浙江省衢州、湖州、丽水2021届高三11月教学质量检测数学含答案
高三数学11月教学质量测评试题 理含解析 试题
2021届高三数学11月教学质量测评试题理〔含解析〕制卷人：打自企；成别使；而都那。
审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……日期：2022年二月八日。
一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕1．集合A＝{x|x﹣2＜0}，B＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，那么A∩B＝〔〕A．〔﹣∞，2〕B．〔﹣∞，1〕C．〔﹣2，1〕D．〔﹣1，2〕2．复平面内表示复数z＝的点位于〔〕A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．设两个单位向量的夹角为，那么＝〔〕A．1 B．C．D．74．设有不同的直线a，b和不同的平面α，β，给出以下四个命题：①假设a∥α，b∥α，那么a∥b；②假设a∥α，a∥β，那么α∥β；③假设a⊥α，b⊥α，那么a∥b；④假设a⊥α，a⊥β，那么α∥β．其中正确的个数是〔〕A．1 B．2 C．3 D．45．如图是某10月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数越小表示空气质量越好，空气质量指数小于100表示空气质量优良，以下表达中不正确的选项是〔〕A．这14天中有7天空气质量优良B．这14天中空气质量指数的中位数是103C．从10月11日到10月14日，空气质量越来越好D．连续三天中空气质量指数方差最大的是10月5日至10月7日6．甲、乙、丙三人中，一位是人，一位是人，一位是人，丙比人年龄大，甲和人不同岁，人比乙年龄小，由此可以推知：甲、乙、丙三人中〔〕A．甲不是人B．人比甲年龄小C．人比人年龄大D．人年龄最小7．数列{a n}对于任意正整数m，n，有a m+n＝a m+a n，假设a20＝1，那么a2021＝〔〕A．101 B．1 C．20 D．20218．函数的图象大致是〔〕A．B．C．D．9．F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，P是C上一点，满足PF2⊥F1F2，Q是线段PF1上一点，且，，那么C的离心率为〔〕A．B．C．D．10．函数f〔x〕的定义域为R，假设f〔x+1〕与f〔x﹣1〕都是偶函数，那么〔〕A．f〔x〕是偶函数B．f〔x〕是奇函数C．f〔x+3〕是偶函数D．f〔x〕＝f〔x+2〕11．将6名HY员HY分配到4个贫困村驻村扶贫，每个贫困村至少分配1名HY员HY，那么不同的分配方案一共有〔〕A．2640种B．4800种C．1560种D．7200种12．函数f〔x〕＝sin x•sin2x，以下结论中错误的选项是〔〕A．y＝f〔x〕的图象关于点对称B．y＝f〔x〕的图象关于直线x＝π对称C．f〔x〕的最大值为D．f〔x〕是周期函数二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕13．棱长为2的正方体的各顶点都在同一个球面上，那么该球的体积为．14．F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，点P是以F1F2为直径的圆与C在第一象限内的交点，假设线段PF1的中点Q在C的渐近线上，那么C的两条渐近线方程为．15．假设直线y＝kx+b是曲线y＝e x﹣2的切线，也是曲线y＝e x﹣1的切线，那么b＝．16．设等比数列{a n}满足a3＝2，a10＝256，那么数列{4n2a n}的前n项和为．三、解答题〔一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕17．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a cos B＝4，b sin A＝3．〔1〕求tan B及边长a的值；〔2〕假设△ABC的面积S＝9，求△ABC的周长．18．?九章算术?中，将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝1，AC＝AA1＝，∠ABC＝60°．〔1〕证明：三棱柱ABC﹣A1B1C1为堑堵；〔2〕求二面角A﹣A1C﹣B的余弦值．19．一条曲线C在y轴右边，C上每一点到F〔1，0〕的间隔减去它到y轴的间隔的差都是1．〔1〕求曲线C的方程；〔2〕过点F且斜率为k的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8，求直线l的方程．20．函数f〔x〕＝sin2x﹣|ln〔x+1〕|，g〔x〕＝sin2x﹣x．〔1〕求证：g〔x〕在区间上无零点；〔2〕求证：f〔x〕有且仅有两个零点．21．一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘山标有第0站、第1站、第2站、…、第100站，一共101站，设棋子跳到第n站的概率为P n，一枚棋子开场在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次，假设掷出奇数点，那么棋子向前跳动一站；假设掷出偶数点，那么向前跳动两站，直到棋子跳到第99站〔获胜〕或者100站〔失败〕时，游戏完毕〔骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的玩具，它的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6〕．〔1〕求P0，P1，P2，并根据棋子跳到第n站的情况，试用P n﹣2和P n﹣1表示P n；〔2〕求证：{P n﹣P n﹣1}〔n＝1，2…，100〕是等比数列；〔3〕求玩该游戏获胜的概率．请考生在第22、23两题中任选一题答题，并需要用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域规定的正确位置答题．假如多做，那么按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为〔t为参数〕，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．〔1〕求C的普通方程和l的直角坐标方程；〔2〕求C上的点，到l间隔的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．a，b为正数，且满足a+b＝1．〔1〕求证：；〔2〕求证：．2021-2021学年华大新高考联盟高三〔上〕11月质检数学试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕1．集合A＝{x|x﹣2＜0}，B＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，那么A∩B＝〔〕A．〔﹣∞，2〕B．〔﹣∞，1〕C．〔﹣2，1〕D．〔﹣1，2〕【解答】解：A＝{x|x＜2}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，∴A∩B＝〔﹣1，2〕．应选：D．2．复平面内表示复数z＝的点位于〔〕A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵z＝＝＝，∴复平面内表示复数z＝的点的坐标为〔〕，位于第三象限．应选：C．3．设两个单位向量的夹角为，那么＝〔〕A．1 B．C．D．7【解答】解：两个单位向量的夹角为，那么＝9+24•+16＝9×12+24×1×1×cos+16×12＝13，所以＝．应选：B．4．设有不同的直线a，b和不同的平面α，β，给出以下四个命题：①假设a∥α，b∥α，那么a∥b；②假设a∥α，a∥β，那么α∥β；③假设a⊥α，b⊥α，那么a∥b；④假设a⊥α，a⊥β，那么α∥β．其中正确的个数是〔〕A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：对于①，假设a∥α，b∥α，那么直线a和直线b可以相交也可以异面，故①错误；对于②，假设a∥α，a∥β，那么平面a和平面β可以相交，故②错误；对于③，假设a⊥α，b⊥α，那么根据线面垂直出性质定理，a∥b，故③正确；对于④，假设a⊥α，a⊥β，那么α∥β成立；应选：B．5．如图是某10月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数越小表示空气质量越好，空气质量指数小于100表示空气质量优良，以下表达中不正确的选项是〔〕A．这14天中有7天空气质量优良B．这14天中空气质量指数的中位数是103C．从10月11日到10月14日，空气质量越来越好D．连续三天中空气质量指数方差最大的是10月5日至10月7日【解答】解：由图可知，空气质量指数小于100表示空气质量优良，有7天，A正确，空气质量指数从小到大为：25，37，40，57，79，86，86，121，143，158，160，160，217，220，3月1日至14日空气质量指数的中位数为：，B不成立，D，正确，偏向最大，应选：B．6．甲、乙、丙三人中，一位是人，一位是人，一位是人，丙比人年龄大，甲和人不同岁，人比乙年龄小，由此可以推知：甲、乙、丙三人中〔〕A．甲不是人B．人比甲年龄小C．人比人年龄大D．人年龄最小【解答】解：由于甲和人不同岁，人比乙年龄小，可知人不是甲乙，故丙是人；由于丙比人年龄大，人比乙年龄小，可知甲是人；故：乙〔人〕的年龄＞丙〔人〕的年龄＞甲〔人〕的年龄；所以ABC错，D对．应选：D．7．数列{a n}对于任意正整数m，n，有a m+n＝a m+a n，假设a20＝1，那么a2021＝〔〕A．101 B．1 C．20 D．2021【解答】解：∵a mn＝a m+a n对于任意正整数m，n都成立，当m＝1，n＝1时，a2＝a1+a1＝2a1，当m＝2，n＝1时，a3＝a2+a1＝3a1，…∴a n＝na1，∴a20＝20a1＝1，∴a1＝，∴a2021＝2021a1＝2021×＝101．8．函数的图象大致是〔〕A．B．C．D．【解答】解：函数f〔x〕是奇函数，图象关于原点对称，排除B，当x＞0，x→0，f〔x〕＞0，且f〔x〕→0，排除A，函数的导数f′〔x〕＝x2+cos x，那么f′〔x〕为偶函数，当x＞0时，设h〔x〕＝x2+cos x，那么h′〔x〕＝2x﹣sin x＞0恒成立，即h〔x〕≥h〔0〕＝1＞0，即f′〔x〕＞0恒成立，那么f〔x〕在R上为增函数，应选：D．9．F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，P是C上一点，满足PF2⊥F1F2，Q是线段PF1上一点，且，，那么C的离心率为〔〕A．B．C．D．【解答】解：如下图，∵PF2⊥F1F2，∴P〔c，〕．∵，∴＝，∴＝+＝〔﹣c，0〕+〔2c，〕＝〔，〕，∵，∴〔2c，〕•〔﹣，〕＝﹣+＝0，又b2＝a2﹣c2．化为：e4﹣4e2+1＝0，e∈〔0，1〕．解得e2＝2﹣，∴e＝．应选：A．10．函数f〔x〕的定义域为R，假设f〔x+1〕与f〔x﹣1〕都是偶函数，那么〔〕A．f〔x〕是偶函数B．f〔x〕是奇函数C．f〔x+3〕是偶函数D．f〔x〕＝f〔x+2〕【解答】解：f〔x+1〕与f〔x﹣1〕都是偶函数，根据函数图象的平移可知，f〔x〕的图象关于x＝1，x＝﹣1对称，可得f〔x〕＝f〔2﹣x〕＝f〔﹣4+x〕，即有f〔x+4〕＝f〔x〕，∴函数的周期T＝4，∴f〔﹣x+3〕＝f〔﹣x﹣1〕＝f〔x+3〕，那么f〔x+3〕为偶函数，应选：C．11．将6名HY员HY分配到4个贫困村驻村扶贫，每个贫困村至少分配1名HY员HY，那么不同的分配方案一共有〔〕A．2640种B．4800种C．1560种D．7200种【解答】解：依题意，6人分成每组至少一人的4组，可以分为3，1，1，1或者2，2，1，1两种，分为3，1，1，1四组时，有＝480种，分为2，2，1，1四组时，有＝1080种，故一共有480+1080＝1560种，应选：C．12．函数f〔x〕＝sin x•sin2x，以下结论中错误的选项是〔〕A．y＝f〔x〕的图象关于点对称B．y＝f〔x〕的图象关于直线x＝π对称C．f〔x〕的最大值为D．f〔x〕是周期函数【解答】解：对于A，因为f〔π﹣x〕+f〔x〕＝sin〔π﹣x〕sin〔2π﹣2x〕+sin x sin2x＝0，所以A正确；对于B，f〔2π﹣x〕＝sin〔2π﹣x〕sin〔4π﹣2x〕＝sin x sin2x＝f〔x〕，所以B正确；对于C，f〔x〕＝sin x•sin2x＝2sin2x cos x＝2〔1﹣cos2x〕cos x＝2cos x﹣2cos3x，令t＝cos x，那么t∈[﹣1，1]，f〔x〕＝g〔t〕＝2t﹣2t3，令g′〔t〕＝2﹣6t2＝0，得，t＝，当t＝时，g〔t〕有最大值2〔1﹣〕＝，故C错误；对于D，f〔2π+x〕＝f〔x〕，故2π为函数f〔x〕的一个周期，故D正确；应选：C．二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕13．棱长为2的正方体的各顶点都在同一个球面上，那么该球的体积为4π．【解答】解：假设棱长为2的正方体的八个顶点都在同一个球面上，那么球的直径等于正方体的对角线长即2R＝2∴R＝那么球的体积V＝＝4π．故答案为：4π．14．F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，点P是以F1F2为直径的圆与C在第一象限内的交点，假设线段PF1的中点Q在C的渐近线上，那么C的两条渐近线方程为y＝±2x．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y＝±x，点P是以F1F2为直径的圆与C在第一象限内的交点，可得PF1⊥PF2，线段PF1的中点Q在C的渐近线，可得OQ∥PF2，且PF1⊥OQ，OQ的方程设为bx+ay＝0，可得F1〔﹣c，0〕到OQ的间隔为＝b，即有|PF1|＝2b，|PF2|＝2|OQ|＝2a，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2b﹣2a＝2a，即b＝2a，所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x．故答案为：y＝±2x．15．假设直线y＝kx+b是曲线y＝e x﹣2的切线，也是曲线y＝e x﹣1的切线，那么b＝．【解答】解：设直线y＝kx+b与y＝e x﹣2和y＝e x﹣1的切点分别为〔〕和〔〕，那么切线分别为，，化简得：，，依题意有：，∴x1﹣2＝x2，x2＝﹣ln2，那么b＝＝．故答案为：．16．设等比数列{a n}满足a3＝2，a10＝256，那么数列{4n2a n}的前n项和为S n＝〔n2﹣2n+3〕•2n+1﹣6 ．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，a3＝2，a10＝256，可得q7＝＝128，解得q＝2，那么a n＝a3q n﹣3＝2n﹣2，可得4n2a n＝n22n，设数列{4n2a n}的前n项和为S n，那么S n＝1•2+22•22+32•23+…+n22n，2S n＝1•22+22•23+32•24+…+n22n+1，相减可得﹣S n＝1•2+3•22+5•23+…+〔2n﹣1〕•2n﹣n22n+1，﹣2S n＝1•22+3•23+5•24+…+〔2n﹣1〕•2n+1﹣n22n+2，相减可得S n＝1•2+2〔22+23+…+2n〕+n22n+1﹣〔2n﹣1〕•2n+1＝2+2•+〔n2﹣2n+1〕•2n+1＝〔n2﹣2n+3〕•2n+1﹣6．故答案为：S n＝〔n2﹣2n+3〕•2n+1﹣6．三、解答题〔一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕17．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a cos B＝4，b sin A＝3．〔1〕求tan B及边长a的值；〔2〕假设△ABC的面积S＝9，求△ABC的周长．【解答】解：〔Ⅰ〕在△ABC中，由a cos B＝4，b sin A＝3，两式相除，有＝＝•＝•＝，所以tan B＝，又a cos B＝4，故cos B＞0，那么cos B＝，所以a＝5．…〔2〕由〔1〕知sin B＝，由S＝ac sin B，得到c＝6．由b2＝a2+c2﹣2ac cos B，得b＝，故l＝5+6+＝11+即△ABC的周长为11+．…18．?九章算术?中，将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝1，AC＝AA1＝，∠ABC＝60°．〔1〕证明：三棱柱ABC﹣A1B1C1为堑堵；〔2〕求二面角A﹣A1C﹣B的余弦值．【解答】解：〔1〕证明：∵AB＝1，AC＝，∠ABC＝60°，∴AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos60°，即3＝1+BC2﹣BC，解得BC＝2，∴BC2＝AB2+AC2，即AB⊥AC，那么△ABC为直角三角形，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1为堑堵；〔2〕如图，作AD⊥A1C交A1C于点D，连接BD，由三垂线定理可知，BD⊥A1C，∴∠ADB为二面角A﹣A1C﹣B的平面角，在Rt△AA1C中，，在Rt△BAD中，，∴，即二面角A﹣A1C﹣B的余弦值为．19．一条曲线C在y轴右边，C上每一点到F〔1，0〕的间隔减去它到y轴的间隔的差都是1．〔1〕求曲线C的方程；〔2〕过点F且斜率为k的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8，求直线l的方程．【解答】解：〔1〕依题意，设曲线C上的的坐标为〔x，y〕，那么x＞0，所以﹣x＝1，化简得：y2＝4x，〔x＞0〕；〔2〕根据题意，直线l的方程为y＝k〔x﹣1〕，联立直线l和曲线C的方程得，k2x2﹣〔2k2+4〕x+k2＝0，设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕所以，所以|AB|＝8＝x1+x2+2，即＝6，解得k＝±1，所以直线l方程为：x+y﹣1＝0或者者x﹣y﹣1＝0．20．函数f〔x〕＝sin2x﹣|ln〔x+1〕|，g〔x〕＝sin2x﹣x．〔1〕求证：g〔x〕在区间上无零点；〔2〕求证：f〔x〕有且仅有两个零点．【解答】证明：〔1〕g′〔x〕＝2cos2x﹣1，当时，，此时函数g〔x〕单调递增，当时，，此时函数g〔x〕单调递减，又，，∴函数g〔x〕在区间上无零点；〔2〕要证函数f〔x〕有且仅有两个零点，只需证明方程sin2x﹣|ln〔x+1〕|＝0有且仅有两个解，设m〔x〕＝sin2x，n〔x〕＝|ln〔x+1〕|，那么只需证明函数m〔x〕与函数n〔x〕的图象有且仅有两个交点，在同一坐标系中作出两函数图象如下，由图象可知，函数m〔x〕与函数n〔x〕的图象有且仅有两个交点，故原命题得证．21．一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘山标有第0站、第1站、第2站、…、第100站，一共101站，设棋子跳到第n站的概率为P n，一枚棋子开场在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次，假设掷出奇数点，那么棋子向前跳动一站；假设掷出偶数点，那么向前跳动两站，直到棋子跳到第99站〔获胜〕或者100站〔失败〕时，游戏完毕〔骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的玩具，它的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6〕．〔1〕求P0，P1，P2，并根据棋子跳到第n站的情况，试用P n﹣2和P n﹣1表示P n；〔2〕求证：{P n﹣P n﹣1}〔n＝1，2…，100〕是等比数列；〔3〕求玩该游戏获胜的概率．【解答】解：〔1〕根据题意，棋子跳到第n站的概率为p n，那么p0即棋子跳到第0站的概率，那么p0＝1，p1即棋子跳到第1站的概率，那么，p2即棋子跳到第2站的概率，有两种情况，即抛出2次奇数或者1次偶数，那么；故跳到第n站p n有两种情况，①在第n﹣2站抛出偶数，②在第n﹣1站抛出奇数；所以；〔2〕证明：∵，∴，又∵；∴数列{P n﹣P n﹣1}〔n＝1，2…，100〕是以为首项，﹣为公比的等比数列．〔3〕玩游戏获胜即跳到第99站，由〔2〕可得〔1≤n≤100〕，∴，，，⋮，∴，∴．请考生在第22、23两题中任选一题答题，并需要用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域规定的正确位置答题．假如多做，那么按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为〔t为参数〕，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．〔1〕求C的普通方程和l的直角坐标方程；〔2〕求C上的点，到l间隔的最大值．【解答】解：〔1〕由〔t为参数〕，两式平方相加，得x2+y2＝1〔x≠﹣1〕；由ρcosθ+ρsinθ+4＝0，得x+y+4＝0．即直线l的直角坐标方程为得x+y+4＝0；〔2〕设C上的点P〔cosθ，sinθ〕〔θ≠π〕，那么P到直线得x+y+4＝0的间隔为：d＝＝．∴当sin〔θ+φ〕＝1时，d有最大值为3．[选修4-5：不等式选讲]23．a，b为正数，且满足a+b＝1．〔1〕求证：；〔2〕求证：．【解答】证明：a，b为正数，且满足a+b＝1〔1〕〔1+〕〔1+〕＝1+＝1+，〔〕〔a+b〕≥〔〕2＝8，故；〔2〕∵a+b＝1，a＞0，b＞0，∴根据根本不等式1＝a+b≥2∴0＜ab≤，〔a+〕〔b+〕＝＝≥ab+，令t＝ab∈〔0，]，y＝t+递减，所以，故〔a+〕〔b+〕≥2+＝．制卷人：打自企；成别使；而都那。
衢州、湖州、丽水2020年11月三地市高三教学质量检测数学试卷及答案
16.一个口袋中有3个红球，3个白球，2个黑球，现从中任取3个球，
记取出的球的颜色有 种，则 ▲.
