武汉大学近二十年数学分析考研真题

（2）偏导函数 f x′(x, y) ， f y′(x, y) 有界；
（3） f (x, y) 在点 (0,0) 不可微。
（4）一阶偏导函数 f x′(x, y) ， f y′(x, y) 中至少有一个在点 (0,0) 不连续。
6．计算下列积分：
∫ （1） 1 xb − xa dx ，其中 a,b 为常数， 0 < a < b 。 0 ln x
其中
∆u
=
∂2u ∂x 2
+
∂2u ∂y 2
+
∂2u ∂z 2
， ∇u
=
⎜⎜⎝⎛
∂u ∂x
,
∂u ∂y
,
∂u ∂z
⎟⎟⎠⎞
5．设 {fn (x)}在[a,b] 上有定义，满足一致 Lipschitz 条件：
fn (x) − fn (x′) ≤ N ⋅ x − x′ ， ∀n ∈ N ， ∀x, x′∈[a,b]
（1） (2n −1)!! < 1 ； (2n)!! 2n + 1
（2）此级数的收敛域为 (−1,1]；
（3）在 (−1,1]是此级数不一致收敛。
5．设ϕ (x) ， f (x) 是连续函数，且有 R > 0 ，当| x |≥ R 时ϕ (x) = 0 ，证明：
（1）当
n
→
∞
时有 ϕ ( x)
f
⎜⎛ ⎝
→
a+ (n
→
+∞) 。
( ) 2．设 lim ( x, y)→( x0 , y0 )
f
(x,
y)
=
A
，
g ( x,
y) 在 (x0 ,
y0 )
可微，且
g(x0 ,
y0 )
=
0 。证明：
（1） f (x, y) = A + α ，α (x − x0 ) = o (x − x0 )2 + ( y − y0 )2 ，（ (x, y) → (x0 , y0 ) ）；
∫ ∫ （2） lim n→+∞
+∞ a
fn
( x)dx
=
+∞ f (x)dx 。
a
8．设证 F (x, y) = y3 + sin(| x | y) ，问
（1）在 (0,0) 附近是否满足 F (x, y) = 0 的隐函数存在定理条件？
（2）在 (0,0) 附近 F (x, y) 关于 y 是否严格单调？
D
20
其中 D 为三角形区域 O(0,0) ， A(0,1) ， B(1,0) 。
∫ 4．计算下列积分： ( y − x)dz + (z − y)dx + (x − z)dy 。其中 L 平面 x + y + z = 1 与三坐 L
标平面的交线，其方向为从 (1,1,1) 看 L ，曲线是逆时针方向。
∑+∞
5．判断级数
(−1) n
是否绝对收敛，条件收敛，为什么？
n=1 n ⋅ n n
6．设二元函数
f
(x,
y)
=
⎪⎪⎧( x 2 ⎨
+
y 2 ) cos
⎪0,
⎪⎩
1, x2 + y2
x2 + y2 ≠ 0
。
x2 + y2 = 0
（1）求 f x (0,0) ， f y (0,0) 。
（2）证明 f x (x, y) ， f y (x, y) 在 (0,0) 不连续。
∫∫ （2）
e−
y2
dxdy
，其中
D
为平面上由直线
y
=
x
及曲线
y
=
x
1 3
围成的有界闭区域。
D
武汉大学数学分析 1994
1．设{xn} 正无穷大数列（即对于任意正数 M ，存在自然数 N ，当 n > N 时，成立 xn > M ），
E 为{xn} 的一切项组成的数集。试证必存在自然数 p ，使得 x p = inf E 。
气的（即不用否定词的）叙述，并且证明：函数 x ln x 在区间 (0,+∞) 上不一致连续。
3．设函数 f (x) 在区间[0, a] 上严格递增且连续， f (0) = 0 ， g(x) 为 f (x) 的反函数，试证
∫ ∫ 明成立等式： a f (x)dx = f (a) [a − g(x)]dx 。
2．设函数 f (x) 在点 x0 的某空心邻域U 0 内有定义，对于任意以 x0 为极限且含于U 0 的数列
{xn}
，极限
lim
n→∞
f
(xn
)
都存在（有限数）。
