求函数的定义域与值域的常用方法

求函数的定义域与值域的常用方法

引入：

自变量x 的取值范围为 定义域

因变量y 的取值范围为 值域

求函数的解析式、求函数的定义域、求函数的值域、求函数的最值

一、 求函数的解析式

（一）解析式的表达形式 （解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。）

1、一般式 （是大部分函数的表达形式）

例：一次函数：b kx y +=)0(≠k 二次函数：c bx ax y ++=2 )0(≠a 反比例函数：x

k y =

)0(≠k 正比例函数：kx y = )0(≠k 2、复合式

若y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即),(),(),(b a x x g u u f y ∈==，那么y 关于x 的函数[]()b a x x g f y ,,)(∈=叫做f 和g 的复合函数。 例1、已知3)(,12)(2

+=+=x x g x x f ，则[]=)(x g f ，[]=)(x f g 。 解：[]721)3(21)(2)(2

2+=++=+=x x x g x g f [][]4443)12(3)()(222

++=++=+=x x x x f x f g

（二）解析式的求法 （根据已知条件求函数的解析式，常用配凑法、换元法、待定系数法、赋值（式）法、方程法等。）

1. 配凑法

例1.已知 ：23)1(2+-=+x x x f ，求f(x)；

解：因为15)1(23)1(22+-+=+-=+x x x x x f

65)(6)1(5)1(22+-=++-+=x x x f ，x x 所以

例2、已知：221)1(x

x x x f +=+，求)(x f 。 解： 2)1(1)1(222-+=+=+x x x

x x x f ∴ )22(2)(2-≤≥-=x x x x f 或

注意：使用配凑法也要注意自变量的范围限制。

2.换元法

例1.已知：x x x f 2)1(+=+，求f(x); 解：令2)1(,1,1-=≥=+t x t t x 即则

则1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f

所以)1(1)(2≥-=x x x f

例2、已知：11)11(2-=+x

x f ，求)(x f 。 解：设x t 11+=，则1≠t ，1

1-=t x ，代入已知得 t t t t t f 21)1(1111

)(222-=--=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=

∴ )1(2)(2≠-=x x x x f

注意：1、使用换元法要注意t 的范围限制，这是一个极易忽略的地方。

2、换元法和配凑法在解题时可以通用，若一题能用换元法求解析式，则也能用配凑法求解析式。

3.待定系数法

例1.已知：f(x) 是二次函数，且f(2)=-3, f(-2)=-7, f(0)=-3，求f(x)。 解（1）设则)0(,)(2

≠++=a c bx ax x f

∵3)0(,7)2(,3)2(-=-=--=f f f ∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+--=++3724324c c b a c b a 解理⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧-==-=3121c b a

∴32

1)(2-+-=x x x f

4.赋值（式）法

例1、已知函数)(x f 对于一切实数y x ,都有x y x y f y x f )12()()(++=-+成立，且0)1(=f 。

(1)求)0(f 的值；

(2)求)(x f 的解析式。

解：（1） 取0,1==y x ，则有

1)101()0()01(++=--f f

⇒2202)1()0(-=-=-=f f

（2）取0=y ，则有x x f x f )10()0()0(++=--. 整理得：2)(2++=x x x f

5、方程法

例1、已知：)0(,31)(2≠=⎪⎭⎫

⎝⎛+x x x f x f ，求)(x f 。 解：已知：,31)(2x x f x f =⎪⎭⎫

⎝⎛+① 用

x

1去代换①中的x 得 :x x f x f 3)()1(2=+ ② 由①×2－②得：)0(12)(≠-=x x x x f . 同步练习

1.已知x x f -=-3)1(，求f(x)的解析式。

2.已知x x f x f 3)1(2)(=+，求f(x)的解析式。

3、已知：x x x f 2)12(2-=+ 求f (x )

4、f (x ) 为一次函数，1)1()0(2,5)1(3)2(2=--=-f f f f ，

则f(x)的解析式为（ ） A 、23)(+=x x f

B 、23)(-=x x f

C 、32)(+=x x f

D 、32)(-=x x f

5、二次函数)0,,()(2≠∈+=a R b a bx ax x f 满足)3()5(-=+-x f x f ，且方程f(x)=x 有等根。

6、已知：x x x f 2)1(2+=+，求)(x f 。

7、已知：)(x f 为二次函数，且x x x f x f 42)1()1(2-=-++，求)(x f 。