高等数学本质
高职院校高等数学教学中如何体现其本质
生善 于进行数学文字语 言和符号语言 的相互转化 ； 学生完成 练 习或作业时 ， 更要突出数学符号的运用。高职院校学 生对 自己的数学形象思维依赖度很大 ， 学图形语 言的运用恰 好 数
２ 数学的本质在高职院校高等数学教 学中的体 现 ２ １ 数学的模 式性、 象性 、 ． 抽 结构性 、 严格性、 实用性 的体现 数学是模式 的科学 ， 教师 为使学 生对此 有完整 、 彻 的 透 理解 ， 要多运用实例 、 反例和变式 ， 还要 引导学生多角度地 分
中应 体现在 ： 模式性 、 象性、 抽 结构性 、 严格性 、 实用性 ， 学的人 文精神 、 学思想方法等方 面。 数 数
关键 词 ： 学的本质 ； 式 ； 象性 ； 文精 神 ； 学思想 方法 数 模 抽 人 数 中图分类 号 ：Ｇ ４ 文 献 标 识 码 ：Ａ 文 章 编 号 ： ６ １—１ ９ （ ０ ９ ０ ６２ １７ ４ １ ２ ０ ） ５—０ ９ ０ ７—０ ２
高等数学是 高职 院校 中开设 的一 门基础性课程 ， 由于其 本身的抽象性和学生基 础不扎 实 以及教 师教学 不到位等 原 因， 教学效果不如意 ， 学 的本 质没有得 到体 现。数学 的本 数 质是什 么？在教学 中应该怎样体现 呢？下面就此进行论述 。
１ 数 学 的 本 质
析和讨论各种模式 ， 自己的方式有效 地建 构知识 。例 如 ， 以
问题 的解 答 时 ， 板 书 少 用 文 字 叙 述 ， 用 数 学 符 号 ； 让 学 写 多 要
的极端广泛性 ， 是数学具 式 一 样 ， 人 类 一 种 创 造 性 活 动 的结 果 ， 是
是人类抽象思维的产物 ， 从这个意义来讲 ， 数学是一 种文化 ， 而且是更高层次上的文化 ， 数学思想方法和数学语言是其 中
高等数学(绪论)
基本原理是高等数学的核心，需要熟 练掌握。在学习过程中，要注重对定 理、公式的推导和证明，理解其逻辑 和证明过程。
多做习题，培养解题能力
做习题
通过大量练习习题，可以加深对知识点 的理解和掌握，培养解题能力和技巧。 在练习过程中，要注重对题目的理解和 分析，掌握解题思路和方法。
VS
解题能力
推理思维的培养需要学生注重观察和实验，从具体问题中寻找规律和线索，通过归纳和总结得出一般 性的结论。同时，学生还需要注重培养自己的创造性思维，能够从不同角度和思路出发进行思考和探 索。
04
高等数学的学习方法
理解概念，掌握基本原理
理解概念
高等数学中的概念通常比较抽象，需 要深入理解。在学习过程中，要注重 对概念的解释和推导，理解其本质含 义和应用场景。
05
高等数学的重要性和意义
对其他学科的影响
物理学
高等数学提供了描述物理现象和规律的数学语言， 如微积分、线性代数和微分方程等。
工程学
高等数学是解决复杂工程问题的关键工具，如流 体力学、结构力学和航空航天工程等。
经济学
高等数学在经济学中广泛应用，如统计分析、计 量经济学和决策理论等。
对个人发展的影响
高等数学是大学理工科、经济学、管 理学等学科的重要基础课程，对于培 养学生的逻辑思维、分析问题和解决 问题的能力具有重要意义。
高等数学的应用领域
物理学 高等数学在物理学中有广泛应用， 如力学、电磁学、光学等领域都 需要用到高等数学的知识。
计算机科学 计算机科学中，高等数学主要用 于算法设计、数据结构、图像处 理等领域，有助于提高计算机科 学和技术的水平。
联系
高等数学与初等数学有着密切的联系，初等数学是高等数学的基础。高等数学中的许多概念和方法都 是在初等数学的基础上发展起来的，同时高等数学也为解决初等数学中的问题提供了更为深入和有效 的方法。
《高等数学附录》课件
微分方程
微分方程的建立
通过实际问题建立微分方程，如牛顿第二定律、电路中的电流方 程等。
微分方程的求解
通过求解微分方程得到函数的表达式或解的图形。
微分方程的应用
微分方程在科学、工程和经济等领域有广泛的应用，如预测未来 趋势、优化资源配置等。
03
线性代数
向量与矩阵
总结词
向量与矩阵是线性代数的基本概念，是解决实际 问题的重要工具。
总结词
向量与矩阵在解决实际问题中具有广泛的应用， 如物理、工程、经济等领域。
详细描述
向量是由一组有序数构成的几何对象，可以表示 空间中的点或方向。矩阵则是由若干行和若干列 组成的数表，可以表示向量之间的关系或进行数 学运算。
详细描述
通过向量与矩阵的运算，可以解决各种实际问题 ，如线性方程组、矩阵变换、特征值问题等。 取值可以一一列举出来的随机变 量，其分布可以用概率分布列或 概率质量函数描述。
连续型随机变量
连续型随机变量是在随机试验中 取值可以连续变化的随机变量， 其分布可以用概率密度函数描述 。
随机变量的期望与
方差
期望描述了随机变量的“平均值 ”，方差描述了随机变量的“波 动程度”。
数理统计方法
参数估计
假设检验
方差分析
相关分析与回归分析
通过样本数据对总体参数进行 估计的方法，包括点估计和区 间估计。点估计是直接用样本 数据来估计总体参数，而区间 估计是给出总体参数的可能取 值范围。
在给定假设下，利用样本数据 对假设进行检验的方法。如果 样本数据与假设一致，则接受 假设；如果不一致，则拒绝假 设。
是许多学科的重要基础。
高等数学的发展历程
03
高等数学的发展经历了多个世纪，其理论体系不断完善，应用
浅论高等数学教育的理解、思想和精神
浅论高等数学教育的理解、思想和精神作者：杨水仙来源：《现代科学教育研究》2013年第02期【关键词】：高等数学数学理解数学思想数学精神教育意义总结笔者从实践中出发，强调在数学基础教育中注重对学生数学思想和数学精神的培养，以及对数学教育意义的理解的培养，有助于学生更好地学习和驾驭数学，有助于学生养成完善的人格，有助于科学和人文素养的养成。