（1）试证：相对于一切满足上述条件的数列{xn} 来说，数列{ f (xn )} 的极限是唯一确定的，
即如果{xn} 和{xn′ } 是任意两个以 x0 为极限且含于U 0 的数列，那么总有
B(−1,0) 的半圆 y = 1− x2 （ −1 ≤ x ≤ 1）。
武汉大学数学分析 1995
1．设{an }上无界，证明存在子序列{ank } ，使得 ank → +∞ （当 k → +∞ ）
∫ 2．证明： lim e1 xn dx = 1 。 n→+∞ 0
[ ] ∫∫ ∫ 3．设 f (x) 在[0,1]上连续，证明： f (1 − y) f (x)dxdy = 1 1 f (x)dx 2 。
∫∫ 值函数及 u ∂Ω = 0 ，证明
Ω
u⎜⎜⎝⎛
∂2u ∂x 2
+
∂2u ∂y 2
⎟⎟⎠⎞dxdy
<
0
。
武汉大学数学分析 1999
1．设 u1
=
3 ， u2
=
3+
4 3
， u3
=
3+
4 3+
4 3
，…，如果数列{un } 收敛，计算其极限，并证
明数列{un } 收敛于上述极限。
2．级数1 −
1 2
其中 N > 0 为一常数，且逐点有 fn (x) → f (x) （当 n → +∞ ）。证明： （1） f (x) 在[a,b] 上连续。
（2） fn (x)→ f (x) 。
6．设
f
(x,
y)
=
⎪⎪⎧ g ( x, ⎨
y ) sin
⎪0,
⎪⎩
1, x2 + y2
(x, y) ≠ (0,0)
，证明
（3）证明： f (x, y) 在 (0,0) 可微。
∫ [ 7．设对任意自然数 n ， fn (x) 在 a,+∞) 上连续，且反常积分
+∞ a
fn
( x)dx
关于
n
一致收敛，
又对任意 M > a ，在[a, M ] 上有 fn (x) →→ f (x) （当 n → +∞ ），证明：
∫ （1）反常积分 +∞ f (x)dx 收敛。 a
f (x′) − f (x′′) ≤ m x′ − x′′ ，证明 f (xα ) （ 0 < α < 1为常数）在 [0,+∞)上一致连续。
∫ 3．证明： lim 1 xn dx = 0 。
n→∞ 0 1+ x
4．设
fn
(x)
=
1+
x n3x3
，
x ∈[0,+∞) ，证明：
（1） fn →0 ， x ∈[0,+∞) ；
其余点连续）。试根据函数可积条件证明函数 f (x) 在[a,b] 可积。
5．给定幂级数 x2 + x3 + " + xn + "
2⋅1 3⋅ 2
n ⋅ (n −1)
（1）确定它的收敛半径和收敛区间；
（2）求它的和函数 S (x) 。
∫ ( ) 6．计算线积分 I = (−2xe−x2 sin y)dx + e−x2 cos y + x4 dy ，其中 C + 是从点 A(1,0) 到点 C+
S
a2 b2 c2
外侧，（ a > 0,b > 0, c > 0 ）
武汉大学数学分析 1997
1．设 an > 0 且 an 不趋于 + ∞ ，证明数列{an} 中存在子序列{ank } 是收敛的子序列。
{ } 2．设 f (x) 为连续函数，且 x f (x) ≠ 0 ⊂ [a,b] ，| a |,| b |< +∞ ，证明：
（3）在 (0,0) 附近，是否存在过在 (0,0) 的唯一连续隐函数？为什么？
（3）若存在隐函数过 (0,0) 点，问其导函数为何？
武汉大学数学分析 1996
1．设 an → a(n → +∞) ，令
a
+ n
=
⎩⎨⎧a0n,,
an an
> ≤
0 ，a
0
=
⎧a, ⎩⎨0,
a>0 a≤0
证明：
a
+ n
∫+∞⎡
lim
n→+∞
−∞⎢⎣
f
⎜⎛ ⎝
y
+
1 n
⎟⎞ − ⎠
f
⎤ ( y)⎥⎦dy
=
0。
3．设 f (x, y) 为连续函数，且当 (x, y) ≠ (0,0) 时，f (x, y) > 0 ，及满足 f (cx,cy) = cf (x, y) ，
∀c > 0 。证明存在α , β > 0 ，使得α x2 + y 2 ≤ f (x, y) ≤ β x2 + y 2 。