等比数列的前n项和性质.ppt
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等比数列的前n项和PPT课件
等比数列的前n项和ppt课件
xx年xx月xx日
contents
目录
• 引言 • 等比数列的前n项和公式推导 • 等比数列的前n项和的应用 • 特殊等比数列的前n项和 • 等比数列的前n项和求解方法 • 习题解答与练习
01
引言
课程背景
教学内容的重要性
等比数列是数学中的一个重要概念，其前n项和在数学、物理 、工程等领域有着广泛的应用。
特殊情况
当公比q不等于1时，等比数列的前n项和公式为 Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
05
等比数列的前n项和求解方法
利用公式求解等比数列的前n项和
公式法
利用等比数列的前n项和公式求解，当已知等比数列的首项a1和公比q时，可以直 接套用公式求出前n项和。
记忆口诀
为了方便记忆，可以总结一个简单的记忆口诀：“首项乘1减公比除以1减公比的 n次方”，这个口诀可以快速帮助我们记忆公式。
02
等比数列的前n项和公式推导
公比为r的等比数列求和公式推导
公式推导
$S_n = \frac{a_1}{1-r} * (1 - r^n)$
VS
推导步骤
将等比数列的每一项分别代入求和公式中 ，得到$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$，再将$a_1 = ar, a_2 = ar^2, \cdots, a_n = ar^n$代入$S_n$中，经过 化简得到最终的求和公式。
04
特殊等比数列的前n项和
等差数列的前n项和公式
公式总结
等差数列的前n项和公式为Sn=n/2(a1+an)，其中n为项数， a1为首项，an为末项。
公式证明
通过采用倒序相加法，将前n项和与后n项和相加，得到 2Sn=n(a1+an)，从而得到前n项和公式。
xx年xx月xx日
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目录
• 引言 • 等比数列的前n项和公式推导 • 等比数列的前n项和的应用 • 特殊等比数列的前n项和 • 等比数列的前n项和求解方法 • 习题解答与练习
01
引言
课程背景
教学内容的重要性
等比数列是数学中的一个重要概念，其前n项和在数学、物理 、工程等领域有着广泛的应用。
特殊情况
当公比q不等于1时，等比数列的前n项和公式为 Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
05
等比数列的前n项和求解方法
利用公式求解等比数列的前n项和
公式法
利用等比数列的前n项和公式求解，当已知等比数列的首项a1和公比q时，可以直 接套用公式求出前n项和。
记忆口诀
为了方便记忆，可以总结一个简单的记忆口诀：“首项乘1减公比除以1减公比的 n次方”，这个口诀可以快速帮助我们记忆公式。
02
等比数列的前n项和公式推导
公比为r的等比数列求和公式推导
公式推导
$S_n = \frac{a_1}{1-r} * (1 - r^n)$
VS
推导步骤
将等比数列的每一项分别代入求和公式中 ，得到$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$，再将$a_1 = ar, a_2 = ar^2, \cdots, a_n = ar^n$代入$S_n$中，经过 化简得到最终的求和公式。
04
特殊等比数列的前n项和
等差数列的前n项和公式
公式总结
等差数列的前n项和公式为Sn=n/2(a1+an)，其中n为项数， a1为首项，an为末项。
公式证明
通过采用倒序相加法，将前n项和与后n项和相加，得到 2Sn=n(a1+an)，从而得到前n项和公式。
高中数学同步课件 等比数列前n项和的性质及应用
四
随堂演练
1.已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2n＋r，则r的值是
A.1
B.0
C.2
√D.－1
当q≠1时， Sn＝a111－－qqn＝1－a1 q－1－a1 qqn， ∴r＝－1.
1234
2.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5等于
√A.3∶4
B.2∶3
而S2n－Sn2＝a1q1n－1－q qn2， Sn(S3n－S2n)＝a111－－qqn×a1q21n－1－q qn，
故有(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)， 所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列.
问题3 你能否用等比数列{an}中的Sm，Sn来表示Sm＋n?
提示 思路一：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋n＝Sm ＋a1qm＋a2qm＋…＋anqm＝Sm＋qmSn. 思路二：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋an＋m＝Sn＋a1qn＋ a2qn＋…＋amqn ＝Sn＋qnSm.
内容索引
一、等比数列前n项和公式的函数特征 二、等比数列前n项和的“片段和”性质 三、等比数列前n项和的“奇偶项”性质 随堂演练 课时对点练
一 等比数列前n项和 公式的函数特征
问题1 你能发现等比数列前n项和公式Sn＝a111－－qqn (q≠1)的函数 特征吗？
提示 Sn＝a11－－aq1qn＝－1－a1qqn＋1－a1 q，设 A＝－1－a1 q，则 Sn＝Aqn－A.