在数学教教学过程经常存在一个问题，那就是大多数的教学几乎将全部重点放在了对学生进行数学知识和方法的教授上，而忽视了对其中的数学思想和数学精神的挖掘，而这正是帮助学生加深理解、提高数学学习能力的关键。
唯有在学习数学过程中有一种数学思想，挖掘到数学的内在精神，才会懂得数学的内在本质，这样才会对数学产生浓厚的兴趣，保持永久的激情，才会对于数学学习有一个认真的态度，这样的数学教学才有高效率。
一、高等数学的含义数学是衡量一个人能力的重要学科，因此，其在高中教育中显得尤为重要。
在教学实践中，教师与学生首先要转变观念，充分地认识高中数学课程改革的基本理念和目标，才能更加深入地走进新课程。
综观高中数学新课程标准，有十大课程理念需要我们认真体悟：在构建共同基础与提供发展平台方面，为学生提供必要的数学准备，提高数学素养；在课程设置方面，以学生数学个性化发展为主，强调课程的多样性和选择性；在学习方式上，倡导"自主、合作、探究"的数学学习方式；在思维能力培养方面，注重数学思维能力的提高；在发展学生数学应用方面，促进学生用数学知识解决问题的实践能力；在对待"双基"知识的传授上，要与时俱进；在数学教学中，揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质；提倡高中数学课程文化价值的体现，提出对"数学文化"的学习；加强信息技术和数学教学的整合，鼓励师生的教与学以信息技术为载体；关注学生个性与潜能的发展，建立多元化的评价体系。
当然，从高中数学课程改革的十大理念中，我们不难发现，课程改革的核心转变是由应试教育向素质教育的转变。
高等数学的基本概念解析
高等数学的基本概念解析引言：高等数学作为一门重要的学科，是大学教育中不可或缺的一部分。
它是数学的一门分支，通过对数学基本概念的解析，帮助学生建立起数学思维的框架，为后续学习打下坚实的基础。
本文将对高等数学的基本概念进行解析，从数集、函数、极限、导数、积分等多个方面进行探讨。
一、数集的基本概念数集是高等数学中最基本的概念之一，它是由一些具有共同特征的数所组成的集合。
数集的分类包括自然数集、整数集、有理数集、实数集和复数集等。
我们将详细解析每个数集的特点和性质，并介绍它们在实际问题中的应用。
二、函数的基本概念函数是高等数学中另一个重要的概念，它描述了自变量和因变量之间的关系。
我们将从函数的定义、性质和图像等方面进行解析，探讨函数在数学和实际问题中的应用。
此外，我们还将介绍一些常见的函数类型，如线性函数、二次函数、指数函数和对数函数等。
三、极限的基本概念极限是高等数学中的核心概念之一，它描述了函数在某一点或无穷远处的趋势。
我们将从极限的定义、性质和计算方法等方面进行解析，帮助学生理解极限的本质和意义。
此外，我们还将介绍一些常见的极限类型，如无穷大极限、无穷小极限和函数极限等。
四、导数的基本概念导数是高等数学中另一个重要的概念，它描述了函数在某一点的变化率。
我们将从导数的定义、性质和计算方法等方面进行解析，帮助学生理解导数的几何和物理意义。
此外，我们还将介绍一些常见的导数类型，如常数函数的导数、幂函数的导数和三角函数的导数等。
五、积分的基本概念积分是高等数学中的另一个核心概念，它描述了函数在一定区间上的累积效应。
我们将从积分的定义、性质和计算方法等方面进行解析，帮助学生理解积分的几何和物理意义。
此外，我们还将介绍一些常见的积分类型，如定积分、不定积分和曲线积分等。
结论：通过对高等数学的基本概念进行深入解析，学生可以建立起数学思维的框架，提高数学分析和问题解决的能力。
数集、函数、极限、导数和积分等概念在数学和实际问题中都有广泛的应用，对于学生的学术和职业发展具有重要意义。
大学数学高等数学的基本概念与定理
大学数学高等数学的基本概念与定理数学作为一门基础学科，对于大学生而言，高等数学是他们学习数学的起点。
在大学的高等数学课程中，基本概念与定理是学生们必须掌握的内容。
本文将重点介绍大学数学高等数学的基本概念与定理。
第一章数列与极限数列是数学中一系列按照一定规律排列的数的集合。
数列中的每一个数称为数列的项，用一般的小写字母an表示。
在数学中，数列是研究极限的基础。
极限概念对于分析数列的性质和行为非常重要。
1.1 数列的定义与性质数列的定义：如果对于每一个整数n，都有唯一确定的一个实数an与之对应，那么称a1, a2, a3, ...为一个数列，简记为{an}。
数列的性质：1）数列的有界性：数列有界的意义是存在两个实数M和N，使得对于每一个正整数n，都有M≤an≤N。
2）数列的单调性：数列单调有两种情况，即递增和递减。
如果对于每一个正整数n，an≤an+1，则称数列递增；如果an≥an+1，则称数列递减。
3）数列的有界单调性：数列既有界又递增或递减。
1.2 数列的极限极限是数列中最重要的概念之一，它描述了数列中的项随着自变量趋于无穷大或无穷小时的行为。
数列收敛与发散的定义：1）数列的收敛性：如果存在一个实数a，对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时，|an-a|<ε都成立，那么称数列{an}收敛于a，记作lim（n→∞）an=a。
如果数列不收敛，则称数列发散。
2）数列的无穷大：对于任意给定的正数M，总存在正整数N，使得当n>N时，an>M都成立。
如果数列有这样的性质，则称数列为无穷大数列。
第二章函数与极限函数是数学中研究量与量之间对应关系的一种映射关系。
在数学中，函数的极限是研究函数性质、行为和趋势的重要概念。
2.1 函数的基本概念函数的定义与性质：1）函数的定义：设A、B为非空数集，若对于每一个x∈A，都有唯一确定的确定用y表示的实数与之对应，那么就称y是x的函数，记作y=f(x)，称f(x)为从A到B的一个函数。