17.若实数 满足 ，则 的最小值是▲.
三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.(本小题满分14分）
在锐角 中，角 所对的边分别是 ， .
（Ⅰ）求角 的大小；
A. B. C. D.
9.已知数列 的前 项和是 ，前 项的积是 .
①若 是等差数列，则 是等差数列；
②若 是等比数列，则 是等比数列；
③若 是等差数列，则 是等差数列；
④若 是等比数列，则 是等比数列.
其中正确命题的个数有
A.1个B.2个C.3个D.4个
10.已知空间向量 两两的夹角均为 ，且 ， .若向量 满足 ， ，则 的最大值是
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题部分，共110分）
注意事项：
用钢笔或签字笔将试题卷上的题目做在答题卷上，做在试题卷上的无效.
二.填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分)
11.古希腊著名数学家毕达格拉斯发现：数量为 的石子，可以排成三角形（如图），我们把这样的数称为“三角形数”，依此规律，第 个“三角形数”是 ，则第5个“三角形数”是▲，前6个“三角形数”的和是▲.
当 时，存在 ，使得 ，
∴ 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，从而要使 有三个零点，必有 ，
∴ ，即 ，∴ ，
又∵ ，令 ，则
∵当 时， ，∴ 在区间 单调递增，
∴ ，即 ．-------------------------------------------11分
浙江省丽水、湖州、衢州2022年11月三地市高三教学质量检测数学试题(参考答案)
丽水、湖州、衢州2022年11月三地市地高三教学质量检测数学参考答案一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案ABDBCCDC二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.2014.3515.404416.)217-四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.(本题满分10分)在数列{}n a 中，113a =，112n n n n a a a a ++-=（*N n ∈）．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求满足不等式1223117k k a a a a a a +++⋯+<（*N k ∈）成立的k 的最大值．解：（1）由条件得111112n n n n n na a a a a a +++--==，-------------------------------------------------2分所以数列{}n a 是以113a =为首项，公差2d =的等差数列．故()131221nn n a =+-⨯=+，------------------------------------------------------4分题号9101112答案ACDABDACAD即121n a n =+．---------------------------------------------------------------------------5分（2）由（1）知()()11111212322123n n a a n n n n +⎡⎤==-⎢⎥++++⎣⎦，--------------------7分故122311111111235572123k k a a a a a a k k +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋯+=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1112323k ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭---------------------------------------------------------------------9分所以111123237k ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭，解得9k <，结合*N k ∈得，k 的最大值是8．--------------------------------------------10分18.(本题满分12分)在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知()sin 22cos A C B +=-．（1）求tan B 的值；（2）若ABC ∆的面积为2，求ABC ∆周长L 的最小值．解：（1）由()sin 22cos A C B +=-得，()2sin 21cos 4sin2BB B =-=，----------2分因为sin02B ≠，解得1tan 22B =．------------------------------------------------------3分所以22tan42tan 31tan 2BB B ==-．-------------------------5分（2）由上可知4sin 5B =，3cos 5B =．由ABC ∆的面积为2，得12sin 225ABC S ac B ac ∆===，故5ac =．-----------------------7分所以a c +≥=．（等号成立当且仅当a c =）----------------9分又22222642462cos 555b ac aca ac a c ac B c a c -==+-=+≥=-（等号成立当且仅当a c =）所以2b ≥．-----------------------------------------------------11分故ABC ∆周长()2L a b c a c b =++=++≥（等号成立当且仅当a c ==）．因此ABC ∆周长L的最小值为2+．--------------------------12分（注意：等号成立条件仅需说明一次即可）19．(本题满分12分)如图，在三棱台111ABC A B C -中，三棱锥111C A B C -的体积为3，1AB C ∆的面积为4，112AB A B =，且1A A ⊥平面ABC ．（1）求点B 到平面1AB C 的距离；（2）若1BB BA =，平面1AB C ⊥平面11ABB A ，求二面角11A B C A --的余弦值．解：（1）设点B 到平面1AB C 的距离为h ．因为112AB A B =，三棱锥111C A B C -的体积为3，所以三棱锥1B ABC -分又由11B ABC B AB C V V --=，得334311=⨯⨯∆C AB S h，解得h =分（2）由已知设11A B x =,11A C y =，则12BB AB x ==,2AC y =，取1AB 的中点M ，连结BM ，则1BM AB ⊥，由平面1AB C ⊥平面11ABB A 可得BM ⊥平面1ACB ，故BM AC ⊥，又1AC AA ⊥，从而AC ⊥平面11AA B B .-------------------------------------------------6分故AC AB ⊥，1AC AB ⊥，取AB 中点N ，则11A B AN x ==，四边形11A B NA 是平行四边形，所以1B N AB ⊥，又由于AB BB =1，从而1ABB ∆为正三角形，故12AB x =，11B N AA ==，又111122422AB C S AC AB y x =⋅=⋅⋅=，11111323C A B C V x y -⎛⎫=⋅⋅⋅=⎪⎝⎭得1,2x y ==.--------------------------------------8分作11A G AB ⊥，垂足为G，则12A G =，在平面1AB C 内，作1GH B C ⊥，垂足为H ，连结1A H ，则二面角11A B C A --的平面角为1A HG ∠.--------------------------------------10分B 1（第19题图）A 1C 1BCA在1Rt GHB ∆中，GH =，故11tan A G A HG GH ∠==，1cos A HG ∠=..---------------------------------------------------------12分法二：取1AB 的中点M ，连结BM ，则1BM AB ⊥，由平面1AB C ⊥平面11ABB A 可得BM ⊥平面1ACB ，故BM AC ⊥，又1AC AA ⊥，从而AC ⊥平面11AA B B .---------------------------6分故AC AB ⊥，以A 为原点，分别以1,,AB AC AA 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设11A B x =,11A C y =，则12BB AB x ==,2AC y =，取AB 中点N ，则11A B AN x ==,四边形11A B NA 是平行四边形，1B N AB ⊥，又由于AB BB =1，从而1ABB ∆为正三角形，故12AB x =，11B N AA =，又111122422AB C S AC AB y x =⋅=⋅⋅=，1111132C A B C V x y -⎛⎫=⋅⋅⋅=⎪⎝⎭得1,2x y ==，----------------------------------------------8分则(0,0,0)A 1B，1A ，(0,4,0)C ，设面1AB C 的法向量(,,)n x y z = ，由100n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得(n =，设面11A B C 的法向量(,,)m a b c = ，由11100m A B m A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得m =----------------------10分故cos ,19m n m n m n ⋅<>==⋅.-----------------12分20.(本题满分12分)自主招生和强基计划是高校选拔录取工作改革的重要环节.自主招生是学生通过高校组织的笔试和面试之后，可以得到相应的降分政策.2020年1月，教育部决定2020年起不再组织开展高校自主招生工作，而是在部分一流大学建设高校开展基础学科招生改革试点（也称强基计划）.下表是某高校从2018年起至2022年通过自主招生或强基计划在各个专业的招生人数：年份数学物理化学总计201847617201958518202069520202187621202298623请根据表格回答下列问题：（1）统计表明招生总数和年份间有较强的线性关系.记x 为年份与2017的差，y 为当年招生总人数，试用最小二乘法建立y 关于x 的线性回归方程，并以此预测2023年的招生总人数（结果四舍五入保留整数）；（2）在强基计划实施的首年，为了保证招生录取结果的公平公正，该校招生办对2020年强基计划录取结果进行抽检.此次抽检从20名学生中随机选取3位学生进行评审.记X 为抽到是数学专业学生的人数，求随机变量X 的数学期望()E X ；（3）经统计该校学生的本科学习年限占比如下：四年毕业的占0076，五年毕业的占0016，六年毕业的占008.现从2018到2022年间通过上述方式被该校录取的学生中随机抽取1名，若该生是数学专业的学生，求该生恰好在2025年毕业的概率.附：ˆˆy bxa =+为回归方程，()()()121ˆnii i nii x xy b y xx ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-．解（1）由题意，x 的取值集合为{1,2,3,4,5}，y 的取值集合为{17,18,20,21,23}，直接根据公式求解：()()()121ˆniii ni i x x y by x x ==--=-∑∑，代入3x =，19.8y =算得：ˆ 1.5b =，ˆˆ15.3a y xb =-=，因此回归方程为ˆ 1.515.3yx =+，当6x =时，可得ˆ24.3y=,因此预测2023年的招生总人数为24人.--------------------------------------------5分（2）由已知，314320(0)C p X C ==，21146320(1)C C p X C ⋅==，12146320(2)C C p X C ⋅==，36320(3)C p X C ==，故()E x =211463201C C C ⋅⨯121463202C C C ⋅+⨯363203C C +⨯910=.---------------------------------------4分（3）因为2025年毕业，则入学年份可能为2021年，2020年，2019年.设事件A 是“被数学系录取”，事件B 是“2025年毕业”，事件1C 是“2021年入学”，事件2C 是“2020年入学”，事件3C 是“2019年入学”.由条件概率公式可知，()1832P C A =，()2632P C A =，()3532P C A =，由全概率公式可知，()865930.760.160.0832*******P B A =⨯+⨯+⨯=.--------------------------3分21.(本题满分12分)已知点(AC 上，过点()1,0M 的直线l 交曲线C 于D ，E 两点（D ，E 均在第四象限），直线AD ，AE 分别交直线1x =于P ，Q 两点.（1）求双曲线C 的标准方程；（2）若APQ ∆的面积为l 的方程.解（1）①若焦点在x 轴上，设双曲线C 方程为22221x y a b-=（0,0a b >>）.由题意得223921c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以双曲线C 的标准方程为2213x y -=.-----------------------------------------------2分②若焦点在y 轴上，设双曲线C 方程为22221y x a b-=（0,0a b >>）.由题意得22233921c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，此时无解.综上所述双曲线C 的标准方程为2213x y -=.--------------------------------------------------4分（2）设直线l 方程为1x ty =+，1111(,),(,)D x y E x y ，联立221330x ty x y =+⎧⎨--=⎩得()223220t y ty -+-=，故()221221223012202323t t ty y t y y t ⎧-≠⎪∆=->⎪⎪-⎨+=⎪-⎪-⎪⋅=-⎩，解得23-<<-t ------------6分又因为直线)11:33y AD y x x =--，取1x =得)111112232P y y y x ty ---==--，同理)2222Qy y ty -=-，-----------------------------------------------------------------8分由题意点A 到直线l 的距离是2d =，所以122APQ S PQ ∆=⨯⨯=，解得PQ =.又P QPQ y y=-=-===----------------------------------------------------------------10分化简可得211260t +-=，得t =t =，易知0t <，故t =，即直线l 方程为1x =+.--------------------------------------------------------12分22.(本题满分12分)已知函数()ln 1a xxfx x a x e =+--（R a ∈）.（1）当1a =时，求()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 有两个不同的零点1x ，2x ，则1212ln x x e a+>．解（1）由题意得()ln xxfx x x e =+-，2得()()111x f x x e x ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭，--------------------------------------------2分所以当01x <<时，()0f x '>，当1x >时，()0f x '<，因此()f x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减.------------------------------------4分（2）先证明122x x a+>，因为()()111a x f x a x e x ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭，---------------------------------------------------6分所以当0a ≤时，()0f x '≥，()f x 在()0,+∞单调递增，不满足题意；故0a >，可知()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增.在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减.又当0x +→时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →-∞，故11ln 20f a a a e⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，解得10a e <<，且1210x x a <<<.----------------------------------------------------8分()()ln ln 1ln 1x a x a x xf x x a x e x a x e-=+--=+--设ln t x ax =-，则由于()1tg t e t =+-单调递增，则1122ln ln x ax x ax -=-，则2ln ln 1212121x x x x x x a +<--=，可证得122x x a+>.--------------------------------------10分所以要证明1212ln x x e a +>，只要证明22ln 0e a a+>.设()22ln a e a aϕ=+（10a e <<），则()2212220e a e e a a a a ϕ⎛⎫- ⎪⎝⎭'=-+=<，所以()a ϕ在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，则()10a e ϕϕ⎛⎫>= ⎪⎝⎭.因此有1212ln x x e a +>.------------------------------------------------------------------12分方法二：先证明122x x a+>，因为()()111a x f x a x ex ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭，--------------------------------------------------6分所以当0a ≤时，()0f x '≥，()f x 在()0,+∞单调递增，不满足题意；故0a >，可知()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增.在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减.又当0x +→时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →-∞，故11ln 20f a a a e⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，解得10a e <<，且1210x x a <<<.----------------------------------------------------8分要证明122x x a +>，只要证明212x x a>-.因为()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增.在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减，且1210x x a <<<，所以只要证明()212f x f x a ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，只要证明()112f x f x a ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，设()()2g x f x f x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭（10x a<<），()()()211111022ax ax g x f x f x a x x a ax e e -⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎛⎫--+->⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎪⎢⎥⎝⎭⎣'-⎦⎛⎫''=+-= ⎪⎝⎭所以()g x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，所以()10g x g a ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，因此122x x a+>成立.------------------------------------------------------------------10分所以要证明1212ln x x e a +>，只要证明22ln 0e a a+>.设()22ln a e a aϕ=+（10a e <<），则()2212220e a e e a a a a ϕ⎛⎫- ⎪⎝⎭'=-+=<，所以()a ϕ在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，则()10a e ϕϕ⎛⎫>= ⎪⎝⎭.因此有1212ln x x e a+>.-----------------------------------------------------------------12分。
