第三章 刚体力学
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第3章刚体力学基础
描述质点系转动的动力学方程
z
取惯性坐标系
dt
oxyz
刚体所受的对
转轴的力矩
x
o
M r F
定义：在垂直于转轴的平 面轴内的,距外离力dF的与乘力积线到转
y z轴为固定转轴
z
M
F
F F
r
垂直转轴的外力分量产生沿
d
转轴方向的力矩, 平行于转
轴的外力分量产生的力矩被
轴承支承力的力矩所抵消
一 、作用于定轴刚体的合外力矩
相对于定轴的合外力矩
（力对转轴的力矩）
M z M iz ri Fi sin i
i
i
即作用在各质元的 力矩的 z 分量之和
二、刚体定轴转动定理
由于刚体只能绕 z 轴转动, 引起转动的力矩只有z方向,
因此转动动力学方程
Mz
dLz dt
dL M
dt
Li
Ri
m
i
v
i
oo ri
mi vi
解：
z
J z mi ri2
i
m i
x
2 i
y
2 i
i
Jy Jx
x
o
yi
ri
m
x
i
i
y
例 均质圆盘：m, R . 求以直径为轴的转动惯量 解：
J 1 mR2 4
例3-6（P181） 挂钟摆锤的转动惯量
解：
o
m1 l
J
1 3
m1l 2
1 2
m2 R2
m2 l
R2
m2 R
例 计算钟摆的转动惯量。（已知：摆锤质量为m，半 径为r，摆杆质量也为m，长度为2r）
第3章 刚体力学
说明 ( 1)
M J , 与 M 方向相同．
(2) 为瞬时关系． (3) 转动中 M J 与平动中 F ma 地位相同．
第三章 刚体力学
如果刚体所受合力为零，同时 合力矩为零， 好，现在我们可以问一个问题： Fi 0 , Mi 0 则刚体会做什么样的运动？
R
2
dm m R
R
r
dr
一质量为m、半径为R的均匀圆盘，求通过盘中心O并与 盘面垂直的轴的转动惯量。 解：设盘质量面密度为 ,在盘上取半径为r,宽为dr的圆环
m π R2
R 2 0
dm 2 π rdr
3
J r dm
R
0
1 2 π R mR 2πσr dr 2 2
v v0 at 2 x x0 v0t 1 at 2 2 2 v v0 2a( x x0 )
ω ω0 βt θ θ 0 ω 0 t 12 β t 2 ω 2 ω 02 2 β ( θ θ 0 )
第三章 刚体力学
z
重要
刚体定轴转动的特点 O
第三章 刚体力学
5. 角速度正负的判断
0
0
逆时钟转动
顺时钟转动
第三章 刚体力学 （2）角量和线量的关系
z
s r
v r
an r 2
O
at r
dv d(r ) at r dt dt
（3）角量与线量的公式比较
x
质点匀变速直线运动
刚体绕定轴作匀变速转动
平 动 刚体：外力作用下形状和大小都不发生变化的物体。 转 动 二、刚体的运动形式 ［实例］
理论力学第三章刚体力学课件
理论力学
电子科技大学物理电子学院 付传技
Email:fcj@
1
第三章 刚体力学
刚体也是一个理想模型，它可以看作是一种特殊 的质点组，这个质点组中任何两个质点之间的距离不 变，这使得问题大为简化，使我们能更详细地研究它 的运动性质，得到的结果对实际问题很有用。
我们先研究刚体运动的描述，在建立动力学方程 后，着重研究平面平行运动和定点运动。
17
我们分别用Ox1x2x3(或Oxyz)和Ox1x2 x3(或Oxyz) 来标志空间坐标系和本体坐标系，它们的单位矢量
分别为e和e（ ＝1, 2,3或x, y, z）。
本体系相对于空间系的取向可以用其单位矢量e1， e2，e3在空间系中的9个方向余弦来描写：
cos(e , e ) e e a （＝1, 2,3）
或a a (行行正交)a a (列列正交)
这些关系通常叫做正交条件。满足正交条件 的矩阵叫正交矩阵，相应的变换称为正交变换。
22
根据Kronec ker 符号 对指标的交换的对称性
可知，9个正交条件实际上只有6个独立（3个对角 ，3个非对角），所以独立的方向余弦数目为
9－6＝3
23
2）Aˆ的行列式为1.即 det Aˆ 1ˆ 证：对正交条件两端取行列式，并注意到 det AˆT det Aˆ，得 det Aˆ 1ˆ 因为不转动（恒等变换）为连续转动的一种 特例，它所对应的变换矩阵为单位阵，所以 只能取正号。
8
4）定点转动
定点转动的独立变量有三个，其中两个 确定转动轴的方向，一个确定其它点绕轴转 动的角度。
9
Euler定理
定点运动刚体的任何位移都可以通过 绕过该定点某轴的一次转动来实现。
10
5）一般运动(Chasles定理)
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1
第三章 刚体力学
刚体也是一个理想模型，它可以看作是一种特殊 的质点组，这个质点组中任何两个质点之间的距离不 变，这使得问题大为简化，使我们能更详细地研究它 的运动性质，得到的结果对实际问题很有用。
我们先研究刚体运动的描述，在建立动力学方程 后，着重研究平面平行运动和定点运动。
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我们分别用Ox1x2x3(或Oxyz)和Ox1x2 x3(或Oxyz) 来标志空间坐标系和本体坐标系，它们的单位矢量
分别为e和e（ ＝1, 2,3或x, y, z）。
本体系相对于空间系的取向可以用其单位矢量e1， e2，e3在空间系中的9个方向余弦来描写：
cos(e , e ) e e a （＝1, 2,3）
或a a (行行正交)a a (列列正交)
这些关系通常叫做正交条件。满足正交条件 的矩阵叫正交矩阵，相应的变换称为正交变换。
22
根据Kronec ker 符号 对指标的交换的对称性
可知，9个正交条件实际上只有6个独立（3个对角 ，3个非对角），所以独立的方向余弦数目为
9－6＝3
23
2）Aˆ的行列式为1.即 det Aˆ 1ˆ 证：对正交条件两端取行列式，并注意到 det AˆT det Aˆ，得 det Aˆ 1ˆ 因为不转动（恒等变换）为连续转动的一种 特例，它所对应的变换矩阵为单位阵，所以 只能取正号。
8
4）定点转动
定点转动的独立变量有三个，其中两个 确定转动轴的方向，一个确定其它点绕轴转 动的角度。
9
Euler定理
定点运动刚体的任何位移都可以通过 绕过该定点某轴的一次转动来实现。
10
5）一般运动(Chasles定理)
理论力学第三章刚体力学
d dt
线量和角量的对应
dr
dr v dt
d
d dt
dv a dt
d dt
6.欧勒角
1).欧勒角 章动 角 自转 角 Z轴位置由 θ，φ角决 定 进动 角
节线ON
0 0 2 0 2
2).欧勒运动学方程
在直角坐标系
x i y j z k
理 论 力 学
第三章 刚体运动
概述
1.刚体是一个理想模型，它可以看作是一种特
殊的质点组，这个质点组中任何两个质点之间
的距离不变.这使得问题大为简化，使我们能 更详细地研究它的运动性质，得到的结果对实 际问题很有用。 2.一般刚体的自由度为6.如果刚体运动受到约束, 自由度相应减少.
