∴a2+b2=2，故答案为：2．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，得到∴==cos45°=，是解题的关键，属于基础题．13．（5分）（2014•湖北）设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字三位数，将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I（a），按从大到小排成的三位数记为D（a）（例如a=815，则I（a）=158，D（a）=851），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b=495．考点：程序框图．专题：计算题；算法和程序框图．分析：给出一个三位数的a值，实验模拟运行程序，直到满足条件，确定输出的a值，可得答案．解答：解：由程序框图知：例当a=123，第一次循环a=123，b=321﹣123=198；第二次循环a=198，b=981﹣189=792；第三次循环a=792，b=972﹣279=693；第四次循环a=693，b=963﹣369=594；第五次循环a=594，b=954﹣459=495；第六次循环a=495，b=954﹣459=495，满足条件a=b，跳出循环体，输出b=495．故答案为：495．点评：本题通过新定义题型考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．三、解答题14．（2014•湖北）设f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，且f（x）＞0，对任意a＞0，b＞0，若经过点（a，f（a）），（b，﹣f（b））的直线与x轴的交点为（c，0），则称c为关于函数f（x）的平均数，记为M f（a，b），例如，当f（x）=1（x＞0）时，可得M f（a，b）=c=，即M f（a，b）为a，b的算术平均数．（1）当f（x）=（x＞0）时，M f（a，b）为a，b的几何平均数；（2）当f（x）=x（x＞0）时，M f（a，b）为a，b的调和平均数；（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）考点：平均值不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）设f（x）=，（x＞0），在经过点（a，）、（b，﹣）的直线方程中，令y=0，求得x=c=，从而得出结论．（2）设f（x）=x，（x＞0），在经过点（a，a）、（b，﹣b）的直线方程中，令y=0，求得x=c=，从而得出结论．解答：解：（1）设f（x）=，（x＞0），则经过点（a，）、（b，﹣）的直线方程为=，令y=0，求得x=c=，∴当f（x）=，（x＞0）时，M f（a，b）为a，b的几何平均数，故答案为：．（2）设f（x）=x，（x＞0），则经过点（a，a）、（b，﹣b）的直线方程为=，令y=0，求得x=c=，∴当f（x）=x（x＞0）时，M f（a，b）为a，b的调和平均数，故答案为：x．点评：本题主要考查新定义，用两点式求直线的方程，属于中档题．15．（2014•湖北）如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点，若QC=1，CD=3，则PB=4．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；几何证明．分析：利用切割线定理可得QA2=QC•QD，可求QA，可得PA，利用圆的切线长定理，可得PB．解答：解：∵QA是⊙O的切线，∴QA2=QC•QD，∵QC=1，CD=3，∴QA2=4，∴QA=2，∴PA=4，∵PA，PB是⊙O的切线，∴PB=PA=4．故答案为：4．点评：本题考查圆的切线长定理，考查切割线定理，考查学生的计算能力，属于基础题．16．（2014•湖北）已知曲线C1的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2，则C1与C2交点的直角坐标为（，1）．考点：点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程．专题：直线与圆．分析：把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程，再把两曲线的方程联立方程组求得C1与C2交点的直角坐标．解答：解：把曲线C1的参数方程是（t为参数），消去参数化为直角坐标方程为x2=3y2（x≥0，y≥0）．曲线C2的极坐标方程是ρ=2，化为直角坐标方程为x2+y2=4．解方程组，求得，∴C1与C2交点的直角坐标为（，1），故答案为：（，1）．点评：本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，求两条曲线的交点，属于基础题．17．（11分）（2014•湖北）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：f（t）=10﹣，t∈[0，24）（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；（Ⅱ）若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式化简函数解析式为f（t）10﹣2sin（t+），t∈[0，24），利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的最大值及最小值，可得实验室这一天的最大温差．（Ⅱ）由题意可得，当f（t）＞11时，需要降温，由f（t）＞11，求得sin（t+）＜﹣，即≤t+＜，解得t的范围，可得结论．解答：解：（Ⅰ）∵f（t）=10﹣=10﹣2sin（t+），t∈[0，24），∴≤t+＜，故当t+=时，函数取得最大值为10+2=12，当t+=时，函数取得最小值为10﹣2=8，故实验室这一天的最大温差为12﹣8=4℃．（Ⅱ）由题意可得，当f（t）＞11时，需要降温，由（Ⅰ）可得f（t）=10﹣2sin（t+），由10﹣2sin（t+）＞11，求得sin（t+）＜﹣，即≤t+＜，解得10＜t＜18，即在10时到18时，需要降温．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象特征，两角和差的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，三角不等式的解法，属于中档题．18．（12分）（2014•湖北）已知等差数列{a n}满足：a1=2，且a1，a2，a5成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记S n为数列{a n}的前n项和，是否存在正整数n，使得S n＞60n+800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．考点：等差数列的性质；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设出数列的公差，利用等比中项的性质建立等式求得d，则数列的通项公式可得．（Ⅱ）利用（Ⅰ）中数列的通项公式，表示出S n根据S n＞60n+800，解不等式根据不等式的解集来判断．解答：解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，依题意，2，2+d，2+4d成比数列，故有（2+d）2=2（2+4d），化简得d2﹣4d=0，解得d=0或4，当d=0时，a n=2，当d=4时，a n=2+（n﹣1）•4=4n﹣2．（Ⅱ）当a n=2时，S n=2n，显然2n＜60n+800，此时不存在正整数n，使得S n＞60n+800成立，当a n=4n﹣2时，S n==2n2，令2n2＞60n+800，即n2﹣30n﹣400＞0，解得n＞40，或n＜﹣10（舍去），此时存在正整数n，使得S n＞60n+800成立，n的最小值为41，综上，当a n=2时，不存在满足题意的正整数n，当a n=4n﹣2时，存在满足题意的正整数n，最小值为41点评：本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．要求学生对等差数列和等比数列的通项公式，求和公式熟练记忆．19．（12分）（2014•湖北）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP=BQ=λ（0＜λ＜2）（Ⅰ）当λ=1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ；（Ⅱ）是否存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）建立坐标系，求出=2，可得BC1∥FP，利用线面平行的判定定理，可以证明直线BC1∥平面EFPQ；（Ⅱ）求出平面EFPQ的一个法向量、平面MNPQ的一个法向量，利用面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，建立方程，即可得出结论．解答：（Ⅰ）证明：以D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴的正半轴，建立坐标系，则B（2，2，0），C1（0，2，2），E（2，1，0），F（1，0，0），P（0，0，λ），∴=（﹣2，0，2），=（﹣1，0，λ），=（1，1，0）λ=1时，=（﹣2，0，2），=（﹣1，0，1），∴=2，∴BC1∥FP，∵FP⊂平面EFPQ，BC1⊄平面EFPQ，∴直线BC1∥平面EFPQ；（Ⅱ）设平面EFPQ的一个法向量为=（x，y，z），则，∴取=（λ，﹣λ，1）．同理可得平面MNPQ的一个法向量为=（λ﹣2，2﹣λ，1），若存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，则•=λ（λ﹣2）﹣λ（2﹣λ）+1=0，∴λ=1±．∴存在λ=1±，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角．点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查存在性问题，解题时要合理地化空间问题为平面问题，注意向量法的合理运用．20．（12分）（2014•湖北）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，假设各年的年入流量相互独立．（Ⅰ）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；（Ⅱ）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：年入流量X 40＜X＜80 80≤X≤120 X＞120发电机最多可运行台数1 2 3若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元，若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）先求出年入流量X的概率，根据二项分布，求出未来4年中，至少有1年的年入流量超过120的概率；（Ⅱ）分三种情况进行讨论，分别求出一台，两台，三台的数学期望，比较即可得到．解答：解：（Ⅰ）依题意，p1=P（40＜X＜80）=，，，由二项分布，未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率为=（Ⅱ）记水电站的总利润为Y（单位，万元）（1）安装1台发电机的情形，由于水库年入流总量大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y=5000，E（Y）=5000×1=5000，（2）安装2台发电机的情形，依题意，当40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y=5000﹣800=4200，因此P（Y=4200）=P（40＜X＜80）=p1=，当X≥80时，两台发电机运行，此时Y=5000×2=10000，因此，P（Y=10000）=P（X≥80）=P2+P3=0.8，由此得Y的分布列如下Y 4200 10000P 0.2 0.8所以E（Y）=4200×0.2+10000×0.8=8840．（2）安装3台发电机的情形，依题意，当40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y=5000﹣1600=3400，因此P（Y=3400）=P（40＜X＜80）=p1=0.2，当80≤X≤120时，两台发电机运行，此时Y=5000×2﹣800=9200，因此，P（Y=9200）=P（80≤X≤120）=p2=0.7，当X＞120时，三台发电机运行，此时Y=5000×3=15000，因此，P（Y=15000）=P（X＞120）=p3=0.1，由此得Y的分布列如下Y 3400 9200 15000P 0.2 0.7 0.1所以E（Y）=3400×0.2+9200×0.7+15000×0.1=8620．综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．点评：本题主要考查了数学期望和二项分布，再求最大利润时，需要分类讨论，属于中档题．21．（14分）（2014•湖北）在平面直角坐标系xOy中，点M到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离多1，记点M 的轨迹为C．（Ⅰ）求轨迹C的方程；（Ⅱ）设斜率为k的直线l过定点P（﹣2，1），求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．考点：轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设出M点的坐标，直接由题意列等式，整理后即可得到M的轨迹C的方程；（Ⅱ）设出直线l的方程为y﹣1=k（x+2），和（Ⅰ）中的轨迹方程联立化为关于y的一元二次方程，求出判别式，再在直线y﹣1=k（x+2）中取y=0得到．然后分判别式小于0、等于0、大于0结合x0＜0求解使直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．