数学文化第一讲：数学的本质
第一讲 数学的本质
一、数学研究对象的历史考察
从数学发展的每个历史时期，人们在实践中，对 数学研究对象的发现与认识，来加以考察。 数学，作为一门科学，它来源于人类社会实践， 并促进人类社会实践，也随着人类社会的进步而 发展。 1.数学萌芽时期(远古～公元前6世纪) 2.常量数学时期(公元前6世纪～公元17世纪) 3.变量数学时期(17世纪～19世纪) 4.近现代数学时期(19世纪以后)
上面三个问题，虽然都来自于现实世界的问题， 且有不同的实际背景，但是每个问题经过抽象 之后，“它们所反映的已不是某一特定事物或 现象的量性特征，而是一类事物或现象在量的 方面的特性”。像这样超越特殊对象而具有普
遍意义的问题就是一种模式，即量化模式。
综上所述，数学的概念、命题(理论)、公式、 定理、问题和方法等等，事实上都是一种量 化的模式，这样一来，“数学即是关于量化 模式的建构与研究。”正如美国数学家 L.Steen所说：“数学是模式的科学，数学家 从数中、空间中、科学中和想象中寻找模式， 数学理论阐明了模式间的关系。”
1.数学萌芽时期(远古～公元前6世纪)
特点： 零零星星地认识了数学中最古老、原始的 概念——“数”(自然数)和“形”(简单几何 图形)。 数的概念起源于数(读shǔ)，脚趾和手指 记数、“结绳记数” 等； 另一方面，人类还在采集果实、打造石器、 烧土制陶的活动中，对各种物体加以比较， 区分直曲方圆，逐渐形成了“形”的概念。
（3）从数学对象来看．数学家Descarte把 数学称作“序的科学”；物理学家 Weinberg把数学看作是“模式与关系”的 科学，如像生物是有机体的科学，物理是物 和能的科学一样，“数学是模式的科学”； 如果把数学看作是一种语言，它又可认为 “是描述模式的语言”。随着现代数学的创 立与发展，人们对数学的本质的认识逐步深 化，在当今数学哲学界流行一些新颖和较成 熟的数学哲学观点. 2.数学是模式的科学 《现代汉语词典》里，对模式的解释是指 “某种事物的标准形式”，这种标准形式 是通过抽象、概括而产生的。
代数_学习_高等数学
代数_学习_高等数学代数学是数学的一个重要分支，其本质是研究各种有关数的结构的抽象和概念。
代数学的重要内容，包括非欧几野空间、上非欧几野空间概念及其结构、数论、群论、代数几何以及范畴论等等。
它被广泛应用于物理学、化学、生物学、经济学等多个领域，具有重要的理论价值和应用价值。
在研究及应用代数学时，不仅要了解代数学中所涉及的理论，更重要的是熟练掌握其解题方法。
大部分代数学问题，首先要先建立相应的数学模型，将其转换为可求解的数学关系，然后寻找结果。
首先，代数学学习的基础是习得代数基本概念。
包括熟习有关数的基本概念，如因式、方程、无理数、根式等；学习解方程的基本技巧，如移项、合并项、分解因式等；还要熟练掌握代数的快速运算技巧，如二元一次方程求根、二元二次方程求根等。
其次，要了解非欧几野空间、上非欧几野空间概念及其结构。
非欧几野空间，是一个更为抽象的概念，其本质是一个定义在向量空间上的空间，可以用来描述一定几何关系；而上非欧几野空间，则是一个更为复杂的概念，它引入了“线性变换”的概念，只有当线性变换满足特定的关系时，上非欧几野空间才能真正构成。
第三，学习代数时，要特别注意数论和群论的知识。
数论是数学的一个分支，主要研究有关整数的概念及其相关结构，特别是连续不断的整数。
群论大致研究和分析群结构、群元素的计算及其结果，学习数论和群论的知识，有助于更深入的理解代数学的基本概念，把握代数解题的基本方法。
最后，要学习代数几何和范畴论的知识。
代数几何是一门探讨几何图形的抽象研究，是以代数特征描述几何图形的解释方法，数学家们用代数表达式和代数方程来分析几何图形，从而为几何图形提供一种新的研究方法；范畴论，则是一门研究范畴（集合、函数、映射等）及其结构的学科，是统一理论和数学逻辑学的重要组成部分。
总之，学习代数学，需要了解代数基本概念，掌握解方程的基本技巧和快速运算技巧，了解非欧几野空间、上非欧几野空间概念及其结构，深入学习数论、群论、代数几何及范畴论等。
学习高等数学的目的、作用、内容及方法
学习高等数学的目的、作用、内容及方法一、为什么要学习高等数学？高等数学是高等学校许多专业学生必修的重要基础理论课程。
数学主要是研究现实世界中的“数量关系”与“空间形式”。
世界上任何客观存在都有其“数”与“形”的属性特征，并且一切事物都发生变化，遵循量变到质变的规律。
凡是研究量的大小、量的变化、量与量之间关系以及这些关系的变化，就少不了数学。
同样，客观世界存在有各种不同的空间形式。
因此，宇宙之大，粒子之微，光速之快，实事之繁，……无处不用数学。
数学不但研究空间形式与数量关系，还研究现实世界中的任何形式和关系，只要这种形势和关系能抽象出来，用清晰准确的方式表达，即所谓化为数学模型。
不但如此，数学还研究在逻辑上可能的形式。
“空间形式”必须理解为一切类似于空间形式的形式：射影空间、非欧几里得空间、拓扑空间、无穷维空间的空间、微分流形……“数量关系”也要理解为一切类似于数量关系的关系：逻辑关系、语法关系……数学研究的是各种抽象的“数”和“形”的模式结构。
在今天的数学中，“数”和“形”的概念已发展到很高的境地。
比如，非数之“数”的众多代数结构，像群、环、域等；无形之形的一些抽象空间，像线性空间、拓扑空间、流形等。
恩格斯说：“要辩证而又唯物地了解自然，就必须掌握数学。
”英国著名哲学家培根说：“数学是打开科学大门的钥匙”。
德国大数学家、天文家、物理学家高斯说：“数学是科学的皇后，她常常屈尊去为天文学和其它自然科学效劳，但在所有的关系中，她都堪称第一。