3.刚体的两种基本运动
刚体上任一点p的坐标分别为
v r ra a ra 而在系 a xy z r r ( r b a a b ra ) rb ra (rb ra )
得
r ra ra
2
drci (rci mi Jc ) dt i 1 n (e) (rci Fi ) Mc
n
i 1
简表为:
d Mc Jc dt
(6个方程正好确定刚体的6个独立变量)
刚体的动量矩 (角动量) n n ) 简表为: J J c J ci (ri mi vi ) rc mvc (rci mi vci
三.刚体的平衡
刚体平衡条件
(e) Fi 0
n i
n (e) Fi ) 0 (rci Mc i 1
线量和角量的对应
dr
dr v dt
d
d dt
dv a dt
d dt
6.欧勒角
1).欧勒角 章动 角 自转 角 Z轴位置由 θ，φ角决 定 进动 角
节线ON
0 0 2 0 2
2).欧勒运动学方程
在直角坐标系
x i y j z k
理 论 力 学
第三章 刚体运动
概述
1.刚体是一个理想模型，它可以看作是一种特
殊的质点组，这个质点组中任何两个质点之间
的距离不变.这使得问题大为简化，使我们能 更详细地研究它的运动性质，得到的结果对实 际问题很有用。 2.一般刚体的自由度为6.如果刚体运动受到约束, 自由度相应减少.
3.刚体的两种基本运动
刚体上任一点p的坐标分别为
v r ra a ra 而在系 a xy z r r ( r b a a b ra ) rb ra (rb ra )
得
r ra ra
2
drci (rci mi Jc ) dt i 1 n (e) (rci Fi ) Mc
n
i 1
简表为:
d Mc Jc dt
(6个方程正好确定刚体的6个独立变量)
刚体的动量矩 (角动量) n n ) 简表为: J J c J ci (ri mi vi ) rc mvc (rci mi vci
三.刚体的平衡
刚体平衡条件
(e) Fi 0
n i
n (e) Fi ) 0 (rci Mc i 1
第三章-刚体力学基础
薄板对Z轴的转动惯量 J Z ＝
对X轴的转动惯量 J X
对Y轴的转动惯量 JY
Z
垂直轴定理
JZ JX JY
O
yi
Y
xi
ri
X
JZ miri2 mi xi2 mi yi2 Jx J y
五 刚体定轴转动的转动定律的应用
例１、一个质量为Ｍ、半径为Ｒ的定
滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳， 绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂
分析： 由 每分钟150转 可知
0
t
2 150
60
5
rad
/ s
而已知 r=0.2m t=30s ω=0
可由公式求相应的物理量
解: (1) 0 0 5 (rad / s2 )
t
30
6
负号表示角加速度方向与角速度方向相反
（飞轮做匀减速转动）
2 02 2
(5 )2 2 ( )
末位置：
Ek
1 2
J 2
l
由刚体定轴转动的动能定理
1 mgl sin 1 J 2 0
2
2
mgl sin 3g sin
J
l
M
1 mgl cos
2
3g cos
J
1 ml2
2l
3
dm dl
gdm
（用机械能守恒定律解） 假设棒在水平位置时的重力势能为零势能
0 1 J2 (mg l sin ) O
动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的
角加速度和角速度。（分别用动能定理和机械能守
恒定律求解）
解： （用动能定理解）
重力对轴的力矩为
M 1 mgl cos（M
O
大学物理第三章刚体力学
薄板的正交轴定理：
Jz Jx J y
o x
y
X,Y 轴在薄板面上，Z轴与薄板垂直。
例3、质量m，长为l 的四根均匀细棒， O 组成一正方形框架，绕过其一顶点O 并与框架垂直的轴转动，求转动惯量。 解：由平行轴定理，先求出一根棒 对框架质心C的转动惯量：
C
m, l
1 l 2 1 2 2 J ml m( ) ml 12 2 3
M F2 d F2 r sin
若F位于转动平面内，则上式简化为
M Fd Fr sin
力矩是矢量，在定轴转动中， 力矩的方向沿着转轴，其指向 可按右手螺旋法则确定：右手 四指由矢径r的方向经小于的 角度转向力F方向时，大拇指的 指向就是力矩的方向。根据矢 量的矢积定义，力矩可表示为：
例9 行星运动的开普勒第二运动定律：行星对太阳 的位矢在相等的时间内扫过相等的面积。 解：行星在太阳引力（有心 力）作用下沿椭圆轨道运动， 因而行星在运行过程中，它 对太阳的角动量守恒不变。
L rmvsin 常量
因而掠面速度：
dS dt
r dr sin 2dt
1 rv sin 常量 2
Fi fi Δmi ai
切向的分量式为
Fi sin i f i sin i mi ri
Fi sin i f i sin i mi ri
两边同乘ri，得
Fi ri sin i fi ri sin i mi ri2
上式左边第一项为外力Fi对转轴的力矩，而第二项是 内力fi 对转轴的力矩。对刚体的所有质点都可写出类 似上式的方程，求和得
质点的角动量一质量为m的质点以速度v运动相对于坐标原点o的位置矢量为r定义质点对坐标原点o的角动量为sinrmv282质点的角动量定理质点所受的合外力对某一参考点的力矩等于质点对该点的角动量对时间的变化率角动量定理
刚体力学基础第三章
二、转动惯量J
对分立的质点系： J miri2
i
对刚体： 质量是连续分布
J r2dm
r 2dl 线分布，为线密度
J r 2ds 面分布，为面密度 r 2 dV 体分布，为体密度
z
dm
r
讨论
J r2dm
（1）转动惯量的物理意义：J表示刚体转动时惯性的大小
（2）转动惯量J的大小决定于
r 3dr
1 2
mR2
m
R 2
J
常 见 刚 体 的 转 动 惯 量
§3 刚体定轴转动定律
一、 力矩
使物体转动，必须给定一 个作用力，另外考虑转动与力 的作用点以及作用力的方向有 关，因此在研究物体转动中引
入力矩这一物理量。 （1）若刚体所受力 F在转动平面内
z
Od r
F
F
P
力臂：rsin = d 表示转轴到力作用线的垂直距离。
m
2(2
m
1
+
m
2
m 1+m 2
+
m
2
)g
T1
a m1 m1g T2 a m2 m2g
§4 力矩的功 动能定理
一、力矩的功
刚体在合外力矩作用下绕定轴转动而发生角位移时
d，A则力F矩 d对r刚体F作d了r功co。s F cos(900 )ds
F sin rd
Md
z
O d
dr
F
r P
元功：力矩对质点(或刚体)所作的 元功等于力矩和角位移的乘积
盘）。如A下降，B与水平桌面间的滑动摩擦系数为μ，
绳与滑轮之间无相对滑动，试求系统的加速度及绳中的
张力FT1和FT2。 受力分析 FT1
第三章 刚体力学分析
连续分布
J r 2 dm
J S r 2 dS
J V r 2 dV
2
J l r dl
【例】如图所示，在不计质量的细杆组成的正三角形的顶 角上，各固定一个质量为m的小球，三角形边长为l。求： ⑴系统对过C点，且与三角形平面垂直轴的转动惯量； ⑵系统对过A点，且与三角形平面垂直轴的转动惯量； ⑶若A处质点也固定在B处，⑵的结果如何？ m
h
代入数据，得
F 5.91×1010 N
2018/11/1
【例】 有一圆盘质量为m，均匀分布，圆盘半径为R 可绕过盘中心的光滑竖直轴在水平桌面上转动，圆 盘与桌面间的滑动摩擦系数为μ，求圆盘转动后受的 摩擦力矩。 解：摩擦力距在圆盘的不同 R部位是不相同的，在圆盘 上取一半径r—r+dr的圆环 圆环质量： r dr
T' T
o
r
T T
m
m g T m a Tr J
a r
2 gt 2 J mr ( 1) 2S
1 2 S at 2
mg
【思考】组合轮可以绕通过其中心且垂直于盘面的光滑水 平固定轴o转动，对o轴的转动惯量J=9mr2/2 。两圆盘边缘 上分别绕有轻质细绳，细绳下端各悬挂质量为m的物体A和 B，这一系统从静止开始运动,绳与盘无相对滑动且长度不 变。已知小圆盘的半径为r，质量为m；大圆盘的半径 r’=2r，质量m’ = 2m 。 求：组合轮的角加速度的大小。
与质点匀变速直线运动公式相对应.