解答：解：（Ⅰ）设M（x，y），依题意得：|MF|=|x|+1，即，化简得，y2=2|x|+2x．∴点M的轨迹C的方程为；（Ⅱ）在点M的轨迹C中，记C1：y2=4x（x≥0），C2：y=0（x＜0）．依题意，可设直线l的方程为y﹣1=k（x+2）．由方程组，可得ky2﹣4y+4（2k+1）=0．①当k=0时，此时y=1，把y=1代入轨迹C的方程，得．故此时直线l：y=1与轨迹C恰好有一个公共点（）．②当k≠0时，方程ky2﹣4y+4（2k+1）=0的判别式为△=﹣16（2k2+k﹣1）．设直线l与x轴的交点为（x0，0），则由y﹣1=k（x+2），取y=0得．若，解得k＜﹣1或k＞．即当k∈时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点．若或，解得k=﹣1或k=或．即当k=﹣1或k=时，直线l与C1只有一个公共点，与C2有一个公共点．当时，直线l与C1有两个公共点，与C2无公共点．故当k=﹣1或k=或时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点．若，解得﹣1＜k＜﹣或0＜k＜．即当﹣1＜k＜﹣或0＜k＜时，直线l与C1有两个公共点，与C2有一个公共点．此时直线l与C恰有三个公共点．综上，当k∈∪{0}时，直线l与C恰有一个公共点；当k∪{﹣1，}时，直线l与C恰有两个公共点；当k∈时，直线l与轨迹C恰有三个公共点．点评：本题考查轨迹方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，体现了分类讨论的数学思想方法，重点是做到正确分类，是中档题．22．（14分）（2014•湖北）π为圆周率，e=2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数f（x）=的单调区间；（Ⅱ）求e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数中的最大数和最小数；（Ⅲ）将e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）先求函数定义域，然后在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可得到单调增、减区间；（Ⅱ）由e＜3＜π，得eln3＜elnπ，πlne＜πln3，即ln3e＜lnπe，lneπ＜ln3π．再根据函数y=lnx，y=e x，y=πx 在定义域上单调递增，可得3e＜πe＜π3，e3＜eπ＜3π，从而六个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e与e3之中．由e＜3＜π及（Ⅰ）的结论，得f（π）＜f（3）＜f（e），即，由此进而得到结论；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，3e＜πe＜π3＜3π，3e＜e3，又由（Ⅱ）知，，得πe＜eπ，故只需比较e3与πe和eπ与π3的大小．由（Ⅰ）可得0＜x＜e时，．，令x=，有ln＜，从而2﹣lnπ，即得lnπ．①，由①还可得lnπe＞lne3，3lnπ＞π，由此易得结论；解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），∵f（x）=，∴f′（x）=，当f′（x）＞0，即0＜x＜e时，函数f（x）单调递增；当f′（x）＜0，即x＞e时，函数f（x）单调递减．故函数f（x）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞）．（Ⅱ）∵e＜3＜π，∴eln3＜elnπ，πlne＜πln3，即ln3e＜lnπe，lneπ＜ln3π．于是根据函数y=lnx，y=e x，y=πx在定义域上单调递增，可得3e＜πe＜π3，e3＜eπ＜3π，故这六个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e与e3之中．由e＜3＜π及（Ⅰ）的结论，得f（π）＜f（3）＜f（e），即，由，得lnπ3＜ln3π，∴3π＞π3；由，得ln3e＜lne3，∴3e＜e3．综上，6个数中的最大数是3π，最小数是3e．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，3e＜πe＜π3＜3π，3e＜e3，又由（Ⅱ）知，，得πe＜eπ，故只需比较e3与πe和eπ与π3的大小．由（Ⅰ）知，当0＜x＜e时，f（x）＜f（e）=，即．在上式中，令x=，又，则ln＜，从而2﹣lnπ，即得lnπ．①由①得，elnπ＞e（2﹣）＞2.7×（2﹣）＞2.7×（2﹣0.88）=3.024＞3，即elnπ＞3，亦即lnπe＞lne3，∴e3＜πe．又由①得，3lnπ＞6﹣＞6﹣e＞π，即3lnπ＞π，∴eπ＜π3．综上可得，3e＜e3＜πe＜eπ＜π3＜3π，即6个数从小到大顺序为3e，e3，πe，eπ，π3，3π．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性及其应用、数值的大小比较，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，难度较大．。
2014年湖北省高考数学理科试题及解析(全部题目)
2014年湖北省高考数学理科试题及解析1. 为虚数单位，A. －1B.1C. －D.【解题提示】利用复数的运算法则进行计算【解析】选A.2.若二项式的展开式中的系数是84，则实数＝A. 2B.C.1D.【解题提示】考查二项式定理的通项公式【解析】选C. 因为，令，得，所以，解得a＝1.3.设为全集，是集合，则“存在集合使得”是“”的A. 充分而不必要的条件B. 必要而不充分的条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要的条件【解题提示】考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件的判断【解析】选C. 依题意，若，则，当，可得；若，不妨另，显然满足，故满足条件的集合是存在的.4.x 3 4 5 6 7 8y 4.0 2.5 -0.5 0.5 -2.0 -3.0得到的回归方程为，则A. B. C. D.【解题提示】考查根据已知样本数判绘制散点图，由散点图判断线性回归方程中的与的符号问题【解析】选B.画出散点图如图所示，y的值大致随x的增加而减小，因而两个变量呈负相关，所以，5..在如图所示的空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为A.①和②B.③和①C. ④和③D.④和②【解题提示】考查由已知条件，在空间坐标系中作出几何体的大致形状，进一步得到正视图与俯视图【解析】选D. 在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④与俯视图为②，故选D.6.若函数f(x)，满足，则称f(x)，为区间[-1,1] 上的一组正交函数，给出三组函数：①；②；③其中为区间的正交函数的组数是（）A.0B.1C.2D.3【解题提示】考查微积分基本定理的运用【解析】选C. 对①，，则、为区间上的正交函数；对②，，则、不为区间上的正交函数；对③，，则、为区间上的正交函数.所以满足条件的正交函数有2组.7.由不等式确定的平面区域记为，不等式，确定的平面区域记为，在中随机取一点，则该点恰好在内的概率为（）A. B. C. D.【解题提示】首先根据给出的不等式组表示出平面区域，然后利用面积型的几何概型公式求解【解析】选D. 依题意，不等式组表示的平面区域如图，由几何概型概率公式知，该点落在内的概率为.8.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，另相乘也。
2014全国统一高考数学真题及逐题详细解析(文科)—湖北卷
2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数 学(文史类)1．已知全集{1,2,3,4,5,6,7}U =,集合{1,3,5,6}A =,则U A =ð A.{1,3,5,6}B.{2,3,7}C.{2,4,7}D. {2,5,7}2．i 为虚数单位,21i ()1i -=+A.1B.1-C.iD. i -3．命题“x ∀∈R ,2x x ≠”的否定是A.x ∀∉R ,2x x ≠B.x ∀∈R ,2x x =C.x ∃∉R ,2x x ≠D.x ∃∈R ,2x x =4．若变量x ,y 满足约束条件4,2,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥≥⎩则2x y +的最大值是A.2B.4C.7D.85．随机掷两枚质地均匀的骰子,它们向上的点数之和不超过5的概率记为1p ,点数之和大于5的概率记为2 p ,点数之和为偶数的概率记为3p ,则 A.123p p p << B.213p p p << C.132p p p <<D.312p p p <<6．根据如下样本数据A.0a >,0b <B.0a >,0b >C.0a <,0b <D.0a <,0b >7．在如图所示的空间直角坐标系O-xyz 中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2). 给出编号为①、②、③、④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为图③ 图①图④图② 第7题图A.①和②B.③和①C.④和③D.④和②8．设,a b 是关于t 的方程2cos sin 0t t θθ+=的两个不等实根,则过2(,)A a a ,2(,)B b b 两点的直线与双曲线22221cos sin x y θθ-=的公共点的个数为A.0B.1C.2D.39．已知()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x ≥时,2()=3f x x x -. 则函数()()+3g x f x x =- 的零点的集合为A. {1,3}B. {3,1,1,3}--C. {23}D. {21,3}-10．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也. 又以高乘之,三十六成一. 该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ,计算其体积V 的近似公式2136V L h ≈. 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3. 那么,近似公式2275V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为A.227 B.258 C.15750 D .35511311．甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件,采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测. 若样本中有50件产品由甲设备生产,则乙设备生产的产品总数为________件.12．若向量(1,3)OA =-,||||OA OB =,0OA OB ⋅=, 则||AB =________.13. 在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为,,a b c .已知,1,6A a b π===,B = .14．阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入n 的值为9,则输出S 的值为________.15．如图所示,函数()y f x =的图象由两条射线和三条线段组成. 若x ∀∈R ,()>(1)f x f x -,则正实数a 的取值范围为____.16．某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数,单位:辆/小时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶,单位:米/秒)、平均车长l (单位:米)的值有关,其公式为2760001820vF v v l=++.(Ⅰ)如果不限定车型, 6.05l =,则最大车流量为________辆/小时;(Ⅱ)如果限定车型,5l =, 则最大车流量比(Ⅰ)中的最大车流量增加______辆/小时. 17．已知圆22:1O x y +=和点(2,0)A -,若定点(,0)B b (2)b ≠-和常数λ满足:对圆O 上任意一点M ,都有||||MB MA λ=,则 (Ⅰ)b =________; (Ⅱ)λ=________.18．某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t (单位:h)的变化近似满足函数关系:ππ()10sin 1212f t t t =-,[0,24)t ∈. (Ⅰ)求实验室这一天上午8时的温度; (Ⅱ)求实验室这一天的最大温差.第14题图19．已知等差数列{}n a 满足:12a =,且1a ,2a ,5a 成等比数列. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)记n S 为数列{}n a 的前n 项和,是否存在正整数n ,使得n S 60800n >+?若存在,求n 的最小值;若不存在,说明理由.20．如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,E ,F ,P ,Q ,M ,N 分别是棱AB ,AD ,1DD , 1BB ,11A B ,11A D 的中点. 求证:(Ⅰ)直线1BC ∥平面EFPQ ; (Ⅱ)直线1AC ⊥平面PQMN . 21．π为圆周率,e 2.71828=为自然对数的底数.(Ⅰ)求函数ln ()xf x x=的单调区间; (Ⅱ)求3e ,e 3,πe ,e π,π3,3π这6个数中的最大数与最小数.22．在平面直角坐标系xOy 中,点M 到点(1,0)F 的距离比它到y 轴的距离多1.记点M 的轨迹为C .(Ⅰ)求轨迹C 的方程;(Ⅱ)设斜率为k 的直线l 过定点(2,1)P -. 求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围.