阶段质量检测(一) 导数及其应用

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卫城中学导数及其应用阶段测试

卫城中学导数及其应用阶段测试姓名成绩一、选择题：(本大题共12小题,每小题5分, 共60分)1．设函数f(x)在处可导，则等于（）A．B．C．-D．-2．某质点的运动方程是，则在t=1s时的瞬时速度为（）A．－1 B．－3 C．7 D．13．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则 ( )A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1以下四个关于复合函数如何复合而成的结论中，不正确的结论是 ( )A.y=sin4(1+)是由y=u4 u=sinv v=1+复合而成B.y=(3+4x m)n是由y=u n,u=3+4x m复合而成C.y=log2(2x+1-1)是由y=log2u u=2v v=x+1复合而成D.y=Asin(ωx+φ)是由y=Asinu u=ωx+φ复合而成5、设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如下图所示，则导函数y=f (x)（）xyOxyOAxyOBxyOCxyOD－3x2+a的极大值为6，那么a等于 ( )A．6 B．7 C．5 D．17．若函数，若则 ( )A. a< b < cB. c < b < aC. c < a < bD. b < a < c8．函数y=x3－3x在[－1，2]上的最小值为（）A、2B、－2C、0D、－49点P在曲线y = x3-x +上移动时，过点P的切线的倾斜角的取值范围是（）A． [0，π] B、（0，）∪[，π] C．[0，]∪（，） D[0，]∪[，π]已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为( )A、－1<a<2B、－3<a<6C、a<－1或a>2D、a<－3或a>611、已知是R上的单调增函数，则的取值范围是 ( )A. B.C. D.12．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是( )A．(－3,0)∪(3，＋∞) B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0,3)二、填空题(共4小题，每题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)4．函数13．函数f(x)＝2x3－3x2＋10的单调递减区间为______．14．如果曲线处的切线互相垂直，则x0的值为 .15．曲线y = ln(2x – 1)上的点到直线2x – y + 3 =0的最短距离是 .. 16设曲线y＝x n＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，令a n＝lgx n，则a1＋a2＋…＋a99的值为________．三、解答题（共6小题，，共70分）17(本题满分10分) 已知函数，当x = 1时，有极大值3 .（1）求a，b的值；（2）求函数y 的极小值。

导数及其应用测试题(有详细答案)

《导数及其应用》一、选择题1。

0()0f x '=是函数()f x 在点0x 处取极值的:A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 2、设曲线21y x =+在点))(,(x f x 处的切线的斜率为()g x ,则函数()cos y g x x =的部分图象可以为A 。

B. C 。

D.3．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( ）4.若曲线y ＝x 2＋ax ＋b在点(0，b ）处的切线方程是x －y ＋1＝0，则（）A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1,b ＝－1 5．函数f (x ）＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x ）在x ＝－3时取得极值,则a 等于（）A ．2B ．3C ．4D ．56。

设函数()f x 的导函数为()f x '，且()()221f x x x f '=+⋅，则()0f '等于（ )A 、0B 、4-C 、2-D 、27。

直线y x =是曲线ln y a x =+的一条切线，则实数a 的值为（）A ．1-B ．eC ．ln 2D ．18。

若函数)1,1(12)(3+--=k k x x x f 在区间上不是单调函数，则实数k 的取值范围（） A ．3113≥≤≤--≤k k k 或或 B ．3113<<-<<-k k 或C ．22<<-kD ．不存在这样的实数k9.函数()f x 的定义域为(),a b ，导函数()f x '在(),a b 内的图像如图所示，则函数()f x 在(),a b 内有极小值点（ )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 10.已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥,则(1)'(0)f f 的最小值为（ ) A ．3 B ．52 C ．2 D ．32二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 11。

人教版高中数学选修2-2阶段质量检测(一)导数及其应用

阶段质量检测 (一)导数及其应用班级： ____________ 姓名： ____________ 得分： ____________(时间 90 分钟，满分120 分)一、选择题 (本大题共10 小题，每题 5 分，共50 分)1．以下各式正确的选项是()A ． (sin a) ′＝ cos a(a 为常数 )B．(cos x) ′＝ sin xC．(sin x) ′＝cos x1 －6－ 5xD． (x) ′＝－52．以下函数中，在 (0，＋∞)内为增函数的是 ()A ． y＝ sin xB ． y＝ xe2C．y＝ x3－ x D ．y＝ ln x－ x3．若曲线 y＝ 2x2的一条切线 l 与直线 x＋4y－ 8＝ 0 垂直，则切线l 的方程为 ()A ． x＋ 4y＋ 3＝ 0B ． x＋ 4y－ 9＝0C．4x－ y＋ 3＝0 D ．4x－ y－ 2＝ 0132)4．若函数 f( x)＝ x － f′(1)x ·－ x，则 f′(1)的值为 (3A ． 0B ． 2C．1D．－15．对随意的 x∈R，函数 f(x)＝ x3＋ ax2＋7ax 不存在极值点的充要条件是 ()A ． 0≤a≤ 21B． a＝ 0 或 a＝ 7C．a<0 或 a>21 D ．a＝ 0 或 a＝ 216．已知对随意实数x，有 f(－ x)＝－ f(x)，g(－ x)＝ g(x)．且 x>0 时， f′(x)>0 ，g′(x)>0，则x<0 时 ()A ． f′(x)>0 ， g′(x)>0B．f ′(x)>0 ， g′(x)<0C．f ′(x)<0 ， g′(x)>0D． f′(x)<0 ， g′(x)<07.设函数 f(x) 在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝ (1－ x)f′(x)的图象以下图，则以下结论中必定建立的是()A ．函数 f(x) 有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数 f(x)有极大值f(－ 2)和极小值f(1)C ．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(－ 2)D ．函数 f(x) 有极大值 f(－ 2)和极小值 f(2)x 2， x ∈ [0， 1]，8．设 f(x)＝ 1， x ∈则 e f( x)dx 等于 ()x ， e]，4 5 A. 3B.46 7 C.5D.69.已知函数 f(x)＝－ x 3＋ ax 2＋bx( a ， b ∈ R )的图象以下图，它与 x 轴相切于原点，且 x 轴与函数图象所围成地区(图中暗影部分 )的面积为 1，则 a 的值为 ()12A ．－ 1B ． 0C ．1D ．－ 210．若函数 f(x)＝2x 2 －ln x 在其定义域的一个子区间(k － 1， k ＋ 1)内不是单一函数，则实数 k 的取值范围是 ()A. 3，＋ ∞B. －∞，－ 122C. －1，3D. 1，32 22二、填空题 (本大题共4 小题，每题5 分，共 20 分 )α处的切线经过坐标原点，则 α＝ ________.11．(江西高考 )若曲线 y ＝x ＋ 1(α∈ R )在点 (1,2) 12．函数 f(x)＝ 2x 2－ ln x 的单一递加区间为 ________．13．一列车沿直线轨道行进，刹车后列车速度v( t)＝ 27－0.9t(v 的单位： m/s ，t 的单位：s)，则列车刹车后至泊车时的位移为________．14．函数 f(x)＝ x 3－ 3a 2x ＋ a(a>0) 的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围为________．三、解答题 (本大题共 4 小题，共 50 分．解答时应写出文字说明，证明过程或运算步骤 )15． (本小题满分 12 分 )已知函数 f(x)＝ ax 2＋ bx ＋4ln x 的极值点为1和 2.(1)务实数 a ，b 的值；(2)求函数 f(x)在区间 (0,3] 上的最大值．2416． (本小题满分12 分 )若函数 f(x)＝ ax ＋ 2x－3ln x 在 x＝ 1 处获得极值．(1)求 a 的值；(2)求函数 f(x)单一区间及极值．17． (本小题满分12 分 )已知 a∈R，函数 f(x)＝ (－ x2＋ ax)e x.(1)当 a＝ 2 时，求函数 f(x)的单一区间；(2)若函数 f(x)在 ( －1,1)上单一递加，务实数 a 的取值范围．a18． (本小题满分14 分 )已知函数f(x)＝ ln x－x.(1)若 f(x)存在最小值且最小值为2，求 a 的值；(2)设 g(x)＝ln x－ a，若 g(x)＜x2在 (0， e]上恒建立，求 a 的取值范围．答案1．选 C由导数公式知选项－A 中 (sin a) ＝′ 0；选项B 中 (cos x) ＝′－ sin x ；选项 D 中 ( x－65) ＝′－ 5x .2．选 B 只有 B 中 y ′＝e 2＞ 0 在 (0，＋ ∞)内恒建立．3．选 D设切点坐标为 (x 0， y 0)， y ′＝4x ，由题意得 4x 0＝ 4，解得 x 0＝ 1，所以 y 0＝ 2，故切线 l 的方程为 y － 2＝ 4(x －1) ，即 4x － y －2＝ 0.4．选 A13 2∵f(x)＝ x － f ′(1)x ·－ x ，3∴ f ′(x)＝ x 2－ 2f ′(1)x －·1， ∴ f ′(1)＝ 1－2f ′(1)－ 1，∴ f ′(1)＝ 0.5．选 Af ′(x)＝ 3x 2＋ 2ax ＋ 7a ，当＝4a 2－ 84a ≤0，即 0≤a ≤21 时， f ′(x)≥0 恒建立，函数f(x)不存在极值点．6．选 Bf(x)为奇函数且 x>0 时单一递加，所以x<0 时单一递加， f ′(x)>0； g(x)为偶函数且 x>0 时单一递加，所以x<0 时单一递减， g ′(x)<0.7．选 D 由题图可知，当 x<－2 时，f ′(x)>0 ；当 x ＝－ 2 时，f ′(x)＝ 0；当－ 2<x<1 时，f ′(x)<0 ；当 1<x<2 时， f ′(x)<0；当 x ＝ 2 时， f ′(x)＝ 0；当 x>2 时， f ′(x)>0. 由此能够获得函数 f(x) 在 x ＝－2 处获得极大值，在 x ＝ 2 处获得极小值．e 1 2e 18．选 Af(x)dx ＝x dx ＋x dx0 01 11e34＝ x＋ ln x ＝ .339．选 A 法一：由于 f ′(x)＝－ 3x 2＋2ax ＋ b ，函数 f(x)的图象与 x 轴相切于原点，所以 f ′(0)＝0，即 b ＝0，所以 f(x)＝－ x 3＋ ax 2，令 f(x)＝ 0，得 x ＝ 0 或 x ＝ a(a<0) ，由于函数f(x)的图111 1 0324 3 1象与 x 轴所围成地区的面积为12，所以a (－ x ＋ ax )dx ＝－ 12，所以－4x ＋ 3ax ＝－ 12，a所以 a ＝－ 1 或 a ＝ 1(舍去 )，应选 A.法二：由于 f ′(x)＝－ 3x 2＋ 2ax ＋ b ，函数 f(x)的图象与 x 轴相切于原点，所以f ′(0)＝ 0，即 b ＝ 0，所以 f(x)＝－ x 3＋ ax 2.若 a ＝ 0，则 f(x)＝－ x 3，与 x 轴只有一个交点(0,0)，不切合所给的图象，清除 B ；若 a ＝ 1，则 f(x)＝－ x 3＋x 2＝－ x 2(x － 1)，与 x 轴有两个交点 (0,0)，(1,0)，不切合所给的图象，清除 C ；若 a ＝－ 2，则所围成的面积为－(－ x 3－ 2x 2)dx ＝1x 4＋ 2x 3 43－ 24 1＝ ≠ ，清除 D ，应选 A 3 12－ 210．选 D 由 f(x)＝ 2x2－ ln x 可知定义域为 (0，＋ ∞)，所以 k －1≥0， k ≥1，故清除 B ，C两项．又 11 11 上单一递减，在f ′(x)＝ 4x －，令 f ′(x)＝ 0，得 x ＝或 x ＝－(舍去 )， f(x)在 0，2x 2 2k － 1<1，2且 k ≥1，得 1≤k ＜3.1，＋ ∞ 上单一递加．由题意知212k ＋ 1>211．分析：由题意 α－ 1，在点 (1,2)处的切线的斜率为k ＝ α，又切线过坐标原点，y ′＝ αx 所以 α＝ 2－ 0＝ 2.1－ 0答案： 212．分析：函数 f(x)的定义域为 (0，＋ ∞)，1 ＝ 4x 2－ 1 1 令 f ′(x)＝ 4x － ≥0，得 x ≥xx2.答案：1，＋ ∞213．分析：泊车时 v(t)＝ 0，则 27－ 0.9t ＝0， ∴ t ＝ 30 s ， 3030s ＝ ∫0v(t)dt ＝ ∫0(27－ 0.9t)dt ＝ (27t － 0.45t 2)300＝ 405(m)．答案： 405 m14．分析：令 f ′(x)＝ 3x 2－ 3a 2＝ 0， ∴ x ＝ ±a.当 f ′(x)>0 时， x>a 或 x<－a ，当 f ′(x)<0 时，－ a<x<a ，所以函数 f(x)在 (a ，＋ ∞)， (－ ∞，－ a)上为增函数，在 (－ a ， a)上为减函数．故 f(x) 极大值＝ f(－ a)＝ 2a 3＋ a ，f(x)极小值＝f(a)＝ a － 2a 3.2a 3＋ a>0，∴a － 2a 3<0，解得 a> 2. 2a>0 ，答案：2，＋ ∞2415．解： (1) f ′(x)＝2ax ＋ b ＋ x＝2ax 2＋ bx ＋4， x ∈ (0，＋ ∞)． x由 y ＝ f(x)的极值点为 1 和 2，∴ 2ax 2＋ bx ＋4＝ 0 的两根为 1 和 2，2a ＋ b ＋ 4＝0， ∴8a ＋ 2b ＋ 4＝ 0，a ＝ 1，解得b ＝－ 6.(2)由 (1) 得 f(x)＝ x 2－ 6x ＋ 4ln x ，∴f ′(x)＝ 2x － 6＋ 4＝ 2x2－6x ＋ 4xxx －x －．＝， x ∈ (0,3]x当 x 变化时， f ′(x)与 f(x)的变化状况以下表：x (0,1) 1 (1,2) 2 (2,3) 3f ′(x) ＋0 －0 ＋f(x)－ 54ln 2 － 84ln 3 － 9∵ f(3) ＝ 4ln 3－ 9>f(1) ＝－ 5>f(2) ＝4ln 2 － 8， ∴ f(x)max ＝ f(3)＝ 4ln 3－ 9.416．解： (1) f ′(x)＝2ax ＋ 2－，由 f ′(1)＝ 2a ＋ 2＝ 0，得 a ＝－ 1 .33 (2)f(x)＝－ 1 2 4x ＋ 2x － ln x(x ＞0)，3 324 －x － x －＝ 3x.f ′(x)＝－ 3x ＋ 2－ 3x 由 f ′(x)＝ 0，得 x ＝ 1 或 x ＝ 2.① 当 f ′(x)＞ 0 时 1＜ x ＜ 2；② 当 f ′(x)＜ 0 时 0＜ x ＜ 1 或 x ＞ 2.当 x 变化时 f ′(x)， f(x)的变化状况以下：x (0,1) 1 (1,2) 2 (2，＋ ∞)f ′(x) －0 ＋0 －f( x)5 8－ 4 ln 233 3所以 f(x)的单一递加区间是(1,2) ，单一递减区间是 (0,1) ，(2 ，＋ ∞)．5 8 4函数的极小值为 f(1) ＝，极大值为 f(2)＝ 3 － ln 2.3317．解： (1)当 a ＝ 2 时， f(x)＝ (－ x 2＋ 2x)e x ，f ′(x)＝ (－ x 2＋ 2)e x .令 f ′(x)＞ 0，即 (－ x 2＋ 2)e x＞0，注意到 e x ＞ 0，所以－ x 2＋ 2＞ 0，解得－2＜ x ＜ 2.所以，函数 f(x)的单一递加区间为 (－2， 2)．同理可得，函数 f(x)的单一递减区间为 (－∞，－ 2)和 ( 2，＋ ∞)．(2)由于函数 f(x)在 (－ 1,1)上单一递加，所以f ′(x)≥0 在(－ 1,1)上恒建立．又 f ′(x)＝ [ － x 2 ＋ (a － 2)x ＋ a]e x ，所以 [－ x 2＋ (a － 2)x ＋ a]e x ≥0，注意到 e x ＞ 0，所以－ x 2＋( a － 2)x ＋ a ≥0 在 (－ 1,1)上恒建立，也就是x 2＋ 2x1在 (－ 1,1)上恒建立．a ≥＝ x ＋ 1－x ＋ 1 x ＋1设 y ＝ x ＋1－ 1，则 y ′＝ 1＋1 2＞ 0， x ＋ 1x ＋即 y ＝ x ＋1－ 1在 (－ 1,1)上单一递加，x＋ 1则 y ＜ 1＋ 1－ 13 3＝，故 a ≥ .1＋1221＋a2x ＋ a(x ＞ 0)，218．解： (1) f ′(x)＝ xx ＝x 当 a ≥0 时， f ′(x)＞ 0，f(x)在 (0，＋ ∞)上是增函数， f(x)不存在最小值；当 a ＜0 时，由 f ′(x)＝0 得 x ＝－ a ，且 0＜x ＜－ a 时 f ′(x)＜ 0，x ＞－ a 时 f ′(x)＞ 0.∴ x ＝－ a 时 f(x)取最小值，f(－a)＝ ln(－ a)＋1＝ 2，解得 a ＝－ e.22 ，即 a ＞ ln 2(2)g( x)＜ x 即 ln x － a ＜ x x － x ，故 g(x)＜ x 2 在 (0，e]上恒建立，也就是 a ＞ln x － x 2 在 (0， e]上恒建立．设 h(x)＝ ln x － x 2，则 h ′(x)＝ 1－ 2x ＝ 1－ 2x 2 ，由 h ′(x)＝ 0 及 0＜ x ≤e 得 x ＝ 2x x2.2222当 0＜ x ＜ 2 时 h ′(x)＞ 0，当 2 ＜ x ≤e 时 h ′(x)＜0，即 h(x)在 0， 2 上为增函数，在 2 ， e上为减函数，所以当 x ＝ 2 h 2 ＝ ln 2 1 时 h(x)获得最大值为 2 － .2 2 2所以 g(x)＜ x2在 (0， e]上恒建即刻，a 的取值范围为 ln 2－1，＋∞ . 22。

高中数学第一章导数及其应用章末检测新人教A版选修2-2(2021年最新整理)

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第一章导数及其应用一、选择题1．（2013·广东改编）若曲线y＝2x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则切线l的方程为（)A．x＋4y＋3＝0 B．x＋4y－9＝0C．4x－y＋3＝0 D．4x－y－2＝0答案D解析y′＝4x，设切点M（x0，y0），∴k＝4x0.又∵x＋4y－8＝0的斜率k1＝－错误!，∴k＝4x0＝4，x0＝1，y0＝2x错误!＝2，即切点为M（1,2）,k＝4.故切线l的方程为y－2＝4(x－1），即4x－y－2＝0，故选D.2．函数y＝x4－2x2＋5的单调减区间为( )A．(－∞，－1)及（0,1）B．(－1,0）及（1，＋∞)C．(－1，1) D．（－∞，－1)及（1,＋∞）答案A解析y′＝4x3－4x＝4x(x2－1)，令y′〈0得x的范围为（－∞，－1)∪（0,1）,故选A。

3．一物体在变力F（x)＝5－x2(力单位：N，位移单位:m）作用下,沿与F（x）成30°方向作直线运动,则由x＝1运动到x＝2时F（x)作的功为( )A.错误! J B．错误! JC．错误! J D．2错误! J答案C解析由于F(x）与位移方向成30°角．如图:F在位移方向上的分力F′＝F·cos 30°,W＝错误!(5－x2)·cos30°d x＝错误!错误!(5－x2）d x＝错误!错误!错误!＝错误!×错误!＝错误! (J)．4．(2012·重庆改编)已知函数y＝f(x）,其导函数y＝f′（x)的图象如图所示，则y＝f(x）（)A．在（－∞，0）上为减函数B．在x＝0处取极小值C．在(4，＋∞)上为减函数D．在x＝2处取极大值答案C解析使f′（x）＞0的x的取值范围为增区间；使f′(x）＜0的x的取值范围为减区间．5．已知函数f（x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞）上是单调函数，则实数a的取值范围是( )A．（－∞，－错误!) B．[－错误!，错误!］C．(错误!，＋∞）D．（－错误!，错误!)答案B解析f′(x）＝－3x2＋2ax－1≤0在（－∞，＋∞）恒成立，Δ＝4a2－12≤0⇒－错误!≤a≤错误!.6．设f(x)＝x ln x,若f′(x0)＝2,则x0＝（)A．e2B．ln 2C．错误!D．e答案D解析f′(x)＝x（ln x)′＋（x)′·ln x＝1＋ln x,∴f′（x0)＝1＋ln x0＝2，∴ln x0＝1，∴x0＝e。