”马克思还认为：“一种科学，只有当它成功地运用数学时，才能达到真正完善的地步。
”亨普尔说：经验科学中多数更加深刻的定理都是借助数学概念陈述的。
拉奥说：一个国家的科学进步可以用它消耗的数学来衡量。
考特说：数学是人类智慧王冠上最灿烂的明珠。
戴维认为：被人们如此称颂的高科技技术，本质上是一种数学技术。
霍格说：如果一个学生要成为完全合格的、多方面武装的科学家，他在其发展初期就必定来到一座大门，并且必须通过这座大门，在这座大门上用每种人类语言刻着同一句话：“这里使用数学语言。
高等数学 课程介绍
高等数学课程介绍高等数学是大学数学中的一门重要课程，它是数学学科中的一门基础课程，也是其他数学学科的重要基础。
高等数学的学习内容主要包括微积分、线性代数、概率论与数理统计等方面，这些内容都是数学学科中的重要组成部分。
高等数学的学习对于学生的数学素养和数学思维能力的提高有着非常重要的作用。
在高等数学的学习过程中，学生需要掌握一定的数学知识和数学技能，同时也需要具备一定的数学思维能力和解决问题的能力。
通过高等数学的学习，学生可以更好地理解数学的本质和数学的应用，同时也可以更好地应用数学知识解决实际问题。
高等数学的学习内容非常丰富，其中微积分是高等数学中的重要组成部分。
微积分是研究函数的变化规律和极限的数学分支，它是现代科学和工程技术中不可或缺的数学工具。
在微积分的学习过程中，学生需要掌握函数的概念、极限的概念和性质、导数和微分的概念和性质、积分的概念和性质等内容。
通过微积分的学习，学生可以更好地理解函数的变化规律和极限的概念，同时也可以更好地应用微积分解决实际问题。
线性代数是高等数学中的另一个重要组成部分。
线性代数是研究向量空间和线性变换的数学分支，它是现代科学和工程技术中不可或缺的数学工具。
在线性代数的学习过程中，学生需要掌握向量空间的概念和性质、线性变换的概念和性质、矩阵的概念和性质等内容。
通过线性代数的学习，学生可以更好地理解向量空间和线性变换的概念，同时也可以更好地应用线性代数解决实际问题。
概率论与数理统计是高等数学中的另一个重要组成部分。
概率论与数理统计是研究随机现象和数据分析的数学分支，它是现代科学和工程技术中不可或缺的数学工具。
在概率论与数理统计的学习过程中，学生需要掌握概率的概念和性质、随机变量的概念和性质、概率分布的概念和性质、统计推断的概念和方法等内容。
通过概率论与数理统计的学习，学生可以更好地理解随机现象和数据分析的概念，同时也可以更好地应用概率论与数理统计解决实际问题。
高等数学是大学数学中的一门重要课程，它是数学学科中的一门基础课程，也是其他数学学科的重要基础。
高等数学中对极限概念的深层理解
高等数学中对极限概念的深层理解极限是高等数学中的重要概念，对我们理解数学的基本概念，如函数、曲线等有着重大意义。
极限的概念比较抽象，它涉及多个数学概念的综合考虑，而它的本质是无限，及无限的接近的概念。
它的基本性质及形式描述是，一个函数f(x)在某一点x=a处，如果沿着x的方向由a变动，它的值也会不断变化，使得它有趋近某一确定值L这样一种状况，当x趋于a时，f(x)趋于L，称L为函数f(x)在a点的极限，记作lim f(x)=L,x=a。
可以看出，极限就是一个函数随另一变量一点点变化时，其值发生的变化微不足道，并趋于某一确定值，这就是极限的定义。
从上面的定义来看，求极限概念的本质，必须要从两个方面入手：一是要灵活运用各种极限性质，把函数分解成简单的形式，而后再进而分析和推理；二是要进行无限小运算，例如求导、积分，才能解出一个函数近似为某一值时所给出的极限值。
在极限的研究中，运用无限小的概念十分重要，即用ε表示无限小的数量，Δx表示x的最小变化，以及 |f(x)-L|<ε表示f(x)离L的距离接近于ε。
其实，我们认为“f(x)的值趋于L,当x趋于a时”，可以简言之的理解为：“当x接近a时，任意取ε>0，都存在Δx>0，使得当x介于a和a+Δx(其中a+Δx>a)之间时，|f(x)-L|<ε”，这也是我们求极限所期望的。
因此极限，初学时只是数学家发明的一个点，概念抽象，实质上的意思则是“一个数值函数的取值逐渐接近于某一数值”，及其隐含的“存在意义”。
极限的本质不仅与ε 和Δx有关，也与渐进极限有关，其定义是当x逐渐增大时，其与某一函数值f(x)的距离也相应增大，并且存在一个agef（x0），使得随着x趋于x0，f（x）也趋于agef（x0）。
这里，agef（x0）恰好就是极限等式lim f（x）=L,x=a 的解，可以理解为f（x）有“渐进极限”，即当x趋于a时，f（x）的值也向a靠近。
高等数学ppt课件
定积分的性质
定积分具有可加性、可积性、可微性等性质 。
定积分的应用
01
02
03
几何应用
定积分可以用于计算平面 图形和三维物体的面积和 体积，如矩形、圆形、球 体等。
物理应用
定积分可以用于计算变力 沿直线做功、液体压力等 物理问题。
经济应用
定积分可以用于计算经济 指标，如成本、收益、利 润等。
05
多重积分与向量分析
多重积分的概念与性质
多重积分的定义
多重积分是单变量积分概念的推广，它涉及多个变量 的积分。多重积分可以看作是对于每个变量进行积分 ，然后将结果相乘。
多重积分的性质
多重积分的性质包括积分的可加性、积分的可交换性、 积分的可结合性等。这些性质与单变量积分的性质类似 ，但需要考虑到多个变量的复杂性。
函数定义
函数是一种数学工具，它建立了数与数之间的对应关系，可以将一个数集中的每一个数唯一地映射到另一个数集中。 函数的性质包括定义域、值域、对应关系等。
函数的表示方法
函数的表示方法有表格法、图示法和解析法等，其中解析法是最常用的方法之一。解析法是通过数学表达式来表示函 数的关系。
函数的单调性
