2019年北京市东城区高三一模数学试卷及答案(文科)
2019年北京市东城区高考数学一模试卷和答案(文科)
2019年北京市东城区高考数学一模试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A＝{x|2x2+x＞0}，B＝{x|2x+1＞0}，则A∩B＝（）A．B．C．{x|x＞0}D．R2．（5分）在复平⾯面内，若复数（2﹣i）z对应的点在第⼆象限，则z可以为（）A．2B．﹣1C．i D．2+i3．（5分）已知圆C：x2+2x+y2＝0，则圆心C到直线x＝3的距离等于（）A．1B．2C．3D．44．（5分）设E为△ABC的边AC的中点，，则m，n的值分别为（）A．B．C．D．5．（5分）正方体被一个平面截去⼀一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该截面图形的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．平行四边形D．梯形6．（5分）若x，y满足，则|x﹣y|的最大值为（）A．0B．1C．2D．47．（5分）南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V1，V2，被平行于这两个平⾯面的任意平面截得的两个截面的面积分别为S1，S2，则“V1，V2相等”是“S1，S2总相等”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）某校开展“我身边的榜样”评选活动，现对3名候选人甲、乙、丙进行不记名投票，投票要求详见选票．这3名候选人的得票数（不考虑是否有效）分别为总票数的88%，70%，46%，则本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为（）A．68%B．88%C．96%D．98%二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）在等差数列{a n}中，a2+a6＝2，则a4＝．10．（5分）抛物线C：y2＝2px上一点（1，y0）到其焦点的距离为3，则抛物线C的方程为．11．（5分）在△ABC中，若b cos C+c sin B＝0，则∠C＝．12．（5分）已知函数，若对于闭区间[a，b]中的任意两个不同的数x1，x2，都有成立，写出一个满足条件的闭区间．13．（5分）设函数若a＝1，则f（x）的最小值为；若f （x）有最小值，则实数a的取值范围是．14．（5分）设A，B是R中两个子集，对于x∈R，定义：①若A⊆B．则对任意x∈R，m（1﹣n）＝；②若对任意x∈R，m+n＝1，则A，B的关系为．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求f（x）的最小正周期，并画出f（x）在区间[0，π]上的图象．16．（13分）已知等比数列{a n}的首项为2，等差数列{b n}的前n项和为S n，且a1+a2＝6，2b1+a3＝b4，S3＝3a2．（Ⅰ）求{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{c n}的前n项和．17．（13分）改革开放40年来，体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及．下图是我国2006年至2016年体育产业年增加值及年增速图．其中条形图表示体育产业年增加值（单位：亿元），折线图为体育产业年增长率（%）．（Ⅰ）从2007年至2016年这十年中随机选出一年，求该年体育产业年增加值比前一年多500亿元以上的概率；（Ⅱ）从2007年至2011年这五年中随机选出两年，求至少有一年体育产业年增长率超过25%的概率；（Ⅲ）由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大？（结论不要求证明）18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，，AB∥CD，AB⊥AD，AD＝DC＝1，AB＝2，E为侧棱P A上一点．（Ⅰ）若，求证：PC∥平面EBD；（Ⅱ）求证：平面EBC⊥平面P AC；（Ⅲ）在侧棱PD上是否存在点F，使得AF⊥平面PCD？若存在，求出线段PF的长；若不存在，请说明理由．19．（13分）已知为椭圆上两点，过点P 且斜率为k，﹣k（k＞0）的两条直线与椭圆M的交点分别为B，C．（Ⅰ）求椭圆M的方程及离心率；（Ⅱ）若四边形P ABC为平行四边形，求k的值．20．（14分）已知函数f（x）＝ax2+（a﹣2）x﹣lnx．（Ⅰ）若函数f（x）在x＝1时取得极值，求实数a的值；（Ⅱ）当0＜a＜1时，求f（x）零点的个数．2019年北京市东城区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A＝{x|2x2+x＞0}，B＝{x|2x+1＞0}，则A∩B＝（）A．B．C．{x|x＞0}D．R【解答】解：；∴A∩B＝{x|x＞0}．故选：C．2．（5分）在复平⾯面内，若复数（2﹣i）z对应的点在第⼆象限，则z可以为（）A．2B．﹣1C．i D．2+i【解答】解：当z＝2时，（2﹣i）z＝4﹣2i，对应的点在第四象限，不合题意；当z＝﹣1时，（2﹣i）z＝﹣2+i，对应的点在第二象限，符合题意；当z＝i时，（2﹣i）z＝1+2i，对应的点在第一象限，不合题意；当z＝2+i时，（2﹣i）z＝5，对应的点在实轴上，不合题意．故选：B．3．（5分）已知圆C：x2+2x+y2＝0，则圆心C到直线x＝3的距离等于（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：圆C：x2+2x+y2＝0，即（x+1）2+y2＝1，故圆心C（﹣1，0），则圆心C到直线x＝3的距离为|3﹣（﹣1）|＝4，故选：D．4．（5分）设E为△ABC的边AC的中点，，则m，n的值分别为（）A．B．C．D．【解答】解：E为△ABC的边AC的中点，∴＝+＝﹣+，又，则m＝﹣1，n＝，故选：A．5．（5分）正方体被一个平面截去⼀一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该截面图形的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．平行四边形D．梯形【解答】解：由三视图可得，该几何体是正方体被一个平面截去一个三棱锥，且三棱锥的两条侧棱相等，截面是等腰三角形，如图所示；故选：A．6．（5分）若x，y满足，则|x﹣y|的最大值为（）A．0B．1C．2D．4【解答】解：x，y满足，不等式组表示的平面区域如图所示，当直线z＝x﹣y过点A时，z取得最小值，0，当直线z＝x﹣y过点，B时，z取得最大值，4，则|x﹣y|的最大值为：4．故选：D．7．（5分）南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V1，V2，被平行于这两个平⾯面的任意平面截得的两个截面的面积分别为S1，S2，则“V1，V2相等”是“S1，S2总相等”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由祖暅原理知，若S1，S2总相等，则V1，V2相等成立，即必要性成立，若V1，V2相等，则只需要底面积和高相等即可，则S1，S2不一定相等，即充分性不成立，即“V1，V2相等”是“S1，S2总相等”的必要不充分条件，故选：B．8．（5分）某校开展“我身边的榜样”评选活动，现对3名候选人甲、乙、丙进行不记名投票，投票要求详见选票．这3名候选人的得票数（不考虑是否有效）分别为总票数的88%，70%，46%，则本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为（）A．68%B．88%C．96%D．98%【解答】解：不妨设共有选票100张，有效票x张，则无效票有（100﹣x）张，由题意可知同时同意甲，乙，丙三人的选票为无效票，若要有效票率最高，则每张有效票的同意人数均为最大值2，∴2x+3（100﹣x）＝（0.88+0.7+0.46）×100，解得x＝96．故有效率最高为96%．故选：C．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）在等差数列{a n}中，a2+a6＝2，则a4＝1．【解答】解：由a2+a6＝2a4＝2，得a4＝1，故答案为：1．10．（5分）抛物线C：y2＝2px上一点（1，y0）到其焦点的距离为3，则抛物线C的方程为y2＝8x．【解答】解：抛物线C：y2＝2px的准线方程为：x＝﹣，由抛物线的定义以及抛物线C：y2＝2px上一点（1，y0）到其焦点的距离为3，可得1﹣（）＝3，解得p＝4，所以抛物线方程为：y2＝8x．故答案为：y2＝8x．11．（5分）在△ABC中，若b cos C+c sin B＝0，则∠C＝．【解答】解：∵b cos C+c sin B＝0∴由正弦定理知，sin B cos C+sin C sin B＝0，∵0＜B＜π，∴sin B＞0，于是cos C+sin C＝0，即tan C＝﹣1，∵0＜C＜π，∴C＝．故答案为：．12．（5分）已知函数，若对于闭区间[a，b]中的任意两个不同的数x1，x2，都有成立，写出一个满足条件的闭区间（答案不唯一）．【解答】解：若对于闭区间[a，b]中的任意两个不同的数x1，x2，都有成立，则f（x）在[a，b]上是减函数，由2kπ+≤x+≤2kπ+，k∈Z，得2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z，当k＝0时，≤x≤，即函数的一个闭区间为[，]，故答案为：[，]．