高考数学专题06考前必做难题30题(理)-高考数学走出题海之黄金30题系列(解析版)

2014年高考数学走出题海之黄金30题系列

1．设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2

－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围是 ( )． A.9

,24??-- ???

B ．[－1,0]

C ．(－∞，－2] D.9,4??

-

-∞ ???

【答案】A

2．已知以4T =为周期的函数21,(1,1]

()12,(1,3]

x x f x x x ?-∈-?=?--∈??，其中0m >。若方程3()f x x =恰有5个实

数解，则m 的取值范围为（）

A ．???

?

??3,315

B ．15

(

,7)3

C ．48(,)33

D.()

7,2

【答案】B

【考点定位】考察学生运用函数的图像分析函数图像和性质的能力，考察数形结合的能力.zxxk 学科网 3．定义在R 上的可导函数()f x ，当(1,)x ∈+∞时，()'()'()f x f x xf x +<恒成立，

1

(2),(3),(21)(2)2

a f

b f

c f ==

=+，则,,a b c 的大小关系为（）

A ．c a b <<

B ．b c a <<

C ．a c b <<

D ．c b a <<

【答案】A

4．设函数21

(),()(,,0)f x g x ax bx a b R a x

=

=+∈≠，若()y f x =的图象与()y g x =图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ,则下列判断正确的是

A.当0a <时，12120,0x x y y +<+>

B.当0a <时，12120,0x x y y +>+<

C.当0a >时，12120,0x x y y +<+<

D.当0a >时，12120,0x x y y +>+> 【答案】：B

【考点定位】本题从最常见了两类函数出发进行了巧妙组合，考查数形结合思想、分类讨论思想，函数与方程思想等，难度很大，不易入手,具有很强的区分度

5．已知函数2342013()1...2342013x x x x f x x =+-+-++,2342013

()1 (2342013)

x x x x g x x =-+-+--,设函数()(3)(4)F x f x g x =+?-，且函数()F x 的零点均在区间),,](,[Z ∈

试题分析：'23

20122201232011()11()f x x x x x x x x x x =-+-+

+=+++-+++

零点在(1,2)上，函数()(3)(4)F x f x g x =+?-，且函数()F x 的零点均在区间),,](,[Z ∈

(3)f x +的零点在(4,3)--上，(4)g x -的零点在(5,6)上，-b a 的最小值为6410-=．

【考点定位】1、导数的应用,2、根的存在性定理.

6．已知数列a n ：12132143211121231234

，，，，，，，，，，…，依它的前10项的规律，则a 99＋a 100的值为()

A.

3724B.76C.1115D.715

【答案】A

【考点定位】数列及归纳推理. 7．现有两个命题：

（1）若lg lg lg()x y x y +=+，且不等式2y x t >-+恒成立，则t 的取值范围是集合P ； （2）若函数()1

x

f x x =-，()1,x ∈+∞的图像与函数()2

g x x t =-+的图像没有交点，则t 的取值范围是集合Q ；

则以下集合关系正确的是（） A ．P

Q B.Q P C.P Q = D.P Q =?

【答案】C 【解析】

对（2）：作出函数()1

x

f x x =

-，()1,x ∈+∞的图像与函数()2g x x t =-+的图像如图所示：

对()1

x

f x x =

-求导得：21()(1)f x x '=--.由21()2(1)f x x '=-=--得

212x =+.由此得切点为2(

1,12)2++.代入()2g x x t =-+得223t =+.由图可知223t <+时，函数()1

x

f x x =-，

8．函数2sin 8(,)1sin x x x f x x θθθ

--+=--（x ＞2）的最小值（）

A.4222142+142-+【答案】A 【解析】

试题分析：令1sin (0)x t t θ--=>，则8

1sin y t t

θ=+++42+1+sin θ≥，又sin 1θ≥-，所以42y ≥当且仅当22x =22

k π

θπ=-

时取“=”.zxxk 学科网

【考点定位】1、基本不等式；2、正弦函数的有界性.

9．设实数,x y满足

20

250

20

x y

x y

y

--≤

?

?

+-≥

?

?-≤

?

