UyHiP 趣题：几个特殊的强正则图
只有三个不同特征值的图
只有三个不同特征值的图
设图G是一个简单连通无向图、其邻接矩阵A的特征值称为G的特征值.图G的谱是指由G的所有特征值和它们对应的重数组成的集合.本文主要围绕图谱理论中的两个问题展开研究工作.第一个问题是除去完全二部图和强正则图,寻找只有三个不同的特征值的连通图.第二个问题是研究刻画第二大特征值不超过1的图.本文按照以下几个部分展开：本文的第一章介绍图论与图谱理论中的基本概念以及问题的研究背景.本文的第二章我们仅考虑非正则连通图.首先我们刻画了只有三个不同的特征值且其补图不连通的图,给出了只有三个不同特征值的图的阶,顶点度,特征值以及Perron-Frobenius特征向量的估计.我们证明了如果一个图和它的补图都恰好有三个不同的特征值,则此图只有两个不同的顶点度.其次我们重点研究了只有三个不同的特征值且恰有两个不同的顶点度的连通图,即所谓的强双正则图.主要的结果包括强双正则图的一些结构定理,构造出了一些新的强双正则图,刻画了已知的一类特殊的强双正则图以及给出了两类有无穷多个可行的强双正则图.最后,在已知的仅有有限个恰好有三个不同特征值和三个不同顶点度的图的基础上,我们又构造出了一个新的图.而且证明了一些具有特定的谱和顶点度的图是不存在的.本文的第三章我们证明了一个关于强双正则图的拟Neumaier定理,即证明了对于给定的正整数m,只有有限多个最小特征值不小于-m或者第二大特征值不超过m的非二部的强双正则图.本文的第四章我们确定出了只有三个不同特征值且第二大特征值不超过1的连通图,并且也确定出了只有三个不同的特征值且最小顶点度不大于6或者最大特征值不超过7的连通图.。
3第三章最短路问题
现在我们就来构造一个图G，它的顶点就是这10 种情况，G中的边是按照下述原则来连的；如果情况 甲经过一次渡河可以变成情况乙，那么就在情况甲与 乙之间连一条边.
MWSV MWS MWV WSV MS
WV
W
S
V
Ø
例如，MWSV经过一次渡河可以变成WV(人带着羊 过河，左岸留下狼和白菜)，又例如MWV经过一次渡河 可以变为W(人带着白菜过河，留下狼)，或变为V.当 然反过来，W也可以变为MWV(人带着白菜从右岸返回 左岸).
§3.2 求最短有向路的标号法
这一节介绍一种求有向图上最短有向路的方法 ，叫做标号法。
所谓标号,我们是指与图的每一个顶点对应的一个 数(或几个数)．例如设G=(V,A)的顶点集合是V={v1,v2, …,vn}，如果我们能使v1对应一个数b(1)，v2对应数 b(2)，…，vn对应数b(n)，那么，这些数b(i)就称为vi的 标号，当然，在不同的问题中，标号b(i)一般代表不同 的意义.
从上面的简单比较久可以看出，为什么说计算 次数是n的多项式的方法是有效的，而计算次数是 n的指数函数的方法是无效的.另外，也可以看出， 单靠提高计算机的速度还不够，还必须从数学上寻 求有效的计算方法.
现在再回过头来看看标号法好不好.回想一下标 号法的各轮计算，可以看出，它只包含两种运算： 加法与比较大小(比较大小也需要花费时间，所以 也要考虑).加法用于计算k(i,j)，每计算一个k(i,j)进 行一次加法，而且每一条弧最多只计算一次.因此, 如果图中有m条弧，那么至多进行m次加法.对于一 个有n个顶点的简单有向图来说，最多有n(n-1)条 弧(假设从每一个顶点vi出发，都有n-1条弧指向其 他的n-1个顶点)，因此，最多进行n(n-1)次加法， 放宽一点，也可以说，至多进行n2次加法.
计算机图形学 第三章-5(形体表示)
• 点是三维空间的一个位置 • 边可以是直线边或曲线边，边的端点可以重合。 • 环是由首尾相接的一些边组成，而且最后一条边的终 点与第一条边的起点重合；环也可以是一个孤立点。 外壳是一些点、边、环、面的集合； • 外壳是一些点、边、环、面的集合。 • 区域由一组外壳组成。 • 模型由区域组成。
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清华大学计算机科学与技术系 计算机图形学基础
• 面的形状可以是平面或曲面。平面可用平面方程 来描述，曲面可用控制多边形或型值点来描述， 也可用曲面方程（隐式、显式或参数形式）来描 述。对于参数曲面，通常在其二维参数域上定义 环，这样就可由一些二维的有向边来表示环，集 合运算中对面的分割也可在二维参数域上进行。
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3.2.2 形体表示模型
•在实体模型的表示中，基本上可以分为分 解表示、构造表示和边界表示三大类。 •1、分解表示