导数及其应用单元质量评估检测含答案解析高二数学北京海淀

导数及其应用单元质量评估(一)(第一章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下列求导运算正确的是( )A.(cos x)′=sin xB.′=cosC.′=-D.′=【解析】选D.A中，(cos x)′=-sin x，B中′=0，C中′=-2x-3，D中′=.2.一个物体的运动方程为s=1-t+t2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是( )A.7米/秒B.6米/秒C.5米/秒D.8米/秒【解析】选C.s′=-1+2t，故-1+6=5米/秒.3.已知曲线y=的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选A.已知曲线y=的一条切线的斜率为，因为y′=x=，所以x=1，则切点的横坐标为1.4.下列函数中，在(0，+∞)内递增的是( )A.sin2xB.xe xC.x3-xD.-x+ln(1+x)【解析】选B.选项B中，y=xe x，则在区间(0，+∞)上y′=e x+xe x=e x(1+x)>0.5.函数f(x)=ax3+bx在x=1处有极值-2，则a，b的值分别为( )A.1，-3B.1，3C.-1，3D.-1，-3【解析】选A.因为f′(x)=3ax2+b，所以f′(1)=3a+b=0. ①又x=1时有极值-2，所以a+b=-2. ②由①②解得a=1，b=-3.6.已知函数y=xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y=f(x)的图象大致是( )【解析】选C.当0<x<1时，xf′(x)<0，所以f′(x)<0，故y=f(x)在(0，1)上是减少的;当x>1时，xf′(x)>0，所以f′(x)>0，故y=f(x)在(1，+∞)上是增加的，因此否定A，B，D.7.已知函数f(x)=x2+f′(2)(lnx-x)，则f′(1)=( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B.因为f(x)=x2+f′(2)(lnx-x)，所以f′(x)=2x+f′(2);所以f′(1)=2×1+f′(2)×(1-1)=2.8.若函数f(x)=2xf′(1)+x2，则= ()A.-B.C.-D.-【解析】选D.因为f(x)=2xf′(1)+x2，所以f′(x)=2f′(1)+2x，令x=1，得f′(1)=-2，所以f(x)=-4x+x2，则f(-1)=5，而f′(x)=-4+2x，所以f′(-1)=-6，即=-.9.函数f(x)=lnx+ax存在与直线2x-y=0平行的切线，则实数a的取值范围是( ) A.(-∞，2] B.(-∞，2)C.[0，+∞)D.(2，+∞)【解析】选B.函数f(x)=lnx+ax存在与直线2x-y=0平行的切线，即f′(x)=2在(0，+∞)上有解，而f′(x)=+a，即+a=2在(0，+∞)上有解，a=2-，因为x>0，所以2-<2，所以a的取值范围是(-∞，2).10.(2018·青岛高二检测)若函数f(x)=(a>0)在[1，+∞)上的最大值为，则a= ( )A.-1B.C.D.+1【解析】选A.由题意得f′(x)==(x>0)，所以当0<x<时，f′(x)>0，f(x)单调递增;当x>时，f′(x)<0，f(x)单调递减.①当>1，即a>1时，f(x)max=f()==.令=，解得a=，不合题意.②当≤1，即a≤1时，f(x)在[1，+∞)上单调递减，故f(x)max=f(1)=. 令=，解得a=-1，符合题意.综上a=-1.11.已知a，b为正实数，函数f(x)=ax3+bx+2x在[0，1]上的最大值为4，则f(x)在[-1，0]上的最小值为( )A.-B.C.-2D.2【解析】选A.因为a，b为正实数，函数f(x)=ax3+bx+2x，所以导函数f′(x)=3ax2+b+2x ln2，因为a，b为正实数，所以当0≤x≤1时，3ax2≥0，2x ln2>0，所以f′(x)>0，即f(x)在[0，1]上是增函数，所以f(1)最大且为a+b+2=4⇒a+b=2①;又当-1≤x≤0时，3ax2≥0，2x ln2>0，所以f′(x)>0，即f(x)在[-1，0]上是增函数，所以f(-1)最小且为-(a+b)+②，将①代入②得f(-1)=-2+=-.12.已知函数f(x)=x2+2x+aln x，若函数f(x)在(0，1)上单调，则实数a的取值范围是( )A.a≥0B.a<-4C.a≥0或a≤-4D.a>0或a<-4【解析】选C.因为f′(x)=2x+2+，f(x)在(0，1)上单调，所以f′(x)≥0或f′(x)≤0在(0，1)上恒成立，即2x2+2x+a≥0或2x2+2x+a≤0在(0，1)上恒成立，所以a≥-(2x2+2x)或a≤-(2x2+2x)在(0，1)上恒成立.记g(x)=-(2x2+2x)，0<x<1，可知-4<g(x)<0，所以a≥0或a≤-4.【补偿训练】函数f(x)=ax3-x在R上为减函数，则( )A.a≤0B.a<1C.a<0D.a≤1【解析】选A.f′(x)=3ax2-1，若a=0，则f′(x)=-1<0，f(x)在R上为减函数，若a≠0，由已知条件即解得a<0. 综上可知a≤0.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y=4-x2在x 轴上方的曲线上，则这种矩形中面积最大者的边长为__________.【解析】设点B(x，4-x2)(0<x<2)，则S=2x(4-x2)=-2x3+8x，所以S′=-6x2+8，令S′=0，即x=，另一边长为时，S=-2x3+8x取得最大值.答案:和14.(2018·全国卷Ⅲ)曲线y=e x在点处的切线的斜率为-2，则a=________.【解析】由y=(ax+1)e x，所以y′=ae x+(ax+1)e x=(ax+1+a)e x，故曲线y=(ax+1)e x在(0，1)处的切线的斜率为k=a+1=-2，解得a=-3.答案:-315.如图，y=f(x)是可导函数，直线l是曲线y=f(x)在x=4处的切线，令g(x)=，则g′(4)=__________.【解析】由题图知直线l过点(4，5)与(0，3)，得斜率k==，即f′(4)=，且f(4)=5.g′(x)=′=，g′(4)===-.答案:-16.已知函数f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是__________.【解析】由题知，x>0，f′(x)=ln x+1-2ax，由于函数f(x)有两个极值点，则f′(x)=0有两个不等的正根，即函数y=ln x+1与y=2ax的图象有两个不同的交点(x>0)，则a>0;设函数y=ln x+1上任一点(x0，1+ln x0)处的切线为l，则k l=y′=，当l过坐标原点时，=⇒x0=1，令2a=1⇒a=，结合图象知0<a<.答案:三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=±1处取得极值，且f(1)=-1.(1)试求常数a，b，c的值.(2)试判断x=±1是函数的极大值点还是极小值点，并说明理由，并求函数的单调区间.【解析】(1)f′(x)=3ax2+2bx+c，由f′(1)=f′(-1)=0，得:3a+2b+c=0，①3a-2b+c=0. ②又f(1)=-1，所以a+b+c=-1，③由①②③解得a=，b=0，c=-.(2)x=-1是函数的极大值点，x=1是函数的极小值点.理由如下:f(x)=x3-x，所以f′(x)=x2-=(x-1)(x+1).当x<-1或x>1时，f′(x)>0，当-1<x<1时，f′(x)<0.所以函数f(x)在(-∞，-1)和(1，+∞)上是增函数，在(-1，1)上是减函数. 因此，当x=-1时函数取得极大值f(-1)=1.当x=1时函数取得极小值f(1)=-1.函数的增区间为(-∞，-1)和(1，+∞)，减区间为(-1，1).18.(12分)(2018·海口高二检测)已知函数f(x)=aln x-bx2，a，b∈R，若不等式f(x)≥x对所有的b∈(-∞，0]，x∈(e，e2]都成立，求a的取值范围.【解析】若不等式f(x)≥x对所有的b∈(-∞，0]，x∈(e，e2]都成立，即aln x-bx2≥x对所有的b∈(-∞，0]，x∈(e，e2]都成立，即aln x-x≥bx2对所有的b∈(-∞，0]，x∈(e，e2]都成立，即aln x-x≥0对x∈(e，e2]都成立，即a≥对x∈(e，e2]都成立，即a大于等于在区间(e，e2]上的最大值，令h(x)=，则h′(x)=，当x∈(e，e2]时，h′(x)>0，h(x)单调递增，所以h(x)=，x∈(e，e2]的最大值为h(e2)=，即a≥，所以a的取值范围为.19.(12分)(2018·北京高考)设函数f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]e x.(1)若曲线y= f(x)在点(1，f(1))处的切线方程与x轴平行，求a.(2)若f(x)在x=2处取得极小值，求a的取值范围.【解析】(1)因为f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]e x，所以f′(x)=[2ax-(4a+1)]e x+[ax2-(4a+1)x+4a+3]e x=[ax2-(2a+1)x+2]e x. f′(1)=(1-a)e.由题设知f′(1)=0，即(1-a)e=0，解得a=1.此时f(1)=3e≠0，所以a的值为1.(2)由(1)得f′(x)=[ax2-(2a+1)x+2]e x=(ax-1)(x-2)e x.若a>，则当x∈时，f′(x)<0;当x∈(2，+∞)时，f′(x)>0.所以f(x)在x=2处取得极小值.若a≤，则当x∈(0，2)时，x-2<0，ax-1≤x-1<0，所以f′(x)>0.所以2不是f(x)的极小值点.综上可知，a的取值范围是(，+∞).20.(12分)某厂家拟对一商品举行促销活动，当该商品的售价为x元时，全年的促销费用为12(15-2x)(x-4)万元;根据以往的销售经验，实施促销后的年销售量t=12(x-8)2+万件，其中4<x<7.5，a为常数.当该商品的售价为6元时，年销售量为49万件.(1)求出a的值.(2)若每件该商品的成本为4元时，写出厂家销售该商品的年利润y万元与售价x元之间的关系.(3)当该商品售价为多少元时，厂家销售该商品所获年利润最大？【解析】(1)由已知:当x=6元时，t=49万件，所以49=12(6-8)2+，所以a=2.(2)因为y=(x-4)·t-12(15-2x)(x-4)，所以y=(x-4)·-12(15-2x)(x-4)=12(x-4)(x-8)2-12(15-2x)(x-4)+2=12(x-4)(x-7)2+2(4<x<7.5).(3)y′=12(x-7)2+24(x-4)(x-7)=36(x-7)(x-5)，令y′=0得x=7或x=5.列表如下x (4，5) 5 (5，7) 7 (7，7.5)y′+ 0 - 0 +y ↗50 ↘ 2 ↗又当x=7.5时，y=12(x-4)(x-7)2+2=12.5.故当x=5时，y最大=50，故该商品售价为5元时厂家销售该商品所获年利润最大.【误区警示】实际问题的求解不要忽视作答.21.(12分)已知函数f(x)=x3+(a-1)x2-3ax+1，x∈R.(1)讨论函数f(x)的单调区间.(2)当a=3时，若函数f(x)在区间[m，2]上的最大值为28，求m的取值范围.【解析】(1)由f(x)=x3+(a-1)x2-3ax+1，得:f′(x)=3x2+3(a-1)x-3a=3(x-1)(x+a).令f′(x)=0，得x1=1，x2=-a.①当-a=1，即a=-1时，f′(x)=3(x-1)2≥0，f(x)在(-∞，+∞)上为增函数;②当-a<1，即a>-1时，当x<-a或x>1时，f′(x)>0，f(x)在(-∞，-a)，(1，+∞)内为增函数，当-a<x<1时，f′(x)<0，f(x)在(-a，1)内为减函数;③当-a>1，即a<-1时，当x<1或x>-a时，f′(x)>0，f(x)在(-∞，1)，(-a，+∞)内为增函数，当1<x<-a时f′(x)<0，f(x)在(1，-a)内为减函数.综上，当a<-1时，f(x)在(-∞，1)，(-a，+∞)内为增函数，在(1，-a)内为减函数;当a=-1时，f(x)在(-∞，+∞)上为增函数;当a>-1时，f(x)在(-∞，-a)，(1，+∞)内为增函数，在(-a，1)内为减函数.(2)当a=3时，f(x)=x3+3x2-9x+1，x∈[m，2]，f′(x)=3x2+6x-9=3(x+3)(x-1)，令f′(x)=0，得x1=1，x2=-3.当x变化时，f′(x)，f(x)变化状态如下表:由此表可得，f(x)极大值=f(-3)=28，f(x)极小值=f(1)=-4.又f(2)=3<28，故区间[m，2]内必须含有-3，即m的取值范围是(-∞，-3].【补偿训练】已知函数f(x)=x2-2alnx(a∈R且a≠0).(1)若f(x)在定义域上为增函数，求实数a的取值范围.(2)求函数f(x)在区间[1，2]上的最小值.【解析】(1)f′(x)=2x-2×=，若函数f(x)是定义域(0，+∞)上的单调函数，则只能f′(x)≥0在(0，+∞)上恒成立，即x2-a≥0在(0，+∞)上恒成立，即只要a≤0，又a≠0，实数a的取值范围(-∞，0).(2)f′(x)=，①当a<0时，x∈[1，2]，f′(x)>0，函数递增，所以当x=1时f(x)有最小值，并且最小值为1.②当a>0时，f′(x)===，函数f(x)在区间(0，)上为减函数，在区间(，+∞)上为增函数. (ⅰ)当≤1时，即0<a≤1时，函数在[1，2]上为增函数，所以当x=1时f(x)有最小值，并且最小值为1，(ⅱ)当1<≤2即1<a≤4时，函数在[1，]上为减函数，在[，2]上为增函数;所以当x=时f(x)有最小值，并且最小值为 a-aln a;(ⅲ)当>2即4<a时，函数在[1，2]上递减，所以当x=2时f(x)有最小值，并且最小值为4-2aln 2.22.(12分)已知函数f(x)=lnx-ax2-2x(a<0).(1)若函数f(x)在定义域内单调递增，求a的取值范围.(2)若a=-且关于x的方程f(x)=-x+b在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围.【解析】(1)f′(x)=-(x>0)，依题意f′(x)≥0在(0，+∞)上时恒成立，即ax2+2x-1≤0在(0，+∞)上恒成立.则a≤在(0，+∞)上恒成立，即a≤，x>0，当x=1时，-1取最小值-1，所以a的取值范围是(-∞，-1].(2)a=-，f(x)=-x+b，所以x2-x+ln x-b=0，设g(x)=x2-x+ln x-b(x>0)，则g′(x)=，列表:x (0，1) 1 (1，2) 2 (2，4)g′(x) + 0 - 0 +g(x) ↗-b-↘ln 2-b-2 ↗所以g(x)极小值=g(2)=ln 2-b-2，g(x)极大值=g(1)=-b-，又g(4)=2ln 2-b-2，因为方程g(x)=0在[1，4]上恰有两个不相等的实数根.则得ln 2-2<b≤-.。

苏教版高中数学选择性必修第一册数列、导数及其应用(第4～5章)阶段测试(含答案)

苏教版高中数学选择性必修第一册数列、导数及其应用(第4～5章)阶段测试（含答案）苏教版高中数学选择性必修第一册数列、导数及其应用(第4～5章)阶段测试(满分150分，时间120分钟)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知函数f(x)＝xsinx，则f′的值为()A．－1B．0C．1D．2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＋a8＝16，则S11等于() A．64B．78C．88D．1083．曲线y＝lnx在点(e，f(e))处的切线方程为()A．x－ey＝0B．x－y－e＝0C．ex－y－e＝0D．y－1＝04．已知等比数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，若a3＝4，a2a6＝64，则S5等于()A．31B．32C．63D．645．已知函数y＝f(x)在定义域内可导，其图象如图所示．设y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为()(第5题)A．∪[2,3]B．∪C．∪[1,2)D．∪∪6．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是()A．(－1,2)B．(－∞，－3)∪(6，＋∞)C．(－3,6)D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)7．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，如数列1,3,6,10，前后两项之差得到新数列2,3,4，新数列2,3,4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前7项分别为3,4,6,9,13,18,24，则该数列的第19项为()A．160B．174C．184D．1888．已知函数f(x)(x∪R)满足f(1)＝1，且f(x)的导函数f′(x)＜，则f(x)＜＋的解集为()A．{x|－1＜x＜1}B．{x|x＜－1}C．{x|x＜－1或x＞1}D．{x|x＞1}二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝0，a4＝8，则() A．Sn＝2n2－6n B．Sn＝n2－3nC．an＝4n－8D．an＝2n10．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．”下列说法中正确的有()A．此人第三天走了四十八里路B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C．此人第二天走的路程占全程的D．此人前三天走的路程之和是后三天走的路程之和的8倍11．下列曲线中与直线l：2x－y＋3＝0相切的是()A．曲线C1：y2＝24x B．曲线C2：y＝ln(2x)＋4C．曲线C3：x2－＝1D．曲线C4：y＝2x3－5x2＋6x＋212．设函数f(x)＝lnx，且x0，x1，x2∪(0，＋∞)，下列说法中正确的有()A．若x1＜x2，则＞B．存在x0∪(x1，x2)，x1＜x2，使得＝C．若x1＞1，x2＞1，则＜1D．对任意的x1，x2，都有f＞三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．其中第13题第一个空2分、第二个空3分．13．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝9，a6＝243，则a9＝________，S12＝________.14．已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则实数a的取值范围是________. 15．我国古代的天文学和数学著作《周碑算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷(guǐ)长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)，夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列．经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则立冬的日影子长为________尺．16．已知函数f(x)的定义域为A，若其值域也为A，则称区间A为f(x)的保值区间．若函数g(x)＝x＋m－lnx的保值区间是[e，＋∞)，则实数m的值为________.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知函数f(x)＝x3＋2mx2＋nx＋m在x＝－1处取得极值－1.(1)求m，n的值；(2)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．18．(12分)在等比数列{an}中，a1＝1,2a2是a3和4a1的等差中项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn＝2n＋a，求{bn}的前n项和Sn.19．(12分)已知函数f(x)＝x3－4x＋3.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在区间[－3,5]上的最大值与最小值．20．(12分)给出如下条件：①a3＋a8＝－2；②S7＝－28；③a2，a4，a5成等比数列．请在这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．设数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＋1＝Sn＋an＋2，________.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求Sn的最小值并指明相应的n的值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．21．(12分)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1－2Sn＝1.(1)求证：{Sn＋1}为等比数列．并求出{an}的通项公式．(2)若bn＝，求{bn}的前n项和Tn.是否存在正整数n，使得Tn·2n－1＝n＋50成立？若存在，求出所有n的值；若不存在，请说明理由．22．(12分)已知函数f(x)＝＋lnx，g(x)＝x3＋x2－x.(1)若m＝3，求f(x)的极值；(2)若对于任意的s，t∪，都有f(s)≥g(t)，求实数m的取值范围．参考答案与解析1．C 2.C 3.A 4.A 5.A 6.B提示f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)．由题意得f′(x)＝0有两个不同的实数解，所以Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)>0，解得a>6或a1}9.AC10.ABD提示设此人第n天走an里路，则{an}是首项为a1、公比为q＝的等比数列，所以S6＝＝＝378，解得a1＝192.a3＝a1q2＝192×＝48，所以A正确．S6－a1＝378－192＝186,192－186＝6，所以B正确．a2＝a1q＝192×＝96，S6＝94.5＜96，所以C不正确．a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝192×＝336，则后3天走的路程为378－336＝42,42×8＝336，所以D正确11.ABD提示将y＝2x＋3代入y2＝24x，得4x2－12x＋9＝0，则Δ＝(－12)2－4×4×9＝0，所以直线l与曲线C1相切．对于y＝ln(2x)＋4，y′＝，令＝2，解得x＝，代入y＝2x＋3，可得切点为，在曲线C2上，故直线l与曲线C2相切．曲线C3：x2－＝1的一条渐近线为y＝2x，和直线l平行，故直线l与曲线C3相交于一点，不相切．对于y＝2x3－5x2＋6x＋2，y′＝6x2－10x＋6，令6x2－10x＋6＝2，解得x＝或x＝1.将x＝代入y ＝2x＋3，可得切点为，不在曲线上；将x＝1代入y＝2x＋3，可得切点为(1,5)，在曲线上．故直线l与曲线C4相切(第12题)12．BCD提示f′(x)＝.如图，曲线在点B处的切线斜率小于割线AB 的斜率，所以，故D正确13.3814.(－∞，2ln2－2]15.10.5提示设夏至的日影长为a1，公差为d，则解得所以立冬的日影子长为a10＝1.5＋9＝10.5(尺)16.1提示由题意得g(x)＝x＋m－lnx的定义域为[e，＋∞)，值域也为[e，＋∞)．g′(x)＝1－＝(x>0)，易知g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以g(x)在[e，＋∞)上单调递增，从而g(x)≥g(e)，于是g(e)＝e，即e＋m－lne＝e，解得m＝117.(1)f′(x)＝3x2＋4mx＋n.由题意知即解得当m＝3，n＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝－3.易知当x－1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当－30，f(x)单调递增；当－22时，f′(x)>0，f(x)单调递增．所以函数f(x)的增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)；减区间为(－2,2)(2)由(1)知函数f(x)在[－3，－2)上单调递增，在[－2,2]上单调递减，在(2,5]上单调递增，又f(－3)＝×(－3)3－4×(－3)＋3＝6，f(2)＝×23－4×2＋3＝－，f(－2)＝×(－2)3－4×(－2)＋3＝，f(5)＝×53－4×5＋3＝，所以函数f(x)在区间[－3,5]上的最大值为，最小值为－20.(1)因为Sn＋1＝Sn＋an＋2，所以an＋1－an＝2，从而数列{an}是公差d＝2的等差数列．选择条件①：因为a3＋a8＝－2，所以2a1＋9d＝－2，解得a1＝－10.所以an＝2n－12.选择条件②：因为S7＝－28，所以7a1＋d＝－28，解得a1＝－10.所以an＝2n－12.选择条件③：因为a2，a4，a5成等比数列，所以a＝a2a5，即(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋4d)，解得a1＝－10.所以an＝2n－12(2)解法1：令即解得5≤n≤6，所以a1，a2，a3，a4，a50.所以当n＝5或n＝6时，Sn可取得最小值，最小值为S5＝S6＝(－10)＋(－8)＋…＋(－2)＝－30.解法2：因为Sn＝－10n＋×2＝n2－11n(n∪N*)，所以当n＝5或n＝6时，Sn取得最小值，最小值为S5＝S6＝52－11×5＝－3021.(1)因为Sn＋1－2Sn＝1，所以Sn＋1＋1＝2(Sn＋1)．由a1＝S1＝1，可推出Sn＋1>0，故＝2，即{Sn＋1}为等比数列．因为S1＋1＝2，公比为2，所以Sn＋1＝2n，即Sn＝2n－1.当n≥2时，Sn－1＝2n－1－1，an＝Sn－Sn－1＝2n－1.a1＝1也满足上式，所以an＝2n－1(2)因为bn＝＝，Tn＝＋＋…＋，所以Tn＝＋＋…＋，两式相减得Tn＝＋＋…＋－＝2－，即Tn＝4－，代入Tn·2n－1＝n＋50，得2n－n－26＝0.令f(x)＝2x－x－26(x≥1)，f′(x)＝2xln2－1>0在x∪[1，＋∞)恒成立，所以f(x)＝2x－x－26在[1，＋∞)单调递增．而f(5)·f(4)3时，f′(x)>0，f (x)单调递增；当00，g(x)单调递增，所以g(x)max＝g(2)＝10.对于任意的s，t∪，f(s)≥g(t)恒成立，即对任意x∪，f (x)＝＋lnx≥1恒成立，即m≥x －xlnx恒成立．令h(x)＝x－xlnx，则h′(x)＝1－lnx－1＝－lnx.令h′(x)＝0，得x＝1.易知当x>1时，h′(x)0，h(x)单调递增．所以当x∪时，h(x)max ＝h(1)＝1，从而m≥1，即m的取值范围是[1，＋∞)。