参考答案1．C [解析] 由A ={1,3,5,6},U ={1,2,3,4,5,6,7},得U A =ð{2,4,7}.故选C. 2．B 解析:因为122)11(2-=-=+-iii i ,故选B. 3．D 解析:全称命题的否定为特称命题,“不等于”的否定词是“等于”,故选DD [解析] 特称命题的否定方法是先改变量词,然后否定结论,故命题“∀x ∈R,x 2≠x ”的否定是“∃x 0∈R,x 20=x 0”. 故选D.4．C 解析:由约束条件作出可行域为如图所示的四边形OABC,由42x y x y +=⎧⎨-=⎩得B(3,1),由图可知,当目标函数2x y z +=,过B 时z 取最大值2317⨯+=,故选C5．C 解析:“观察掷两枚质地均匀的骰子向上的点数”这个试验包含36个基本事件,其中“向上的点数之和不超过5”包含10个基本事件,“点数之和为偶数”包含两次点数都为偶数或都为奇数共18个基本事件,所以1321101826,,1363636p p p p ===-=,故选C 6．A 解析:依题意,画散点图知,回归直线斜率小于0,纵截距大于0,即0<b ,0>a .选A A [解析] 作出散点图如下:由图像不难得出,回归直线y ^=bx +a 的斜率b <0,截距a >0,所以a >0,b <0.故选A7．D [解析] 由三视图可知,该几何体的正视图显然是一个直角三角形(三个顶点坐标分别是(0,0,2),(0,2,0),(0,2,2))且内有一虚线(一锐角顶点与一直角边中点的连线),故正视图是④;俯视图是一个斜三角形,三个顶点坐标分别是(0,0,0),(2,2,0),(1,2,0),故俯视图是②.故选D 解析:题中所给4点依次为下图中的D 1,B,侧面BC 1的中心,B 1,所以正视图和俯视图 分别为④和②,故选D8．A 解析:由题意知s i n 0,c o s θθ≠≠, 22sin cos 0sin cos 0a ab b θθθθ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩,故直线方程为sin cos 0x y θθ+=,为双曲线22221cos sin x y θθ-=的渐近线方程,故选A9．D 解析:因为当0x ≥时,2()=3f x x x -,所以0x <时,0x ->,2()()(3)f x f x x x =--=-+2233-33g()000x x x x x x x x x ⎧⎧-=--=-=⇔⎨⎨≥<⎩⎩或,解得132x x x ===-或或故选D 10．B 解析:设圆锥底面圆的半径为r ,高为h ,依题意,22221112(2)3121275r h r h L h L h ππππ===,所以121275π=,即π的近似值为258,故选BB [解析] 设圆锥的底面圆半径为r ,底面积为S ,则L =2πr .由题意得136L 2h ≈13Sh ,代入S =πr 2化简得π≈3.类比推理,若V ≈275L 2h 时,π≈258.故选B. 11． 1800解析:设乙设备生产的产品总数为x 件,则8050=48004800x-,解得1800x =12．解析:2222220AB OB OA OA OA OB OB OA =-=++===13．233B ππ=或解析:由正弦定理得sinB sin 6b A a π===,又,(,)6b a B ππ>∴∈,故233B ππ=或 14．1067解析:11212912+122+1+2+292+1+2+2...2+9k S k S k S ======++时；时；...时；10k =时跳出循环,输出91292(21)9(19)2+1+2+2...2+91067212S -+=++=+=-15． 1(0,)6解析: 2x a ≥时()3f x x a =-,由3x a a -=得4x a =,如图,要使()>(1)f x f x -,只需4(2)1a a --<,解得16a <又0a >,故a 得范围是1(0,)616． (Ⅰ)1900(Ⅱ)100解析:(Ⅰ) 6.05l =时,12760007600019001211820 6.051818v F v v v v v v==≤=++⨯+++当121v v=,即11v =时取等号,最大车流量为1900辆/小时; (Ⅱ)5l =时2276000760002000100182051818v F v v v v v v==≤=++⨯+++,当100v v=,即10v =时取等号, 因为2120001900100F F -=-=故最大车流量比(Ⅰ)中的最大车流量增加100辆/小时17．(1) 12- (2) 12解析:设(,)M x y ,由条件得22222221()[(2)y ]x y x b y x λ⎧+=⎪⎨-+=++⎪⎩(0,2)b λ≥≠-恒成立 消去y 并整理得:222(42)(b 1)5b x λλ+=+-恒成立,当且仅当222420(0,2)(b 1)50b b λλλ⎧+=⎪≥≠-⎨+-=⎪⎩, 解得11,22b λ=-=另解:“对圆O 上任意一点M ,都有||||MB MA λ=”转化为“满足条件||||MB MA λ=的动点(,)M x y 的轨迹是圆22:1O x y += 由条件得22222()[(2)y ]x b y x λ-+=++整理得:2222222b 2b 42011x y x λλλλ+-+-+=--, 由圆心为(0,0)半径r=1得22222222b 201(0,2)b 2b 4()111b λλλλλλλ⎧+=⎪⎪-≥≠-⎨+-⎪-=⎪--⎩,解得11,22b λ=-= 18．解析:(Ⅰ)ππ(8)108sin 81212f =⨯-⨯()()2π2π10sin33=- 110()102=-=.故实验室上午8时的温度为10 ℃. (Ⅱ)因为π1πππ()10sin )=102sin()12212123f t t t t =-+-+, 又024t ≤<,所以πππ7π31233t ≤+<,ππ1sin()1123t -≤+≤.当2t =时,ππsin()1123t +=;当14t =时,ππsin()1123t +=-.于是()f t 在[0,24)上取得最大值12,取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃,最低温度为8 ℃,最大温差为4 ℃.19．解析:(Ⅰ)设数列{}n a 的公差为d ,依题意,2,2d +,24d +成等比数列,故有2(2)2(24)d d +=+, 化简得240d d -=,解得0d =或d =4. 当0d =时,2n a =;当d =4时,2(1)442n a n n =+-⋅=-,从而得数列{}n a 的通项公式为2n a =或42n a n =-.(Ⅱ)当2n a =时,2n S n =. 此时260800n n <+,故不存在正整数n ,使得60800n S n >+成立. 当42n a n =-时,2[2(42)]22n n n S n +-==.由2260800n n >+,得2304000n n -->, 解得40n >或10n <-(舍),此时存在正整数n ,使得60800n S n >+成立,n 的最小值为41. 综上,当2n a =时,不存在满足题意的n ;当42n a n =-时,存在满足题意的n ,其最小值为4120．解析:证明:(Ⅰ)连接AD 1,由1111ABCD A B C D -是正方体,知AD 1∥BC 1,因为F ,P 分别是AD ,1DD 的中点,所以FP ∥AD 1. 从而BC 1∥FP .而FP ⊂平面EFPQ ,且1BC ⊄平面EFPQ ,故直线1BC ∥平面EFPQ . (Ⅱ)如图,连接AC ,BD ,则AC BD ⊥.由1CC ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ,可得1CC BD ⊥. 又1ACCC C =,所以BD ⊥平面1ACC .而1AC ⊂平面1ACC ,所以1BD AC ⊥.第20题解答图QBEM N ACD 1C F 1D1A1BP因为M ,N 分别是11A B ,11A D 的中点,所以MN ∥BD ,从而1MN AC ⊥. 同理可证1PN AC ⊥. 又PNMN N =,所以直线1AC ⊥平面PQMN .21．解析:(Ⅰ)函数()f x 的定义域为()∞0,+. 21ln ()xf x x -'=. 令1ln 0x -=,得 x e = 若0e x <<,则()0f x '>;若e x >,则()0f x '<故函数()f x 的单调递增区间为(0,e),单调递减区间为(e,)+∞. (Ⅱ)因为e 3π<<,所以eln 3eln π<,πln e πln 3<,即e e ln 3ln π<,ππln e ln 3<. 于是根据函数ln y x =,e x y =,πx y =在定义域上单调递增,可得 e e 33ππ<<,3ππe e 3<<.故这6个数的最大数在3π与π3之中,最小数在e 3与3e 之中. 由e 3π<<及(Ⅰ)的结论,得(π)(3)(e)f f f <<,即ln πln3lneπ3e<<. 由ln πln3π3<,得3πln πln 3<,所以π33π>; 由ln 3ln e3e<,得e 3ln 3ln e <,所以e 33e <. 综上,6个数中的最大数是π3,最小数是e 3.22．解析:(Ⅰ)设点(,)M x y ,依题意得||||1MF x =+,||1x +, 化简得22(||)y x x =+.故点M 的轨迹C 的方程为24,0,0,0.x x y x ≥⎧=⎨<⎩(Ⅱ)在点M 的轨迹C 中,记1:C 24y x =,2:C 0(0)y x =<. 依题意,可设直线l 的方程为1(2).y k x -=+由方程组21(2),4,y k x y x -=+⎧⎨=⎩ 可得244(21)0.ky y k -++= ①(1)当0k =时,此时 1.y = 把1y =代入轨迹C 的方程,得14x =. 故此时直线:1l y =与轨迹C 恰好有一个公共点1(,1)4.(2)当0k ≠时,方程①的判别式为216(21)k k ∆=-+-. ② 设直线l 与x 轴的交点为0(,0)x ,则 由1(2)y k x -=+,令0y =,得021k x k+=-. ③ (ⅰ)若00,0,x ∆<⎧⎨<⎩ 由②③解得1k <-,或12k >.即当1(,1)(,)2k ∈-∞-+∞时,直线l 与1C 没有公共点,与2C 有一个公共点, 故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点.(ⅱ)若00,0,x ∆=⎧⎨<⎩ 或00,0,x ∆>⎧⎨≥⎩ 由②③解得1{1,}2k ∈-,或102k -≤<.即当1{1,}2k ∈-时,直线l 与1C 只有一个公共点,与2C 有一个公共点.当1[,0)2k ∈-时,直线l 与1C 有两个公共点,与2C 没有公共点.故当11[,0){1,}22k ∈--时,直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点.(ⅲ)若00,0,x ∆>⎧⎨<⎩ 由②③解得112k -<<-,或102k <<.即当11(1,)(0,)22k ∈--时,直线l 与1C 有两个公共点,与2C 有一个公共点, 故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点. 综合(1)(2)可知,当1(,1)(,){0}2k ∈-∞-+∞时,直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点; 当11[,0){1,}22k ∈--时,直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点;当11(1,)(0,)22k ∈--时,直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点.。
2014年高考真题——文科数学(湖北卷)解析版Word版含解析
2014年高考真题——文科数学（湖北卷）解析版 Word版含解析绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类）本试题卷共5页，22题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
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2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
