分支定界法知识
分支定界法
分支定界法分支定界法是指以系统的结构为根据，划分以增强系统的面向特性来提出设计方案和获取满足特性的分析。
它旨在深入讨论系统的面向，思考如何穿越技术障碍，为建设一个系统或程序制定高效的解决方案。
它是一种能够带动系统行为的基础方法论，作为技术贴贴合系统的基础，是软件交互的核心技术。
从理论上讲，分支定界法是一种基于面向对象思想的技术，旨在优化软件开发流程、架构和设计，使得程序的流程更加完善，功能更加完善，可以改善系统的性能和可用性。
通常，分支定界法将系统分成若干个模块，并根据实际需求考虑设计模块之间的联系和交互。
比如，用户按照特定需求进行功能结构划分时，就会把一个软件系统分解成多个模块，每个模块负责实现一些特定功能，不同模块间的联系由定义的接口完成。
分支定界法的实施要求：首先，确认客观事实和设计需求，把客观事实提炼成抽象的需求，对需求进行定义和分解，得到一组架构和结构要素；其次，把要素组合起来划分模块，厘清模块之间的联系，定义模块之间的交互关系；再次，分析模块之间的联系，作出架构和结构选择；最后，根据分析结果制定设计方案，提出满足特性的分析，以便用于实施和交付的项目。
从现代软件开发的角度看，分支定界法是软件开发中最基本的一种方法，也是最高效的方法之一，它有助于提高系统的可维护性，减少设计漏洞，解决软件可扩展性和可重复性方面的问题。
此外，分支定界法有利于改善系统的性能，给系统或软件制定更加合理有效的解决方案，增强系统的安全性、稳定性和可用性，减少单位成本，提高开发效率，从而节约成本，达到预期的服务水平。
因此，分支定界法在系统设计开发中发挥着重要作用，成为现代软件开发流程的核心技术，是企业获取竞争优势的重要手段之一。
但是，分支定界法的有效落实需要充分考虑系统的实际需求和市场行情，充分发挥技术优势，全面提升软件开发效率，才能有效实现长期可持续发展。
分支定界法
分支定界法分支定界法，也称为分界定义法，是为了确定并将客观事物归类的一种逻辑基础规范。
它是一组文本规范，用于描述和分类客观事物，以及它们之间的关系。
它分析客观事物的共性，从这些共性，弄清楚客观事物以及它们之间的关系，形成分支定义法。
分支定界法最初创造于18世纪的德国，由卡尔文贝因茨（Karl von Bennizs）提出，他的著作 Theorie der classifikation（分类理论）发表于1790年。
他的主要思想是：通过对客观事物的共性的分析，将客观事物归类，并形成一系列的分类方法。
分支定界法一般包括三个层次：主类，亚类，次类。
主要是将客观事物按照一定的共性划分到不同的类别中，然后在每个主类中进行更详细的分析，形成子类，从而将客观事物更细致地分类。
分支定界法有很多优点。
首先，它可以更好地适应新出现的客观事物，以及客观事物可能出现的新情况。
这是因为，分支定界法有着一系列的分类方法，不仅具有某种共性，而且有着不同的子类，这些子类可以更好地形成客观事物之间的关系，并且有利于新类别的形成。
此外，分支定界法还可以帮助人们进行判断。
分界定义法是一种可以把客观事物细致分类的方法，从而可以更好地去判断两个客观事物之间是否有关系，或者相似度如何，从而帮助我们做出判断。
然而，分支定界法也有一定的局限性。
有时，分支定界法所指定的客观事物重叠，或者具有相同的共性，这会降低分类的准确性。
此外，它也会忽略一些客观事物的细微差别，这可能会影响分类的结果。
总之，分支定界法是一种有效的客观事物归类方法。
它可以更好地划分客观事物的共性，也可以更直观地反映客观事物之间的关系，从而有效地把客观事物归类。
此外，它还可以帮助我们做出判断，但它也有一定的局限性，必须在不同的客观事物之间上尽量保持准确性和细微差别。
运筹学_分支定界法
⑵
5 x1 6 x 2 3 0
x2
A 3 B
⑴x
1
x2 2
⑶
x1 4
1
1
3
x1 5 x 2 Z
x1
求（LP2） ,如图所示。
m a x Z x1 5 x 2 x1 x 2 2 5 x 6 x2 30 1 ( IP 2 ) x 1 4 x 2 1 x1 , x 2 0 且 为 整 数
x1 x 2 2 x1 x 2 2 5 x 6 x2 30 5 x 6 x2 30 1 1 x1 x1 4 4 ( IP 2 2 ) ( IP 2 1) 2 2 x1 x1 x x 4 3 2 2 x1 , x 2 0 且 为 整 数 x1 , x 2 0 且 为 整 数
第三节 分枝定界法
（一）、基本思路 考虑纯整数问题：
m ax Z
n
c
j 1
n
j
xj
a ij x j b i ( i 1 .2 m ) ( IP ) j 1 x 0 ,( j 1 .2 n ) 且 为 整 数 j