函数的单调性是指函数在某区间内的单调递增或单调递减的性质。单调函数具有连续性和可导性等性质 。
03
导数与微分
导数的定义与性质
总结词
导数是描述函数值随自变量改变速率的 方式，是函数局部性质的重要体现。
VS
详细描述
导数定义为函数在某一点的变化率，即函 数在这一点处切线的斜率。导数的基本性 质包括：（1）常数函数的导数为零；（ 2）导函数在某点的极限就是原函数在该 点的导数值；（3）两个函数相加或相减 后的导数等于各自导数之和或之差；（4 ）常数倍函数的导数等于该常数乘以原函 数的导数。
高等数学绪论
在一切理论成就中,未必再有什么像17世
纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神
的最高胜利了。如果在某个地方我们看到人
类精神的纯粹的和惟一的功绩，那就正在这
里。
恩格斯
国家的繁荣富强，关键在于高新的科技和高 效率的管理。高技术的基础是应用科学，而 应用科学的基础是数学。高技术本质上是一 种数学技术。
常微分方程：是把微积分应用于解决实际问 题的桥梁，讨论常微分方程的可解性及解的 求法。
向量代数与空间解析几何：研究向量的概念 与运算，空间的平面、曲线、曲面的代数描 述及方程和函数的几何表示，是平面解析几 何的自然推广。
无穷级数：是有限和的推广，研究级数的收敛 性及函数的无穷级数展开问题。
高等数学与初等数学的主要区别在于研究的对 象和研究方法的不同：初等数学主要研究规则、 平直的几何图形和均匀、有限过程的常量；高 等数学主要研究不规则、弯曲的几何对象和非 均匀、无限过程的变量。
圆的切线 : 与圆只
有一个交点的直线
y x 3 2x 5在(0,5)
P
的切线是什么？
割线的极限位置
割线斜率：
y x3 2x 5
k PM
f (x) f (0) x0
x2 2
切线斜率k lim f ( x) f (0) 2
x0
x0
M
M
T
例2 曲边形的面积
求由x轴，x 1, y x 2所围图形的面积
微积分的创立者 及其先驱
笛卡尔、巴罗、
牛顿、莱布尼茨
0.1 数学发展概况
数学的萌芽时期：远古时代------公元前6世 纪。这一时期的数学知识是零碎的，没有命题 的证明和演绎推理。
常量数学时期：公元前6世纪------17世纪上 半叶。比较系统的知识体系、比较抽象的并有 独立的演绎体系的学科。中国古代数学名著 《九章算术》和古希腊的《几何原本》是代表 作。现在中学数学课程的主要内容基本上是这 一时期的成果。
高等数学本质
上册：函数（高等数学的主要研究对象）极限：数列的极限（特殊）——函数的极限（一般）极限的本质是通过已知某一个量（自变量）的变化趋势，去研究和探索另外一个量（因变量）的变化趋势由极限可以推得的一些性质：局部有界性、局部保号性……应当注意到，由极限所得到的性质通常都是只在局部范围内成立在提出极限概念的时候并未涉及到函数在该点的具体情况，所以函数在某点的极限与函数在该点的取值并无必然联系连续：函数在某点的极限等于函数在该点的取值连续的本质：自变量无限接近，因变量无限接近导数的概念本质是函数增量与自变量增量的比值在自变量增量趋近于零时的极限，更简单的说法是变化率微分的概念：函数增量的线性主要部分，这个说法有两层意思，一、微分是一个线性近似，二、这个线性近似带来的误差是足够小的，实际上任何函数的增量我们都可以线性关系去近似它，但是当误差不够小时，近似的程度就不够好，这时就不能说该函数可微分了不定积分：导数的逆运算什么样的函数有不定积分定积分：由具体例子引出，本质是先分割、再综合，其中分割的作用是把不规则的整体划作规则的许多个小的部分，然后再综合，最后求极限，当极限存在时，近似成为精确什么样的函数有定积分求不定积分（定积分）的若干典型方法：换元、分部，分部积分中考虑放到积分号后面的部分，不同类型的函数有不同的优先级别，按反对幂三指的顺序来记忆定积分的几何应用和物理应用高等数学里最重要的数学思想方法：微元法微分和导数的应用：判断函数的单调性和凹凸性微分中值定理，可从几何意义去加深理解泰勒定理：本质是用多项式来逼近连续函数。
要学好这部分内容，需要考虑两个问题：一、这些多项式的系数如何求？二、即使求出了这些多项式的系数，如何去评估这个多项式逼近连续函数的精确程度，即还需要求出误差（余项），当余项随着项数的增多趋向于零时，这种近似的精确度就是足够好的基础阶段的复习是以课本为主，主要任务两个，一是学习知识点（定义、定理、公式）并理解它们，二是完成一定的课后习题以检验自己对知识点的掌握程度。
学习高等数学的目的
学习高等数学的目的、意义和方法一、为什么要学习高等数学高等数学是高等学校中经济类、理工类专业学生必修的重要基础理论课程。
数学主要是研究现实世界中的数量关系与空间形式。
在现实世界中，一切事物都在不断地变化着，并遵循量变到质变的规律。
凡是研究量的大小、量的变化、量与量之间的关系以及这些关系的变化，就少不了数学。
同样，一切实在的物皆有形，客观世界中存在着各种不同的空间形式。
因此，宇宙之大，粒子之微，光速之快，世界之繁，…. ，无处不用到数学。
数学不但研究现实世界中的数量关系与空间形式，还研究各种各样的抽象的“ 数” 和“ 形” 的模式结构。
恩格斯说：“ 要辨证而又唯物地了解自然，就必须掌握数学。
” 英国著名哲学家培根说：“ 数学是打开科学大门的钥匙。
” 著名数学家霍格说：“ 如果一个学生要成为完全合格的、多方面武装的科学家，他在其发展初期就必定来到一座大门并且通过这座门。
在这座大门上用每一种人类语言刻着同样一句话:… 这里使用数学语言' 。
随着科学技术的发展，人们越来越深刻地认识到：没有数学，就难于创造出当代的科学成就。
科学技术发展越快越高，对数学的需求就越多。