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4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．[2014?湖北卷] 已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{1，3，5，6}，则?UA ＝()A．{1，3，5，6} B．{2，3，7}C．{2，4，7} D．{2，5，7}1．C[解析] 由A＝{1，3，5，6}，U＝{1，2，3，4，5，6，7}，得?UA＝{2，4，7}．故选C.2．[2014?湖北卷] i为虚数单位，＝()A．1 B．－1 C．i D．－i2．B[解析] ＝＝＝－1.故选B.3．[2014?湖北卷] 命题"?x∈R，x2≠x"的否定是()A．?x∈/R，x2≠x B．?x∈R，x2＝xC．?x0∈/R，x≠x0 D．?x0∈R，x＝x03．D[解析] 特称命题的否定方法是先改变量词，然后否定结论，故命题"?x∈R，x2≠x"的否定是"?x0∈R，x＝x0". 故选D.4．[2014?湖北卷] 若变量x，y满足约束条件则2x＋y的最大值是()A．2 B．4 C．7 D．84．C[解析] 作出约束条件表示的可行域如下图阴影部分所示．设z＝2x＋y，平移直线2x＋y＝0，易知在直线x＋y＝4与直线x－y＝2的交点A(3，1)处，z＝2x＋y取得最大值7. 故选C.5．[2014?湖北卷] 随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1，点数之和大于5的概率记为p2，点数之和为偶数的概率记为p3，则() A．p1＜p2＜p3 B．p2＜p1＜p3C．p1＜p3＜p2 D．p3＜p1＜p25．C[解析] 掷出两枚骰子，它们向上的点数的所有可能情况如下表：123456123456723456783456789456789105678910116789101112则p1＝，p2＝，p3＝.故p16．[2014?湖北卷] 根据如下样本数据x345678y4.02.5－0.50.5－2.0－3.0得到的回归方程为\s\up6(^(^)＝bx＋a，则()A．a＞0，b＜0 B．a＞0，b＞0C．a＜0，b＜0 D．a＜0，b＞06．A[解析] 作出散点图如下：由图像不难得出，回归直线\s\up6(^(^)＝bx＋a的斜率b0，所以a>0，b图1-17．[2014?湖北卷] 在如图1-1所示的空间直角坐标系O -xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)．给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为()图1-2A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②7．D[解析] 由三视图可知，该几何体的正视图显然是一个直角三角形(三个顶点坐标分别是(0，0，2)，(0，2，0)，(0，2，2))且内有一虚线(一锐角顶点与一直角边中点的连线)，故正视图是④；俯视图是一个斜三角形，三个顶点坐标分别是(0，0，0)，(2，2，0)，(1，2，0)，故俯视图是②.故选D.8．、[2014?湖北卷] 设a，b是关于t的方程t2cos θ＋ts θ＝0的两个不等实根，则过A(a，a2)，B(b，b2)两点的直线与双曲线－＝1的公共点的个数为()A．0 B．1C．2 D．38．A[解析] 由方程t2cos θ＋ts θ＝0，解得t1＝0，t2＝－t θ，不妨设点A(0，0)，B(－t θ，t2θ)，则过这两点的直线方程为y＝－xt θ，该直线恰是双曲线－＝1的一条渐近线，所以该直线与双曲线无公共点．故选A.9．、[2014?湖北卷] 已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为()A．{1，3} B．{－3，－1，1，3}C．{2－，1，3} D．{－2－，1，3}9．D[解析] 设x0，所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－3(－x)]＝－x2－3x .求函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点等价于求方程f(x)＝－3＋x的解．当x≥0时，x2－3x＝－3＋x，解得x1＝3，x2＝1；当x10．[2014?湖北卷] 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求"锔"的术"置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．"该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为()A. B. C. D.10．B[解析] 设圆锥的底面圆半径为r，底面积为S，则L＝2πr.由题意得L2h≈Sh，代入S＝πr2化简得π≈3.类比推理，若V≈L2h时，π≈.故选B.11．[2014?湖北卷] 甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件．11．1800[解析] 设乙设备生产的产品总数为n，则＝，解得n＝1800.12．、[2014?湖北卷] 若向量\s\up6(→(→)＝(1，－3)，|\s\up6(→(→)|＝|\s\up6(→(→)|，\s\up6(→(→)?\s\up6(→(→)＝0，则|\s\up6(→(→)|＝________．12．2[解析] 由题意知，\s\up6(→(→)＝(3，1)或OB＝(－3，－1)，所以AB＝OB－OA ＝(2，4)或AB＝(－4，2)，所以＝＝2.13．[2014?湖北卷] 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A＝，a＝1，b＝，则B＝________．13.或[解析] 由正弦定理得＝，即＝，解得s B＝.又因为b>a，所以B＝或.14．[2014?湖北卷] 阅读如图1-3所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n的值为9，则输出S的值为________．图1-314．1067[解析] 第一次运行时，S＝0＋21＋1，k＝1＋1；第二次运行时，S＝(21＋1)＋(22＋2)，k＝2＋1；......所以框图运算的是S＝(21＋1)＋(22＋2)＋...＋(29＋9)＝1067.15．[2014?湖北卷] 如图1-4所示，函数y＝f(x)的图像由两条射线和三条线段组成．若?x∈R，f(x)＞f(x－1)，则正实数a的取值范围为________．图1-415.[解析] "?x∈R，f(x)>f(x－1)"等价于"函数y＝f(x)的图像恒在函数y＝f(x－1)的图像的上方"，函数y＝f(x－1)的图像是由函数y＝f(x)的图像向右平移一个单位得到的，如图所示．因为a>0，由图知6a16．[2014?湖北卷] 某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝.(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为________辆/小时；(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时．16．(1)1900(2)100[解析] (1)依题意知，l>0，v>0，所以当l＝6.05时，F＝＝≤＝1900，当且仅当v＝11时，取等号．(2)当l＝5时，F＝＝≤2000，当且仅当v＝10时，取等号，此时比(1)中的最大车流量增加100辆/小时．17．[2014?湖北卷] 已知圆O：x2＋y2＝1和点A(－2，0)，若定点B(b，0)(b≠－2)和常数λ满足：对圆O上任意一点M，都有＝λ，则(1)b＝________；(2)λ＝________．17．(1)－(2)[解析] 设点M(cos θ，s θ)，则由＝λ得(cos θ－b)2＋s2θ＝λ2，即－2bcos θ＋b2＋1＝4λ2cos θ＋5λ2对任意的θ都成立，所以又由＝λ，得λ>0，且b≠－2，解得18．、、、[2014?湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－cost－st，t∈[0，24)．(1)求实验室这一天上午8时的温度；(2)求实验室这一天的最大温差．18．解：(1)f(8)＝10－cos－s＝10－cos－s＝10－×－＝10.故实验室上午8时的温度为10 ℃.(2)因为f(t)＝10－2＝10－2s，又0≤t所以≤t＋当t＝2时，s＝1；当t＝14时，s＝－1.于是f(t)在[0，24)上取得最大值12，最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.19．、、[2014?湖北卷] 已知等差数列{}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．(1)求数列{}的通项公式．(2)记Sn为数列{}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn＞＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．19．解：(1)设数列{}的公差为d，依题意知，2，2＋d，2＋4d成等比数列，故有(2＋d)2＝2(2＋4d)，化简得d2－4d＝0，解得d＝0或d＝4，当d＝0时，＝2；当d＝4时，＝2＋(n－1)?4＝－2，从而得数列{}的通项公式为＝2或＝－2.(2)当＝2时，Sn＝，显然此时不存在正整数n，使得Sn>＋800成立．当＝－2时，Sn＝＝2.令2>＋800，即n2－－400>0，解得n>40或n此时存在正整数n，使得Sn>＋800成立，n的最小值为41.综上，当＝2时，不存在满足题意的正整数n；当＝－2时，存在满足题意的正整数n，其最小值为41.20．、[2014?湖北卷] 如图1-5，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，N分别是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中点．求证：(1)直线BC1∥平面EFPQ；(2)直线AC1⊥平面PQ.图1-520．证明：(1)连接AD1，由ABCD - A1B1C1D1是正方体，知AD1∥BC1.因为F，P分别是AD，DD1的中点，所以FP∥AD1.从而BC1∥FP.而FP?平面EFPQ，且BC1?平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ.(2)如图，连接AC，BD，A1C1，则AC⊥BD.由CC1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，可得CC1⊥BD.又AC∩CC1＝C，所以BD⊥平面ACC1A1.而AC1?平面ACC1A1，所以BD⊥AC1.因为M，N分别是A1B1，A1D1的中点，所以∥BD，从而⊥AC1.同理可证PN⊥AC1.又PN∩＝N，所以直线AC1⊥平面PQ.21．[2014?湖北卷] π为圆周率，e＝2.718 28...为自然对数的底数．(1)求函数f(x)＝的单调区间；(2)求e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数中的最大数与最小数．21．解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．因为f(x)＝，所以f′(x)＝.当f′(x)>0，即0当f′(x)e时，函数f(x)单调递减．故函数f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，＋∞)．(2)因为e即3e于是根据函数y＝x，y＝ex，y＝πx在定义域上单调递增可得，3e故这6个数中的最大数在π3与3π之中，最小数在3e与e3之中．由e即由π3.由综上，6个数中的最大数是3π，最小数是3e.22．[2014?湖北卷] 在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1，0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)设斜率为k的直线l过定点P(－2，1)，求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．22．解：(1)设点M(x，y)，依题意得＝|x|＋1，即＝|x|＋1，化简整理得y2＝2(|x|＋x)．故点M的轨迹C的方程为y2＝(2)在点M的轨迹C中，记C1：y2＝4x(x≥0)，C2：y＝0(x依题意，可设直线l的方程为y－1＝k(x＋2)．由方程组可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0.①当k＝0时，y＝1.把y＝1代入轨迹C的方程，得x＝.故此时直线l：y＝1与轨迹C恰好有一个公共点.当k≠0时，方程①的判别式Δ＝－16(2k2＋k－1)．②设直线l与x轴的交点为(x0，0)，则由y－1＝k(x＋2)，令y＝0，得x0＝－.③(i)若由②③解得k.即当k∈(－∞，－1)∪时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点．(ii)若或由②③解得k∈或－≤k即当k∈时，直线l与C1只有一个公共点，与C2有一个公共点．当k∈时，直线l与C1有两个公共点，与C2没有公共点．故当k∈∪时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点．(iii)若由②③解得－1即当k∈∪时，直线l与C1有一个公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点．综上所述，当k∈(－∞，－1)∪∪{0}时，直线l与轨迹C恰好有一个公共点；当k∈∪时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点；当k∈∪时，直线l与轨迹C恰好有三个公共点．。
2014年高考真题(文科数学)湖北卷 纯Word版解析可编辑