，则

22

x y

u

xy

+

=的取值范围是（）

A．

5

[2,

2

]B．

510

[,]

23

C．

10

[2,]

3

D．

1

[,4]

4

【答案】C

10．如图，正方体

1

1

1

1

D

C

B

A

ABCD-的棱长为3，以顶点A为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于()

A．

6

5π

B．

3

2π

C．πD．

6

7π

【答案】A

【解析】

11．已知A、B 是椭圆22 2

2

x y

a

b

+＝1(a＞b＞0)和双曲线

22

22

x y

a b

-＝1(a＞0，b＞0)的公共顶点．P是双曲线上的动点，M是椭圆上的动点(P、M都异于A、B)，且满足AP＋BP＝λ(AM＋BM)，其中λ∈R，设直线AP、BP、AM、BM的斜率分别记为k1、k2、k3、k4，k1＋k2＝5，则k3＋k4＝________.

【答案】－5

【考点定位】直线与圆锥曲线.

12．已知等差数列{}n a的首项11

a=，公差0

d>，且

2

a、

5

a、

14

a分别是等比数列{}n b的2b、3b、4b. （1）求数列{}n a和{}n b的通项公式；

（2）设数列{}n c对任意正整数n均有121

12

n

n

n

c

c c

a

b b b+

+++=成立，求

122014

c c c

+++的值.

【答案】（1）21

n

a n

=-，1

3n

n

b-

=；（2）2014

3.

【解析】

试题分析：（1）将

2

a、

5

a、

14

a利用

1

a与d表示，结合条件

2

a、

5

a、

14

a成等比数列列式求出d的值，再根据等差数列的通项公式求出数列{}n a的通项公式，根据条件22

b a

=、

35

b a

=求出等比数列{}n b的通项

公式；（2）先令1n =求出1c 的值，然后再令2n ≥，由

12

112

n n n c c c a b b b ++++

=得到1

12121

n n c c c b b b --++

()12232n n n c b n -∴==?≥，1

3,

123,2

n n n c n -=?∴=??≥?， 则12201411220143232323c c c -++

+=+?+?+

+?

()()201312201320143133233332313

-=+?+++=+?

=-.

【考点定位】1.等差数列与等比数列的通项公式；2.定义法求通项；3.错位相减法求和

13．设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，且*

0()n a n >∈N ，[]n a 表示不超过实数n a 的最大整数（如[2.5]2=）,

记[]n n b a =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T . （Ⅰ）若1

1

4,2

a q

，求n T ； （Ⅱ）若对于任意不超过2014的正整数n ，都有21n T n ，证明：12012

2()13

q <<.

（Ⅲ）证明：n

n S T （1,2,3,n ）的充分必要条件为1

,a q N N .

【答案】（Ⅰ）,6, 2,4, 17, 3.n n n T n ==??

=???

≥；（Ⅱ）答案详见解析；（Ⅲ）答案详见解析.

【解析】zxxk 学科网

所以1

4b ，22b ，31b ，且当3n 时，[]0n n b a .

即,6, 2,4, 17, 3.n n n T n ==??

=???

≥

（Ⅱ）证明：因为201421()n T n n =+≤，所以113b T ，120142(2)n n n b T T n -=-=≤≤.

因为[]n

n b a ，

所以1[3,4)a ∈，2014[2,3)(2)n a n ∈≤≤. 由2

1

a q a =

，得1q <.zxxk 学科网 因为2012

20142[2,3)a a q =∈，

所以2012

2223

q

a >≥

， 所以2012

213

q <<，即120122()13q <<. （Ⅲ）证明：（充分性）因为1a N ，q N ，zxxk 学科网

所以1

1n

n

a a q N ，

所以[]n n n b a a 对一切正整数n 都成立.

因为12n

n S a a a ，12n n T b b b ，

所以必然存在一个整数()k k N ，使得1a 能被k r 整除，而不能被1k r +整除.

又因为1

1

1211k k k k a p a a q r

++++==，且p 与r 的最大公约数为1.

所以2

k

a Z ，这与n a N （n N ）矛盾.zxxk 学科网

所以q *

∈N . 因此1

a N ，q *∈N .

【考点定位】1、等比数列的通项公式；2、数列前n 项和；3、充要条件.

14．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，?=∠90CAD ，PA ⊥平面ABCD ，

1PA BC ==，2AB =，F 是BC 的中点.

（1）求证：DA ⊥平面PAC ；

（2）若以A 为坐标原点，射线AC 、AD 、AP 分别是x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，已经计算得)1,1,1(=n 是平面PCD 的法向量，求平面PAF 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）参考解析；（2）15

5

【解析】

(2)通过平面几何图形性质或者解线性方程组,计算得平面PAF 一个法向量为(1,2,0)m =， 又平面PCD 法向量为(1,1,1)n =，所以||15cos ,5

||||

m n m n m n ?<>=

=

∴所求二面角的余弦值为

15

.zxxk 学科网 【考点定位】1.线面垂直的证明2.二面角.3.空间向量的运算.4.运算的能力.