13．（5分）设函数若a＝1，则f（x）的最小值为0；若f（x）有最小值，则实数a的取值范围是[0，+∞）．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝，当x＜1时，f′（x）＝e x﹣2，∴当x＜ln2时，f′（x）＜0，当ln2＜x＜1时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（ln2，1）上单调递增，∴f（x）在（﹣∞，1）上的最小值为f（ln2）＝2﹣2ln2，当x≥1时，f（x）＝x﹣1在[1，+∞）上单调递增，∴f（x）在[1，+∞）的最小值为f（1）＝0，∵2﹣2ln2＞0，∴f（x）的最小值为0．（2）若0＜a≤ln2，则f（x）在（﹣∞，a）上单调递减，∴f（x）＞e a﹣2a≥2﹣2ln2＞0，f（x）在[a，+∞）上单调递增，故f（x）≥f（a）＝a2﹣1，而a2﹣1＜0，∴f（x）有最小值a2﹣1．若a＜0，则f（x）在（a，+∞）上单调递减，f（x）没有最小值，若a＝0，f（x）在（﹣∞，a）上单调递减，f（x）＞e a﹣2a＝1，在（a，+∞）上f（x）＝﹣1，故f（x）有最小值﹣1．若a＞ln2，则f（x）在（﹣∞，ln2）上单调递减，在（ln2，a）上单调递增，在[a，+∞）上单调递增，∴f（x）有最小值f（ln2）＝2﹣2ln2或a2﹣1，∴当a≥0时，f（x）有最小值．故答案为：0，[0，+∞）．14．（5分）设A，B是R中两个子集，对于x∈R，定义：①若A⊆B．则对任意x∈R，m（1﹣n）＝0；②若对任意x∈R，m+n＝1，则A，B的关系为A＝∁R B．【解答】解：①∵A⊆B．则x∉A时，m＝0，m（1﹣n）＝0．x∈A时，必有x∈B，∴m＝n＝1，m（1﹣n）＝0．综上可得：m（1﹣n）＝0．②对任意x∈R，m+n＝1，则m，n的值一个为0，另一个为1，即x∈A时，必有x∉B，或x∈B时，必有x∉A，∴A，B的关系为A＝∁R B．故答案为：0，A＝∁R B．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求f（x）的最小正周期，并画出f（x）在区间[0，π]上的图象．【解答】解：（I）＝＝＝﹣1．……………………………………………………．（3分）（Ⅱ）＝＝＝＝＝＝．…………………………………………………………………..（9分）所以f（x）的最小正周期．…………………………………………………．（10分）因为x∈[0，π]，所以．列表如下：………………………..（13分）16．（13分）已知等比数列{a n}的首项为2，等差数列{b n}的前n项和为S n，且a1+a2＝6，2b1+a3＝b4，S3＝3a2．（Ⅰ）求{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{c n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，数列{b n}的公差为d．由a1+a2＝6，得a1+a1q＝6．因为a1＝2，所以q＝2．所以．由得解得所以b n＝b1+（n﹣1）d＝3n﹣2．………..（8分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b n＝3n﹣2．所以．从而数列{c n}的前n项和＝＝6×2n﹣2n﹣6．．（13分）17．（13分）改革开放40年来，体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及．下图是我国2006年至2016年体育产业年增加值及年增速图．其中条形图表示体育产业年增加值（单位：亿元），折线图为体育产业年增长率（%）．（Ⅰ）从2007年至2016年这十年中随机选出一年，求该年体育产业年增加值比前一年多500亿元以上的概率；（Ⅱ）从2007年至2011年这五年中随机选出两年，求至少有一年体育产业年增长率超过25%的概率；（Ⅲ）由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大？（结论不要求证明）【解答】（共13分）解：（Ⅰ）设A表示事件“从2007年至2016年这十年中随机选出一年，该年体育产业年增加值比前一年多500亿元以上”．根据题意，．……………………………………………………．（3分）（Ⅱ）从2007年至2011年这五年中有两年体育产业年增长率超过25%，设这两年为A，B，其它三年设为C，D，E，从五年中随机选出两年，共有10种情况：AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，其中至少有一年体育产业年增长率超过25%有7种情况，所以该年体育产业年增加值比前一年多500亿元以上的概率为．……………………………………………………．（9分）（Ⅲ）从2008年或2009年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大．从2014年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大．……………．（13分）18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，，AB∥CD，AB⊥AD，AD＝DC＝1，AB＝2，E为侧棱P A上一点．（Ⅰ）若，求证：PC∥平面EBD；（Ⅱ）求证：平面EBC⊥平面P AC；（Ⅲ）在侧棱PD上是否存在点F，使得AF⊥平面PCD？若存在，求出线段PF的长；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设AC∩BD＝G，连结EG．由已知AB∥CD，DC＝1，AB＝2，得．由，得．在△P AC中，由，得EG∥PC．因为EG⊂平面EBD，PC⊄平面EBD，所以PC∥平面EBD．（Ⅱ）因为P A⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥P A．由已知得，，AB＝2，所以AC2+BC2＝AB2．所以BC⊥AC．又P A∩AC＝A，所以BC⊥平面P AC．因为BC⊂平面EBC，所以平面EBC⊥平面P AC．（Ⅲ）在平面P AD内作AF⊥PD于点F，由DC⊥P A，DC⊥AD，P A∩AD＝A，得DC⊥平面P AD．因为AF⊂平面P AD，所以CD⊥AF．又PD∩CD＝D，所以AF⊥平面PCD．由，AD＝1，P A⊥AD，得cos∠APD＝，即，∴．19．（13分）已知为椭圆上两点，过点P 且斜率为k，﹣k（k＞0）的两条直线与椭圆M的交点分别为B，C．（Ⅰ）求椭圆M的方程及离心率；（Ⅱ）若四边形P ABC为平行四边形，求k的值．【解答】（共13分）解：（I）由题意得解得所以椭圆M的方程为．又，所以离心率．………………………..（5分）（II）设直线PB的方程为y＝kx+m（k＞0），由消去y，整理得（3+4k2）x2+8kmx+（4m2﹣12）＝0．当△＞0时，设B（x1，y1），C（x2，y2），则，即．将代入y＝kx+m，整理得，所以．所以．所以．同理．所以直线BC的斜率．又直线P A的斜率，所以P A∥BC．因为四边形P ABC为平行四边形，所以|P A|＝|BC|．所以，解得或.时，B（﹣2，0）与A重合，不符合题意，舍去．所以四边形P ABC为平行四边形时，．………………………………（13分）20．（14分）已知函数f（x）＝ax2+（a﹣2）x﹣lnx．（Ⅰ）若函数f（x）在x＝1时取得极值，求实数a的值；（Ⅱ）当0＜a＜1时，求f（x）零点的个数．【解答】（共14分）解：（I）f（x）定义域为（0，+∞）.．由已知，得f'（1）＝0，解得a＝1．当a＝1时，．所以f'（x）＜0⇔0＜x＜1，f'（x）＞0⇔x＞1．所以f（x）减区间为（0，1），增区间为（1，+∞）．所以函数f（x）在x＝1时取得极小值，其极小值为f（1）＝0，符合题意所以a＝1．……………………………………………………………………（5分）（II）令，由0＜a＜1，得．所以．所以f（x）减区间为，增区间为．所以函数f（x）在时取得极小值，其极小值为．因为0＜a＜1，所以．所以．所以．因为，又因为0＜a＜1，所以a﹣2+e＞0．所以．根据零点存在定理，函数f（x）在上有且仅有一个零点．因为x＞lnx，f（x）＝ax2+（a﹣2）x﹣lnx＞ax2+（a﹣2）x﹣x＝x（ax+a﹣3）．令ax+a﹣3＞0，得．又因为0＜a＜1，所以．所以当时，f（x）＞0．根据零点存在定理，函数f（x）在上有且仅有一个零点．所以，当0＜a＜1时，f（x）有两个零点．………………………………（14分）。
北京市东城区普通校2019届高三11月联考数学(文)试题 (2)
北京市东城区普通校2019届高三11月联考文科数学试题命题校：崇文门中学 2019年11月本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120 分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{}4,2,1=A ,{}12==x x B ，那么=B A （ ） （A ）{}1 （B ）{}4,2,1 （C ）{}4,2,1,1- （D ）{}4,2 （2）在复平面内，复数2i 1i-（为虚数单位）对应的点的坐标为（ ） （A ）()1,1- （B ）()1,1- （C ）()2,2- （D ）()2,2- （3）已知向量()1,3=-a ，b ()2,m =-，若a ∥b ，那么=m （ ）（A ）6- （B ）6 （C ）32- （D ）32 （4）下列函数①1()3x y =，②x y lg =，③1y x =-+，④221y x x =-+中，在()0,+∞ 上单调递增的是（ ）（A ）① （B ）② （C ）③ （D ）④第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）已知数列{}n a 中，21=a ，n n a a 31=+(∈n *N )，那么=4a _____；=5S ____。