2014·湖北卷(文科数学)1．[2014·湖北卷] 已知全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A ＝{1，3，5，6}，则∁U A ＝( )A ．{1，3，5，6}B ．{2，3，7}C ．{2，4，7}D ．{2，5，7}1．C [解析] 由A ＝{1，3，5，6}，U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，得∁U A ＝{2，4，7}．故选C.2．[2014·湖北卷] i 为虚数单位，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝( ) A ．1 B ．－1 C ．i D ．－i2．B [解析] ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝（1－i ）2（1＋i ）2＝－2i 2i＝－1.故选B. 3．[2014·湖北卷] 命题“∀x ∈R ，x 2≠x ”的否定是( ) A ．∀x ∈/R ，x 2≠x B ．∀x ∈R ，x 2＝xC ．∃x 0∈/R ，x 20≠x 0D ．∃x 0∈R ，x 20＝x 03．D [解析] 特称命题的否定方法是先改变量词，然后否定结论，故命题“∀x ∈R ，x 2≠x ”的否定是“∃x 0∈R ，x 20＝x 0”. 故选D.4．[2014·湖北卷] 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，x －y ≤2，x ≥0，y ≥0，则2x ＋y 的最大值是( )A ．2B ．4C ．7D ．84．C [解析] 作出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，x －y ≤2，x ≥0，y ≥0表示的可行域如下图阴影部分所示．设z ＝2x ＋y ，平移直线2x ＋y ＝0，易知在直线x ＋y ＝4与直线x －y ＝2的交点A (3，1)处，z ＝2x ＋y 取得最大值7. 故选C.5．[2014·湖北卷] 随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p 1，点数之和大于5的概率记为p 2，点数之和为偶数的概率记为p 3，则( )A ．p 1＜p 2＜p 3B ．p 2＜p 1＜p 3C ．p 1＜p 3＜p 2D ．p 3＜p 1＜p 25．C [解析] 掷出两枚骰子，它们向上的点数的所有可能情况如下表：1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12则p 1＝1036，p 2＝2636，p 3＝1836.故p 1<p 3<p 2.故选C.6．[2014·湖北卷] 根据如下样本数据x 3 4 5 6 7 8 y 4.0 2.5 －0.5 0.5 －2.0 －3.0得到的回归方程为y ^＝bx ＋a ，则( ) A ．a ＞0，b ＜0 B ．a ＞0，b ＞0 C ．a ＜0，b ＜0 D ．a ＜0，b ＞0 6．A [解析] 作出散点图如下：由图像不难得出，回归直线y ^＝bx ＋a 的斜率b <0，截距a >0，所以a >0，b <0.故选A.图1-17．[2014·湖北卷] 在如图1-1所示的空间直角坐标系O -xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)．给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为( )图1-2A ．①和②B ．③和①C ．④和③D ．④和②7．D [解析] 由三视图可知，该几何体的正视图显然是一个直角三角形(三个顶点坐标分别是(0，0，2)，(0，2，0)，(0，2，2))且内有一虚线(一锐角顶点与一直角边中点的连线)，故正视图是④；俯视图是一个斜三角形，三个顶点坐标分别是(0，0，0)，(2，2，0)，(1，2，0)，故俯视图是②.故选D.8．、[2014·湖北卷] 设a ，b 是关于t 的方程t 2cos θ＋t sin θ＝0的两个不等实根，则过A (a ，a 2)，B (b ，b 2)两点的直线与双曲线x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1的公共点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．38．A [解析] 由方程t 2cos θ＋t sin θ＝0，解得t 1＝0，t 2＝－tan θ，不妨设点A (0，0)，B (－tan θ，tan 2θ)，则过这两点的直线方程为y ＝－x tan θ，该直线恰是双曲线x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1的一条渐近线，所以该直线与双曲线无公共点．故选A. 9．、[2014·湖北卷] 已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )A ．{1，3}B ．{－3，－1，1，3}C ．{2－7，1，3}D ．{－2－7，1，3}9．D [解析] 设x <0，则－x >0，所以f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－3(－x )]＝－x 2－3x . 求函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点等价于求方程f (x )＝－3＋x 的解． 当x ≥0时，x 2－3x ＝－3＋x ，解得x 1＝3，x 2＝1；当x <0时，－x 2－3x ＝－3＋x ，解得x 3＝－2－7.故选D. 10．[2014·湖北卷] 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈275L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A.227B.258C.15750D.35511310．B [解析] 设圆锥的底面圆半径为r ，底面积为S ，则L ＝2πr .由题意得136L 2h ≈13Sh ，代入S ＝πr 2化简得π≈3.类比推理，若V ≈275L 2h 时，π≈258.故选B.11．[2014·湖北卷] 甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件．11．1800 [解析] 设乙设备生产的产品总数为n ，则80－50n ＝804800，解得n ＝1800.12．、[2014·湖北卷] 若向量OA →＝(1，－3)， |OA →|＝|OB →|，OA →·OB →＝0，则|AB →|＝________．12．25 [解析] 由题意知，OB →＝(3，1)或OB ＝(－3，－1)，所以AB ＝OB －OA ＝(2，4)或AB ＝(－4，2)，所以|AB |＝22＋42＝2 5.13．[2014·湖北卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝π6，a＝1，b ＝3，则B ＝________．13.π3或2π3 [解析] 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即1sin π6＝3sin B，解得sin B ＝32.又因为b >a ，所以B ＝π3或2π3.14．[2014·湖北卷] 阅读如图1-3所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n 的值为 9，则输出S 的值为________．图1-3 14．1067 [解析] 第一次运行时，S ＝0＋21＋1，k ＝1＋1； 第二次运行时，S ＝(21＋1)＋(22＋2)，k ＝2＋1； ……所以框图运算的是S ＝(21＋1)＋(22＋2)＋…＋(29＋9)＝1067. 15．[2014·湖北卷] 如图1-4所示，函数y ＝f (x )的图像由两条射线和三条线段组成． 若∀x ∈R ，f (x )＞f (x －1)，则正实数a 的取值范围为________．图1-415.⎝⎛⎭⎫0，16 [解析] “∀x ∈R ，f (x )>f (x －1)”等价于“函数y ＝f (x )的图像恒在函数y ＝f (x －1)的图像的上方”，函数y ＝f (x －1)的图像是由函数y ＝f (x )的图像向右平移一个单位得到的，如图所示．因为a >0，由图知6a <1，所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，16.16．[2014·湖北卷] 某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)、平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76 000vv 2＋18v ＋20l.(1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为________辆/小时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时． 16．(1)1900 (2)100 [解析] (1)依题意知，l >0，v >0，所以当l ＝6.05时，F ＝76 000v v 2＋18v ＋121＝76 000v ＋121v ＋18≤76 0002 v ·121v ＋18＝1900，当且仅当v ＝11时，取等号．(2)当l ＝5时，F ＝76 000v v 2＋18v ＋100＝76 000v ＋100v ＋18≤2000，当且仅当v ＝10时，取等号，此时比(1)中的最大车流量增加100辆/小时． 17．[2014·湖北卷] 已知圆O ：x 2＋y 2＝1和点A (－2，0)，若定点B (b ，0)(b ≠－2)和常数λ满足：对圆O 上任意一点M ，都有|MB |＝λ|MA |，则(1)b ＝________； (2)λ＝________．17．(1)－12 (2)12[解析] 设点M (cos θ，sin θ)，则由|MB |＝λ|MA |得(cos θ－b )2＋sin 2θ＝λ2[]（cos θ＋2）2＋sin 2θ，即－2b cos θ＋b 2＋1＝4λ2cos θ＋5λ2对任意的θ都成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2b ＝4λ2，b 2＋1＝5λ2.又由|MB |＝λ|MA |，得λ>0，且b ≠－2，解得⎩⎨⎧b ＝－12，λ＝12. 18．、、、[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差．18．解：(1)f (8)＝10－3cos ⎝⎛⎭⎫π12×8－sin ⎝⎛⎭⎫π12×8＝10－3cos 2π3－sin 2π3＝10－3×⎝⎛⎭⎫－12－32＝10. 故实验室上午8时的温度为10 ℃.(2)因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. 19．、、[2014·湖北卷] 已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式．(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n ＞60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．19．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，依题意知，2，2＋d ，2＋4d 成等比数列，故有(2＋d )2＝2(2＋4d )， 化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4， 当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2，从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2. (2)当a n ＝2时，S n ＝2n ，显然2n <60n ＋800， 此时不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立．当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋（4n －2）]2＝2n 2.令2n 2>60n ＋800，即n 2－30n －400>0， 解得n >40或n <－10(舍去)，此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的正整数n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的正整数n ，其最小值为41. 20．、[2014·湖北卷] 如图1-5，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，P ，Q ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，DD 1，BB 1，A 1B 1，A 1D 1的中点．求证：(1)直线BC 1∥平面EFPQ ； (2)直线AC 1⊥平面PQMN .图1-520．证明：(1)连接AD 1，由ABCD - A 1B 1C 1D 1是正方体，知AD 1∥BC 1.因为F ，P 分别是AD ，DD 1的中点，所以FP ∥AD 1. 从而BC 1∥FP .而FP ⊂平面EFPQ ，且BC 1⊄平面EFPQ ， 故直线BC 1∥平面EFPQ .(2)如图，连接AC ，BD ，A 1C 1，则AC ⊥BD . 由CC 1⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 可得CC 1⊥BD .又AC ∩CC 1＝C ，所以BD ⊥平面ACC 1A 1. 而AC 1⊂平面ACC 1A 1，所以BD ⊥AC 1.因为M ，N 分别是A 1B 1，A 1D 1的中点，所以MN ∥BD ，从而MN ⊥AC 1. 同理可证PN ⊥AC 1.又PN ∩MN ＝N ，所以直线AC 1⊥平面PQMN . 21．[2014·湖北卷] π为圆周率，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)求函数f (x )＝ln xx 的单调区间；(2)求e 3，3e，e π，πe ，3π，π3这6个数中的最大数与最小数． 21．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．因为f (x )＝ln xx ，所以f ′(x )＝1－ln x x 2.当f ′(x )>0，即0<x <e 时，函数f (x )单调递增； 当f ′(x )<0，即x >e 时，函数f (x )单调递减．故函数f (x )的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e ，＋∞)． (2)因为e<3<π，所以eln 3<eln π，πln e<πln 3，即ln 3e <ln πe ，ln e π<ln 3π.于是根据函数y ＝ln x ，y ＝e x ，y ＝πx 在定义域上单调递增可得，3e <πe <π3，e 3<e π<3π.故这6个数中的最大数在π3与3π之中，最小数在3e 与e 3之中． 由e<3<π及(1)的结论，得f (π)<f (3)<f (e)， 即ln ππ<ln 33<ln e e .由ln ππ<ln 33， 得ln π3<ln3π，所以3π>π3.由ln 33<ln e e，得ln 3e <ln e 3，所以3e <e 3.综上，6个数中的最大数是3π，最小数是3e . 22．、、[2014·湖北卷] 在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点F (1，0)的距离比它到y 轴的距离多1.记点M 的轨迹为C .(1)求轨迹C 的方程；(2)设斜率为k 的直线l 过定点P (－2，1)，求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围．22．解：(1)设点M (x ，y )，依题意得|MF |＝|x |＋1， 即（x －1）2＋y 2＝|x |＋1， 化简整理得y 2＝2(|x |＋x )．