导数及其应用测试题(有详细答案)

兴国三中高二数学（文）期末复习题《导数及其应用》命题：高二数学备课组一、选择题1.0()0f x '=是函数()f x 在点0x 处取极值的:A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 2、设曲线21y x =+在点))(,(x f x 处的切线的斜率为()g x ，则函数()cos y g x x =的部分图象可以为A. B. C. D.3．在曲线y ＝x 2上切线的倾斜角为π4的点是( )A ．(0,0)B ．(2,4) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，116 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14 4.若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－1 5．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．56. 已知三次函数f (x )＝13x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在x ∈(－∞，＋∞)是增函数，则m 的取值范围是( )A ．m <2或m >4B ．－4<m <－2C ．2<m <4D ．以上皆不正确 7. 直线y x =是曲线ln y a x =+的一条切线，则实数a 的值为A ．1-B ．eC ．ln 2D ．18. 若函数)1,1(12)(3+--=k k x x x f 在区间上不是单调函数，则实数k 的取值范围（） A ．3113≥≤≤--≤k k k 或或 B ．3113<<-<<-k k 或C ．22<<-kD ．不存在这样的实数k9. 10．函数()f x 的定义域为(),a b ，导函数()f x '在(),a b 内的图像如图所示，则函数()f x 在(),a b 内有极小值点A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10.已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则Ox xx xyyyyOO O(1)'(0)f f 的最小值为 A ．3 B ．52 C ．2 D ．32二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 11.函数sin xy x=的导数为_________________ 12、已知函数223)(a bx ax x x f +++=在x=1处有极值为10，则f (2)等于____________. 13．函数2cos y x x =+在区间[0,]2π上的最大值是14．已知函数3()f x x ax =+在R 上有两个极值点，则实数a 的取值范围是 15. 已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，0)1(=f ，)()(2>-'x x f x f x ）（0>x ，则不等式0)(2>x f x 的解集是三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16. 设函数f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1,0<x <2π，求函数f (x )的单调区间与极值．17. 已知函数3()3f x x x =-.（Ⅰ）求)2(f '的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间.18. 设函数R x x x x f ∈+-=,56)(3. （1）求)(x f 的单调区间和极值；（2）若关于x 的方程a x f =)(有3个不同实根，求实数a 的取值范围. （3）已知当)1()(,),1(-≥+∞∈x k x f x 时恒成立，求实数k 的取值范围.19. 已知1x =是函数32()3(1)1f x mx m x nx =-+++的一个极值点，其中,,0m n R m ∈< （1）求m 与n 的关系式；（2）求()f x 的单调区间；（3）当[1,1]x ∈-，函数()y f x =的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m 的取值范围。

高考数学阶段复习试卷：导数及其应用

）
得 f (c) f (a) g (b) ，则 k 的最大值为（ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
4. 若 a 是 f ( x) sin x x cos x 在 x (0, 2 ) 的一个零点，则 x (0, 2 ) ，下列不等式恒成立的是（ A. ） B. cos a
1 ，当 k 3 时可证明 f (a) g (b) g (a) ， kmax 3 ． e
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4. 答案：A 分析： f ( x) x sin x ，当 x (0, ) ， f ( x) 0 ，函数 f ( x) 单调递增，当 x ( , 2 ) ， f ( x) 0 ，函数 f ( x) 单调递减，又 f (0) 0 ， f ( ) 0 ， f (2 ) 0 ， ∴ a ( , 2 ) 当 x (0, a) ， f ( x) 0 ，当 x (a, 2 ) ， f ( x) 0 ，令 g ( x)
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6. 定义在 [1, ) 上的函数 f ( x) 满足： f (2 x) cf ( x) （ c 为正常数）；当 2 x 4 时，
f ( x) 1 | x 3| ．有下列命题：
①若函数所有极大值对应的点均在同一条直线上，则 c 1 ； ②从左起第 n 个极大值点的坐标是 (3 2
A. (, 1) B.
）
1,1
C.
0,1
D.
1, 0
2. 对于函数 f x ，若 a, b, c R, f a , f b , f c 为某一三角形的三边长，则称 f x 为“可构造三角形函数”．已知函数 f x A. [ , 2]

高中数学《第五章一元函数的导数及其应用》单元检测试卷及答案解析(共四套)