湖州、衢州、丽水三地市2020届高三11月教学质量检测数学试卷(含答案)
B. , 2 C. , 2 D. , 2
A
D
O
B
C
第 9 题图
10．设数列{an} 满足 a1 1, an+1 =ean m 1 ， n N* ，若对一切 n N* ， an 2 ，则实数 m
（Ⅱ）当
x
0,
2
时，求
f
(x)
的值域．
高三数学试题卷（共四页）——第 3 页
19．(本小题满分 15 分)
如图 ，已知 三棱 台 ABC A1B1C1 ，平 面 A1 ACC1 平面 ABC ， ABC 90 ，
BAC 30 ， AA1 CC1 BC A1C1 4 ， E, F 分别是 A1C1 ， BC 的中点．
恰有两个零点，则实数
m
的取值范围是
A. (0,1) (e, )
B. (e, )
C. (0,1) (e2 ,)
D. (e2 , )
9．如图，矩形 ABCD 中心为 O ，BC AB ，现将 DAC 沿着对角线 AC 翻折成 EAC ，
记 BOE ，二面角 B AC E 的平面角为 ，直线 DE 和 BC 所成角为 ，则
3．已知实数
x,
y
满足
x+y
2
0,
则 x2 +y2 的最小值是
y 0,
D． i
A． 2
B． 2
C． 4
D． 8
4．若 a,b R ，则“ a b 1”是“ a2 b2 1 ”的
A．充分不必要条件
高三数学11月教学质量检测试题理含解析试题
名校联盟2021届高三数学11月教学质量检测试题 理〔含解析〕制卷人：打自企； 成别使； 而都那。
审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅……日期：2022年二月八日。
一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的{|20}A x x =-<，2{|20}B x x x =--<，那么A B =〔 〕A. ()2-∞，B. ()1-∞，C. (21)-，D. (12)-， 【答案】D【解析】【分析】先求出集合={|12}B x x -<<，再与集合A 求交,【详解】此题主要考察集合的运算和一元二次不等式的解法．因为{|20}={|2}A x x x x =-<<，2{|20}B x x x =--<={|12}x x -<<，所以{|12}B x x A -<<⋂=．应选：D【点睛】此题考察解二次不等式，考察集合的交集。
属于根底题.1212iz i -+＝的点位于〔 〕A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再求出z 的坐标得答案． 【详解】因为212i (12i)34i 12i (12i)(12i)55z --===--++-，所以复数1212i z i -=+所对应的复平面内的点为34,55Z ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，位于第三象限． 应选：C . 【点睛】此题主要考察复数的几何意义，复数的运算，属于根底题．a b ，的夹角为23π，那么34a b +=〔 〕A. 1 D. 7【答案】B【解析】 【分析】 由222349+24+16a b a a b b +=⋅，然后用数量积的定义，将a b ，的模长和夹角代入即可求解. 【详解】2222349+24+16=9+24cos16133a b a a b b π+=⋅+=， 即3413a b +=.应选：B【点睛】此题考察向量的模长，向量的数量积的运算，属于根底题. a ，b 和不同的平面α，β，给出以下四个命题：①假设//a α，//b α，那么//a b ；②假设//a α，//a β，那么//αβ；③假设a α⊥，b α⊥，那么//a b ；④假设a α⊥，a β⊥，那么//αβ．其中正确的个数是〔 〕A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系判断求解即可．【详解】对于①，假设a ∥α，b ∥α，那么直线a 和直线b 可以相交也可以异面，故①错误； 对于②，假设a ∥α，a ∥β，那么平面a 和平面β可以相交，故②错误；对于③，假设a⊥α，b⊥α，那么根据线面垂直性质定理，a∥b，故③正确；对于④，假设a⊥α，a⊥β，那么α∥β成立；应选：B．【点睛】此题考察命题真假的判断，考察推理判断才能，是根底题，解题时要认真审题，注意空间思维才能的培养．5.如图是某10月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数越小表示空气质量越好，空气质量指数小于100表示空气质量优良，以下表达中不正确的选项是〔〕A. 这14天中有7天空气质量优良B. 这14天中空气质量指数的中位数是103C. 从10月11日到10月14日，空气质量越来越好D. 连续三天中空气质量指数方差最大的是10月5日至10月7日【答案】B【解析】【分析】根据题目给出的折线图的信息对选项进展逐一判断即可得到答案.【详解】这14天中空气质量指数小于100的有7天，所以这14天中有7天空气质量优良，应选项A正确；这14天中空气质量指数的中位数是86121103.52+=，应选项B不正确；从10月11日到10月14日，空气质量指数越来越小，所以空气质量越来越好，应选项C正确；连续三天中空气质量指数离散程度最大的是10月5日至10月7日，所以连续三天中空气质量指数方差最大的是10月5日至10月7日，应选项D正确．应选：B【点睛】此题主要考察统计中对折线图的认识，属于根底题.6.甲、乙、丙三人中，一位是人，一位是人，一位是人，丙比人年龄大，甲和人不同岁，人比乙年龄小．由此可以推知：甲、乙、丙三人中〔 〕A. 甲不是人B. 人比甲年龄小C. 人比人年龄大D. 人年龄最小【答案】D【解析】【分析】通过分析，排除即可．【详解】由于甲和人不同岁，人比乙年龄小，可知人不是甲乙，故丙是人；由于丙比人年龄大，人比乙年龄小，可知甲是人；故：乙〔人〕的年龄＞丙〔人〕的年龄＞甲〔人〕的年龄；所以ABC 错，D 对．应选：D ．【点睛】此题考察简单的逻辑推理，属于根底题． {}n a 对于任意正整数m ，n ，有m n m n a a a +=+，假设201a =，那么2020a =〔 〕A. 101B. 1C. 20D. 2021 【答案】A【解析】【分析】由m n m n a a a +=+，得11n n a a a +-=，所以数列{}n a 是以1a 为首项，1a 为公差的等差数列，从而得到答案.【详解】由m n m n a a a +=+，令1m = 得11n n a a a +-=，所以数列{}n a 是以1a 为首项，1a 为公差的等差数列，从而1n a na =．因为201a =，所以1120a =，2020101a =． 应选：A【点睛】此题主要考察等差数列的概念，数列的递推关系，属于根底题. ()3sin 3x f x x =+的图像大致是〔 〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】此题首先可根据()3sin 3x f x x =+得出3sin 3x f x x ，然后即可判断出函数是奇函数并排除B 项，然后利用导数判断函数的单调性，问题得解．【详解】因为()3sin 3x f x x =+，33sin sin 33x x f x x x ， 所以函数()f x 是奇函数，排除B ， 因为函数的解析式为()3sin 3x f x x =+， 所以2cos f xx x ， ∴2sin f x x x ∴2cos 0f x x , ∴2sin fx x x 在[)0,+∞递增又0sin00f ， 所以2sin 0fx x x 在[)0,+∞恒成立 所以2cos f x x x 在[)0,+∞递增，又200cos010f所以()0f x '>在[)0,+∞恒成立所以()f x 在[)0,+∞为增函数，排除A 、C ，综上所述，应选D ．【点睛】此题考察如何判断函数的大致图像，可通过函数性质来判断，比方说函数的单调性、奇偶性、值域、特殊值的大小，考察推理才能，是中档题．9.1F ，2F 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，P 是C 上一点，满足212PF F F ⊥，Q 是线段1PF 上一点，且12FQ QP =，120F P F Q ⋅=，那么C 的离心率为〔 〕1 C.2 D. 6【答案】A【解析】【分析】根据条件在12PF F ∆，可得1F P =，那么2F P =，由椭圆的定义有122F P F P a +==，可建立关于离心率的方程，从而解出离心率.【详解】因为在12PF F ∆中，212PF F F ⊥，12PF QF ⊥， 所以2211124FQ F P F F c ==，又1123FQ F P =，所以221243F P c =，从而1F P =，进而2F P =．所以122F P F P a +=+=，椭圆C 的离心率为2c e a -==． 应选：A【点睛】此题主要考察椭圆的定义和简单几何性质,考察椭圆的离心率，属于中档题.()f x 的定义域为R ，假设(1)f x +与(1)f x -都是偶函数，那么〔 〕 A. ()f x 是偶函数B. ()f x 是奇函数C. (3)f x +是偶函数D. ()(2)f x f x =+【答案】C【解析】【分析】首先由偶函数及图象平移的性质求得f〔x〕的周期，然后利用所求结论直接判断即可．【详解】f〔x+1〕与f〔x﹣1〕都是偶函数，根据函数图象的平移可知，f〔x〕的图象关于x＝1，x＝﹣1对称，可得f〔x〕＝f〔2﹣x〕＝f〔﹣4+x〕，即有f〔x+4〕＝f〔x〕，∴函数的周期T＝4，∴f〔﹣x+3〕＝f〔﹣x﹣1〕＝f〔x+3〕，那么f〔x+3〕为偶函数，应选：C．【点睛】此题主要考察函数的奇偶性的应用与周期性的证明，准确把握定义是解题的关键，属于中档题．11.将6名HY员HY分配到4个贫困村驻村扶贫，每个贫困村至少分配1名HY员HY，那么不同的分配方案一共有〔〕A. 2640种B. 4800种C. 1560种D. 7200种【答案】C【解析】【分析】分两类考虑：第一类，其中1个贫困村分配3名HY员HY，另外3个贫困村各分配1名HY员HY, 第二类，其中2个贫困村各分配2名HY员HY，另外2个贫困村各分配1名HY员HY.【详解】将6名HY员HY分配到4个贫困村驻村扶贫，每个贫困村至少分配1名HY员HY.分两类考虑：第一类，其中1个贫困村分配3名HY员HY，另外3个贫困村各分配1名HY员HY，此类分配方案种数为3464480C A=；第二类，其中2个贫困村各分配2名HY员HY，另外2个贫困村各分配1名HY员HY，此类分配方案种数为221146421422221080 C C C CAAA=．故不同的分配方案一共有1560种．应选：C【点睛】此题主要考察排列组合,考察分组分配问题，考察局部平均分组问题，属于中档题. ()sin sin2f x x x=⋅，以下结论中错误的选项是〔〕A. ()y f x =的图像关于点(,0)2π对称 B. ()y f x =的图像关于直线x π=对称C. ()f xD. ()f x 是周期函数【答案】C【解析】【分析】 根据对称性，周期性最值的概念结合三角函数的运算，逐项判断即可．【详解】对于A ，因为f 〔π﹣x 〕+f 〔x 〕＝sin 〔π﹣x 〕sin 〔2π﹣2x 〕+sinxsin 2x ＝0，所以A 正确； 对于B ，f 〔2π﹣x 〕＝sin 〔2π﹣x 〕sin 〔4π﹣2x 〕＝sinxsin 2x ＝f 〔x 〕，所以()y f x =的图像关于直线x π=对称，所以B 正确；对于C ，f 〔x 〕＝sinx •sin 2x ＝2sin 2xcosx ＝2〔1﹣cos 2x 〕cosx ＝2cosx ﹣2cos 3x ，令t ＝cosx ，那么t ∈[﹣1，1]，f 〔x 〕＝g 〔t 〕＝2t ﹣2t 3，令g ′〔t 〕＝2﹣6t 2＝0，得，t 3=±，g ⎛= ⎝⎭g =⎝⎭(1)0g -=，(1)0g =，所以()g t ，从而()f x，故C 错误； 对于D ，因为(2)sin(2)sin(24)sin sin2()f x x x x x f x πππ+=+⋅+=⋅=，即f 〔2π+x 〕＝f 〔x 〕，故2π为函数f 〔x 〕的一个周期，故D 正确；应选：C ．【点睛】此题主要考察了三角函数恒等变换的应用，考察了三角函数的周期性及其求法函数的单调性以及函数的对称性，考察命题的真假的判断与应用，考察分析和解决问题的才能，属于中档题．二、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分13.假设一个棱长为2的正方体的八个顶点在同一个球面上，那么该球的体积为__________．【答案】【解析】棱长为2的正方体的八个顶点在同一个球面上，那么球的直径等于正方体的对角线长，即2R =R =那么该球的体积343V R π== 14.1F ，2F 分别为双曲线:C 22221x y a b－＝()00a b >>，的左、右焦点，点P 是以12F F 为直径的圆与C 在第一象限内的交点，假设线段1PF 的中点Q 在C 的渐近线上，那么C 的两条渐近线方程为__________．【答案】y ＝±2x【解析】【分析】求得双曲线的渐近线方程，由圆的性质可得PF 1⊥PF 2，由三角形的中位线定理可得PF 1⊥OQ ，OQ 的方程设为bx +ay ＝0，运用点到直线的间隔 公式可得F 1〔﹣c ，0〕到OQ 的间隔 ，结合双曲线的定义可得b ＝2a ，进而双曲线的渐近线方程． 【详解】双曲线()2222100x y C a b a b-=：＞，＞的渐近线方程为y ＝±b a x ， 点P 是以F 1F 2为直径的圆与C 在第一象限内的交点，可得PF 1⊥PF 2，线段PF 1的中点Q 在C 的渐近线，可得OQ ∥PF 2，且PF 1⊥OQ ，OQ 的方程设为bx +ay ＝0，可得F1〔﹣c ，0〕到OQ 的间隔 =b ，即有|PF 1|＝2b ，|PF 2|＝2|OQ |＝2a ，由双曲线的定义可得|PF 1|﹣|PF 2|＝2b ﹣2a ＝2a ，即b ＝2a ，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ．故答案为：y ＝±2x ．【点睛】此题考察双曲线的定义、方程和性质，考察直径所对的圆周角为直角，三角形的中位线定理和化简整理才能，属于中档题．y kx b =+是曲线2x y e -=的切线，也是曲线1x y e =-的切线，那么b =__________． 【答案】11ln 222- 【解析】【分析】分别设出直线y kx b =+与曲线2x y e-=和曲线1x y e =-的切点，然后求导利用切线的几何意义利用斜率相等可得答案.【详解】设直线y kx b =+与曲线2x y e-=切于点1211(,)x P x e -， 与曲线e 1x y =-切于点222(,1)x P x e -， 那么有21122221(e 1)x x x x e k e e x x ----===-， 从而122x x -=，12k =，212x e =，2ln 2x =-． 所以切线方程21111(ln 2)1ln 22222x y x e x =++-=+-， 所以11ln 222b =-． 故答案为：11ln 222-. 【点睛】此题主要考察导数的几何意义,两曲线的公切线问题，属于中档题．{}n a 满足32a =，10256a =，那么数列2{4}n n a 的前n 项和为__________．【答案】21(23)26n n n +-+- 【解析】【分析】先求出等比数列{}n a 的通项公式为121222n n n a --=⋅=，然后分析求和. 【详解】依题意，有23191012256a a q a a q ⎧==⎨==⎩，，解得11,22.a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩所以数列{}n a 的通项公式为121222n n n a --=⋅=． 设数列2{4}n n a 的前n 项和为n T那么2122212222n n T n =⋅+⋅++，(1)222321212222n n T n +=⋅+⋅++．(2)用(1)-(2)，得12211232(21)22n n n T n n --=⋅+⋅++--，(3) 2312221232(21)22n n n T n n ++-=⋅+⋅++--．(4)用(3)-(4)，得122121*********(221)2(23)26n n n n n T n n n n n +++=⋅+⋅++⋅-+-+=-+-．故答案为：21(23)26n n n +-+-【点睛】此题主要考察等比数列的通项公式和数列求和的方法．考察错位相减法求数列的和.属于中档题.三、解答题：一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须答题.第22、23题为选考题，考生根据要求答题(一)必考题：一共60分17.ABC ∆的三个内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且cos 4a B =，sin 3b A =．(1)求a ；(2)假设ABC ∆的面积为9，求ABC ∆的周长．【答案】〔1〕5；〔2〕11+【解析】【分析】(1)由cos 4a B =，sin 3b A =，两式相除，再用正弦定理得答案.(2)由〔1〕可求出3sin 5B =，进一步可求出边c ，然后用余弦定理可计算出边b ，得出答案. 【详解】(1)在ABC ∆中，cos 4a B =，sin 3b A =． 由正弦定理得sin sin sin 3tan cos sin cos 4b A B A B a B A B ===． 又cos 4a B =，所以cos 0B >，所以cos 45B =． 所以5a =．(2)由(1)知，cos 45B =，所以3sin 5B =． 因为ABC ∆的面积1sin 92ABC S ac B ∆==，所以6c =．由余弦定理得2222cos 13b a c ac B =+-=，所以b =所以ABC ∆的周长为11a b c ++=．【点睛】此题主要考察正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式,属于中档题．18.?九章算术?中，将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，13AC AA ==，60ABC ∠=︒．(1)证明：三棱柱111ABC A B C -是堑堵；(2)求二面角1A A C B --的余弦值．【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕155. 【解析】【分析】 (1)根据条件由正弦定理可求30ACB ︒∠=，从而可证明90BAC ︒∠=，可得证.〔2〕建立空间坐标系，用向量法求解二面角的余弦值即可.【详解】(1)在ABC ∆中，1AB =，3AC =60ABC ︒∠=，由正弦定理得sin sin AC AB ABC ACB =∠∠ ,即312sin 23ACB ∠== , 因为在ABC 中，AB AC <那么ABC ACB ∠>∠,30ACB ︒∠=，所以90BAC ︒∠=，即BA AC ⊥．又三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱.所以三棱柱111ABC A B C -是堑堵．(2)以点A 为坐标原点，以AB ，AC ，1AA 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如下图的空间直角坐标系．那么(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，3,0)C ，13)A ．于是(1,0,0)AB =，1(0,3,3)AC =-，(1,3,0)BC =-． 