（10）已知函数()0,02)(>>+=a x xa x x f 在2=x 时取得最小值，那么a 的值为____。
（11）已知B A ,两点分别在河的两岸，某测量者在点A 所在的河岸边另选定一点C ，测得20AC =m ，45ACB ∠=，105CAB ∠=，那么B A ,两点的距离为_______m 。
（12）已知,x y 满足约束条件20320240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，那么3z x y =+的最大值为_______。
2019届北京市东城区高三4月综合练习(一模)数学(文)试题(PDF版)
（4）设 E 为 △ABC 的边 AC 的中点， BE mAB+nAC ，则 m, n 的值分别为 （A） - 1,
1 2
（B）
1 ,- 1 2
（C）-
1 ,1 2
（D）1,
1 2
（5）正方体被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图 所示，则截面图形的形状为 （A）等腰三角形 （C）平行四边形 （B）直角三角形 （D）梯形
AB ， AC ， AD ， AE ， BC ， BD ， BE ， CD ， CE ， DE ，其中至少有一年体育产
业年增长率超过 25%有７种情况， 所以所求概率为
7 . 10
…………………………………………………….9 分
（Ⅲ）从 2008 年或 2009 年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大． 从 2014 年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大． …………….13 分 （18） （共 14 分） 解： （Ⅰ）设 AC
7 12
3 2 5 6
11 6
-1
-1
0
2
[]
0
- 2
[
[]
…………………………..13 分
（16） （共 13 分） 解:（Ⅰ）设数列
an 的公比为 q ，数列 bn 的公差为 d .
6 ，得 a1 a1q 6 .因为 a1 2 ，所以 q 2
.
由 a1 a2 所以 an 由
2 3 sin x cos x 2cos 2 x 1 3 sin 2 x cos 2 x
3 1 2 sin 2 x cos 2 x 2 2
2sin 2 x . 6
2019北京高三一模数学---立体几何综合文科(教师版)
所以 DP 平面 BCE . 又因为 DP 平面 ADPQ
……………… 13 分
所以平面 ADPQ 平面 BCE （即平面 ADQ 平面 BCE ） .
即线段 BE 上存在点 Q （即 BE 中点），使得平面 ADQ 平面 BCE . ……… 14 分
3 / 11
【 海淀一模 】（本小题满分 14 分）
证明如下 ：
取 CE 的中点 P ， BE 的中点 Q ，连接 AQ, DP , PQ ，则 PQ // BC .
由 AD // BC ，得 PQ // AD .
所以 A, D , P, Q 四点共面 .
……………… 11 分
由（Ⅰ），知 AD 平面 CDE ， 所以 AD DP ，故 BC DP . 在△ CDE 中，由 DC DE ，可得 DP CE . 又因为 BC CE C ，
又 AC BC
BC CC1 C ， BC , CC1 平面 BCC1B1
所以 AC 平面 BCC1B1
EF 平面 BCC1B1 所以 AC EF
又因为 BC CC1 2 ， CC1 BC ，
所以侧面 BCC1B1 为正方形，故 BC1 CB1
而 E, F 分别为 B1C1 , BB1 的中点，连结 BC1，所以 EF ‖ BC1
又因为 D , E 分别为 A1C 1, B1C1 的中点，所以 DE A1B1 于是 DE AB
AB 平面 DEF ， DE 平面 DEF 所以 AB 平面 DEF
(II) 在三棱柱 A1B1C1 中，
CC1 平面 ABC ， AC 平面 ABC ， BC 平面 ABC 所以 CC1 AC ， CC1 BC
（Ⅰ）求证： AD CE ； （Ⅱ）求证： BF // 平面 CDE ；
2019届北京市东城区高三第二学期综合练习（一）数学（文）试题
2019届北京市东城区高三第二学期综合练习（一）数学（文）试题一、单选题1．在复平面内，复数(2i)z -对应的点位于第二象限，则复数z 可取（ ） A ．2 B ．-1C ．iD ．2i +【答案】B【解析】由题意首先分析复数z 的实部和虚部的关系，然后考查所给的选项即可确定z 的值. 【详解】不妨设(),z a bi a b R =+∈，则()()()()()2222i z i a bi a b b a i -=-+=++-，结合题意可知：20,20a b b a +<->，逐一考查所给的选项： 对于选项A ：24,22a b b a +=-=-，不合题意； 对于选项B ：22,21a b b a +=--=，符合题意； 对于选项C ：21,22a b b a +=-=，不合题意； 对于选项D ：25,20a b b a +=-=，不合题意； 故选：B . 【点睛】本题主要考查复数的运算法则，各个象限内复数的特征等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 2．已知圆22:20C x xy ，则圆心C 到直线3x =的距离等于A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】化圆为标准方程，得圆心坐标即可求解 【详解】由题()22x 1y 1++=,则圆心（-1,0），则圆心C 到直线x 3=的距离等3-（-1）=4 故选：D 【点睛】本题考查圆的方程，点到线的距离公式，熟记一般方程与标准方程的互化是关键，是基础题 3．设E 为ABC 的边AC 的中点，+BE mAB nAC =，则,m n 的值分别为A ．11,2- B ．1,12- C ．1,12-D ．11,2【答案】A【解析】将向量BE 用向量AB 和AC 表示出来即可找到m 和n 的值，得到答案． 【详解】 ∵1BE 2=（BA BC +）BA BA AC 2++==-1AB AC 2+ ∴m 1,=-n 12= 故选：A ． 【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理，将向量BE 用向量AB 和AC 表示出来是解题的关键，属基础题．4．正方体被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则截面图形的形状为A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．平行四边形D ．梯形【答案】A【解析】首先确定几何体的空间结构特征，然后确定截面的形状即可. 【详解】如图所示，由三视图可得，该几何体是正方体被一个平面截去一个三棱锥所得的几何体， 很明显三棱锥的两条侧棱相等，故截面是等腰三角形. 故选：A .【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体的问题，截面问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．若,x y满足0,10,26,x yyy x+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩则xy-的最大值为A．0B．1C．2D．4【答案】D【解析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义求解目标函数的最大值即可. 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：22x yz x y-=-=其中z取得最大值时，其几何意义表示可行域内的点到直线0x y-=2倍最大，据此可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：026x y y x +=⎧⎨=-⎩，可得点的坐标为：()2,2A -，据此可知目标函数的最大值为：()max 224z =--=. 故选：D . 【点睛】(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义． 6．南北朝时代的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”. 其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为12,V V ，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为12,S S ，则“12,V V 相等”是“12,S S 总相等”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题“12S ,S 总相等”一定能推出“12V ,V 相等”，反之举反例即可 【详解】由祖暅原理知：“12S ,S 总相等”一定能推出“12V ,V 相等”，反之：若两个同样的圆锥，一个倒放，一个正放，则体积相同，截面面积不一定相同 故选：B 【点睛】本题考查充分必要条件的判断，立体几何综合，理解祖暅原理是关键，是基础题 7．