0 t
(6) 角量与线量的关系
线量——质点做圆周运动的v、a 角量——描述刚体转动整体运动的 ，， 弧长 线速度 切向加速度
s r
y
第03章(刚体力学)习题答案
内力做功，机械能守恒，动量守恒的条件为合外力为零，转轴不属于系统，转轴与盘之间有
作用力，动量不守恒。
3-2 如图所示，一匀质细杆可绕通过上端与杆垂直的水平光滑
O
固定轴 O 旋转，初始状态为静止悬挂．现有一个小球自左方水平打
击细杆．设小球与细杆之间为非弹性碰撞，则在碰撞过程中对细杆
与小球这一系统的哪种物理量守恒？ 答：在碰撞时，小球重力过转轴，杆的重力也过轴，外力矩为
思考题 32 图
零，所以角动量守恒。因碰撞时转轴与杆之间有作用力，所以动量不守恒。碰撞是非弹性的，
所以机械能也不守恒。
3-3 一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的光滑固定轴 O 以角速度w按图示方向转动.若如图
所示的情况那样，将两个大小相等方向相反但不在同一条直线的力
F 沿盘面同时作用到圆盘上，则圆盘的角速度w 如何变化？
解：此过程角动量守恒
Jw0
=
1 3
Jw
Þ
w
=
3w0
3-10 一轴承光滑的定滑轮，质量为 M＝2.00 kg，半径为 R＝0.100 m，
一根不能伸长的轻绳，一端固定在定滑轮上，另一端系有一质量为 m＝5.00
kg 的物体，如图所示．已知定滑轮的转动惯量为 J＝ 1 MR 2 ，其初角速 2
w 0
R M
解：（1）设在任意时刻定滑轮的角速度为w，物体的速度大小为 v，则有 v=Rw.
则物体与定滑轮的总角动量为： L = Jw + mvR = Jw + mR2w
根据角动量定理，刚体系统所受的合外力矩等于系统角动量对时间的变化率：
M = dL ,该系统所受的合外力矩即物体的重力矩:M=mgR dt
所以： b
理论力学周衍柏第三章
一、基础知识 1. 力系：作用于刚体上里的集合. 平衡系：使静止刚体不产生任何运动的力系. 等效系：二力系对刚体产生的运动效果相同. 二、公理： 1）二力平衡原理：自由刚体在等大、反向、共线二力作 用下必呈平衡。 2）加减平衡力学原理：任意力系加减平衡体系,不改变原 力系的运动效应。 3）力的可传性原理：力沿作用线滑移，幵不改变其作用 效果，F与F’等效。 注：1）以上公理适用于刚体, 2) 力的作用线不可随便平移
(e) dT Fi dri
(e) 若 Fi dri dV 则 T V E
为辅助方程，可代替上述6个方程中任何一个
§3.5 转动惯量
一、刚体的动量矩 1. 某时刻刚体绕瞬轴OO’转动,则pi点的速度为
vi rii
动量矩为 2. 坐标表示
R Fi Fi 0 M M i ri Fi 0
2. 几种特例 1）汇交力系（力的作用线汇交于一点）：取汇交点为 简化中心，则
Fix 0 R Fi 0 Fiy 0 Fiz 0
三、力偶力偶矩 1. 力偶：等大、反向、不共线的两个力组成的利系。
力 偶 所在平面角力偶面. 2. 力偶矩: 对任意一点O M rA F rB F (rA rB ) F r F M Fd
方向 : 右手法则 上式表明:
J z x mi zi xi y mi zi yi z mi ( xi2 yi2 )
I yy mi ( zi2 源自xi2 ) I zy mi zi yi I yz mi yi zi I xz mi xi zi
I zz mi ( xi2 yi2 )
(e) dT Fi dri
(e) 若 Fi dri dV 则 T V E
为辅助方程，可代替上述6个方程中任何一个
§3.5 转动惯量
一、刚体的动量矩 1. 某时刻刚体绕瞬轴OO’转动,则pi点的速度为
vi rii
动量矩为 2. 坐标表示
R Fi Fi 0 M M i ri Fi 0
2. 几种特例 1）汇交力系（力的作用线汇交于一点）：取汇交点为 简化中心，则
Fix 0 R Fi 0 Fiy 0 Fiz 0
三、力偶力偶矩 1. 力偶：等大、反向、不共线的两个力组成的利系。
力 偶 所在平面角力偶面. 2. 力偶矩: 对任意一点O M rA F rB F (rA rB ) F r F M Fd
方向 : 右手法则 上式表明:
J z x mi zi xi y mi zi yi z mi ( xi2 yi2 )
I yy mi ( zi2 源自xi2 ) I zy mi zi yi I yz mi yi zi I xz mi xi zi
I zz mi ( xi2 yi2 )
第三章 刚体力学
于原力，该力偶矩等于原力对o点之矩。 说明：该力和力偶矩对刚体的作用与原力等效。
(5) 空间力系向一点简化 力系中每一个力都向简化中心简化得一力和力偶矩， 这些共点力和诸力偶矩可合成为一个单力和一个单 力偶矩，其作用与原力系等效。
结论：作用在刚体上的任意空间力系 F1 , F2 ......Fn ) （
l sin 0 cos 0 f N2 h l sin 0 cos2 0
2
B C
l
说明：也可用二矩式和三矩式 平衡条件求解
l
A
例2：相同的两个均质光滑球悬在结于定点O的两根 绳子上，求两球同时又支撑一个等重的均质球，求: 角与 角之间的关系。 解：(1) 本题需求角与 角的关系，
①力偶矩等于力偶中两力对任意一点力矩的矢量 和，故力偶矩的量值与取矩点无关。
