[考试必备]武汉大学数学分析考研试题集锦(1992,1994-2012年)

∫ ∫ （2） lim n→+∞
+∞ a
fn
( x)dx
=
+∞ f (x)dx 。
a
8．设证 F (x, y) = y3 + sin(| x | y) ，问
（1）在 (0,0) 附近是否满足 F (x, y) = 0 的隐函数存在定理条件？
（2）在 (0,0) 附近 F (x, y) 关于 y 是否严格单调？
0
0
∑+∞
4．给定级数
xn
。
n=0 n +1
（1）求它的和函数 S (x) 。
∫ （2）证明广义积分 1 S (x)dx 收敛，交写出它的值。 0
5．对于函数
f
(x,
y)
=
⎧ x2y ⎪⎪ x2 + y 2 ⎨
,
⎪⎪⎩0,
x2 + y2 ≠ 0
，证明：
x2 + y2 = 0
（1） f (x, y) 处处对 x ，对 y 可导；
（2）偏导函数 f x′(x, y) ， f y′(x, y) 有界；
（3） f (x, y) 在点 (0,0) 不可微。
（4）一阶偏导函数 f x′(x, y) ， f y′(x, y) 中至少有一个在点 (0,0) 不连续。
6．计算下列积分：
∫ （1） 1 xb − xa dx ，其中 a,b 为常数， 0 < a < b 。 0 ln x
lim
n→∞
f
(xn )
=
lim
n→∞
f
(xn′ )
。
（2）记（1）中{ f
(xn )} 的唯一确定的极限为
A ，试证： lim x→ x0
f
(x)
=
A。
3．设函数 f (x) 在点 x0 的邻域 I 内有定义，证明：导数 f ′(x0 ) 存在的充要条件是存在这样
的函数 g(x) ，它在 I 内有定义，在点 x0 连续，且使得在 I 内成立等式：
2．设函数 f (x) 在点 x0 的某空心邻域U 0 内有定义，对于任意以 x0 为极限且含于U 0 的数列
{xn}
，极限
lim
n→∞
f
(xn
)
都存在（有限数）。
（1）试证：相对于一切满足上述条件的数列{xn} 来说，数列{ f (xn )} 的极限是唯一确定的，
即如果{xn} 和{xn′ } 是任意两个以 x0 为极限且含于U 0 的数列，那么总有
∑+∞
5．判断级数
(−1) n
是否绝对收敛，条件收敛，为什么？
n=1 n ⋅ n n
6．设二元函数
f
(x,
y)
=
⎪⎪⎧( x 2 ⎨
+
y 2 ) cos
⎪0,
⎪⎩
1, x2 + y2
x2 + y2 ≠ 0
。
x2 + y2 = 0
（1）求 f x (0,0) ， f y (0,0) 。
（2）证明 f x (x, y) ， f y (x, y) 在 (0,0) 不连续。
（3）证明： f (x, y) 在 (0,0) 可微。
∫ [ 7．设对任意自然数 n ， fn (x) 在 a,+∞) 上连续，且反常积分
+∞ a
fn
( x)dx
关于
n
一致收敛，
又对任意 M > a ，在[a, M ] 上有 fn (x) →→ f (x) （当 n → +∞ ），证明：
∫ （1）反常积分 +∞ f (x)dx 收敛。 a
（3）在 (0,0) 附近，是否存在过在 (0,0) 的唯一连续隐函数？为什么？
（3）若存在隐函数过 (0,0) 点，问其导函数为何？
武汉大学数学分析 1996
1．设 an → a(n → +∞) ，令
a
+ n
=
⎩⎨⎧a0n,,
D
20
其中 D 为三角形区域 O(0,0) ， A(0,1) ， B(1,0) 。
∫ 4．计算下列积分： ( y − x)dz + (z − y)dx + (x − z)dy 。其中 L 平面 x + y + z = 1 与三坐 L
标平面的交线，其方向为从 (1,1,1) 看 L ，曲线是逆时针方向。
其余点连续）。试根据函数可积条件证明函数 f (x) 在[a,b] 可积。
5．给定幂级数 x2 + x3 + " + xn + "
2⋅1 3⋅ 2
n ⋅ (n −1)
（1）确定它的收敛半径和收敛区间；
（2）求它的和函数 S (x) 。
∫ ( ) 6．计算线积分 I = (−2xe−x2 sin y)dx + e−x2 cos y + x4 dy ，其中 C + 是从点 A(1,0) 到点 C+
武汉大学数学分析 1992
1．给定数列{xn} 如下：
x0
>
0，
xn+1
=
1 k
⎡ ⎢(k ⎣
− 1) xn
+
a x k−1
n
⎤ ⎥ ⎦
，n
=
0,1,2,"
（1）证明数列{xn} 收敛。
（2）求出其极限值。
2．设函数 f (x) 定义在区间 I 上，试对“函数 f (x) 在 I 上不一致连续”的含义作一肯定语
f (x) = f (x0 ) + (x − x0 )g(x) ， 又这时还有 f ′(x0 ) = g(x0 ) 。 4．已知有限闭区间上的连续函数在该区间上是可积的。现假设有一函数 f (x) ，在区间[a,b]
上有定义，有界（存在正数 M ， ∀x ∈[a,b] ，有 f (x) < M ）；有唯一间断点 a （ f (x) 在
气的（即不用否定词的）叙述，并且证明：函数 x ln x 在区间 (0,+∞) 上不一致连续。
3．设函数 f (x) 在区间[0, a] 上严格递增且连续， f (0) = 0 ， g(x) 为 f (x) 的反函数，试证
∫ ∫ 明成立等式： a f (x)dx = f (a) [a − g(x)]dx 。
B(−1,0) 的半圆 y = 1− x2 （ −1 ≤ x ≤ 1）。
武汉大学数学分析 1995
1．设{an }上无界，证明存在子序列{ank } ，使得 ank → +∞ （当 k → +∞ ）
∫ 2．证明： lim e1 xn dx = 1 。 n→+∞ 0
[ ] ∫∫ ∫ 3．设 f (x) 在[0,1]上连续，证明： f (1 − y) f (x)dxdy = 1 1 f (x)dx 2 。
∫∫ （2）
e−
y2
dxdy，其中D来自为平面上由直线y
=
x
及曲线
y
=
x
1 3
围成的有界闭区域。
D
武汉大学数学分析 1994
1．设{xn} 正无穷大数列（即对于任意正数 M ，存在自然数 N ，当 n > N 时，成立 xn > M ），
E 为{xn} 的一切项组成的数集。试证必存在自然数 p ，使得 x p = inf E 。