设平面1A BC 的一个法向量是(,,)n x y z =，那么由10,0,n AC n BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩得330,30.y z x y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩所以可取(3,1,1)n =．又可取(1,0,0)m AB ==为平面1AA C 的一个法向量，所以15cos ,||||5n m n m n m ⋅〈〉==． 所以二面角1A A C B --的余弦值为155． 【点睛】此题主要考察二面角的求法，同时考察数学文化．此题还可以由二面角的平面角的定义作出平面角直接求解,属于中档题.C 在y 轴右边，C 上每一点到点(10)F ，的间隔 减去它到y 轴间隔 的差都是1． (1)求曲线C 的方程；(2)过点F 且斜率为k 的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =，求直线l 的方程．【答案】〔1〕24(0)y x x =>；〔2〕1y x =-+或者1y x =-.【解析】【分析】(1)1(0)x x =>化简得答案.(2)有抛物线过交点的弦长公式有12||+2=8x x AB =+，然后设出直线方程与抛物线方程联立求出12x x +代入12||+2=8x x AB =+，可计算出k ，得到直线方程.【详解】(1)设点(,)P x y 是曲线C 上任意一点，那么点(,)P x y 1(0)x x -=>．化简得曲线C 的方程为24(0)y x x =>．(2)由题意得，直线l 的方程为(1)y k x =-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ． 由2(1),4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=． 因为216160k ∆=+>，故212224k x x k++=， 所以122244||||||(1)(1)x k AB AF BF k x +=+=+++=． 由题设知22448k k+=，解得1k =-或者1k =． 因此直线l 的方程为1y x =-+或者1y x =-．【点睛】此题主要考察曲线与方程、直线与抛物线的位置关系，属于中档题.sin2()(n )l 1f x x x =-+，sin )2(g x x x =-．(1)求证：()g x 在区间(0,]4π上无零点；(2)求证：()f x 有且仅有2个零点．【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕证明见解析.【解析】【分析】(1)求出()2cos21g x x '=-，再求出函数()g x 的单调区间，从而分析其图像与x 轴无交点即可.(2)显然0x =是函数()f x 的零点,再分析()f x 在0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦上和在3,4π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上无零点,在3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有一个零点，从而得证.【详解】(1)sin )2(g x x x =-，()2cos21g x x '=-． 当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>；当,64x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<， 所以()g x 在0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,64ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减． 而(0)0g =，04g π⎛⎫> ⎪⎝⎭， 所以当0,4x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0>g x ， 所以()g x 在区间0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦上无零点． (2)()f x 的定义域为(1,)-+∞．①当(1,0)x ∈-时，sin 20x <，ln(1)0x +<，所以()sin 2ln(1)0f x x x =++<，从而()f x 在(1,0)-上无零点．②当0x =时，()0f x =，从而0x =是()f x 的一个零点． ③当0,4x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，由(1)知()0>g x ，所以sin2x x >，又ln(1)x x +，所以()sin 2ln(1)0f x x x =-+>，从而()f x 在0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦上无零点． ④当3,44x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()sin 2ln(1)f x x x =-+，1()2cos201f x x x '=-<+， 所以()f x 在3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减． 而04f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，304f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，从而()f x 在3,44ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦上有唯一零点．⑤当3,4x π⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，ln(1)1x +>，所以()0f x <，从而()f x 在3,4π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上无零点． 综上，()f x 有且仅有2个零点．【点睛】此题主要考察利用导数判断函数单调性的方法和函数零点的概念,属于难题．21.一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第0站、第1站、第2站、…、第100站，一共101站，设棋子跳到第n 站的概率为n P ，一枚棋子开场在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次．假设掷出奇数点，棋子向前跳一站；假设掷出偶数点，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站(获胜)或者第100站(失败)时，游戏完毕(骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的游戏玩具，它的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6)．(1)求0P ，1P ，2P ，并根据棋子跳到第n 站的情况，试用2n P -和1n P -表示n P ；(2)求证：1{}12100()n n P P n --=⋯，，，为等比数列； (3)求玩该游戏获胜的概率．【答案】〔1〕01P =，112P =，234P =，211122n n n P P P --=+；〔2〕证明见解析；〔3〕10021132⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【解析】【分析】(1) 在第0站是必然事件，所以01P =．棋子跳到第1站，只有一种情形，第一次掷骰子出现奇数点,可求出1P ，棋子跳到第2站，包括两种情形，①第一次掷骰子岀现偶数点，②前两次掷骰子出现奇数点，可求出2P .棋子跳到第(299)n n 站，包括两种情形，①棋子先跳到第2n -站，又掷骰子出现偶数点, ②棋子先跳到第1n -站，又掷骰子出现奇数点,进展求解.(2) 由(1)知，211122n n n P P P --=+，所以112(1)2n n n n P P P P ----=--可证. (3) 该游戏获胜的概率,即求99P ，由〔2〕用累加法可求解.【详解】(1)棋子开场在第0站是必然事件，所以01P =．棋子跳到第1站，只有一种情形，第一次掷骰子出现奇数点，其概率为12，所以112P =． 棋子跳到第2站，包括两种情形，①第一次掷骰子岀现偶数点，其概率为12；②前两次掷骰子出现奇数点，其概率为14，所以2113244P =+=． 棋子跳到第(299)n n 站，包括两种情形，①棋子先跳到第2n -站，又掷骰子出现偶数点，其概率为212n P -；②棋子先跳到第1n -站，又掷骰子出现奇数点，其概率为112n P -． 故211122n n n P P P --=+． (2)由(1)知，211122n n n P P P --=+，所以112(1)2n n n n P P P P ----=--． 又因为1012P P -=-， 所以1{}(1,2,,100)n n P P n --=是首项为12-，公比为12-的等比数列． (3)由(2)知，11111222n n n n P P --⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 所以9999989897100()()()P P P P P P P P =-+-++-+ 99981111222⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭99111221112⎡⎤⎛⎫⎛⎫---⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦=+⎛⎫-- ⎪⎝⎭10021132⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 所以玩该游戏获胜的概率为10021132⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】此题主要考察随机事件的概率和等比数列的概念、通项公式及前n 项和公式．考察累加法求和，属于难题.(二)选考题：一共10分.请考生在第22、23题中任选一题答题.假如多做，那么按所做的第一题计分 选修4-4：坐标系与参数方程xOy 中，曲线C 的参数方程为2221121t x t t y t ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩－＝，＋＝＋(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos sin 40ρθθ＋＝．(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)求C 上的点到l 间隔 的最大值．【答案】〔1〕C 的普通方程为221(1)x y x +=≠-．l的直角坐标方程为40x ++=〔2〕3【解析】【分析】〔1〕把曲线C 的参数方程平方相加可得普通方程，把x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ代入ρcosθ+4＝0，可得直线l 的直角坐标方程；〔2〕设出椭圆上动点的坐标〔参数形式〕，再由点到直线的间隔 公式写出间隔 ，利用三角函数求最值．【详解】〔1〕由2221121t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩〔t 为参数〕，因为221111t t --<+，且22222222()14111t t x y t t ⎛⎫-+=+= ⎪++⎝⎭， 所以C 的普通方程为221(1)x y x +=≠-．由ρcosθ+4＝0，得x +4＝0．即直线l 的直角坐标方程为得x +4＝0； 〔2〕由(1)可设C 的参数方程为cos ,sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数，παπ-<<)． 那么P 到直线得x +4＝0的间隔 为：C 上的点到l 的间隔2cos 432πα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=． 当3πα=时，2cos 43πα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭获得最大值6，故C 上的点到l 间隔 的最大值为3． 【点睛】此题考察间单曲线的极坐标方程，考察参数方程化普通方程，考察直线与椭圆位置关系的应用，是中档题．选修4-5：不等式选讲23.a ，b 为正数，且满足1a b +=．(1)求证：11(1)(1)9a b++； (2)求证：1125()()4a b a b ++． 【答案】〔1〕证明见解析〔2〕证明见解析【解析】【分析】〔1〕把a +b ＝1代入，用柯西不等式证明；〔2〕根据根本不等式求出ab 的范围，再化简所求结论，根据对勾函数的最值，求出即可．【详解】a ，b 为正数，且满足a +b ＝1，〔1〕〔11a +〕〔11b +〕＝111a b a b ab ++++=122a b ++，〔22a b +〕〔a +b 2＝8， 故11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； 〔2〕∵a +b ＝1，a ＞0，b ＞0，∴根据根本不等式1＝a +b ∴0＜ab 14≤， 〔a 1a +〕〔b 1b +〕222222111a b a b a b a b ab+++++=⋅=≥ab 12ab ++， 令t ＝ab ∈〔0，14]，y ＝t 1t+递减， 所以117444min y =+=， 故〔a 1a +〕〔b 1b +〕≥2172544+=． 【点睛】考察根本不等式、柯西不等式的应用，构造函数法证明不等式，属于中档题．制卷人：打自企； 成别使； 而都那。
浙江省衢州、湖州、丽水2021届高三11月教学质量检测数学含答案
8
D.
3
5.已知 f ( x) 是定义在 R 上的函数，则“ f (0) = 0 ”是
“ f ( x) 是奇函数”的
公 众 号 ： 高 三 资 料 库
5
2 正视图
1 1
侧视图
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
俯视图
第 4 题图
6. m ， n 是空间两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列命题中正确的是
（Ⅰ）证明： EF // 平面 PAD ；
P
（Ⅱ）当 AP ⊥ BD ，求直线 PC 与平面 PAD 所成角的正弦值 E
解：（1）取 PD 的中点 M ，连结 AM ， ME ,--------------2 分
D
由已知 AF // ME // DC ，且 AF = ME = 1 DC ,
C
2
A
F
B
（Ⅱ）解法一：取 AD 的中点 O ，连结 PO ，
∵ PA = AD = PD = 2 ， PO ⊥ AD ， 又侧面 PAD ⊥ 底面 ABCD ，∴ PO ⊥ 平面 ABCD ， ∴ PO ⊥ BD 又∵ AP ⊥ BD ， ∴ BD ⊥ 平面 PAD ，------------------------------------------9 分
库
PA = AD = PD = 2 ，侧面 PAD ⊥ 底面 ABCD ， E ， F 分别为 PC ， AB 的中点.
（Ⅰ）求证： EF // 平面 PAD ；
P
（Ⅱ）当 AP ⊥ BD 时，求直线 PC 与平面 PAD 所成角的正弦值.
E
D
C
20.（本小题满分 15 分）
2020年11月浙江省衢州、湖州、丽水三市2021届高三教学质量联考检测数学参考答案
15. 16. 17.
三、解答题
18.在锐角 中,角 所对的边分别是 ,已知
.
（Ⅰ）求角 的值；
（Ⅱ）求 的取值范围.
解：（1）由已知得 ,---------------------------2分
所以 ,---------------------------------------4分
所以 ,所以 ；--------------------------------------6分
（2）
---------------------------------------------8分
,-------------------------------------------------------10分
21.已知椭圆 ,抛物线 的焦点是 ,点 在 的准线上.
（Ⅰ）当 在椭圆 上时,求 的值；
（Ⅱ）如图,过点 的直线 与椭圆 交于 两点,与抛物线 交于 两点,且
是 的中点,过点 的直线 交抛物线 于 两点.若 ,求 的斜率 的
取值范围.
解：（1）由已知 , ；------------------------------------------------2分
由 消去 得 ,
则 ,------（3）且 ,------------------10分
由 消去 得 ,
所以 ,----------------------------------------------------------------------------12分
因为 ,所以 ,即 ,
所以 ,----------（4）-----------------------------------------------------14分
2021年浙江省丽水市、湖州市、衢州市高考数学二模试卷(附答案详解)
2021年浙江省丽水市、湖州市、衢州市高考数学二模试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知复数z=1+3ii，其中i为虚数单位，则|z|=()A. √52B. √102C. √10D. 22.已知直线l，m和平面α()A. 若l//m，m⊂α，则l//αB. 若l//α，m⊂α，则l//mC. 若l⊥α，m⊂α，则l⊥mD. 若l⊥m，l⊥α，则m⊥α3.函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象向左平移2π3个单位，所得到图象的对称轴与原函数图象的对称轴重合，则ω的最小值是()A. 34B. 32C. 2D. 34.若整数x，y满足不等式组{x−2y≥0x+2y+4≥07x+2y−8≤0，则3x+4y的最大值是()A. −10B. 0C. 3D. 55.函数f(x)=(x2−x)cosx的图象可能是()A. B.C. D.6.“关于x的方程√1−x2=|x−m|(m∈R)有解”的一个必要不充分条件是()A. m∈[−2,2]B. m∈[−√2,√2]C. m∈[−1,1]D. m∈[1,2]7.设0<p<23，随机变量ξ的分布列是则当P在(0,23)内增大时，()A. D(ξ)增大B. D(ξ)减小C. D(ξ)先减小后增大D. D(ξ)先增大后减小8.某市抽调5位医生分赴4所医院支援抗疫，要求每位医生只能去一所医院，每所医院至少安排一位医生.由于工作需要，甲、乙两位医生必须安排在不同的医院，则不同的安排种数是()A. 90B. 216C. 144D. 2409.设f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(2−x)=f(x)，数列{a n}满足a1=−1，且a n+1=(1+1n )a n+2n(n∈N∗).则f(a22)=()A. 0B. −1C. 21D. 2210.已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)为减函数，对任意的x∈(0,+∞)，均有f(x)⋅f(f(x)+32x )=14，则函数g(x)=f(x)+3x的最小值是()A. 2B. 5C. 103D. 3二、单空题（本大题共5小题，共24.0分）11.已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P(−√55,2√55)，则tanα=______ ，sin(α+π4)=______ ．12.我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为两个既约分数ba和d c ，则b+da+c是x的更为精确的近科似值.现第一次用“调日法”：由258<π<227得到π的更为精确的近似值为a1，则a1=______ .第二次用“调日法”：由a1<π<227得到π的更为精确的近似值为a2，…，记第n次用“调日法”得到π的更为精确的近似值为a n(n≤10,n∈N∗)．若a n=3.14，则n=______ ．13.设a，b∈R，λ>0，若a2+λb2=4，且a+b的最大值是√5，则λ=______ ．14.已知平面向量a⃗，b⃗ ，c⃗，d⃗，若|a⃗|=|b⃗ |=√3，a⃗⋅b⃗ =0，|a⃗+c⃗|+|a⃗−c⃗|=4，|b⃗ +d⃗|=1，则|c⃗+d⃗|的最大值是______ ．15.已知F1，F2是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过F2的直线交双曲线的右支于A，B两点，且|AF1|=2|AF2|，∠AF1F2=∠F1BF2，则下列结论正确的有______ ．①双曲线C的离心率e=2√33；②双曲线C 的一条渐近线斜率是√3； ③线段|AB|=6a ；④△AF 1F 2的面积是√15a 2．