将形体按某种规则分解为小的更易于描述的部分，每 一小部分又可分为更小的部分，这种分解过程直至每 一小部分都能够直接描述为止。 (a)将形体空间细分为小的立方体单元。这种表示方 法的优点是简单，容易实现形体的交、并、差计算， 但是占用的存储量太大，物体的边界面没有显式的解 析表达式，不便于运算。
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3.2.3 形体的边界表示模型
• 3.2.3.1 边界表示的基本实体 • 边界模型表达形体的基本拓扑实体包括：
–1. 顶点 –2. 边。边有方向，它由起始顶点和终止顶 点来界定。边的形状（Curve）由边的几何 信息来表示，可以是直线或曲线，曲线边可 用一系列控制点或型值点来描述，也可用显 式、隐式或参数方程来描述。
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8-15证明一棵树最多只有一个完美匹配。8-16对于n=2,3,
(5)最小生成树，最优树算法的正确性证明方法 (6)最大流标号法方法的正确性证明（算法停止 时，为何就是最大流） (7)匹配的证明：定理8.8的证明方法；利用霍 尔定理证明，如例子和习题 (8)独立集与覆盖：定理8.12的证明方法，利用 有关定理证明，如作业8.22 在图论证明中，注意基本概念和结论的运用， 通过加点，加边，删点，删边，使之满足定理 条件。
பைடு நூலகம்
2.证明 (1)证明连通：任两点连通。 反证，不连通：1）若干连通分支 2）存在2个顶点，它们之间没有路 (2)证明G为树：树的等价定义证明方法， 利用树的等价定义；证明G有生成树， 可证明G连通，再用定理7.3 (3)利用Euler公式，推论6.1和6.2，及定 理6.2的证明方法，结合定理5.1;做过的 习题 (4)连通度证明，定理8.1，8.2，8.3及做 过习题证明方法
二、基本算法和计算 最小权通路, 路及权 点着色数和面着色数 最小生成树,最优树（w(T)). 最大流，最小割，最大流的值，割容量 点连通度，边连通度 0(G) ,0(G),1(G),1(G)。
三、证明及判别 1.判别 强连通， (半)Euler图,(半)Hamilton图，找出(回)路 有关结论是否成立
8-15 ：证明一棵树最多只有一个完美匹 配。 8-16：对于n=2,3,4,5，分别找出一个没有 完美匹配的n-正则简单图的例子。 8-17：证明二分图G具有完美匹配当且仅 当对任意V的子集A， |Γ（A）|≥A成立。 8.18,8.19,8.20,8.21,8.22
一、基本概念 顶点度数，(G),定理5.1,5.2 正则图，生成子图，导出子图，边导出 子图，补图 连通，连通图，连通分支(孤立点也是一 个分支） 出度，入度，竞赛图，强连通，单向连 通，弱连通 定理5.4(所有度数大于1有回路）,定理5.7 （二分图，奇回路）
正则竞赛图的有向生成三角形
１ 预 备 工 作
定 理 １ （ ｌ Ｓ ｒｉｇ ｈ ｏ ｅ 设 Ｇ是具 有 二分 类 （， Ｈａｌ ｒ ｅ ｅ ｒｍ） ｍａ ａ ｔ 【 ， 的偶 图 ， Ｇ包 含饱 和 Ｕ 的每个顶 点 的 ） 则 对 集 当且 仅 当 １ Ｓ ｌ ｌ 对 任意 的 ≠Ｓ ＿ 均 成立 ． Ｎ（ ） ≥ ｌ ｓ ， ｃＵ 在有 向图 中应 用该 定 理 ， 我们可 以立 即得到 下 面推论 ． 推 论 １ 设 Ｄ 是二 部有 向 图 ，，Ｖ为 其两 部顶 点集 ， 么 Ｄ 存 在 （ Ｖ） 完善 对集 当且 仅 当 ｌ 【， 那 ｕ， 一 Ｎ （ ） ≥ Ｓ Ｉ ｆ 对任 意 的 ≠Ｓ ＿ 均成 立． Ｓｌ ＣＵ 设 Ｄ 和 Ｆ 是两 个有 向图 ， 对 ＥＶ（ ， 互 不相 交且 同构 于 Ｆ 的一 族 有 向图 ． Ｆ］ 为 Ｄ， 的合 Ｄ） Ｆ 是 ＤＥ 称 Ｆ
（ ， Ｄ） 我们 用 ＤＥ ］ 示 Ｄ 中 由顶点 集 ｓ诱导 生成 的子 图． Ｓ表 如果 Ｄ Ｄ 的子 图 ， 是 我们 用 Ｎ （ Ｄ ） Ｎ一（ ； ， ；
Ｄ ） 的外邻 集 和 内邻 集． 中
设 Ｄ 是 阶为 ２ｚ ， ＋１的有 向图 ， 中 ｗＥ （ ， 果 存在 ，个 有 向三角 形 Ｔ 生成 Ｔ 且 、（ Ｎｖ（ ， 一 其 Ｄ） 如 ｚ ，Ｔ） ， Ｔ） 叫（ ≤ ≤ ” ， １ ＜ ） 那么 我们 说 ｛ ） Ｄ 中 以 硼 为公 共 顶点 的生 成三 角形 集． 是
０ 引 言
设 Ｄ一（ Ａ） 有 向 图 ， 和 Ａ 分 别是 有 向 图的顶 点集 和 弧集 ， （ ｌ 为 Ｄ 的 阶． 于 Ｖ ， 是 Ｖ ｌ Ｄ） 称 对 Ｅ、（ ， 厂 Ｄ） 我们 用 Ｎ （ ， ） Ｎ一（ ） 别表 示 的外 邻集 和 内邻 集． 义 ｄ ） ｌ 分 定 （ 一 Ｎ （ ｌｄ ） Ｉ ） ， 一（ 一 Ｎ一（ Ｉ设 Ｓ ） ．
2002年4月离散数学试题答案