证明：o点任取
M o rA F1 rB F2 (rA rB ) F1 rAB F 1 M o
结论：力偶矩是自由矢量 力的作用面不能随意移动。
2
mxc Fx 即： myc Fy mzc Fz
①
由对质心的动量矩定理(平动质心系中)： dJ cx dt M cx dJ c M c 即： dJ cy dt M cy dt dJ cz dt M cz
B C
l
l
A
(3) 本题为平面力系的平衡问题
平衡条件：Fx 0, Fy 0, M z 0
Fx 0 f N1 cos 90 0 0 f N1 sin 0 Fy 0 N 2 N1 sin 90 0 P 0 N 2 P N1 cos 0 M 0 Pl cos N h N Pl sin cos / h 0 1 1 0 0 Az sin 0
(5) 空间力系向一点简化 力系中每一个力都向简化中心简化得一力和力偶矩， 这些共点力和诸力偶矩可合成为一个单力和一个单 力偶矩，其作用与原力系等效。
结论：作用在刚体上的任意空间力系 F1 , F2 ......Fn ) （
l sin 0 cos 0 f N2 h l sin 0 cos2 0
2
B C
l
说明：也可用二矩式和三矩式 平衡条件求解
l
A
例2：相同的两个均质光滑球悬在结于定点O的两根 绳子上，求两球同时又支撑一个等重的均质球，求: 角与 角之间的关系。 解：(1) 本题需求角与 角的关系，
①力偶矩等于力偶中两力对任意一点力矩的矢量 和，故力偶矩的量值与取矩点无关。
证明：o点任取
M o rA F1 rB F2 (rA rB ) F1 rAB F 1 M o
结论：力偶矩是自由矢量 力的作用面不能随意移动。
2
mxc Fx 即： myc Fy mzc Fz
①
由对质心的动量矩定理(平动质心系中)： dJ cx dt M cx dJ c M c 即： dJ cy dt M cy dt dJ cz dt M cz
B C
l
l
A
(3) 本题为平面力系的平衡问题
平衡条件：Fx 0, Fy 0, M z 0
Fx 0 f N1 cos 90 0 0 f N1 sin 0 Fy 0 N 2 N1 sin 90 0 P 0 N 2 P N1 cos 0 M 0 Pl cos N h N Pl sin cos / h 0 1 1 0 0 Az sin 0
刚体力学
长春大学应用物理系 2
每一质点既然要三个独立变量来确定 它的位置，而确定刚体的位置需要确定 刚体内不共线的三点，因此，确定刚体 的位置需要九个变量。但因三点间三个 距离是常数，所以实际上只要用六个独 立变量就可以确定刚体的位置。 刚体中的任一点O，需三个独立坐标变量。 A
过O点的任一直线位置的确定，需要三 个变量——方位角：α，β，γ。而
2016/8/31 长春大学应用物理系
z
y y
N
x
16
地球的章动带来一个非常有趣的现象：每平均19年后，阳历 与阴历所对应的日子会重合一次。比如，2001年的国庆节(阳 历10月1日)与中秋节(阴历8月15日)是同一天。2020年，两个 节日又重合。 地轴除了章动外，还有另外一种运动， 使得地轴不是在一个平面内运动，而是
如开、关门窗。
5
3、平面平行运动：在刚体运动的过程中，刚体上的任一点始终 在平行于某一固定平面的平面内运动。 运动可分解为某一平面内任意一点的
平动及绕通过此点且垂直于固定平面 的固定轴的转动,所以刚体作平面平行
运动时只有三个独立变量.
用基点的坐标(xo,yo)及其对垂直平面过基点的轴的转角φ描述。 注意：平面平行运动与平动的区别。
x
自转 角
2016/8/31
进动 角
长春大学应用物理系
节线ON
13
章动 角
静系
[ksai]; [eit ]; [zi : t].
动系
自转 角 Z轴位置由θ， φ角决定
o xyz
ON O z ON O
节线：ON
节线ON 进动 角 ˆ 进动角: oN , 绕 轴转，
每一质点既然要三个独立变量来确定 它的位置，而确定刚体的位置需要确定 刚体内不共线的三点，因此，确定刚体 的位置需要九个变量。但因三点间三个 距离是常数，所以实际上只要用六个独 立变量就可以确定刚体的位置。 刚体中的任一点O，需三个独立坐标变量。 A
过O点的任一直线位置的确定，需要三 个变量——方位角：α，β，γ。而
2016/8/31 长春大学应用物理系
z
y y
N
x
16
地球的章动带来一个非常有趣的现象：每平均19年后，阳历 与阴历所对应的日子会重合一次。比如，2001年的国庆节(阳 历10月1日)与中秋节(阴历8月15日)是同一天。2020年，两个 节日又重合。 地轴除了章动外，还有另外一种运动， 使得地轴不是在一个平面内运动，而是
如开、关门窗。
5
3、平面平行运动：在刚体运动的过程中，刚体上的任一点始终 在平行于某一固定平面的平面内运动。 运动可分解为某一平面内任意一点的
平动及绕通过此点且垂直于固定平面 的固定轴的转动,所以刚体作平面平行
运动时只有三个独立变量.
用基点的坐标(xo,yo)及其对垂直平面过基点的轴的转角φ描述。 注意：平面平行运动与平动的区别。
x
自转 角
2016/8/31
进动 角
长春大学应用物理系
节线ON
13
章动 角
静系
[ksai]; [eit ]; [zi : t].