第2课时
等比数列前n项和的性质及应用
第1章
<<<
学习目标
1.了解等比数列前n项和公式的函数特征. 2.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题.
等比数列的前项和公式 PPT
解:(1)因为
a1
=
1 2
,
q
=
1 2
所以当n=8时有等比数列的前n项
1
1
1
8
和知：S n
2 2 1 1
255 256
2
例1、求下列等比数列前8项得与
(1) 1 , 1 , 1 , 2 48
(2)a1
27, a9
1 ,q 243
0
(2)由a1
27, a9
1 243
,可得 :
1 27 q8 243
又由q 0,可得：
q 1 3
271
1
8Leabharlann 于是当n 8时Sn
3 1640
1 ( 1)
81
3
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
例2、在等比数列a n 中，求满足下列条件的量 :
(1)a1 a3 2, 求sn
(2)q
2, n
5, a1
1 2
.求an和sn
(3)a1 1,a n 512,s n 314.求q和n
由等比数列前n项和公式得：
255 1 2n 1-2
n8
说明: 解： ( 3(当代 当12)as因 解 )将 qq55入 q 32为 得 a4a1q1a1a时 a12n： 1１1２n11q， 时.即 1.n1221并作 在 在 41a,数 ，,a1naq且五为 利 a2q311(1列Snq212要n个0第 用n55n为 51根变一 公 q1,,212a常 12s,据量a要 式 514n所 )1q11数 (21具1a素 ， 21以 .q解 q列 ,,体812来 一 aqnS)2,12题 得 nn1考 定， 51,52意a， ： 1虑 要 22n[q12， 11，q, 。 注 qS3n((n选4中， 意1111得 ))3择n2代 ，所 q1] 2的 (： 适只入 以1取 当2知SS)的 值nnn三(1公，可1n)式应ana求111。把二aqn它q2，n可得
等比数列的前n项和PPT课件
讲授新课
1 2 22 23 24 263
这一格放 的麦粒可 以堆成一 座山!!!
263
湖南省长沙市一中卫星远程学校
讲授新课
分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
共有64格每格所放的麦粒数依次为：
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讲授新课
分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
共有64格每格所放的麦粒数依次为：
1, 2, 22 , 23 , , 263.
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讲授新课
分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
共有64格每格所放的麦粒数依次为：
1, 2, 22 , 23 , , 263.
它是以1为首项，公比是2的等比数列，
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分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
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等比数列的前n项和公式的推导1
一般地，设等比数列a1, 它的前n项和是
a2,
a3,
…,
an这…种求和
的方法,就
是错位相
减法!
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等比数列的前n项和公式的推导1
一般地，设等比数列a1, a2, a3, …, an… 它的前n项和是
∴当q≠1时，
①
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请同学们考虑如何求出这个和？
S64 1 2 22 23 263 ① 2S64 2(1 2 22 23 263 )
即 2S64 2 22 23 263 264 ②
由②－①可得：
2S64 S64 (2 22 23 263 264) (1 2 22 23 263 )
等比数列前n项和公式课件PPT
等比数列的特殊前n项和
对于等比数列，当公比q=1时，前n项和公式为Sn=na1；当q=-1时，Sn=a1a1*q^n/1+q。
等比数列前n项和公式的变种
倒序相加法
错位相减法
将等比数列的前n项和公式倒序相加， 可以得到新的求和公式。
通过错位相减法，可以求出等比数列 的通项公式。
分组求和法
将等比数列分组求和，可以简化计算 过程。