高中数学选择性必修二《第五章一元函数的导数及其应用》单元检测试卷（一）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若f(x)＝sin α－cos x ，则f′(x)等于( )A ．sin xB ．cos xC ．cos α＋sin xD ．2sin α＋cos x 2．以正弦曲线y ＝sin x 上一点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π B ．[0，π) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π43．函数f(x)的定义域为开区间(a ，b)，导函数f′(x)在(a ，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a ，b)内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 4．函数f(x)＝x 2－ln x 的单调递减区间是( ) A. ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，＋∞ C. ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－22，⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 22 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－22， 0，⎝⎛⎦⎥⎤0， 22 5．函数f(x)＝3x －4x 3(x ∈[0,1])的最大值是( ) A ．1 B.12C ．0D ．－16．函数f(x)＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f(x)在x ＝－3处取得极值，则a ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．57．函数f(x)＝13ax 3＋12ax 2－2ax ＋1的图象经过四个象限，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－310，67B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－85，－316C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－83，－116D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－310∪⎝ ⎛⎭⎪⎫67，＋∞8．已知定义在R 上的函数f(x)，f(x)＋xf′(x)＜0，若a ＜b ，则一定有( )A ．af(a)＜bf(b)B ．af(b)＜bf(a)C ．af(a)＞bf(b)D ．af(b)＞bf(a)二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．下列结论中不正确的是( ) A ．若y ＝cos 1x ，则y′＝－1x sin 1xB ．若y ＝sin x 2，则y′＝2xcos x 2C ．若y ＝cos 5x ，则y′＝－sin 5xD ．若y ＝12xsin 2x ，则y′＝xsin 2x10．下列函数中，存在极值点的是( )A ．y ＝x －1xB ．y ＝2|xC ．y ＝－2x 3－x D ．y ＝xln x11.定义在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，4上的函数f(x)的导函数f′(x)图象如图所示，则下列结论正确的是( )A ．函数f(x)在区间(0,4)上单调递增B ．函数f(x)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0上单调递减 C ．函数f(x)在x ＝1处取得极大值 D ．函数f(x)在x ＝0处取得极小值12．已知函数f(x)＝e x－ax 有两个零点x 1，x 2，且x 1＜x 2，则下列说法正确的是( ) A ．a ＞e B ．x 1＋x 2＞2C ．x 1x 2＞1D ．f(x)有极小值点x 0，且x 1＋x 2＜2x 0第Ⅱ卷(非选择题，共90分)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．若f(x)＝13x 3－f′(1)x 2＋x ＋5，则f′(1)＝________.14．已知奇函数 f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e xx－1(x>0)，h (x )(x<0)，则函数h(x)的最大值为________．15．已知函数f(x)满足f(x)＝f(π－x)，且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2时，f(x)＝x ＋sin x ，设a＝f(1)，b ＝f(2)，c ＝f(3)，则a ，b ，c 的大小关系是________． 16．若函数f(x)＝4xx 2＋1在区间(m,2m ＋1)上单调递增，则实数m 的取值范围是__________．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值4. (1)求实数a ，b 的值；(2)当a>0时，求曲线y ＝f(x)在点(－2，f(－2))处的切线方程． 18．(本小题满分12分)已知a ∈R ，函数f(x)＝(－x 2＋ax)e x. (1)当a ＝2时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求实数a 的取值范围． 19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax 3＋bx 在x ＝22处取得极小值－ 2. (1)求函数f(x)的解析式；(2)若过点M(1，m)的直线与曲线y ＝f(x)相切且这样的切线有三条，求实数m 的取值范围．20. (本小题满分12分)设函数f(x)＝x22－kln x ，k>0.(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1， e ]上仅有一个零点． 21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln x ＋ax 2＋(2a ＋1)x. (1)讨论f(x)的单调性；(2)当a ＜0时，证明f(x)≤－34a－2.22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln x －ax .(1)若f(x)存在最小值且最小值为2，求a 的值；(2)设g(x)＝ln x －a ，若g(x)<x 2在(0，e]上恒成立，求a 的取值范围．答案解析第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若f(x)＝sin α－cos x ，则f′(x)等于( )A ．sin xB ．cos xC ．cos α＋sin xD ．2sin α＋cos x 解析：选A 函数是关于x 的函数，因此sin α是一个常数．2．以正弦曲线y ＝sin x 上一点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π B ．[0，π) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4解析：选A y′＝cos x ，∵cos x ∈[－1,1]，∴切线的斜率范围是[－1,1]，∴倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.3．函数f(x)的定义域为开区间(a ，b)，导函数f′(x)在(a ，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a ，b)内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选A 设极值点依次为x 1，x 2，x 3且a ＜x 1＜x 2＜x 3＜b ，则f(x)在(a ，x 1)，(x 2，x 3)上递增，在(x 1，x 2)，(x 3，b)上递减，因此，x 1，x 3是极大值点，只有x 2是极小值点． 4．函数f(x)＝x 2－ln x 的单调递减区间是( ) A. ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，＋∞ C. ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－22，⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 22 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－22， 0，⎝⎛⎦⎥⎤0， 22 解析：选A ∵f′(x)＝2x －1x ＝2x 2－1x ，当0＜x≤22时，f′(x)≤0，故f(x)的单调递减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22. 5．函数f(x)＝3x －4x 3(x ∈[0,1])的最大值是( ) A ．1 B.12 C ．0 D ．－1解析：选A f′(x)＝3－12x 2，令f′(x)＝0，则x ＝－12(舍去)或x ＝12，f(0)＝0，f(1)＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝32－12＝1，∴f(x)在[0,1]上的最大值为1.6．函数f(x)＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f(x)在x ＝－3处取得极值，则a ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 解析：选D f′(x)＝3x 2＋2ax ＋3，∵f′(－3)＝0. ∴3×(－3)2＋2a×(－3)＋3＝0，∴a ＝5.7．函数f(x)＝13ax 3＋12ax 2－2ax ＋1的图象经过四个象限，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－310，67B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－85，－316C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－83，－116D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－310∪⎝ ⎛⎭⎪⎫67，＋∞解析：选D f′(x)＝ax 2＋ax －2a ＝a(x ＋2)(x －1)，要使函数f(x)的图象经过四个象限，则f(－2)f(1)<0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫103a ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫－76a ＋1<0，解得a<－310或a>67. 故选D.8．已知定义在R 上的函数f(x)，f(x)＋xf′(x)＜0，若a ＜b ，则一定有( ) A ．af(a)＜bf(b) B ．af(b)＜bf(a) C ．af(a)＞bf(b) D ．af(b)＞bf(a)解析：选C 令y ＝xf(x)，则y′＝[xf(x)]′＝x′f(x)＋xf′(x)＝f(x)＋xf′(x)＜0，∴函数y ＝xf(x)是R 上的减函数，∵a ＜b ，∴af(a)＞bf(b)．二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．下列结论中不正确的是( ) A ．若y ＝cos 1x ，则y′＝－1x sin 1xB ．若y ＝sin x 2，则y′＝2xcos x 2C ．若y ＝cos 5x ，则y′＝－sin 5xD ．若y ＝12xsin 2x ，则y′＝xsin 2x解析：选ACD 对于A ，y ＝cos 1x ，则y′＝1x 2sin 1x ，故错误；对于B ，y ＝sin x 2，则y′＝2xcos x 2，故正确；对于C ，y ＝cos 5x ，则y′＝－5sin 5x ，故错误；对于D ，y ＝12xsin 2x ，则y′＝12sin 2x ＋xcos 2x ，故错误．10．下列函数中，存在极值点的是( ) A ．y ＝x －1x B ．y ＝2|x|C ．y ＝－2x 3－x D ．y ＝xln x解析：选BD 由题意，函数y ＝x －1x ，则y′＝1＋1x 2＞0，所以函数y ＝x －1x在(－∞，0)，(0，＋∞)内单调递增，没有极值点．函数y ＝2|x|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x≥0，2－x，x ＜0根据指数函数的图象与性质可得，当x ＜0时，函数y ＝2|x|单调递减，当x≥0时，函数y ＝2|x|单调递增，所以函数y ＝2|x|在x ＝0处取得极小值；函数y ＝－2x 3－x ，则y′＝－6x 2－1＜0，所以函数y ＝－2x 3－x 在R 上单调递减，没有极值点；函数y ＝xln x ，则y′＝ln x ＋1，x ＞0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，y′＜0，函数单调递减，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，y′＞0，函数单调递增，当x＝1e时，函数取得极小值，故选B 、D. 11.定义在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，4上的函数f(x)的导函数f′(x)图象如图所示，则下列结论正确的是( )A ．函数f(x)在区间(0,4)上单调递增B ．函数f(x)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0上单调递减 C ．函数f(x)在x ＝1处取得极大值 D ．函数f(x)在x ＝0处取得极小值解析：选ABD 根据导函数图象可知，f(x)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0上，f′(x)＜0，f(x)单调递减，在区间(0,4)上，f′(x)＞0，f(x)单调递增．所以f(x)在x ＝0处取得极小值，没有极大值，所以A 、B 、D 选项正确，C 选项错误．故选A 、B 、D.12．已知函数f(x)＝e x－ax 有两个零点x 1，x 2，且x 1＜x 2，则下列说法正确的是( ) A ．a ＞e B ．x 1＋x 2＞2C ．x 1x 2＞1D ．f(x)有极小值点x 0，且x 1＋x 2＜2x 0解析：选ABD 由题意，函数f(x)＝e x－ax ，则f′(x)＝e x－a ，当a≤0时，f′(x)＝e x－a ＞0在R 上恒成立，所以函数f(x)单调递增，不符合题意；当a ＞0时，令f′(x)＝e x－a ＞0，解得x ＞ln a ，令f′(x)＝e x－a ＜0，解得x ＜ln a ，所以函数f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增，因为函数f(x)＝e x－ax 有两个零点x 1，x 2且x 1＜x 2，则f(ln a)＝eln a－aln a ＝a －aln a ＝a(1－ln a)＜0，且a ＞0，所以1－ln a ＜0，解得a ＞e ，所以A 项正确；又由x 1＋x 2＝ln(a 2x 1x 2)＝2ln a ＋ln(x 1x 2)＞2＋ln(x 1x 2)，取a ＝e 22，则f(2)＝e 2－2a ＝0，x 2＝2，f(0)＝1＞0，所以0＜x 1＜1，所以x 1＋x 2＞2，所以B 正确；由f(0)＝1＞0，则0＜x 1＜1，但x 1x 2＞1不能确定，所以C 不正确；由函数f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增，所以函数的极小值点为x 0＝ln a ，且x 1＋x 2＜2x 0＝2ln a ，所以D 正确．故选A 、B 、D. 第Ⅱ卷(非选择题，共90分)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．若f(x)＝13x 3－f′(1)x 2＋x ＋5，则f′(1)＝________.解析：f′(x)＝x 2－2f′(1)x＋1，令x ＝1，得f′(1)＝23.答案：2314．已知奇函数 f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e xx－1(x>0)，h (x )(x<0)，则函数h(x)的最大值为________．解析：先求出x>0时，f(x)＝e xx －1的最小值．当x>0时， f′(x)＝e x(x －1)x 2，∴x ∈(0,1)时，f′(x)<0，函数单调递减，x ∈(1，＋∞)时，f′(x) >0，函数单调递增，∴x ＝1时，函数取得极小值即最小值，为e －1，∴由已知条件得h(x)的最大值为1－e. 答案：1－e15．已知函数f(x)满足f(x)＝f(π－x)，且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2时，f(x)＝x ＋sin x ，设a＝f(1)，b ＝f(2)，c ＝f(3)，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析：f(2)＝f(π－2)，f(3)＝f(π－3)，因为f′(x)＝1＋cos x≥0，故f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增函数， ∵π2>π－2>1>π－3>0， ∴f(π－2)>f(1)>f(π－3)，即c<a<b. 答案：c<a<b 16．若函数f(x)＝4xx 2＋1在区间(m,2m ＋1)上单调递增，则实数m 的取值范围是__________．解析：f′(x)＝4－4x2(x 2＋1)2，令f′(x)＞0，得－1＜x ＜1，即函数f(x)的增区间为(－1,1)．又因为f(x)在(m,2m ＋1)上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧m≥－1，m ＜2m ＋1，2m ＋1≤1.解得－1＜m≤0.答案：(－1,0]四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值4. (1)求实数a ，b的值；(2)当a>0时，求曲线y ＝f(x)在点(－2，f(－2))处的切线方程．解：(1)∵f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2， ∴f′(x)＝3x 2＋2ax ＋b.∵f(1)＝1＋a ＋b ＋a 2＝4，f′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－9或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1.经检验都符合题意．(2)当a>0时，由(1)得f(x)＝x 3＋3x 2－9x ＋9， ∴f′(x)＝3x 2＋6x －9. ∴f(－2)＝31，f′(－2)＝－9.∴所求的切线方程为y －31＝－9(x ＋2)，即9x ＋y －13＝0. 18．(本小题满分12分)已知a ∈R ，函数f(x)＝(－x 2＋ax)e x. (1)当a ＝2时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，f(x)＝(－x 2＋2x)e x，f′(x)＝(－x 2＋2)e x.令f′(x)>0，即(－x 2＋2)e x>0，注意到e x>0，所以－x 2＋2>0，解得－2<x< 2.所以，函数f(x)的单调递增区间为(－2，2)．同理可得，函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)．(2)因为函数f(x)在(－1,1)上单调递增，所以f′(x)≥0在(－1,1)上恒成立．又因为f′(x)＝[－x 2＋(a －2)x ＋a]e x，所以[－x 2＋(a －2)x ＋a]e x≥0，注意到e x>0，因此－x 2＋(a －2)x ＋a≥0在(－1,1)上恒成立，也就是a≥x 2＋2x x ＋1＝x ＋1－1x ＋1在(－1,1)上恒成立．设y ＝x ＋1－1x ＋1，则y′＝1＋1(x ＋1)2>0，即y ＝x ＋1－1x ＋1在(－1,1)上单调递增，则y<1＋1－11＋1＝32，故a≥32.即实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. 19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax 3＋bx 在x ＝22处取得极小值－ 2. (1)求函数f(x)的解析式；(2)若过点M(1，m)的直线与曲线y ＝f(x)相切且这样的切线有三条，求实数m 的取值范围．解：(1)由题意得，f′(x)＝3ax 2＋b.∵函数f(x)＝ax 3＋bx 在x ＝22处取得极小值－2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝－2，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝－4，32a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－3，经检验满足条件，则函数f(x)的解析式为f(x)＝2x 3－3x.(2)设切点坐标为(x 0,2x 30－3x 0)，则曲线y ＝f(x)的切线的斜率k ＝f′(x 0)＝6x 20－3，切线方程为y －(2x 30－3x 0)＝(6x 20－3)(x －x 0)，代入点M(1，m)，得m ＝－4x 30＋6x 20－3，依题意，方程m ＝－4x 30＋6x 20－3有三个不同的实根．令g(x)＝－4x 3＋6x 2－3，则g′(x)＝－12x 2＋12x ＝－12x(x －1)， ∴当x ∈(－∞，0)时，g′(x)<0；当x ∈(0,1)时，g′(x)>0；当x ∈(1，＋∞)时，g′(x)<0.故g(x)＝－4x 3＋6x 2－3在(－∞，0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．∴g(x)极小值＝g(0)＝－3，g(x)极大值＝g(1)＝－1.∴当－3<m<－1时，g(x)＝－4x 3＋6x 2－3的图象与直线y ＝m 有三个不同的交点， ∴－3<m<－1时，存在这样的三条切线．故实数m 的取值范围是(－3，－1)．20. (本小题满分12分)设函数f(x)＝x22－kln x ，k>0.(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1， e ]上仅有一个零点．解：(1)由f(x)＝x22－kln x(k>0)，得x>0且f′(x)＝x －k x ＝x 2－kx .由f′(x)＝0，解得x ＝k(负值舍去)． f(x)与f′(x)在区间(0，＋∞)上的情况如下：所以，f(x)在x ＝k 处取得极小值f(k)＝k (1－ln k )2，无极大值．(2)证明：由(1)知，f(x)在区间(0，＋∞)上的最小值为f(k)＝k (1－ln k )2.因为f(x)存在零点，所以k (1－ln k )2≤0，从而k≥e.当k ＝e 时，f(x)在区间(1，e)上单调递减，且f(e)＝0，所以x ＝e 是f(x)在区间(1， e ]上的唯一零点．当k>e 时，f(x)在区间(1， e ]上单调递减，且f(1)＝12>0，f(e)＝e －k2<0，所以f(x)在区间(1， e ]上仅有一个零点．综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1， e ]上仅有一个零点． 21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln x ＋ax 2＋(2a ＋1)x. (1)讨论f(x)的单调性；(2)当a ＜0时，证明f(x)≤－34a －2.解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝1x ＋2ax ＋2a ＋1＝(x ＋1)(2ax ＋1)x .若a≥0，则当x ∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．若a ＜0，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，－12a 时，f′(x)＞0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ，＋∞时，f′(x)＜0.故f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ，＋∞上单调递减． (2)证明：由(1)知，当a ＜0时，f(x)在x ＝－12a 处取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a －1－14a .所以f(x)≤－34a －2等价于ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a －1－14a ≤－34a －2，即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋12a ＋1≤0.设g(x)＝ln x －x ＋1，则g′(x)＝1x－1.当x ∈(0,1)时，g′(x)＞0；当x ∈(1，＋∞)时，g′(x)＜0.所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．故当x ＝1时，g(x)取得极大值且为最大值，最大值为g(1)＝0. 所以当x ＞0时，g(x)≤0.从而当a ＜0时，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋12a＋1≤0，即f(x)≤－34a－2.22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln x －ax .(1)若f(x)存在最小值且最小值为2，求a 的值；(2)设g(x)＝ln x －a ，若g(x)<x 2在(0，e]上恒成立，求a 的取值范围．解：(1)f′(x)＝1x ＋a x 2＝x ＋ax2(x>0)，当a≥0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上是增函数， f(x)不存在最小值；当a<0时，由f′(x)＝0得x ＝－a ，且0<x<－a 时，f′(x)<0， x>－a 时，f′(x)>0.∴x ＝－a 时，f(x)取得最小值， f(－a)＝ln(－a)＋1＝2，解得a ＝－e. (2)g(x)<x 2即ln x －a<x 2，即a>ln x －x 2，故g(x)<x 2在(0，e]上恒成立，也就是a>ln x －x 2在(0，e]上恒成立．设h(x)＝ln x －x 2，则h′(x)＝1x －2x ＝1－2x2x，由h′(x)＝0及0<x≤e 得x ＝22.当0<x<22时，h′(x)>0，当22<x≤e 时，h′(x)<0，即h(x)在⎝⎛⎭⎪⎫0，22上为增函数，在⎝ ⎛⎦⎥⎤22，e 上为减函数，所以当x ＝22时h(x)取得最大值为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝ln 22－12. 所以g(x)<x 2在(0，e]上恒成立时，a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 22－12，＋∞.高中数学选择性必修二《第五章一元函数的导数及其应用》单元检测试卷（二）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．等差数列{a n }中，a 3＝2，a 5＝7，则a 7＝( ) A ．10 B ．20 C ．16 D ．122．在数列{a n }中，a 1＝13，a n ＝(－1)n·2a n －1(n≥2)，则a 5等于( )A ．－163 D ．163 C ．－83 D ．833．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 15∶S 5＝( ) A ．3∶4 B ．2∶3 C ．1∶2 D ．1∶3 4．在等比数列{a n }中，已知前n 项和S n ＝5n ＋1＋a ，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．5D ．－55．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n ，n 为正奇数，a n ＋1，n 为正偶数，则254是该数列的( )A ．第8项B ．第10项C ．第12项D ．第14项 6．已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 1a 2a 3＝15，且3S 1S 3＋15S 3S 5＋5S 5S 1＝35，则a 2＝( )A ．2 D ．12 C ．3 D ．137．如果数列a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1，公比为13的等比数列，那么a n ＝( )A.32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n D ．32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n －1 C.23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n D ．23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n －18．若有穷数列a 1，a 2，…，a n (n 是正整数)，满足a 1＝a n ，a 2＝a n －1，…，a n ＝a 1，即a i ＝a n－i ＋1(i 是正整数，且1≤i≤n)，就称该数列为“对称数列”．已知数列{b n }是项数不超过2m(m ＞1，m ∈N *)的对称数列，且1,2,4，…，2m －1是数列{b n }的前m 项，则当m ＞1 200时，数列{b n }的前2 019项和S 2 019的值不可能为( ) A ．2m－2m －2 009B ．22 019－1C ．2m ＋1－22m －2 019－1 D ．3·2m －1－22m －2 020－1二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．已知等比数列{a n }的公比q ＝－23，等差数列{b n }的首项b 1＝12，若a 9>b 9且a 10>b 10，则以下结论正确的有( )A ．a 9·a 10<0B ．a 9>a 10C ．b 10>0D ．b 9>b 1010．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＞0，公差d≠0，则下列命题正确的是( ) A ．若S 5＝S 9，则必有S 14＝0B ．若S 5＝S 9，则必有S 7是S n 中最大的项C ．若S 6＞S 7，则必有S 7＞S 8D ．若S 6＞S 7，则必有S 5＞S611．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”．则下列说法正确的是( ) A ．此人第三天走了四十八里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C ．此人第二天走的路程占全程的14D ．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍12．若数列{a n }满足：对任意正整数n ，{a n ＋1－a n }为递减数列，则称数列{a n }为“差递减数列”．给出下列数列{a n }(n ∈N *)，其中是“差递减数列”的有( ) A ．a n ＝3n B ．a n ＝n 2＋1 C ．a n ＝n D ．a n ＝ln n n ＋1第Ⅱ卷(非选择题，共90分)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2 020－3n ，则使a n >0成立的最大正整数n 的值为________．14．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N *.若a 3＝16，S 20＝20，则a n ＝________，S 10＝________.15．已知数列1，a 1，a 2,9是等差数列，数列1，b 1，b 2，b 3,9是等比数列，则b 2a 1＋a 2＝________.16．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝________.四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝3xx ＋3，数列{x n }的通项由x n ＝f(x n －1)(n≥2且x ∈N *)确定．(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 是等差数列；(2)当x 1＝12时，求x 2 020.18．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－1，S 10S 5＝3132.(1)求等比数列{a n }的公比q ； (2)求a 21＋a 22＋…＋a 2n .19．(本小题满分12分)在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和(n ∈N *)，且a 2＝3，S 4＝16. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .20．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n <a n ＋1，且S 3＝2S 2＋1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝(2n －1)a n (n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n . 21．(本小题满分12分)在①a n ＋1＝a n 3a n ＋1，②⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，其中1a 2，1a 3＋1，1a 6成等比数列，③1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n ＝3n 2－n2这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，然后解答补充完整的题目．已知数列{a n }中，a 1＝1，________.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n a n ＋1，T n 为数列{b n }的前n 项和，求证：T n ＜13.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．22．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝55，S 20＝210. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a n a n ＋1，是否存在m ，k(k>m≥2，m ，k ∈N *)使得b 1，b m ，b k 成等比数列？若存在，请说明理由．答案解析第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．等差数列{a n }中，a 3＝2，a 5＝7，则a 7＝( ) A ．10 B ．20 C ．16 D ．12 解析：选D ∵{a n }是等差数列， ∴d ＝a 5－a 35－3＝52，∴a 7＝2＋4×52＝12.2．在数列{a n }中，a 1＝13，a n ＝(－1)n·2a n －1(n≥2)，则a 5等于( )A ．－163 D ．163 C ．－83 D ．83解析：选B ∵a 1＝13，a n ＝(－1)n·2a n －1，∴a 2＝(－1)2×2×13＝23，a 3＝(－1)3×2×23＝－43，a 4＝(－1)4×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝－83，a 5＝(－1)5×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－83＝163.3．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 15∶S 5＝( ) A ．3∶4 B ．2∶3 C ．1∶2 D ．1∶3解析：选A 在等比数列{a n }中，S 5，S 10－S 5，S 15－S 10，…成等比数列，因为S 10∶S 5＝1∶2，所以S 5＝2S 10，S 15＝34S 5，得S 15∶S 5＝3∶4，故选A.4．在等比数列{a n }中，已知前n 项和S n ＝5n ＋1＋a ，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．5D ．－5 解析：选D 因为S n ＝5n ＋1＋a ＝5×5n＋a ，由等比数列的前n 项和S n ＝a 1(1－q n)1－q ＝a 11－q－a 11－q·q n ，可知其常数项与q n的系数互为相反数，所以a ＝－5. 5．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n ，n 为正奇数，a n ＋1，n 为正偶数，则254是该数列的( )A ．第8项B ．第10项C ．第12项D ．第14项解析：选D 当n 为正奇数时，a n ＋1＝2a n ，则a 2＝2a 1＝2，当n 为正偶数时，a n ＋1＝a n ＋1，得a 3＝3，依次类推得a 4＝6，a 5＝7，a 6＝14，a 7＝15，…，归纳可得数列{a n }的通项公式a n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋12－1，n 为正奇数，2n2＋1－2，n 为正偶数，则2n2＋1－2＝254，n ＝14，故选D.6．已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 1a 2a 3＝15，且3S 1S 3＋15S 3S 5＋5S 5S 1＝35，则a 2＝( )A ．2 D ．12 C ．3 D ．13解析：选C ∵S 1＝a 1，S 3＝3a 2，S 5＝5a 3，∴1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 1a 3＝35.∵a 1a 2a 3＝15，∴35＝a 315＋a 115＋a 215＝a 25，∴a 2＝3.故选C. 7．如果数列a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1，公比为13的等比数列，那么a n ＝( )A.32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n D ．32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n －1 C.23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n D ．23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n －1解析：选A 由题知a 1＝1，q ＝13，则a n －a n －1＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1.设数列a 1，a 2－a 1，…，a n －a n －1的前n 项和为S n ， ∴S n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a n .又∵S n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n 1－13＝32⎝⎛⎭⎪⎫1－13n ，∴a n ＝32⎝⎛⎭⎪⎫1－13n .8．若有穷数列a 1，a 2，…，a n (n 是正整数)，满足a 1＝a n ，a 2＝a n －1，…，a n ＝a 1，即a i ＝a n－i ＋1(i 是正整数，且1≤i≤n)，就称该数列为“对称数列”．已知数列{b n }是项数不超过2m(m ＞1，m ∈N *)的对称数列，且1,2,4，…，2m －1是数列{b n }的前m 项，则当m ＞1 200时，数列{b n }的前2 019项和S 2 019的值不可能为( ) A ．2m－2m －2 009B ．22 019－1C ．2m ＋1－22m －2 019－1 D ．3·2m －1－22m －2 020－1解析：选A 若数列{b n }的项数为偶数，则数列可设为1,21,22，…，2m －1,2m －1， (22)2,1，当m≥2 019时， S 2 019＝1×(1－22 019)1－2＝22 019－1，故B 可能．当1 200＜m ＜2 019时，S 2 019＝2×1×(1－2m)1－2－1×(1－22m －2 019)1－2＝2m ＋1－22m －2 019－1，故C 可能．若数列为奇数项，则数列可设为1,21,22，…，2m －2,2m －1,2m －2， (22)2,1，当m≥2 019时，S 2 019＝1×(1－22 019)1－2＝22 019－1.当1 200＜m ＜2 019时，S 2 019＝2×1×(1－2m －1)1－2－1×(1－22m －1－2 019)1－2＋2m －1＝3·2m －1－22m －2 020－1，故D 可能．故选A.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．已知等比数列{a n }的公比q ＝－23，等差数列{b n }的首项b 1＝12，若a 9>b 9且a 10>b 10，则以下结论正确的有( )A ．a 9·a 10<0B ．a 9>a 10C ．b 10>0D ．b 9>b 10 解析：选AD ∵等比数列{a n }的公比q ＝－23，∴a 9和a 10异号，∴a 9a 10＝a 29⎝ ⎛⎭⎪⎫－23<0，故A 正确；但不能确定a 9和a 10的大小关系，故B 不正确； ∵a 9和a 10异号，且a 9>b 9且a 10>b 10，∴b 9和b 10中至少有一个数是负数，又∵b 1＝12>0，∴d<0，∴b 9>b 10，故D 正确；∴b 10一定是负数，即b 10<0，故C 不正确．故选A 、D.10．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＞0，公差d≠0，则下列命题正确的是( ) A ．若S 5＝S 9，则必有S 14＝0B ．若S 5＝S 9，则必有S 7是S n 中最大的项C ．若S 6＞S 7，则必有S 7＞S 8D ．若S 6＞S 7，则必有S 5＞S 6解析：选ABC ∵等差数列{a n }的前n 项和公式S n ＝na 1＋n (n －1)d2，若S 5＝S 9，则5a 1＋10d ＝9a 1＋36d ，∴2a 1＋13d ＝0， ∴a 1＝－13d2，∵a 1＞0，∴d ＜0，∴a 1＋a 14＝0，∴S 14＝7(a 1＋a 14)＝0，A 对；又∵S n ＝na 1＋n (n －1)d 2＝－13nd 2＋n (n －1)d 2＝d[(n －7)2－49]2，由二次函数的性质知S 7是S n中最大的项，B 对；若S 6＞S 7，则a 7＝a 1＋6d ＜0，∴a 1＜－6d ， ∵a 1＞0，∴d ＜0，∴a 6＝a 1＋5d ＜－6d ＋5d ＝－d ，a 8＝a 7＋d ＜a 7＜0， S 7＞S 8＝S 7＋a 8，C 对；由a 6＜－d 不能确定a 6的符号，所以S 5＞S 6不一定成立，D 错．故选A 、B 、C.11．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”．则下列说法正确的是( ) A ．此人第三天走了四十八里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C ．此人第二天走的路程占全程的14D ．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍解析：选ABD 设此人第n 天走a n 里路，则{a n }是首项为a 1，公比为q ＝12的等比数列．所以S 6＝a 1(1－q 6)1－q ＝a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1261－12＝378，解得a 1＝192.a 3＝a 1q 2＝192×14＝48，所以A 正确，由a 1＝192，则S 6－a 1＝378－192＝186，又192－186＝6，所以B 正确． a 2＝a 1q ＝192×12＝96，而14S 6＝94.5＜96，所以C 不正确．a 1＋a 2＋a 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝192×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋14＝336，则后3天走的路程为378－336＝42而且42×8＝336，所以D 正确．故选A 、B 、D.12．若数列{a n }满足：对任意正整数n ，{a n ＋1－a n }为递减数列，则称数列{a n }为“差递减数列”．给出下列数列{a n }(n ∈N *)，其中是“差递减数列”的有( ) A ．a n ＝3n B ．a n ＝n 2＋1 C ．a n ＝n D ．a n ＝ln nn ＋1解析：选CD 对A ，若a n ＝3n ，则a n ＋1－a n ＝3(n ＋1)－3n ＝3，所以{a n ＋1－a n }不为递减数列，故A 错误；对B ，若a n ＝n 2＋1，则a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2－n 2＝2n ＋1，所以{a n ＋1－a n }为递增数列，故B 错误；对C ，若a n ＝n ，则a n ＋1－a n ＝n ＋1－n ＝1n ＋1＋n，所以{a n ＋1－a n }为递减数列，故C 正确；对D ，若a n ＝lnn n ＋1，则a n ＋1－a n ＝ln n ＋1n ＋2－ln n n ＋1＝ln n ＋1n ＋2·n ＋1n ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n 2＋2n ，由函数y ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2＋2x 在(0，＋∞)递减，所以数列{a n ＋1－a n }为递减数列，故D 正确．故选C 、D.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2 020－3n ，则使a n >0成立的最大正整数n 的值为________．解析：由a n ＝2 020－3n>0，得n<2 0203＝67313，又∵n ∈N *，∴n 的最大值为673. 答案：67314．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N *.若a 3＝16，S 20＝20，则a n ＝________，S 10＝________.解析：设{a n }的首项，公差分别是a 1，d ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝16，20a 1＋20×(20－1)2×d＝20，解得a 1＝20，d ＝－2，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝20－2(n －1)＝22－2n .S 10＝10×20＋10×92×(－2)＝110.答案：22－2n 11015．已知数列1，a 1，a 2,9是等差数列，数列1，b 1，b 2，b 3,9是等比数列，则b 2a 1＋a 2＝________.解析：因为数列1，a 1，a 2,9是等差数列，所以a 1＋a 2＝1＋9＝10.因为数列1，b 1，b 2，b 3,9是等比数列，所以b 22＝1×9＝9，又b 2＝1×q 2＞0(q 为等比数列的公比)，所以b 2＝3，则b 2a 1＋a 2＝310. 答案：31016．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝________.解析：设{a n }的公比为q ，q>0，且a 23＝1， ∴a 3＝1.∵S 3＝7，∴a 1＋a 2＋a 3＝1q 2＋1q ＋1＝7，即6q 2－q －1＝0，解得q ＝12或q ＝－13(舍去)，a 1＝1q2＝4. ∴S 5＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1251－12＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－125＝314.答案：314四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝3xx ＋3，数列{x n }的通项由x n ＝f(x n －1)(n≥2且x ∈N *)确定．(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 是等差数列；(2)当x 1＝12时，求x 2 020.解：(1)证明：∵x n ＝f(x n －1)＝3x n －1x n －1＋3(n≥2且n ∈N *)，∴1x n ＝x n －1＋33x n －1＝13＋1x n －1， ∴1x n －1x n －1＝13(n≥2且n ∈N *)， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 是公差为13的等差数列．(2)由(1)知1x n ＝1x 1＋(n －1)×13＝2＋n －13＝n ＋53.∴1x 2 020＝2 020＋53＝675. ∴x 2 020＝1675.18．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－1，S 10S 5＝3132.(1)求等比数列{a n }的公比q ； (2)求a 21＋a 22＋…＋a 2n .解：(1)由S 10S 5＝3132，a 1＝－1，知公比q≠1，S 10－S 5S 5＝－132.由等比数列前n 项和的性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5，故q 5＝－132，q ＝－12.(2)由(1)，得a n ＝(－1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，所以a 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1，所以数列{a 2n }是首项为1，公比为14的等比数列，故a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n .19．(本小题满分12分)在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和(n ∈N *)，且a 2＝3，S 4＝16. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)设等差数列{a n }的公差是d ，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝3，4a 1＋6d ＝16，解得a 1＝1，d ＝2，∴a n ＝2n －1. (2)由(1)知，a n ＝2n －1， ∴b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1. 20．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n <a n ＋1，且S 3＝2S 2＋1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝(2n －1)a n (n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，由a n <a n ＋1，得q>1，又a 1＝1，则a 2＝q ，a 3＝q 2，因为S 3＝2S 2＋1，所以a 1＋a 2＋a 3＝2(a 1＋a 2)＋1，则1＋q ＋q 2＝2(1＋q)＋1，即q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)由(1)知，b n ＝(2n －1)·a n ＝(2n －1)·2n －1(n ∈N *)，则T n ＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n －1)×2n －1，2T n ＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)×2n －1＋(2n －1)×2n，两式相减，得－T n ＝1＋2×21＋2×22＋…＋2×2n －1－(2n －1)×2n，即－T n ＝1＋22＋23＋24＋ (2)－(2n －1)×2n，化简得T n ＝(2n －3)×2n＋3. 21．(本小题满分12分)在①a n ＋1＝a n 3a n ＋1，②⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，其中1a 2，1a 3＋1，1a 6成等比数列，③1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n ＝3n 2－n2这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，然后解答补充完整的题目．已知数列{a n }中，a 1＝1，________. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n a n ＋1，T n 为数列{b n }的前n 项和，求证：T n ＜13.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．解：若选条件①：(1)易知a n ≠0，∵a n ＋1＝a n 3a n ＋1，∴1a n ＋1－1a n ＝3.又1a 1＝1， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，3为公差的等差数列，∴1a n ＝3n －2，∴a n ＝13n －2. (2)证明：由(1)可知，b n ＝1(3n －2)(3n ＋1)＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2－13n ＋1，∴T n ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2－13n ＋1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ＋1＝13－19n ＋3＜13，故T n ＜13.若选条件②：(1)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的公差为d ，则1a 2＝1＋d ，1a 3＋1＝2＋2d ，1a 6＝1＋5d ，∵1a 2，1a 3＋1，1a 6成等比数列， ∴(2＋2d)2＝(1＋d)(1＋5d)，解得d ＝3或d ＝－1.当d ＝－1时，1a 2＝1＋d ＝0，此时1a 2，1a 3＋1，1a 6不能构成等比数列，∴d ＝3，∴1a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2， ∴a n ＝13n －2. (2)由(1)可知，b n ＝1(3n －2)(3n ＋1)＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2－13n ＋1，∴T n ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2－13n ＋1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ＋1＝13－19n ＋3＜13，故T n ＜13.若选条件③：(1)由1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n ＝3n 2－n 2知，当n≥2时，1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n －1＝3(n －1)2－(n －1)2，两式相减，得1a n ＝3n 2－n 2－3(n －1)2－(n －1)2＝3n －2，∴a n ＝13n －2(n≥2)，当n ＝1时，a 1＝1也适合上式， ∴a n ＝13n －2. (2)由(1)可知，b n ＝1(3n －2)(3n ＋1)＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2－13n ＋1，∴T n ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2－13n ＋1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ＋1＝13－19n ＋3＜13，故T n ＜13.22．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝55，S 20＝210. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a n a n ＋1，是否存在m ，k(k>m≥2，m ，k ∈N *)使得b 1，b m ，b k 成等比数列？若存在，请说明理由．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2 d.由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋10×92d ＝55，20a 1＋20×192d ＝210，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋9d ＝11，2a 1＋19d ＝21，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n(n ∈N *)．(2)假设存在m ，k(k>m≥2，m ，k ∈N *)使得b 1，b m ，b k 成等比数列，则b 2m ＝b 1b k . 因为b n ＝a n a n ＋1＝nn ＋1，所以b 1＝12，b m ＝m m ＋1，b k ＝kk ＋1，所以⎝⎛⎭⎪⎫m m ＋12＝12×k k ＋1.整理，得k ＝2m2－m 2＋2m ＋1.以下给出求m ，k 的方法：因为k>0，所以－m 2＋2m ＋1>0，解得1－2<m<1＋ 2. 因为m≥2，m ∈N *，所以m ＝2，此时k ＝8.故存在m ＝2，k ＝8使得b 1，b m ，b k 成等高中数学选择性必修二《第五章一元函数的导数及其应用》单元检测试卷（三）一、单选题1．已知函数()y f x =在0x x =处的导数为1，则()()000lim 2x f x x f x x∆→+∆-=∆（）A ．0B ．12C ．1D ．2 2．设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图象如图所示，则导函数()y f x '=的图象为（）A ．B ．C ．D ．3．函数2cos y x x =+在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是（）A ．13π+ B ．4π+．6π+．2π4．若函数2()ln 2f x x ax =+-在区间1,22⎛⎫⎪⎝⎭内存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是（）A ．(,2]-∞-B ．1,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．12,8⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．(2,)-+∞ 5．曲线2yx x 在点(1,0)处的切线方程是（）A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．10x y --=D ．10x y +-=6．已知函数()f x 的导函数()()()1f x a x x a '=+-，若()f x 在x a =处取得极大值，则实数a 的取值范围是（）A ．()1,0-B ．()2,+∞C ．()0,1D ．(),3-∞- 7．已知函数()cos xf x e x =+，设()10.3a f -=，()0.32b f -=，()2log0.2c f =，则（）A ．c b a <（其中'()f x 是函数()f x 的导函数），则下列不等式中成立的是（）A ()()34f ππ--D ．()()63f ππ<二、多选题9．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x '>-，则下列式子成立的是（） A ．()()20192020f ef C ．()f x 是R 上的增函数D ．若0t >，则有()()tf x e f x t <+10．若直线12y x b =+是函数()f x 图像的一条切线，则函数()f x 可以是（） A ．1()f x x=B ．4()f x x =C ．()sin f x x =D ．()x f x e = 11．已知函数()y f x =的导函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（）A ．1-是函数()f x 的极小值点B ．3-是函数()f x 的极小值点C ．函数()f x 在区间()3,1-上单调递增 D ．函数()f x 在0x =处切线的斜率小于零 12．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ＞时，()1xx f x e -=.则下列结论正确的是（）.A ．当0x <时，()()1xf x e x =-+B ．函数()f x 在R 上有且仅有三个零点C ．若关于x 的方程()f x m =有解，则实数m 的取值范围是()()22f m f -≤≤D ．12,x x ∀∈R ，()()212f x f x -<三、填空题13．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足关系式()()321xf x x f x e '=-++，则()1f '的值等于__________.14．生活经验告诉我们，当水注进容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图像，A 对应________；B 对应________；。