故点M 的轨迹C 的方程为y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≥0，0，x <0.(2)在点M 的轨迹C 中，记C 1：y 2＝4x (x ≥0)，C 2：y ＝0(x <0)．依题意，可设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k （x ＋2），y 2＝4x ，可得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0.①当k ＝0时，y ＝1.把y ＝1代入轨迹C 的方程，得x ＝14.故此时直线l ：y ＝1与轨迹C 恰好有一个公共点⎝⎛⎭⎫14，1. 当k ≠0时，方程①的判别式 Δ＝－16(2k 2＋k －1)．②设直线l 与x 轴的交点为(x 0，0)，则由y －1＝k (x ＋2)，令y ＝0，得x 0＝－2k ＋1k.③(i)若⎩⎪⎨⎪⎧Δ<0，x 0<0，由②③解得k <－1或k >12.即当k ∈(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，直线l 与C 1没有公共点，与C 2有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点．(ii)若⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝0，x 0<0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 0≥0，由②③解得k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－112或－12≤k <0.即当k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与C 1只有一个公共点，与C 2有一个公共点．当k ∈⎣⎡⎭⎫－12，0时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2没有公共点． 故当k ∈⎣⎡⎭⎫－12，0∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点． (iii)若⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 0<0，由②③解得－1<k <－12或0<k <12.即当k ∈⎝⎛⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎭⎫0，12时，直线l 与C 1有一个公共点，与C 2有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．综上所述，当k ∈(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞∪{0}时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点；当k ∈⎣⎡⎭⎫－12，0∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点；当k ∈⎝⎛⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎭⎫0，12时，直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．。
2014年武汉大学数学与统计学院432统计学[专业硕士]考研真题及详解【圣才出品】
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2014年武汉大学数学与统计学院432统计学[专业硕士]考研真题及详解1．（30分）设X 服从（0，θ）上的均匀分布，其密度函数为()1,00,θθ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它x f xX 1，X 2，…，X n 为样本。
（1）求θ的矩估计量1ˆθ和最大似然估计量2ˆθ； （2）讨论1ˆθ、2ˆθ的无偏性，1ˆθ、2ˆθ是否为θ的无偏估计量？若不是，求i c 使得ˆθi ic 为θ的无偏估计量，；（3）讨论1ˆθ、2ˆθ的相合性； （4）比较1122ˆˆθθ和c c 的有效性。
解：由题意可得： （1）①矩估计法： 因为θ21)(=X E ，所以11ˆx=2θ，θ的矩估计量为：1ˆ=2x θ。
②最大似然法： 构造最大似然函数：11()()nni i L f x θθ=⎛⎫== ⎪⎝⎭∏对参数θ求导得：1d ()()0d θθθ+=-≤n L n 恒成立所以θ的最大似然估计量为：2()ˆn X θ=，()n X 为抽取样本中的最大值。
（2）要检验是否无偏，需要计算估计量的期望值。
①1ˆθ的无偏性 由于()1=(2)=2()=22θθθ⨯=ˆE E x E x因而矩估计量1ˆθ是θ无偏估计量； ②2ˆθ的无偏性 因为2()ˆ=()θn E E x （）1()()θ-=n n nxf x n所以2()ˆ()=()=+1θθn n E E x n故2ˆθ不是θ无偏估计量。
若使得22ˆθc为θ的无偏无计量，则21n c n+=（3）当()ˆE θθ=，()ˆlim var 0n θ→∞=时，ˆθ是θ的相合估计量。
针对矩估计：()1ˆE θθ=22211d 3θθθ==⎰EX x x()()22222111var 3412X EX EX θθθ=-=-=()()()1var ˆlim var lim var 24lim 0n n n X X nθ→∞→∞→∞===因此1ˆθ是相合估计量。
针对最大似然估计R θ+∀∈，0ε>(n)(n)(n)()() ()()θθθθεθεθεθεθ->=->=<--=n P X P X P X所以因此2ˆθ是相合估计量。
2014年湖北省高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析
2014年湖北省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.2．（5分）（2014•湖北）i为虚数单位，（）2=（））==2=x4．（5分）（2014•湖北）若变量x，y满足约束条件，则2x+y的最大值是（）的可解：满足约束条件5．（5分）（2014•湖北）随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1，点数之和大于==得到回归方程为=bx+a，则（）=5.5，，﹣7．（5分）（2014•湖北）在如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出的编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为8．（5分）（2014•湖北）设a，b是关于t的方程t2cosθ+tsinθ=0的两个不等实根，则过A（a，a2），B（b，b2）两点的直线与双曲线﹣=1的公共点的个数为（）x﹣x∵双曲线x）两点的直线与双曲线﹣9．（5分）（2014•湖北）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣3x，则函数g（x）=f（x）﹣，﹣，10．（5分）（2014•湖北）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）．C D．L=．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.11．（5分）（2014•湖北）甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测，若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为1800件．，∴抽取的比例为=12．（5分）（2014•湖北）若向量=（1，﹣3），||=||，•=0，则||=．=，∵向量=||=||•，解得或=故答案为：13．（5分）（2014•湖北）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，a=1，b=，则B=或．A=，=得：=，B=．故答案为：或14．（5分）（2014•湖北）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n的值为9，则输出的S的值为1067．+90=×15．（5分）（2014•湖北）如图所示，函数y=f（x）的图象由两条射线和三条线段组成，若∀x∈R，f（x）＞f（x﹣1），则正实数a的取值范围为（0，）．则，）），是解答的关键．16．（5分）（2014•湖北）某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F（单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时）与车流速度v（假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒）、平均车长l（单位：米）的值有关，其公式为F=．（Ⅰ）如果不限定车型，l=6.05，则最大车流量为1900辆/小时；（Ⅱ）如果限定车型，l=5，则最大车流量比（Ⅰ）中的最大车流量增加100辆/小时．F==≥F==≥17．（5分）（2014•湖北）已知圆O：x2+y2=1和点A（﹣2，0），若定点B（b，0）（b≠﹣2）和常数λ满足：对圆O 上任意一点M，都有|MB|=λ|MA|，则：（Ⅰ）b=﹣；（Ⅱ）λ=．，．．，．三、解答题18．（12分）（2014•湖北）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：f（t）=10﹣cos t﹣sin t，t∈[0，24）．（Ⅰ）求实验室这一天上午8时的温度；（Ⅱ）求实验室这一天的最大温差．（tcos t sin t﹣cos﹣sin）﹣=10cos sin（t＜+，故当+t=+t=，即19．（12分）（2014•湖北）已知等差数列{a n}满足：a1=2，且a1，a2，a5成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记S n为数列{a n}的前n项和，是否存在正整数n，使得S n＞60n+800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．=20．（13分）（2014•湖北）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、P、Q、M、N分别是棱AB、AD、DD1、BB1、A1B1、A1D1的中点，求证：（Ⅰ）直线BC1∥平面EFPQ；（Ⅱ）直线AC1⊥平面PQMN．21．（14分）（2014•湖北）π为圆周率，e=2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数f（x）=的单调区间；（Ⅱ）求e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数中的最大数与最小数．）得=∴22．（14分）（2014•湖北）在平面直角坐标系xOy中，点M到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离多1，记点M 的轨迹为C．（Ⅰ）求轨迹C的方程；（Ⅱ）设斜率为k的直线l过定点P（﹣2，1），求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．得到，即的方程为由方程组的方程，得恰好有一个公共点（，解得．∈或时，直线或，解得﹣＜﹣．或时，直线，时，直线。
2014年湖北省高考数学试卷（文科）答案与解析
12014年湖北省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）（2014•湖北）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={1，3，5，6}，则∁U A=（ ） A ．{1，3，5，6} B ． {2，3，7}C ． {2，4，7}D ． {2，5，7}考点： 补集及其运算． 专题： 集合．合． 分析： 根据全集U 以及A ，求出A 的补集即可．的补集即可． 解答： 解：∵全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={1，3，5，6}，∴∁U A={2，4，7}． 故选：C ． 点评： 此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2014•湖北）i 为虚数单位，（）2=（ ）A ． 1B ． ﹣1C ． iD ． ﹣i考点： 复数代数形式的乘除运算． 专题： 数系的扩充和复数．系的扩充和复数． 分析： 由条件里哦也难怪两个复数代数形式的乘除法法则，虚数单位i 的幂运算性质，计算求得结果．求得结果． 解答：解：（）2===﹣1，故选：B ． 点评： 本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，属于基础题．的幂运算性质，属于基础题．3．（5分）（2014•湖北）命题“∀x ∈R ，x 2≠x ”的否定是（的否定是（ ）A ． ∀x ∉R ，x 2≠xB ． ∀x ∈R ，x 2=xC ． ∃x ∉R ，x 2≠xD ． ∃x ∈R ，x 2=x考点： 命题的否定．专题： 简易逻辑．易逻辑． 分析： 根据全称命题的否定是特称命题，利用特称命题写出命题的否定命题．据全称命题的否定是特称命题，利用特称命题写出命题的否定命题． 解答： 解：根据全称命题的否定是特称命题，：根据全称命题的否定是特称命题，∴命题的否定是：∃x 0∈R ，=x 0．故选：D ． 点评： 本题考查了全称命题的否定，要注意命题的否定与命题的否命题是两个完全不同的命题，全称命题的否定是特称命题．题，全称命题的否定是特称命题．4．（5分）（2014•湖北）若变量x ，y 满足约束条件，则2x+y 的最大值是（ ）A ． 2B ． 4C ． 7D ．8考点： 简单线性规划． 专题： 不等式的解法及应用．等式的解法及应用． 