三、多空题（本大题共2小题，共12.0分）16. 已知函数已知函数f(x)={−x 2+2x,x ≤2log 2x −1,x >2，则f(f(4)) (1) ；函数f(x)的单调递减区间是 (2) ．17. 某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是 cm 2，体积是 cm 3．四、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18. 在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sinB +sin(A −C)=cosC..(Ⅰ)求角A 的大小；(Ⅱ)当c =2√3时，求a 2+b 2的取值范围．19. 已知三棱柱ABC −A 1B 1C 1，△ABC 是正三角形，四边形ACC 1A 1是菱形且∠A 1AC =60°，M 是A 1C 1的中点，MB =MC ． (Ⅰ)证明：AM ⊥BC ；(Ⅱ)求直线AM 与平面BCC 1B 1所成角的正弦值．20.已知数列{a n}是各项均为正数的等比数列，若a1=2，a2+a3是a3与a4的等差中项.数列{b n}的前n项和为S n，且S n+n(n+1)2=2a n−2.求证：(Ⅰ)数列{a n−b n}是等差数列；(Ⅱ)1b1+1b2+⋯+1b n≤2(1−1a n).21.已知F1，F2是椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，动点P在椭圆上，且|PF1|的最小值和最大值分别为1和3．(Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅱ)动点M在抛物线C：y2=4x上，且在直线x=a的右侧.过点M作椭圆E的两条切线分别交直线x=−a于A，B两点.当|AB|=10时，求点M的坐标．(x>1)．22.已知函数f(x)=ax+4lnx(Ⅰ)当a=0时，求函数f(x)的图象在(e,f(e))处的切线方程；(Ⅱ)若对任意x∈(1,+∞)，不等式f(x)≥lnx+4恒成立，求实数a的取值范围.(其中e为自然对数的底数)答案和解析1.【答案】C【解析】解：z=1+3ii =−i(1+3i)−i⋅i=3−i，其中i为虚数单位，则|z|=√32+(−1)2=√10，故选：C．利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：对于A，若l//m，m⊂α，则l//α或l⊂α，故A错误；对于B，若l//α，m⊂α，则l//m或l与m异面，故B错误；对于C，若l⊥α，m⊂α，则由线面垂直的性质得l⊥m，故C正确；对于D，若l⊥m，l⊥α，则m与α平行或m⊂α，故D错误．故选：C．对于A，l//α或l⊂α；对于B，l//m或l与m异面；对于C，由线面垂直的性质得l⊥m；对于D，m与α平行或m⊂α．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间思维能力等，是基础题．3.【答案】B【解析】解：∵函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象向左平移2π3个单位，所得到y=sin(ωx+2ωπ3+φ)图象的对称轴与原函数图象的对称轴重合，∴2ωπ3=kπ，k∈Z，令k=1，可得ω的最小值为32，故选：B．由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的周期性，求得ω的最小值．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的周期性，属于中档题．4.【答案】D【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立{x −2y =07x +2y −8=0，解得A(1,2)，令z =3x +4y ，得y =−34x +z4，由图可知，当直线y =−34x +z4过A 时， 直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为5． 故选：D ．由约束条件作出可行域，令z =3x +4y ，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入即可求得3x +4y 的最大值． 本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．5.【答案】A【解析】解：因为函数f(x)=(x 2−x)cosx ， 所以f(1)=(1−1)cos1=0，故选项C 错误；f(−1)=[1−(−1)]cos(−1)=2cos1>0，故选项D 错误； 若选项B 正确，则当x >0时，f(x)与x 轴交点的横坐标为1， 但是f(12)=(14−12)cos 12=−14cos 12<0，故选项B 错误，选项A 正确． 故选：A ．利用特殊的函数值f(1)，f(−1)即可判断选项C ，D ，利用f(x)与x 轴交点的横坐标以及函数值的正负，即可判断选项A ，B ．本题考查了函数图象的判断，一般从函数的定义域、值域、对称性、奇偶性、周期性、单调性等方面进行分析，考查了逻辑推理能力，属于中档题．6.【答案】C【解析】解：化简√1−x 2=|x −m|，得2x 2−2mx +m 2−1=0，关于x 的方程√1−x 2=|x −m|有解的充要条件是△≥0，即4m 2−8(m 2−1)≥0，解得−√2≤m ≤√2．因此关于x 的方程√1−x 2=|x −m|，有解的必要不充分条件是−√2≤m ≤√2的真子集． 故选：C ．关于x 的方程√1−x 2=|x −m|有解的充要条件是△≥0，解得−√2≤m ≤√2.即可得出． 本题考查了一元二次方程有实数根的充要条件及其必要条件，考查了推理能力，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：由随机变量ξ的分布列可得，E(ξ)=−1⋅p +0×13+1⋅(23−p)=−2p +23， 故D (ξ)=p ⋅(−2p +23+1)2+13⋅(−2p +23−0)2+(23−p)⋅(−2p +23−1)2=−4p 2+83p +29=−4(p −13)2+23，其图象为开口向下的抛物线，对称轴方程为p =13， 因为13∈(0,23)，所以D(ξ)先增大后减小． 故选：D ．由分布列求出E(ξ)和D(ξ)，然后利用二次函数的单调性进行分析求解即可．本题考查了离散型随机变量及其分布列的应用，离散型随机变量期望以及方差的求解，涉及了二次函数性质的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．8.【答案】B【解析】解：根据题意，分2步进行分析：①将5位医生分为4组，要求甲乙不在同一组，有C 52−1=9种分组方法， ②将分好的4组安排到4所医院支援抗疫，有A 44=24种安排方法， 则有9×24=216种安排种数， 故选：B ．根据题意，分2步进行分析：①将5位医生分为4组，要求甲乙不在同一组，②将分好的4组安排到4所医院支援抗疫，由分步计数原理计算可得答案． 本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：f(x)是定义在R 上的奇函数，满足f(2−x)=f(x)， 整理得f[2−(x +2)]=f(x +2)=−f(x)， 即f(x +4)=−f(x +2)=f(x) 故函数的最小正周期为4．由于数列{a n }满足a 1=−1，且a n+1=(1−1n )a n +2n ，转换为an+1n+1=a n n +2n(n+1)，故an+1n+1−a n n=2n−2n+1，设b n =a n n，故b 22=(b 22−b 21)+(b 21−b 20)+⋯+(b 2−b 1)+b 1=221−222+220−221+⋯+21−22+a 1=−111+2−1=1011， 故a 22=20，所以f(20)=f(5×4)=f(0)=0． 故选：A ．首先求出数列的周期，进一步利用关系式的变换和叠加法的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的关系式的转换，构造新数列的应用，叠加法，数列的周期，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：令f(x)+32x =t ，则f(x)f(t)=14①， 在原式中，令x =t ，则f(t)f(f(t)+32t )=14， 所以f(f(t)+32t )=14f(t)=14f(f(x)+32x)=f(x)，又f(x)在(0,+∞)上是减函数，所以f(t)+32t =x ，由①得f(t)=14f(x)， 所以14f(x)+32(f(x)+32x)=x ，化简得：(2xf(x)+1)(4xf(x)−3)=0，所以f(x)=−12x (不满足单调递减，舍去)，f(x)=34x，g(x)=f(x)+3x=34x +3x≥2√34×3=3，当且仅当34x =3x，即x=12时等号成立．故选：D．令f(x)+32x =t，有f(x)f(t)=14，再在原式中令x=t，得到f(t)f(f(t)+32t)=14，通过变形进一步得到f(x)的解析式，再结合基本不等式即可得到答案．本题主要考查抽象函数的应用，涉及到函数的单调性，考查学生的逻辑推理能力．11.【答案】−2√1010【解析】解：由题意可得tanα=2√55−√55=−2，OP=1，cosα=−√55，sinα=2√55，则sin(α+π4)=√22(sinα+cosα)=√22×√55=√1010，故答案为：−2；√1010．由题意利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，计算求得结果．本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，属于基础题．12.【答案】47156【解析】解：第一次：258<π<227，不足近似值为258，过剩近似值为227，∴a1=25+228+7=4715；第二次：4715<π<227，不足近似值为4715，过剩近似值为227，∴a2=47+2215+7=6922；第三次：6922<π<227，不足近似值为6922，过剩近似值为227，∴a3=69+2222+7=9129；第四次：9129<π<227，不足近似值为9129，过剩近似值为227，∴a4=91+2229+7=11336；第五次：11336<π<227，不足近似值为11336，过剩近似值为227，∴a 5=113+2236+7=13543；第六次：13543<π<227，不足近似值为13543，过剩近似值为227， ∴a 6=135+2243+7=15750=3.14；综上可得，n =6． 故答案为：4715，6．根据题意，依次进行推理即可得出结论．本题是根据题中所给理论进行逻辑推理的题型，主要考查学生的逻辑推理和计算能力，属于基础题．13.【答案】4【解析】解：由已知得a 24+λb 24=1，令a =2cosθ,b =√λsinθ，则a +b =2√1+1λsin(θ+φ)，其中tanφ=√λ 所以a +b 的最大值为2√1+1λ=√5，解得λ=4．故答案为：4．令a =2cosθ,b =2√λsinθ，结合辅助角公式即可求得a +b 的最大值．本题主要考查利用三角换元法求最值问题，涉及到辅助角公式的应用，考查学生的数学计算能力．14.【答案】1+2√2【解析】解：不妨令OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ,OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =d ⃗ ， 以点O 为坐标原点，OA ，OB 所在直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则O(0,0)，A(√3,0),B(0,√3),A′(−√3,0)，因为|a ⃗ +c ⃗ |+|a ⃗ −c ⃗ |=4，所以|CA|+|CA′|=4>2√3=|AA′|，故点C 在以4为长轴，A′(−√3,0),A(√3,0)为焦点的椭圆上， 则点C 的轨迹方程为x 24+y 2=1，又|b ⃗ +d ⃗ |=1，即|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1， 故点D 在以B(0,√3)为圆心，1为半径的圆上， 又|c ⃗ +d ⃗ |=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤|BC|+1， 所以转化为求解|BC|的最大值，由图易得，当以B 为圆心，r 为半径的圆x 2+(y −√3)2=r 2与椭圆x 24+y 2=1内切时有最大值，联立方程组消去x 可得，3y 2+2√3y +r 2−7=0， 则△=12−12(r 2−7)=0，解得r =2√2， 所以|c ⃗ +d ⃗ |max =1+|BC|max =1+2√2． 故答案为：1+2√2．令OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ,OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =d ⃗ ，建立平面直角坐标系，求出点的坐标，利用已知条件得到点C 的轨迹是椭圆，点D 的轨迹是圆，将问题转化为求解|BC|的最大值问题，当圆与椭圆内切有最大值，联立方程组，求解即可．本题考查了平面向量的综合应用，涉及了向量的坐标表示，动点轨迹的求解，圆与椭圆的应用，综合性强，涉及知识点多，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．15.【答案】②④【解析】解：如图示：由于且|AF 1|=2|AF 2|，∠AF 1F 2=∠F 1BF 2，可得：且|AF 1|=4a ，|AF 2|=2a ，由于∠AF 1F 2=∠F 1BF 2， 所以△AF 2F 1∽△ABF 2，故AF 2AF 1=ABAF 2，可得：|AB|=2|AF 2|=8a ， 故|BF 1|=6a ，|BF 2|=8a ，所以|F1F2|=2c=4a，所以离心率e=2，=√3，故ba在△AF1F2中，|AF1|=4a，|AF2|=2a，|F1F2|=4a，=√15a2．所以S△AF1F2故②④正确；故答案为：②④．直接利用双曲线的方程和定义，双曲线的性质，离心率，渐近线的定义，三角形的相似的应用，三角形的面积的应用判断①②③④的结论．本题考查的知识要点：双曲线的方程和定义，双曲线的性质，离心率，渐近线的定义，三角形的相似的应用，三角形的面积，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．16.【答案】1[1,2]【解析】解：f(4)=log24−1=1；∴f(f(4))=f(1)=−12+2×1=1；x≤2时，f(x)=−x2+2x，对称轴为x=1；∴f(x)在[1,2]上单调递减；∴f(x)的单调递减区间为[1,2]．故答案为：1，[1,2]．根据分段函数f(x)的解析式，可先求f(4)=1，从而便可得出f(f(4))的值，根据f(x)解析式可看出二次函数y=−x2+2x在[1,2]上单调递减，即求出了f(x)的单调递减区间．考查已知分段函数的解析式求函数值的方法，对数的运算，对数函数的单调性，以及二次函数的单调性及单调区间．17.【答案】20+4√58【解析】解：由三视图作出原图形如图所示，原几何体为底面是边长为2cm 、4cm 的直角三角形，高为2cm 的直三棱柱； 其表面积为S =2×12×2×4+4×2+2×2+2×√42+22=20+4√5cm 2； 体积为V =12×4×2×2=8cm 3． 故答案为：20+4√5，8．由三视图作出原图形的直观图，结合图形求出它的表面积与体积． 本题考查了三视图与体积、表面积的计算问题，是基础题目．18.【答案】解：(Ⅰ)由sinB +sin(A −C)=cosC ，得sin(A +C)+sin(A −C)=cosC ， 化简2sinAcosC =cosC ，由于△ABC 为锐角三角形，所以cosC ≠0，得sinA =12， 又0<A <π2， 故A =π6，(Ⅱ)由正弦定理得bsinB =csinC ， 得b =csinB sinC=√3tanC +3，又{0<C <π20<5π6−C <π2， 所以π3<C <π2，tanC >√3， 所以3<√3tanC +3<4故3<b <4，由余弦定理得a 2=b 2+c 2−√3bc =b 2−6b +12， 所以a 2+b 2=2b 2−6b +12=2(b −32)2+152∈(12,20)．【解析】(I)由已知结合诱导公式及和差角公式进行化简可求sin A，进而可求A；(II)由已知结合正弦定理及同角基本关系可用tan C表示b，结合锐角三角形确定C的范围，进而可求b的范围，再由余弦定理及二次函数的性质可求．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式在求解三角形中的应用，属于中档题．19.【答案】(Ⅰ)证明：取BC中点为D，连结AD，MD，如图所示，由MB=MC得MD⊥BC，由△ABC是正三角形，所以AD⊥BC，又MD∩AD=D，MD，AD⊂平面AMD，故BC⊥平面AMD，又AM⊂平面AMD，因此BC⊥AM；(Ⅱ)证明：设AD中点为E，平面AME交B1C1于N，连结NE，设A1A=AC=1.由MN//AD，所以C1N=14B1C1=14，由直角梯形DCC1N，则有DN=√154，由BC⊥平面AMND，又BC⊂平面BCC1B1，所以平面BCC1B1⊥平面AMND，所以DN为AM在平面BCC1B1内的射影，所以∠END为AM与平面BCC1B1所成的角，在△END中，DE2=EN2+DN2−2EN⋅DNcos∠END，由DE=√34，EN=AM=√72，DN=√154得cos∠END=2√10521，所以sin∠END=√2121，所以直线AM与平面BCC1B1所成角的正弦值√2121．【解析】(Ⅰ)取BC中点为D，连结AD，MD，利用三角形的性质结合线面垂直的判定定理证明BC⊥平面AMD，即可证明BC⊥AM；(Ⅱ)设AD中点为E，平面AME交B1C1于N，连结NE，通过证明面面垂直得到DN为AM在平面BCC1B1内的射影，从而得到∠END为AM与平面BCC1B1所成的角，然后在三角形中利用边角关系求解即可．本题考查了线面垂直的证明以及线面角的求解，在使用几何法求线面角时，可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得，属于中档题．20.【答案】证明：(Ⅰ)数列{a n}是各项均为正数的等比数列，若a1=2，a2+a3是a3与a4的等差中项，由已知a3+a4=2(a2+a3)，整理得a4−a3−2a2=0．设数列{a n}的公比为q，则q2−q−2=0，解得q=2或−1(负值舍去)故a n=2n．由S n+n(n+1)2=2a n−2.①当n=1时，解得b1=1，当n≥2时，S n−1+n(n−1)2=2a n−1−2②，①−②得：b n+n=2a n−2a n−1=2n，解得b n=2n−n．所以a n−b n=n，故(a n−b n)−(a n−1−b n−1)=1(常数)，故数列{a n−b n}是等差数列．(Ⅱ)由于a n=2n，数列{a n−b n}是以1为首项，1为公差的等差数列，则：a n−b n=1+(n−1)=n，所以b n=2n−n，根据不等式12n−n ≤n+12n=n+22n−1−n+32n，所以1b1+1b2+⋯+1b n≤(220−421+421−522+⋯+n+22n−1−n+32n)=2−n+32n，由于2(1−1an )=2−22n，所以1b1+1b2+⋯+1b n≤2(1−1a n)成立．【解析】(Ⅰ)根据等比数列的性质和数列的递推关系式证明结论；(Ⅱ)利用放缩法和裂项相消法在数列求和中的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的递推关系式，等比数列的性质，放缩法，裂项相消法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．21.【答案】解析：(Ⅰ)由{a −c =1 a +c =3，解得a =2，c =1，b =√3， 所以椭圆方程为x 24+y 23=1．(Ⅱ)不妨设k PA =k 1，k PB =k 2，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，M(t 2,2t)， 设过点M 作椭圆的切线方程为y =k(x −t 2)+2t ， 由{y =kx +(2t −t 2k)3x 2+4y 2=12， 得(3+4k 2)x 2+8k(2t −t 2k)x +4(2t −t 2k)2−12=0， 由△=0得到(t 4−4)k 2−4t 3k +4t 2−3=0， 所以k 1+k 2=4t 3t 4−4，k 1k 2=4t 2−3t 4−4，|AB|=|y 1−y 2|=(t 2+2)|k 1−k 2|， 因为|k 1−k 2|=√(k 1+k 2)2−4k 1k 2=2√3t 4+16t 2−12|t 4−4|，所以|AB|=(t 2+2)⋅2√3t 4+16t 2−12|(t 2−2)(t 2+2)|=2√3+4(7t 2−6)t 4−4t 2+4=10， 解得t 2=4，点M 的坐标为(4,±4)．【解析】(Ⅰ)由|PF 1|的最小值和最大值分别为1和3，列方程组，解得a ，c ，b ，进而可得答案．(Ⅱ)不妨设k PA =k 1，k PB =k 2，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，M(t 2,2t)，设过点M 作椭圆的切线方程为y =k(x −t 2)+2t ，联立椭圆的方程，得△=0，即(t 4−4)k 2−4t 3k +4t 2−3=0，结合韦达定理，得k 1+k 2，k 1k 2，进而可得|AB|=|y 1−y 2|=(t 2+2)|k 1−k 2|=10，解得t ，即可得出答案．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．22.【答案】解：(Ⅰ)当a =0时，f(x)=4lnx ，所以f(e)=4，此时f′(x)=4xln 2x ，可得切线的斜率为f′(e)=−4e ，所以所求切线方程为y −4=−4e (x −e)，即y =−4e x +8； (Ⅱ)由题意得ax +4−ln 2x −4lnx ≥0对对任意x ∈(1,+∞)恒成立．令x =e ，得a ≥1e ，设g(x)=ax +4−ln 2x −4lnx(x >1)， g′(x)=a −2lnx+4x，设ℎ(x)=2lnx+4x，则ℎ′(x)=−2(1+lnx)x 2<0，所以ℎ(x)在(1,+∞)递减，故0<ℎ(x)<4．①当a ≥4时，g′(x)≥0，所以g(x)在(1,+∞)单调递增，g(x)>g(1)=a +4>0， 所以a ≥4满足题意；②当1e ≤a <4时，存在x 0>1使得a =2lnx 0+4x 0，即ax 0=2lnx 0+4，且g(x)在(1,x 0)单调递减，在(x 0,+∞)单调递增， 所以g(x)min =g(x 0)=ax 0+4−ln 2x 0−4lnx 0≥0，所以2lnx 0+4+4−ln 2x 0−4lnx 0≥0，即ln 2x 0+2lnx 0−8≤0，解得−4≤lnx 0≤2， 即1<x 0≤e 2，由ℎ(x)=2lnx+4x在(1,+∞)递减，可知8e 2≤a <4， 综上所述，可得a ≥8e 2．【解析】(Ⅰ)求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程； (Ⅱ)由题意得ax +4−ln 2x −4lnx ≥0对对任意x ∈(1,+∞)恒成立，可设g(x)=ax +4−ln 2x −4lnx(x >1)，求得导数，对a 讨论，分a ≥4，1e ≤a <4时，讨论g(x)的单调性和最值，解不等式可得所求范围．本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性、最值，以及不等式恒成立问题解法，考查方程思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．。