如今，伴随着计算机技术的迅速发展、自然科学各学科数学化的趋势、社会科学各部门定量化的要求，使许多学科都在直接或间接地，或先或后地经历了一场数学化的进程（在基础科学和工程建设研究方面，在管理机能和军事指挥方面，在经济计划方面，甚至在人类思维方面，我们都可以看到强大的数学化进程）。
联合国教科文组织在一份调查报告中强调指出：“ 目前科学研究工作的特点之一是各门学科的数学化。
”为了使大家了解“ 高等数学” 在数学中的地位，我们简要地介绍一点数学的历史。
从最一般的观点来看，数学的历史可以分为四个基本的、在性质上不同的阶段。
当然精确的划分这些阶段是不可能的，因为每一个相继的阶段的本质特征都是逐步形成的，而且在每一个“ 前期” 内，都孕育乃至萌发了“ 后期” 的内容；而每一个“ 后期” 又都是其“ 前期” 内容的持续发展阶段。
【高等数学吧】无法理解高等数学怎么办？看看认真的人是怎样学的
【高等数学吧】无法理解高等数学怎么办？看看认真的人是怎样学的高中数学很好高等数学却理解不了有多少人高中的时候，不用怎么学，数学成就都很好，然而，到了大学之后，遇到高数之后，却感觉脑袋瓦特了。
今天，超模君就来看看知乎用户@王冲的分享，跟大家来探讨一下怎么学习高数。
先不谈方法。
大家总是在谈方法，我自己也总是喜欢谈方法。
但是其实最残酷的回答就是：功夫没下够。
大学数学比中学数学难，所以需要更多时间。
如果生活中没有什么驱动，很容易就功夫没下够，从而感到难以理解。
但是那些有足够需求驱动的朋友，很自然的不断的下功夫，不断的学、不断的想、不断的用，直到像呼吸一样简单，肯定就会觉得概念很自然了。
“得一善，则拳拳服膺而弗失之矣。
”方法总是能不断改进，但是手头有什么条件就用什么条件，不能说方法不完美就不往前走了，这才是正派武学的练法。
一定要吃苦的。
然后说方法。
所谓学习的方法，就是几个选择的权衡：1.到底学到什么程度算学会了。
前几天在知乎看到一个答案，说学数学有两个误区。
一个是已经学会了，然后不继续往后学，总在现在的思想上，拼命翻新技巧。
另一个是学得不扎实，意味着想要往后学。
前者常见于中学教育，后者常见于大学之上的教育。
2.理解还是背诵。
定理到底要一路追根究底到可以称为公理的东西，还是记住就好。
如果我讨厌死记硬背，到底要不要记忆呢？3.看书重要还是做题重要。
那么到底怎么选呢？一个基本原则是走极端一定是错的。
像我第一次的回答，就过于强调理解和看书，忽略了做题和背诵，说的不客气就是哗众取宠。
所以我越想越不舒服。
后来补上的答案，强调另一端，看似平衡了。
但没有把背后的道理说透。
什么是背后的道理？只有两条。
1、别走极端。
2、小马过河，实事求是。
不断的做，从现实中得到反馈，再改。
如果目标是通过考试，那么，学到能通过就算学会了。
如果不会做题，自己想想是忘了基本的定理，还是不会灵活运用。
如果是忘了基础，按照自己的性格，想理解就理解，想硬记就硬记。
无穷小量浅析
无穷小量浅析
蒲元酉
【期刊名称】《统计与信息论坛》
【年(卷),期】1992(000)002
【摘要】极限概念是高等数学最基本的概念，极限方法是高等数学最本质的方法，极限理论构成了数学分析的基础，而无穷小量则是极限理论的核心。
无穷小量就是以零为极限的变量。
在同一自变量变化过程中，两个无穷小量的和、差、积仍然是无穷小量，但是两个无穷小量的商就不一定了。
通过比较两个无穷小量趋于零的速度可引入无穷小量阶的概念。
设α，β是同一自变量变化过程的无穷小量，如果
limβ/α=0，就说β是比α高阶的无穷小量，记作β=O（α）；如果limβ/α=∞，就说β是比α低阶的无穷小量；如果limβ/α=c≠0,就说β与α是同阶无穷小量；如果limβ/α=1，就说β与α是等价无穷小量，记作α～β。
【总页数】5页(P65-69)
【作者】蒲元酉
【作者单位】基础课部数学教研室
【正文语种】中文
【中图分类】O171
【相关文献】
1.无限个无穷小量的和与积仍是无穷小量吗? [J], 师义民;杨昭军
2.无穷个无穷小量之积仍为无穷小量的充要条件 [J], 艾红
3.无穷积分收敛与无穷小量间联系的教学探讨 [J], 杨锦华; 陈莉
4.无穷小量在函数极限中应用探析 [J], 张志会
5.例析数学分析习题课中无穷小量结论的应用 [J], 王成强
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高等代数和高等数学的区别
高等代数和高等数学的区别11、高等代数：代数在讨论任意多个未知数的一次方程组，也叫线性方程组。
高等数学：是由微积分学，较深入的代数学、几何学以及它们之间的交叉内容所形成的一门基础学科。
2、高等数学就是微积分+微分方程+空间解析几何。
高等代数是线性代数+线性空间+多项式，主要内容是矩阵运算和线性空间的变换。
高等代数和高等数学的区别：一、指代不同1、高等代数：代数在讨论任意多个未知数的一次方程组，也叫线性方程组的同时还研究次数更高的一元方程组。
2、高等数学：是由微积分学，较深入的代数学、几何学以及它们之间的交叉内容所形成的一门基础学科。
二、特性不同1、高等代数：高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，包括两部分：线性代数、多项式代数。
在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充，引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等。
2、高等数学：高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性。
抽象性和计算性是数学最基本、最显著的特点，有了高度抽象和统一，我们才能深入地揭示其本质规律，才能使之得到更广泛的应用。