分析： 本题考查的知识点是线性规划，题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：处理的思路为：处理的思路为：根据已知的约束条件画出满足约束条根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值．的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值．解答：解：满足约束条件的可行域如下图中阴影部分所示：的可行域如下图中阴影部分所示：∵目标函数Z=2x+y ，∴Z O =0，Z A =4，Z B =7，Z C =4， 故2x+y 的最大值是7， 故选：C点评： 用图解法解决线性规划问题时，图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．比较，即可得到目标函数的最优解．5．（5分）（2014•湖北）随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p 1，点数之和大于5的概率记为p 2，点数之和为偶数的概率记为p 3，则（，则（ ） A ． p 1＜p 2＜p 3 B ． p 2＜p 1＜p 3 C ． p 1＜p 3＜p 2 D ． p 3＜p 1＜p 2考点： 古典概型及其概率计算公式． 专题： 概率与统计．率与统计．分析： 首先列表，然后根据表格点数之和不超过5，点数之和大于5，点数之和为偶数情况，再根据概率公式求解即可．再根据概率公式求解即可． 解答： 解：列表得：：列表得：（1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6） （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5） （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4） （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3） （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2） （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） （6，1） ∴一共有36种等可能的结果，种等可能的结果，∴两个骰子点数之和不超过5的有10种情况，种情况，点数之和大于点数之和大于5的有26种情况，点数之和为偶数的有18种情况，种情况，∴向上的点数之和不超过5的概率记为p 1=，点数之和大于5的概率记为p 2=，点数之和为偶数的概率记为p 3=，∴p 1＜p 3＜p 2故选：C ． 点评： 本题考查了树状图法与列表法求概率．注意树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．所求情况数与总情况数之比．6．（5分）（2014•湖北）根据如下样本数据：湖北）根据如下样本数据： x 3 4 5 6 7 8 y4.02.5﹣0.50.5﹣2.0﹣3.0得到回归方程为=bx+a ，则（，则（ ） A ．a ＞0，b ＜0 B ． a ＞0，b ＞0C ． a ＜0，b ＜0D ． a ＜0，b ＞0考点： 线性回归方程． 专题： 计算题；概率与统计．算题；概率与统计． 分析： 利用公式求出b ，a ，即可得出结论．，即可得出结论． 解答： 解：样本平均数=5.5，=0.25，∴=﹣24.5，=17.5，∴b=﹣=﹣1.4，∴a=0.25﹣（﹣1.4）•5.5=7.95， 故选：A ．点评： 本题考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，属于基础题．题考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，属于基础题．7．（5分）（2014•湖北）在如图所示的空间直角坐标系O ﹣xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出的编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）A ．①和② B ． ③和①C ． ④和③D ． ④和②考点： 简单空间图形的三视图． 专题： 计算题；空间位置关系与距离．算题；空间位置关系与距离． 分析： 在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得结论．坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得结论． 解答： 解：在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得三棱锥的正视图和俯视图分别为④②， 故选：D ．点评： 本题考查三视图的画法，做到心中有图形，考查空间想象能力，是基础题．题考查三视图的画法，做到心中有图形，考查空间想象能力，是基础题．8．（5分）（2014•湖北）设a ，b 是关于t 的方程t 2cos θ+tsin θ=0的两个不等实根，则过A （a ，a 2），B （b ，b 2）两点的直线与双曲线﹣=1的公共点的个数为（的公共点的个数为（ ）A ．0 B ．1 C ．2 D ．3考点： 双曲线的简单性质． 专题： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．合题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 求出过A （a ，a 2），B （b ，b 2）两点的直线为y=﹣x ，结合双曲线的渐近线方程，可得结论．程，可得结论．解答： 解：∵a ，b 是关于t 的方程t 2cos θ+tsin θ=0的两个不等实根，的两个不等实根，∴a+b=﹣，ab=0，过A （a ，a 2），B （b ，b 2）两点的直线为y ﹣a 2=（x ﹣a ），即y=（b+a ）x ﹣ab ， 即y=﹣x ，∵双曲线﹣=1的一条渐近线方程为y=﹣x ，∴过A （a ，a 2），B （b ，b 2）两点的直线与双曲线﹣=1的公共点的个数为0． 故选：A ． 点评： 本题考查双曲线的方程与性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．属于中档题．9．（5分）（2014•湖北）已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）=x 2﹣3x ，则函数g （x ）=f （x ）﹣x+3的零点的集合为（的零点的集合为（ ） A ． {1，3} B ． {﹣3，﹣1，1，3} C ． {2﹣，1，3} D ． {﹣2﹣，1，3}考点： 函数奇偶性的性质．专题： 函数的性质及应用．数的性质及应用． 分析： 首先根据f （x ）是定义在R 上的奇函数，求出函数在R 上的解析式，再求出g （x ）的解析式，根据函数零点就是方程的解，问题得以解决．的解析式，根据函数零点就是方程的解，问题得以解决．解答： 解：∵f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）=x 2﹣3x ，令x ＜0，则﹣x ＞0，∴f （﹣x ）=x 2+3x=﹣f （x ） ∴f （x ）=﹣x 2﹣3x ， ∴∵g （x ）=f （x ）﹣x+3 ∴g （x ）=令g （x ）=0，当x ≥0时，x 2﹣4x+3=0，解得x=1，或x=3，当x ＜0时，﹣x 2﹣4x+3=0，解得x=﹣2﹣，∴函数g （x ）=f （x ）﹣x+3的零点的集合为{﹣2﹣，1，3} 故选：D ． 点评： 本题考查函数的奇偶性及其应用，考查函数的零点，函数方程思想．题考查函数的奇偶性及其应用，考查函数的零点，函数方程思想．10．（5分）（2014•湖北）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈L 2h ，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V ≈L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（近似取为（ ） A ． B ． C ．D ．考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积．专题： 计算题；空间位置关系与距离．算题；空间位置关系与距离． 分析： 根据近似公式V ≈L 2h ，建立方程，即可求得结论．，建立方程，即可求得结论． 解答： 解：设圆锥底面圆的半径为r ，高为h ，则L=2πr ，∴=（2πr ）2h ，∴π=．故选：B ． 点评： 本题考查圆锥体积公式，考查学生的阅读理解能力，属于基础题．题考查圆锥体积公式，考查学生的阅读理解能力，属于基础题．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分. 11．（5分）（2014•湖北）甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测，若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为设备生产的产品总数为 1800 件．件．考点： 分层抽样方法． 专题： 概率与统计．率与统计． 分析： 根据样本容量为80，可得抽取的比例，再求得样本中由乙设备生产的产品数，再求得样本中由乙设备生产的产品数，乙设备乙设备生产的产品总数=．解答：解：∵样本容量为80，∴抽取的比例为=，又样本中有50件产品由甲设备生产，∴样本中30件产品由乙设备生产，件产品由乙设备生产， ∴乙设备生产的产品总数为30×60=1800． 故答案为：1800． 点评： 本题考查了分层抽样方法，熟练掌握分层抽样方法的特征是解题的关键．题考查了分层抽样方法，熟练掌握分层抽样方法的特征是解题的关键．12．（5分）（2014•湖北）若向量=（1，﹣3），||=||，•=0，则||=．考点： 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角． 专题： 平面向量及应用．面向量及应用．分析： 利用向量模的计算公式、向量垂直与数量积的关系即可得出．用向量模的计算公式、向量垂直与数量积的关系即可得出． 解答：解：设=（x ，y ），∵向量=（1，﹣3），||=||，•=0，∴，解得或．∴=（3，1），（﹣3，﹣1）． ∴==（2，4）或（﹣4，2）．∴=．故答案为：． 点评： 本题考查了向量模的计算公式、向量垂直与数量积的关系，属于基础题．题考查了向量模的计算公式、向量垂直与数量积的关系，属于基础题．13．（5分）（2014•湖北）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知A=，a=1，b=，则B=或．考点： 余弦定理． 专题： 三角函数的求值．角函数的求值．分析： 利用正弦定理列出关系式，将a ，sinA ，b 的值代入求出sinB 的值，即可确定出B 的度数．度数． 解答：解：∵在△ABC 中，A=，a=1，b=，∴由正弦定理=得：sinB===，∵a ＜b ，∴A ＜B ， ∴B=或．故答案为：或．点评： 此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．14．（5分）（2014•湖北）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n 的值为9，则输出的S 的值为的值为 1067 ．考点： 程序框图． 专题： 算法和程序框图．法和程序框图．分析： 算法的功能是求S=21+22+ (2)+1+2+…+k 的值，根据输入n 的值，确定跳出循环的k值，利用等比数列、等差数列的前n 项和公式计算输出S 的值．的值．解答： 解：由程序框图知：算法的功能是求S=21+22+ (2)+1+2+…+k 的值，的值，∵输入n 的值为9，∴跳出循环的k 值为10， ∴输出S=21+22+…+29+1+2+…+9=+×9=210﹣2+45=1067．故答案为：1067．点评： 本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断是否的功能是解题的关键．键． 15．（5分）（2014•湖北）如图所示，函数y=f （x ）的图象由两条射线和三条线段组成，若∀x ∈R ，f （x ）＞f （x ﹣1），则正实数a 的取值范围为的取值范围为 （0，） ．考点： 函数的图象． 专题： 函数的性质及应用．数的性质及应用． 分析： 由已知中的函数图象可得f （4a ）=a ，f （﹣4a ）=﹣a ，若∀x ∈R ，f （x ）＞f （x ﹣1），则，解不等式可得正实数a 的取值范围．的取值范围．解答： 解：由已知可得：a ＞0，且f （4a ）=a ，f （﹣4a ）=﹣a ， 若∀x ∈R ，f （x ）＞f （x ﹣1），则，解得a ＜，故正实数a 的取值范围为：（0，）， 故答案为：（0，）点评： 本题考查的知识点是函数的图象，其中根据已知分析出不等式组，是解答的关键．题考查的知识点是函数的图象，其中根据已知分析出不等式组，是解答的关键． 16．（5分）（2014•湖北）某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F （单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时）与车流速度v （假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒）、平均车长l （单位：米）的值有关，其公式为F=．（Ⅰ）如果不限定车型，l=6.05，则最大车流量为，则最大车流量为 1900 辆/小时；小时； （Ⅱ）如果限定车型，l=5，则最大车流量比（Ⅰ）中的最大车流量增加，则最大车流量比（Ⅰ）中的最大车流量增加 100 辆/小时．小时．考点： 基本不等式． 专题： 不等式的解法及应用．等式的解法及应用． 分析： （Ⅰ）把l 带入，分子分母同时除以v ，利用基本不等式求得F 的最大值．的最大值．（Ⅱ）把l 带入，分子分母同时除以v ，利用基本不等式求得F 的最大值最后于（Ⅰ）中最大值作差即可．中最大值作差即可． 