m ax Z
c
j 1
n
记为（IP）
解：首先去掉整数约束，变成一般线性规划问题
m a x Z x1 5 x 2 x1 x 2 2 5 x1 6 x 2 3 0 4 x1 x ,x 0 1 2
记为（LP）
用图解法求（LP）的最 优解，如图所示。
m a x Z x1 5 x 2 x1 x 2 2 5 x1 6 x 2 3 0 4 x1 x ,x 0 1 2
第三节分支定界
（P3） ）
1
3
x1
在（P3）的基础上继续分枝。加入条件x1 ≤ 2 ，x1 ≥3 的基础上继续分枝。加入条件 有下式： 有下式：
m in Z = − x1 − 5 x 2 x1 − x 2 ≥ − 2 5 x1 + 6 x 2 ≤ 30 x1 ≤4 ( P5 ) x1 ≥2 x ≤3 2 x1 ≤2 x1 , x 2 ≥ 0 且为整数
例1：用分枝定界法求解整数规划问题（用图解法计算） ：用分枝定界法求解整数规划问题（用图解法计算） min Z = − x 1 − 5 x 2
x1 − x 2 ≥ −2 5 x 1 + 6 x 2 ≤ 30 ≤4 x1 x 1 , x 2 ≥ 0 且全为整数
记为（ 记为（P）
是整数 解，且 z*<z6,
增大下界z0 ≤ z2 ≤ z3 ≤ z*, 减少上界+ ∞ ≥ z的目标函数值 分支后计算松弛的线性规划的最优解: 2. 分支后计算松弛的线性规划的最优解:
整数解且目标值小于原有最好整数解的值则替代 原有最好整数解 整数解且目标值大于原有最好整数解的值， 整数解且目标值大于原有最好整数解的值，则删 除该分支 非整数解且目标值小于原有最好整数 整数解的值则继 非整数解且目标值小于原有最好整数解的值则继 续分支 非整数解且目标值大于等于原有最好整数 整数解的值 非整数解且目标值大于等于原有最好整数解的值 则删除该分支其中无最优整数 整数解 则删除该分支其中无最优整数解
⑵
B
⑴ (18/11,40/11) A C ⑶
（P1）
1 1
（P2）
3
x1
不是整数，故继续分支。 （－16）更小的最优解，但 x2 不是整数，故继续分支。 ）更小的最优解，
分支定界法概述（1）
分支定界法概述（1）分枝定界-简介分枝定界（branch and bound）是另一种系统地搜索解空间的方法，它与回溯法的主要区别在于对E-节点的扩充方式。
每个活节点有且仅有一次机会变成E-节点。
当一个节点变为E-节点时，则生成从该节点移动一步即可到达的所有新节点。
在生成的节点中，抛弃那些不可能导出（最优）可行解的节点，其余节点加入活节点表，然后从表中选择一个节点作为下一个E-节点。
从活节点表中取出所选择的节点并进行扩充，直到找到解或活动表为空，扩充过程才结束。
分枝定界-方法有两种常用的方法可用来选择下一个E-节点（虽然也可能存在其他的方法）：1) 先进先出（F I F O）即从活节点表中取出节点的顺序与加入节点的顺序相同，因此活节点表的性质与队列相同。
2) 最小耗费或最大收益法在这种模式中，每个节点都有一个对应的耗费或收益。
如果查找一个具有最小耗费的解，则活节点表可用最小堆来建立，下一个E-节点就是具有最小耗费的活节点；如果希望搜索一个具有最大收益的解，则可用最大堆来构造活节点表，下一个E-节点是具有最大收益的活节点。
分枝定界-例子例5-1 【迷宫老鼠】考察图16-3a 给出的迷宫老鼠例子和图1 6 - 1的解空间结构。
使用F I F O分枝定界，初始时取（1，1）作为E-节点且活动队列为空。
迷宫的位置（1 , 1）被置为1，以免再次返回到这个位置。
（1，1）被扩充，它的相邻节点（1，2）和（2，1）加入到队列中（即活节点表）。
为避免再次回到这两个位置，将位置（1，2）和（2，1）置为1。
此时迷宫如图1 7 - 1 a所示，E-节点（1，1）被删除。
节点（1，2）从队列中移出并被扩充。
检查它的三个相邻节点（见图1 6 - 1的解空间），只有（1，3）是可行的移动（剩余的两个节点是障碍节点），将其加入队列，并把相应的迷宫位置置为1，所得到的迷宫状态如图17-1b 所示。
节点（1，2）被删除，而下一个E-节点（2，1）将会被取出，当此节点被展开时，节点（3，1）被加入队列中，节点（3，1）被置为1，节点（2，1）被删除，所得到的迷宫如图17-1c 所示。
运筹学课件第三节分支定界法
约束条件组
n aij xj b i My i j1 st. p (i 1 ,2,...,p) yi pq i1
在约束条件中保证了在P个0-1 变量中有p-q个1,q个0;凡取值 =0的yi对应的约束条件为原约束 条件,凡取值=1的yi对应的约束 条件将自然满足,因而为多余.