三、发展不同1、高等代数：代数学除了对物理、化学等科学有直接的实践意义外，就数学本身来说，代数学也占有重要的地位。
代数学中发生的许多新的思想和概念，大大地丰富了数学的'许多分支，成为众多学科的共同基础。
2、高等数学：高等数学除了有很多理论性很强的学科之外，也有一大批计算性很强的学科，如微分方程、计算数学、统计学等。
在高度抽象的理论装备下，这些学科才有可能处理现代科学技术中的复杂计算问题。
高等代数和高等数学的区别2学习高数的好处1、可以培养思维能力2、可以应用到其他学科的学习3、专升本或考研都需要考数学4、最直接的，期末考试要考，过了才能毕业，才能拿到毕业证对于高等学校工科类专业的本科生而言，高等数学课程是一门非常重要的基础课，它内容丰富，理论严谨，应用广泛，影响深远。
不仅为学习后继课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的基础，而且在培养学生抽象思维、逻辑推理能力，综合利用所学知识分析问题解决问题的能力，较强的自主学习的能力，创新意识和创新能力上都具有非常重要的作用。
初等数学,中等数学,高等数学
初等数学,中等数学,高等数学初等数学、中等数学、高等数学数学作为一门学科，分为初等数学、中等数学和高等数学三个层次。
本文将从这三个层次的角度介绍数学的基本概念、方法和应用。
初等数学是指学习者在学习数学的最初阶段所学习的数学知识和技能。
它包括了基本的算术运算、数的性质、代数表达式的计算、简单方程和不等式的解法等内容。
通过初等数学的学习，学习者可以培养基本的逻辑思维能力和数学计算能力，为后续学习中等数学和高等数学打下基础。
中等数学是指在初等数学的基础上，进一步学习和掌握的数学内容。
它包括了复数、多项式、函数、三角函数、数列、概率与统计等方面的知识。
在中等数学中，学习者将进一步理解和应用代数、几何、函数和数字运算等概念，培养问题解决和分析能力。
中等数学是数学学科中的重要环节，是进一步学习高等数学和应用数学的基础。
高等数学是指在中等学校教育的基础上，进一步深化和扩展的数学内容。
它包括了微积分、线性代数、数理方程、概率论等方面的知识。
高等数学是数学学科的重要组成部分，不仅是理工科学生的必修课程，也是许多其他学科的基础。
通过学习高等数学，学习者将深入理解数学的本质和思维方法，培养抽象思维和问题解决能力。
总的来说，初等数学、中等数学和高等数学是数学学科中不同层次的内容和学习要求。
通过逐层学习，学习者可以逐步提高自己的数学素养和能力。
初等数学为后续学习提供了坚实的基础，中等数学将进一步拓展和应用数学知识，高等数学则是深化和扩展数学内容的重要阶段。
数学作为一门学科，既有理论性的研究，也有实际应用的需求，因此数学的学习对于培养学生的逻辑思维和问题解决能力具有重要意义。
初等数学、中等数学和高等数学共同构成了我们对数学学科的全面认识，也为我们今后的学习和工作打下了坚实的基础。
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高等数学本质
Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
上册：
函数（高等数学的主要研究对象）
极限：数列的极限（特殊）——函数的极限（一般）
极限的本质是通过已知某一个量（自变量）的变化趋势，去研究和探索另外一个量（因变量）的变化趋势
由极限可以推得的一些性质：局部有界性、局部保号性……应当注意到，由极限所得到的性质通常都是只在局部范围内成立
在提出极限概念的时候并未涉及到函数在该点的具体情况，所以函数在某点的极限与函数在该点的取值并无必然联系
连续：函数在某点的极限等于函数在该点的取值
连续的本质：自变量无限接近，因变量无限接近
导数的概念
本质是函数增量与自变量增量的比值在自变量增量趋近于零时的极限，更简单的说法是变化率
微分的概念：函数增量的线性主要部分，这个说法有两层意思，一、微分是一个线性近似，二、这个线性近似带来的误差是足够小的，实际上任何函数的增量我们都可以线性关系去近似它，但是当误差不够小时，近似的程度就不够好，这时就不能说该函数可微分了
不定积分：导数的逆运算
什么样的函数有不定积分
定积分：由具体例子引出，本质是先分割、再综合，其中分割的作用是把不规则的整体划作规则的许多个小的部分，然后再综合，最后求极限，当极限存在时，近似成为精确
什么样的函数有定积分
求不定积分（定积分）的若干典型方法：换元、分部，分部积分中考虑放到积分号后面的部分，不同类型的函数有不同的优先级别，按反对幂三指的顺序来记忆
定积分的几何应用和物理应用
高等数学里最重要的数学思想方法：微元法
微分和导数的应用：判断函数的单调性和凹凸性
微分中值定理，可从几何意义去加深理解
泰勒定理：本质是用多项式来逼近连续函数。
要学好这部分内容，需要考虑两个问题：一、这些多项式的系数如何求二、即使求出了这些多项式的系数，如何去评估这个多项式逼近连续函数的精确程度，即还需要求出误差（余项），当余项随着项数的增多趋向于零时，这种近似的精确度就是足够好的
基础阶段的复习是以课本为主，主要任务两个，一是学习知识点（定义、定理、公式）并理解它们，二是完成一定的课后习题以检验自己对知识点的掌握程度。
很多人在学习中都容易忽视课本，觉得比起那些专门的参考资料，课本上的习题实际上是没什么值得关注的，但其实不然，一套经典的教材，它所配的习题很多都有值得我们去挖掘的地方。
下册（一）：
多元函数的微积分：将上册的一元函数微积分的概念拓展到多元函数
最典型的是二元函数
极限：二元函数与一元函数要注意的区别，二元函数中两点无限接近的方式有无限多种（一元函数只能沿直线接近），所以二元函数存在的要求更高，即自变量无论以任何方式接近于一定点，函数值都要有确定的变化趋势
