2015武汉大学数学分析考研真题
武汉科技大学_840 数学分析-2015(A卷答案)考研真题
二O一五年招收硕士研究生入学考试试题参考答案（A 卷）一、选择题(本大题共5小题, 每小题6分, 共30分)1.A2. B3.B4.C5. B二、填空题(本大题共5小题, 每小题6分, 共30分)1、 2、0)4()1(2)2(4=---+-z x x π3、4、2π⎰+y y yf dx x f 0)(2)(5、 31三. 计算题(本大题共3小题, 每小题10分, 共30分)1.解：两曲线的交点为（0，0），（1，1） （2分）所求的面积为： （4分）31)(102=-⎰dx x x 所求的体积为： （4分）103)(105ππ=-⎰dx x x 2.解：设，，收敛半径为1，收敛域∑∞=+=1)1()(n n n n x x f 1)1(1)2)(1(1lim =+++∞→n n n n n [-1，1] （4分）),10(),1ln(11)1()(121'<<---=+=∑∞=-x x x x n x x f n n (3分）)10(),1ln(11)()(0'<<--+==⎰x x xx dt t f x f x x =0级数为0，x =1，级数为1，x =-1，级数为1-2ln2 （3分）3. 解：，224y x z --=y x y x y y x x S d d 441d 222222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+= （3分）y x zy x y x d d 2d d 4222=--=且 4|),(22≤+=y x y x D （4分）()()y x y x S z y z xD S d d 2d 2222⎰⎰⎰⎰⋅+=+∴ r r r d d 220220⎰⎰⋅θ=π []2022042⎥⎦⎤⎢⎣⎡π⋅θ⋅=π= （3分）π=⋅π⋅16422四、证明题(本大题共4小题,，每小题15分，共60分)1． 证明：设函数在有界，则在必有上确界和下确界 （3分）)(x f ],[b a ],[b a 一方面，，所以{}{}],[,,)(inf )(sup )()(],[],[b a y x x f x f y f x f b a x b a x ∈∀-≤-∈∈ （5分）{}{}{}{},)(inf )(sup )()(sup )()(sup],[],[],[,],[,x f x f y f x f y f x f b a x b a x b a y x b a y x ∈∈∈∈-≤-=- 另一方面， （2分）],[,)()()()()()()(b a y x y f y f x f y f y f x f x f ∈∀+-≤+-=所以{)],[,),()()(sup )(],[,b a y x y f y f x f x f b a y x ∈∀+-≤∈进一步{){}],[,)(inf )()(sup)(],[],[,b a x y f y f x f x f b a y b a y x ∈∀+-≤∈∈从而 （5分）{}{}{})(inf )(sup )()(sup],[],[],[,x f x f y f x f b a x b a x b a y x ∈∈∈-≥-2. 证明：考虑函数在条件下的极值问题，2nn y x z +=)0 ,0 ,0( ≥≥>=+y x a a y x 设（5分）).()(21),(a y x y x y x F n n -+++=λ解方程组（5分）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=∂∂=+=∂∂=+=∂∂--002211a y x F y n y F x n x F n n λλλ可得从而.2a y x ==.222nn n n y x a y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛≥+如果时，则结论显然成立. （5分）0==y x 3.