某校开展“我身边的榜样”评选活动，现对3名候选人甲、乙、丙进行不记名投票，投票要求详见选票. 这3名候选人的得票数（不考虑是否有效）分别为总票数的88% ,70% ,46% ，则本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为A ．68%B ．88%C ．96%D ．98%【答案】C【解析】设投1票的有x,2票的y,3票的z,由题列出x,y,z 的关系，推理即可 【详解】设投1票的有x,2票的y,3票的z ，则23204100,,x y z x y z x y z N ++=⎧⎪++=⎨⎪∈⎩,则z-x=4,即z=x+4,由题投票有效率越高z 越小，则x=0时，z=4,故本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为96% 故选：C 【点睛】本题考查推理的应用，考查推理与转化能力，明确有效率与无效票之间的关系是解题关键,是中档题二、填空题8．在等差数列n a 中，262a a +=，则4a =___________. 【答案】1【解析】根据题意，由等差数列的性质可得答案． 【详解】根据题意，等差数列{a n }中，26a a +＝2， 则41a 2=⨯（26a a +）＝1； 故答案为1 【点睛】本题考查等差数列的性质，关键是掌握等差数列的性质，准确计算是关键，属于基础题．9．抛物线C :22y px =上一点0(1,)y 到其焦点的距离为3，则抛物线C 的方程为_______. 【答案】28y x =【解析】利用抛物线的定义，求出p ，即可求C 的方程； 【详解】抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的准线方程为x p2=-， 由抛物线的定义可知1p2+=3，解得p ＝4， ∴C 的方程为y 2＝8x ； 故答案为2y 8x = 【点睛】本题考查抛物线的定义与方程，熟记定义是关键，属于基础题． 10．在ABC ∆中，若cos sin 0b C c B +=，则C ∠=___________. 【答案】34π 【解析】由题意结合正弦定理和特殊角的三角函数值可得∠C 的大小. 【详解】由题意结合正弦定理可得：sin cos sin sin 0B C C B +=， 由于sin 0B ≠，故cos sin 0C C +=，则sin 3tan 1,cos 4C C C C π==-=. 【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．已知函数()2sin()4f x x π=+，若对于闭区间[]a b ，中的任意两个不同的数12x x ，，都有1212()()0f x f x x x -<-成立，写出一个满足条件的闭区间__________.【答案】π544π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， （答案不唯一）【解析】由题()πf x 2sin x 4⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在闭区间[]a b ，单调递减，则求()πf x 2sin x 4⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一个单调减区间即可【详解】由题因为任意两个不同的数12x x ，，都有()()1212f x f x 0x x -<-，则知()πf x 2sin x 4⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在闭区间[]a b ，单调递减，ππ3π2k πx 2k π,k Z,242+≤+≤+∈即π52k πx 2k ππ44+≤≤+,,k Z,∈当k=0时，π5πx 44⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故答案为π5π44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【点睛】本题考查三角函数的单调性，函数单调性定义，熟记三角函数性质，准确计算是关键，是基础题12．设函数2,,()1,.x e x x a f x ax x a ⎧-<=⎨-≥⎩ 若1a =，则()f x 的最小值为__________； 若()f x 有最小值，则实数a 的取值范围是_______．【答案】0 [)0,+∞【解析】(1)将a=1代入函数，分析每段函数的最小值，则()f x 的最小值可求；(2)讨论a<0,a=0和a>0时函数的单调性和最小值即可求解 【详解】 (1)当a=1,()x e 2,1,f x 1,1.x x x x ⎧-<=⎨-≥⎩,()f x =x e 2x,x 1,f -<'(x )=x e 2,f -'(x )>0,1>x>ln2;f '(x )<0,x<ln2;故()()min f x f ln222ln2;==-当()f x =x 1,x 1-≥（），()f x 单调递增，故()()min f x f 10==，又22ln20,->所以()f x 的最小值为0(2) ①当a<0时，由(1)知()f x =xe 2x,x a -<单调递减，故()()()f x f a f x ax 1>=-；（x a ≥）单调递减，故()()f x f a ,≤故()f x 无最小值，舍去； ②当a=0时，f(x)最小值为-1，成立③当a>0时，()f x ax 1=-（x a ≥）单调递增，故()()f x f a ≥； 对()f x =xe 2x,x a -<，当0<a ≤ln2,由(1)知()()f x f a >,此时()x e 2,,f x 1,.x x a ax x a ⎧-<=⎨-≥⎩最小值在x=a 处取得，成立当a>ln2, 由(1)知()()f x f ln2≥,此时()x e 2,,f x 1,.x x a ax x a ⎧-<=⎨-≥⎩最小值为()(){}min f ln2,f a ,即()f x 有最小值，综上a 0≥故答案为0 ； [)0,∞+ 【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性最值，分类讨论思想，分段函数，准确分类讨论是关键，是中档题13．设A B ，是R 的两个子集，对任意x R ∈，定义：01x A m x A ∉⎧=⎨∈⎩，，，，01.x B n x B ，，，∉⎧=⎨∈⎩①若A B ⊆，则对任意x R ∈，(1)m n -= _____； ②若对任意x R ∈，1m n +=，则A B ，的关系为__________. 【答案】0 RA B =【解析】由题意分类讨论x ∉A 和x ∈A 两种情况即可求得(1)m n -的值，结合题中的定义和m ,n 的关系即可确定A ,B 之间的关系. 【详解】①∵A ⊆B .则x ∉A 时,m =0,m (1−n )=0. x ∈A 时,必有x ∈B ,∴m =n =1,m (1−n )=0. 综上可得：m (1−n )=0.②对任意x ∈R ，m +n =1，则m ，n 的值一个为0，另一个为1， 即x ∈A 时，必有x ∉B ，或x ∈B 时，必有x ∉A ， ∴A ,B 的关系为RA B =.【点睛】本题主要考查新定义知识的应用，集合之间的基本关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题 14．已知函数.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的最小正周期，并画出在区间上的图象.【答案】（Ⅰ）-1；（Ⅱ）详见解析.【解析】（Ⅰ）将x=代入解析式求解即可；（Ⅱ）化简得f（x），可得f（x）的最小正周期为π，根据五点作图法，列表描点即可画出函数在[0，π]上的图象．【详解】（I）.（Ⅱ）.所以的最小正周期.因为，所以.列表如下：【点睛】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，五点作图法做正弦函数的图象，属于基本知识的考查．15．已知等比数列n a 的首项为2，等差数列{}n b 的前n 项和为n S ，且126a a +=，1342b a b +=，323S a =.（Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设n n a c b =，求数列{}n c 的前n 项和.【答案】（Ⅰ）2n n a =，32n b n =-；（Ⅱ）6226n n T n =⨯--.【解析】（Ⅰ）{}n b 的公差为d ，由题意,利用等差数列的通项公式得q,求得n a ，再列1b d ，的方程，利用等差数列即可得出．（II ）利用分组求和法求和公式即可【详解】（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，数列{}n b 的公差为d . 由12a a 6+=，得11a a q 6+=.因为1a 2=，所以q 2=.所以n 1n 1n n 1a a q 222--==⋅=.由134322b a b ,S 3a +=⎧⎨=⎩，得1112b 8b 3,3b 312d d ，+=+⎧⎨+=⎩解得1b 1,3.d =⎧⎨=⎩ 所以()n 1b b n 1d 3n 2=+-=-.（Ⅱ）由（Ⅰ）知nn a 2=，n b =3n 2-.所以n nn a c b 322==⨯-.从而数列{}n c 的前n 项和()123n n T 322222n =⨯++++- ()n21232n 12⨯-=⨯--n 622n 6.=⨯--【点睛】本题考查等差，等比数列通项公式，求和公式，分组求和，熟记通项公式，准确求和是关键，是中档题16．