2002年4月离散数学试题答案第一篇：2002年4月离散数学试题答案 专注于收集各类历年试卷和答案更多试卷答案下载免费试听网校课程2002年4月离散数学试题答案课程代码：02324一、单项选择题(本大题共15小题，每小题1分，共15分)1.B2.D3.A4.A5.D6.D7.D8.C9.D10.B11.A12.A13.C14.B15.C二、填空题 16.0 17.10 18.单位元19.x∩yx∪y 20.入射满射21.［x］R=［y］R22.A(x)B(y)23.(M(x)→D(x))M(x)→D(x)24.可满足式永假式(或矛盾式)25.陈述句真值三、计算题⎧1⎪⎪126.M=⎨⎪1⎪0⎩⎧2⎪2⎪2M=⎨⎪2⎪1⎩442ij***10⎫⎪0⎪⎬1⎪1⎪⎭0⎫⎪1⎪⎬ 1⎪1⎪⎭∑∑Mi=1j=1=18, ∑Mij=6i=12G中长度为2的路总数为18，长度为2的回路总数为6。
27.当n是偶数时，∀x∈P(A),xn=∅当n是奇数时，∀x∈P(A),x=x⊕于是：当n是偶数，(｛a｝-1｛b｝｛a｝)n｛a｝-n｛b｝n｛a｝n=∅⊕(｛a｝-1)n｛b｝n｛a｝n=∅⊕∅当n是奇数时，=∅n(｛a｝-1｛b｝｛a｝)n⊕｛a｝-n｛b｝n｛a｝n-1-1nnn=｛a｝｛b｝｛a｝⊕(｛a｝)｛b｝｛a｝-1-=｛a｝｛b｝｛a｝⊕｛a｝｛b｝｛a｝=∅28.(1)偏序关系R 的哈斯图为 专注于收集各类历年试卷和答案(2)B的最大元：无，最小元：无；极大元：2，5，极小元：1，3下界：4，下确界4；上界：无，上确界：无29.原式⇔(┐(P→Q)→(P→┐Q))∧((P→┐Q)→┐(P→Q))((P→Q)∨(P→┐Q))∧(┐(P→┐Q)∨┐(P→Q))(┐P∨Q∨┐P∨┐Q)∧(┐(┐P∨┐Q)∨(P∧┐Q))(┐(P∧┐Q)∨(P∧┐Q))(P∧Q)∨(P∧┐Q)P∧(Q∨┐Q)P∨(Q∧┐Q)(P∨Q)∧(P∨┐Q)命题为真的赋值是P=1,Q=0和P=1,Q=1 30.令e1=(v1,v3)，e2=(v4,v6)e3=(v2,v5)，e4=(v3,v6)e5=(v2,v3)，e6=(v1,v2)e7=(v1,v4)，e8=(v4,v3)e9=(v3,v5)，e10=(v5,v6)令ai为ei上的权，则a1取a1的e1∈T,a2的e2∈T,a3的e3∈T,a4的e4∈T,a5的e5∈T,即，T的总权和=1+2+3+4+5=15 31.原式⇔┐(∀x1F(x1,y)→∃y1G(x,y1))∨∃x2H(x2)(换名)⇔┐∃x1∃y1(F(x1,y)→G(x,y1))∨∃x2H(x2)⇔∀x1∀y1┐(F(x1,y1)→G(x,y1))∨∃x2H(x2)⇔∀x1∀y1∃x2(┐(F(x1,y1)→G(x,y1))∨H(x2)四、证明题32.设T中有x片树叶，y个分支点。
UyHiP趣题：用最少的称重次数验证硬币的重量
假设你有n 枚外观完全相同的硬币，它们的重量分别为1g, 2g, 3g, …, ng 。
有意思的是，这一次，你已经知道了各枚硬币的重量，而且你也已经把重量值标在了这些硬币上。
但是，由于我不知道各枚硬币的重量，因此我希望你能向我证明，你所标的重量值是正确的（我知道这些硬币的重量是从 1 克到n 克，我只是不知道哪个硬币对应哪个重量）。
你唯一能用的工具就是一架天平。
每一次，你可以任意选择一枚或多枚硬币，放在天平的左侧，再从剩下的硬币中任意选择一枚或多枚硬币，放在天平的右侧（注意，你只能在天平上放硬币，不能放别的东西）。
一个有意思的问题是，为了向我证明你所标的重量值都是对的，你最少需要使用多少次天平？显然，为了证明n 枚硬币的重量标签的正确性，我们最多需要称n – 1 次。
先把硬币1 放在左边，把硬币 2 放在右边，让对方看到硬币 1 确实比硬币 2 要轻。
接下来，向对方验证硬币 2 确实比硬币 3 更轻，硬币 3 确实比硬币 4 更轻，等等。
称完n – 1 次后，我们就相当于给出了n 枚硬币的轻重顺序，因而它们只有可能分别是 1 克、 2 克、 3 克……。
我们还能做得更好吗？不妨让我们看看n 比较小的情况。
例如，当n = 4 的时候，利用上述方法可以 3 次完成验证，那么只用 2 次可以完成验证吗？仔细一想，你会发现真的可以！其中一种方法就是，先把硬币 1 和硬币 2 放在左边，把硬币 4 放在右边。
由于两枚硬币的重量之和小于第三枚硬币，这只可能是1 + 2 < 4 ，因此对方会相信，左边两枚硬币分别是 1 和 2 ，右边那枚硬币是4 ，没放上去的那枚硬币是 3 。
对方唯一不知道的就是，在左边两枚硬币中，究竟谁是 1 ，谁是 2 。
于是，我们只需要再称一下硬币 1 和硬币 2 ，问题就解决了。
不妨把证明n 枚硬币重量标签的正确性最少需要的称重次数记作B(n) 。
我们的问题就是：判断B(n) 是以什么级别增长的。