证明： （4分）||||022xy y x xy≤+≤=0所以函数在（0，0）点连续， （3分）22)0,0(),(lim y x xy y x +→又，存在切等于0， （4分）00lim0=∆→∆x x )0,0(),0,0(y x f f 但不存在，故函数在（0，0）点不可微 （4分）22)0,0(),(lim y x y x y x ∆+∆∆∆→∆∆4. 证明：由在上单调递增，)(x f []b a , （5分）],[,0)]2()(2(b a x b a f x f b a x ∈≥+-+-所以 （5分）0)]2()([2(≥+-+-⎰dx b a f x f b a x b a 即 0)2(2()()2(=+-+≥+-⎰⎰dx b a x b a f dx x f b a x b a b a 即 。
武汉大学近二十年数学分析考研真题
其中 N > 0 为一常数，且逐点有 fn (x) → f (x) （当 n → +∞ ）。证明： （1） f (x) 在[a,b] 上连续。
（2） fn (x)→ f (x) 。
6．设
f
(x,
y)
=
⎪⎪⎧ g ( x, ⎨
y ) sin
⎪0,
⎪⎩
1, x2 + y2
(x, y) ≠ (0,0)
，证明
+
1 32
−
1 4
+
1 52
+"+
1 (2n −1)2
−
1 2n
+ " 是否收敛？为什么？
∑ 3．求级数 ∞ ⎜⎛1 + 1 ⎟⎞n(n+1) x n 的收敛区域。
n=1 ⎝ n ⎠ 4．求函数 f (x, y, z) = xyz 在条件 x + y = 1 及 x − y + z 2 = 1下的极值。
∫+∞⎡
lim
n→+∞
−∞⎢⎣
f
⎜⎛ ⎝
y
+
1 n
⎟⎞ − ⎠
f
⎤ ( y)⎥⎦dy
=
0。
3．设 f (x, y) 为连续函数，且当 (x, y) ≠ (0,0) 时，f (x, y) > 0 ，及满足 f (cx,cy) = cf (x, y) ，
∀c > 0 。证明存在α , β > 0 ，使得α x2 + y 2 ≤ f (x, y) ≤ β x2 + y 2 。
其中
∆u
=
∂2u ∂x 2
+
武汉大学《数学分析》《高等代数》历年考研真题(2009-2018汇总)
4
8! ( K 14 ©) lim an = +∞, y²:
n→∞
Ô! ( K 14 ©) ¼ê
1n
lim n→∞ n
ak = +∞.
k=1
(x2 + y2) sin f (x, y) =
0,
1 , x2 + y2 = 0; x2 + y2
x2 + y2 = 0.
1. ¦ fx(0, 0), fy(0, 0); 2. y²: fx(0, 0), fy(0, 0) 3 (0, 0) ØëY; 3. y²: f (x, y) 3 (0, 0) Œ‡, ¿¦ df (0, 0).
l! ( K 15 ©) z(x, y) ëY
Œ‡, 釩•§
1
∂2z
∂2z ∂2z
1
∂z ∂z
(x2 + y2)2
∂x2
+
2 ∂x∂y
+
∂y2
− (x2 + y2)3
+ ∂x ∂y
= 0.
ŠCþ“† u = xy, v = x − y. 1. ¦“† •§; 2. •ÑCþ“†” :8, ¿`²”
4. OŽ F (α), Ù¥:
eα
x+3α
F (α) = dx
f (x, y)dδ.
D
¦ f (x, y).
Ê! ( K 14 ©) f (x) ´ {(x, y)|x2 + y2 1} þ gëYŒ‡¼ê, …÷v
∂2f ∂x2
+
∂2f ∂y2
= (x2 + y2)2,
Á¦È©
x2+y2 1
x ∂f
2015考研数学线性代数真题解析
2015考研数学线性代数真题解析[摘要]2015年考研结束后，凯程考研不断的为大家整理各类真题，按题型、考点、科目等进行剖析，希望能帮助大家更好的复习！2015考研刚刚结束，在这里首先祝福各位考生金榜题名!根据今年考研真题，凯程考研数学名师李擂为2016考研的学子介绍一下真题中线性代数的出题特点，以便大家在接下来的复习中能够更好的把握线性代数的复习方法。
从真题上可以看出，对基本概念、基本性质和基本方法的考查才是考研数学的重点。