公式与其他数学知识的结合
总结词：综合运用
详细描述：等比数列前n项和公式可以与其他数学知识结合使用，以解决更复杂的数学问题。例如，可以与等差数列、函数、 极限等知识结合，用于解决一些综合性数学问题。
03
等比数列前n项和公式的扩展
特殊等比数列的前n项和
等差数列的前n项和
等差数列是一种特殊的等比数列，其前n项和公式为Sn=n/2 * (a1+an)，其中 a1为首项，an为第n项。
等比数列前n项和公式的证明方法
数学归纳法
通过数学归纳法证明等比数列的前n 项和公式。
累乘法
通过累乘法证明等比数列的前n项和公 式。
04
等比数列前n项和公式的练习 与巩固
基础练习题
详细描述：通过简单的等比数列求和问题，让 学生熟悉并掌握等比数列前n项和的公式。
解题思路：利用等比数列前n项和公式，将数列中的 每一项表示为2的幂，然后求和。
05
等比数列前n项和公式的总结 与回顾
本节课的重点回顾
等比数列前n项和公 式的推导过程
等比数列前n项和公 式的适用范围和限制 条件
如何应用等比数列前 n项和公式解决实际 问题
本节课的难点解析
如何理解和掌握等比数列前n项和公 式的推导过程
对于等比数列，当公比q=1时，前n项和公式为Sn=na1；当q=-1时，Sn=a1a1*q^n/1+q。
等比数列前n项和公式的变种
倒序相加法
错位相减法
将等比数列的前n项和公式倒序相加， 可以得到新的求和公式。
通过错位相减法，可以求出等比数列 的通项公式。
分组求和法
将等比数列分组求和，可以简化计算 过程。
公式与其他数学知识的结合
总结词：综合运用
详细描述：等比数列前n项和公式可以与其他数学知识结合使用，以解决更复杂的数学问题。例如，可以与等差数列、函数、 极限等知识结合，用于解决一些综合性数学问题。
03
等比数列前n项和公式的扩展
特殊等比数列的前n项和
等差数列的前n项和
等差数列是一种特殊的等比数列，其前n项和公式为Sn=n/2 * (a1+an)，其中 a1为首项，an为第n项。
等比数列前n项和公式的证明方法
数学归纳法
通过数学归纳法证明等比数列的前n 项和公式。
累乘法
通过累乘法证明等比数列的前n项和公 式。
04
等比数列前n项和公式的练习 与巩固
基础练习题
详细描述：通过简单的等比数列求和问题，让 学生熟悉并掌握等比数列前n项和的公式。
解题思路：利用等比数列前n项和公式，将数列中的 每一项表示为2的幂，然后求和。
05
等比数列前n项和公式的总结 与回顾
本节课的重点回顾
等比数列前n项和公 式的推导过程
等比数列前n项和公 式的适用范围和限制 条件
如何应用等比数列前 n项和公式解决实际 问题
本节课的难点解析
如何理解和掌握等比数列前n项和公 式的推导过程
2.5等比数列前n项和公式的推导及性质.ppt
• 1．数列{2n－1}的前99项和为( )
• A．2100－1 2100
B．1－
• C．299－1
D．1－299
解析：a1＝1，q＝2，∴S99＝1×11－－2299＝299－1.
答案：C
• 2．在等比数列{an}中，已知a1＝3，an＝96 ，Sn＝189，则n的值为( )
• A．4
B．5
• C．6
知三求二
已知 a1 、an、 q时
Sn
a1
(1 q 1 q
n
)
(q
1)
na1
(q 1)
Sn
a1 anq
1 q
(q
1)
na1
(q 1)
等比数列前n项和公式 你了解多少？
(1) 等比数列前n项和公式： 利用“错位相减法”推
{ { Sn=
na1
a1(1 qn )
(q=1)
(q=1)
导
Sn=
na1
(2)a1
27, a9
1 ,q 243
0
解：(1)因为
a1
1 ,q 2
1 2
所以当n 8时
1
1
1
8
Sn
2 2 1 1
255 256
(2)
由a1
27, a9
12 243
,可得
:
1 243
27 q8
又由q 0,可得：
1
q
3
27
1
1
8
于是当n 8时
Sn
3 1640
a1 anq
1-q
1-q
(q=1)
(q=1)
(2) 等比数列前n项和公式的应用：
高中数学等比数列的前n项和性质及应用课件
思路探究：(1 )由 S 2，S 4－S 2，S 6－S 4 成等比数列求解．
S偶
(2 )利用
S奇
＝q ，及 S 2n＝S
奇＋S
偶求解．
合作探究
思
而
学
(1 )A (2)24 [(1)∵{a n}为等比数列， ∴S 2，S 4－S 2，S 6－S 4 也为等比数列， 即 7 ，S 4－7 ,9 1 －S 4 成等比数列， ∴(S 4－7 )2＝7 (9 1 －S 4)，解得 S 4＝2 8 或 S 4＝－2 1 . ∵S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1＋a 2＋a 1q 2＋a 2q 2 ＝(a 1＋a 2)(1 ＋q 2)＝S 2(1 ＋q 2)> S 2，∴S 4＝2 8 .
