数值分析实验报告-插值,逼近

实验报告：函数逼近&插值多项式补充

问题1：对于给函数21()1+25f x x =

，取点21

cos 22

k

k x n π+=+，k 取0，1，…，n 。n 取10或20。试画出拟合曲线并打印出方程，与第二章计算实习题2的结果进行比较。 问题2：对于给函数2

1

()1+25f x x

=

在区间[-1，1]上取x i =-1+0.2i （i=0,1,2,…,10），试求3次曲线拟合，试画出拟合曲线并打印出方程，与第二章计算实习题2的结果进行比较。

实验目的：通过编程实现牛顿插值方法和函数逼近，加深对多项式插值的理解。应用所编程序解决实际算例。

实验要求：

1． 认真分析问题，深刻理解相关理论知识并能熟练应用； 2． 编写相关程序并进行实验； 3． 调试程序，得到最终结果； 4． 分析解释实验结果； 5． 按照要求完成实验报告。

实验原理：

详见《数值分析 第5版》第二章、第三章相关内容。

实验内容： （1）问题1：

这里我们可以沿用实验报告一的代码，对其进行少量修改即可。

当n=10时，代码为：

clear all

clc

k=0:10;

n=length(k);

x1=cos((2*k+1)/2/n*pi);

y1=1./(1+25.*x1.^2);

f=y1(:);

for j=2:n

for i=n:-1:j

f(i)=(f(i)-f(i-1))/(x1(i)-x1(i-j+1));

end

end

syms F x p;

F(1)=1;p(1)=y1(1);

for i=2:n

F(i)=F(i-1)*(x-x1(i-1));

p(i)=f(i)*F(i);

end

syms P

P=sum(p);

P10=vpa(expand(P),5);

x0=-1:0.001:1;

y0=subs(P,x,x0);

y2=subs(1/(1+25*x^2),x,x0);

plot(x0,y0,x0,y2)

grid on

xlabel('x')

ylabel('y')

由此我们可以得到P10(x)=-46.633*x^10+3.0962e-14*x^9+130.11*x^8-7.2714e-14*x^7-133.44*x^6+7.1777e-14*x^5+61.443*x^4-1.5805e-14*x^3-12.477*x^2-1.6214e-16*x+1.0

并可以得到牛顿插值多项式在[-1，1]上的图形，并和原函数进行对比，得Fig. 1。

Fig.1 牛顿插值多项式（n=10）函数和原函数图形

当n=20，将上述代码中的“k=0:10;”改为“k=0:20;”即可。

由此我们可以得到P20(x)=6466.6*x^20+8.0207e-13*x^19-34208.0*x^18-3.5038e-12*x^17+77754.0*x^16-99300.0*x^14+3.7253e-9*x^13+78236.0*x^12-

39333.0*x^10+12636.0*x^8-4.6566e-10*x^7-2537.3*x^6+306.63*x^4-

21.762*x^2+1.0

并可以得到牛顿插值多项式在[-1，1]上的图形，并和原函数进行对比，得Fig. 2。

Fig.2牛顿插值多项式（

n=20）函数和原函数图形

回顾一下实验一的结果（见Fig. 3），我们不难发现，仅仅是改变了x的取值，结果发生了很大的变化。实验一中，插值多项式与原函数产生了很大的偏差，并且随着分的段数的增加，其误差不断变大，但是在本次实验中，我们不难发现，虽然多项式依旧存在震荡现象，但是误差小了很多，而且随着分的段数的增加，插值多项式曲线与原函数曲线已经十分接近了。

Fig.3实验一结果

这个例子说明：采用切比雪夫节点替代等距节点可以消除龙格现象。

（2）问题2：

分析问题，发现在这个问题中，我们已经知道了原函数，同时它也告诉我们所需取的11个点的值，所以这里可以用两种方法进行函数逼近得到拟合曲线。

首先采用最小二乘法来考虑这个问题，编写代码如下（这里没有直接调用polyfit函数）：clear all

clc

n=3;

x1=-1:0.2:1;

y1=1./(1+25.*x1.^2);

syms S G d a x;

for i=1:n+1;

for j=1:n+1;

G(i,j)=sum(x1.^(i+j-2));

end

end

for i=1:n+1;

d(i)=sum(x1.^(i-1).*y1);

end

a=G^-1*d';

for i=1:n+1

X(i)=x^(i-1);

end

S=vpa(X*a,5)

x0=-1:0.001:1;

y0=subs(S,x,x0);

y2=subs(1/(1+25*x^2),x,x0);

plot(x0,y0,x0,y2)

grid on

xlabel('x')

ylabel('y')

我们可以得到一个三次多项式：S3=1.1665e-16*x^3 - 0.57518*x^2 - 9.4553e-17*x + 0.48412。同时我们也可以得到它与原函数的图形，如图Fig. 4。