下面以真题中的几道题目为例，例如：数学三第13题，考查的内容就是特征值的基本运算性质，如果考生能够掌握特征值之积等于行列式的值，那么该题很容易求解;数学三第5题，考查的内容是非齐次线性方程组解的判定，如果考生能够清楚的知道非齐次线性方程组有无穷多解的充要条件为r(A)=r(A,b)针对以上特点，老师建议各位2016考研的学子在进行线性代数复习时，一定要注重基本概念、基本性质和基本方法的复习。
很多考生由于对这些基础内容掌握不够牢固，理解不够透彻，导致许多失分现象，这一点在线性代数这个模块上体现的更加明显。
比如，线性代数中经常涉及到的基本概念，余子式，代数余子式，伴随矩阵，逆矩阵，初等变换与初等矩阵，正交变换与正交矩阵，秩(矩阵、向量组、二次型)，等价(矩阵、向量组)，线性表示，线性相关与线性无关，极大线性无关组，基础解系与通解，特征值与特征向量，矩阵相似与相似对角化，二次型的标准形与规范形，正定矩阵与正定二次型，合同变换与合同矩阵等等，这些概念必须理解清楚。
对于线性代数中的基本运算，行列式的计算(数值型、抽象型)，求逆矩阵，求矩阵的秩，求方阵的幂，求向量组的秩与极大线性无关组，线性相关性的判定，求基础解系，求非齐次线性方程组的通解，求特征值与特征向量，判断矩阵是否可以相似对角化，求相似对角矩阵，用正交变换法化实对称矩阵为对角矩阵，用正交变换化二次型为标准形等等。
一定要注意总结这些基本运算的运算方法。
[考试必备]武汉大学数学分析考研试题集锦(1992,1994-2012年)
![[考试必备]武汉大学数学分析考研试题集锦(1992,1994-2012年)](https://img.taocdn.com/s3/m/58bacf00bb68a98271fefa54.png)
（3）在 (0,0) 附近，是否存在过在 (0,0) 的唯一连续隐函数？为什么？
（3）若存在隐函数过 (0,0) 点，问其导函数为何？
武汉大学数学分析 1996
1．设 an → a(n → +∞) ，令
a
+ n
=
⎩⎨⎧a0n,,
an an
> ≤
0 ，a
0
=
⎧a, ⎩⎨0,
a>0 a≤0
证明：
a
+ n
4．设 u = u(t, x, y, z) 有二阶连续偏导数， Ω 为 (x, y, z) 空间的一有界闭集，它有光滑边界
∂Ω ， ∂Ω 处的单位外法向矢量为 ν ，证明：
∫∫∫ Ω
∂u ∂t
⋅
∆udxdydz
=
∫∫
∂Ω
∂u ∂t
⋅
∂u ∂ν
dS
−
1 2
d dt
∫∫∫ Ω
∇u
2
dxdydz
(外侧）
其中 N > 0 为一常数，且逐点有 fn (x) → f (x) （当 n → +∞ ）。证明： （1） f (x) 在[a,b] 上连续。
（2） fn (x)→ f (x) 。
6．设
f
(x,
y)
=
⎪⎪⎧ g ( x, ⎨
y ) sin
⎪0,
⎪⎩
1, x2 + y2
(x, y) ≠ (0,0)
，证明
→
a+ (n
→
+∞) 。
( ) 2．设 lim ( x, y)→( x0 , y0 )
f
(x,
y)
武汉大学2015年理论经济学真题
武汉大学2015年理论经济学真题
1.有一个表格，有两种咖啡的2012和2013年的价格和销量。
分别求出两种咖啡的需求价格弹性和线性需求曲线。
并分析哪种种咖啡的弹性要高一些？（因为价格是小数，所以只要估计弹性。
最好带计算器，当时我没带算的好惨。
）
2.效用函数U=FC,分别代表衣服和食物，价格分别为10和2，收入是50，求边际替代率。
并求当一种价格变小，另一种价格变大时，边际替代率变大还是变小？
3.一种操作系统技术好，价格低，但是消费没有升级这种系统。
他们发现附近商店的这种系统的复制品很少。
分析为什么消费者不升级这种系统？
4.电影院为什么把两种电影捆绑销售？搭售和捆绑销售的区别是什么？为什么有的企业会选择搭售？
5.这一题是求IS,LM曲线，并求均衡，很常规很简单。
6.一国面临经济衰退，如果用汇率贬值政策能阻止衰退吗？什么政策能使汇率贬值？其他国家会怎样做？什么时候这就成以邻为壑的情况了？
7.影响人均产出的因素？我国经济还能增长吗？用经济增长理论分析。
8.菲利普斯曲线为什么有长短之分？什么是滞涨？
（宏微观共9题，还有一题没想起来）
10.资本积累的影响因素？
11.经济危机的原因？
12.劳动生产率的影响因素？。
2015年考研数学二真题及答案解析