,先加工某种产品 0 yj （ j 1 ,2 ,3 ,4 ） 1 ，先加工另外产品 机床1:x11+a11≤x21+My1 ; x21+a21≤x11+M(1-y1) 机床2:x22+a22≤x32+My2 ; x32+a32≤x22+M(1-y2) 机床3:x13+a13≤x33 +My3 ; x33+a33≤x13+M(1-y3) 机床4:x14+a14≤x24 +My4 ; x24+a24≤x14+M(1-y4) 当y1=0,表示机床1先加工产品1,后加工产品2;当y1=1,表示机床1先 加工产品2,后加工产品1.
不同的搜索策略会导致不同的搜索树，一般 情况下，同一层的两个子问题，先搜索目标 函数比较大的较有利（如果是极小问题，则 应先搜索目标函数值小的较为有利）。这样 可能得到数值比较大的下界，下界越大被剪 去的分支越多。 分支定界算法对于混合整数规划特别有效， 对没有整数要求的变量就不必分支，这将大 大减少分支的数量。
Max Z = X1 + X2 14X1 + 9X2 ≤ 51 - 6X1 + 3X2 ≤ 1 X1 ≥2 X2 ≤ 2 X1 ， X2 ≥ 0 Max Z = X1 + X2 14X1 + 9X2 ≤ 51 - 6X1 + 3X2 ≤ 1 X1 ≥3 X2 ≤ 2 X1 ， X2 ≥ 0 Max Z = X1 + X2 14X1 + 9X2 ≤ 51 - 6X1 + 3X2 ≤ 1 2≤ X1 ≤2 X2 ≤ 2 X1 ， X2 ≥ 0
运筹学课件第三节分支定界法
针对不同问题的特点，分支定界法在算法实现上 不断进行优化和改进，以提高求解效率。
3
理论分析
分支定界法的理论分析涉及算法的收敛性、复杂 度等方面，为算法的改进提供了理论支持。
分支定界法的发展趋势
混合整数规划问题求解
随着混合整数规划问题的广泛应用，分支定界法在求解这类问题 上的研究逐渐成为热点。
理论深化与完善
进一步深化分支定界法的理论分析，完善算法的理论体系。
应用拓展
拓展分支定界法的应用领域，解决更多实际问题。
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运筹学课件第三节分支定界法
contents
目录
• 分支定界法的概述 • 分支定界法的算法原理 • 分支定界法的实现过程 • 分支定界法的案例分析 • 分支定界法的优缺点分析 • 分支定界法的前沿研究与展望
01
分支定界法的概述
分支定界法的定义
分支定界法是一种求解整数规划问题 的算法个子问题的解的 界，来逐步逼近最优解。
03
分支定界法的实现过程
问题建模与参数设定
确定决策变量
根据问题的具体情况，确定决策 变量，并为其设定合适的取值范
围。
定义目标函数
明确问题的目标，将其表示为一个 数学表达式，以便进行优化。
约束条件
根据问题的限制条件，建立相应的 约束条件。
建立搜索树与初始化
建立搜索树
根据问题建模的结果，建立一个 搜索树，用于表示问题的解空间 。
的获取概率。
优化分支策略
02
通过改进分支策略，减少算法产生的分支数量，降低算法的复
杂度和计算量。
引入智能搜索策略
03
将智能搜索策略（如遗传算法、模拟退火等）与分支定界法结
分支定界法
分支定界法《分支定界法》是一种把同类的事物按照一定的原则划分成不同分支定类的方法。
该方法的主要原理是，按照一定的规则将同类的事物按照不同的层次划分分类，从而来解决问题。
其实，分支定界法本质上是一种层次化的分类方法，这个分类方法可以帮助我们更好地按照一定的规则划分分类，从而更加清晰地观察每个分支的结构，从而建立有效的分支定界。
一般来说，把事物细分并划分分类的过程大致可分为三个步骤：第一步是根据一定的规则，把事物划分为不同的分类；第二步是确定每个分类分之间的界线，以及每个分类的概念；第三步是形成一个有意义的分支定界树，这样被分类的事物就会更加清晰明确。
分支定界法可以应用到不同领域，广泛作为研究分析的工具，有效地实现分支划分的目的。
例如，在政治学中，可以用分支定界法来划分政治体系的不同结构；在经济学中，可以用分支定界法来划分社会经济状况；在社会学中，可以用分支定界法来划分社会阶层；在教育学中，可以用分支定界法来划分不同层次的学生；在法律学中，可以用分支定界法来划分不同类别的案件；在医学中，可以用分支定界法来划分不同病症类型；在信息技术领域，可以用分支定界法来划分不同的存储结构；在商业管理中，可以用分支定界法来划分不同市场需求类别；在艺术设计中，可以用分支定界法来划分不同风格的作品；在心理学中，可以用分支定界法来划分不同类型的心理测试。