导数及其应用章末检测试题(理)

导数及其应用测试题一:选择题1．设函数0()f x x 在可导，则000()(3)limt f x t f x t t→+--=（）A ．'0()f xB ．'02()f x - C ．'04()f x D ．不能确定 2．（2007年浙江卷）设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）3．下列说法正确的是 ( )A ．当f ′(x 0)=0时，则f(x 0)为f(x)的极大值B ．当f ′(x 0)=0时，则f(x 0)为f(x)的极小值C ．当f ′(x 0)=0时，则f(x 0)为f(x)的极值D ．当f(x 0)为函数f(x)的极值且f ′(x 0)存在时，则有f ′(x 0)=0 4．已知函数x x f =)(，在0=x 处函数极值的情况是（）A ．没有极值B ．有极大值C ．有极小值D ．极值情况不能确定5．曲线321x y =在点⎪⎭⎫⎝⎛41,8R 的切线方程是（）A ．02048=-+y xB ．48200x y ++=C ．48200x y -+=D ．4200x y --=6．已知曲线)1000)(100(534002≤≤-++=x x x y 在点M 处有水平切线，则点M 的坐标是（）．A ．（-15，76）B ．（15，67）C ．（15，76）D ．（15，-76） 7．已知函数x x x f ln )(=，则（）A ．在),0(+∞上递增B ．在),0(+∞上递减C ．在⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0上递增 D ．在⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0上递减8．（2007年福建卷）已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（）A ．()0()0f x g x ''>>，B ．()0()0f x g x ''><，C ．()0()0f x g x ''<>，D ．()0()0f x g x ''<<，9．（2012年高考（湖北理））已知二次函数()y f x =的图象如图所示,则它与x 轴所围图形的面积为（）A ．2π5B ．43 C.32 D ．π210．（2012年高考（福建理））如图所示,在边长为1的正方形OABC中任取一点P ,则点P 恰好取自阴影部分的概率为（）y x O y xO yx O yxO A ． B ． C ． D ．1- yxO11A ．14 B ．15 C ．16 D ．17二、填空题11．函数53)(23--=x x x f 的单调递增区间是_____________．12．若一物体运动方程如下：⎪⎩⎪⎨⎧≥-+<≤+=)2( )3()3(329)1( )30(2322t t t t s则此物体在1=t 和3=t 时的瞬时速度是________．13．求由曲线1,2,===y x e y x 围成的曲边梯形的面积为___________．14．（2006年湖北卷）半径为r 的圆的面积S(r)＝πr 2,周长C(r)=2πr ，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则(πr 2)’＝2πr ○1，○1式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。

【最新】江苏省高三数学一轮典型专题训练：《导数及其应用》(含解析)

江苏省高三数学一轮复习典型题专题训练专题一、导数及其应用一、填空题1、（盐城上期中）若函数x x a x x f ln )3()(2+++=在区间(1,2)上存在唯一的极值点，则实数a 的取值范围为 ▲ ．2、（南京市高三学情调研）若函数f (x )＝12ax 2－e x ＋1在x ＝x 1和x ＝x 2两处取到极值，且 x 2x 1≥2，则实数a 的取值范围是＿＿＿3、（南京市六校联合体高三上学期12月联考）设直线l 是曲线x x y ln +=22的切线，则直线l 的斜率的最小值是 ▲ ．4、（江苏省常州一中、泰兴中学、南菁高中高三10月月考）函数在点A （2，1）处切线的斜率为 ▲ ．5、（江苏省常州一中、泰兴中学、南菁高中高三月考）若函数f(x)=kx-cosx 在区间()单调递增，则 k 的取值范围是 ▲ .6、（南师附中高三年级5月模拟）在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：3103y x x =-+上，且在第四象限内．已知曲线C 在点P 处的切线为2y x b =+，则实数b 的值为．7、（徐州市高三上期中考试）已知函数32()2f x x x a =--，若存在(]0,x a ∈-∞，使0()0f x ，则实数a 的取值范围为 ▲8、（常州上期末）已知函数()ln f x bx x =+，其中b ∈R ．若过原点且斜率为k 的直线与曲线()y f x =相切，则k b -的值为 ▲ ．9、（盐城市高三上学期期中）已知()f x 为奇函数，当0x <时，()2xf x e x =+，则曲线()y f x =在1x =处的切线斜率为 ▲ ．10、（苏州市高三上学期期末）曲线2xy x e =+在0x =处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为．11、（盐城市高三上学期期中）在平面直角坐标系中，曲线21xy e x =++在x ＝0处的切线方程是．12、（盐城市高三上学期期中）已知函数21()()(1)2xf x x m e x m x =+--+在R 上单调递增，则实数m 的取值集合为．13、（南京市、镇江市高三上学期期中）已知e 为自然对数的底数，函数y ＝e x －lnx 在［1，e ］的最小值为＿＿14、（苏锡常镇四市高三教学情况调查（二））已知点P 在曲线C ：212y x =上，曲线C 在点P 处的切线为l ，过点P 且与直线l 垂直的直线与曲线C 的另一交点为Q ，O 为坐标原点，若OP ⊥OQ ，则点P 的纵坐标为．15、（苏锡常镇四市高三教学情况调查（二））已已知e 为自然对数的底数，函数2()xf x e ax =-的图像恒在直线32y ax =上方，则实数a 的取值范围为．二、解答题1、（南京市高三9月学情调研）已知函数f (x )＝2x 3－3(a +1)x 2＋6ax ，a ∈R ．（1）曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线的斜率为3，求a 的值；（2）若对于任意x ∈(0，+∞)，f (x )＋f (－x )≥12ln x 恒成立，求a 的取值范围；（3）若a ＞1，设函数f (x )在区间[1，2]上的最大值、最小值分别为M (a )、m (a )，记h (a )＝M (a )－m (a )，求h (a )的最小值． 2、（南京市高三9月学情调研）已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝x 2．（1）求过原点(0，0)，且与函数f (x )的图象相切的直线l 的方程；（2）若a ＞0，求函数φ(x )＝|g (x )－2a 2f (x )|在区间[1，＋∞) 上的最小值． 3、（南京市六校联合体高三上学期12月联考）已知函数ln (),()xx xf xg x e x==. (1)求()f x 的极大值；(2)当0a >时，不等式()xg x ax b ≤+恒成立，求ba的最小值； (3)是否存在实数k N ∈，使得方程()(1)()f x x g x =+在(,1)k k +上有唯一的根，若存在，求出所有k 的值，若不存在，说明理由.4、（江苏省常州一中、泰兴中学、南菁高中高三10月月考）已知函数，a ∈R.⑴函数y= f(x)在点(2,f(2))处的切线与直线x-2y+1=0垂直，求a 的值； ⑵讨论函数f(x)的单调性； ⑶当a=1时，证明：不等式成立.（其中n!=1×2×3×…×n ，n ∈N*,n ≥2）5、（南京市高三12月联合调研）已知函数21()ln 2f x ax x =+，()g x bx =-，设()()()h x f x g x =-.（1）若()f x 在x 处取得极值，且(1)(1)2f g '=--，求函数()h x 的单调区间；（2）若0a =时函数()h x 有两个不同的零点12,x x .①求b 的取值范围；②求证：1221x x e >. 6、（南京市、盐城市高三上学期期末）若函数y ＝f (x )在x ＝x 0处取得极大值或极小值，则称x 0为函数y ＝f (x )的极值点．设函数f (x )＝x 3－tx 2＋1(t ∈R )．（1）若函数f (x )在(0，1)上无极值点，求t 的取值范围；（2）求证：对任意实数t ，在函数f (x )的图象上总存在两条切线相互平行；（3）当t ＝3时，若函数f (x )的图象上存在的两条平行切线之间的距离为4，问：这样的平行切线共有几组？请说明理由．7、（如皋市高三上学期期末）已知函数()ln 2f x x ax a =-+，其中a ∈R ．（I ）若函数()f x 的图象在1x =处的切线与直线20x ay --=垂直，求实数a 的值；（II ）设函数()()22g x f x ax a =++． (1).求函数()g x 的单调区间；(2)若不等式()0g x >对任意的实数()1x ∈+∞，恒成立，求实数a 的取值范围． 8、（苏北三市（徐州、连云港、淮安）2019届高三期末）已知函数()()ln f x x a x =-()a ∈R ．（1）若1a =，求()f x 在1x =处的切线方程；（2）若对于任意的正数x ，()0f x ≥恒成立，求实数a 的值；（3）若函数()f x 存在两个极值点，求实数a 的取值范围．9、（苏州市高三上学期期中）设函数()1ln f x ax x =--，a 为常数．（1）当2a =时，求()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若12,x x 为函数()f x 的两个零点，12x x >． ①求实数a 的取值范围； ②比较12x x +与2a的大小关系，并说明理由．10、（南京市高三第三次模拟）已知函数f (x )＝ln x ＋a x ＋1，a ∈R ．（1）若函数f (x )在x ＝1处的切线为y ＝2x ＋b ，求a ，b 的值；（2）记g (x )＝f (x )＋ax ，若函数g (x )在区间(0，12)上有最小值，求实数a 的取值范围；（3）当a ＝0时，关于x 的方程f (x )＝bx 2有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围． 11、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）高三第一次模拟（2月））已知函数()()ln a f x x a x =+∈R ．（1）讨论()f x 的单调性；（2）设()f x 的导函数为()f x '，若()f x 有两个不相同的零点12x x ，． ① 求实数a 的取值范围；② 证明：1122()()2ln 2x f x x f x a ''+>+．12、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟）已知函数21()2ln 2f x x x ax a =+-∈，R ．（1）当3a =时，求函数()f x 的极值；（2）设函数()f x 在0x x =处的切线方程为()y g x =，若函数()()y f x g x =-是()0+∞，上的单调增函数，求0x 的值；（3）是否存在一条直线与函数()y f x =的图象相切于两个不同的点？并说明理由．13、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟（5月））已知函数2()1ln ax f x x =+（0a ≠），e 是自然对数的底数．（1）当0a >时，求()f x 的单调增区间；（2）若对任意的12x ≥，1()2e b f x -≥（b ∈R ），求b a 的最大值；（3）若()f x 的极大值为2-，求不等式()e 0x f x +<的解集．14、（苏锡常镇四市高三教学情况调查（一））已知函数()(1)ln (R)f x x x ax a =++∈．（1）若()y f x =在(1，(1)f )处的切线方程为0x y b ++=，求实数a ，b 的值；（2）设函数()()f x g x x=，x ∈[1，e]（其中e 为自然对数的底数）．①当a ＝﹣1时，求()g x 的最大值；②若()()exg x h x =是单调递减函数，求实数a 的取值范围．15、（盐城市2019届高三第三次模拟）设函数x ae x x f -=)(（e 为自然对数的底数，R a ∈）. （1）当1=a 时，求函数)(x f 的图象在1=x 处的切线方程；（2）若函数)(x f 在区间(0,1)上具有单调性，求a 的取值范围；（3）若函数)()()(x f e e x g x -=有且仅有3个不同的零点321,,x x x ，且321x x x <<，113≤-x x ,求证: 1131-+≤+e e x x16、（南师附中高三年级5月模拟）设a 为实数，已知函数()xf x axe =，()lng x x x =+．（1）当a ＜0时，求函数()f x 的单调区间；（2）设b 为实数，若不等式2()2f x x bx ≥+对任意的a ≥1及任意的x ＞0恒成立，求b 的取值范围；（3）若函数()()()h x f x g x =+(x ＞0，x ∈R)有两个相异的零点，求a 的取值范围．参考答案一、填空题 1、 15(,6)2-- 2、[ 2ln2，＋∞） 3、44、122㏑ 5、［－12∞，＋） 6、－13 7、[1,0][2,)-+∞ 8、1e 9、12e-10、2311、32y x =+ 12、{}1- 13、e14、1 15、二、解答题1、解：（1）因为f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ，所以f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ，所以曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线斜率k ＝f ′(0)＝6a ，所以6a ＝3，所以a ＝12． ………………………2分（2）f (x )＋f (－x )＝－6(a ＋1)x 2≥12ln x 对任意x ∈(0，+∞)恒成立，所以－(a ＋1)≥2ln xx 2． ………………………4分令g (x )＝2ln xx 2，x ＞0，则g '(x )＝2(1－2ln x )x 3．令g '(x )＝0，解得x ＝e ．当x ∈(0，e)时，g '(x )＞0，所以g (x )在(0，e)上单调递增；当x ∈(e ，＋∞)时，g '(x )＜0，所以g (x )在(e ，＋∞)上单调递减．所以g (x )max ＝g (e)＝1e ， ………………………6分所以－(a ＋1)≥1e ，即a ≤－1－1e，所以a 的取值范围为(－∞，－1－1e ]． ………………………8分（3）因为f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ，所以f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ＝6(x －1)(x －a )，f (1)＝3a －1，f (2)＝4．令f ′(x )＝0，则x ＝1或a ． ………………………10分 f (1)＝3a －1，f (2)＝4．①当1＜a ≤53时，当x ∈(1，a )时，f '(x )＜0，所以f (x )在(1，a )上单调递减；当x ∈(a ，2)时，f '(x )＞0，所以f (x )在(a ，2)上单调递增．又因为f (1)≤f (2)，所以M (a )＝f (2)＝4，m (a )＝f (a )＝－a 3＋3a 2，所以h (a )＝M (a )－m (a )＝4－(－a 3＋3a 2)＝a 3－3a 2＋4．因为h ' (a )＝3a 2－6a ＝3a (a －2)＜0，所以h (a )在(1，53]上单调递减，所以当a ∈(1，53]时，h (a )最小值为h (53)＝827．………………………12分②当53＜a ＜2时，当x ∈(1，a )时，f '(x )＜0，所以f (x )在(1，a )上单调递减；当x ∈(a ，2)时，f '(x )＞0，所以f (x )在(a ，2)上单调递增．又因为f (1)＞f (2)，所以M (a )＝f (1)＝3a －1，m (a )＝f (a )＝－a 3＋3a 2，所以h (a )＝M (a )－m (a )＝3a －1－(－a 3＋3a 2)＝a 3－3a 2＋3a －1．因为h ' (a )＝3a 2－6a ＋3＝3(a －1)2≥0．所以h (a )在(53，2)上单调递增，所以当a ∈(53，2)时，h (a )＞h (53)＝827． ………………………14分③当a ≥2时，当x ∈(1，2)时，f '(x )＜0，所以f (x )在(1，2)上单调递减，所以M (a )＝f (1)＝3a －1，m (a )＝f (2)＝4，所以h (a )＝M (a )－m (a )＝3a －1－4＝3a －5，所以h (a )在[2，＋∞)上的最小值为h (2)＝1．综上，h (a )的最小值为827． ………………………16分2、解：（1）因为f (x )＝ln x ，所以f ′(x )＝1x (x ＞0)．设直线l 与函数f (x )的图象相切于点(x 0，y 0)，则直线l 的方程为 y －y 0＝1x 0(x －x 0)，即 y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)．…………………… 3分因为直线l 经过点(0，0)，所以0－ln x 0＝1x 0(0－x 0)，即ln x 0＝1，解得x 0＝e ．因此直线l 的方程为 y ＝1e x ，即x －e y ＝0． …………………… 6分（2）考察函数H (x )＝g (x )－2a 2f (x )＝x 2－2a 2ln x ．H ′(x )＝2x －2a 2x ＝2(x －a )( x ＋a )x(x ＞0)．因为a ＞0，故由H ′(x )＝0，解得x ＝a ． …………………… 8分 ① 当0＜a ≤1时，H ′(x )≥0在[1，＋∞)上恒成立，H (x )在区间[1，＋∞)上递增，所以 H (x )min ＝H (1)＝1＞0，所以φ(x )min ＝1． …………………… 11分 ② 当a ＞1时，H (x )在区间[1，a ]上递减，在区间[a ，＋∞)上递增，所以 H (x )min ＝H (a )＝a 2(1－2ln a ) ．(ⅰ) 当1－2ln a ≤0，即a ∈[e ，＋∞) 时，H (x )min ＝a 2(1－2ln a )≤0，又H (1)＝1＞0，所以φ(x )min ＝0．(ⅱ) 当1－2ln a ＞0，a ∈(1，e) 时，H (x )min ＝a 2(1－2ln a )＞0，所以φ(x )min ＝a 2(1－2ln a ) ．综上 φ(x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， 0＜a ≤1，a 2(1－2ln a )，1＜a ＜e ，0， a ≥e ． …………………… 16分3、（1）1()x xf x e-'=，令()0f x '=，得1x =. …………………………………2分当1x <时，()0f x '>，则()f x 在(,1)-∞上单调递增，当1x >时，()0f x '>，则()f x 在(1,)+∞上单调递减，故当1x =时，()f x 的极大值为1e．………………………4分（2）不等式()xg x ax b ≤+恒成立，即ln 0x ax b --≤恒成立，记()ln (0)m x x ax b x =-->，则1()(0)axm x x x -'=>，当0a >时，令()0m x '=，得1x a=，………………………………………………6分当1(0,)x a ∈时，()0m x '>，此时()m x 单调递增，当1(,)x a∈+∞时，()0m x '<，此时()m x 单调递减，则max 1()()ln 10m x m a b a==---≤，即ln 1b a ≥--，…8分则ln 1b a a a +≥-，记ln 1()a n a a+=-，则2ln ()(0)a n a a a '=>，令()0n a '=，得1a =当(0,1)a ∈时，()0n a '<，此时()n a 单调递减，当(1,)a ∈+∞时，()0n a '>，此时()n a 单调递增，min ()(1)1n a n ==-，故ba的最小值为1-. ………………………10分（3）记(1)ln ()x x x x s x e x +=-，由2123ln 2(1)0,(2)1102s s e e =>=-<-=，……12分故存在1k =，使()(1)()f x x g x =+在(1,2)上有零点，下面证明唯一性：① 当01x <≤时，()0,(x 1)()0f x g x >+<，故()0s x >，0=)(x s 在(0,1]上无解…………………………………………………………………14分②当1x >时，211ln ()x x x x s x e x -+-'=-，而2110,1ln 0,0x x x x e x -<+->>，此时()0s x '<，()s x 单调递减，所以当1k=符合题意．……………………………16分4、5、解：(1)因为1()f x axx'=+，所以(1)1f a'=+,由(1)(1)2f g'=--可得a=b-3.又因为()f x在2x=处取得极值，所以22(20f'=，所以a= -2,b=1 . …………………………………2分所以2()lnh x x x x=-++，其定义域为（0，+∞）2121(21)(1)()21=x x x x h x x x x x-++-+-'=-++=令()0h x '=得121,12x x =-=，当x ∈（0,1）时，()>0h x '，当x ∈（1,+∞）()<0h x '，所以函数h (x )在区间（0,1）上单调增；在区间（1,+∞）上单调减. …………………………4分（2）当0a =时，()ln h x x bx =+，其定义域为（0，+∞）.①'1()h x b x=+,当0b ≥,则'()0h x >，()h x 在(0,)+∞上单调递增，不合题意。