15．如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 、E 分别是棱BC 、AB 的中点，点F 在棱CC 1上，已知AB ＝AC ，AA 1＝3，BC ＝CF ＝2.

(1)求证：C 1E ∥平面ADF ；

(2)设点M 在棱BB 1上，当BM 为何值时，平面CAM ⊥平面ADF? 【答案】（1）见解析（2）当BM ＝1时

【解析】(1)证明：连结CE 交AD 于O ，连结OF.

因为CE，AD为△ABC中线，所以O为△ABC

的重心，

1

2

3

CF CO

CC CE

＝＝.

【考点定位】空间线、面间的位置关系.

16．在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝1，D为线段BC的中点，E、F为线段AC的三等分点(如图

①)．将△ABD沿着AD折起到△AB′D的位置，连结B′C(如图②)．

(1)若平面AB′D⊥平面ADC，求三棱锥B′-ADC的体积；

(2)记线段B′C的中点为H，平面B′ED与平面HFD的交线为l，求证：HF∥l；

(3)求证：AD⊥B′E.

【答案】（1）

1

8

（2）见解析（3）见解析

【解析】(1)解：在直角△ABC中，D为BC的中点，所以AD＝BD＝CD.又∠B＝60°，所以△ABD是等边三角形．取AD中点O，连结B′O，所以B′O⊥AD.因为平面AB′D⊥平面ADC，平面AB′D∩平面ADC＝AD，B′O 平面AB′D，所以B′O⊥平面ADC.在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝1，D为BC的

所以EO ＝

2232306

AE AO AE AOcos ??＋－＝

. 所以AO 2

＋EO 2

＝AE 2

.所以AD ⊥EO.

又B ′O ?平面B ′EO ，EO ?平面B ′EO ，B ′O ∩EO ＝O ， 所以AD ⊥平面B ′EO.zxxk 学科网 又B ′E ?平面B ′EO ，所以AD ⊥B ′E.

【考点定位】1、几何体的体积；2、空间线、面间的位置关系.

17．如图，正三棱柱111ABC A B C -所有棱长都是2，D 棱AC 的中点，E 是1CC 棱的中点，AE 交1A D 于点H.

（1）求证：AE ⊥平面1A BD ； （2）求二面角1D BA A --的余弦值； （3）求点1B 到平面1A BD 的距离.

【答案】(1)参考解析；(2)5

15；(3)255

【解析】

(3)点到平面的距离，转化为直线与法向量的关系，再通过解三角形的知识即可得点到平面的距离.本小题关键是应用解三角形的知识.

试题解析：（1）证明：建立如图所示，)0,2,1( )0,1,2(1-=--=D A AE

)3,0,0(-=BD ∵10AE A D ?=0AE BD ?=

∴BD AE D A AE ⊥⊥,1即AE ⊥A 1D ，AE ⊥BD ∴AE ⊥面A 1BD

（2）由??

?=++-=-?=?=?0

20)3(0 0111111y x z BD n D A n ∴取1(2,1,0)n =

【考点定位】1.空间坐标系的建立.2.线面垂直的证明.4.二面角的求法.5.点到平面的距离公式.

18．已知点12(1,0),(1,0)F F -分别是椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的左、右焦点,点2(1,2P 在椭圆上C 上.

（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程;

（Ⅱ）设直线12:,:,l y kx m l y kx m =+=-若1l 、2l 均与椭圆C 相切,试探究在x 轴上是否存在定点M ,点

M 到12,l l 的距离之积恒为1?若存在,请求出点M 坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】（1）12

22

=+y x ；

（2）满足题意的定点B 存在,其坐标为(1,0)-或(1,0) 【解析】

试题解析：(1)法一：由12(1,0),(1,0)F F -,得1c =,1分

22

2

2

1121

1

a b a b ???+=??=+??2分 2,1a b ==∴椭圆C 的方程为12

22=+y x 4分

法二：由12(1,0),(1,0)F F -,得1c =,1分

把2

2

12k m +=代入并去绝对值整理,22(3)2k t -=或者22

(1)0k t -=10分 前式显然不恒成立;而要使得后式对任意的k R ∈恒成立则2

10t -=,解得1t =±; 综上所述,满足题意的定点B 存在,其坐标为(1,0)-或(1,0)12分

【考点定位】1.椭圆的标准方程；2.椭圆的定义；3.两点间的距离公式；4.点到直线的距离公式. 19．如图,已知抛物线x y 42

=的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于M 、N 两点，其准线l 与x 轴交于K 点.