2
2
128
S偶
1
[解]
设等比数列为{a n }，项数为
2n ，一个项数为
2n
的等比数列中， ＝q .则 S奇
q＝ ， 2
3
3
又
an
和
a n ＋1
为中间两项，则
a
n
＋a
n
＋1
＝ 1
2
8
，即
a1q
n －1＋a 1q
n＝ ， 128
1
1
又
a
1
＝ 2
，q
＝ 2
，
1 ∴
2
·21
n
－1
1 ＋
2
·21
n
＝ 1
高中数学
数列
等比数列
等比数列的前n项 和性质及应用
学习目标
学
而
思
1．等比数列前 n 项和的变式
a 1 1 －q n
高中数学人教A版 选择性必修第二册 等比数列的前n项和公式 课件
由题意，得 an＋1＝45an.
因此，数列{an}是首项 a1＝25，公比 q＝45的等比数列．
热气球在前 n 分钟内上升的总高度为 Sn＝a1＋a2＋…＋an＝
4
a111－－qqn＝25×1－1－4
5
n
＝125×
1－
4 5
n
<125.
5
故这个热气球上升的高度不可能超过 125 m.
例题解析
1
1
例 8．已知在等比数列{an}中，a2＝9，a3a4＝2 187.
例题解析
解析：当 n≥2 时， an＝Sn－Sn－1＝(a－1)an－1； 当 n＝1 时，a1＝a－1，满足上式． ∴an＝(a－1)an－1，n∈N* ∴an＋1＝a，
an ∴数列{an}是等比数列． 答案：B
例题解析
S6
S9
例 6.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若S3＝4，则S6＝( A )
因为等比数列{an}共有 2n＋1 项，所以等比数列中偶数项有 n 项，奇数项有 n＋1 项．由题意得 q≠±1，所
a1q（1－q2n）
q2－q2n＋2
a1（1－q2n＋2）
1－q2n＋2
以偶数项和为 1－q2
＝84，∴ 1－q2 ＝42q，奇数项和为
1－q2
＝170，∴ 1－q2 ＝85，
2×2（1－4n）
例题解析
(2)由于 an＝13n，所以 bn＝nan＝n·13n，所以 Tn＝1×13＋2×132＋…＋n·13n，① 13Tn＝1×132＋2×133＋…＋(n－1)·13nn·13n＋1，② ①－②得，23Tn＝13＋132＋…＋13n－1＋13n－n·13n＋1＝1311－－1331n－n·13n＋1，解得 Tn＝34－34＋n2·13 n.
高中数学《等比数列前n项和公式》课件
反思与感悟 解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列 的项数，所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计 算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为S＝P(1＋r)n， 其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和.
跟踪训练3 一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一 分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%，这个热 气球上升的高度能超过125 m吗？
跟踪训练2 在等比数列{an}中，S2＝30，S3＝155，求Sn.
方法二 若q＝1，则S3∶S2＝3∶2，
而事实上，S3∶S2＝31∶6，故q≠1.
a111－－qq2＝30，
①
所以a111－－qq3＝155，
②
两式作比，得1＋1＋q＋q q2＝361，
解得aq1＝＝55，
a1＝180， 或q＝－65，
达标检测
1.等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn等于
1－xn A. 1－x
1－xn－1 B. 1－x
1－xn
√
C.
1－x
，x≠1，
n，x＝1
解析 当x＝1时，Sn＝n； 1－xn
当 x≠1 时，Sn＝ 1－x .
D.1－1－xnx－1，x≠1， n，x＝1
1234
2.设等比数列{an}的公比 q＝2，前 n 项和为 Sn，则Sa42等于
A.2 解析
B.4
√C.125
17 D. 2
方法一 由等比数列的定义，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝aq2＋a2＋a2q＋
a2q2，得Sa42＝1q＋1＋q＋q2＝125. 方法二 ∵S4＝a111－－qq4，a2＝a1q，∴Sa42＝11－－qq4q＝125.
【课件】第2课时+等比数列前n项和公式的应用+课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
例 1 (1)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，S2＝7，S6＝91，则 S4 为( ) A．28 B．32 C．21 D．28 或－21 (2)等比数列{an}中，公比 q＝3，S80＝32，则 a2＋a4＋a6＋…＋a80＝________.
解 (1)∵{an}为等比数列， ∴S2，S4－S2，S6－S4 也为等比数列， 即 7，S4－7，91－S4 成等比数列， ∴(S4－7)2＝7(91－S4)， 解得 S4＝28 或 S4＝－21. ∵S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2 ＝(a1＋a2)(1＋q2)＝S2(1＋q2)>S2，∴S4＝28.
qSn＝1·q2＋2·q3＋3·q4＋…＋n·qn＋1，②
①－②，得(1－q)Sn＝q＋q2＋q3＋…＋qn－n·qn＋1＝q11－－qqn－n·qn＋1，
q1－qn n·qn＋1 q＋nqn＋2－nqn＋1－qn＋1
所以 Sn＝ 1－q2 － 1－q ＝
1－q2
，故选 BD.