改革开放40年来，体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及．下图是我国2006年至2016年体育产业年增加值及年增速图．其中条形图表示体育产业年增加值（单位：亿元），折线图为体育产业年增长率（％）．（Ⅰ）从2007年至2016年这十年中随机选出一年，求该年体育产业年增加值比前一年多500亿元以上的概率；（Ⅱ）从2007年至2011年这五年中随机选出两年，求至少有一年体育产业年增长率超过25%的概率；（Ⅲ）由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大？（结论不要求证明）【答案】（Ⅰ）25；（Ⅱ）CF BC ⊥；（Ⅲ）从2008年或2009年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大．从2014年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大．【解析】（Ⅰ）由图利用古典概型求值即可；（Ⅱ）求出任选两年的基本事件总数，列举满足条件的基本事件，即可求概率（Ⅲ）由题分析即可求解【详解】（Ⅰ）设A 表示事件“从2007年至2016年这十年中随机选出一年，该年体育产业年增加值比前一年多500亿元以上”．根据题意，()42P A 105==． （Ⅱ）从2007年至2011年这五年中有两年体育产业年增长率超过25%，设这两年为A ，B ，其它三年设为C ，D ，E ，从五年中随机选出两年，共有10种情况： AB ，AC ，AD ，AE ，BC ，BD ，BE ，CD ，CE ，DE ，其中至少有一年体育产业年增长率超过25%有７种情况，所以所求概率为710. （Ⅲ）从2008年或2009年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大． 从2014年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大．【点睛】本题考查条形图和折线图，古典概型，方差，准确识图是关键，是中档题17．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，3PA =， //AB CD ，AB AD ⊥，1AD DC ==，2AB =，E 为侧棱PA 上一点.（Ⅰ）若13PE PA =，求证：PC //平面EBD ； （Ⅱ）求证：平面EBC ⊥平面PAC ；（Ⅲ）在侧棱PD 上是否存在点F ，使得AF ⊥平面PCD ？若存在，求出线段PF 的长；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）存在，线段PF 长32. 【解析】（Ⅰ）设AC BD G ⋂=，连结EG ，由AB//CD ，得AG AB 2GC DC==，进而AE AG EP GC ，=证明EG //PC ，即可证明；（Ⅱ）由勾股定理推导BC AC ⊥，进而证明BC ⊥平面PAC ，即可求解；（Ⅲ）在平面PAD 内作AF PD ⊥于点F ，证明AF ⊥平面PCD ，进而在直角三角形PAD 中求PF 长度【详解】（Ⅰ）设AC BD G ⋂=，连结EG ，由已知AB//CD ，DC 1=，AB 2=,得 AG AB 2GC DC ==. 由1PE PA 3=,得AE 2EP=. 在ΔPAC 中，由AE AG EP GC=，得EG //PC . 因为EG ⊂平面EBD ，PC ⊄平面EBD ，所以PC //平面EBD .（Ⅱ）因为PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC PA ⊥.由已知得AC 2=，BC 2=，AB 2=，所以222AC BC AB +=.所以BC AC ⊥.又PA AC A ⋂=，所以BC ⊥平面PAC .因为BC ⊂平面EBC ，所以平面EBC ⊥平面PAC .（Ⅲ）在平面PAD 内作AF PD ⊥于点F ，由DC PA ⊥，DC AD ⊥，PA AD A ⋂=，得DC ⊥平面PAD .因为AF ⊂平面PAD ，所以CD AF ⊥.又PD CD D ⋂=，所以AF ⊥平面PCD .由PA =AD 1=，PA AD ⊥， 得3PF 2=. 【点睛】本题考查线面平行证明，面面垂直证明，利用垂直求长度问题，熟记判断定理，准确推理是关键，是中档题18．已知3(2,0),(1,)2A P -为椭圆22221(0)x y M a b a b+=>>：上两点，过点P 且斜率为,(0)k k k ->的两条直线与椭圆M 的交点分别为,B C .（Ⅰ）求椭圆M 的方程及离心率；（Ⅱ）若四边形PABC 为平行四边形，求k 的值．【答案】（Ⅰ）22143x y +=，离心率12；（Ⅱ）32k . 【解析】（Ⅰ）由题列a,b 方程组，即可求解椭圆方程，再由a,b,c 关系，求解离心率；（Ⅱ）设直线PB 的方程为y kx m(k 0)=+>，与椭圆联立消去y,得x 的方程，求点B 坐标，同理求点C 坐标，进而得BC 1k 2=，再由PA BC =，得k 方程求解即可 【详解】 （I ）由题意得222,19 1.a 4b a =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以椭圆M 的方程为22x y 143+=.又c 1==，所以离心率c 1e a 2==. （II ）设直线PB 的方程为y kx m(k 0)=+>，由22,x y 143y kx m =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得()()22234k x 8kmx 4m 120+++-=. 当Δ0>时，设()()1122B x ,y ,C x ,y ， 则2124m 121x 34k -⋅=+，即2124m 12x 34k -=+. 将3P 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入y kx m =+，整理得3m k 2=-，所以2124k 12k 3x 34k--=+. 所以()211212k 12k 9y kx m 234k --+=+=+.所以()22224k 12k 312k 12k 9B ,34k 234k ⎛⎫----+ ⎪ ⎪++⎝⎭. 同理()22224k 12k 312k 12k 9C ,34k 234k ⎛⎫+--++ ⎪ ⎪++⎝⎭. 所以直线BC 的斜率21BC 21y y 1k x x 2-==-. 又直线PA 的斜率()PA BC 3012k k 122-===--，所以PA //BC . 因为四边形PABC 为平行四边形，所以PA BC =. 所以()22224k 12k 34k 12k 31234k 34k +----=--++，解得3k 2=或12. 1k 2=时，()B 2,0-与A 重合，不符合题意，舍去. 所以四边形PABC 为平行四边形时，3k 2=. 【点睛】本题考查椭圆方程，直线与椭圆位置关系，韦达定理，设而要求的思想，准确求得B,C 坐标且推得PA BC k k =是本题关键，是中档题19．已知函数()()22ln f x ax a x x =+--. （1）若函数()f x 在1x =时取得极值，求实数a 的值；（2）当01a <<时，求()f x 零点的个数.【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）两个.【解析】（Ⅰ）()()()2x 1ax 1f'x x +-=，由()f'10=，解得a 1=，检验x 1=时取得极小值即可；（II ）令()()()2x 1ax 1f'x 0x +-==，由0a 1<<，得1x 1a=>，讨论单调性得()f x 在1x a =时取得极小值，并证明极小值为1f 0a ⎛⎫< ⎪⎝⎭.再由零点存在定理说明函数()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭和1,a ∞⎛⎫+⎪⎝⎭上各有一个零点，即可解得 【详解】 （I ）()f x 定义域为()0,∞+.()()()()()22ax a 2x 12x 1ax 11f'x 2ax a 2x x x+--+-=+--==. 由已知，得()f'10=，解得a 1=.当a 1=时，()()()2x 1x 1f'x x+-=. 所以()()f'x 00x 1,f'x 0x 1<⇔⇔.所以()f x 减区间为()0,1，增区间为()1,∞+.所以函数()f x 在x 1=时取得极小值，其极小值为()f 10=，符合题意所以a 1=.（II ）令()()()2x 1ax 1f'x 0x +-==，由0a 1<<，得1x 1a=>. 所以()()11f'x 00x ,f'x 0x a a<⇔⇔. 所以()f x 减区间为10,a ⎛⎫⎪⎝⎭，增区间为1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 所以函数()f x 在1x a =时取得极小值，其极小值为11f lna 1a a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭. 因为0a 1<<，所以1lna 0,1a.所以110a -<.所以11f lna 10a a ⎛⎫=+-< ⎪⎝⎭. 因为()()()2a 2a 2a 2e 1a f 11e e e e e---+⎛⎫=++>+= ⎪⎝⎭， 又因为0a 1<<，所以a 2e 0-+>. 所以1f 0e ⎛⎫> ⎪⎝⎭. 根据零点存在定理，函数()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且仅有一个零点.因为x lnx >，()()()()22f x ax a 2x lnx ax a 2x x x ax a 3=+-->+--=+-. 令ax a 30+->，得3a x a->. 又因为0a 1<<，所以3a 1a a->. 所以当3a x a ->时，()f x 0>. 根据零点存在定理，函数()f x 在1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上有且仅有一个零点. 所以，当0a 1<<时，()f x 有两个零点.【点睛】本题考查导数与函数综合，导数与函数的单调性，函数零点问题，分类讨论思想，熟练运用零点存在定理是关键，是中档题。