Hall定理正则二部图完美匹配
Hall定理正则⼆部图完美匹配相异代表系设S1,S2,⋯,S m是⼀族集合，它们的⼀个相异代表系为⼀个m维向量 (x1,x2,⋯,x m)满⾜：代表性：x i∈S i互异性：∀i≠j,x i≠x j相异代表系也简称为SDR对于⼀族指标J⊆[m]，我们定义它们的并 union(J) 为：union(J)=⋃j∈J S jHall定理有限集族S1,S2,⋯,S m存在SDR当且仅当HC成⽴，其中HC：∀J⊆[m],|union(J)|≥|J|（严谨性未知）笔者⼝胡的反证法：如果⼀个集合满⾜HC但是不存在SDR，那么⼀定存在⼀个S i，其中的元素⽆法选择，并且对于j≠i，S j中选择的元素⽆法更换，因为如果可以更换，那么我们相应的更换S k,k≠j,k≠i中的元素，直到更换⾄S i，即存在SDR，此时我们不选择S i，余下的集族不满⾜HC，⽭盾（正规证明）使⽤数学归纳法：定义⼀个指标族J临界，若 {S j:j∈J} 存在SDR，并且 |union(J)|=|J|空集与全集如果是临界指标族，那么称为平凡的临界指标族⾸先我们讨论S1,S2,⋯,S m不存在⾮平凡临界指标族显然当m=1 时成⽴，现在我们假设在⼩于m时均成⽴显然由HC得S m⾮空，我们选择⼀个元素x m∈S m，将S i(1≤i<m) ⾥的x m剔除，将此剔除后的集合的并函数设为 union′(J)注意到不存在⾮平凡临界指标族，所以之后对于J⊆[m−1]，有：|union′(J)|=|union(J)|+1≥|J|+1−1≥|J|满⾜了HC，之后构造SDR显然，证毕现在我们来讨论存在⾮平凡临界指标族的情况由上例的思想，我们显然可以将这⼀个⾮平凡临界指标族捆绑起来，然后从剩余的⾥⾯剔除掉这个指标族的并，然后由于J是临界的，我们直接展开即得1.设 (A1,A2,⋯,A m) 为 {1,2,⋯,n} 的⼀个⼦集组，且关联矩阵M=(m ij),m ij=1i∈A j 0i∉A j可逆，证明 (A1,A2,⋯,A m) 有SDR证：可逆⇒⾮降秩矩阵，证毕2. 01矩阵的最⼩覆盖数m等于最⼤匹配数M{证：匹配显然要找⼀对⾏与列都不同的 1，这⼀对 1 显然要⾄少 1 条线来覆盖，即m≥M然后我们设S i为⼀条横线上存在的 1 的位置，在满⾜最⼩覆盖的情况下，显然这东西满⾜HC，因此存在⼀个SDR，可推出M≥m，即m=M正则⼆部图完美匹配⼆部图G=X△Y具有覆盖了X的匹配当且仅当HC2成⽴，HC2：∀J⊆X,|N(J)|≥|J|其中对于⼀个图G=(V,E)，N(v)={u∈V:u∼v}，u∼v当且仅当有边连接它们不难发现这就是HC换了个⽪，证明也很显然定理：正则的⼆部图⼀定存在完美匹配设此⼆部图为G=X△Y，并且∀y∈Y,∃x∈X,x∼y设 deg(v)=k，其中 deg(v) 表⽰顶点v的度事实上如果G中存在孤⽴点，那么此图不存在边也就是说E=∅现在我们来证明 |X|=|Y|，不难发现∑x∈X deg(x)=∑y∈Y deg(y)，由此图正则即可得∀J∈X，F={e:e∈E,e f∈J,e t∈Y}，其中e f与e t分别是⼀条边的起点与终点则显然有 |F|=k|J|，|F|≤k|N(J)||N(J)|≥|J|，证毕Processing math: 100%。
图论
39
例. 用避圈法求最优生成树
40
十、图的矩阵表示
关联矩阵 回路矩阵 割集矩阵 定义 设图G无孤立点, 其边数为q，顶点 数为p，若边j与顶点i关联，则令mij=1，否则 mij=0。则矩阵(mij)pq称为G的完全关联矩阵， 记作Me。Me的秩为p1。
Step 5 k(v)=1，停止。(即 v=S，回到出发点)
Step 6 v<=f(v)，转step 3。
45
算法的矩阵表示: A =
e1
e2
e3
e4
k father
1
1
1
0
0
0
0
2
1
0
1
1
0
0
3
0
1
1
0
0
0
4
0
0
0
1
0
0
is reached? 0
0
0
0
另设变量i, v。i为搜索过的点数，v表示当前正被考察的点。
Байду номын сангаас
step 1 标志一切边“未被搜索过”(例 如，涂成白色)。对所有v，k(v)<=0 (k=0表示 v尚未被搜索过)，令i<=0，v<=S (S为搜索之 起点，i为搜索过的点数，v表示当前正被考察 的点)。
step 2 i<=i+1，k(v)<=i (k>0表示v被搜 索的序号)。
step 3 若v无“未被搜索过”(即白色)的
定义 设G’为G的子图，但V(G’) = V(G)， 则称G’为G的生成子图。
离散数学题集
离散数学题集1.下列语句不是命题的是( C )。
合代数A.黄金是非金属。
11.设S是自然数集，则下列运算中不满足交换律的是( B )。
B.要是他不上场，我们就不会输。