跟踪练习
4．张先生 2019 年年底购买了一辆 1.6 L 排量的小轿车，为积极响应政府发展森林碳汇(指
则 a5＝( )
A．4 B．10
√C．16
D．32
解析 由 S6－S4＝a6＋a5＝6a4 得， (q2＋q－6)a4＝0，q2＋q－6＝0， 解得 q＝2 或 q＝－3(舍去)， 从而 a5＝a2·23＝2×8＝16，故选 C.
跟踪练习 2．设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S10∶S5＝1∶2， 则 S15∶S5＝( )
√A．3∶4 B．2∶3 C．1∶2 D．1∶3
解析 在等比数列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10，…成等比数列， 因为 S10∶S5＝1∶2，所以 S5＝2S10，S15＝34S5，得 S15∶S5＝3∶4， 故选 A.
等比数列的前n项和-优秀PPT课件
1
Sn
a1 anq 1 q
,q
1
na1, q 1
na1, q 1
练习1.判断是非
（ 2）n
①1 2 4 8 16 (2)n1 1 (1 2n) 1 (2)
n+1
② 1 2 22 23 2n 1 (1 2nn ) 12
③
c2
c4
c6
c2n
c2[1 (c2 )n ] 1 c2
, 14
,
1 8
,116
,
求前2n项中所有偶数项的和.
练习4
思考
资料表明，2000年我国工业废弃垃圾达 7.4×108t，每吨占地1m2，环保部门每回收或 处理1t废旧物资，相当于消灭4t工业废弃垃 圾．如果环保部门2002年共回收处理了100t 废旧物资，且以后每年的回收量递增20%． (1)2010年能回收多少吨废旧物资？ (2)从2002年到2010年底，可节约土地多少m2?
小结：
乘公比 错位相减
等比数列的 前n项和公式
q≠1,q=1 分类讨论
数学
源于生活
Sn
a1
(1 q 1q
n
)
q1
na1
q 1
知三求二
a1 anq
Sn
1q
na1
数学 用于生活
q1
q1
分组求和
方
转
程
化
思
思
想
想
课后作业：
必做：P61 A组 1、4、6题 选做：
思考题(1): 求和 x + 2 x2 + 3 x3 + + nxn .
等比数列的前n项和
选自人教A版必修5第二章第五节
等比数列的前n项和性质PPT——公开课(幻灯片12张ppt)
(S20 S10 )2 S10 (S30 S20 )
S20 （3 舍）或 S20 4
练习：
2、等比数列 an的前n项和为 Sn
，若
S10 S5
3,
则 S15
S10
.
答案：7/3
思考：已知一等比数列{an},其项数为偶 数，其所有奇数项的和为S奇=100 ，公 比q=2，求其所有偶数项的和S偶。
为39，则该数列的前10项之和 为（ ）
答案：C
A. 3 2 C. 12
B. 3 13
D. 15
练习：
1、等比数列an中，
答案：4
S30 13S10 , S10 S30 14, 则 S20
.
解析：S30 13S10, S10 S30 14
S10 1, S30 13
S10 , S20 S10 , S30 S20 成等比数列
其中A 0, q 0且q 1,n N*
二、例题解析（一）
例1、若等比数列an中，Sn m3n 1, 则
实数m= -1 .
练习：1、已知等比数列an的前n项和为
Sn
x 3n1
1, 6
则x的值为
1
2.
2、已知等比数列an的前n项和为
Sn
3n2
2a,
则a的值为
1 18
.
3、已知等比数列 an的前n项和为
等比数列的前n项和的性质
授课班级 14-15班
一、复习回顾，引出课题
1、等比数列的前n项和公式：
na1, q 1
Sn
a1
(1 q 1 q
n
)
,
q
1
=
n
a1,
q
1
S20 （3 舍）或 S20 4
练习：
2、等比数列 an的前n项和为 Sn
，若
S10 S5
3,
则 S15
S10
.
答案：7/3
思考：已知一等比数列{an},其项数为偶 数，其所有奇数项的和为S奇=100 ，公 比q=2，求其所有偶数项的和S偶。
为39，则该数列的前10项之和 为（ ）
答案：C
A. 3 2 C. 12
B. 3 13
D. 15
练习：
1、等比数列an中，
答案：4
S30 13S10 , S10 S30 14, 则 S20
.