动系
自转 角 Z轴位置由θ， φ角决定
o xyz
ON O z ON O
节线：ON
节线ON 进动 角 ˆ 进动角: oN , 绕 轴转，
第三章 刚体力学1
（3）质心系是非惯性系时，不必计入惯性系力矩 ( 为 ）质心系是非惯性系时， 零 )。 。 v v v v (e ) v v 原 rc = 0 M = rc × F + M ′ → = M ′ 因
1
v v v rvc = 0 v v J = rc × m v c + J ′ → = J ′
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角速度 与其本身的叉积。 与其本身的叉积。 ωv
v
dA v v = ω× A dt
例: 单位矢量的微商公式 v v
di v v =ω×i dt
v dj v v dk v v 后面要用！ = ω × k 后面要用！ = ω× j dt dt
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第三章 刚体力学
§3.3 欧勒角
： 静系 o −ξηζ
v v ∆n v v v v v v r → r ′ = r + ∆r = r + ∆n × r
(1)
v v ∆ n′ v v v v r → r ′ = r + ∆n′ × r
v v ∆n v v v v v v v v v r′ → r ′′ = r + ∆n′ × r + ∆n × r + ∆n × (∆n′ × r ) (2) v v 比较(1)、 ， 很小时， 比较 、(2)，只有 ∆ n 与 ∆ n ′ 很小时，二阶小量忽
v v v M = r ×F
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v v v F2 = −F = F 1
PO2 F2 − PO1F1 = O1O2F P v M : 可作用于力偶面上的任一
点，亦称为自由矢量。 亦称为自由矢量。 自由矢量 （3）空间力系求和 ） 为作用在刚体A点上的一 设: A 为作用在刚体 点上的一 个力， 为空间任一点 为空间任一点。 个力，P为空间任一点。
1
v v v rvc = 0 v v J = rc × m v c + J ′ → = J ′
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角速度 与其本身的叉积。 与其本身的叉积。 ωv
v
dA v v = ω× A dt
例: 单位矢量的微商公式 v v
di v v =ω×i dt
v dj v v dk v v 后面要用！ = ω × k 后面要用！ = ω× j dt dt
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第三章 刚体力学
§3.3 欧勒角
： 静系 o −ξηζ
v v ∆n v v v v v v r → r ′ = r + ∆r = r + ∆n × r
(1)
v v ∆ n′ v v v v r → r ′ = r + ∆n′ × r
v v ∆n v v v v v v v v v r′ → r ′′ = r + ∆n′ × r + ∆n × r + ∆n × (∆n′ × r ) (2) v v 比较(1)、 ， 很小时， 比较 、(2)，只有 ∆ n 与 ∆ n ′ 很小时，二阶小量忽
v v v M = r ×F
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v v v F2 = −F = F 1
PO2 F2 − PO1F1 = O1O2F P v M : 可作用于力偶面上的任一
点，亦称为自由矢量。 亦称为自由矢量。 自由矢量 （3）空间力系求和 ） 为作用在刚体A点上的一 设: A 为作用在刚体 点上的一 个力， 为空间任一点 为空间任一点。 个力，P为空间任一点。
第三章 刚体力学
第三章刚体力学本章介绍刚体运动状态的描述（§3.1-§3.2）以及刚体受力与运动状态的关系（§3.3-§3.10）。
其内容包括：刚体运动学、刚体静力学和刚体动力学，重点掌握刚体运动学和刚体动力学。
刚体是指在任何情况下形状、大小都不发生变化的力学体系，它是一种理想物理模型，只要一个物体中任意两点的距离不因受力而改变，它就可以称为刚体。
§3.1 刚体运动的分析一、描述刚体位置的独立变量刚体的特性是任意两点距离不因受力而变。
这种特性决定了确定刚体的位置并不需要许多变量，而只要少数变量就行。
能完全确定刚体位置的，彼此独立的变量个数叫刚体的自由度。
二、刚体运动的分类及其自由度1、平动：自由度3，可用其中任一点的坐标x、y、z描述；2、定轴转动：自由度1，用对轴的转角φ描述；3、平面平行运动：自由度3，用基点的坐标(x o,y o)及其对垂直平面过基点的轴的转角φ描述。
4、定点转动：自由度3，用描述轴的方向的θ，ψ角和轴线的转角ψ描述。
5、一般运动：自由度6，用描述质心位置的坐标(x c,y c,z c)和通过的定点的轴的三个角（θ,φ,ψ）描述。
§3.2 角速度矢量、角速度矢量及其与刚体中任本节重点是：掌握角位移矢量一点的线位移、线速度的相互关系。
理解有限转动时角位移不是矢量，只有无限小角位移才是矢量。
一、有限转动与无限小转动1、有限转动不是矢量，不满足对易律2、无限小转动是矢量，它满足矢量对易律。
①线位移△r与无限小角位移△n的关系设转轴OM，有矢量△n，其大小等于很小的转角Δθ，方向沿转轴方向，转轴的方向与刚体转动方向成右手螺旋,则△n称为角位移矢量。
由图3.2.1很容易求得即线位移△r=角位移△n与位矢r的矢量积。
②角位移和△n满足矢量对易律利用两次位移的可交换性，可证得该式表明：微小转动的合成遵循平行四边形加法的对易律，从而无限小角位移△n是一个矢量。
第三章 刚体力学
y’
y,η x
ψ
N
x,ξ
实际上，据刚才的分析， O 轴 可认为 是刚体绕 转动的角速度 ，绕ON轴 转动的角速度 ，和绕 z轴转动的角速度 的矢量
z θ
z
ψ
y
M ’
y’
sin sini sin cosj cosk
F2
d o1o2
P
O1 A
rAB
B
F1 F2 F
O2
为力偶面
F1
力偶臂：两平行力之间的垂直距离 如图所示的O1O2 力偶对任意一点P的力矩等于两平 行力对同一点P的力矩之代数和
M F2 .PO2 F1.PO1 F.O1O2
M
力偶矩：力和力偶臂的乘积，方向右手螺旋法则
二 角速度矢量 角速度：
lim
t 0
既然角位移 且与角位移的方向相同 转动瞬轴： 定点转动时某时刻的转轴
n是矢量，则角速度也是矢量，
线速度：因转动而具有的速度 线速度和角速度之间的关系：
r 为刚体内某质点到点O的位矢， 是刚体绕通过
该点某轴线的角速度
dr dn r v r dt dt
y,η
k
ψ N
cosi sinj
y
x,ξ
x’
x
cos sin sin x
sin sin cos y
x
cos z
已知 (t ) ,θ(t),ψ(t)可以求得ω，反之亦然。
二、刚体的运动微分方程 1.质心运动方程 根据质心运动定理，取质心为简化中心， d r 为刚体质心相对于 m F F 则 dt 某定点O的位矢 分量式： m C Fx x
大学物理-第三章 刚体力学
向力的作用点P的矢量。 M rF
大小：M rF sin Fd
M
O
z
M
r
d
P*
F
方向：右手螺旋，图中向上
0 , M o，沿转轴向上，使刚体绕转轴逆时针转
2 , M o，沿转轴向下，使刚体绕转轴顺时针转
上一页 下一页
2.外力F不在转动平面内 MFOFr FFz r F r Fz
T
N2
mg T2 T2 2m
2mg
解 ： 设 整 体 顺 时 针 运 动， 即 两 滑 轮 转 轴 正 向 向内 。
右 质 点2m正 向 向 下 ， 左 质 点m正 向 向 上 ，
受力分析如图。
上一页 下一页
右质点 2mg T2 2ma
左质点 T1 mg ma
右 滑 轮 T2 r
Tr
第三章 刚体力学
上一页 下一页
刚体：不发生形变的物体（理想模型）
刚体模型突出了物体的大小形状，忽略形变和振动。 刚体的运动形式：平动、转动、滚动、进动
刚体复杂运动可视为：平动 转动（绕某轴线转动） 刚体力学研究方法 把刚体看成不变质点系(任意两个质元的相对距离 保持不变),运用质点系定理和定律研究刚体的运动。
m 2
r
2
左滑轮Tr
T1r
m 2
r 2
关联方程 a r
解出 T 11 mg 8
N1
T
T1
mg
T1 m
mg
T
N2
a
mg T2
T2 2m
2mg
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M,
J
大小：M rF sin Fd
M
O
z
M
r
d
P*
F
方向：右手螺旋，图中向上
0 , M o，沿转轴向上，使刚体绕转轴逆时针转
2 , M o，沿转轴向下，使刚体绕转轴顺时针转
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2.外力F不在转动平面内 MFOFr FFz r F r Fz