A.a*b=|a-b| B.a*b=ab C.他跑100米只用了10秒钟，你说他是不是运动健将呢? C.a*b=max{a,b} D.他跑100米只用了10秒钟，他是一个真正的运动健将。
D.a*b=min{a,b} 2.关于命题变元P和Q的大项M01表示( D )。
12.设图G′=<V′，E′>是图的生成子图，则必须( a )。
A.?P?QB.?P?Q A.V′=V B.V′?C.P??QD.P??Q V但E′=EC.E′=ED.E′?，,,3.公式(x)(y)(P(x,z)?Q(y))S(x,y)中的(x)的辖域是( B )。
E且V′?V，13.设有向图G有5个结点，4条边，且有一条有向路经过每A.(y)(P(x,z)?Q(y))B.P(x,z)?Q(y)C.P(x,z)D.S(x,z) 个结点一次，则图G满足的最大连通性是( )。
4.下列等价式不成立的是( D )。
A.不连通 B.弱连,通，,A.?(x)A(x)(x)?A(x),C.单侧连通 D.强连通，,B.?(x)A(x)(x)?A(x),14.一个连通图G具有以下何种条件时，能一笔画出:即从某,,,C.(x)(A(x)?B(x))(x)A(x)?(x)B(x),结点出发，经过图中每边仅一次回到该结点。
( A )。
,,,D.(x)(A(x)?B(x))(x)A(x)?(x)B(x)A.G没有奇数度结点B.G有1个奇数，,5.公式(x)(y)(P(x,y)?Q(z))?R(x)中的x( )。
A.只是约束变元度结点B.只是自由变元C.G有2个奇数度结点D.G没有或有2C.既是约束变元又是自由变元个奇数度结点D.既非约束变元又非自由变元二、填空题(每小题2分，共30分) 6.设A={a,{a}}，则下列各式正确的是( )。
第10章习题答案
第10章习题答案习题101.(1)图G 的度数列为2、2、3、3、4，则G 的边数是多少(2)3、3、2、3和5、2、3、1、4能成为图的度数列吗为什么(3)图G 有12条边，度数为3的结点有6个，其余结点的度数均⼩于3，问图G 中⾄多有⼏个结点为什么解 (1)设G 有m 条边，由握⼿定理得2m ＝∑∈Vv v d )(＝2＋2＋3＋3＋4＝14，所以G 的边数7条。
(2)由于这两个序列中有奇数个是奇数，由握⼿定理的推论知，它们都不能成为图的度数列。
(3) 由握⼿定理得∑∈Vv v d )(＝2m ＝24，度数为3的结点有6个占去18度，还有6度由其它结点占有，其余结点的度数可为0、1、2，当均为2时所⽤结点数最少，所以应由3个结点占有这6度，即图G 中⾄多有9个结点。
2.若有n 个⼈，每个⼈恰有3个朋友，则n 必为偶数。
证明设1v 、2v 、…、n v 表⽰任给的n 个⼈，以1v 、2v 、…、n v 为结点，当且仅当两⼈为朋友时其对应的结点之间连⼀条边，这样得到⼀个简单图G 。
由握⼿定理知∑=nk kv d 1)(＝3n 必为偶数，从⽽n 必为偶数。
3.判断下列各⾮负整数列哪些是可图化的哪些是可简单图化的 (1)(1，1，1，2，3)。
(2)(2，2，2，2，2)。
(3)(3，3，3，3)。
(4)(1，2，3，4，5)。
(5)(1，3，3，3)。
解由于⾮负整数列d ＝(d 1，d 2，…，d n )是可图化的当且仅当∑=ni i d 1≡0(mod 2)，所以(1)、(2)、(3)、(5)能构成⽆向图的度数列。
(1)、(2)、(3)是可简单图化的。
其对应的⽆向简单图如图所⽰。
(5)是不可简单图化的。
若不然，存在⽆向图G 以为1，3，3，3度数列，不妨设G 中结点为1v 、2v 、3v 、4v ，且d(1v )＝1，d(2v )＝d(3v )＝d(4v )＝3。
⽽1v 只能与2v 、3v 、4v 之⼀相邻，设1v 与2v相邻，于是d(3v )＝d(4v )＝3不成⽴，⽭盾。
正则匹配特殊的符号
正则匹配特殊的符号\r \n \r\n:换⾏/回车符\t:制表符\d:数字（与[0-9]匹配相同）\D:⾮数字（与[^0-9]匹配相同）\w:单词字符（与[0-9a-zA-Z]匹配相同）\W:⾮单词字符\s:空格字符（与[ \t\n\r\f]相同）\S:⾮空格字符[\s\S]+ [\s\S]* ：匹配任意字符，包括换⾏符元字符：[] 包围⼀个字符类，字符类包括：[0-9] [a-z] [a-zA-Z] 等类似。
() 包围⼀个字符分组或定义⼀个反引⽤$ 匹配⾏尾^ 匹配⾏⾸* 匹配前⾯的⼦表达式零次或多次。
要匹配 * 字符，请使⽤ *+ 匹配前⾯的⼦表达式⼀次或多次。
要匹配 + 字符，请使⽤ +匹配前⾯的⼦表达式零次或⼀次，或指明⼀个⾮贪婪限定符 ?. 匹配除换⾏之外的任何字符|管道符。