2019届北京市东城区第一学期高三期末数学(文)试题(解析版)
2019届北京市东城区第一学期高三期末数学（文）试题一、单选题1．若集合A=｛x|-2＜x≤0},B={—2，—1，0，1,2｝，则A∩B=（）A．B．C．D．【答案】C【解析】直接利用交集运算得答案．【详解】∵集合表示到0的所有实数,集合表示5个整数的集合，∴，故选C．【点睛】本题主要考查了交集的概念及其运算，是基础题．2．下列复数为纯虚数的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】直接利用复数的运算对每个选项逐一求解求解即可得答案。
【详解】∵，，，,∴为纯虚数的是，故选D．【点睛】本题主要考查了复数的基本运算及基本概念，是基础题3．在平面直角坐标系xOy中,角α以Ox为始边，终边在射线y=2x(x≥0）上，则cosα的值是（)A．B．C．D．【答案】A【解析】在终边上任意取一点，再利用任意角的三角函数的定义，求得的值．【详解】角以为始边,终边在射线上，在终边上任意取一点，则,故选A．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，在角的终边上任取一点是解题的关键，属于基础题．4．若满足则的最小值为（)A．B．C．D．【答案】B【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用的几何意义即可得到结论．【详解】作出不等式组对应的平面区域，由，得,平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时最小，此时，故选B．【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值,属简单题。
求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”:（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线)；（2）找到目标函数对应的最优解对应点(在可行域内平移变形后的目标函数,最先通过或最后通过的顶点就是最优解)；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值。
5．执行如图所示的程序框图，输入，那么输出的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】模拟执行程序框图，可得程序框图的实质是计算排列数的值,由，即可计算得解．【详解】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的的值，可得程序框图实质是计算排列数的值,当，时，可得：，故选B．【点睛】本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查．6．设a，b,c,d为实数，则“a＞b,c＞d"是“a+c＞b+d"的(）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据不等式的可加性可得成立；反之不成立，例如取,，,．【详解】根据不等式的可加性可得成立;反之不成立，例如取，，，,满足，但是不成立，∴是的充分不必要条件，故选A．【点睛】本题主要考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力,属于基础题。
2019东城区高三一模文科数学试卷及答案
东城区2019年综合练习（一）高三数学 （文科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知复数z 满足(1i)2z -=，则z 等于（A ）1i + （B ）1i - （C ）1i -+ （D ）1i -- （2）命题“0x ∃∈R ，20log 0x ≤”的否定为（A ）0x ∃∈R ，20log 0x > （B ）0x ∃∈R ，20log 0x ≥ （C ）x ∀∈R ，2log 0x ≥ （D ）x ∀∈R ，2log 0x >（3）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x >时，()ln(1)f x x =+，则函数()f x 的大致图像为（A ）（B ） （C ） （D ）（4）给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行； ②若两个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面平行；③若两个平面互相垂直，则在其中一个平面内的直线垂直另外一个平面；④若两个平面互相平行，则在其中一个平面内的直线平行另外一个平面． 其中为真命题的是（A ）①和② （B ）②和③ （C ）③和④ （D ）②和④（5）已知函数()sin y x =ω+ϕ(0,0)2πω><ϕ≤的部分图象如图所示，则点P (),ωϕ的坐标为（A ）(2,3π （B ）(2,6π（C ）1(,23π （D ）1(,26π（6）若右边的程序框图输出的S 是126，则条件①可为（A ）5n ≤ （B ）6n ≤ （C ）7n ≤ （D ）8n ≤（7）已知函数131()()2xf x x =-，那么在下列区间中含有函数()f x 零点的为（A ）1(0,)3 （B ）11(,)32（C ）1(,1)2（D ）(1,2)（8）空间点到平面的距离如下定义：过空间一点作平面的垂线，该点和垂足之间的距离即为该点到平面的距离．平面α，β，γ两两互相垂直，点A ∈α，点A 到β，γ的距离都是3，点P 是α上的动点，满足P 到β的距离是到P到点A 距离的2倍，则点P 的轨迹上的点到γ的距离的最小值为 （A ）3 （B ）323- （C ）36- （D ）33-第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2019北京高三一模数学---数数列综合文科(教师版)
2019北京高三一模数学---数数列综合文科（教师版）【东城一模】（本小题13分）已知等比数列{}n a 的首项为2，等差数列{}n b 的前n 项和为n S ，且126a a +=， 1342b a b +=，323S a =.（Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设n n a c b =，求数列{}n c 的前n 项和.解:（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，数列{}n b 的公差为d .由126a a +=，得 116a a q +=.因为12a =，所以2q = .所以111222n n n na a q --==⋅=. 由134322,3b a b S a +=⎧⎨=⎩，得 111283,3312b b d b d +=+⎧⎨+=⎩， 解得11,3.b d =⎧⎨=⎩所以1(1)32n b b n d n =+-=-. ………..8分（Ⅱ）由（Ⅰ）知2n na = ，32nb =n - . 所以322n n n ac b ==⨯-.从而数列{}n c 的前n 项和1233(2222)2n n T n =⨯++++- 2(12)3212n n ⨯-=⨯-- 622 6.n n =⨯-- …………..13分【西城一模】（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和(1)2n S n n =++，其中*n ∈N .（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若2232,,k k a a a ++（k *∈N ）为等比数列{}n b 的前三项，求数列{}n b 的通项公式. 解：（Ⅰ）当1n =时，114S a ==， ……………… 2分 当2n ≥时，由题意，得(1)2n S n n =++，○1 1(1)2n S n n -=-+，○2 由○1-○2，得2n a n =，其中2n ≥. ……………… 5分所以数列{}n a 的通项公式4, 1,2, 2.n n a n n =⎧=⎨⎩≥ ………… 7分 （Ⅱ）由题意，得22232k k a a a ++=⋅. …… 9分即2[2(2)]42(32)k k +=⨯+.解得0k =（舍）或2k =. ……… 10分 所以公比222k a q a +==. ……… 11分 所以111122n n n n b b q a q --+===. ……… 13分【海淀一模】（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的公差2d =，且252a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ．（I ）求{}n a 的通项公式；(Ⅱ)若915,,m S a a 成等比数列，求m 的值．