解析：S30 13S10, S10 S30 14
S10 1, S30 13
S10 , S20 S10 , S30 S20 成等比数列
其中A 0, q 0且q 1,n N*
二、例题解析（一）
例1、若等比数列an中，Sn m3n 1, 则
实数m= -1 .
练习：1、已知等比数列an的前n项和为
Sn
x 3n1
1, 6
则x的值为
1
2.
2、已知等比数列an的前n项和为
Sn
3n2
2a,
则a的值为
1 18
.
3、已知等比数列 an的前n项和为
等比数列的前n项和的性质
授课班级 14-15班
一、复习回顾，引出课题
1、等比数列的前n项和公式：
na1, q 1
Sn
a1
(1 q 1 q
n
)
,
q
1
=
n
a1,
q
1
等比数列的前n项和公式(第二课时)课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册)
[解析] 由 ，得 ，当 时， ,令 ,得 ,所以 ， ， ， ， ,所以 是等比数列.
(1)若等比数列{an}的项数有2n项，则
(2)若等比数列{an}的项数有2n＋1项，则
S奇＝a1＋a3＋… ＋ a2n-1 ＋a2n+1
＝a1＋(a3＋… a2n-1 ＋a2n+1)
＝a1＋q(a2＋a4＋…＋a2n)
课本P40
新知探究一：等比数列的前n项和公式的实际应用
例11 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理，预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨. 为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量 (精确到0.1万吨).
新知探究一：等比数列的前n项和公式的实际应用
12
课本P40
新知探究二：等比数列的前n项和公式的性质
➱பைடு நூலகம்
➱
当q≠1时，
即Sn是n的指数型函数.
当q＝1时，Sn＝na1，即Sn是n的正比例函数.
结构特点：qn的系数与常数项互为相反数.
【例】 数列{an}的前n项和Sn＝3n－2.求{an}的通项公式, 并判断{an}是否是等比数列.
2、等比数列前n项和公式的推导：错位相减法；
20
新知探究一：等比数列的前n项和公式的实际应用
= 20 ( 1.05+1.052+…+1.05n ) -( 7.5+9+…+6+1.5n )
常用数列求和方法之分组求和法(1)求形如cn＝an±bn的前n项和公式，其中{an}与{bn}是等差数列或等比数列；(2) 将等差数列和等比数列分开： Tn＝ c1 + c2 +… + cn ＝ (a1 + a2 +… + an )± (b1 + b2 +… + bn )(3) 利用等差数列和等比数列前n项和公式来计算Tn.
(1)若等比数列{an}的项数有2n项，则
(2)若等比数列{an}的项数有2n＋1项，则
S奇＝a1＋a3＋… ＋ a2n-1 ＋a2n+1
＝a1＋(a3＋… a2n-1 ＋a2n+1)
＝a1＋q(a2＋a4＋…＋a2n)
课本P40
新知探究一：等比数列的前n项和公式的实际应用
例11 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理，预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨. 为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量 (精确到0.1万吨).
新知探究一：等比数列的前n项和公式的实际应用
12
课本P40
新知探究二：等比数列的前n项和公式的性质
➱பைடு நூலகம்
➱
当q≠1时，
即Sn是n的指数型函数.
当q＝1时，Sn＝na1，即Sn是n的正比例函数.
结构特点：qn的系数与常数项互为相反数.
【例】 数列{an}的前n项和Sn＝3n－2.求{an}的通项公式, 并判断{an}是否是等比数列.
2、等比数列前n项和公式的推导：错位相减法；
20
新知探究一：等比数列的前n项和公式的实际应用
= 20 ( 1.05+1.052+…+1.05n ) -( 7.5+9+…+6+1.5n )
常用数列求和方法之分组求和法(1)求形如cn＝an±bn的前n项和公式，其中{an}与{bn}是等差数列或等比数列；(2) 将等差数列和等比数列分开： Tn＝ c1 + c2 +… + cn ＝ (a1 + a2 +… + an )± (b1 + b2 +… + bn )(3) 利用等差数列和等比数列前n项和公式来计算Tn.