总之，分支定界法能够极大地提升研究和分析的效率，彻底改变现有的解决问题方法，在社会发展中发挥着重要作用。
分支定界法也有自身的缺点，最主要的是它主观性较大，受到专家个人把握的局限，可能产生一些错误的分类，从而影响正确的分类结果。
另外，分支定界法的实现需要花费大量的时间和精力，难以实现快速面临问题的解决效果。
尽管分支定界法的应用还存在一定的局限性，但仍有其重要的研究作用和应用价值，是现代化社会发展和繁荣的重要载体。
它为解决问题，更好地分析事物，并建立良好的结构，提供了可靠的工具。
分支定界法
第三节 分枝定界法
• 分枝定界法基本思想 • 分枝定界法计算步骤
1. 分枝定界法基本思想
最优值比界坏
舍弃
最优解为整数 最优值比界好
最优解为非整 数最优值比界好
分 枝 边界
分枝
1. 分枝定界法基本思想续
0
N
I
B1N
cB B1b B 1b
xr br Z
br xr br 1
1. 分支定界法基本思想续
• 分枝的方法 min c x
Ax b s.t.x 0, x为整数
min c x
Ax b
s.t.xr
br
x 0, x为整数
1. 分枝定界法基本思想续
• 分枝方法示意图
1. 分枝定界法基本思想续
• 定界 1. 当前得到的最好整数解的目标函数值
2. 分枝后计算松弛的线性规划的最优解
整数解且目标值小于原有最好解的值则替代原有 最好解
整数解且目标值大于原有最好解的值则 删除该分 支其中无最优解
非整数解且目标值小于原有最好解的值则继续分 支
非整数解且目标值大于等于原有最好解的值则删 除该分支其中无最优解
2. 分枝定界法计算步骤
z z 3x52xz(2,1()1,332.2)5xx例((xPP2))(x231.25.,(1323) ,(52.Px))1z(P1解) (4xP答(x)P1)3 x 无解(2,x32) 2无z 解(P )72 5 1 5 13 T T 1 3 115 0 T 2T 0 3 12 1 6 2 2 T 2 4
2. 分枝定界法计算步骤-例题
• 例3.3.1
minZ (x1 x2 )
分支定界法——精选推荐
分⽀定界法分⽀定界法（branch and bound）是⼀种求解离散数据组合的最优化问题。
该算法执⾏的效率取决于你所找的问题解空间的上下界，如果找到⼀个很紧凑的上下界进⾏剪枝操作，该算法的执⾏效率会⾮常⾼，因此它是最有可能在多项式时间内求解NP问题的算法。
使⽤分⽀定界算法的⼀般步骤为：构造⼀棵搜索树，该搜索树指的是所有解空间，因此通过遍历该搜索树可以遍历到所有的解；构造问题解的上下界，上界⼀般为之前求出的最优解，下界为⽆约束条件下当前搜索路径的最优解，上下界的主要作⽤是对搜索树进⾏剪枝；通过回溯法遍历搜索树，并且不断更新上下界，如果当前解的下界已经超过上界，则进⾏剪枝；遍历结束时，所求的解为最优解。
接下来通过⼀个实例来讲解分⽀定界算法：某公司于⼄城市的销售点急需⼀批成品，该公司成品⽣产基地在甲城市。
甲城市与⼄城市之间共有 n 座城市，互相以公路连通。
甲城市、⼄城市以及其它各城市之间的公路连通情况及每段公路的长度由矩阵M1 给出。
每段公路均由地⽅政府收取不同额度的养路费等费⽤，具体数额由矩阵 M2 给出。
请给出在需付养路费总额不超过 1500 的情况下，该公司货车运送其产品从甲城市到⼄城市的最短运送路线。
(题⽬来源：北航研究⽣算法课)⾸先构造⼀棵搜索树，该搜索树并不需要显⽰的构建，⽽是在搜索过程中所遵循的⼀种搜索规则。
对于上述问题，以甲城市为根节点构建⼆叉树，其它节点由剩余城市表⽰，树的左⼦树表⽰当前路径包含该⽗节点，树的右⼦树表⽰当前路径不包含该⽗节点。
如图所⽰该搜索路径所表⽰的实际路径为1-3-4，即路径中不包含城市2。
然后分析该问题解的上下界：搜索路径的上界为当前已经求出的满⾜条件的最短路径长度。
搜索路径的下界为当前路径长度与⽆约束条件下路径终点到城市⼄的最短路径长度之和。
若上界⼤于下界，则可以继续搜索；若上界⼩于下界，则表⽰⽆更优解，此时可进⾏剪枝操作。
其中⽆约束条件下的任意点到城市⼄的最短路径长度可以使⽤Dijkstra或Floyd算法预先求出。
分支定界法
分支定界法分支定界法，顾名思义，就是按照定好的界进行分支。