解：（I ）因为522a a +=，2d =所以11252102a d a +=+=，所以14a =- 所以26n a n =- (II) 21()52m m a a m S m m +==- 又912a =，1524a = 因为915,,m S a a 是等比数列，所以2915()m a S a =所以 2560m m --= 6,1m m ==- 因为*m ∈N ，所以6m =【朝阳一模】（本小题满分13分）在等比数列{}n a 中，141,42a a ==，n ∈N *. （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设6n n b a n =+-，数列{}n b 的前n 项和为n S ，若0n S >，求n 的最小值解：（I ）由数列{}n a 为等比数列，且112a =,44a =，得3414a a q ==，解得2q =.则数列{}n a 的通项公式1212n n n a a q --==,n *∈N . ………………..5分（II ） 2662n n n b a n n -=+-=-+ 102(546)(222)n n S n --=--++-++++(11)2122n n n --=+. 当5n ≥时，(11)152n n -≥-，213122n -≥，所以0n S >； 当4n =时，44472102S -⨯+-=<； 当3n =时，33382102S -⨯+-=<； 当2n =时，22292102S -⨯+-=<； 当1n =时，111102102S -⨯+-=<. 所以，n 的最小值为5 .………………………..13分【丰台一模】（本小题13分）已知{}n a 是公差不为0的等差数列，且满足12a =，137,,a a a 成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2n an n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S 解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，因为137,,a a a 成等比数列，所以2317a a a =. 所以2111(2)(6)a d a a d +=+. 所以21420d a d -=. 由0d ≠，12a =得1d =，所以 1n a n =+.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1212n a n n n b a n +=+=++， 所以 2341[234(1)](2222)n n S n +=++++++++++(3)4(12)212n n n +-=+-223822n n n ++-=+. 【石景山一模】（本小题13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =且12n n S S n -=+（2n ≥，*n ∈N ）． （Ⅰ）求n S ；（Ⅱ）若数列{}n b 满足2n a n b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．解：（Ⅰ）因为12n n S S n -=+（2n ≥，*n ∈N ）， 所以12n n n a S S n -=-=（2n ≥，*n ∈N ）． 又因为12a =，所以2n a n =（*n ∈N ）． 所以2(22)2n n n S n n +==+． （Ⅱ）24n a n n b ==， 所以4444143n n n T --==-． 【怀柔一模】（本小题满分13分） 设{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式及前n 项和n S ； （Ⅱ）已知{}n b 是等差数列，n T 为前n 项和，且12b a =，3123b a a a =++，求20T .解：（Ⅰ）由题意得13-=n n a ，1331132--∴==-n n n S .--------------------------------------------6分 （Ⅱ）123==b a ，312313=++=b a a a ，31105-=⇒=b b d ，2020192031510102⨯∴=⨯+⨯=T .---------------------------------------13分 【延庆一模】（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 满足12236,10a a a a +=+=. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列12n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n S . 解：(Ⅰ)设数列{}n a 的公差为d ，因为126a a +=，2310a a +=，所以3a -14a =， 所以24d =，2d =. ………………………3分 又116a a d ++=，所以12a =，………………………4分 所以1(1)2n a a n d n =+-=. ………………………6分（Ⅱ）记12n a n b += 所以2(1)124n n n b ++==，……7分 又211444n n n n b b +++==，21416b == ………………………9分 所以{}n b 是首项为16，公比为4的等比数列，………………………10分其前n 项和16(14)14n n S -=- ………………………11分 24163n +-=. ………………………13分。
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东城区2018-2019学年度综合练习（一）高三数学 （文科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知复数z 满足(1i)2z -=，则z 等于（A ）1i + （B ）1i - （C ）1i -+ （D ）1i -- （2）命题“0x ∃∈R ，20log 0x ≤”的否定为（A ）0x ∃∈R ，20log 0x > （B ）0x ∃∈R ，20log 0x ≥ （C ）x ∀∈R ，2log 0x ≥ （D ）x ∀∈R ，2log 0x >（3）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x >时，()ln(1)f x x =+，则函数()f x 的大致图像为（A ）（B ） （C ） （D ）（4）给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行； ②若两个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面平行；③若两个平面互相垂直，则在其中一个平面内的直线垂直另外一个平面；④若两个平面互相平行，则在其中一个平面内的直线平行另外一个平面． 其中为真命题的是（A ）①和② （B ）②和③ （C ）③和④ （D ）②和④ （5）已知函数()sin y x =ω+ϕ(0,0)2πω><ϕ≤的部分图象如图所示，则点P (),ωϕ的坐标为（A ）(2,3π （B ）(2,6π（C ）1(,23π （D ）1(,26π（6）若右边的程序框图输出的S 是126，则条件①可为（A ）5n ≤ （B ）6n ≤ （C ）7n ≤ （D ）8n ≤（7）已知函数131()()2xf x x =-，那么在下列区间中含有函数()f x 零点的为（A ）1(0,)3 （B ）11(,)32（C ）1(,1)2（D ）(1,2)（8）空间点到平面的距离如下定义：过空间一点作平面的垂线，该点和垂足之间的距离即为该点到平面的距离．平面α，β，γ两两互相垂直，点A ∈α，点A 到β，γ的距离都是3，点P 是α上的动点，满足P 到β的距离是到P到点A 距离的2倍，则点P 的轨迹上的点到γ的距离的最小值为 （A ）3 （B ）323- （C ）36- （D ）33-第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）抛物线28y x =的焦点坐标为 ．（10）在等差数列{}n a 中，若1232,13a a a =+=，则456a a a ++= ． （11）已知向量a ，b ，c 满足-+=20a b c ，且⊥a c ，||2=a ，||1=c ，则||=b ． （12）已知π(,π)2α∈,π1tan()47α+=,则sin cos αα+= ． （13）设22,1,()log (1),1,xa a x f x x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩且1f =，则a = ； ((2))f f = ．75 80 85 90 95 100 分数频率0.010.02C（14）设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+-≤≥≥k kx y y x 4,0,0在直角坐标系中所表示的区域的面积为S ，则当1k >时，1-k kS的最小值为 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题共13分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．4cos 5C =，2cos c b A =． （Ⅰ）求证：A B =； （Ⅱ）若△ABC 的面积152S =，求c 的值．（16）（本小题共13分）已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形．