例如：dog|cat:表⽰或者匹配dog或者匹配cat⽼是忘记：正则默认是贪婪匹配：.*如果想要飞贪婪匹配：.*?php UTF-8下测试----匹配字符串中是否包含中⽂： preg_match('/[\x80-\xff]/', $str);1. GBK (GB2312/GB18030)\x00-\xff GBK双字节编码范围\x20-\x7f ASCII\xa1-\xff 中⽂ gb2312\x80-\xff 中⽂ gbk2. UTF-8 (Unicode)\u4e00-\u9fa5 (中⽂)\x3130-\x318F (韩⽂\xAC00-\xD7A3 (韩⽂)\u0800-\u4e00 (⽇⽂)*/常⽤元字符代码说明.匹配除换⾏符以外的任意字符\w匹配字母或数字或下划线或汉字\s匹配任意的空⽩符\d匹配数字\b匹配单词的开始或结束^匹配字符串的开始^匹配字符串的开始代码说明$匹配字符串的结束常⽤限定符代码/语法说明*重复零次或更多次+重复⼀次或更多次重复零次或⼀次{n}重复n次{n,}重复n次或更多次{n,m}重复n到m次常⽤反义词代码/语法说明\W匹配任意不是字母，数字，下划线，汉字的字符\S匹配任意不是空⽩符的字符\D匹配任意⾮数字的字符\B匹配不是单词开头或结束的位置[^x]匹配除了x以外的任意字符[^aeiou]匹配除了aeiou这⼏个字母以外的任意字符。
数据结构图练习题(附答案).doc
第七章 图一、选择题1．图中有关路径的定义是（ ）。
【北方交通大学 2001 一、24 （2分）】A ．由顶点和相邻顶点序偶构成的边所形成的序列B ．由不同顶点所形成的序列C ．由不同边所形成的序列D ．上述定义都不是2．设无向图的顶点个数为n ，则该图最多有（ ）条边。
A ．n-1B ．n(n-1)/2C ． n(n+1)/2D ．0E ．n 2【清华大学 1998 一、5 （2分）】【西安电子科技大 1998 一、6 （2分）】【北京航空航天大学 1999 一、7 （2分）】3．一个n 个顶点的连通无向图，其边的个数至少为（ ）。
【浙江大学 1999 四、4 (4分)】A ．n-1B ．nC ．n+1D ．nlogn ；4．要连通具有n 个顶点的有向图，至少需要（ ）条边。
【北京航空航天大学 2000 一、6(2分）】A ．n-lB ．nC ．n+lD ．2n5．n 个结点的完全有向图含有边的数目（ ）。
【中山大学 1998 二、9 （2分）】A ．n*n Ｂ．n （n ＋１） C ．n ／2 D ．n*（n －l ）6．一个有n 个结点的图，最少有（ ）个连通分量，最多有（ ）个连通分量。
A ．0B ．1C ．n-1D ．n【北京邮电大学 2000 二、5 （20/8分）】7．在一个无向图中，所有顶点的度数之和等于所有边数（ ）倍，在一个有向图中，所有顶点的入度之和等于所有顶点出度之和的（ ）倍。
【哈尔滨工业大学 2001 二、3 （2分）】A ．1/2B ．2C ．1D ．48．用有向无环图描述表达式(A+B)*（（A+B ）/A ），至少需要顶点的数目为( )。
【中山大学1999一、14】A ．5B ．6C ．8D ．99．用DFS 遍历一个无环有向图，并在DFS 算法退栈返回时打印相应的顶点，则输出的顶点序列是( )。
A ．逆拓扑有序B ．拓扑有序C ．无序的 【中科院软件所1998】10．下面结构中最适于表示稀疏无向图的是（ ），适于表示稀疏有向图的是（ ）。
6.4 几种特殊的图
欧拉图判别定理
定理6.8 无向图G具有欧拉回路当且仅当G是连通的且无 奇度顶点. 无向图G具有欧拉通路、但没有欧拉回路当且仅当G是连 通的且有2个奇度顶点, 其余顶点均为偶度数的. 这2个奇 度顶点是每条欧拉通路的端点.
推论 无向图G是欧拉图当且仅当G是连通的且无奇度顶点
9
实例
无欧拉通路
欧拉图
n=25时,需要计算24!/23.11023个权值.
如果计算每个哈回路权值需要1ns(1s的十亿分之一）, 共需1千万年才能全部算完,找到权值最小的哈回路.
20
求最小权的哈回路的最邻近法
设:G=(V,E,W)是n个顶点的完全图,W是E到正实数集的函 数,对V中任意三个顶点i,j,k,有
W(i,j)+W(j,k)W(i,k)
说明： 哈密顿通路是初级通路 哈密顿回路是初级回路 有哈密顿通路不一定有哈密顿回路 环与平行边不影响图的哈密顿性
14
哈密顿图的必要条件
定理6.10 若无向图G=<V,E>是哈密顿图, 则对于V的任意 非空真子集V1均有 p(GV1)|V1|. 证 设C为G中一条哈密顿回路, 有p(CV1) |V1|. 又因为 CG, 故 p(GV1) p(CV1) |V1|.
推论 设G是n(n3)阶无向简单图, 若(G)n/2, 则G是哈密
顿图
当n3时, Kn是哈密顿图; 当r=s2时, Kr,s是哈密顿图.
定理6,12 设D是n(n2)阶有向图, 若略去所有边的方向后 所得无向图中含子图Kn, 则D中有哈密顿通路.