2018-2019学年高二数学选修2-2阶段质量检测(一) 导数及其应用

阶段质量检测(一) 导数及其应用 [考试时间：120分钟试卷总分：160分]一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上) 1．已知函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，则a 的值为________． 2．曲线y ＝x 3－4x 在点(1，－3)处的切线的倾斜角为________．3．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x ＋18在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围是________．4．y ＝2x 3－3x 2＋a 的极大值为6，则a ＝________. 5．函数y ＝sin xx的导数为________．6．若⎠⎛01(x －k )d x ＝32，则实数k 的值为________． 7．函数f (x )＝x 2－ln x 的单调递减区间是________． 8．函数f (x )＝3x －4x 3在[0,1]上的最大值为________．9．(山东高考改编)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为________．10．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3(x ≥0)，－x (x <0)，则1－⎰1f (x )d x ＝________.11．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99＝________.12．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．13．周长为20 cm 的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为________． 14．已知f (x )定义域为(0，＋∞)，f ′(x )为f (x )的导函数，且满足f (x )＜－xf ′(x )，则不等式f (x ＋1)＞(x －1)·f (x 2－1)的解集是________________________________．二、解答题(本大题共6个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝ax 2－43ax ＋b ，f (1)＝2，f ′(1)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在(1,2)处的切线方程．16．(本小题满分14分)求下列定积分． (1)12－⎰(1－t 3)d t ； (2)1－π⎰(cos x ＋e x )d x ； (3)12⎰x 3－3x 2＋5x 2d x .17．(本小题满分14分)已知x ＝1是函数f (x )＝13ax 3－32x 2＋(a ＋1)x ＋5的一个极值点．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若曲线y ＝f (x )与直线y ＝2x ＋m 有三个交点，求实数m 的取值范围．18．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －2(e ≈2.71，a ∈R )． (1)判断曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与曲线y ＝g (x )的公共点个数； (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e 时，若函数y ＝f (x )－g (x )有两个零点，求a 的取值范围．19．(本题满分16分)某公司将进货单价为a 元(a 为常数，3≤a ≤6)一件的商品按x 元(7≤x ≤10)一件销售，一个月的销售量为(12－x )2万件．(1)求该公司经销此种商品一个月的利润L (x )(万元)与每件商品的售价x (元)的函数关系式；(2)当每件商品的售价为多少元时，L (x )取得最大值？并求L (x )的最大值．20．(本小题满分14分)(山东高考)设函数f (x )＝a ln x ＋x －1x ＋1，其中a 为常数． (1)若 a ＝0，求曲线y ＝f (x )在点 (1，f (1))处的切线方程； (2)讨论函数f (x )的单调性．答案1．解析：∵f (x )＝ax 2＋c ，∴f ′(x )＝2ax ，∴f ′(1)＝2a ，又∵f ′(1)＝2，∴a ＝1. 答案：12．解析：∵y ′＝3x 2－4，∴当x ＝1时，y ′＝－1，即tan α＝－1.又∵α∈(0，π)，∴α＝34π.答案：34π3．解析：由题意得f ′(x )＝－3x 2＋2ax －1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，因此Δ＝4a 2－12≤0⇒－3≤a ≤3，所以实数a 的取值范围是[－3，3]．答案：[－3，3]4．解析：y ′＝6x 2－6x ＝6x (x －1)，令y ′＝0，则x ＝0或x ＝1.当x ＝0时，y ＝a ，当x ＝1时，y ＝a －1.由题意知a ＝6.答案：65．解析：y ′＝⎝⎛⎭⎫sin x x ′＝x ·(sin x )′－(x )′·sin x x 2＝x cos x －sin x x 2.答案：x cos x －sin xx 26．解析：⎠⎛01(x －k )d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－kx 10＝12－k ＝32，解得k ＝－1. 答案：－17．解析：∵f ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x.令f ′(x )<0，因为x ∈(0，＋∞)，∴2x 2－1<0，即0<x <22，∴函数f (x )＝x 2－ln x 的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，22. 答案：⎝⎛⎭⎫0，22 8．解析：f ′(x )＝3－12x 2，令f ′(x )＝0，则x ＝－12(舍去)或x ＝12，f (0)＝0，f (1)＝－1，f ⎝⎛⎭⎫12＝32－12＝1.∴f (x )在[0,1]上的最大值为1. 答案：19．解析：由4x ＝x 3，解得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝⎝⎛⎭⎫2x 2－14x 42＝4.答案：410．解析：因为⎠⎛-12f (x )d x ＝⎠⎛-10 (－x )d x ＋⎠⎛01(x 2＋3)d x .因为⎝⎛⎭⎫－12x 2′＝－x ，⎝⎛⎭⎫13x 3＋3x ′＝x 2＋3，所以⎠⎛-11f (x )d x ＝－12x 201-＋⎝⎛⎭⎫13x 3＋3x 10＝236. 答案：23611．解析：由于y ′| x ＝1＝n ＋1，∴曲线在点(1,1)处的切线为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y＝0，得x ＝x n ＝n n ＋1，∴a n ＝lg nn ＋1，∴原式＝lg 12＋lg 23＋…＋lg 99100＝lg ⎝⎛⎭⎫12×23×…×99100＝lg 1100＝－2. 答案：－212．解析：∵f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x ，x >0，∴当0<x <12时，f ′(x )<0，f (x )为减函数，当x >12时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，依题意得⎩⎨⎧0≤k －1<12，12<k ＋1，k －1<k ＋1.∴1≤k <32.答案：⎣⎡⎭⎫1，32 13．解析：设矩形一边长为x cm ，则邻边长为(10－x )cm ；体积V ＝πx 2(10－x )＝π(10x 2－x 3)，由V ′＝π(20x －3x 2)＝0得x ＝0(舍去)，x ＝203可以判断x ＝203时，V max ＝4 00027π(cm 3)．答案：4 00027π cm 314．解析：令g (x )＝x ·f (x ) 则g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )＜0.∴g (x )在(0，＋∞)上为减函数．又∵f (x ＋1)＞(x －1)f (x 2－1)，∴(x ＋1)f (x ＋1)＞(x 2－1)f (x 2－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，x 2－1＞0，x ＋1＜x 2－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＞－1，x ＜－1或x ＞1，x ＜－1或x ＞2.∴x ＞2.答案：{x |x ＞2}15．解：(1)f ′(x )＝2ax －43a ，由已知得⎩⎨⎧f ′(1)＝2a －43a ＝1，f (1)＝a －43a ＋b ＝2，解得⎩⎨⎧a ＝32，b ＝52.所以f (x )＝32x 2－2x ＋52.(2)函数f (x )在(1,2)处的切线方程为y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0. 16．解：(1)∵⎝⎛⎭⎫t －14t 4′＝1－t 3，∴⎠⎛-21(1－t 3)d t ＝⎝⎛⎭⎫t －14t 412-＝⎝⎛⎭⎫1－14－(－2－4)＝274.(2)∵(sin x ＋e x )′＝cos x ＋e x ，∴⎠⎛-π0(cos x ＋e x )d x ＝(sin x ＋e x )0-π＝1－e －π＝1－1eπ.(3)⎠⎛24x 3－3x 2＋5x 2d x ＝⎠⎛24⎝⎛⎭⎫x －3＋5x 2d x 取F (x )＝12x 2－3x －5x ，则F ′(x )＝x －3＋5x2， ⎠⎛24x 3－3x 2＋5x 2d x ＝F (4)－F (2)＝⎝⎛⎭⎫12×42－3×4－54－⎝⎛⎭⎫12×22－3×2－52＝54. 17．解：(1)依题意f ′(x )＝ax 2－3x ＋a ＋1，由f ′(1)＝0得a ＝1，∴函数f (x )的解析式为f (x )＝13x 3－32x 2＋2x ＋5.(2)曲线y ＝f (x )与直线y ＝2x ＋m 有三个交点，即13x 3－32x 2＋2x ＋5－2x －m ＝0有三个实数根，令g (x )＝13x 3－32x 2＋2x ＋5－2x －m ＝13x 3－32x 2＋5－m ，则g (x )有三个零点．由g ′(x )＝x 2－3x ＝0得x ＝0或x ＝3.令g ′(x )>0得x <0或x >3；令g ′(x )<0得0<x <3.∴函数g (x )在(－∞，0)上为增函数，在(0,3)上为减函数，在(3，＋∞)上为增函数． ∴函数在x ＝0处取得极大值，在x ＝3处取得极小值．要使g (x )有三个零点，只需⎩⎪⎨⎪⎧g (0)>0，g (3)<0，解得12<m <5. ∴实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，5.18．解：(1)f ′(x )＝ln x ＋1，所以斜率k ＝f ′(1)＝1.又f (1)＝0，曲线在点(1,0)处的切线方程为y ＝x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋ax －2y ＝x －1⇒x 2＋(1－a )x＋1＝0.由Δ＝(1－a )2－4＝a 2－2a －3可知：当Δ＞0时，即a ＜－1或a ＞3时，有两个公共点；当Δ＝0时，即a ＝－1或a ＝3时，有一个公共点；当Δ＜0时，即－1＜a ＜3时，没有公共点．(2)y ＝f (x )－g (x )＝x 2－ax ＋2＋x ln x ，由y ＝0得a ＝x ＋2x ＋ln x ．令h (x )＝x ＋2x ＋ln x ，则h ′(x )＝(x －1)(x ＋2)x 2.当x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e ，由h ′(x )＝0得x ＝1.所以h (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，1上单调递减，在[1，e]上单调递增，故h min (x )＝h (1)＝3.由h ⎝⎛⎭⎫1e ＝1e ＋2e －1，h (e)＝e ＋2e＋1，比较可知h ⎝⎛⎭⎫1e ＞h (e)．所以，当3＜a ≤e ＋2e＋1时，函数y ＝f (x )－g (x )有两个零点．19．解：(1)L (x )＝(x －a )(12－x )2(7≤x ≤10)．(2)L ′(x )＝(12－x )2＋(x －a )(2x －24)＝(12－x )(12＋2a －3x )．令L ′(x )＝0得x ＝2a ＋123或x ＝12.由a ∈[3,6]得2a ＋123∈[6,8]．当2a ＋123∈[6,7]，即3≤a ≤92时，L (x )在[7,10]上是减函数，L (x )的最大值为L (7)＝25(7－a )；当2a ＋123∈(7,8]，即92<a ≤6时，L (x )在⎝⎛⎭⎪⎫7，2a ＋123上是增函数，在[2a ＋123，10]上是减函数．L (x )的最大值为L ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋123＝4(12－a )327综上可知，若3≤a ≤92，则当x ＝7时，L (x )取得最大值，最大值是25(7－a )；若92<a ≤6，则当x ＝2a ＋123时，L (x )取得最大值，最大值是4(12－a )327. 20．解：(1)由题意知a ＝0时，f (x )＝x －1x ＋1，x ∈(0，＋∞)．此时f ′(x )＝2(x ＋1)2.可得f ′(1)＝12，又f (1)＝0，所以曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为x －2y －1＝0.(2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝a x ＋2(x ＋1)2＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a x (x ＋1)2.当a ≥0时，f ′(x )＞0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当a ＜0时，令g (x )＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a ，由于Δ＝(2a ＋2)2－4a 2＝4(2a ＋1)，①当a ＝－12时，Δ＝0，f ′(x )＝－12(x －1)2x (x ＋1)2≤0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．②当a ＜－12时，Δ＜0，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．③当－12＜a ＜0，Δ＞0.设x 1，x 2(x 1＜x 2)是函数g (x )的两个零点，则x 1＝－(a ＋1)＋2a ＋1a，x 2＝－(a ＋1)－2a ＋1a.由x 1＝a ＋1－2a ＋1－a＝a 2＋2a ＋1－2a ＋1－a＞0，所以x ∈(0，x 1)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减，x ∈(x 1，x 2)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增，x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减，综上可得：当a ≥0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ≤－12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当－12＜a ＜0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－(a ＋1)＋2a ＋1a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－(a ＋1)－2a ＋1a ，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－(a ＋1)＋2a ＋1a ，－(a ＋1)－2a ＋1a 上单调递增．。

专题01 导数及其应用(第01期)-2015-2016学年高一高二备战考试优质试题100例(选修2-2)(解析版)