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
）(1)下列反常积分中收敛的是(A)∫√x 2(B)∫lnx x +∞2dx (C)∫1xlnx +∞2dx (D) ∫x e x +∞2dx【答案】D 。
【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。
∫√x2=2√x|2+∞=+∞； ∫lnx x +∞2dx =∫lnx +∞2d(lnx)=12(lnx)2|2+∞=+∞； ∫1xlnx +∞2dx =∫1lnx +∞2d(lnx)=ln (lnx)|2+∞=+∞； ∫x e x +∞2dx =−∫x +∞2de −x =−xe −x |2+∞+∫e −x +∞2dx=2e −2−e −x |2+∞=3e −2， 因此(D)是收敛的。
综上所述，本题正确答案是D 。
【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分(2)函数f (x )=lim t→0(1+sin t x )x 2t在(-∞,+∞)内 (A)连续 (B)有可去间断点(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】B【解析】这是“1∞”型极限，直接有f (x )=lim t→0(1+sin t x )x 2t=e lim t→0x 2t (1+sin t x −1)=e x lim t→0sint t =e x (x ≠0),f (x )在x =0处无定义，且lim x→0f (x )=lim x→0e x =1,所以 x =0是f (x )的可去间断点，选B 。
综上所述，本题正确答案是B 。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限(3)设函数f (x )={x αcos 1x β,x >0，0,x ≤0(α>0,β>0).若f ′(x )在x =0处连续，则 (A)α−β>1 (B)0<α−β≤1(C)α−β>2 (D)0<α−β≤2【答案】A【解析】易求出f′(x )={αx α−1cos 1x β+βx α−β−1sin 1x β,x >0，0,x ≤0再有 f +′(0)=lim x→0+f (x )−f (0)x =lim x→0+x α−1cos 1x β={0, α>1,不存在，α≤1，f −′(0)=0 于是，f ′(0)存在⟺α>1，此时f ′(0)=0.当α>1时，lim x→0x α−1cos 1x β=0， lim x→0βx α−β−1sin 1x β={0, α−β−1>0,不存在，α−β−1≤0， 因此，f′(x )在x =0连续⟺α−β>1。
武汉大学2015–2016 学年第一学期期末考试《离散数学》试题
6 2 7
v2 11
1
1 v3
9
v1
3
8
v4 10
v6
4
5
v5
9. (9 分) 设 4 个城市 v1, v2, v3, v4 有航班如下图所示. 问从一个城市起飞, 可否达到其余 3 个城市? 试给出下图的邻接矩阵, 并用 Warshall 算法求可达性矩阵来证明你的答案.
v2
v3
v4
v1
四、数理逻辑 (本题满分 25 分)
3. (1) 这 100 个数分为 50 组互质的数: {1, 2}, {3, 4}, · · · , {99, 100}.
在选出的 51 个数中, 必有 2 个数属于同一组, 故它们是互质的. (2) 这 100 个数分为 50 组差为 50 的数:
{1, 51}, {2, 52}, · · · , {50, 100}. 在选出的 51 个数中, 必有 2 个数属于同一组, 故它们的差为 50.
1.
(9
分)
设
N
是自然数集,
定义
N
上的二元关系
R
=
{ ⟨x, y⟩
|
x, y
∈
N∧x+y
是偶数}.
(1) 证明 R 是一个等价关系;
(2) 求商集 N/R.
2. (10 分) 设 A = {a, b, c, d}, A 上的二元关系 R1 和 R2 定义如下:
{
}
R1 = ⟨a, b⟩, ⟨b, c⟩, ⟨c, d⟩, ⟨d, a⟩ ,
0 1
.