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数列
等比数列的前n项和的性质
合作探究 形成规律
Sn
a1 a1q n 1-q
Sn
a1 q n a1 1-q 1-q
令A a1 1-q
0
则： S n
Aq n
-
A
这个形式和等比 数列等价吗？
等比数列前n项和的性质一：
数列{an }是等比数列
Sn Aq n - A( A 0)
1、若等比数列 {an }的前n项和Sn 4n a，求a的值。
提示： Sn Aq n - A( A 0)
系数和常数互为相反数
a 1
1、若等比数列 {an }的前n项和Sn 3n1 2a，求a的值。
化简到：S n
1 3n 3
2a
1 2a 0 3
a 1 6
例题解析
例1、若等比数列 an 中，Sn m 3n 1, 则 实数m= -1
练习：1、已知等比数列an 的前n项和为
255 1 2n 1-2
n8
2:已知等比数列an,a1+a2 +a3+a4 =4,
a9 +a10 +a11+a12 =16,求a17 +a18 +a19 +a20的值.
解 : 设等比数列an为q,
Q a9 +a10 +a11+a12 a1+a2 +a3+a4 q8,
q8 4.
a17 +a18 +a19 +a20 (a9 +a10 +a11+a12 ) q8 64.
如果an为等比数列，nSk ,S2k Sk ,S3k S2k也成等比数列.
新等比数列首项为Sk，公比为qk .
2、等比数列{an }的前n项和为Sn，若Sm 10，S2m 30， 求S3m的值。
解： Sm，S2m - Sm，S3m - S2m成等比数列 (S2m - Sm )2 Sm (S3m - S2m )
如果an 为公比为 q的等比数列 ，对m、p N 有：
Smn Sm qmSn
4、若等比数列{an }的公比为13，且a1 a3 a99 60,
则{an }的前100项和为 80 。
解： 令X a1 a3 a99 60
Y a2 a4 a100
则S100 X Y
两式联立解得：
a1 an
264或aa1n
64 2
显然，q 1。
等差数列前n项和的性质：
① 数列{an }是等比数列
Sn Aq n - A( A 0)
② an 为等比数列 Sk , S2k Sk , S3k S2k 也成等比数列。
且新等比数列首项为 Sk，公比为q k。
③ 若等比数列an 共有2n项，则：
即：(31k - 32k)2
32k (S15
- 31k)
解得：S15
993 k 32
S15 993
S10 992
等比数列前n项和的性质三：
若等比数列 an 共有2n项，则：
推导过程:
Q
S偶
a2
1 q2n 1 q2
, S奇
a1
1 q2n 1 q2
,
S偶 a2 q. S奇 a1
等比数列前ห้องสมุดไป่ตู้项和的性质四：
由等比数列前n项和性质知：Y q 1
X
3
Y 20
即：S100 X Y 80
5、已知一个等比数列其首项是1，项数是偶数，所有奇 数项和是85，所有偶数项和是170，求此数列的项数？
提示： q S偶 170 2 S奇 85
Sn S偶 S奇 170 85 255
由等比数列前 n项和公式得：
S偶 q S奇 ④ 如果an 为公比为 q的等比数列 ，对m、p N 有： Smn Sm qmSn
S2、n 已x知 3等n比1 数16列,
则x的值为
an 的前n项和为
Sn
3n2 2a,
则a的值为
3、已知等比数列an的前n项和为 Sn 4 3n2 5a,
则a的值为
我们知道，等差数列有这样的性质：
如果an 为等差数列 ，则Sk , S2k Sk , S3k S2k 也成等差数列。
等比数列前n项和的性质二：
即：(30 -10)2 10 (S3m - 30) 解得： S3m 70
2、等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10 20，
S 20 80，则S30
260 。
3、任意等比数列，它的前 n 项和、前 2n 项和与前 3n 项
和分别为 X、Y、Z，则下列等式中恒成立的是（ D ）
A．X＋Z＝2Y C．Y 2＝XZ
练习
1.已知等比数列的公比为q
1 2
,
且a1
+a3
+a5
+
L
+a99
60
则S100 _____9_0__ .