T
N2
mg T2 T2 2m
2mg
解 ： 设 整 体 顺 时 针 运 动， 即 两 滑 轮 转 轴 正 向 向内 。
右 质 点2m正 向 向 下 ， 左 质 点m正 向 向 上 ，
受力分析如图。
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右质点 2mg T2 2ma
左质点 T1 mg ma
右 滑 轮 T2 r
Tr
第三章 刚体力学
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刚体：不发生形变的物体（理想模型）
刚体模型突出了物体的大小形状，忽略形变和振动。 刚体的运动形式：平动、转动、滚动、进动
刚体复杂运动可视为：平动 转动（绕某轴线转动） 刚体力学研究方法 把刚体看成不变质点系(任意两个质元的相对距离 保持不变),运用质点系定理和定律研究刚体的运动。
m 2
r
2
左滑轮Tr
T1r
m 2
r 2
关联方程 a r
解出 T 11 mg 8
N1
T
T1
mg
T1 m
mg
T
N2
a
mg T2
T2 2m
2mg
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M,
J
第3章 刚体力学基础
刚体力学的基础知识包括刚体绕定轴转 动的动力学方程和动能定理，刚体绕定轴 转动的角动量定理及角动量守恒定律
-------------------------------------------------------------------------------
§3-1 刚体 刚体定轴转动的描述
dt
当输---出----功----率-----一----定----时----,-力----矩-----与----角----速----度-----成----反----比----。------------
3. 刚体定轴转动的动能定理：
W
2 1
Md
2 1
Jd
2 1
J d d
dt
W
2 1
Jd
第3章 刚体力学基础
§3.1 刚体 刚体定轴转动的描述 §3.2 刚体定轴转动的转动定律 §3.3 刚体定轴转动的动能定理 §3.4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量 守恒定律
-------------------------------------------------------------------------------
➢刚体上各质元的角量(即角位移、角速度、角加速度) 相同，而各质元的线量(即线位移、线速度、线加速度) 大小与质元到转轴的距离成正比 。
-------------------------------------------------------------------------------
§3-2 刚体定轴转动的转动定律
对滑轮 ， 由转动定律
T2R T1R J ④
由于绳不可伸长
aA aB R
⑤
J 1 mR2
第三章 刚体力学基础
J mi ri2
m1
r1
r2
m2
若质量连续分布
质量为线分布
J r dm
2
质量为面分布
质量为体分布
dm dl
为质量的线密度
dm ds
为质量的面密度
dm dV
为质量的体密度
线分布
面分布
体分布
注 意
只有几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体，才 用积分计算其转动惯量,一般刚体则用实验求其转动惯量。
0 x
d 角速度 dt 2 d d 角加速度 2 dt dt 由于这时组成刚体的各质点均在各自的转动平面内绕轴作圆周 运动，因此前面关于质点圆周运动的全套描述方法，此处全部 可用。
d
２) 刚体定轴转动角量与线量的关系 所有质点的角量都相同 ； 质点的线量与该质点的轴矢径大小成正比 。
2
物理意义：转动惯量是对刚体转动惯性大小的量度，其大小 反映了改变刚体转动状态的难易程度。
2. 与转动惯量有关的因素 ①刚体的质量及其分布; ②转轴的位置; ③刚体的形状。 3. 转动惯量的计算 刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质 点的质量与这一质点到转轴的距离平方的 乘积之和。 质量离散分布的刚体
ri
0
f ji
rj
rij
f ij
二、刚体定轴转动的转动定律
如右图所示：刚体绕定轴z转动，在 刚体上任取一质元mi ，它绕z轴作 圆周运动，取自然坐标系 对mi 用牛顿第二定律：
z
fi
Or i
Fi
i
mi
i
Fi f i mi ai
cos i f i cos i ) mi ain mi ri 2
m1
r1
r2
m2
若质量连续分布
质量为线分布
J r dm
2
质量为面分布
质量为体分布
dm dl
为质量的线密度
dm ds
为质量的面密度
dm dV
为质量的体密度
线分布
面分布
体分布
注 意
只有几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体，才 用积分计算其转动惯量,一般刚体则用实验求其转动惯量。
0 x
d 角速度 dt 2 d d 角加速度 2 dt dt 由于这时组成刚体的各质点均在各自的转动平面内绕轴作圆周 运动，因此前面关于质点圆周运动的全套描述方法，此处全部 可用。
d
２) 刚体定轴转动角量与线量的关系 所有质点的角量都相同 ； 质点的线量与该质点的轴矢径大小成正比 。
2
物理意义：转动惯量是对刚体转动惯性大小的量度，其大小 反映了改变刚体转动状态的难易程度。
2. 与转动惯量有关的因素 ①刚体的质量及其分布; ②转轴的位置; ③刚体的形状。 3. 转动惯量的计算 刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质 点的质量与这一质点到转轴的距离平方的 乘积之和。 质量离散分布的刚体
ri
0
f ji
rj
rij
f ij
二、刚体定轴转动的转动定律
如右图所示：刚体绕定轴z转动，在 刚体上任取一质元mi ，它绕z轴作 圆周运动，取自然坐标系 对mi 用牛顿第二定律：
z
fi
Or i
Fi
i
mi
i
Fi f i mi ai
cos i f i cos i ) mi ain mi ri 2
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解： T mg ma
T T
A
mg
m g T ma
m, r
m, r
o
T T
B
mg
T (2r ) Tr 9mr2 2
a r
a' (2r )
m gr 解 得: 9m r2 / 2 m r2 m(2r ) 2
【例】轻绳经过水平光滑桌面上的定滑轮C连接两物体A和 B，A、B质量分别为mA、mB，滑轮视为圆盘，其质量为 mC半径为R，AC水平并与轴垂直，绳与滑轮无相对滑动， 不计轴处摩擦，求B的加速度，AC、BC间绳的张力大小。
结论：刚体平动时，其上各点具有相同的速度、
加速度及相同的轨迹。可用一个质点的运动代 替刚体的运动。
转动：刚体运动时，各个质点在运动中都绕同一直线作 圆周运动。转动又分定轴转动和非定轴转动。
定轴转动： 转轴固定于参考系的转动。 非定轴转动： 转轴的方位随时间变化。
刚体的复杂运动一般可分解为平动和转动。
3
4
几种典型形状刚体的转动惯量 O´ ω m O 圆环
J mR
2
ω
R
l
细圆棒
R
L
R
1 J ml 2 12 ω
R2
2 圆球 J mR 2 5 ω
R
R1
圆柱 J
1 mR 2 2
1 2 2 J m ( R R 圆筒 1 2) 2
2 球壳 J mR 2 3
平行轴定理
若刚体对过质心的轴的转动惯量为Jc, 则刚体对与 该轴相距为 d 的平行轴 z 的转动惯量Jz是:
T' T
o
r
T T
m
m g T m a Tr J
a r
2 gt 2 J mr ( 1) 2S
1 2 S at 2
mg
【思考】组合轮可以绕通过其中心且垂直于盘面的光滑水 平固定轴o转动，对o轴的转动惯量J=9mr2/2 。两圆盘边缘 上分别绕有轻质细绳，细绳下端各悬挂质量为m的物体A和 B，这一系统从静止开始运动,绳与盘无相对滑动且长度不 变。已知小圆盘的半径为r，质量为m；大圆盘的半径 r’=2r，质量m’ = 2m 。 求：组合轮的角加速度的大小。
M
力 F 不在转动平面内
O
r
F//
F
F
F// 不能改变刚体绕轴的转动状态 M r F
2）力平行轴或与轴重合
F F// F
1）力的作用线通过转轴 M 0的两种情况：
【例】有一大型水坝高110 m、长1000m，水深100m， 水面与大坝表面垂直，如图所示。求水作用在大坝上的 力，以及这个力对通过大坝基点Q且与x轴平行的力矩。
R
o2015/7/312015/7/31二、刚体绕定轴的转动定理 把刚体看作一个质点系
z
Fi f i mi ai Fit fit mi ait mi ri
Fit ri f it ri mi ri
2
fi
2 Fit ri f it ri mi ri i i i
d 角速度 dt
O
(rad/s)
逆时针转动 >0， 顺时针转动 < 0.