浙江省衢州、湖州、丽水2021届上学期高三年级11月教学质量检测数学试卷
浙江省衢州、湖州、丽水2021届上学期高三年级11月教学质量检测数学试卷全卷满分150分，考试时间120分钟参考公式：若事件,A B 互斥，则，若事件,A B 相互独立，则若事件在一次试验中发生的概率是，则次独立重复试验中事件恰好发生次的概率柱体的体积公式，其中表示柱体的底面积，表示柱体的高 锥体的体积公式，其中表示锥体的底面积，表示锥体的高 球的表面积公式，球的体积公式，其中表示球的半径台体的体积公式，其中分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高 一、选择题本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合{}|1P x x =>-， {}|5Q x x =<，则PQ =A(),-∞+∞B{}|5x x <C{}|15x x -<<D{}|1x x >-2已知R a ∈，若复数()2i z a a a =-+（i 是虚数单位）是纯虚数，则a = A 0B 1C1-D23若实数,x y 满足200x y x y +-≥⎧⎨-≥⎩，则2z x y =-A 有最小值1，无最大值B 有最小值1-，无最大值C 有最大值2-，无最小值D 有最大值1-，无最小值4一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A3 B 43C D 835已知()f x 是定义在R 上的函数，则“()00f =”是“()f x 是奇函数”的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D既不充分又不必要条件6m ，n 是空间两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是 A 若//m α，//n β，//αβ，则//m n B 若m α⊂，n β⊂，αβ⊥，则m n ⊥ C 若m n ⊥，m α⊥，//n β，则αβ⊥D若m α⊥，n β⊥，//m n ，则//αβ ()()()P A B P A P B +=+()()()P AB P A P B =A p n A k ()(1)(0,1,2,,)k kn k n n P k C p p k n -=-=V Sh =S h 13V Sh =S h 24S R π=343V R π=R ()1213V h S S =12,SS7已知函数()f x '的图象如图所示，则()y f x =的图象可能是8已知双曲线:C 22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点1F 的直线l 与双曲线C 在第一象限的交点为P ，若原点到直线l 的距离为a ，1260F PF ∠=，则双曲线C 的离心率为 AB 2C1D9已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，前n 项的积是n T ①若{}n a 是等差数列，则{}1n n a a ++是等差数列；②若{}n a 是等比数列，则{}1n n a a ++是等比数列；③若n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，则{}n a 是等差数列；④若{}n a 是等比数列，则()2n n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列 其中正确命题的个数有 A 1个 B 2个 C 3个D4个10已知空间向量,,a b c 两两的夹角均为60，且||||1a b ==，||2c =若向量,x y 满足()x x a x b ⋅+=⋅，()y y a y c ⋅+=⋅，则||x y -的最大值是A1+B1C12+D12+ 二、填空题本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分 11古希腊著名数学家毕达格拉斯发现：数量为1,3,6,10,的石子，可以排成三角形（如图），我们把这样的数称为“三角形数”，依此规律，第n 个“三角形数”是()12n n +，则第5个“三角形数”是 ，前6个“三角形数”的和是12已知()12nx -展开式中第三项的二项式系数是10，则n = ，展开式中最大的系数是13已知函数()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0ω>的最小正周期是π，则ω= ，单调递增区间是14已知直线:2l y x b =+()0b ≠被圆()()221:319C x y -+-=所截得的弦长为4，且与圆心为()2,1-的圆2C 相切，则b = ；圆2C 的半径长是15已知三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为2，侧棱1AA ⊥底面ABC ，若,E F 分别是线段1BB ，11A C 的中点，则异面直线AE 与CF 所成角的余弦值是16一个口袋中有3个红球，3个白球，2个黑球，现从中任取3个球，记取出的球的颜色有ξ种，则()E ξ= 17若实数,x y满足(24x y =，则x y +的最小值是三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18 （本小题满分14分）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，2222sin 6b c a bc A π⎛⎫+-=+ ⎪⎝⎭（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求sin cos B C ⋅的取值范围19（本小题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60BAD ∠=，2PA AD PD ===，侧面PAD ⊥底面ABCD ，E ，F 分别为PC ，AB 的中点（Ⅰ）求证：//EF 平面PAD ；（Ⅱ）当AP BD ⊥时，求直线PC 与平面PAD 所成角的正弦值20（本小题满分15分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，()211*n n n S S a n +++=∈ N （Ⅰ）求2a ，3a 的值，并写出数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n b =，数列{}n b 的前n 项和为n T，求证：312n T <≤()*n ∈N21（本小题满分15分）已知椭圆22:14x T y +=，抛物线2:2M y px =的焦点是F ，且动点()1,G t -在其准线上（Ⅰ）当点G 在椭圆T 上时，求GF 的值；BFEDCAP（Ⅱ）如图，过点G 的直线1l 与椭圆T 交于,P Q 两点，与抛物线M 交于,A B 两点，且G 是线段PQ 的中点，过点F 的直线2l 交抛物线M 于,C D 两点若//AC BD ，求2l 的斜率k 的取值范围22（本小题满分15分）已知函数()1xf x e x =--，2()g x ax =（a ∈R ） （Ⅰ）求()f x 的值域；（Ⅱ）当(),a t ∈+∞时，函数()()()2F x f x g x =-+有三个不同的零点，求实数t 的最小值； （Ⅲ）当()0,x ∈+∞时，()()()()ln 1f x x x g x ++≥恒成立，求a 的取值范围浙江省衢州、湖州、丽水2021届上学期高三年级11月教学质量检测数学试卷参考答案11 1556 12 5 80132 ,,1212k k k Z ππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦14 10- 15 1516 16717418解：（1）由已知得cos sin 6A A π⎛⎫=+⎪⎝⎭---2分 所以1cos cos 22A A A =+-----4分 所以tan 3A =，所以6A π=-----6分 （2）sin cos sin cos 6BC C C π⎛⎫⋅=+⋅ ⎪⎝⎭1sin cos cos 22C C C ⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭-----8分 11sin 2264C π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭------10分 因为ABC ∆是锐角三角形，所以,32C ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭-12分 572,666C πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以11sin 2,622C π⎛⎫⎛⎫+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭---------------13分 所以111sin 20,2642C π⎛⎫⎛⎫++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭----------------------------------------------14分 19． 解：（1）取PD 的中点M ，连结AM ，ME ----2分 由已知////AF ME DC ，且12AF ME DC ==，所以四边形AFEM 是平行四边形---3分 所以//EF AM ，又EF ⊄平面PAD ，AF ⊂平面PAD -6分 所以//EF 平面PAD ---7分COP G MFED BA（2）解法一：取AD 的中点O ，连结PO ∵2PA AD PD ===，PO AD ⊥，又侧面PAD ⊥底面ABCD ∴PO ⊥平面ABCD ∴PO BD ⊥又∵AP BD ⊥∴BD ⊥平面PAD ---9分∴BD AD ⊥又60BAD ∠=∴24AB AD ==．--------------------11分过点C 作CG AD ⊥于点G ，连结PG ，由平面PAD ⊥平面ABCD 知， CG ⊥平面PAD ，所以CPG ∠是直线PC 与平面PDC 所成角----13分又CG =PG =所以45CPG ∠=，即直线PC 与平面PDC 所成角为45．------------15分解法二：取AD 的中点O ，连结PO ∵2PA AD PD ===，PO AD ⊥，又侧面PAD ⊥底面ABCD ∴PO ⊥平面ABCD ∴PO BD ⊥又∵AP BD ⊥∴BD ⊥平面PAD --9分 ∴BD AD ⊥又60BAD ∠=∴24AB AD ==．---------------------11分以D 为原点，射线DA DB ，分别为x 轴、y 轴建立如图的空间直角坐标系，则()000D ，，，()200A ，，，()00B，()20C -，(10P ，则(3CP =-，，又平面PAD 的法向量为()0,0,1n =，-------------------13分 设直线PC 与平面PDC 所成角为θ，则2sin 2n CP n CPθ⋅==⋅， 所以直线PC 与平面PDC 所成角为45 -------15分20解：（1）当1n =时，2212S S a +=，即22220a a --=，0n a >，22a =，2323S S a +=，解得33a =---4分由21121(2)n n n n n n S S a S S a n ++-⎧+=⎪⎨+=≥⎪⎩，可得2211(2)n n n n a a a a n +++=-≥ 即111()()(2)n n n n n n a a a a a a n ++++=+-≥0n a >11(2)n n a a n +∴-=≥又21211a a -=-=∴{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列1(1)n a n n ∴=+-=---7分（2）由（1）得1nT n=+，当2n ≥<=9分将上式对k 从1到n 求和，得11)1n T≤+=-----------12分注意到：12+>=--------------------14分 将上式对k 从1到1n -求和，得1331)222n n T T -⇒>>15分C所以312n T <≤经验证，当1n =时，上式也成立 21解：（1）由已知12p =，2p =--2分 因为G 在椭圆T 上，所以2114t +=，所以234t =-4分所以GF ==-----6分 （2）设()1:1l x m y t +=-，2:1l x ny =+，()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，因为G 是PQ 的中点，所以114t m -⋅=-，且2114t +<，所以4m t =---1）且234t <--2）-8分由()241y x x m y t ⎧=⎪⎨+=-⎪⎩消去x 得24440y my mt -++=，则()21610m mt ∆=-->---3）且12y y -=分 由241y xx ny ⎧=⎨=+⎩消去x 得2440y ny --=，所以34y y -=分 因为//AC BD ，所以132444y y y y =++，即1234y y y y -=-，所以2222122n m mt t =--=---------4）------14分 由1）2）3）解得213124t <<， 由4）得207n <<，即217k>，所以7k >或7k <-----------15分22 解：（1）∵()1e xf x '=-，由()0f x '=得，0x =--------------------2分∴()f x 在区间(],0-∞上单调递减，在区间[)0,+∞上单调递增，-----------4分 ∴函数()f x 的值域是[)0,+∞；----------------------------5分（2）()2e 1x F x ax x =--+，∴()21xF x e ax '=--，()2xF x e a ''=-，当0a ≤时，()0F x ''>，()F x '单调递增，又()00F '=，∴()F x '在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,+∞上单调递增∴()()00F x F ''≥=，∴()F x 在R 上单调递增，不合题意---7分当0a >时，由()20xF x e a ''=->，得ln(2)x a >，∴()F x '在区间(],ln(2)a -∞上单调递减，在区间[)ln(2),a +∞上单调递增∵(0)0F '=，12102a F e a -⎛⎫-=> ⎪⎝⎭∴若102a <<，则在区间(],ln(2)a -∞上存在1x ，当()1,x x ∈-∞时，()0F x '>，当()1,0x x ∈时，()0F x '<，当()0,x ∈+∞时，()0F x '>∴()F x 在区间()1,x -∞上单调递增，在区间()1,0x 上单调递减，在区间()0,+∞上单调递增，此时函数()F x 有且只有一个零点--9分当12a >时，存在()2ln(2)x a ∈+∞，，使得()222210x F x e ax '=--=∴()F x 在区间(),0-∞上单调递增，在区间()20,x 上单调递减，在区间()2,x +∞上单调递增，从而要使()F x 有三个零点，必有()2222210x F x e ax x =--+<∴()2222120ax a x --->，即()()22210x ax -+>∴22x >又∵2212x e a x -=，令()12x e h x x -=，则()()2112x x e h x x -+'=∵当2x >时，()0h x '>∴()h x 在区间()2,+∞单调递增∴()2124e a h ->=，即2min 14e t -=-------11分（3）()()2ln 1f x x x ax ++⎡⎤⎣⎦()()21ln 1e -xx ax ⇔+，∴()()()()()2ln 1111ln 11ln 1ln 1e -e -e -e x xxx x x x a x x x x ++==-++ -----13分 令()1e -x m x x=，则()()21e xx m x x -'=，令()()11e x x x ϕ=-+，则()e xx x ϕ'= ∵0x >∴()0x ϕ'>，()x ϕ在()0,+∞上单调递增 ∴()()1010ex ϕϕ>=->，于是()m x 在()0,+∞上单调递增， 又由（1）知当()0,x ∈+∞时，e1xx +恒成立∴()ln 1x x >+∴()()1ln(1)m x am x <+∴a 的取值范围是(),1-∞------------------15分。
浙江省湖州、衢州、丽水2021届高三11月教学质量检测信息技术试题(解析版)
For i = 1 To 5
k = i
For j = i + 1 To 6
If a(j) Mod 3 <= a(k) Mod 3 Then k = j
Next j
tmp = a(i): a(i) = a(k): a(k) = tmp
Next i
数组元素a(1)～a(6)的值依次为“62，54，35，67，15，34”。执行该程序段后，a(1)～a(6)的值依次为（）
【答案】D
【解析】
【详解】本题主要考查网页和浏览器知识点。使用搜索引擎检索的结果中，排在第一条的内容未必准确度最高，选项A说法错误；使用浏览器收发电子邮件的过程中涉及的协议有POP3和SMTP及HTTP等，选项B说法错误；浏览器与Web服务器之间传输的信息内容是用HTTP协议，选项C说法错误；在IE浏览器中以“文本文件（*.txt）”类型保存网页，无法保存网页中的超链接地址，故本题选D选项。
3<=9,Y,3mod2=1,Y, j=9-3=6,c=3+1=4,
3<=6,Y,4mod2=1,N,i=3+4=7,c=4+1=5,
7<=6,N,输出c，值 5，故答案为C。
9.有如下VB程序段：
a(1) = 1: s = 0
For i = 2 To 6
s = 0
For j = 1 To i – 1
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】本题考查图像加工和处理。A选项，“鹤”图层虽然被锁定，但该图层中内容仍可以进行复制操作，粘贴后，复制的内容会出现在新的图层中。B选项，①处指向的值指转换为BMP格式后的容量，删除图层，BMP文件的宽度和高度及位深度不会改变，因此容量不变。C选项，文本图层不可以使用仿制图章工具。D选项，图层样式是针对整个图层的，因此该图层中其他内容也添加了图层样式。故本题选B。
浙江省湖州、衢州、丽水2021届高三11月教学质量检测技术答题卡