1．【2016宁夏银川一中高三上学期第一次月考】已知直线1+=x y 与曲线)ln(a x y +=相切，则=a （） A ．-1 B ．-2 C ．0 D ．2 【答案】D考点：导数的几何意义2．【2016宁夏银川一中高三上学期第一次月考】设函数]65,0[,142cos 3sin 3)(23πθθθ∈-++=x x x x f ，则导数)1('-f 的取值范围是（）A ．]343[+，B ．]63[，C ．]634[，-D ．]3434[+-，【答案】B 【解析】试题分析：求导2()cos 4f x x x θθ'=++，将1x =-代入导函数得'(1)cos 42sin 46f πθθθ⎛⎫-=-+=-+ ⎪⎝⎭，由5[0,]6πθ∈可得[]21,sin ,12sin 43,6663626πππππθθθ⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎛⎫-∈-∴-∈-∴-+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎣⎦ 考点：函数的倒数，辅助角公式3．【2016宁夏银川一中高三上学期第一次月考】2222π=--⎰-dx x x m，则m 等于（）A ．-1B ．0C ．1D ．2 【答案】B 【解析】试题分析：由定积分的几何意义可知，原题即为求函数y =与x 轴在区间[]2.m -上围成图形面积大小，而函数y =()1,0-为圆心，以1为半径在x 轴上方的半圆，它的面积为21122ππ⋅⋅=，即为题目所求面积，而m 为函数y =与x 轴另一个交点的横坐标，由图像可得考点：定积分的几何意义4．【2016河北省定州中学高三第一次月考】曲线3:(0)C y x x =≥在点1x =处的切线为l ，则由曲线C 、直线l 及x 轴围成的封闭图形的面积是（）． A ．1 B ．112 C ． 43 D ．34【答案】B考点：积分的运算．5．【2015海南省嘉积中学高三下学期第五次检测】定义方程()'()f x f x =的实数根0x 叫做函数()f x 的 “新驻点”，若函数()g x x =，()ln(1)h x x =+，3()1x x ϕ=-的“新驻点”分别为,,αβγ，则,,αβγ的大小关系为（）A ．γαβ>>B ．βαγ>>C ．αβγ>>D ．βγα>> 【答案】A 【解析】试题分析：()()x g x g '=，即1=x ，所以1=α，()()x h x h '=，即()111ln +=+x x ，10<<x ，所以()1,0∈β，()()x x ϕϕ'=，即:2331x x =-,即()1313223=-⇒=-x x x x ，3>x ，所以3>γ，所以βαγ>>考点：1．函数的导数；2．方程的实根．6．【2015河南省南阳市高二下学期期末】若()f x 在R 上可导，()()2223f x x f x '=++，则()3f x dx =⎰( )A ．16B ．54C ．﹣24D ．﹣18 【答案】D 【解析】试题分析：由已知得到()()222f x x f ''=+，令2x =，则()()2422f f ''=+，解得()24f '=-，所以f （x ）=283x x -+所以()()33232003183431803f x dx x x dx x x x ⎛⎫=-+=-+=- ⎪⎝⎭⎰⎰考点：1．定积分、定积分的应用；2．导函数的概念．7．【2015河北唐山市一中高二下学期期末】若)(x f 满足23'22)2(,)(2)(e f e x x xf x f x x -==-．则0>x 时，)(x f （）A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值，又有极小值D ．既无极大值，也无极小值【答案】B考点：利用导数研究函数的极值8．【2015湖南浏阳一中高二下学期期末】已知函数2()ln(1)f x a x x =+-在区间（0，1）内任取两个实数p ，q ，且p≠q ，不等式(1)(1)1f p f q p q +-+>-恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．[15,)+∞B ．](,15-∞C ．](12,30D ．](12,15- 【答案】A 【解析】试题分析：由已知得，(1)(1)1(1)(1)f p f q p q +-+>+-+，且1,1(1,2)p q ++∈，等价于函数2()ln(1)f x a x x =+-在区间(1,2)上任意两点连线的割线斜率大于1，等价于函数在区间(1,2)的切线斜率大于1恒成立．'()21a f x x x =-+，即211ax x ->+恒成立，变形为2231a x x >++，因为223115x x ++<，故15a ≥．考点：1．导数的几何意义；2．二次函数的最大值．9．【2015学年广东省东莞市高二上学期期末】已知()()201f x x xf '=--，则()2014f 的值为（） A ．20122014⨯ B ．20132014⨯ C ．20132015⨯ D ．20142016⨯【答案】C 【解析】考点：导数的计算与应用．10．【2015广东省东莞市高二上学期期末】若函数()y f x '=在区间()12,x x 内是单调递减函数，则函数()y f x =在区间()12,x x 内的图象可以是（）【答案】B 【解析】试题分析：因为导数的几何意义，函数()y f x ='在区间()12x x ，内是单调递减函数，说明切线的斜率在逐渐变小，所以原函数应该是上凸的函数，可知B 正确；故选B ．考点：导数的几何意义以及利用导数几何意义判断函数的大致图像 11.【2015宁夏育才中学高二下学期期末】设a 为实数，函数f （x ）=x 3+ax 2+（a-2）x 的导数是)('x f ，且)('x f 是偶函数，则曲线y=f （x ）在原点处的切线方程为（） A ．y=-2x B ．y=3x C ．y=-3x D ．y=4x 【答案】A 【解析】试题分析：()()2'322f x x ax a =++-，因为()'f x 为偶函数，所以20a =即0a =．()32f x x x ∴=-，()2'32f x x ∴=-．()'02f ∴=-．由导数的几何意义可知曲线()y f x =在原点处的切线的斜率()'02k f ==-．所以此切线方程为2y x =-．故A 正确．考点：1函数的奇偶性；2导数的几何意义． 12．【2015江西高安中学高二下学期期中】已知定义在R 上的函数)(x f 满足(1)1f =，且对于任意的x ，21)(<'x f 恒成立，则不等式22lg 1(lg )22x f x <+的解集为（） A ．1(0,)10 B ．1(0,)(10,)10+∞ C ．1(,10)10D ．(10,)+∞【答案】C考点：利用导数研究函数的单调性13．【2015湖南浏阳一中高二下学期期末文科】曲线y ＝2x 3－3x ＋1在点（1，0）处的切线方程为（） A ．y ＝4x －5 B ．y ＝－3x ＋2 C ．y ＝－4x ＋4 D ．y ＝3x －3 【答案】D 【解析】试题分析：362-='x y ，所以在1=x 处的导数是3，所以切线方程是：()13-=x y ．考点：导数的几何意义14．【2015湖北省枣阳白水高中高二下学期期末】若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小值为（）A ．1BCD 【答案】B 【解析】试题分析：设P 2(,ln )x x x -，点P 到直线y ＝x －2的距离d，设()g x =2ln 2x x x --+（0x >），所以()g x '=221x x x --=(21)(1)x x x+-，当x ＜0时，()g x '＜0，当x ＞0时，()g x '＞0，则()g x 在（0,1）是减函数，在（1，+∞）上是增函数，则当x =1时，()g x 取极小值也是最小值(1)g =2，此时min d ，故选B ．考点：点到直线的距离公式，导数的综合运用．15．【2015四川省达州市高二下学期期末】已知函数2221y x x =-+的导数为y '，y '=（） A ．22x - B ．41x + C ．42x - D ．21x +【答案】C 【解析】试题分析：由导数公式可得42y x '=-，故选C. 考点：导数公式.16．【2015河北省唐山市开滦第二中学高二6月月考】已知曲线f （x ）＝ln x 在点（x 0，f （x 0））处的切线经过点（0，－1），则x 0的值为（） A ．1eB ．1C ．eD ．10 【答案】B考点：函数导数的几何意义17．2015学年北京市延庆县高二下学期期末考试已知)(x f '是奇函数)(x f 的导函数，0)1(=-f ，当0>x 时，0)()(>-'x f x f x ，则使得0)(>x f 成立的x 的取值范围是（） A ．)1,0()1,( --∞ B ．),1()0,1(+∞- C ．)1,0()0,1( - D ．),1()1,(+∞--∞ 【答案】B 【解析】试题分析：构造函数()()f x F x x =，则2()()()0,(0)xf x f x F x x x '-'=>>，故知函数()()f x F x x=在(0,)+∞上是增函数，又因为)(x f 是奇函数，所以函数()()f x F x x =是偶函数，且知(1)(1)01f F --==-；所以(1)(1)0F F =-=，且在(,0)-∞是减函数，在坐标系中作出函数()()f x F x x=的草图如下：由图可知使得0)(>x f 成立的x 的取值范围是),1()0,1(+∞- ；故选B ．考点：1．导数的求导法则；2．函数导数与单调性之间的关系．18．【2015四川省资阳市高二下学期期末质量测试】曲线sin e x y x =+（其中e ＝2．71828…是自然对数的底数）在点(01)，处的切线的斜率为（）（A ）2 （B ）3 （C ）13 （D ）12【答案】A【解析】试题分析：cos ,0112xy x e x y ''=+==+=时，故选A考点：导数的几何意义19．【2015广东省珠海市高二下学期期末考试】曲线324y x x =-+在点(1,3)处的切线的倾斜角为（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．120° 【答案】B考点：1.导数的几何意义；20.【福建省漳州一中2014学年第二学期期中考高二】若曲线ln y kx x =+在点(1,)k 处的切线平行于x 轴, 则k =A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】A 【解析】试题分析：由ln y kx x =+可得()xk x f 1'+=，所以()11'+=k f ，又因为切线平行于x 轴所以()1,011'-==+=k k f .考点:导数的应用.21.【福建省漳州市华安一中2014第二学期期末考试】计算10(1dx +⎰的结果为（）.A ．1B ．4πC ．14π+D ．12π+【答案】C 【解析】试题分析：先利用定积分的几何意义求dx x ⎰-121：令)10(12≤≤-=x x y ，即)0,10(122≥≤≤=+y x y x 表示单位圆的41，dx x ⎰-1021即是41圆面积，即4π；所以10(1dx ⎰=41111210π+=-+⎰⎰dx x dx .考点：定积分的几何意义.22.【安徽省广德中学2014学年度第二学期期中考试高二】函数xxx f +=1cos )(在)1,0(处的切线方程是（） A ．01=-+y x B ．012=-+y x C ．012=+-y x D ．01=+-y x 【答案】A 【解析】试题分析：()()()()()()()221cos 1sin 11cos 1cos x x x x x x x x x f +-+-=+'+-+⋅'='()1110-=-='∴f ,因此切线方程为()011--=-x y ，即01=-+y x .考点：（1）导数的运算法则；（2）导数的几何意义.23.【福建省漳州一中2014第二学期期中考高二】如果对定义在R 上的函数()f x ，对任意两个不相等的实数12,x x ，都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+，则称函数()f x 为“H 函数”.给出下列函数①31y x x =-++;②32(sin cos )y x x x =--;③1xy e =+;④ln 0()00x x f x x ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩.以上函数是“H 函数”的共有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B考点：函数单调性的性质.24.【河北省石家庄2014高二下学期期末】函数f （x ）=（x 2﹣2x ）e x（e 为自然数的底数）的图象大致是（）.【答案】A.25.【福建省漳州市华安一中2014第二学期期末考试】若0cos 2cos tt xdx =-⎰,其中(0,)t π∈,则t =( ).A.6πB.2πC.56πD.π【答案】B 【解析】试题分析：t x xdx t tsin |)(sin cos 00==⎰，t t sin 2cos -=∴，即01sin sin 22=--t t ，解得２１或-sin 1sin ==t t ；又因为(0,)t π∈，所以1sin =t ，即2π=t .考点：微积分基本定理、二倍角公式.26.【福建省漳州市华安一中2014第二学期期末考试】已知函数f(x)=x 3+bx 2+cx+d(b 、c 、d 为常数),当x ∈(0,1)时取得极大值,当x ∈(1,2)时取极小值,则22)3()21(-++c b 的取值范围是( ). A.()5,237 B.)5,5( C.)25,437( D.(5,25) 【答案】D 【解析】试题分析：d cx bx x x f +++=23)( ,c bx x x f ++=∴23)(2'；因为x ∈(0,1)时取得极大值,当x ∈(1,2)时考点:函数的极值、线性规划.27.【2014广东省东莞市高二（下）期末】已知函数()()12ln +=x x f ，则()='0f （） A ． 0 B ． 1C ． 2D ．【答案】C 【解析】试题分析：()()12212121+='++='x x x x f ,()20='∴f . 考点：导数公式的应用.28.【安徽省广德中学2014第二学期期中考试高二】⎰+1)2(dx x e x 等于（）A. 1B. eC. 1-eD. e + 1 【答案】B 【解析】试题分析：()()()()e e x e dx x ex x=+-+=+=+⎰011|210102.考点：微积分基本定理的应用.29.【湖北省荆门市2014学年高二下学期期末质量检测】已知函数()()y f x x R =∈上任一点00(,())x f x 处的切线斜率200(2)(1)k x x =-+，则该函数()f x 的单调递减区间为（） A.[1,)-+∞ B.(,2]-∞ C.(,1),(1,2)-∞- D.[2,)+∞ 【答案】B考点：导函数的应用.30.【2014广东省清远市高二（下）期末】函数1)(23++-=x x x x f 在点（1，2）处的切线的斜率是（）【答案】C. 【解析】试题分析：依题意得123)(2'+-=x x x f ，于是1)(23++-=x x x x f 在点（1，2）处的切线的斜率等于2，故选C ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．31.【安徽省广德中学2014第二学期期中高二】设()x f '是函数()x f 的导函数，将()x f y =和()x f y '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）D【答案】D 【解析】试题分析：函数()x f y =在某个区间内可导，则若()0>'x f ，则()x f 在这个区间内单调递增；若()0<'x f ，则()x f 在这个区间内单调递减；对于D 若x 轴上方是导函数的图象，则x 下方的函数是单调递增，不符合；若x 轴下方是导函数的图象，则x 上方的函数是单调递减，不符合，其他三项符合. 考点：函数的单调性与导数的关系.32.【湖南省衡阳市八中2014上学期高二期末】曲线2y x=与直线1y x =-及4x =所围成的封闭图形的面积为（）A. 42ln 2-B. 2ln 2-C. 4ln 2-D. 2ln 2 【答案】A.33.【湖南省衡阳市八中2014上学期高二期末】函数a ax x x f --=3)(3在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围为( )A ．10<≤aB ．10<<aC ．11<<-aD ．210<<a 【答案】B. 【解析】试题分析：首先对函数)(x f 进行求导，即)(333)(22'a x a x x f -=-=，然后根据函数a ax x x f --=3)(3在(0,1)内有最小值，讨论参数a 与0的大小关系，进而找到符合条件的a 的取值范围，即（1）若0≤a ，此时0)('≥x f ，这表明)(x f 在(0,1)上单调递增的，所以)(x f 在0=x 处取得最小值，考点：利用导数求闭区间上函数的最值.34.【2014广东省东莞市高二（下）期末】已知定义域为R 的奇函数()x f 的图象是一条连续不断的曲线，当()+∞∈,1x 时，()0<'x f ；当()1,0∈x 时()0>'x f ，且()02=f ，则关于x 的不等式()()01>+x f x 的解集为（）A ．（﹣2，﹣1）∪（0，2）B ．（﹣∞，﹣2）∪（0.2）C ．（﹣2，0）D ．（1，2）【答案】A 【解析】试题分析：当01>+x ，即1->x ，()0>x f ，由于()x f 为奇函数，当()+∞∈,1x 时，()0<'x f ；当()1,0∈x 时()0>'x f ,()x f 在区间()()1,0,0,1-为增函数，()x f 在区间()()+∞-∞-,1,1,为减函数；由于()()022=-=f f ，由()0>x f 得202<<-<x x 或，由于1->x ，解得20<<x ；当1-<x 时， ()0<x f ，得2,02><<-x x 或，由于1-<x ，解得12-<<-x ，综上，不等式的解集为()()2,01,2 --考点：(1）奇函数的应用解不等式；（2）解不等式.35．【2015四川省资阳市高二下学期期末质量检测】曲线sin e x y x =+（其中e ＝2.71828…是自然对数的底数）在点(01)，处的切线的斜率为（）（A ）2 （B ）3 （C ）13 （D ）12【答案】A 【解析】试题分析：先求导，根据导数的几何意义，斜率0|x k k y ==='，解得即可; 00|02x x y cosx e k y cos e ='=+='=+= ，，故选A. 考点：导数的几何意义及导数的运算36．【2015黑龙江省龙东南四校高二下期末】已知函数32()1f x x bx cx =+++有两个极值点12,x x 且12[2,1],[1,2]x x ∈--∈，则(1)f -的取值范围是（）A ．[3,12]B ．3[,6]2-C ．3[,3]2-D ．3[,12]2- 【答案】A考点：1．根的分布；2．线性规划．37．【2015广东省珠海市高二（下）期末】已知函数f （x ）=﹣x 3+ax 2﹣x ﹣1在（﹣∞，+∞）上是单调函数，则实数a 的取值范围是 A ． B ．C ．D ．【答案】B 【解析】试题分析：由32()1f x x ax x =-+--，得到'2()321f x x ax =-+-，∵函数在(,)-∞+∞上是单调函数，所以'2()3210f x x ax =-+-≤在(,)-∞+∞恒成立，则24120a a ∆=-≤⇒≤≤，所以实数a的取值范围是：[．故选B 考点：利用导数研究函数的单调性．38．【2016河北省定州中学高三第一次月考】已知函数()sin cos f x x x =+，且'()3()f x f x =，则x 2tan 的值是（）A ．34-B ．34C ．43-D ．43 【答案】A考点：导数的运算、倍角公式． 39.【2015学年湖北省枣阳白水高中高二下学期期末】过原点作曲线ln y x =的切线，则切线斜率为（） A ．2e B ．21e C ．e D ．1e【答案】D 【解析】试题分析：∵'1y x =，设切点00(,)x y ，∴1o k x =，∴001()o y y x x x -=-，∴0000ln 1()o y x y x x=⎧⎪⎨-=-⎪⎩， ∴001x e y =⎧⎨=⎩，∴1k e =．考点：曲线的切线．40．【2015湖北省孝感高级中学高二下学期期末】曲线sin xy x e =+在点()0,1处的切线方程是( )A ．330x y -+=B ．220x y -+=C ．210x y -+=D ．310x y -+= 【答案】C 【解析】试题分析：求导cos xy x e '=+，则曲线sin xy x e =+在点()0,1处的切线的斜率0cos 02k e =+=由点斜式可得()120y x -=-，即切线方程为210x y -+= 考点：曲线在某点处的切线方程41．【2015学年江西省赣江市高二下学期期末考试】由曲线y =2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（）A ．4B ．6C ．103D ．163【答案】D 【解析】试题分析：易求得曲线y =与直线2y x =-的交点坐标为(4,2)，所以由曲线y =，直线2y x =-考点：定积分．42．【2015四川省达州市高二下学期期末】()f x '是函数()f x 的导数，函数()xf x e是增函数（ 2.718281828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数），()f x '与()f x 的大小关系是（） A ．()()f x f x '= B ．()()f x f x '> C ．()()f x f x '≤ D ．()()f x f x '≥ 【答案】D 【解析】试题分析：因为()()x f x h x e =是增函数，所以()()()2()()()0x x x x f x e e f x f x f x h x e e ''--'==≥恒成立，所以()()f x f x '≥，故选D. 考点：导数与函数的单调性.43．【2015四川省达州市高二下学期期末】已知函数()f x 的定义域是R ，()f x '是()f x 的导数．()514f =-，对R x ∀∈，有()f x e '≤-（ 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数）．不等式()2215ln 24f x x x x <-的解集是（）A ．()0,1B ．()1,+∞C ．()0,+∞D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】试题分析：因为()()22221515ln ln 02424f x x x x f x x x x <-⇔-+<，令()2215()ln 24h x f x x x x =-+，则()()5()ln ln 222x h x f x x x x f x x x x '''=--+=-+，令()2ln g x x x x =-，则()2ln 11ln g x x x '=--=-，当0x e <<时，()0g x '>，当x e >时，()0g x '<，考点：1.导数与单调性；2.函数与不等式.44.【2015福建省泉州市晋江二中高二下学期期末】设''()y f x =是'()y f x =的导数．某同学经过探究发现，任意一个三次函数32()f x ax bx cx d =+++（0a ≠）都有对称中心00(,())x f x ，其中x 0满足''0()0f x =．已知32115()33212f x x x x =-+-，则1232014()()()()2015201520152015f f f f ++++= （） A ．2012 B ．2013 C ．2014 D ．2015 【答案】C 【解析】试题分析：'2()3f x x x =-+，''()21f x x =-，令''()0f x =，解得12x =，321111115()()()3123222212f =⨯-⨯+⨯-=， ∴函数()f x 的对称中心为1(,1)2M ．设P ，Q 是函数()f x 的图象上关于M 中心对称的两点，则()(1)2f x f x +-=，∴1232014()()()()2015201520152015f f f f ++++1120142201320141[(()())(()())(()())]2201520152015201520152015f f f f f f =++++++ 1(22014)2=⨯⨯2014=．故选：C ．考点：导数的运算．45.【2015学年北京市西城区高二下学期期末考试】已知函数x e xx f =)(，给出下列结论：①),1(+∞是)(x f 的单调递减区间；②当)1,(e k -∞∈时，直线k y =与)(x f y =的图象有两个不同交点； ③函数)(x f y =的图象与12+=x y 的图象没有公共点. 其中正确结论的序号是（）A.①②③B.①③C.①②D.②③【答案】B 【解析】考点：1、导数在研究函数性质中的应用；2、数形结合的思想. 46.【2016广西省桂林市十八中高三第一次月考】定义在(0,)2π上的函数()f x ，()'f x 是它的导函数，且恒有()()'tan f x f x x >⋅成立．则（）A ()()63f ππ⋅πC ()2()64f ππ>D ()()43f ππ> 【答案】A【解析】试题分析：由()()'tan f x f x x>得()()'cos sin 0f x x f x x ->，构造函数()()cos F x f x x=，则()'0F x >，故()F x 单调递增，有cos cos 666333F f f F ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．考点：函数的导数．47.【2015届湖北省武汉华中师大附中高三5月考试】已知函数)(x f 满足xe x xf x f x x =+')(2)(2，8)2(2e f =，则当0>x 时，)(x f （） A ．有极大值，无极小值 B ．有极小值，无极大值 C ．既有极大值，也有极小值 D ．既无极大值，也无极小值【答案】D 【解析】试题分析：设2()()g x x f x =，则'2'()()2()xe g x xf x xf x x=+=，考点：函数的极值与单调性．48.【2015学年河南省南阳市高二下学期期末】定义在R 上的可导函数()f x ，当()1,x ∈+∞时，()()()10x f x f x '-->恒成立，()())12,3,12a fb fc f===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．c a b <-，即函数()g x 单调递增，则()()()()()())23122,33,121231f f a f g b f g c fg=========--则()()23gg g <<，即c a b <<，故选：A ．考点：1．函数值的大小比较；2．构造函数；3．利用导数研究函数的单调性． 49.【2015学年江西南昌二中高二下学期期末】若不等式2229t t a t t +≤≤+在(]2,0∈t 上恒成立,则a 的取值范围是（）A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,61B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡134,61C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,132 D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡22,61【答案】C考点：1对勾函数；2一元二次函数求最值．50.【2016届四川省成都市高三零模】已知函数231()1()32mx m n x f x x +++=+的两个极值点分别为12,x x ，且1(0,1),x ∈ 2x ∈()1,+∞，点(,)P m n 表示的平面区域为D ，若函数log (4),(1)a y x a =+>的图像上存在区域D 内的点，则实数a 的取值范围是（）A ．(]1,3B ． ()3,+∞C ．()1,3D ．[)3,+∞ 【答案】C【解析】试题分析：2'()2m nf x x mx +=++，由于两个极值点分别为12,x x ，且1(0,1),x ∈ 2x ∈()1,+∞，由二次方程根的分布，则有'(0)02m n f +=>，'(1)102m nf m +=++<，则0320m n m n +>⎧⎨++<⎩，点(,)P m n 表示的平面区域为D ，画出二元一次不等式组0320m n m n +>⎧⎨++<⎩表示的平面区域，由于0320x y x y +=⎧⎨++=⎩11x y =-⎧⇒⎨=⎩， log (4),(1)a y x a =+>过点(1,1)-时，1log 33a a =⇒=，由于函数log (4),(1)a y x a =+>的图像上存在区域D 内的点，所以13a <<，故选C ．考点：一元二次方程根的分布，函数的极值点，线性规划，参数的取值范围问题．51．【2015吉林省吉林市高三第三次模拟】若存在直线l 与曲线1C 和曲线2C 都相切,则称曲线1C 和曲线2C 为“相关曲线”，有下列四个命题：①有且只有两条直线l 使得曲线221:4C x y +=和曲线222:4240C x y x y +-++=为“相关曲线”；②曲线1:C y =和曲线2:C y =是“相关曲线”； ③当0b a >>时，曲线21:4C y ax =和曲线2222:-C x b y a +=（）一定不是“相关曲线”；④必存在正数a 使得曲线1C ：ln y a x =和曲线2:C 2y x x =-为“相关曲线”. 其中正确命题的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C则()0230001144a h x x x x '=--，令()00h x '=，得：0x =（舍去）或0x =，当00x <<时，()00h x '<，当x >时，()00h x '>，所以()20min10h x =+-<⎡⎤⎣⎦，所以方程20001ln 102x a x x ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭有实数解，所以存在直线l 与曲线1C 和曲线2C 都相切，所以④正确．所以正确命题的个数是3，故选C ．考点：1、推理与证明；2、圆与圆的位置关系；3、直线与圆锥曲线的位置关系；4、导数的几何意义；5、利用导数研究函数的最值． 52.【2015学年河南周口中英文学校高二下学期第二次月考】已知函数()12()ln ,(2f x xg x x a a ==+为常数），直线l 与函数()(),f x g x 的图像都相切，且l 与函数()f x 的图像的切点的横坐标为1，则a 的值为（）A ．1B ．1-C ．12- D ．2【答案】C考点：导数的几何意义．53．【2015学年北京市房山周口店中学高二下学期期中考试】某工厂生产的机器销售收入1y （万元）是产量x （千台）的函数:2117x y =,生产总成本2y （万元）也是产量x （千台）的函数;)0(2232>-=x x x y ,为使利润最大,应生产（）A ．9千台B ．8千台C ．7千台D ．6千台【答案】D 【解析】试题分析：设利润为()232321722180y y x x x x xx ∴=-+=-+> ()'263666y x x x x ∴=-+=--，单调增区间为()0,6，减区间为()6,+∞，所以当6x =时利润最大考点：函数导数与最值54.【湖南省衡阳市八中2014上学期高二期末】函数32()393,f x x x x =--+若函数()()[2,5]g x f x m x =-∈-在上有3个零点，则m 的取值范围为．【答案】[1,8）.考点：函数与方程；函数图像.55.【2014广东省东莞市高二（下）期末试卷数学】已知函数()x f y =的图象在3=x 处的切线方程为72+-=x y ，则()()33f f '+的值是【答案】-1 【解析】试题分析：函数()x f y =的图象在3=x 处的切线方程为72+-=x y ，()23-='f ，()17323=+⨯-=f ，因此()()11233-=+-='+f f . 考点：导数的几何意义.56.【福建省漳州市华安一中2014第二学期期末】已知()f x 为定义在(0,+∞)上的可导函数,且()'()f x xf x >恒成立,则不等式0)()1(2>-x f xf x 的解集为．【答案】),1(+∞57.【河北省石家庄市2014高二下学期期末】已知函数f （x ）=x 3+ax 2﹣a （a ∈R ），若存在x 0，使f （x ）在x=x 0处取得极值，且f （x 0）=0，则a 的值为．【答案】3±. 【解析】试题分析：a ax x x f 34)(23-+= ，)32(323)(2'ax x ax x x f +=+=∴；若00=x ，则034)0(=-=a f ，则0=a ，03)(2'≥=∴x x f （舍）；若a x 320-=，则0)32(=-a f ，则3±=a ；综上，3±=a .考点：函数的极值.58.【安徽省广德中学2014第二学期期中考试高二】若函数()x f 在定义域D 内某区间I 上是增函数，且()xx f 在I 上是减函数，则称()x f y =在I 上是“弱增函数”．已知函数()()b x b x x h +--=12在（0，1]上是“弱增函数”，则实数b 的值为【答案】1 【解析】试题分析：由于函数()()b x b x x h +--=12在（0，1]上是“弱增函数”,因此函数()()b x b x x h +--=12在（0，1]上是增函数”，()()012≥--='b x x h 在(]1,0恒成立，只需()min x h '成立即可；0=x 时，有最小值，所以()010≥--b ，即1≤b ；令()()()1--+==b xbx x x h x g 在(]1,0为减函数，因此 ()01222≤-=-='xb x x b x g 在区间(]1,0成立，02≤-∴b x 恒成立，因此1≥b ，综上1=b .考点：（1）函数的单调性与导数；（2)恒成立的问题.59．【2016宁夏银川一中高三上学期第一次月考】已知点P 在曲线14+=xe y 上，α为曲线在点P 处切线的倾斜角，则α的取值范围是．【答案】34παπ≤<考点：导数的概念与应用，直线的倾斜角60．【2015届中国人民大学附属中学高考冲刺】如图，线段AB =8，点C 在线段AB 上，且AC =2，P 为线段CB 上一动点，点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D ．设CP =x ， △CPD 的面积为()f x ．则()f x 的定义域为； '()f x 的零点是．【答案】)4,2(；3 【解析】试题分析：由题意知，2=DC ,x CP =,x DP -=6CPD ∆ 的三边关系 42266262<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧>-+>-+->+∴x x x x x x x 如图，三角形的周长是一个定值8，故其面积可用海伦公式表示出来即644882)64()4(4)(2-+-=⨯+-⨯-⨯=x x x x x f64488248)(2'-+-+-=∴x x x x fCB D令30)('=⇒=∴x x f 故答案为：)4,2(；3 考点：函数的实际应用．61．【2015学年湖南浏阳一中高二下学期期末】曲线y ＝xln x 在点（e ，e ）处的切线与直线x ＋ay ＝1垂直，则实数a 的值为________．【答案】2考点：1．导数的几何意义；2．两直线垂直的条件．62．【2015四川省绵阳市高二下学期期末】函数()3123f x x x =-+，()3xg x m =-，若对[]11,5x ∀∈-，[]20,2x ∃∈，()()12f x g x ≥，则实数m 的最小值是．【答案】14 【解析】试题分析：由题意()()min min f x g x ≥，()2312=3(2)(2)f x x x x '=--+，()f x 在[1,2]-递减，在[25]，递增，所以()min (2)824313f x f ==-+=-，()3xg x m =-在[]0,2单调递增，()()min 01g x g m ==-，13114m m -≥-⇒≥；考点：1．化归的思想；2．导数与最值；63．【2015四川省绵阳市高二下学期期末】若曲线ln y ax x =-在()1,a 处的切线平行于x 轴，则实数a = ．【答案】1 【解析】试题分析：1y a x '=-，11|011x y a a ='=-=⇒=；考点：1．导数的几何意义；64．【2015学年广东省珠海市高二下学期期末】已知函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象如下，则()y f x =有个极大值点.【答案】1考点：1.导数与极值；65．【2015山东省淄博市六中高二下学期期末】已知函数()326)1(f x x mx m x ++++＝存在极值，则实数m 的取值范围为_ _________．【答案】3m <-或6m > 【解析】试题分析：∵函数()326)1(f x x mx m x ++++＝既存在极大值，又存在极小值()23260f x x mx m '=+++=，它有两个不相等的实根，∴()241260m m ∆=-+>解得3m <-或6m >，故答案为：3m <-或6m >．考点：1．极值；2．恒成立问题．66．【2015山东省淄博市六中高二下学期期末】求曲线y=ln （2x-1）上的点到直线2x-y+3=0的最短距离_______．【解析】试题分析：设曲线上过点()00,P x y 的切线平行于直线230x y -+=，即斜率是2，则()00122'21'2212121x x x x x x y x x x x ===⎡⎤=-===⎢⎥---⎣⎦，解得01x =，所以00y =，即点()10P ，，点P 到直线230x y -+=，所以曲线()ln 21y x =-上的点到直线230x y -+=的考点：1．导数的几何意义；2．点到直线的距离公式．67．【2015学年山东省文登市高二下学期期末】曲线21y x =-与直线2,0x y ==所围成的区域的面积为．【答案】34考点：定积分的应用．68．【2015学年福建省泉州市晋江二中高二下学期期末】如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线所示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为．【答案】1.2 【解析】试题解析：如图：建立平面直角坐标系，设抛物线方程为：2y ax =，因为抛物线经过(5,2)，可得225a =，所以抛物线方程：2225y x =，横截面为等腰梯形的水渠，泥沙沉积的横截面的面积为： 52350021282(22)2(2)252753x x ⨯-⨯⨯=-=⎰，等腰梯形的面积为：1062162+⨯=，当前最大流量的横截面的面积8163-，原始的最大流量与当前最大流量的比值为：161.28163=-．考点：直线与圆锥曲线的关系．69．【2015四川省达州市高二下学期期末】已知函数()f x 的定义域是R ，()f x '是()f x 的导数，()1f e =，()()()g x f x f x '=-，()10g =，()g x 的导数恒大于零，函数()()x h x f x e =-（ 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数）的最小值是．【答案】0考点：1.导数与函数的单调性、最值；2.函数与不等式.70．【2015学年江西吉安一中高二下学期期中】对于函数b x a x a x x f +-+-=)3(231)(23有六个不同的单调区间，则a 的取值范围为．【答案】32<<a 【解析】试题分析：根据偶函数关于y 轴对称，两侧单调性相反，所以当0>x 时又3个不同的单调区间，此时()()b x a x a x x f +-+-=323123，因为有三个不同的单调区间，所以()+∞,0含有两个极值点，所以()0='x f 有两个不同的实数根，()()a ax x x f -+-='32，()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>'>>--=∆00020342f a a a ，解得32<<a考点：1．导数求函数的单调区间；2．偶函数的性质．71．【2015山东省日照市高三校际联合检测】函数()y f x =图象上不同两点()()1122,,,A x y B x y 处的切线的斜率分别是A B k k ，，规定(),A B k k A B ABϕ-=（AB 为线段AB 的长度）叫做曲线()y f x =在点A 与点B 之间的“弯曲度”，给出以下命题：①函数321y x x =-+图象上两点A与B 的横坐标分别为1和2，则(),A B ϕ>②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；③设点A,B 是抛物线21y x =+上不同的两点，则(),2A B ϕ≤；④设曲线xy e =（e 是自然对数的底数）上不同两点()()112212,,,,1A x y B x y x x -=且，若(),1t A B ϕ⋅<恒成立，则实数t 的取值范围是(),1-∞.其中真命题的序号为________.（将所有真命题的序号都填上）【答案】②③考点：新定义题.72．【2015届江苏省淮安市高三第五次模拟】已知22:1O x y += ．若直线2y =+上总存在点P ，使得过点P 的O 的两条切线互相垂直，则实数k 的最小值为．【答案】1 【解析】试题分析：因为过点P 的O 的两条切线互相垂直，所以点P 到圆心O =，又因为直线2y =+上总存在这样的点P ，所以圆心O 到直线2y =+1k ==；73．【2015河南实验中学高二下学期期中】已知()1cos f x x x =，则()2f f ππ⎛⎫'+= ⎪⎝⎭．【答案】π3-【解析】试题分析：()2cos sin x x x x x f -⋅-='，当2π=x 时，ππ22-=⎪⎭⎫⎝⎛f ，()ππ1-=f ，所以原式等于π3-. 考点：导数的计算74．【2015湖南省长沙市高考模拟】已知函数),(ln )(R n m nx x m x f ∈+= ，曲线()y f x =在点()()1,1f处的切线方程为220x y --=．（1）=+n m ；（2）若1x >时，()0kf x x+<恒成立，则实数k 的取值范围是．【答案】⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-21,,21考点：1.导数的几何意义；2.不等式恒成立问题.75．【2015海南省海南中学高三5月月考】对于函数()f x ，若对于任意的123,,x x x R∈，()()()123,,f x f x f x 为某一三角形的三边长，则称()f x 为“可构成三角形的函数”．已知函数()1x xe tf x e +=+是“可构成三角形的函数”，则实数t 的取值范围是（） A ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]0,1C ．[]1,2D ．()0,+∞【答案】A 【解析】试题分析：由已知得123()0,()()()f x f x f x f x >+>，∴min max 2()()f x f x >，∵11()11x x x x e t e t f x e e +++-==++111x t e -=++，当1t >时，由0xe >得1011xt t e -<<-+，∴1()f x < 111x t t e -=+<+，∴21t ⨯≥，2t ≤；当1t =时，()1f x =显然符合题意；当1t <时，10t -<，1101x t t e --<<+，∴()1t f x <<，∴21t ≥，12t ≥．综上所述：122t ≤≤．故选D ．考点：新定义，函数的概念与最值．76.【湖北省荆门市2014高二下学期期末质量检测】已知函数2()ln()f x x a x x =+--在0x =处取得极值.（1）求实数a 的值；（2）若关于x 的方程5()2f x x b =-+在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根,求实数b 的取值范围；（3）证明:对任意的正整数n ,不等式34249+++ (21)ln(1)n n n ++>+都成立. 【答案】（1）1a =（2）1ln 31ln 22b -<+≤；（3）略（2）由1a =知2()ln(1)f x x x x =+-- 由5()2f x x b =-+,得23ln(1)02x x x b +-+-= 令23()ln(1)2x x x x b ϕ=+-+-则5()2f x x b =-+在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根等价于()0x ϕ=在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根. 13(45)(1)()2122(1)x x x x x x ϕ-+-'=-+=++ 当[0,1]x ∈时, ()0x ϕ'>,于是()x ϕ在[0,1]上单调递增; 当(1,2]x ∈时, ()0x ϕ'<,于是()x ϕ在(1,2]上单调递减.（方法二）数学归纳法证明：当1n =时，左边21121+==，右边ln(11)ln 2=+=，显然2ln 2>，不等式成立. 假设(,1)n k k N k *∈≥≥时，34249+++ (21)k k++>ln(1)k +成立，则1n k =+时，有34249+++…222122ln(1)(1)(1)k k k k k k k +++++>++++.作差比较： 222222111ln(2)ln(1)ln ln(1)((1)1(1)11(1)k k k k k k k k k k k ++++-+-=-=+-+++++++ 构建函数2()ln(1)((0,1))F x x x x x =+--∈，则(23)()01x x F x x -+'=<+，()F x ∴在(0,1)单调递减，()(0)0F x F ∴<=. 取1(1,)1x k k N k *=∈+≥，2111ln(1)()(0)011(1)F k k k +-+<=+++ 即22222ln(2)ln(1)ln 0(1)1(1)k k k k k k k k ++++-+-=-<+++，亦即22ln(1)ln(2)(1)k k k k +++>++，故1n k =+时，有34249+++…222122ln(1)ln(2)(1)(1)k k k k k k k k +++++>++>+++，不等式成立.综上可知，对任意的正整数n ,不等式34249+++ (21)n n++>ln(1)n +都成立考点：(1）利用导数研究函数的极值(2)利用导数研究函数的单调性．77.【河北省石家庄市2014学年高二下学期期末】已知函数f （x ）=alnx ﹣ax ﹣3（a ＜0）．（Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若函数y=f （x ）的图象在点（2，f （2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[0，1]，函数g （x ）=x 3+x 2[f′（x ）+m]在区间（t ，2）上总不是单调函数，其中f′（x ）为f （x ）的导函数，求实数m 的取值范围．【答案】(Ⅰ)()f x 的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1]；(Ⅱ)9522m -<<-．考点：1.函数的单调性；2.函数的单调性的逆用.78.【福建省漳州市华安一2014第二学期期末】已知函数()ln 1,.f x x ax a R =++∈ （Ⅰ）求()1f x x =在处的切线方程；（Ⅱ）若不等式()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围；（Ⅲ）数列11{},2,21n n n a a a a +==+中，数列{}n b 满足ln ,{}n n n b n a b =记的前n 项和为n T ，求证：124.2n n n T -+<-【答案】（1）x a y )1(+=；（2）1-≤a ；（3）证明见解析．由（2）知，当1a =-时，ln 10x x -+≤恒成立，即ln 1x x ≤-，当且仅当1x =取等号．11111111ln 111122b --⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴=⨯+<⨯+-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ，21212112ln 121122b --⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯+<⨯+-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，1111ln 11122n n n b n n --⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯+<⨯+-⎢⎥⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，1121111111121111222n n T n ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴<⨯+-+⨯+-++⨯+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦1121111112...222n n ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++⨯ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令01111112...222n n S n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则1211111112...(1)22222n nn S n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1111()11111112...()2(2)()1222222212nn nn n n S n n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+++-⨯=-⋅=-+⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-， 114(2)()2n n S n -∴=-+⋅，1242n n n T -+∴<-.考点：1.导数的几何意义；2.不等式恒成立问题；3.数列的求和.79.【安徽省广德中学2014第二学期期中高二】已知函数()23bx ax x f +=的图象经过点M （1，4），曲线在点M 处的切线恰好与直线x+9y=0垂直．（1）求实数b a ,的值；(2)若函数()x f 在区间[]1,+m m 上单调递增，求m 的取值范围【答案】(1)3,1==b a ;(2)30-≤≥m m 或考点：(1)导数的几何意义；（2）函数单调区间的应用.80.【安徽省广德中学2014第二学期期中考试高二】已知函数()()R a ax x f ∈=，()1ln -=x x g ．（1）若函数()()()x x f xx g x h 221--+=存在单调递减区间，求a 的取值范围；（2）当0>a 时，试讨论这两个函数图象的交点个数．【答案】(1）1->a ；（2）当2->e a ，()()x g x f 与的图象无交点,当2-=e a ，()()x g x f 与的图象有且仅有一个交点，当20-<<e a ，()()x g x f 与的图象有且仅有两个交点.试题解析：解：（1)()()022ln 2>--=x x x a x x h ()21--='ax xx h 若使()x h 存在单调递减区间，则()021<--='ax xx h 在()+∞,0上有解而当0>x 时，xx a x ax ax x 21210212->⇔->⇔<--问题转化为x x a 212->在()+∞,0上有解，故a 大于函数xx 212-在()+∞,0的最小值又xx x x x 21,11121222--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-在()+∞,0上的最小值为-1，所以1->a （2）令()()()()01ln >+-=-=a x ax x g x f x F函数()ax x f =与()1ln -=x x g 的交点个数即为函数()x F 的零点的个数()()01>-='x x a x F 令()01=-=x a x F ，解得a x 1=。