2 πn πn rad/s 每分转n转 60 30 (4) 角加速度 d d 2 2 (rad/s2)
dt dt
与 同 号 刚 体 加 速 转 动 与 异 号 刚 体 减 速 转 动
J z J c md
1 J c mR 2 2
2
Jz
Jc
R
m
3 1 2 2 2 J z mR mR mR 2 2
垂直于杆的轴通过杆的中心
1 J ml 2 12
垂直于杆的轴通过杆的端点
1 2 J ml 3
垂直于杆的轴通过杆的1/4处
7 J ml 2 48
匀 质 直 杆 对 垂 直 于 杆 的 转 轴 的 转 动 惯 量
加速
z
r
减速
v
转动平面
(5)刚体定轴转动运动方程
d (t )dt
0 (t )dt
0 (t )dt
0
0 t
t
d (t )dt
匀速转动 =常量 0 t
匀变速转动 =常量
1 2 0 0 t t 2 2 2 0 2（ 0）
三、转动定理的应用
d M J J dt
两类问题：一类是已知力矩求转动； 二类是已知转动求力矩。 （1）选取研究对象，隔离之 （2）分析隔离体受力和力矩 （3）写出微分方程 （4）根据题意找出所选各隔离体之间的联系 （5）求解
【例】一个质量为m的物体与绕在定滑轮上的绳子相联 , 绳 子质量可以忽略, 它与定滑轮之间无滑动. 假设定滑轮的质量 为m0 ,半径为R, 其转动惯量为m0R2/2, 滑轮轴光滑. 试求该物 体由静止开始下落的过程中, 下落速度与时间的关系. 解: 由牛顿第二定律和刚体定轴转动定律: (1) 对 m: m g T m a R
h
代入数据，得
F 5.91×1010 N
2015/7/31
【例】 有一圆盘质量为m，均匀分布，圆盘半径为R 可绕过盘中心的光滑竖直轴在水平桌面上转动，圆 盘与桌面间的滑动摩擦系数为μ，求圆盘转动后受的 摩擦力矩。 解：摩擦力距在圆盘的不同 R部位是不相同的，在圆盘 上取一半径r—r+dr的圆环 圆环质量： r dr
与质点匀变速直线运动公式相对应.
0 t
(6) 角量与线量的关系
线量——质点做圆周运动的v、a 角量——描述刚体转动整体运动的 ，， 弧长 线速度 切向加速度
s r
y
et
v 2 r 法向加速度 an r
注: r：质点到转轴的垂直距离.
v r at r
T
m0
对m0: TR J
(2) (3) 恒矢量 ,与 时间无关.
a R
T
m
mg
2m g 联立(1),(2),(3)解得: a 2m m0
2m gt 由初始条件 v0 0 ,得 v at 2m m0
【例】一质量为m的物体悬于一条轻绳的一端，绳绕在一 滑轮的轴上。轴水平且垂直于轮轴面，其半径为r，整 个装置架在光滑的固定轴承上。当物体从静止释放后， 在时间t内下降了一段距离S，试求整个滑轮的转动惯量 （用m，r，t和S表示）
l l l （1）J c m m m 3 3 3 1 2 l Ml ( M 3m) 3 2 2 2 2 （2）J A ml ml Ml 3 m 2 2 2 A （3）J A ml 2ml Ml
三、刚体的定轴转动
1. 定轴转动的描述 (1) 角坐标 (rad) 规定逆时针转向 为正.
z
p x
O
= ( t)
刚体定轴转动的运动学方程 (2) 角位移 (rad)
= (t+ t)- (t)
逆时针转动，Δ > 0 顺时针转动，Δ < 0
O
p
x
(3) 角速度
连续分布
J r 2 dm
J S r 2 dS
J V r 2 dV
2
J l r dl
【例】如图所示，在不计质量的细杆组成的正三角形的顶 角上，各固定一个质量为m的小球，三角形边长为l。求： ⑴系统对过C点，且与三角形平面垂直轴的转动惯量； ⑵系统对过A点，且与三角形平面垂直轴的转动惯量； ⑶若A处质点也固定在B处，⑵的结果如何？ m
d M J J dt
结论：刚体角加速度与它受到的合外力矩成正比，与 刚体的转动惯量成反比。
说明: (1) 矢量式为
M J (2)
M J
为瞬时关系 F m a (3)与平动中 地位相同
(4) M
为合外力矩=各个外力力矩的矢量和。
三、转动惯量
J mi ri 2
合内力矩 可证明：
ri
mi
Fi
f
i
it i
r 0
2 2 Fit ri mi ri M mi ri i i i
2 M mi ri i
转动惯量 转动定理
J mi ri2
i
单位: kgm2
取参考点O 图中rij表示质点 i指向质点 j的矢量 ,
由平动定义 rij为恒矢量
dri dt dt 2 d rj d 2 ri 2 2 dt dt dr j
rj ri rij
v j vi
rj
O
rij
ri
a j ai
i
(1)意义：刚体转动惯性的量度。 (2)影响 J 的因素: 刚体质量分布 (同m, J中空>J实).
刚体的总质量 (同分布,M > m , JM > Jm).
转轴的位置
J mi ri2
i
(3)转动惯量的计算： 离散分布
J m1r12 m2r22 mn rn2
第三章
一、刚体
刚体力学
§3.1 刚体的运动 物体运动问题的影响因素（物体的性质）
（1）大小（2）形状（3）质量 (4)占有空间位置（5）变形
刚体：受力时不改变形状和体积的物体，是理想模型。
特点：(1)是一个质点系 (2)内部任意两质点间的距离保持不变.