这里说的分支意思是“剪枝”。
剪的枝是问题解空间树的枝。
所谓解空间树，即此问题所有解和中间解形成的树型结构，是有序的。
常有排列树和子集树之分，举个例子，n个物品的0-1背包问题的解空间树就是子集树(每个物品都可能为0或1)，而最短路径问题的解空间树是一颗排列树。
分支定界法一般有两种实现形式：1.优先队列法2.FIFO队列法。
这与分支定界的思想无太多本质联系，只是前者在一般情况下能更快的求得问题解。
分支定界法要对问题的解空间树进行“剪枝”操作以减少对解空间树的搜索。
那么问题是，如何“剪枝”？这就要回答如何定界的问题。
在分支定界法中，“界”的作用就是用来阻止对不可行分支的搜索的。
当解空间树很深时（叶子节点为解），如果能在前面几层就预先的知道了“此路不通”或者“此路不是最优”而停止此路的继续，这样能大幅度的提高算法效率。
如何定界要放入具体问题中考虑，一般可以以“理论最大最小”这个概念来求界。
以0-1背包问题为例，设所有物品预先已经按照单位价值量递减排列。
在解空间树的第i层（此时正在考虑第i个物品是否应该被放入的时刻），设左子树为放入i物品，右子树为不放i物品。
那么在确定左子树的上界的时候有：界=当前价值+i的价值+MaxValue(背包剩余重量-i物品重量);其中的MaxValue为放i后剩余背包容量能获得的最大价值，应该注意的是此最大价值为理论意义上的最大价值，比如在继续放入p个后(按单位价值量递减),放不下第p+1个，此时应该按(Value[p+1]/Weight[p+1])*(WeightLeft)来计p+1物品的价值,(实际中不可能放入零点几个某物品。
)；右子树的情形类似。
知道了如何定界，那么在实际流程中就要根据当前目标节点的界来剪枝了（是用上界还是下界，具体问题具体分析）。
今天准备举个稍微有点挑战的例子---NPC问题中的TSP问题。
在TSP问题中，由于是环路，每个节点都要进出各一次，我们可以将每个节点最小的入度和最小的出度的和累加作为一个下界，这个下界几乎不可能达到！（全部最小出度的和即为下面提到的rcost的初值）初始时我们创建一个最小堆，表示活节点队列。
4-3 分枝定界法
B
1.2x1 + 0.8x2 ≤ 10 2 x1 + 2.5x2 ≤ 25 LP1 : x1 ≤ 3 x1 , x2 ≥ 0 max Z = 4 x1 + 3x2
LP1
LP2:X=(4,6.5),Z2=35.5
LP2
C o 3 4 10
1.2x1 + 0.8x2 ≤ 10 2 x1 + 2.5x2 ≤ 25 LP2 : x1 ≥ 4 x1 , x2 ≥ 0
5
x2 A
1.2x1 + 0.8x2 = 10
松弛问题LP0的最优解 X=(3.57,7.14),Z0=35.7 B
10
2x1 + 2.5x2 = 25
o
C 8.33
10
6
x1
x2 ① ② 10 A
增加约束x1 ≤ 3及x1 ≥ 4得到两个线性规划
max Z = 4x1 + 3x2
LP1:X=(3,7.6),Z1=34.8
4
【例1】用分枝定界法求解 】
max Z = 4 x 1 + 3 x 2 1 . 2 x 1 + 0 . 8 x 2 ≤ 10 2 x 1 + 2 . 5 x 2 ≤ 25 x , x ≥ 0 , 且均取整数 1 2
【解】先求对应的松弛问题（记为LP0）： 先求对应的松弛问题（记为 ）：
第四章 整数规划
4.1 整数规划数学模型和解的特点 4.2 分配问题 4.3 分枝定界法 4.4 割平面法 4.5 应用举例
1
4.3 分支定界法
分支定界法
2
原理： 原理：
首先，不考虑变量的整数约束，求解松弛问题线性规 首先，不考虑变量的整数约束， 划的最优解。如果线性规划的最优解恰好是整数解， 划的最优解。如果线性规划的最优解恰好是整数解，则 这个解就是整数规划的最优解。 这个解就是整数规划的最优解。 如果线性规划的最优解中至少有一个变量不是整数， 如果线性规划的最优解中至少有一个变量不是整数， 把线性规划的可行域切割成两部分， 把线性规划的可行域切割成两部分，分别求解两个线性 规划的最优解。 规划的最优解。 如果这两个线性规划的最优解还不是整数解， 如果这两个线性规划的最优解还不是整数解，分别把 每一个可行域再进行分割。这个过程，叫做“分支” 每一个可行域再进行分割。这个过程，叫做“分支”。 过程得到的整数解中， 分支过程得到的整数解中，目标函数值最优的一个叫 做整数规划目标函数值的“ 做整数规划目标函数值的“界”。分支过程中非整数的 线性规划的最优解， 线性规划的最优解，如果目标函数值劣于或等于这个 就停止继续分支。这个过程，叫做“定界” “界”，就停止继续分支。这个过程，叫做“定界”。