课时作业10：阶段质量检测（一）　导数及其应用

阶段质量检测(一) 导数及其应用[考试时间：90分钟试卷总分：120分]第Ⅰ卷 (选择题)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．下列各式正确的是( )A ．(sin a )′＝cos a (a 为常数)B ．(cos x )′＝sin xC ．(sin x )′＝cos xD ．(x －5)′＝－15x －6 2．函数y ＝x 2cos x 的导数为( )A ．2x cos xB ．－x 2sin xC ．2x cos x ＋x 2sin xD ．2x cos x －x 2sin x 3．f (x )＝ax 3＋2x ，若f ′(1)＝4，则a 的值等于( )A.12B.13C. 2 D ．1 4．使函数y ＝x sin x ＋cos x 是增函数的区间可能是( )A.⎝⎛⎭⎫π2，3π2 B ．(π，2π)C.⎝⎛⎭⎫3π2，5π2 D ．(2π，3π)5．函数f (x )＝3x －4x 3(x ∈[0,1])的最大值是( )A ．1 B.12C ．0D ．－1 6．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)7．对任意的x ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋7ax 不存在极值点的充要条件是( )A ．0≤a ≤21B ．a ＝0或a ＝7C ．a <0或a >21D ．a ＝0或a ＝218．曲线y ＝ln (2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是( ) A. 5 B ．2 5 C ．3 5 D ．09．由y ＝－x 2与直线y ＝2x －3围成的图形的面积是( )A.53B.323C.643D ．9 10．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫32，＋∞B.⎝⎛⎭⎫－∞，－12C.⎝⎛⎭⎫－12，32 D.⎣⎡⎭⎫1，32 第Ⅱ卷 (非选择题)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 11.⎠⎛01(x ＋x )d x ＝________.12．曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为________．13．已知a ≤4x 3＋4x 2＋1对任意x ∈[－1,1]都成立，则实数a 的取值范围是________．14．已知函数y ＝xf ′(x )的图像如图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，给出以下说法：①函数f (x )在区间(1，＋∞)上是增函数；②函数f (x )在区间(－1,1)上单调递增；③函数f (x )在x ＝－12处取得极大值； ④函数f (x )在x ＝1处取得极小值．其中正确的说法________．三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)设定义在(0，＋∞)上的函数f (x )＝ax ＋1ax＋b (a >0)． (1)求f (x )的最小值；(2)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝32x ，求a ，b 的值．16．(本小题满分12分)已知某公司生产的某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件，需另投入 1.9万元，设R (x )(单位：万元)为销售收入，据市场调查知R (x )＝⎩⎨⎧ 10x －130x 3，0≤x ≤10，2003， x ＞10，其中x 是年产量(单位：千件)．(1)写出年利润W 关于年产量x 的函数关系式；(2)年产量为多少时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？17．(本小题满分12分)已知三次方程的函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f ′(1)＝0，f ′(2)＝3，f ′(3)＝12.(1)求f (x )－f (0)的表达式；(2)若对任意的x ∈[－1,4]，都有f (x )>f ′(x )成立，求f (0)的取值范围．18．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝ax 2＋2ln (1－x )(a 为常数)．(1)若f (x )在x ＝－1处有极值，求a 的值并判断x ＝－1是极大值点还是极小值点；(2)若f (x )在[－3，－2]上是增函数，求a 的取值范围．参考答案一、选择题1．选C 由导数公式知选项A 中(sin a )′＝0；选项B 中(cos x )′＝－sin x ；选项D 中(x －5)′＝－5x －6.2．选D y ′＝(x 2)′cos x ＋x 2(cos x )′＝2x cos x －x 2sin x .3．选D f ′(x )＝3ax 2＋1x ，∴f ′(1)＝3a ＋1＝4，∴a ＝1. 4．选C y ′＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ，故当x ∈⎝⎛⎭⎫3π2，5π2时，y ′＞0，函数为增函数．5．选A f ′(x )＝3－12x 2，令f ′(x )＝0，则x ＝－12(舍去)或x ＝12，f (0)＝0，f (1)＝－1，f ⎝⎛⎭⎫12＝32－12＝1.∴f (x )在[0,1]上的最大值为1. 6．选D 由图可知，当x <－2时，f ′(x )>0；当－2<x <1时，f ′(x )<0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.由此可以得到函数在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值，选D.7．选A f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋7a ，当Δ＝4a 2－84a ≤0，即0≤a ≤21时，f ′(x )≥0恒成立，函数f (x )不存在极值点．8．选A 设与直线2x －y ＋3＝0平行的y ＝ln (2x －1)的切线为l ，切点为(x 0，y 0)，则y ′＝22x －1，由22x 0－1＝2.∴x 0＝1，∴切点为(1,0)，切线l 为：2x －y －2＝0，则易知距离为|－2－3|22＋(－1)2＝ 5.9．选B 解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，y ＝2x －3，得交点A (－3，－9)，B (1，－1)．由y ＝－x 2与直线y ＝2x －3围成的图形的面积S ＝⎠⎛－31(－x 2)d x －⎠⎛－31(2x －3)d x ＝－13x 3|1－3－(x 2－3x )|1－3＝323. 10．选D 由f (x )＝2x 2－ln x 可知定义域为(0，＋∞)，所以k －1≥0，k ≥1.故排除B ，C两项，又f ′(x )＝4x －1x ，令f ′(x )＝0，得x ＝12或x ＝－12(舍去)，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上单调递减，在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递增．由题意知⎩⎨⎧ k －1＜12，k ＋1＞12，且k ≥1，得1≤k ＜32. 二、填空题11．答案：76 12．答案：2x －y ＋1＝0解析：曲线方程为y ＝x 3－x ＋3，则y ′＝3x 2－1，又易知点(1,3)在曲线上，有y ′|x ＝1＝2，即在点(1,3)处的切线方程的斜率为2，所以切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0.13．答案：(－∞，1]解析：设f (x )＝4x 3＋4x 2＋1，则f ′(x )＝12x 2＋8x ＝4x (3x ＋2)，令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝－23. 又f (－1)＝1，f ⎝⎛⎭⎫－23＝4327，f (0)＝1，f (1)＝9，故f (x )在[－1,1]上的最小值为1，故a ≤1. 14．答案：①④解析：①由图像知，当x ∈(1，＋∞)时，xf ′(x )>0，故f ′(x )>0，f (x )在区间(1，＋∞)上是增函数，故①正确；②当x ∈(－1,0)时，xf ′(x )>0，故f ′(x )<0；当x ∈(0,1)时，xf ′(x )<0，故f ′(x )<0.综上，当x ∈(－1,0)∪(0,1)时，f ′(x )<0，故f (x )在区间(－1,0)(0,1)上是减函数，故②错误；③f (x )在区间(－1,0)上单调递减，故x ＝－12不是极值点，故③错误；④f (x )在区间(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，故f (x )在x ＝1处取得极小值，故④正确．三、解答题15．解：(1)法一：由题设和均值不等式可知，f (x )＝ax ＋1ax＋b ≥2＋b ，其中等号成立当且仅当ax ＝1，即当x ＝1a时，f (x )取最小值为2＋b . 法二：f (x )的导数f ′(x )＝a －1ax 2＝a 2x 2－1ax 2，当x >1a时，f ′(x )>0，f (x )在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增；当0<x <1a 时，f ′(x )<0，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递减．所以当x ＝1a时，f (x )取最小值为2＋b . (2)由题设知，f ′(x )＝a －1ax 2，f ′(1)＝a －1a ＝32，解得a ＝2或a ＝－12(不合题意，舍去)．将a ＝2代入f (1)＝a ＋1a ＋b ＝32，解得b ＝－1.所以a ＝2，b ＝－1.16．解：(1)依题意有：W ＝⎩⎨⎧ 10x －130x 3－10－1.9x ，0≤x ≤10，2003－10－1.9x ，x ＞10.即W ＝⎩⎨⎧ 8.1x －130x 3－10，0≤x ≤10，1703－1.9x ，x ＞10.(2)设f (x )＝－130x 3＋8.1x －10(0≤x ≤10)， f ′(x )＝－110x 2＋8.1，由f ′(x )＝0，得x ＝9或x ＝－9(舍去)．当0≤x ＜9时，f ′(x )＞0；当9＜x ≤10时，f ′(x )＜0，所以当x ＝9时，f (x )取得最大值38.6.当x ＞10时，1703－1.9x ＜1133＜38.6. 所以当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．17．解：(1)设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＋2b ＋c ＝0，12a ＋4b ＋c ＝3，27a ＋6b ＋c ＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－3，c ＝3，∴f (x )－f (0)＝x 3－3x 2＋3x .(2)f ′(x )＝3x 2－6x ＋3，∵任意的x ∈[－1,4]，f (x )>f ′(x )，∴f (x )－f ′(x )＝x 3－6x 2＋9x ＋f (0)－3>0，∴f (0)>－x 3＋6x 2－9x ＋3.令F (x )＝－x 3＋6x 2－9x ＋3，则F ′(x )＝－3x 2＋12x －9.由－3x 2＋12x －9＝0，得x ＝1，或x ＝3.又F (－1)>F (3)，F (－1)>F (1)，F (－1)>F (4)，故F (x )在[－1,4]上的最大值为F (－1)＝19.故f (0)的取值范围是(19，＋∞)．18．解：(1)f ′(x )＝2ax －21－x，x ∈(－∞，1)， f ′(－1)＝－2a －1＝0，所以a ＝－12. 这时，f (x )＝－12x 2＋2ln (1－x )， f ′(x )＝－x －21－x ＝(x ＋1)(x －2)1－x. ∵x ＜1，∴1－x ＞0，x －2＜0因此，当x ＜－1时f ′(x )＞0，当－1＜x ＜1时f ′(x )＜0∴x ＝－1是f (x )的极大值点．(2)f ′(x )≥0在x ∈[－3，－2]上恒成立，f ′(x )≥0即2ax －21－x≥0. ∴a ≤1－x 2＋x在x ∈[－3，－2]上恒成立， ∵－x 2＋x ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14∈[－12，－6]，1－x 2＋x ∈⎣⎡⎦⎤－16，－112 ∴⎝⎛⎭⎫1－x 2＋x min ＝－16，a ≤－16. 即a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－16.。

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