01 A B C D 06 A B C D 11 A B C D 02 A B C D 07 A B C D 12 A B C D 03 A B C D 08 A B C D !# A B C D 0二4、A非选B择题C部分D（本题09共A4 小B题，C其中D第 13 小题 4 分，第 14 小题 8 分，第
01 A B C D 06 A B C D 11 A B C D
02 A B C D 07 A B C D 12 A B C D
03 A B C D 08 A B C D 13 A B C D
二04、A非选B择题C（本D大题共094A小题B，第C14 小D题 6 分，第 15 小题 9 分，第 16 小
15 小题 7 分，第 16 小题 7 分，共 26 分。）
（4）
15.（1） （2）① ② （3）
13.（1） （2） （3）
16.（1） （2）① ② ③
请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效
请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效
请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效
题 3 分，第 17 小题 6 分，共 24 分）
14．（6 分）
（1）
、
、
、
、（4 分）；
（2）
（1 分）；（3）
（1 分）。
15．（9 分）
（1）；（3）
（1 分）；
17．（6 分） （1） （2）
（1 分）；
请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效
衢州、丽水、湖州三地市 2020 年 11 月高三教学质量检测 试卷
技术 答题卷
浙江省衢州、湖州、丽水2021届高三11月教学质量检测(含听力)英语试题(解析版)
衢州、湖州、丽水三地市教学质量检测高三英语试题卷第Ⅰ卷1. 答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在本试卷上，否则无效。
第一部分：听力（共两节，满分30分）第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C 三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1. 【此处可播放相关音频，请去附件查看】What does the woman do?A. She is a student.B. She is a lawyer.C. She is the owner of a bakery.【答案】B【解析】【原文】M: Do you still work across the street from that bakery?W: No. I used to work there when I was in la w school. But now that I’m a lawyer, I work in an office downtown. 2. 【此处可播放相关音频，请去附件查看】Who is the man probably talking to?A. His boss.B. His assistant.C. His customer.【答案】A【解析】【原文】W: Can you please have that report done by the end of the day？I need to send it on to our customers. M: Yes, ma’am. I’m almost done. I’ve had my assistant helping me. I’ll give it to you as soon as possible.3. 【此处可播放相关音频，请去附件查看】What will the man do on Saturday?A. Visit his friends.B. Get some work done.C. Have lunch with the woman.【答案】B【解析】【原文】W: Are you free for lunch on Saturday? We’re trying to get everyone together.M: No. I work on Saturdays…but please don’t change your plans for me. It’s impossible to pick a time that works for everyone!W: OK. Well, we’ll mis s you. Our friends always complain because they never see you!4. 【此处可播放相关音频，请去附件查看】What is the main topic of the conversation?A. The teacher’s notes.B. The content of the final exam.C. The materials needed for the test.【答案】C【解析】【原文】M: Can you tell us about the final exam, Mrs. Nelson?W: Yes. You need to bring paper, a pen, and your notes. You are allowed to use the notes you took in class while you take your test, so I hope you all took good notes!5. 【此处可播放相关音频，请去附件查看】What is the man’s probable f eeling about the fire alarm?A. Excited.B. Scared.C. Upset.【答案】C【解析】【原文】M: What’s that sound? It’s so loud that I can hardly concentrate on my work.W: Don’t worry, Sam. It’s just the fire alarm. They test it every Friday at noon. It keeps us safe, an d I like to think of it as a friendly reminder that the weekend is coming.第二节（共15小题；每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。
2021年浙江省丽水市、湖州市、衢州市高考数学(二模)教学质量检测试卷(解析版)
2021年浙江省丽水市、湖州市、衢州市高考数学教学质量检测试卷（二模）一、选择题（每小题4分）.1．已知复数z＝，其中i为虚数单位，则|z|＝（）A．B．C．D．22．已知直线l，m和平面α（）A．若l∥m，m⊂α，则l∥αB．若l∥α，m⊂α，则l∥mC．若l⊥α，m⊂α，则l⊥m D．若l⊥m，l⊥α，则m⊥α3．函数y＝sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象向左平移个单位，所得到图象的对称轴与原函数图象的对称轴重合，则ω的最小值是（）A．B．C．2D．34．若整数x，y满足不等式组，则3x+4y的最大值是（）A．﹣10B．0C．3D．55．函数f（x）＝（x2﹣x）cos x的图象可能是（）A．B．C．D．6．“关于x的方程＝|x﹣m|（m∈R）有解”的一个必要不充分条件是（）A．m∈[﹣2，2]B．m∈[﹣，]C．m∈[﹣1，1]D．m∈[1，2]7．设0＜p＜，随机变量ξ的分布列是ξ﹣101P p﹣p 则当P在（0，）内增大时，（）A．D（ξ）增大B．D（ξ）减小C．D（ξ）先减小后增大D．D（ξ）先增大后减小8．某市抽调5位医生分赴4所医院支援抗疫，要求每位医生只能去一所医院，每所医院至少安排一位医生．由于工作需要，甲、乙两位医生必须安排在不同的医院，则不同的安排种数是（）A．90B．216C．144D．2409．设f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（2﹣x）＝f（x），数列{a n}满足a1＝﹣1，且a n+1＝（1+）a n+（n∈N*）．则f（a22）＝（）A．0B．﹣1C．21D．2210．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）为减函数，对任意的x∈（0，+∞），均有f（x）•f（f（x）+）＝，则函数g（x）＝f（x）+3x的最小值是（）A．2B．5C．D．3二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分．11．已知函数已知函数f（x）＝，则f（f（4））；函数f（x）的单调递减区间是．12．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是cm2，体积是cm3．13．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（﹣，），则tanα＝，sin（）＝．14．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为两个既约分数和，则是x的更为精确的近科似值．现第一次用“调日法”：由得到π的更为精确的近似值为a1，则a1＝．第二次用“调日法”：由a1得到π的更为精确的近似值为a2，…，记第n次用“调日法”得到π的更为精确的近似值为a n（n ≤10，n∈N*）．若a n＝3.14，则n＝．15．设a，b∈R，λ＞0，若a2+λb2＝4，且a+b的最大值是，则λ＝．16．已知平面向量，，，，若||＝||＝，＝0，||+||＝4，||＝1，则||的最大值是．17．已知F1，F2是双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F2的直线交双曲线的右支于A，B两点，且|AF1|＝2|AF2|，∠AF1F2＝∠F1BF2，则下列结论正确的有．①双曲线C的离心率e＝；②双曲线C的一条渐近线斜率是；③线段|AB|＝6a；④△AF1F2的面积是a2．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin B+sin（A﹣C）＝cos C．．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）当c＝2时，求a2+b2的取值范围．19．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，△ABC是正三角形，四边形ACC1A1是菱形且∠A1AC＝60°，M是A1C1的中点，MB＝MC．（Ⅰ）证明：AM⊥BC；（Ⅱ）求直线AM与平面BCC1B1所成角的正弦值．20．已知数列{a n}是各项均为正数的等比数列，若a1＝2，a2+a3是a3与a4的等差中项．数列{b n}的前n项和为S n，且S n+＝2a n﹣2．求证：（Ⅰ）数列{a n﹣b n}是等差数列；（Ⅱ）…+≤2（1﹣）．21．已知F1，F2是椭圆E：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，动点P在椭圆上，且|PF1|的最小值和最大值分别为1和3．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）动点M在抛物线C：y2＝4x上，且在直线x＝a的右侧．过点M作椭圆E的两条切线分别交直线x＝﹣a于A，B两点．当|AB|＝10时，求点M的坐标．22．已知函数f（x）＝（x＞1）．（Ⅰ）当a＝0时，求函数f（x）的图象在（e，f（e））处的切线方程；（Ⅱ）若对任意x∈（1，+∞），不等式f（x）≥lnx+4恒成立，求实数a的取值范围．（其中e为自然对数的底数）参考答案一、选择题（每小题4分）.1．已知复数z＝，其中i为虚数单位，则|z|＝（）A．B．C．D．2解：z＝＝＝3﹣i，其中i为虚数单位，则|z|＝＝，故选：C．2．已知直线l，m和平面α（）A．若l∥m，m⊂α，则l∥αB．若l∥α，m⊂α，则l∥mC．若l⊥α，m⊂α，则l⊥m D．若l⊥m，l⊥α，则m⊥α解：对于A，若l∥m，m⊂α，则l∥α或l⊂α，故A错误；对于B，若l∥α，m⊂α，则l∥m或l与m异面，故B错误；对于C，若l⊥α，m⊂α，则由线面垂直的性质得l⊥m，故C正确；对于D，若l⊥m，l⊥α，则m与α平行或m⊂α，故D错误．故选：C．3．函数y＝sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象向左平移个单位，所得到图象的对称轴与原函数图象的对称轴重合，则ω的最小值是（）A．B．C．2D．3解：∵函数y＝sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象向左平移个单位，所得到y＝sin（ωx++φ）图象的对称轴与原函数图象的对称轴重合，∴＝kπ，k∈Z，令k＝1，可得ω的最小值为，故选：B．4．若整数x，y满足不等式组，则3x+4y的最大值是（）A．﹣10B．0C．3D．5解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，2），令z＝3x+4y，得y＝﹣，由图可知，当直线y＝﹣过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为5．故选：D．5．函数f（x）＝（x2﹣x）cos x的图象可能是（）A．B．C．D．解：因为函数f（x）＝（x2﹣x）cos x，所以f（1）＝（1﹣1）cos1＝0，故选项C错误；f（﹣1）＝[1﹣（﹣1）]cos（﹣1）＝2cos1＞0，故选项D错误；若选项B正确，则当x＞0时，f（x）与x轴交点的横坐标为1，但是，故选项B错误，选项A正确．故选：A．6．“关于x的方程＝|x﹣m|（m∈R）有解”的一个必要不充分条件是（）A．m∈[﹣2，2]B．m∈[﹣，]C．m∈[﹣1，1]D．m∈[1，2]解：化简＝|x﹣m|，得2x2﹣2mx+m2﹣1＝0，关于x的方程＝|x﹣m|有解的充要条件是△≥0，即4m2﹣8（m2﹣1）≥0，解得﹣≤m．因此关于x的方程＝|x﹣m|，有解的必要不充分条件是﹣≤m的真子集．故选：C．7．设0＜p＜，随机变量ξ的分布列是ξ﹣101P p﹣p 则当P在（0，）内增大时，（）A．D（ξ）增大B．D（ξ）减小C．D（ξ）先减小后增大D．D（ξ）先增大后减小解：由随机变量ξ的分布列可得，E（ξ）＝﹣1•p+0×+1＝，故D（ξ）＝＝＝，其图象为开口向下的抛物线，对称轴方程为，因为，所以D（ξ）先增大后减小．故选：D．8．某市抽调5位医生分赴4所医院支援抗疫，要求每位医生只能去一所医院，每所医院至少安排一位医生．由于工作需要，甲、乙两位医生必须安排在不同的医院，则不同的安排种数是（）A．90B．216C．144D．240解：根据题意，分2步进行分析：①将5位医生分为4组，要求甲乙不在同一组，有C52﹣1＝9种分组方法，②将分好的4组安排到4所医院支援抗疫，有A44＝24种安排方法，则有9×24＝216种安排种数，故选：B．9．设f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（2﹣x）＝f（x），数列{a n}满足a1＝﹣1，且a n+1＝（1+）a n+（n∈N*）．则f（a22）＝（）A．0B．﹣1C．21D．22解：f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（2﹣x）＝f（x），整理得f[2﹣（x+2）]＝f（x+2）＝﹣f（x），即f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x）故函数的最小正周期为4．由于数列{a n}满足a1＝﹣1，且a n+1＝（1﹣）a n+，转换为，故，设，故b22＝（b22﹣b21）+（b21﹣b20）+…+（b2﹣b1）+b1＝＝，故a22＝20，所以f（20）＝f（5×4）＝f（0）＝0．故选：A．10．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）为减函数，对任意的x∈（0，+∞），均有f（x）•f（f（x）+）＝，则函数g（x）＝f（x）+3x的最小值是（）A．2B．5C．D．3解：令，则①，在原式中，令x＝t，则，所以，又f（x）在（0，+∞）上是减函数，所以，由①得，所以，化简得：（2xf（x）+1）（4xf（x）﹣3）＝0，所以（不满足单调递减，舍去），，g（x）＝f（x）+3x＝，当且仅当，即时等号成立．故选：D．二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分．11．已知函数已知函数f（x）＝，则f（f（4））1；函数f（x）的单调递减区间是[1，2]．解：f（4）＝log24﹣1＝1；∴f（f（4））＝f（1）＝﹣12+2×1＝1；x≤2时，f（x）＝﹣x2+2x，对称轴为x＝1；∴f（x）在[1，2]上单调递减；∴f（x）的单调递减区间为[1，2]．故答案为：1，[1，2]．12．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是20+4cm2，体积是8cm3．解：由三视图作出原图形如图所示，原几何体为底面是边长为2cm、4cm的直角三角形，高为2cm的直三棱柱；其表面积为S＝2××2×4+4×2+2×2+2×＝20+4cm2；体积为V＝×4×2×2＝8cm3．故答案为：，8．13．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（﹣，），则tanα＝﹣2，sin（）＝．解：由题意可得tanα＝＝﹣2，OP＝1，cosα＝﹣，sinα＝，则sin（）＝（sinα+cosα）＝×＝，故答案为：﹣2；．14．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为两个既约分数和，则是x的更为精确的近科似值．现第一次用“调日法”：由得到π的更为精确的近似值为a1，则a1＝．第二次用“调日法”：由a1得到π的更为精确的近似值为a2，…，记第n次用“调日法”得到π的更为精确的近似值为a n（n ≤10，n∈N*）．若a n＝3.14，则n＝6．解：第一次：＜π＜，不足近似值为，过剩近似值为，∴；第二次：＜π＜，不足近似值为，过剩近似值为，∴；第三次：＜π＜，不足近似值为，过剩近似值为，∴；第四次：＜π＜，不足近似值为，过剩近似值为，∴＝；第五次：＜π＜，不足近似值为，过剩近似值为，∴；第六次：＜π＜，不足近似值为，过剩近似值为，∴；综上可得，n＝6．故答案为：，6．15．设a，b∈R，λ＞0，若a2+λb2＝4，且a+b的最大值是，则λ＝4．解：由已知得，令，则，其中所以a+b的最大值为，解得λ＝4．故答案为：4．16．已知平面向量，，，，若||＝||＝，＝0，||+||＝4，||＝1，则||的最大值是1+2．解：不妨令，以点O为坐标原点，OA，OB所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则O（0，0），，因为||+||＝4，所以|CA|+|CA'|＝4＞＝|AA'|，故点C在以4为长轴，为焦点的椭圆上，则点C的轨迹方程为，又||＝1，即，故点D在以为圆心，1为半径的圆上，又||＝，所以转化为求解|BC|的最大值，由图易得，当以B为圆心，r为半径的圆与椭圆内切时有最大值，联立方程组消去x可得，，则△＝12﹣12（r2﹣7）＝0，解得，所以．故答案为：．17．已知F1，F2是双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F2的直线交双曲线的右支于A，B两点，且|AF1|＝2|AF2|，∠AF1F2＝∠F1BF2，则下列结论正确的有②④．①双曲线C的离心率e＝；②双曲线C的一条渐近线斜率是；③线段|AB|＝6a；④△AF1F2的面积是a2．解：如图示：由于且|AF1|＝2|AF2|，∠AF1F2＝∠F1BF2，可得：且|AF1|＝4a，|AF2|＝2a，由于∠AF1F2＝∠F1BF2，所以△AF2F1∽△ABF2，故，可得：|AB|＝2|AF2|＝8a，故|BF1|＝6a，|BF2|＝8a，所以|F1F2|＝2c＝4a，所以离心率e＝2，故，在△AF1F2中，|AF1|＝4a，|AF2|＝2a，|F1F2|＝4a，所以．故②④正确；故答案为：②④．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin B+sin（A﹣C）＝cos C．．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）当c＝2时，求a2+b2的取值范围．解：（Ⅰ）由sin B+sin（A﹣C）＝cos C，得sin（A+C）+sin（A﹣C）＝cos C，化简2sin A cos C＝cos C，由于△ABC为锐角三角形，所以cos C≠0，得sin A＝，又0，故A＝，（Ⅱ）由正弦定理得，得b＝＝，又，所以，tan C，所以3＜＜4故3＜b＜4，由余弦定理得＝b2﹣6b+12，所以a2+b2＝2b2﹣6b+12＝2（）2+∈（12，20）．