0011
自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性
R1
否
是
否
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题解析
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题解析戴又发一、选择题 共8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选选项前的字母填在答题纸指定位置上． （1） 下列反常积分收敛的是（ ）（A ）dx x⎰+∞21（B ）dx x x ⎰+∞2ln （C ）dx x x ⎰+∞2ln 1 （D ）dx e x x ⎰+∞2 【解析】22222331lim 3)1(lim lim --+∞→--+∞→+∞→+∞=+-=++-==⎰⎰e e e e t e dx e x dx ex t t t t t x t x ． 故选D ．（2）函数tx t x t x f 2sin 1lim )(⎪⎭⎫⎝⎛+=+∞→ 在),(+∞-∞内 （ ） （A ）连续 （B ）有可去间断点 （C ）有跳跃间断点 （D ）有无穷间断点【解析】ttx t x t tx t x t x t x f sin sin sin 1lim sin 1lim )(2⨯+∞→+∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+=，当0≠x 时，由e x t tx t =⎪⎭⎫⎝⎛++∞→sin sin 1lim ，x ttx t =+∞→sin lim，得x e x f =)(， 故函数在),(+∞-∞内有可去间断点，故选B ．（3）设函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>=0,00,1cos )(x x xx x f α)0,0(>>βα，若)(x f '在0=x 处连续，则（ ） （A ）1>-βα （B ）10≤-<βα （C ）2>-βα （D ）20≤-<βα 【解析】显然0<x 时0)(='x f ，当0>x 时111sin 1cos)(---⋅+='ββαβαβαx xx x x x f ββαβαβαxx x x 1sin 1cos11---+=，由0,0>>βα，)(x f '在0=x 处连续，有01,01>-->-βαα， 所以1>-βα，故选A ．（4）设函数)(x f 在),(+∞-∞内连续，其2阶导数)(x f ''的图形如右图所示，则曲线)(x f y =的拐点个数为（ ）（A ） 0 （B ）1 （C ）2 （D ）3【解析】若函数)(x f 的2阶导数存在，那么使函数2的阶导数)(x f ''为零，且三阶导数不为零的点是函数)(x f 的拐点，当2阶导数不存在时，只要在某点处的2阶导数改变符号，该点就是拐点，显然)(x f y =的拐点个数为2，故选C ． （5）设函数),(v u f 满足22),(y x xy y x f -=+，则11==∂∂v u uf 与11==∂∂v u vf 依次是（ ）（A ）21，0 （B ）0，21 （C ）21-，0 （D ）0，21-【解析】记 x y v y x u =+=, ，得v uvy v u x +=+=1,1，于是22)1()1(),(),(v uv v u v u f x y y x f +-+==+，所以222)1(2)1(2v uv v u u f +-+=∂∂，011=∂∂==v u uf ；3222232)1(2)1(2)1(2v v u v vu v u v f +++-+-=∂∂，2141214111-=+--=∂∂==v u uf，故选Ｄ．（6）设D 是第一象限中的曲线14,12==xy xy 与直线x y x y 3,==围成的平面区域，函数),(y x f 在D 上连续，则⎰⎰=Ddxdy y x f ),(（ ）（A ）⎰⎰θθππθθθ2sin 12sin 2134)sin ,cos (rdr r r f d（B ）⎰⎰θθππθθθ2sin 12sin 2134)sin ,cos (rdr r r f d（C ）⎰⎰θθππθθθ2sin 12sin 2134)sin ,cos (dr r r f d（D ）⎰⎰θθππθθθ2sin 12sin 2134)sin ,cos (dr r r f d【解析】记 θθsin ,cos r y r x ==，区域D 可表示为，θθ2sin 212sin 1≤≤r ，34πθπ≤≤，θrdrd dxdy =，于是 ⎰⎰=Ddxdy y x f ),(⎰⎰θθππθθθ2sin 12sin 2134)sin ,cos (rdr r r f d ，故选Ｂ．(7)设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛24121111a a ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21d d b ，若集合{}2,1=Ω，则线性方程组b Ax =有无穷多解的充分必要条件为（ ）（A ）Ω∉Ω∉d a , （B ）Ω∈Ω∉d a , （C ）Ω∉Ω∈d a , （D ）Ω∈Ω∈d a ,【解析】由方程组b Ax =有无穷多解，得3)()(<=A r A r ， 而当0)12)(2)(1(=---=a a A 时，2,1==a a ，当1=a 时，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=23000101011111030101011111411211111222d d d d d d d A 3)(<A r ，所以1=d 或2=d ．当2=a 时，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=23000111011111330111011114412211111222d d d d d d d A 3)(<r ，所以1=d 或2=d ．故选Ｄ．