18
应用
例4 有7个人, A会讲英语, B会讲英语和汉语, C会讲英语、
意大利语和俄语, D会讲日语和汉语, E会讲德语和意大利
离散数学第三章
离散数学第三章第一篇：离散数学第三章第三章部分课后习题参考答案14.在自然推理系统P中构造下面推理的证明：(2)前提：p→q,⌝(q∧r),r 结论：⌝p(4)前提：q→p,q↔s,s↔t,t∧r 结论：p∧q 证明：（2）①⌝(q∧r)前提引入②⌝q∨⌝r ①置换③q→⌝r ②蕴含等值式④r 前提引入⑤⌝q ③④拒取式⑥p→q 前提引入⑦￢p ⑤⑥拒取式证明（4）：①t∧r 前提引入②t ①化简律③q↔s 前提引入④s↔t 前提引入⑤q↔t ③④等价三段论⑥（q→t）∧(t→q)⑤ 置换⑦（q→t）⑥化简⑧q ②⑥ 假言推理⑨q→p 前提引入⑩p ⑧⑨假言推理(11)p∧q ⑧⑩合取15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理：(1)前提：p→(q→r),s→p,q 结论：s→r 证明①s 附加前提引入②s→p 前提引入③p ①②假言推理④p→(q→r)前提引入⑤q→r ③④假言推理⑥q 前提引入⑦r ⑤⑥假言推理16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理：(1)前提：p→⌝q,⌝r∨q,r∧⌝s 结论：⌝p 证明：①p 结论的否定引入②p→﹁q 前提引入③﹁q ①②假言推理④￢r∨q 前提引入⑤￢r ④化简律⑥r∧￢s 前提引入⑦r ⑥化简律⑧r∧﹁r ⑤⑦ 合取由于最后一步r∧﹁r 是矛盾式,所以推理正确.第二篇：离散数学离散数学课件作业第一部分集合论第一章集合的基本概念和运算1-1 设集合 A ={1，{2}，a，4，3}，下面命题为真是[ B ]A．2 ∈A；B．1 ∈ A；C．5 ∈A；D．{2} ⊆ A。
1-2 A,B,C 为任意集合，则他们的共同子集是[ D ]A．C；B．A；C．B；D．Ø。
1-3 设 S = {N，Z，Q，R}，判断下列命题是否成立？（1）N ⊆ Q，Q ∈S，则 N ⊆ S［不成立］（2）-1 ∈Z，Z ∈S，则-1 ∈S［不成立］1-4 设集合 A ={3，4}，B = {4，3} ∩ Ø，C = {4，3} ∩{ Ø }，D ={ 3，4，Ø }，2E = {x│x ∈R 并且 x-7x + 12 = 0}，F = { 4，Ø，3，3}，试问哪两个集合之间可用等号表示？答：A = E；B = C；D = F1-5 用列元法表示下列集合（1）A = { x│x ∈N 且x2 ≤ 9 }（2）A = { x│x ∈N 且 3－x 〈 3 }答：（1）A = { 0，1，2，3 }；（2）A = { 1，2，3，4，……} = Z+；第二章二元关系2-1 给定 X =（3, 2，1），R 是 X 上的二元关系，其表达式如下：R = {〈x，y〉x，y ∈X 且x≤ y }求：(1)domR =?;(2)ranR =?;(3)R 的性质。
哈工大集合论习题课-第五章 图的基本概念习题课(学生)
第五章 图的基本概念习 题 课 11. 画出具有 6、8、10、…、2n 个顶点的三次图；是否有7个顶点的三次图？2. 无向图G 有21条边，12个3度数顶点，其余顶点的度数均为2，求G 的顶点数p 。
解：设图的顶点为p ，根据握手定理：1deg()2pi i v q ==∑，有212)12(2312⨯=-⨯+⨯p ，得15302==p p ，。
3. 下列各无向图中有几个顶点？（1）16条边，每个顶点的度为2；（2）21条边，3个4度顶点，其余的都为3度数顶点；（3）24条边，各顶点的度数相同。
解： 设图的顶点为p ，根据握手定理：（1）1deg()2p i i v q ==∑，即2221632p q ==⨯=；所以16p =，即有16个顶点。
（2）1deg()2p i i v q ==∑，即433(3)222142p q ⨯+⨯-==⨯=，所以13p =。
（3）各点的度数为k ，则1deg()2i pi v q ==∑，即222448k p q ⨯==⨯=，于是① 若1k =，48p =； ② 若2k =，24p =；③ 若3k =，16p =； ④ 若4k =，12p =；⑤ 若6k =，8p =；⑥ 若8k =，16p =； ⑦ 若12k =，4p =；⑧ 若16k =，3p =； ⑨ 若24k =，2p =； ⑩ 若48k =，1p =。
4．设图G 中9个顶点，每个顶点的度不是5就是6。
证明G 中至少有5个6度顶点或至少有6个5度顶点。
证：由握手定理的推论可知，G 中5度顶点数只能是0，2，6，8五种情况，此时6度顶点数分别为9，7，5，3，1个。
以上五种情况都满足至少5个6度顶点或至少6个5度顶点的情况。
5．有n 个药箱，若每两个药箱里有一种相同的药，而每种药恰好放在两个药箱中，问药箱里共有多少种药？[就是求一个完全图n K 的边数(1)(2)/2q p p =--g ]6.设G 是有p 个顶点，q 条边的无向图，各顶点的度数均为3。
几类弱距离正则有向图的构作
几类弱距离正则有向图的构作
令G是一个有限群,S是G的一个不包含单位元的子集,VΓ表示有向图Γ的顶点集,AΓ表示有向图Γ的弧集.定义G关于S的凯莱有向图Γ=Cay(G,S)如下:V Γ = G,AΓ= {(x,sx)| x ∈ G,s ∈ S}.令(?)(x,y)表示有向图Γ中由顶点x 到顶点y的距离,(?)(x,y)=((?)(x,y),(?)(y,x))表示顶点x与y之间的双向距离,为简便起见,用一个字母h表示两个顶点之间的双向距离.称一个强连通的有向图r是弱距离正则的,如果当(?)(x,y)=h时,Pi,jh(x,y)= |{z ∈ VΓ
|(?)(x,z)= i,(?)(z,y)= j}|只与i,j,h有关,与顶点x,y的选择无关,本文利用凯莱有向图给出了弱距离正则有向图的一种新的构作方法,得到了一些弱距离正则有向图的例子,并结合凯莱有向图的直积和字典式积确定了一些有向图为弱距离正则有向图的条件.。
趣题：出现次数最多的诱导子图