19．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，△ABC是正三角形，四边形ACC1A1是菱形且∠A1AC＝60°，M是A1C1的中点，MB＝MC．（Ⅰ）证明：AM⊥BC；（Ⅱ）求直线AM与平面BCC1B1所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取BC中点为D，连结AD，MD，如图所示，由MB＝MC得MD⊥BC，由△ABC是正三角形，所以AD⊥BC，又MD∩AD＝D，MD，AD⊂平面AMD，故BC⊥平面AMD，又AM⊂平面AMD，因此BC⊥AM；（Ⅱ）证明：设AD中点为E，平面AME交B1C1于N，连结NE，设A1A＝AC＝1．由MN∥AD，所以C1N＝B1C1＝，由直角梯形DCC1N，则有DN＝，由BC⊥平面AMND，又BC⊂平面BCC1B1，所以平面BCC1B1⊥平面AMND，所以DN为AM在平面BCC1B1内的射影，所以∠END为AM与平面BCC1B1所成的角，在△END中，DE2＝EN2+DN2﹣2EN•DN cos∠END，由，，得，所以，所以直线AM与平面BCC1B1所成角的正弦值．20．已知数列{a n}是各项均为正数的等比数列，若a1＝2，a2+a3是a3与a4的等差中项．数列{b n}的前n项和为S n，且S n+＝2a n﹣2．求证：（Ⅰ）数列{a n﹣b n}是等差数列；（Ⅱ）…+≤2（1﹣）．【解答】证明：（Ⅰ）数列{a n}是各项均为正数的等比数列，若a1＝2，a2+a3是a3与a4的等差中项，由已知a3+a4＝2（a2+a3），整理得a4﹣a3﹣2a2＝0．设数列{a n}的公比为q，则q2﹣q﹣2＝0，解得q＝2或﹣1（负值舍去）故．由S n+＝2a n﹣2．①当n＝1时，解得b1＝1，当n≥2时，②，①﹣②得：，解得．所以a n﹣b n＝n，故（a n﹣b n）﹣（a n﹣1﹣b n﹣1）＝1（常数），故数列{a n﹣b n}是等差数列．（Ⅱ）由于，数列{a n﹣b n}是以1为首项，1为公差的等差数列，则：a n﹣b n＝1+（n﹣1）＝n，所以，根据不等式＝，所以＝2﹣，由于，所以…+≤2（1﹣）成立．21．已知F1，F2是椭圆E：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，动点P在椭圆上，且|PF1|的最小值和最大值分别为1和3．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）动点M在抛物线C：y2＝4x上，且在直线x＝a的右侧．过点M作椭圆E的两条切线分别交直线x＝﹣a于A，B两点．当|AB|＝10时，求点M的坐标．【解答】解析：（Ⅰ）由，解得a＝2，c＝1，b＝，所以椭圆方程为+＝1．（Ⅱ）不妨设k PA＝k1，k PB＝k2，A（x1，y1），B（x2，y2），M（t2，2t），设过点M作椭圆的切线方程为y＝k（x﹣t2）+2t，由，得（3+4k2）x2+8k（2t﹣t2k）x+4（2t﹣t2k）2﹣12＝0，由△＝0得到（t4﹣4）k2﹣4t3k+4t2﹣3＝0，所以k1+k2＝，k1k2＝，|AB|＝|y1﹣y2|＝（t2+2）|k1﹣k2|，因为|k1﹣k2|＝＝，所以|AB|＝（t2+2）•＝2＝10，解得t2＝4，点M的坐标为（4，±4）．22．已知函数f（x）＝（x＞1）．（Ⅰ）当a＝0时，求函数f（x）的图象在（e，f（e））处的切线方程；（Ⅱ）若对任意x∈（1，+∞），不等式f（x）≥lnx+4恒成立，求实数a的取值范围．（其中e为自然对数的底数）解：（Ⅰ）当a＝0时，f（x）＝，所以f（e）＝4，此时f′（x）＝，可得切线的斜率为f′（e）＝﹣，所以所求切线方程为y﹣4＝﹣（x﹣e），即y＝﹣x+8；（Ⅱ）由题意得ax+4﹣ln2x﹣4lnx≥0对对任意x∈（1，+∞）恒成立．令x＝e，得a≥，设g（x）＝ax+4﹣ln2x﹣4lnx（x＞1），g′（x）＝a﹣，设h（x）＝，则h′（x）＝＜0，所以h（x）在（1，+∞）递减，故0＜h（x）＜4．①当a≥4时，g′（x）≥0，所以g（x）在（1，+∞）单调递增，g（x）＞g（1）＝a+4＞0，所以a≥4满足题意；②当≤a＜4时，存在x0＞1使得a＝，即ax0＝2lnx0+4，且g（x）在（1，x0）单调递减，在（x0，+∞）单调递增，所以g（x）min＝g（x0）＝ax0+4﹣ln2x0﹣4lnx0≥0，所以2lnx0+4+4﹣ln2x0﹣4lnx0≥0，即ln2x0+2lnx0﹣8≤0，解得﹣4≤lnx0≤2，即1＜x0≤e2，由h（x）＝在（1，+∞）递减，可知≤a＜4，综上所述，可得a≥．。
【全国市级联考】浙江省丽水市2021届高三下学期质量水平测试数学试题
【全国市级联考】浙江省丽水市2021年高三下学期质量水平测试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设全集U =R ，{|2,}A x x x R =≤∈，{}1,2,3,4B =，则U B C A ⋂=（ ） A ．{4} B ．{3,4} C ．{2,3,4} D ．{1,2,3,4} 2．已知四棱锥P ABCD -的三视图如图所示，则四棱锥P ABCD -的体积为（ ）A ．1B ．23C ．12D ．323．在ABC ∆中，“a b =”是“sin sin A B =”的（ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要4．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若//m α，n β⊥，且αβ⊥，则//m nB ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m nC ．若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥D ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥ 5．不等式2103x x+≤-的解集为（ ） A ．1[,3]2- B ．1[,3)2- C ．1(,](3,)2-∞-+∞ D ．1(,][3,)2-∞-+∞6．要得到函数cos(2)3y x π=+的图像，只需将函数1sin 2222y x x =+的图像（ ）A ．向左平移8π个单位 B ．向右平移2π个单位 C ．向右平移3π个单位 D ．向左平移4π个单位 7．函数3log 1()3x f x x x=--的图像为（ ） A ． B ．C ．D ．8．设1F ，2F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使()220OP OF F P +⋅=（O 为坐标原点），且12PF =，则双曲线的离心率为（ ）A B 1 C D 1二、双空题9．计算：3lg 0.01log 27+=__________；13222,3,log 5-三个数最大的是__________． 10．已知()2sin(2)3f x x π=+，则函数()f x 的最小正周期为__________；()6f π=__________．11．已知函数10()2,0x x f x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，则((4))f f =__________；()f x 的最大值是__________．12．已知数列{}n a 是公比为q 的单调递增的等比数列，且149a a +=，238a a =，1a =__________；q =_________．三、填空题13．已知单位向量12,e e 的夹角为3π，设122a e e =+，1232b e e =-+，则a 与b 夹角大小为__________． 14．若不等式组2022020x y x y x y m +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩表示的平面区域为三角形，且其面积等于3，则m 的值为__________．15．设大于0的实数,x y 满足1xy =，则333444()()()()x y x y x y x y +-++-+的最大值为__________．四、解答题16．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积221[()]2S a b c =--． （1）求sin A 与cos A 的值；（2）设b aλ=，若tan 2C =，求λ的值. 17．已知数列{}n a 的相邻两项1,n n a a +是关于x 的方程2*20()n n x x b n N -+=∈的两实根，且11a =.（1）求234,,a a a 的值；（2）求证：数列1{2}3n n a -⨯是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式. 18．如图，四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，AB AD ⊥，22BC CD AB ===，PAD ∆是等边三角形，,M N 分别为,BC PD 的中点.（1）求证：//MN 平面PAB ；（2）若平面ABCD ⊥平面PAD ，求直线MN 与平面ABCD 所成角的正切值.19．如图，过抛物线21:2C x py =上的一点Q 与抛物线22:2C x py =-相切于,A B 两点，若抛物线21:2C x py =的焦点1F 到抛物线22:2C x py =-的焦点2F 的距离为12. （1）求抛物线1C 的方程；（2）求证：直线AB 与抛物线1C 相切于一点P .20．设函数22()(21)3()f x x a x a a a R =++++∈.（1）求()f x 在[0,2]上的最小值()g a 的表达式；（2）若()f x 在闭区间[,]m n 上单调，且{|(),}[,]y y f x m x n m n =≤≤=，求a 的取值范围.参考答案1．B【解析】∵全集U=R,A={x|x ⩽2,x ∈R},B={1,2,3,4}，∴U C A ={x|x>2,x ∈R}，则U B C A ⋂={3,4}，本题选择B 选项.2．B【解析】∵四棱锥P−ABCD 的三视图俯视图为正方形且边长为1，正视图和侧视图的高为2，故四棱锥P−ABCD 的底面面积S=1，高h=2故四棱锥P−ABCD 的121233V =⋅⋅=. 本题选择B 选项.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．3．A【解析】在ABC ∆中，若a b =，则A=B ，则sin sin A B =；反过来，若sin sin A B =，角A B =，一定有a b =，故“a b =”是“sin sin A B =”的充要条件.本题选择A 选项.4．C【解析】A,若m ∥α，n ⊥β，且α⊥β，则m 、n 平行、相交、或异面，不正确； B,α∥β,m ⊂α,n ⊂β,m,n 共面时,m ∥n ，不正确；C ，m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，利用平面与平面垂直的判定定理，可得α⊥β，正确；D ，m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α、β平行或相交，不正确。
2021届高三丽水湖州衢州三市模拟卷数学试卷
2021届高三丽水湖州衢州三市模拟卷数学试卷----a281925d-6ea1-11ec-878b-7cb59b590d7d衢州、湖州、丽水2021年9月三地市高三教学质量检测试卷数学考生须知：（与答题卷上的要求一致）1.整篇试卷分为试卷和答卷。
考试结束后，提交答卷。
2．试卷共4页，有3大题，22小题。
满分150分，考试时间120分钟。
3．答题前，请务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
4.请将答案放在答题纸的相应位置，写在试卷上无效。
画画时，先用2B铅笔。
确认后，使用签名笔或黑色笔迹笔追踪黑色。
选择题部分（共40分）一、多项选择题：本主题共有10个子题，每个子题得4分，共计40分。
在每个子问题中给出的四个选项中，只有有一项是符合题目要求的。
1.已知集合a？xx？0，b？x（x？2）（x？1）？0，然后AA。
(0,2)6????b?b、（0,1）c.（？1,2）d.（？1，？）42.?1?x?展开式中含x项的系数是a．c63b.c6c.c6d.c6456?x?0,?3.若x,y满足约束条件?x?y?3,z?x?3y的最大值是? Y2.a、 6b.7c.8d.94。
已知的比例级数？一见A1？a3？？2A2，那么公共比率q？a．?1b．1c．?2d．25.已知a为实数，“a?1”是“a?a”的a、充分和不必要条件B.必要和不充分条件C.充分和必要条件D.既不充分也不必要条件6.已知的随机变量？的分布列显示在右侧23?若e??2，则d?的值可能是43a．b.322c。
2d。
3p123abc高三数学第1页共4页7.已知a和B是正实数，如果2A？B2.那么211112b??2d.a2?b2?1a．ab?b.a??c.22ab428.如图，?oa1b1,?a1a2b2,?a2a3b3是边长相等的等边三角形，且o,a1,a2,a3四点共线.b1b2b3o若点p1b1,a2b2,a3b31,p2,p3分别是边aa1a2a3（第8题图）上的动点，记i1?ob1?op3，i2?ob2?op2，i3?ob3?op1，则a．i1?i2?i3b.i2?i3?i1c.i2?i1?i3d.i3?i1?i29.已知函数f(x)?ax?bx?1(a?0)有两个不同的零点x1,x2，则xa．x1?x2?0,x1x2?0b．x1?x2?0,x1x2?02c.x1？x2？0，x1x2？0d.x1？x2？0，x1x2？010.已知三棱柱abc?a?b?c?，aa??平面abc，p是?a?b?c?内一点，点e,f在直线bc上运动，若直线pa和ae所成角的最小值与直线pf和平面abc所成角的最大值相等，则满足条件的点p的轨迹是a．直线的一部分b．圆的一部分c．抛物线的一部分d．椭圆的一部分非多项选择题（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
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A. 1+ 3
B. 1 + 3 2
C. 1 + 3 2
2
D. 1 + 3 22
第 Ⅱ 卷 （非选择题部分，共 110 分）
注意事项： 用钢笔或签字笔将试题卷上的题目做在答题卷上，做在试题卷上的无效. 二.填空题(本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分)
11.古希腊著名数学家毕达格拉斯发现：数量为1,3, 6,10, 的石子，可以排成三角形（如图），
衢州、丽水、湖州三地市教学质量检测试卷
高三数学（2020.11）
本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答.本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第 Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 4 页.全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色的字迹的签字笔或钢笔填写在试题
(Tn
)
2 n
是等比数列.
其中正确命题的个数有
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
7+2 3
D.
3
D. 4 个
10.已知空间向量 a,b, c 两两的夹角均为 60 ，且 | a |=| b |= 1 ， | c |= 2 .若向量 x, y 满足
x (x + a) = x b ， y ( y + a) = y c ，则| x − y | 的最大值是
y
2
01
x
y
1
0
2x
y
y
01 2 x 0 1
第 7 题图
2x
A
B
C
D
8.已知双曲线 C
:
x2 a2
−
y2 b2
= 1(a
0,b
0) 的左、右焦点分别为 F1 、F2 ，过点 F1 的直线 l 与
双曲线 C 在第一象限的交点为 P ，若原点到直线 l 的距离为 a ，F1PF2 = 60 ，则双曲线 C
V
=h 3
S1 +
S1S2 + S2
球的体积公式
其中 S1, S2 分别表示台体的上、下底面积， h 表示台体的高
V = 4 R3 3
其中 R 表示球的半径
第 Ⅰ 卷 (选择题,共 40 分)
一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每 小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的)
1.已知集合 P = x | x −1 ， Q = x | x 5 ，则 P Q =
A. (−, +)
B. x | x 5
C. x | −1 x 5 D. x | x −1
( ) 2.已知 a R ，若复数 z = a2 − a + ai （ i 是虚数单位）是纯虚数，则 a =
A. 0
B. 1
C. −1
D. 2
3.若实数
x,
y
满足
x x
+ −
y y
−
2 0
0
，则
z
=
2x
−
y
A. 有最小值1，无最大值 C. 有最大值 −2 ，无最小值
B. 有最小值 −1，无最大值 D. 有最大值 −1，无最小值
1
4.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
45
A.
3
4
B.
3
C. 4 5
A. 若 m // ， n // ， // ，则 m // n B. 若 m ， n ， ⊥ ，则 m ⊥ n C. 若 m ⊥ n ， m ⊥ ， n // ，则 ⊥ D. 若 m ⊥ ， n ⊥ ， m // n ，则 //
y 01 2 x
7.已知函数 f ( x) 的图象如图所示，则 y = f ( x) 的图象可能是
若事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ，则 n 次 V = 1 Sh
3
独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
其中 S 表示锥体的底面积， h 表示锥体的高
Pn (k) = Cnk pk (1− p)n−k (k = 0,1, 2, , n)
球的表面积公式
台体的体积公式
S = 4 R2
( ) 1
15.已知三棱柱 ABC − A1B1C1 的所有棱长均为 2 ，侧棱 AA1 ⊥ 底面 ABC ，
若 E, F 分别是线段 BB1 ， A1C1 的中点，则异面直线 AE 与 CF 所成角
的余弦值是 ▲ . 16.一个口袋中有 3 个红球，3 个白球，2 个黑球，现从中任取 3 个球，
记取出的球的颜色有 种，则 E ( ) = ▲ .
x
+
3
(
0)
的最小正周期是
，则
=
▲
，单调递增
区间是 ▲ .
14.已知直线 l : y = 2x + b (b 0) 被圆 C1 : ( x − 3)2 + ( y −1)2 = 9 所截得的弦长为 4，且与圆
心为 ( 2, −1) 的圆 C2 相切，则 b = ▲ ；圆 C2 的半径长是 ▲ .
我们把这样的数称为“三角形数”，依此规律，第 n 个“三角形数”是 n (n +1) ，则第 5
2
个“三角形数”是 ▲ ，前 6 个“三角形数”的和是 ▲ .
12.已知 (1− 2x)n 展开式中第三项的二项式系数是10 ，则 n = ▲ ，展开式中最大的系数
是▲ .
13.已知函数
f
(x)
=
2
sin
的离心率为
7−2 3
A.
B. 2
3
C. 3 +1
9.已知数列an 的前 n 项和是 Sn ，前 n 项的积是Tn .
①若an 是等差数列，则an + an+1 是等差数列；
②若an 是等比数列，则an + an+1 是等比数列；
③若
Sn n
是等差数列，则
an
是等差数列；
④若
an
是等比数列，则
A1
F
C1
B1
E
A
C
B 第 15 题图
17.若实数 x, y 满足 (2x + 4x2 + 1)( y + y2 + 1) = 4 ，则 x + y 的最小值是 ▲ .
8
D.
3
5.已知 f ( x) 是定义在 R 上的函数，则“ f (0) = 0 ”是
“ f ( x) 是奇函数”的
5
2 正视图
1 1
侧视图
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
俯视图
第 4 题图
6. m ， n 是空间两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列命题中正确的是
卷和答题纸规定的位置上.
2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求.在答题纸相应的位置上规范作答，在本试
卷上的作答一律无效.
参考公式：
若事件 A, B 互斥，则
柱体的体积公式
P(A + B) = P(A) + P(B) 若事件 A, B 相互独立，则
P(AB) = P(A)P(B)
V = Sh 其中 S 表示柱体的底面积， h 表示柱体的高 锥体的体积公式