5、在等比数列{an }中，a1 an 66，a2 an1 128， 前n项和Sn 126，求n及公比q。
解： a1an a2 an1 128
又有a1 an 66
B．Y(Y－X)＝Z(Z－X) D．Y(Y－X)＝X(Z－X)
例：等比数列{an}的前n项和为Sn，a1
1,若 S10 S5
31， 32
求 S15 的值。
S10
解：
S10 31 S5 32
设S10 31k, S5 32k(k 0)
S5，S10 - S5，S15 - S10成等比数列
(S10 - S5 )2 S5 (S15 - S10 )
等比数列的前n项和的性质
合作探究 形成规律
Sn
a1 a1q n 1-q
Sn
a1 q n a1 1-q 1-q
令A a1 1-q
0
则： S n
Aq n
-
A
这个形式和等比 数列等价吗？
等比数列前n项和的性质一：
数列{an }是等比数列
Sn Aq n - A( A 0)
1、若等比数列 {an }的前n项和Sn 4n a，求a的值。
提示： Sn Aq n - A( A 0)
系数和常数互为相反数
a 1
1、若等比数列 {an }的前n项和Sn 3n1 2a，求a的值。
化简到：S n
1 3n 3
2a
1 2a 0 3
a 1 6
例题解析
例1、若等比数列 an 中，Sn m 3n 1, 则 实数m= -1
练习：1、已知等比数列an 的前n项和为
255 1 2n 1-2
n8
2:已知等比数列an,a1+a2 +a3+a4 =4,
a9 +a10 +a11+a12 =16,求a17 +a18 +a19 +a20的值.
解 : 设等比数列an为q,
Q a9 +a10 +a11+a12 a1+a2 +a3+a4 q8,
q8 4.
a17 +a18 +a19 +a20 (a9 +a10 +a11+a12 ) q8 64.
如果an为等比数列，nSk ,S2k Sk ,S3k S2k也成等比数列.
新等比数列首项为Sk，公比为qk .
2、等比数列{an }的前n项和为Sn，若Sm 10，S2m 30， 求S3m的值。
解： Sm，S2m - Sm，S3m - S2m成等比数列 (S2m - Sm )2 Sm (S3m - S2m )
如果an 为公比为 q的等比数列 ，对m、p N 有：
Smn Sm qmSn
4、若等比数列{an }的公比为13，且a1 a3 a99 60,
则{an }的前100项和为 80 。
解： 令X a1 a3 a99 60
Y a2 a4 a100
则S100 X Y
两式联立解得：
a1 an
264或aa1n
64 2
显然，q 1。
等差数列前n项和的性质：
① 数列{an }是等比数列
Sn Aq n - A( A 0)
② an 为等比数列 Sk , S2k Sk , S3k S2k 也成等比数列。
且新等比数列首项为 Sk，公比为q k。
③ 若等比数列an 共有2n项，则：
即：(31k - 32k)2
32k (S15
- 31k)
解得：S15
993 k 32
S15 993
S10 992
等比数列前n项和的性质三：
若等比数列 an 共有2n项，则：
推导过程:
Q
S偶
a2
1 q2n 1 q2
, S奇
a1
1 q2n 1 q2
,
S偶 a2 q. S奇 a1
等比数列前ห้องสมุดไป่ตู้项和的性质四：
由等比数列前n项和性质知：Y q 1
X
3
Y 20
即：S100 X Y 80
5、已知一个等比数列其首项是1，项数是偶数，所有奇 数项和是85，所有偶数项和是170，求此数列的项数？
提示： q S偶 170 2 S奇 85
Sn S偶 S奇 170 85 255
由等比数列前 n项和公式得：
S偶 q S奇 ④ 如果an 为公比为 q的等比数列 ，对m、p N 有： Smn Sm qmSn
S2、n 已x知 3等n比1 数16列,
则x的值为
an 的前n项和为
Sn
3n2 2a,
则a的值为
3、已知等比数列an的前n项和为 Sn 4 3n2 5a,
则a的值为
我们知道，等差数列有这样的性质：
如果an 为等差数列 ，则Sk , S2k Sk , S3k S2k 也成等差数列。
等比数列前n项和的性质二：
即：(30 -10)2 10 (S3m - 30) 解得： S3m 70
2、等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10 20，
S 20 80，则S30
260 。
3、任意等比数列，它的前 n 项和、前 2n 项和与前 3n 项
和分别为 X、Y、Z，则下列等式中恒成立的是（ D ）
A．X＋Z＝2Y C．Y 2＝XZ
练习
1.已知等比数列的公比为q
1 2
,
且a1
+a3
+a5
+
L
+a99
60
则S100 _____9_0__ .
5、在等比数列{an }中，a1 an 66，a2 an1 128， 前n项和Sn 126，求n及公比q。
解： a1an a2 an1 128
又有a1 an 66
B．Y(Y－X)＝Z(Z－X) D．Y(Y－X)＝X(Z－X)
例：等比数列{an}的前n项和为Sn，a1
1,若 S10 S5
31， 32
求 S15 的值。
S10
解：
S10 31 S5 32
设S10 31k, S5 32k(k 0)
S5，S10 - S5，S15 - S10成等比数列
(S10 - S5 )2 S5 (S15 - S10 )