（8）设二次型),,(321x x x f 在正交变换PY X =下的标准型为2322212y y y -+，其中),,(321e e e P =，若),,(231e e e Q -=，则),,(321x x x f 在正交变换QY X =下的标准型为（ ）（A ）2322212y y y +- （B ）2322212y y y -+ （C ）2322212y y y -- （D ）2322212y y y ++ 【解析】设二次型对应的矩阵为A ，由),,(321x x x f 经正交变换PY X =化为标准型2322212y y y -+，得 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-1121AP P ，其中),,(321e e e P =，又因为),,(231e e e Q -=，于是有 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-1121AQ Q ， 所以),,(321x x x f 在正交变换QY X =下的标准型为2322212y y y +-．故选Ａ．二、填空题：9~14每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸指定位置上．（9）设⎩⎨⎧+==33arctan t t y t x ，则==122t dx y d ．【解析】233t dt dy += ，211t dt dx +=， 363)1)(33(2422++=++=t t t t dx dy ，22232322)1(12)1)((12111212)(t t t t t t t t dt dx dt dx dy d dxy d +=++=++==． 所以==122t dx y d 48．（10）函数x x x f 2)(2⋅=在0=x 处的n 阶导数为=)0()(n f .【解析】因为)2ln 2(22ln 222)(22x x x x x f x x x +=⋅+⋅='，0)0(='f ；))2(ln 2ln 42(22ln )2ln 2(2)2ln 22(2)(222x x x x x x f x x x ++=+++=''，222)0(0=⋅=''=x x f ；2ln ))2(ln 2ln 42(2))2(ln 22ln 4(2)(222x x x x f x x ++++='''))2(l n )2(l n 62ln 6(2322x x x ++=，2ln 62ln 62)0(0=⋅='''=x xf ； 2ln ))2(ln )2(ln 62ln 6(2))2(ln 2)2(ln 6(2)(32232)4(x x x x f x x ++++=))2(ln ))2(ln 8)2(ln 12(24232x x x ++=，202)4()2(ln 12)2(ln 122)0(=⋅==x x f ；202)()2)(ln 1()2)(ln 1(2)0(-=--=-⋅=n x n x n n n n n f ．（11）设函数)(x f 连续，由方程⎰=2)()(x dt t xf x ϕ，若5)1(,1)1(='=ϕϕ，则=)1(f ． 【解析】由⎰⎰==22)()()(x x dt t f x dt t xf x ϕ，得)(2)()(202x f x x dt t f x x ⋅⋅+='⎰ϕ，又5)1(2)()1(1=+='⎰f dt t f ϕ，1)()1(10==⎰dt t f ϕ，所以2)1(=f ．（12）设函数)(x y y =是微分方程02=-'+''y y y 的解，且在0=x 处)(x y 取得极值3，则=)(x y ．【解析】由022=-+λλ，得2,1-==λλ，于是微分方程的特解为x x e C e C y 221-+=，由022)0(21221=-=-='-C C eC e C y xx，3)0(21=+=C C y ，得1,221==C C ，所以x x e e x y 22)(-+=．(13)若函数),(y x z z =由方程132=+++xyz e z y x 确定，则=)0,0(dz．【解析】由dy yzdx x z dz ∂∂+∂∂=， 方程132=+++xyz e z y x 两边对x 求导，0)31(32=+∂∂+∂∂+++yz xzxy x z e z y x ， 代入0,0==y 得310-=∂∂=x xz；方程132=+++xyz e z y x 两边对y 求导，0)32(32=+∂∂+∂∂+++xz yzxy y z e z y x ， 代入0,0==y 得32-=∂∂=y yz；所以dy dx dz3231)0,0(--=．(14)设三阶矩阵A 的特征值为1,2,2-，E A A B +-=2,其中E 为3阶单位矩阵，则行列式=B ．【解析】由矩阵A 的特征值为1,2,2-， 且E A A B +-=2,可知矩阵B 的特征值为1,7,3，所以21=B ．三、解答题：15～23小题，共94分。
1989-2015考研数学二历年真题word版
2015年考研数学二真题一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． １．下列反常积分收敛的是（ ）（A ）2x+∞⎰（B ）2ln x dx x +∞⎰（C ）21ln dx x x+∞⎰ （D ）2x x dx e +∞⎰2．函数201sin ()lim x tt t f x x →⎛⎫=+⎪⎝⎭在(,)-∞+∞内（ ） （A ）连续 （B ）有可去间断点（C ）有跳跃间断点 （D ）有无穷间断点3．设函数 100000cos ,(),(,),x x f x xx αβαβ⎧>⎪=>>⎨⎪≤⎩，若()f x '在0x =处连续，则（ ） （A ）1αβ-> （B ）01αβ<-≤ （C ）2αβ-> （D ）02αβ<-≤4．设函数()f x 在(,)-∞+∞上连续，其二阶导数()f x ''的图形如右图所示，则曲线()y f x =在(,)-∞+∞的拐点个数为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 5．设函数(,)f u v 满足22,y f x y x y x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则1111|,|u u v v f f u v ====∂∂∂∂依次为（ ） （Ａ）102, （Ｂ）102, （Ｃ）102,- （Ｄ）102,- 6．