分支定界
1、分支限界法(1)描述：采用广度优先产生状态空间树的结点，并使用剪枝函数的方法称为分枝限界法。
所谓“分支”是采用广度优先的策略，依次生成扩展结点的所有分支（即：儿子结点）。
所谓“限界”是在结点扩展过程中，计算结点的上界（或下界），边搜索边减掉搜索树的某些分支，从而提高搜索效率。
(2)原理：按照广度优先的原则，一个活结点一旦成为扩展结点（E-结点）R后，算法将依次生成它的全部孩子结点，将那些导致不可行解或导致非最优解的儿子舍弃，其余儿子加入活结点表中。
然后，从活结点表中取出一个结点作为当前扩展结点。
重复上述结点扩展过程，直至找到问题的解或判定无解为止。
(3)分支限界法与回溯法1)求解目标：回溯法的求解目标是找出解空间树中满足约束条件的所有解，而分支限界法的求解目标则是找出满足约束条件的一个解，或是在满足约束条件的解中找出在某种意义下的最优解。
2)搜索方式的不同：回溯法以深度优先的方式搜索解空间树，而分支限界法则以广度优先或以最小耗费优先的方式搜索解空间树。
(4)常见的分支限界法1)FIFO分支限界法(队列式分支限界法)基本思想：按照队列先进先出(FIFO)原则选取下一个活结点为扩展结点。
搜索策略：一开始，根结点是唯一的活结点，根结点入队。
从活结点队中取出根结点后，作为当前扩展结点。
对当前扩展结点，先从左到右地产生它的所有儿子，用约束条件检查，把所有满足约束函数的儿子加入活结点队列中。
再从活结点表中取出队首结点（队中最先进来的结点）为当前扩展结点，……，直到找到一个解或活结点队列为空为止。
2)LC(least cost)分支限界法(优先队列式分支限界法)基本思想：为了加速搜索的进程，应采用有效地方式选择活结点进行扩展。
按照优先队列中规定的优先级选取优先级最高的结点成为当前扩展结点。
搜索策略：对每一活结点计算一个优先级（某些信息的函数值），并根据这些优先级；从当前活结点表中优先选择一个优先级最高（最有利）的结点作为扩展结点，使搜索朝着解空间树上有最优解的分支推进，以便尽快地找出一个最优解。
分支定界算法
分支定界算法
分支定界算法是一种全局最优解的搜索算法，它通过对搜索空间的分割和剪枝来求解最优解。
它是一种分支限定法，可以在多种优化问题中应用，用于求解最优解，如最大化目标函数、最小化目标函数等。
分支定界算法的基本思想是：在搜索空间中选择一个基本变量（未知变量），然后根据某种启发式规则，将它分成两个子空间，从而有效地减少搜索空间。
接着，对子空间中的每一个变量尝试求解，最终求得一个最优解。
分支定界法的优点在于可以有效地缩小搜索空间，提高求解效率；同时，它也可以解决多种优化问题，具有很强的适用性。
分支定界法常用于解决复杂的优化问题，如最优路径搜索、最优调度等。
它可以有效地缩小搜索空间，提高求解效率；同时，它也可以解决多种优化问题，具有很强的适用性。
虽然分支定界法可以有效地解决复杂的优化问题，但它也存在一定的局限性。
首先，搜索空间的大小会影响求解的效率，如果搜索空间太大，分支定界法就不能有效地求解最优解；其次，分支定界法要求基本变量的取值范围可以被明确定义，否则难以进行搜索；最后，分支定界法对于高维变量的搜索也不太友好。
分支定界法是一种有效的搜索算法，可以有效地缩小搜索空间，提高求解效率，广泛应用于多种优化问题中，而且它还有一定的局限性。
运筹学分支定界法知识点
运筹学分支：定界法知识点运筹学是一门研究优化问题的学科，旨在通过系统地分析和解决现实中的决策问题。
在运筹学中，定界法是一种常用的解决复杂问题的方法。
本文将介绍定界法的基本概念、步骤和应用。
1. 定界法的基本概念定界法是一种通过分析问题的上下界来缩小解空间的方法。
它通过不断确定上界和下界，逐步缩小可行解的范围，最终找到最优解或者一个接近最优解的解。
在定界法中，上界是指问题的一个可行解的上界限，即找到的某个可行解的最大值。
下界是指问题的一个可行解的下界限，即找到的某个可行解的最小值。
通过不断更新上下界，定界法可以逐步缩小搜索空间。