PB PD =，E 为PA 的中点． （Ⅰ）求证：PC ∥平面BDE ； （Ⅱ）求证：平面PAC ⊥平面BDE ．（17）（本小题共13分）某高校在2019年的自主招生考试成绩 中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩 分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)， 第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组 [95，100]得到的频率分布直方图如图所示． (Ⅰ)分别求第3，4，5组的频率；(Ⅱ)若该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3，4，5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试?(Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下，学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率．(18)（本小题共14分）已知函数32()f x x ax x c =+-+，且2'()3a f =． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅲ）设函数xe x xf xg ⋅-=])([)(3，若函数)(x g 在]2,3[-∈x 上单调递增，求实数c 的取值范围．（19）（本小题共14分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率为12，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若过点(0,)P m 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点,A B ，且3A P PB =，求实数m 的取值范围．（20）(本小题共13分)对于)2(≥∈n n *N ，定义一个如下数阵：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n nn a a a a a a a a a A 212222111211其中对任意的n i ≤≤1，n j ≤≤1，当i 能整除j 时，1=ij a ；当i 不能整除j 时，0=ij a ．（Ⅰ）当4n =时，试写出数阵44A ； （Ⅱ）设nj j j ni ija a a aj t +++==∑= 211)(．若][x 表示不超过x 的最大整数，求证：∑=nj j t 1)(∑==ni in1][．C北京市东城区2018-2019学年度第二学期综合练习（一）高三数学参考答案 （文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） （1）A （2）D （3）C （4）D （5）A （6）B （7）B （8）D 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） （9）(2,0) （10）42（11） （12）51- （13）7；6（14）32注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分． 三、解答题（本大题共6小题，共80分）（15）（共13分）（Ⅰ）证明：因为2cos c b A =，由正弦定理得sin 2sin cos C B A =⋅， 所以sin()2sin cos A B B A +=⋅， sin()0A B -=，在△ABC 中，因为0πA <<，0πB <<， 所以ππA B -<-<所以A B =． ……………………6分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知a b =．因为4cos 5C =，所以3sin 5C =． 因为△ABC 的面积152S =，所以115sin 22S ab C ==，5a b ==． 由余弦定理2222cos 10c a b ab C =+-=所以c =． ……………………13分（16）（共13分）（Ⅰ）证明：因为E ，O 分别为PA ，AC 所以EO ∥PC ． 因为EO ⊂平面BDE PC ⊄平面BDE 所以PC ∥平面BDE ． (6)（Ⅱ）证明：连结OP 因为PB PD =，所以OP BD ⊥．在菱形ABCD 中，BD AC ⊥ 因为OPAC O =所以BD ⊥平面PAC 因为BD ⊂平面BDE所以平面PAC ⊥平面BDE ． ……………………13分（17）（共13分）解：(Ⅰ)由题设可知，第3组的频率为0.0650.3⨯=， 第4组的频率为0.0450.2⨯=，第5组的频率为0.0250.1⨯=．……………………3分(Ⅱ)第3组的人数为0.310030⨯=， 第4组的人数为0.210020⨯=，第5组的人数为0.110010⨯=．因为第3，4，5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组抽取的人数分别为：第3组：306360⨯=， 第4组：206260⨯=， 第5组：106160⨯=． 所以第3，4，5组分别抽取3人，2人，1人． ……………………8分 (Ⅲ)设第3组的3位同学为1A ，2A ，3A ，第4组的2位同学为1B ，2B ， 第5组的1位同学为1C ． 则从六位同学中抽两位同学有：1213111211(,),(,),(,),(,),(,),A A A A A B A B A C23212221(,),(,),(,),(,),A A A B A B A C313231(,),(,),(,),A B A B A C 121121(,),(,),(,),B B BC B C共15种可能．其中第4组的2位同学为1B ，2B 至少有一位同学入选的有：11122122(,),(,),(,),(,),A B A B A B A B3112321121(,),(,),(,),(,),(,),A B B B A B B C B C 共9种可能，所以第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率为93155=． ……………………13分（18）（共14分）解：（Ⅰ）由32()f x x ax x c =+-+，得2'()321f x x ax =+-．当32=x 时，得22222'()3()2'()()13333a f f ==⨯+⨯-， 解之，得1a =-． ……………………4分 （Ⅱ）因为32()f x x x x c =--+．从而21'()3213()(1)3f x x x x x =--=+-，列表如下：所以)(x f 的单调递增区间是)3,(--∞和),1(∞+；)(x f 的单调递减区间是)1,31(-． ……………………9分（Ⅲ）函数32()(())()xxg x f x x e x x c e =-⋅=--+⋅，有2')(21)()x x g x x e x x c e =--+--+（=2(31)xx x c e --+-， 因为函数在区间]2,3[-∈x 上单调递增，等价于2()310h x x x c =--+-≥在]2,3[-∈x 上恒成立， 只要0)2(≥h ，解得11c ≥，所以c 的取值范围是11c ≥． ……………………14分（19）（共14分）解：（Ⅰ）设所求的椭圆方程为：22221(0)x y a b a b+=>>由题意：22212231c a a a c b c a b c ⎧==⎪⎧⎪⎪+=⇒=⎨⎨⎪⎪==+⎩⎪⎩所求椭圆方程为：22143x y +=． ……………………5分 （Ⅱ）若过点(0,)P m的斜率不存在，则2m =±． 若过点(0,)P m 的直线斜率为k，即：m ≠时， 直线AB 的方程为y m kx -=由22222(34)841203412y kx m k x kmx m x y =+⎧⇒+++-=⎨+=⎩ 2222644(34)(412)m k k m ∆=-+-因为AB 和椭圆C 交于不同两点 所以0∆>，22430k m -+> 所以2243k m >- ① 设1122(,),(,)A x y B x y由已知3AP PB =，则21212228412,3434km m x x x x k k -+=-=++ ②1122(,),(,)AP x m y PB x y m =--=-123x x -= ③将③代入②得：222244123()3434km m k k --=++整理得：22221612390m k k m -+-=所以222931612m k m -=-代入①式得2222934343m k m m -=>-- 2224(3)043m m m -<-，解得2334m <<．所以m <<m <<综上可得，实数m的取值范围为：3([,3)22-． ……………………14分（20）(共13分)解：（Ⅰ）依题意可得，441111010100100001A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭……………………4分（Ⅱ）由题意可知，)(j t 是数阵nn A 的第j 列的和， 因此∑=nj j t 1)(是数阵nnA所有数的和．而数阵nn A 所有数的和也可以考虑按行相加．对任意的n i ≤≤1，不超过n 的倍数有i 1，i 2，…，i in ][．因此数阵nn A 的第i 行中有][i n 个１，其余是0，即第i 行的和为][in ． 所以∑=n j j t 1)(∑==ni in1][． ……………………13分。