设D 是第一象限中由曲线2141,xy xy ==和直线3,y x y x ==所围成的平面区域，函数(,)f x y 在D 上连续，则(,)Df x y dxdy =⎰⎰（ ）（Ａ）1321422sin sin (cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰（Ｂ）231422sin sin (cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰（Ｃ）1321422sin sin (cos ,sin )d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰（Ｄ）231422sin sin (cos ,sin )d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰7．设矩阵2211111214,A a b d a d ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若集合{}12,Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件是（A ）,a d ∉Ω∉Ω （B ）,a d ∉Ω∈Ω （C ）,a d ∈Ω∉Ω （D ）,a d ∈Ω∈Ω8．设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为2221232y y y +-，其中()123,,P e e e =，若()132,,Q e e e =-，则123(,,)f x x x 在x Qy=下的标准形为（A ）2221232y y y -+ （B ）2221232y y y +- （C ）2221232y y y -- （D ） 2221232y y y ++9．设33arctan x t y t t=⎧⎨=+⎩，则212|t d ydx == ． 10．函数22()xf x x =在0x =处的n 阶导数0()()n f = ．11．设函数()f x 连续，2()()x x xf t dt ϕ=⎰，若1115(),()ϕϕ'==，则1()f = ．12．设函数()y y x =是微分方程20y y y '''+-=的解，且在0x =处()y x 取极值3，则()y x = ． 13．若函数(,)z z x y =由方程231x y zexyz +++=确定，则00(,)|dz = ．14．设三阶矩阵A 的特征值为221,,-，2B A A E =-+，其中E 为三阶单位矩阵，则行列式B = ． 三、解答题15．（本题满分10分）设函数1()ln()sin f x x a x bx x =+++，3()g x kx =在0x →时为等价无穷小，求常数,,a b k 的取值． 16．（本题满分10分）设0A >，D 是由曲线弧02sin ()y A x x π=≤≤及直线02,y x π==所围成的平面区域，12,V V 分别表示D 绕,x y 旋转一周所围成的旋转体的体积，若12V V =，求A 的值．17．（本题满分10分）已知(,)f x y 满足21(,)(),x xy f x y y e ''=+01(,)(),x x f x x e '=+202(,)f y y y =+，求(,)f x y 的极值．18．（本题满分10分）计算二重积分()dxdy Dx x y -⎰⎰，其中{}2222(,)|,D x y x y y x =+≤≥ 19．（本题满分10分）已知22111()x f x t dt tdt =+++⎰⎰，求()f x 的零点个数．20．（本题满分11分）已知高温物体置于低温介质中，任一时刻物体温度对时间的变化率和该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为120C ︒，物体在20C ︒恒温介质中冷却，30分钟后该物体的温度降到30C ︒．若要将物体的温度继续降至21C ︒，还需要冷却多长时间？21．（本题满分11分）已知函数()f x 在区间[,)a +∞上具有二阶导数，000(),(),()f a f x f x '''=>>．设b a >，曲线()y f x =在点(,())b f b 的切线和x 轴的交点是00(,)x ，证明：0.a x b <<22．（本题满分11分）设矩阵101101a A a a ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，且30A =．（1）求a 的值；（2）若矩阵X 满足22X XA AX AXA E ---=，其中E 为三阶单位矩阵，求X ． 23．（本题满分11分）设矩阵02313312A a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭相似于矩阵12000031B b -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．（1）求,a b 的值；（2）求可逆矩阵P ，使1P AP -为对角矩阵．2012年全国硕士研究生入学统一测试数学二试题一、选择题:1-8题,每题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.(1)曲线221x xyx+=-的渐近线条数 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(2) 设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =---，其中n 为正整数,则(0)f '= ( )(A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n -(3) 设1230(1,2,3),n n n a n S a a a a >==++++，则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的( )(A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要(4) 设20sin d ,(1,2,3),k x k I e x x k π==⎰则有( )(A) 123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D) 213I I I << (5) 设函数(,f x y ）为可微函数，且对任意的,x y 都有(,)(,)0,0,x y x y x y∂∂><∂∂则使不等式1122(,)(,)f x y f x y >成立的一个充分条件是 ( )(A) 1212,x x y y >< (B) 1212,x x y y >> (C) 1212,x x y y << (D) 1212,x x y y <> (6) 设区域D 由曲线sin ,,12y x x y π==±=围成，则5(1)d d Dx y x y -=⎰⎰(A) π (B) 2 (C) -2 (D) -π(7) 设1100c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α,2201c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α ,3311c ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭α ,4411c -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α ,其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的为(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα(8) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若()123,,P =ααα，()1223,,Q =+αααα则1Q AQ -= (A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D)200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 设()y y x =是由方程21yx y e -+=所确定的隐函数，则202x d ydx== .(10) 22222111lim 12n n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭ .(11) 设1ln ,z f x y ⎛⎫=+⎪⎝⎭其中函数()f u 可微，则2z z x y x y ∂∂+=∂∂ . (12) 微分方程()2d 3d 0y x x y y +-=满足条件11x y ==的解为y = .(13) 曲线()20y x x x =+<上曲率为22的点的坐标是 . (14) 设A 为3阶矩阵，=3A ，*A 为A 伴随矩阵，若交换A 的第1行和第2行得矩阵B ，则*BA = . 三、解答题：15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分 10 分)已知函数()11sin x f x x x+=-，记()0lim x a f x →=，(I)求a 的值;(II)若0x →时，()f x a -和kx 是同阶无穷小，求常数k 的值.(16)(本题满分 10 分)求函数()222,x y f x y xe+-=的极值.(17)(本题满分12分)过(0,1)点作曲线:ln L y x =的切线,切点为A ,又L 和x 轴交于B 点,区域D 由L 和直线AB 围成,求区域D 的面积及D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.(18)(本题满分 10 分)计算二重积分d Dxy σ⎰⎰，其中区域D 为曲线()1cos 0r θθπ=+≤≤和极轴围成.(19)(本题满分10分)已知函数()f x 满足方程()()2()0f x f x f x '''+-=及()()2x f x f x e ''+=,(I) 求()f x 的表达式;(II) 求曲线220()()d xy f x f t t =-⎰的拐点.(20)(本题满分10分)证明21ln cos 112x x x x x ++≥+-,(11)x -<<. (21)(本题满分10 分)(I)证明方程1x x x ++=n n-1+()1n >的整数，在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个实根；(II)记(I)中的实根为n x ，证明lim n n x →∞存在，并求此极限.(22)(本题满分11 分)设100010001001a a A a a⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，1100β⎛⎫⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(I) 计算行列式A ；(II) 当实数a 为何值时，方程组Ax β=有无穷多解，并求其通解.(23)(本题满分11 分)已知1010111001A a a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，二次型()()123,,T T f x x x x A A x =的秩为2，(I) 求实数a 的值；(II) 求正交变换x Qy =将f 化为标准形.2011年全国硕士研究生入学统一测试数学二试题一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.1.已知当0x →时，函数是等价无穷小，则与kcx x x x f 3sin sin 3)(-= A k=1,c=4 B k=a, c=-4 C k=3,c=4 D k=3,c=-42.=-==→3320)(2)(,0)0(0)(lim x x f x f x f x x f x 则处可导，且在已知 A )0(2f '- B )0(f '- C )0(f ' D 0 3.函数)3)(2)(1(ln )(---=x x x x f 的驻点个数为 A 0 B 1 C 2 D 34.微分方程的特解形式为)0(2>+=-'-λλλλx x e e y y A)(x x e e a λλ-+ B )(x x e e ax λλ-+ C )(x x be ae x λλ-+ D )(2x x be ae x λλ-+5设函数)(x f 具有二阶连续导数，且0)0(,0)(>'>f x f ，则函数)(ln )(y f x f z =在点（0，0）处取得极小值的一个充分条件A 0)0(,1)0(>''>f fB 0)0(,1)0(<''>f fC 0)0(,1)0(>''<f fD 0)0(,1)0(<''<f f 6.设⎰⎰⎰===44400cos ln ,cot ln ,sin ln πππxdx K xdx J xdx I 的大小关系是、、则K J IA I<J<KB I<K<JC J<I<KD K<J<I7.设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行和第一行得单位矩阵。