2. 定界法的步骤定界法的步骤可以概括为以下几个关键步骤：步骤1：建立数学模型首先，需要将实际问题转化为数学模型。
数学模型是问题的数学描述，包括目标函数和约束条件。
步骤2：确定上界确定上界是通过求解问题的松弛形式来实现的。
松弛形式是问题的一种更简单的形式，它放宽了一些约束条件，使问题更容易求解。
通过求解松弛形式，可以得到问题的上界。
步骤3：确定下界确定下界是通过求解问题的一些特殊情况来实现的。
通过求解特殊情况，可以得到问题的一个可行解，从而确定问题的下界。
步骤4：更新上界和下界根据已知的上界和下界，可以进一步缩小搜索空间。
通过一些启发式的方法，可以逐步更新上界和下界，从而缩小解空间。
步骤5：重复步骤2至步骤4定界法是一个迭代的过程，需要不断重复步骤2至步骤4，直到找到最优解或者接近最优解。
3. 定界法的应用定界法在实际问题中有广泛的应用，特别是在组合优化、排程问题和资源分配问题等领域。
例如，在生产调度问题中，可以使用定界法来确定最短调度时间。
首先，可以通过求解松弛形式来确定一个上界，即一个较短的调度时间。
然后，通过求解特殊情况来确定一个下界，即一个较长的调度时间。
通过不断更新上界和下界，可以逐步缩小调度时间的范围，最终找到最优的调度方案。
另一个例子是在资源分配问题中，可以使用定界法来确定最优的资源分配方案。
分支定界法
s.t.xr br
x 0, x为整数
1. 分枝定界法基本思想续
❖ 分枝方法示意图
1. 分枝定界法基本思想续
❖ 定界
1. 当前得到的最好整数解的目标函数值
2. 分枝后计算松弛的线性规划的最优解
➢ 整数解且目标值小于原有最好解的值则替代原有 最好解
➢ 整数解且目标值大于原有最好解的值则 删除该分 支其中无最优解
➢ 非整数解且目标值小于原有最好解的值则继续分 支
➢ 非整数解且目标值大于等于原有最好解的值则删 除该分支其中无最优解
2. 分枝定界法计算步骤
2. 分枝定界法计算步骤-例题
❖
例3.3.1
minZ
( x1
x2 )
s.t.44
x1 x1
2x2 2 x2
1 11
2x2 1
x1x2 整数
例x3.(33,5.) 1z 解 4答 0
T0
z z 3x52xz(2,1()1,332.2)5xx((xPP2))(21.25,12) (2Px) (P1 ) (xP(x)P1) 3 x 无解(2,x32) 2无z 解(P )72 5 1 5 13 T T 1 3 115 T 2 3 12 1 6 2 2 T 2 4
1. 分枝定界法基本思想ห้องสมุดไป่ตู้
分枝
最优值比界坏
舍弃
最优解为整数 最优值比界好
最优解为非整 数最优值比界好
分 枝 边界
1. 分枝定界法基本思想续
0
N
I
B1N
cB B1b B 1b
xr br Z
br xr br 1
1. 分支定界法基本思想续
❖ 分枝的方法 min c x
分支定界
5 x1 7 x2 35 4 x 9 x 36 1 2 s.t . x2 2 x1 , x2 0
5 x1 7 x2 35 问题 B 2 ： 4 x 9 x 36 1 2 s.t . x2 3 x1 , x2 0
5 x1 7 x2 35 s.t . 4 x1 9 x2 36 x , x 0, 全部为整数 1 2
解 :step1
确定与整数规划问题（记为问题 A）对应的松
弛线性规划问题 (记为问题 B)：
max z 2 x1 3 x2
5 x1 7 x2 35 s.t . 4 x1 9 x2 36 x , x 0 1 2
i 1, 2, , p
则约束条件组可表示为
n aij x j bi Myi , i 1, 2,, p j 1 p yi p q i 1 y 0,1; i 1, 2,, p i
例 3.4.2 固定支出问题 考察 n 种产品的产品计划问题。假定生产某种产品 j 就 发生单位可变成本 c j ，另外，不管产品 j 生产多少，还需 支出固定成本 k j ，但若不生产产品 j 也就无需支出固定成 本。因此，如何制定产品计划，使得总生产成本最小。
step2 先求出问题 B 的解，用单纯形方法得 问题 B 的最优解为：
x1 3
12 17
,
x2 2
6 17
,
* z0
14
8 17
step3
用观察法找问题 A的—个整数解，一般可取
x1 0, x2 0 ，进行试探，求得其目标函数值 z 0 ，以 z * 表示问题
A 的最优目标函数值；这时有 0 z* 14 8 step4