T T
A
mg
m g T ma
m, r
m, r
o
T T
B
mg
T (2r ) Tr 9mr2 2
a r
a' (2r )
m gr 解 得: 9m r2 / 2 m r2 m(2r ) 2
【例】轻绳经过水平光滑桌面上的定滑轮C连接两物体A和 B，A、B质量分别为mA、mB，滑轮视为圆盘，其质量为 mC半径为R，AC水平并与轴垂直，绳与滑轮无相对滑动， 不计轴处摩擦，求B的加速度，AC、BC间绳的张力大小。
结论：刚体平动时，其上各点具有相同的速度、
加速度及相同的轨迹。可用一个质点的运动代 替刚体的运动。
转动：刚体运动时，各个质点在运动中都绕同一直线作 圆周运动。转动又分定轴转动和非定轴转动。
定轴转动： 转轴固定于参考系的转动。 非定轴转动： 转轴的方位随时间变化。
刚体的复杂运动一般可分解为平动和转动。
3
4
几种典型形状刚体的转动惯量 O´ ω m O 圆环
J mR
2
ω
R
l
细圆棒
R
L
R
1 J ml 2 12 ω
R2
2 圆球 J mR 2 5 ω
R
R1
圆柱 J
1 mR 2 2
1 2 2 J m ( R R 圆筒 1 2) 2
2 球壳 J mR 2 3
平行轴定理
若刚体对过质心的轴的转动惯量为Jc, 则刚体对与 该轴相距为 d 的平行轴 z 的转动惯量Jz是:
T' T
o
r
T T
m
m g T m a Tr J
a r
2 gt 2 J mr ( 1) 2S
1 2 S at 2
mg
【思考】组合轮可以绕通过其中心且垂直于盘面的光滑水 平固定轴o转动，对o轴的转动惯量J=9mr2/2 。两圆盘边缘 上分别绕有轻质细绳，细绳下端各悬挂质量为m的物体A和 B，这一系统从静止开始运动,绳与盘无相对滑动且长度不 变。已知小圆盘的半径为r，质量为m；大圆盘的半径 r’=2r，质量m’ = 2m 。 求：组合轮的角加速度的大小。
M
力 F 不在转动平面内
O
r
F//
F
F
F// 不能改变刚体绕轴的转动状态 M r F
2）力平行轴或与轴重合
F F// F
1）力的作用线通过转轴 M 0的两种情况：
【例】有一大型水坝高110 m、长1000m，水深100m， 水面与大坝表面垂直，如图所示。求水作用在大坝上的 力，以及这个力对通过大坝基点Q且与x轴平行的力矩。
R
o2015/7/312015/7/31二、刚体绕定轴的转动定理 把刚体看作一个质点系
z
Fi f i mi ai Fit fit mi ait mi ri
Fit ri f it ri mi ri
2
fi
2 Fit ri f it ri mi ri i i i
d 角速度 dt
O
(rad/s)
逆时针转动 >0， 顺时针转动 < 0.
2 πn πn rad/s 每分转n转 60 30 (4) 角加速度 d d 2 2 (rad/s2)
dt dt
与 同 号 刚 体 加 速 转 动 与 异 号 刚 体 减 速 转 动
J z J c md
1 J c mR 2 2
2
Jz
Jc
R
m
3 1 2 2 2 J z mR mR mR 2 2
垂直于杆的轴通过杆的中心
1 J ml 2 12
垂直于杆的轴通过杆的端点
1 2 J ml 3
垂直于杆的轴通过杆的1/4处
7 J ml 2 48
匀 质 直 杆 对 垂 直 于 杆 的 转 轴 的 转 动 惯 量
加速
z
r
减速
v
转动平面
(5)刚体定轴转动运动方程
d (t )dt
0 (t )dt
0 (t )dt
0
0 t
t
d (t )dt
匀速转动 =常量 0 t
匀变速转动 =常量
1 2 0 0 t t 2 2 2 0 2（ 0）
三、转动定理的应用
d M J J dt
两类问题：一类是已知力矩求转动； 二类是已知转动求力矩。 （1）选取研究对象，隔离之 （2）分析隔离体受力和力矩 （3）写出微分方程 （4）根据题意找出所选各隔离体之间的联系 （5）求解
【例】一个质量为m的物体与绕在定滑轮上的绳子相联 , 绳 子质量可以忽略, 它与定滑轮之间无滑动. 假设定滑轮的质量 为m0 ,半径为R, 其转动惯量为m0R2/2, 滑轮轴光滑. 试求该物 体由静止开始下落的过程中, 下落速度与时间的关系. 解: 由牛顿第二定律和刚体定轴转动定律: (1) 对 m: m g T m a R
h
代入数据，得
F 5.91×1010 N
2015/7/31
【例】 有一圆盘质量为m，均匀分布，圆盘半径为R 可绕过盘中心的光滑竖直轴在水平桌面上转动，圆 盘与桌面间的滑动摩擦系数为μ，求圆盘转动后受的 摩擦力矩。 解：摩擦力距在圆盘的不同 R部位是不相同的，在圆盘 上取一半径r—r+dr的圆环 圆环质量： r dr
与质点匀变速直线运动公式相对应.
0 t
(6) 角量与线量的关系
线量——质点做圆周运动的v、a 角量——描述刚体转动整体运动的 ，， 弧长 线速度 切向加速度
s r
y
et
v 2 r 法向加速度 an r
注: r：质点到转轴的垂直距离.
v r at r
T
m0
对m0: TR J
(2) (3) 恒矢量 ,与 时间无关.
a R
T
m
mg
2m g 联立(1),(2),(3)解得: a 2m m0
2m gt 由初始条件 v0 0 ,得 v at 2m m0
【例】一质量为m的物体悬于一条轻绳的一端，绳绕在一 滑轮的轴上。轴水平且垂直于轮轴面，其半径为r，整 个装置架在光滑的固定轴承上。当物体从静止释放后， 在时间t内下降了一段距离S，试求整个滑轮的转动惯量 （用m，r，t和S表示）
l l l （1）J c m m m 3 3 3 1 2 l Ml ( M 3m) 3 2 2 2 2 （2）J A ml ml Ml 3 m 2 2 2 A （3）J A ml 2ml Ml
三、刚体的定轴转动
1. 定轴转动的描述 (1) 角坐标 (rad) 规定逆时针转向 为正.
z
p x
O
= ( t)
刚体定轴转动的运动学方程 (2) 角位移 (rad)
= (t+ t)- (t)
逆时针转动，Δ > 0 顺时针转动，Δ < 0
O
p
x
(3) 角速度
连续分布
J r 2 dm
J S r 2 dS
J V r 2 dV
2
J l r dl
【例】如图所示，在不计质量的细杆组成的正三角形的顶 角上，各固定一个质量为m的小球，三角形边长为l。求： ⑴系统对过C点，且与三角形平面垂直轴的转动惯量； ⑵系统对过A点，且与三角形平面垂直轴的转动惯量； ⑶若A处质点也固定在B处，⑵的结果如何？ m
d M J J dt
结论：刚体角加速度与它受到的合外力矩成正比，与 刚体的转动惯量成反比。
说明: (1) 矢量式为
M J (2)
M J
为瞬时关系 F m a (3)与平动中 地位相同
(4) M
为合外力矩=各个外力力矩的矢量和。
三、转动惯量
J mi ri 2
合内力矩 可证明：
ri
mi
Fi
f
i
it i
r 0
2 2 Fit ri mi ri M mi ri i i i
2 M mi ri i
转动惯量 转动定理
J mi ri2
i
单位: kgm2
取参考点O 图中rij表示质点 i指向质点 j的矢量 ,
由平动定义 rij为恒矢量
dri dt dt 2 d rj d 2 ri 2 2 dt dt dr j
rj ri rij
v j vi
rj
O
rij
ri
a j ai
i
(1)意义：刚体转动惯性的量度。 (2)影响 J 的因素: 刚体质量分布 (同m, J中空>J实).
刚体的总质量 (同分布,M > m , JM > Jm).
转轴的位置
J mi ri2
i
(3)转动惯量的计算： 离散分布
J m1r12 m2r22 mn rn2
第三章
一、刚体
刚体力学
§3.1 刚体的运动 物体运动问题的影响因素（物体的性质）
（1）大小（2）形状（3）质量 (4)占有空间位置（5）变形
刚体：受力时不改变形状和体积的物体，是理想模型。
特点：(1)是一个质点系 (2)内部任意两质点间的距离保持不变.