（1）求证：KF 平分∠MKN ；

（2）O 为坐标原点，直线MO 、NO 分别交准线于点P 、Q ，求PQ MN +的最小值. 【答案】（1）见解析；（2）8. 【解析】

由044412

2

=--???

?=+=my y x

y my x ,∴12124,4y y m y y +==-.4分 设KM 和KN 的斜率分别为21,k k ，显然只需证021=+k k 即可.∵)0,1(-K ， ∴0)

4)(4()

4)((414

14

2121212122

2

2

1121=++++=

++

+=

+y y y y y y y y y y k k ，6分

（2）设M 、N 的坐标分别为221212(

,),(,)44

y y y y ，由M ，O ，P 三点共线可求出P 点的坐标为)4,1(1y --，由N ，O ，Q 三点共线可求出Q 点坐标为)4

,1(2

y -

-，7分 设直线MN 的方程为1+=my x 。由044412

2

=--???

?=+=my y x

y my x

20．已知椭圆E :22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为1(1,0)F -,且过点2

(1,)2

Q .

(1)求椭圆E 的方程;

(2)设过点P(-2,0)的直线与椭圆E 交于A 、B 两点，且满足(1)BP AP λλ=>. ①若3λ=,求113||||AF BF +的值;

②若M 、N 分别为椭圆E 的左、右顶点，证明:11.AF M BF N =∠∠

【答案】(1)2

2 1.2

x y +=;(2)参考解析 【解析】

试题分析：(1)因为由椭圆E :22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为1(1,0)F -,即1c =.由点2

Q 到两焦

点

显然直线AB 斜率存在,设直线AB 方程为(2)y k x =+ 由22

(2)22

y k x x y =+??

+=?得:222

(12)420k y ky k +-+= 得2102

k ≤<

,2133BP AP y y =∴=,

1212

4412k y y y k

+==+,22

12122312k y y y k ==+, 214k ∴=

,符合0?>,由对称性不妨设1

2

k =,

11tan tan AF N BF N ∴∠=-∠11AF M BF N ∴∠=∠zxxk 学科网

【考点定位】1.椭圆的性质.2.直线与椭圆的位置关系.3.韦达定理.4.几何问题构建代数方法解决.

21．已知点1F 、2F 为双曲线C ：()0122

2

>=-b b

y x 的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方

交双曲线C 于点M ，且?=∠3021F MF ．圆O 的方程是222b y x =+． （1）求双曲线C 的方程；

（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为1P 、2P ，求21PP PP ?的值； （3）过圆O 上任意一点()00y ,x Q 作圆O 的切线l 交双曲线C 于A 、B 两点，AB 中点为M ，求证：

2AB OM =．

【答案】(1)22

12y x -=；(2)2

9

；(3)证明见解析． 【解析】

试题分析：(1)从双曲线方程中发现只有一个参数，因此我们只要找一个关系式就可求解，而这个关系式在

12Rt MF F ?中，?=∠3021F MF ，212221F F c b ==+21F M b =，通过直角三角形的关系就可求得b ；

(2)由(1)知双曲线的渐近线为2y x =，这两条渐近线在含双曲线那部分的夹角为钝角，因此过双曲线上的点P 作该双曲线两条渐近线的垂线12,PP PP ，12PPP ∠为锐角，这样这题我们只要认真计算，设P 点坐标为00(,)x y ，由点到直线距离公式求出距离12,PP PP ，利用两条直线夹角公式求出12cos PPP

∠，从而得到

向量的数量积21PP PP ?

；(3)首先2AB OM =等价于OA OB ⊥，因此设1122(,),(,)A x y B x y ，我们只要证12120x x y y +=，而12x x 可以由切线的方程002xx yy +=与双曲线方程联立方程组得到，再借助切线方程得到12y y ，验证下是否有12120x x y y +=，注意上述情形是在00y ≠时进行的，而00y =时，切线为

因为00(,)Q x y 在双曲线C ：2

2

12

y x -=上，所以220022x y -= 又1

cos 3θ=

，

所以

2200

00

0022212

339

3

3x y x y x y θ-+-=

=?=10分

（3）由题意，即证：OA OB ⊥zxxk 学科网

设1122(,),(,)A x y B x y ，切线l 的方程为：002x x y y +=11分 ①当00y ≠时，切线l 的方程代入双曲线C 中，化简得：

22220000(2)4(24)0y x x x x y -+-+=