分支定界法详解
分⽀定界法详解1、概念：分⽀定界算法(Branch and bound，简称为BB、B&B, or BnB)始终围绕着⼀颗搜索树进⾏的，我们将原问题看作搜索树的根节点，从这⾥出发，分⽀的含义就是将⼤的问题分割成⼩的问题。
⼤问题可以看成是搜索树的⽗节点，那么从⼤问题分割出来的⼩问题就是⽗节点的⼦节点了。
分⽀的过程就是不断给树增加⼦节点的过程。
⽽定界就是在分⽀的过程中检查⼦问题的上下界，如果⼦问题不能产⽣⼀⽐当前最优解还要优的解，那么砍掉这⼀⽀。
直到所有⼦问题都不能产⽣⼀个更优的解时，算法结束。
2、例⼦：⽤BB算法求解下⾯的整数规划模型因为求解的是最⼤化问题，我们不妨设当前的最优解BestV为-INF，表⽰负⽆穷。
1.⾸先从主问题分出两⽀⼦问题：通过线性松弛求得两个⼦问题的upper bound为Z_LP1 = 12.75，Z_LP2 = 12.2。
由于Z_LP1 和Z_LP2都⼤于BestV=-INF，说明这两⽀有搞头，继续往下。
2.3.从节点1和节点2两个⼦问题再次分⽀，得到如下结果：⼦问题3已经不可⾏，⽆需再理。
⼦问题4通过线性松弛得到最优解为10，刚好也符合原问题0的所有约束，在该⽀找到⼀个可⾏解，更新BestV = 10。
⼦问题5通过线性松弛得到upper bound为11.87>当前的BestV = 10，因此⼦问题5还有戏，待下⼀次分⽀。
⽽⼦问题6得到upper bound为9<当前的BestV = 10，那么从该⽀下去找到的解也不会变得更好，所以剪掉！4.对节点5进⾏分⽀，得到：⼦问题7不可⾏，⽆需再理。
⼦问题8得到⼀个满⾜原问题0所有约束的解，但是⽬标值为4<当前的BestV=10，所以不更新BestV，同时该⽀下去也不能得到更好的解了。
6.此时，所有的分⽀遍历都完成，我们最终找到了最优解。
3、算法过程（以最⼩化问题minimize f(x)为例）1、使⽤启发式，找到优化问题的解决⽅案xh。
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分支定界(branch and bound) 算法是一种在问题的解空间树上搜索问题的解
的方法。
但与回溯算法不同，分支定界算法采用广度优先或最小耗费优先的方法搜索解空间树，并且，在分支定界算法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。
利用分支定界算法对问题的解空间树进行搜索，它的搜索策略是：
1 ．产生当前扩展结点的所有子结点；
2 ．在产生的子结点中，抛弃那些不可能产生可行解（或最优解）的结点；
3 ．将其余的子结点加入活结点表；
4 ．从活结点表中选择下一个活结点作为新的扩展结点。
如此循环，直到找到问题的可行解（最优解）或活结点表为空。
分支定界法本质还是一种枚举法，但是是隐枚举法。
它是整数规划领域中非常重要的一类算法思想。
是很多重要算法的源头。
它能解决的实际问题很多，最著名的一个应该就是求解背包问题。
定义
分支定界法（branch and bound）是一种求解整数规划问题的最常用算法。
这种方法不但可以求解纯整数规划，还可以求解混合整数规划问题。
算法步骤
第1步：放宽或取消原问题的某些约束条件，如求整数解的条件。
如果这时求出的最优解是原问题的可行解，那么这个解就是原问题的最优解，计算结束。
否则这个解的目标函数值是原问题的最优解的上界。
第2步：将放宽了某些约束条件的替代问题分成若干子问题，要求各子问题的解集合的并集要包含原问题的所有可行解，然后对每个子问题求最优解。
这些子问题的最优解中的最优者若是原问题的可行解，则它就是原问题的最优解，计算结束。
否则它的目标函数值就是原问题的一个新的上界。
另外，各子问题的最优解中，若有原问题的可行解的，选这些可行解的最大目标函数值，它就是原问题的最优解的一个下界。
第3步：对最优解的目标函数值已小于这个下界的问题，其可行解中必无原问题的最优解，可以放弃。
对最优解的目标函数值大于这个下界的子问题，都先保留下来，进入第4步。
第4步：在保留下的所有子问题中，选出最优解的目标函数值最大的一个，重复第1步和第2步。
如果已经找到该子问题的最优可行解，那么其目标函数值与前面保留的其他问题在内的所有子问题的可行解中目标函数值最大者，将它作为新的下界，重复第3步，直到求出最优解。