解答： 解：解：（Ⅰ）F==，∵v+≥2=22，当v=11时取最小值，时取最小值，∴F=≤1900，故最大车流量为：1900辆/小时；小时； （Ⅱ）F===，∵v+≥2=20，∴F ≤2000，2000﹣1900=100（辆/小时）小时）故最大车流量比（Ⅰ）中的最大车流量增加100辆/小时．小时．故答案为：1900，100 点评： 本题主要考查了基本不等式的性质．基本不等式应用时，注意“一正，二定，三相等”必须满足．必须满足．17．（5分）（2014•湖北）已知圆O ：x 2+y 2=1和点A （﹣2，0），若定点B （b ，0）（b ≠﹣2）和常数λ满足：对圆O 上任意一点M ，都有|MB|=λ|MA|，则：，则： （Ⅰ）b= ﹣ ； （Ⅱ）λ= ．考点： 三点共线． 专题： 直线与圆．线与圆．分析： （Ⅰ）利用|MB|=λ|MA|，可得（x ﹣b ）2+y 2=λ2（x+2）2+λ2y 2，由题意，取（1，0）、（﹣1，0）分别代入，即可求得b ； （Ⅱ）取（1，0）、（﹣1，0）分别代入，即可求得λ．解答： 解：解法一：设点M （cos θ，sin θ），则由|MB|=λ|MA|得（cos θ﹣b ）2+sin 2θ=λ2[（cos θ+2）2+sin 2θ]，即，即﹣2bcos θ+b 2+1=4λ2cos θ+5γ2对任意θ都成立，所以．又由|MB|=λ|MA|得λ＞0，且b ≠﹣2，解得．解法二：（Ⅰ）设M （x ，y ），则，则 ∵|MB|=λ|MA|，∴（x ﹣b ）2+y 2=λ2（x+2）2+λ2y 2， 由题意，取（1，0）、（﹣1，0）分别代入可得（1﹣b ）2=λ2（1+2）2，（﹣1﹣b ）2=λ2（﹣1+2）2， ∴b=﹣，λ=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知λ=．故答案为：﹣，．点评： 本题考查圆的方程，考查赋值法的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．三、解答题 18．（12分）（2014•湖北）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系：f （t ）=10﹣cost ﹣sint ，t ∈[0，24）．（Ⅰ）求实验室这一天上午8时的温度；时的温度； （Ⅱ）求实验室这一天的最大温差．（Ⅱ）求实验室这一天的最大温差．考点： 函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．专题： 三角函数的图像与性质．角函数的图像与性质．分析： （Ⅰ）直接根据f （t ）的解析式求得f （8）的值．）的值．（Ⅱ）根据f （t ）=10﹣2sin （+t ），t ∈[0，24），求得函数f （t ）取得最大值和最小值，从而得到这一天的最大温差．小值，从而得到这一天的最大温差．解答： 解：（Ⅰ）∵f （t ）=10﹣cos t ﹣sint ，t ∈[0，24）． ∴f （8）=10﹣cos ﹣sin =10﹣×（﹣）﹣=10，故实验室这一天上午8时的温度为10℃．℃．（Ⅱ）∵f （t ）=10﹣cos t ﹣sin t=10﹣2sin （+t ），t ∈[0，24）． ∴＜+t ＜，故当+t=，即t=14时，函数f （t ）取得最大值为10+2=12，当+t=，即t=2时，函数f （t ）取得最小值为10﹣2=8，故实验室这一天的最大温差为12﹣8=4℃．℃．点评： 本题主要考查函数y=Asin （ωx+φ）的图象特征，正弦函数的值域，属于中档题．）的图象特征，正弦函数的值域，属于中档题．19．（12分）（2014•湖北）已知等差数列{a n }满足：a 1=2，且a 1，a 2，a 5成等比数列．成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；的通项公式；（Ⅱ）记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n ＞60n+800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．的最小值；若不存在，说明理由．考点： 等差数列的性质；数列的求和． 专题： 等差数列与等比数列．差数列与等比数列．分析： （Ⅰ）设出数列的公差，利用等比中项的性质建立等式求得d ，则数列的通项公式可得．得．（Ⅱ）利用（Ⅰ）中数列的通项公式，表示出S n 根据S n ＞60n+800，解不等式根据不等式的解集来判断．等式的解集来判断．解答： 解：（Ⅰ）设数列{a n }的公差为d ，依题意，2，2+d ，2+4d 成比数列，故有（2+d ）2=2（2+4d ），化简得d 2﹣4d=0，解得d=0或4，当d=0时，a n =2，当d=4时，a n =2+（n ﹣1）•4=4n ﹣2．（Ⅱ）当a n =2时，S n =2n ，显然2n ＜60n+800，此时不存在正整数n ，使得S n ＞60n+800成立，成立，当a n =4n ﹣2时，S n ==2n 2， 令2n 2＞60n+800，即n 2﹣30n ﹣400＞0，解得n ＞40，或n ＜﹣10（舍去），此时存在正整数n ，使得S n ＞60n+800成立，n 的最小值为41，综上，当a n =2时，不存在满足题意的正整数n ，当a n =4n ﹣2时，存在满足题意的正整数n ，最小值为41点评： 本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．要求学生对等差数列和等比数列的通项公式，求和公式熟练记忆．公式，求和公式熟练记忆．20．（13分）（2014•湖北）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、P 、Q 、M 、N 分别是棱AB 、AD 、DD 1、BB 1、A 1B 1、A 1D 1的中点，求证：的中点，求证：（Ⅰ）直线BC 1∥平面EFPQ ；（Ⅱ）直线AC 1⊥平面PQMN ．考点： 直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题： 证明题；空间位置关系与距离．明题；空间位置关系与距离．分析： （Ⅰ）要证直线BC 1∥平面EFPQ ，只需证BC 1∥FP ，且BC 1⊄平面EFPQ 即可，由AD 1∥BC 1，FP ∥AD 1即可证出；即可证出；（Ⅱ）要证直线AC 1⊥平面PQMN ，只需证出MN ⊥AC 1，且PN ⊥AC 1即可．即可．解答： 证明：（Ⅰ）在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，连接AD 1，∵AD 1∥BC 1，且F 、P 分别是AD 、DD 1的中点，的中点，∴FP ∥AD 1，∴BC 1∥FP ，又FP ⊂平面EFPQ ，且BC 1⊄平面EFPQ ， ∴直线BC 1∥平面EFPQ ；（Ⅱ）如图，（Ⅱ）如图，连接AC 、BD ，则AC ⊥BD ，∵CC 1⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴CC 1⊥BD ；又AC ∩CC 1=C ，∴BD ⊥平面ACC 1，又AC 1⊂平面ACC 1，∴BD ⊥AC 1；又∵M 、N 分别是A 1B 1、A 1D 1的中点，的中点，∴MN ∥BD ，∴MN ⊥AC 1；同理可证PN ⊥AC 1，又PN ∩MN=N ，∴直线AC 1⊥平面PQMN ．点评： 本题考查了证明空间中的线面平行与线面垂直的问题，解题时应明确空间中的线面平行、线面垂直的判定方法是什么，也考查了逻辑思维能力与空间想象能力，是基础题．21．（14分）（2014•湖北）π为圆周率，e=2.71828…为自然对数的底数．为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数f （x ）=的单调区间；的单调区间；（Ⅱ）求e 3，3e ，e ππ，πe ，3ππ，π3这6个数中的最大数与最小数．个数中的最大数与最小数．考点： 利用导数研究函数的单调性．专题： 函数思想．数思想．分析： 第（Ⅰ）问中，先根据分式求导法则，再解对数不等式即可；（Ⅰ）问中，先根据分式求导法则，再解对数不等式即可；第（Ⅱ）问中，可先将6个数分组，比较各组内数的大小后，再比较组与组之间的数的大小，而数的大小比较，可以考虑函数y=lnx ，y=e x ，y=πx 的单调性．的单调性．解答： 解：（Ⅰ）函数f （x ）的定义域为（0，+∞）． 由f （x ）=得．当f ʹ（x ）＞0，即0＜x ＜e 时，f （x ）单调递增；）单调递增；当f ʹ（x ）＜0，即x ＞e 时，f （x ）单调递减，）单调递减，所以函数f （x ）的单调递增区间为（0，e ），单调递减区间为（e ，+∞）．（Ⅱ）∵e ＜3＜π，∴eln3＜eln π，πlne ＜πln3，从而有ln3e ＜ln πe ，lne π＜ln3π．于是，根据函数y=lnx ，y=e x ，y=πx 在定义域上单调递增，在定义域上单调递增，可得3e ＜πe ＜π3，e 3＜e π＜3π，∴这6个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e 与e 3之中．之中．由（Ⅰ）知，f （x ）=在[e ，+∞）上单调递减，）上单调递减，∴即得∴综上可知，6个数中的最大数是3ππ，最小数是3e ．点评： 1、求单调区间时，先写出函数的定义域，为后面取区间时作参考．、求单调区间时，先写出函数的定义域，为后面取区间时作参考．2、利用指数函数、对数函数的单调性比较数的大小时，应注意以下几个要点：）寻找同底的指数式或对数式；（1）寻找同底的指数式或对数式；）分清是递增还是递减；（2）分清是递增还是递减；）把自变量的值放到同一个单调区间上．（3）把自变量的值放到同一个单调区间上．22．（14分）（2014•湖北）在平面直角坐标系xOy中，点M到点F（1，0）的距离比它到y 轴的距离多1，记点M的轨迹为C．的方程；（Ⅰ）求轨迹C的方程；（Ⅱ）设斜率为k的直线l过定点P（﹣2，1），求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．的相应取值范围．考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．锥曲线的定义、性质与方程．分析： （Ⅰ）设出M点的坐标，直接由题意列等式，整理后即可得到M的轨迹C的方程；（Ⅱ）设出直线l的方程为y﹣1=k（x+2），和（Ⅰ）中的轨迹方程联立化为关于y的一元二次方程，求出判别式，再在直线y﹣1=k（x+2）中取y=0得到．然后分判别式小于0、等于0、大于0结合x0＜0求解使直线l与轨迹C恰好有一个公的相应取值范围．共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．解答：解：（Ⅰ）设M（x，y），依题意得：|MF|=|x|+1，即，化简得，y2=2|x|+2x．∴点M的轨迹C的方程为；（Ⅱ）在点M的轨迹C中，记C1：y2=4x（x≥0），C2：y=0（x＜0）．依题意，可设直线l的方程为y﹣1=k（x+2）．由方程组，可得ky2﹣4y+4（2k+1）=0．①当k=0时，此时y=1，把y=1代入轨迹C的方程，得．故此时直线l：y=1与轨迹C恰好有一个公共点（）．②当k≠0时，方程ky22﹣4y+4（2k+1）=0的判别式为△=﹣16（2k22+k﹣1）．设直线l与x轴的交点为（x0，0），则由y﹣1=k（x+2），取y=0得．若，解得k＜﹣1或k＞．即当k ∈时，直线l 与C 1没有公共点，与C 2有一个公共点，公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点．恰好有一个公共点．若或，解得k=﹣1或k=或．即当k=﹣1或k=时，直线l 与C 1只有一个公共点，与C 2有一个公共点．有一个公共点．当时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2无公共点．无公共点．故当k=﹣1或k=或时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点．恰好有两个公共点． 若，解得﹣1＜k ＜﹣或0＜k ＜．即当﹣1＜k ＜﹣或0＜k ＜时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2有一个公共点．有一个公共点． 此时直线l 与C 恰有三个公共点．恰有三个公共点．综上，当k ∈∪{0}时，直线l 与C 恰有一个公共点； 当k∪{﹣1，}时，直线l 与C 恰有两个公共点；恰有两个公共点； 当k ∈时，直线l 与轨迹C 恰有三个公共点．恰有三个公共点．点评： 本题考查轨迹方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，体现了分类讨论的数学思想方法，重点是做到正确分类，是中档题．重点是做到正确分类，是中档题．。
武汉大学2001-2014高数B2试题编选
2
+ y 2 )ds 。
三、 （10 分）设 z = f (e sin y, y ) ， f 有二阶连续偏导数，求
x
∂2z ∂2z ， 。 ∂x 2 ∂x∂y
四、 （8 分）求曲面 xy − z + 1 = 0 上离原点最近的点。
2
五、 （10 分）计算
∫∫ x dydz + y dxdz + z
n→∞
。
二、试解下列各题（每小题 5 分） 1、设 a = i + j , b = −2 j + k ，求以向量 a ， b 为边的平行四边形的对角线的长度。 2、设 u = sec(2 y − xyz ) ，求 u x ， u y ， u z 。 三、 （10 分）计算
G
G
G
G
G
G
G
G
∫∫ x( y − z )dydz + ( x − y)dxdy ，其中 Σ 是曲线 z = y
3．设 V = {( x, y, z ) | x + y + z ≤
ρ 2 } ，则 lim
ρ →0
πρ
3
∫∫∫ e
V
x4 + y 2 + z 4
dxdydz =
。
4．设周期为 4 的偶函数 f ( x) 在[0，2]上的表达式为 f ( x) = x ，它的傅里叶级数的和 函数为 s ( x) ，则 s ( −5) = 5．微分方程 y
Σ
2
(0 ≤ z ≤ 3)
绕 Z 轴旋转一周而成，且从 Z 轴正向看的下侧。
⎧ x = e u +v ⎪ ∂2z u −v 四、 （10 分）设函数 z ( x, y ) 由方程组 ⎨ y = e ， （u,v 为参数）所确定，求 2 ∂x ⎪ z = uv ⎩