连续：二元函数和一元函数一样，同样是考虑在某点的极限和在某点的函数值是否相等
导数：上册中已经说过，导数反映的是函数在某点处的变化率（变化情况），在二元函数中，一点处函数的变化情况与从该点出发所选择的方向有关，有可能沿不同方向会有不同的变化率，这样引出方向导数的概念
沿坐标轴方向的导数若存在，称之为偏导数
通过研究发现，方向导数与偏导数存在一定关系，可用偏导数和所选定的方向来表示，即二元函数的两个偏导数已经足够表示清楚该函数在一点沿任意方向的变化情况
高阶偏导数若连续，则求导次序可交换
微分：微分是函数增量的线性主要部分，这一本质对一元函数或多元函数来说都一样。
只不过若是二元函数，所选取的线性近似部分应该是两个方向自变量增量的线性组合，然后再考虑误差是否是自变量增量的高阶无穷小，若是，则微分存在
仅仅有偏导数存在，不能推出用线性关系近似表示函数增量后带来的误差足够小，即偏导数存在不一定有微分存在
若偏导数存在，且连续，则微分一定存在
极限、连续、偏导数和可微的关系在多元函数情形里比一元函数更为复杂
极值：若函数在一点取极值，且在该点导数（偏导数）存在，则此导数（偏导数）必为零
所以，函数在某点的极值情况，即函数在该点附近的函数增量的符号，由二阶微分的符号判断。
对一元函数来说，二阶微分的符号就是二阶导数的符号，对二元函数来说，二阶微分的符号可由相应的二次型的正定或负定性判断。
级数敛散性的判别思路：首先看通项是否趋于零，若不趋于零则发散。
若通项趋于零，看是否正项级数。
若是正项级数，首先看能否利用比较判别法，注意等比级数和调和级数是常用来作比较的级数，若通项是连乘形式，考虑用比值判别法，若通项是乘方形式，考虑用根值判别法。
若不是正项级数，取绝对值，考虑其是否绝对收敛，绝对收敛则必收敛。
若绝对值不收敛，考察一般项，看是否交错级数，用莱布尼兹准则判断。
若不是交错级数，只能通过最根本的方法判断，即看其前n项和是否有极限，具体问题具体分析。
比较判别法是充分必要条件，比值和根值法只是充分条件，不是必要条件。
函数项级数情况复杂，一般只研究幂级数。
阿贝尔定理揭示了幂级数的重要性质：收敛区域存在一个收敛半径。
所以对幂级数，关键在于求出收敛半径，而这可利用根值判别法解决。
逐项求导和逐项积分不改变幂级数除端点外的区域的敛散性，端点情况复杂，需具体分析。
一个函数能展开成幂级数的条件是：存在任意阶导数。
展开后的幂级数能收敛于原来函数的条件是：余项（误差）要随着项数的增加趋于零。
这与泰勒展开中的结论一致。
微分方程：不同种类的方程有不同的常见解法，但理解上并无难处。
下册（二）
定积分、二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分都可以概率为一种类型的积分，从物理意义上来理解是某个空间区域（直线段、平面区域、立体区域、曲线段、曲面区域）的质量，其中被积元可看作区域的微小单元，被积函数则是该微小单元的密度
这些积分最终都是转化成定积分来计算
第二类曲线积分的物理意义是变力做功（或速度环量），第二类曲面积分的物理意义是流量
在研究上述七类积分的过程中，发现其实被积函数都是空间位置点的函数，于是把这种以空间位置作为自变量的函数称为场函数
场函数有标量场和向量场，一个向量场相当于三个标量场
场函数在一点的变化情况由方向导数给出，而方向导数最大的方向，称为梯度方向。
梯度是一个向量，任何方向的方向导数，都是梯度在这个方向上的投影，所以梯度的模是方向导数的最大值
梯度方向是函数变化最快的方向，等位面方向是函数无变化的方向，这两者垂直
梯度实际上是一个场函数不均匀性的量度
梯度运算把一个标量场变成向量场
一条空间曲线在某点的切向量，便是该点处的曲线微元向量，有三个分量，它建立了第一类曲线积分与第二类曲线积分的联系
一张空间曲面在某点的法向量，便是该点处的曲面微元向量，有三个分量，它建立了第一类曲面积分和第二类曲面积分的联系
物体在一点处的相对体积变化率由该点处的速度场决定，其值为速度场的散度散度运算把向量场变成标量场
散度为零的场称为无源场
高斯定理的物理意义：对散度在空间区域进行体积分，结果应该是这个空间区域的体积变化率，同时这种体积变化也可看成是在边界上的流量造成的，故两者应该相等。
即高斯定理把一个速度场在边界上的积分与速度场的散度在该边界所围的闭区域上的体积分联系起来
无源场的体积变化为零，这是容易理解的，相当于既无损失又无补充
物体在一点处的旋转情况由该点处的速度场决定，其值为速度场的旋度
旋度运算把向量场变成向量场
旋度为零的场称为无旋场
斯托克斯定理的物理意义：对旋度在空间曲面进行第二类曲面积分，结果应该表示的是这个曲面的旋转快慢程度，同时这种旋转也可看成是边界上的速度环量造成的，故两者应该相等。
即斯托克斯定理把一个速度场在边界上形成的环量与该边界所围的曲面的第二类曲面积分联系起来。
该解释是从速度环量的角度出发得到的，比高斯定理要难，不强求掌握。
无旋场的速度环量为零，这相当于一个区域没有旋转效应，这是容易理解的格林定理是斯托克斯定理的平面情形
进一步考察无旋场的性质
旋度为零，相当于对旋度作的第二类曲面积分为零——即等号后边的第二类曲线积分为零，相当于该力场围绕一闭合空间曲线作做的功为零——即从该闭合曲线上任选一点出发，积分与路径无关——相当于所得到的曲线积分结果只于终点的选择有关，与路径无关，可看成终点的函数，这是一个场函数（空间位置的函数），称为势函数——所得的势函数的梯度正好就是原来的力场——因为力场函数是连续的，所以势函数有全微分
简单的概括起来就是：无旋场——积分与路径无关——梯度场——有势场——全微分
要注意以上这些说法之间的等价性
三定理（Gauss Stokes Green）的向量形式和分量形式都要熟悉。