若干个顶点（vertex）以及某些顶点对之间的边（edge）就构成了一个图（graph）。
下面就是这篇文章里会用到的四个图。
其中，第一个图是由 2 个顶点组成的路径（path），因而我们把它称作 P2；第二个图是由 3 个顶点组成的路径，因而我们把它称作 P3。
第三个图是由 3 个顶点组成的一个环（cycle），因而我们把它称作 C3；第四个图是由 4 个顶点组成的一个环，因而我们把它称作 C4。
选取图中的一个或多个顶点，同时选出这些顶点之间的所有边，得到的就是原图的一个“诱导子图”（induced subgraph）。
在这篇文章中，我们只考虑那些连通的诱导子图。
下面是一个有 6 个顶点的图，右边则列出了由它可以产生出来的所有连通诱导子图。
注意，由于有些诱导子图不是连通的（比如只选择正上方的两个点和右下角的两个点，或者干脆只选择最左边那个点和最右边那个点），因而它们并没有在右边列出。
在这些连通诱导子图里，很多图的本质都是相同的。
比方说，第一行最后三个图和第二行前面四个图的本质是一样的，它们都是刚才我们介绍过的 P2。
当然，第一行的前六个图的本质也都是一样的，即由单个顶点构成的图，有时会被人们记作 K1。
观察最后一行的倒数第二个和倒数第三个图，你能看出这两个图的本质也一样吗？只不过，它们就没有什么固定的名字了。
在这些连通诱导子图里，哪一种图出现的次数最多呢？答案就是 P3，它一共出现了 8 次。
我们的问题是：能否构造一个图，使得里面出现次数最多的连通诱导子图是 C3？能否构造一个图，使得里面出现次数最多的连通诱导子图是 C4？注意，如果两种连通诱导子图出现的次数一样多，那它们都不算出现次数最多的连通诱导子图。
最左边的那个名叫K6的图显然满足，C3是里面出现次数最多的连通诱导子图。
这是因为，从 K6中任意选出 3 个顶点，得到的诱导子图都是 C3；同时，由对称性可知，当 n 为任意一个 1 到 6 之间的固定整数时，从 K6中随便选出 n 个顶点，得到的诱导子图都是本质相同的。
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屋子里有若干个人，任意两个人都有恰好 1 个共同的朋友。
这有可能吗？有可能。
比方说，屋子里有9 个人，其中8 个人正好组成 4 对朋友，第9 个人则和前面8 个人都是朋友。
容易验证，任意两个人都有恰好 1 个共同的朋友。
我们可以用下面这个图表示此时这9 个人之间的朋友关系，其中每个点代表一个人，如果两个人是朋友，就在他们之间连一条线。
除了上图展示的情况之外，我们还能构造出很多别的同样满足要求的情况。
事实上，上述方案可以扩展到一切奇数个人的情况，比如下面这样：
现在，假设屋子里有若干个人，任意两个人都有恰好2个共同的朋友。
这有可能吗？有可能。
比方说，屋子里有 4 个人，他们互相之间都是朋友。
容易验证，
任意两个人都有恰好 2 个共同的朋友。
我们可以用下面这个图表示此时这 4 个人之间的朋友关系。
我们的问题是，除了上图展示的情况之外，还有别的同样满足要求的情况吗？
有。
想象屋子里有16 个人，他们站成了一个 4 × 4 的方阵。
每行里的 4 个人互相之间都是朋友，每列里的 4 个人互相之间也都是朋友。
于是，对于任意两个同一行或者同一列的人来说，都恰好有 2 个共同的朋友，即这一行或者这一列的另外两个人；对于任意两个既不同行又不同列的人来说，也都恰好有 2 个共同的朋友，即与我同行与你同列的人，以及与你同行与我同列的人。
我们可以
用下面的这个图表示此时这16 个人之间的朋友关系（我们把同一行的点以及同一列的点都稍微错开了一些，使得连线不会重叠在一起）。
那么，除此之外，还有没有别的满足要求的解呢？有，比如下面这个图：
上面这两个图有很多类似的地方：它们都有16 个点，48 条连线，每个点都
恰好引出了6 条连线。
不过，这两个图确实是本质不同的两个图。
你可以这样看出来：前面这个图中，与每个点相邻的 6 个点互相之间连成的是两个三角形；而后面这个图中，与每个点相邻的 6 个点互相之间连成的是一个“圈”。
任意两个人都有恰好 2 个共同的朋友，究竟有多少种可能的情况呢？现在，我们已经看到了三个解。
第一个解是 4 个互相之间都有连线的点。
在图论中，我
们通常用K
4来表示这个图。
第二个解则是借助一个4 × 4 的方阵构造出来的。
在图论中，这个图叫做 4 × 4 rook’s graph ，因为它相当于国际象棋中的车（rook）摆成 4 × 4 的方阵后互相之间能否攻击的示意图。
真正神奇的就是问题的第三个解了。
它叫做Shrikhande graph 。
这是由印度数学家Sharadchandra Shankar Shrikhande 在1959 年发现的。
在图论中，Shrikhande graph 是一个非常神奇的图。
如果一个图的每个点都引出了相同数目的线，我们就说这个图是一个“正则图”
（regular graph）。
如果一个正则图有v 个点，每个点都引出了k 条线，并且
它额外地满足，任意两个相邻的点之间都恰好有λ 个公共邻点，任意两个不相邻的点之间都恰好有μ 个公共邻点，我们就说这个图是一个“强正则图”（strongly regular graph），用符号srg(v, k, λ, μ) 表示。
显然，n × n rook’s graph 属于强正则图srg(n2, 2n – 2, n – 2, 2) 。
那么反过来，满足srg(n2, 2n – 2, n – 2, 2) 的图是否一定就是n × n rook’s graph 呢？基本上是，除了唯一的一个反例：当n = 4 时，Shrikhande graph 也满足srg(n2, 2n – 2, n – 2, 2) 。
这篇文章的题目也反映出了Shrikhande graph 的独特之处。
如果任意两个点都有恰好2 个公共邻点，那么除了K
4和n × n rook’s graph 以外，Shrikhande graph 是唯一满足要求的解了。
也就是说，任意两个人都有恰好2 个共同的朋友，可能的情况一共就只有 3 种。